Monte Carlo en optimalisatietechnieken in de planeconomie
Saad Ibrahim en André Koch Saad Ibrahim is financieel wiskundige en senior consultant bij Capgemini. André Koch is directeur van Stachanov, docent Risk Management & Entrepreneurship aan Nyenrode en instructeur bij Oracle in Londen. In onderstaand artikel is voor het modelleren gebruik gemaakt van de Excel plugin Crystal Ball. In de voorgaande artikelen hebben we laten zien hoe Monte Carlo technieken kunnen worden ingezet bij in kaart brengen en kwantificeren van risico’s. Hierbij hebben we ook aandacht besteed aan het inschatten van risico’s ten behoeve van de berekening van het weerstandsvermogen van gemeenten. We kunnen nog een stapje verder gaan met de probabilistiche aanpak en Monte Carlo technieken inzetten voor het nemen van projectbeslissingen. Concreet willen we in dit artikel een voorbeeld geven van het gebruik van optimalisatiemethodes dat aansluit bij een voor een lagere overheid relevant referentiekader. Een gemeente is bezig met de ontwikkeling van een nieuw bedrijventerrein en heeft haar planeconomen aan het werk gezet om een voorstel te doen voor de gronduitgifte en de verkaveling. De gemeenteraad stelt als eis dat het bedrijventerrein kostendekkend moet zijn. Er is een groot aantal mogelijke huurders en ook zijn verschillende bestemmingen mogelljik voor kavels op het terrein. Voor ieder van kavels en bestemmingen kan een raming worden gemaakt van de netto contante waarde (NCW). Hiervoor dient er een overzicht te worden opgesteld van de investeringen die de gemeente moet doen en de te verwachten jaarlijkse huuropbrengsten. Het spreekt vanzelf dat veel van deze kasstromen onzeker zijn hetgeen uiteindelijk leidt tot een bepaalde standaard deviatie voor ieder van de contante waardes. In de financiële rekenkunde is het gebruikelijk om risico en volatitlieit uit te drukken in standaarddeviatie of variantie. Voor wie het vergeten was: variantie is de standaarddeviatie in het kwadraat. De hoeveelheid te geven hectares bedraagt zeven. De contouren van het optimilsatievraagstuk worden nu zichtbaar: wat is de beste combinatie van de uit te geven kavels en bestemmingen om de totale NCW te optimaliseren? Uiteraard kan niet meer dan zeven hectares worden uitgegeven en willen we de onzekerheid met betrekking tot de NCW beperken tot een bepaalde standaard deviatie. Dit wil zeggen dat we bepaalde zeer risicovolle combinaties uitsluiten ook al hebben ze een hoog rendement. Laten we eens kijken naar de cijfers.
Project 1 Project 2 Project 3 Project 4 Project 5 Project 6 Project 7 Project 8 Project 9 Project 10
Opp. In ha Selectie Selectie NCW σ NCW 1 370.760,67 982.450,64 1,79 1 864.830,64 1.418.881,84 1,53 1 1.316.804,82 1.910.080,29 0,80 1 142.505,69 950.756,00 1,75 1 295.727,44 935.743,65 1,68 1 1.111.768,00 1.167.051,08 1,66 1 978.654,00 1.209.384,10 1,60 1 757.535,43 1.391.452,13 0,06 1 1.143.630,15 1.724.617,81 0,63 1 975.085,59 1.177.010,27 0,20
Totale oppervlakte
11,70
Figuur 1: Overzicht mogelijke projecten voor kavels
In bovenstaande tabel zien we een overzcht van ten mogelijke bestemmingen van de kavels met de daarbij behorende NCW en standaarddeviatie (vaak aangeduid met de Griekse letter sigma σ) en de oppervlakte. De totale oppervlakte benodigd voor de uitvoer van alle tien projecten bedraagt 11.7 ha terwijl het terrein slechts 7 ha groot is. We moeten dus een selectie maken. Welke combinatie van mogelijke projecten is optimaal? De gele cellen zijn beslissingscellen die aangeven of een project al dan niet wordt geselecteerd. Als de waarde “0” is wordt het desbetreffende project niet meegeteld voor de totalen van NWC en de uitgegeven oppervlakte, als de waarde “1” is wel
Figuur 2: Modelleren van een selectiebeslissing
De NCW’s zijn voor ieder project gemodelleerd aan de hand van een normaalverdeling. De eerder berkende NCW en standaarddeviatie bepalen de vorm
Figuur 3: Modelleren van de NCW met normaal verdeling
van de normaalverdeling. We kunnen nu een Monte Carlo simulatie uitvoeren en duizenden malen uitrekenen wat de NCW is bij allerlei combinaties van projecten waarbij we ook de waarde van de NCW voor ieder proejct laten varieren conform de
normaalverdeling die voor deze variabelen hebben gedefinieerd. Het doel is om een zo hoog mogelijke NCW voor de totale portefeuille te krijgen. Als extra voorwaarden geven we mee dat we niet willen dat de standaarddeviatie van de gevonden oplossing uitkomt boven 3.5 miljoen euro en het totaal van de uitgeven percelen mag niet de 7 ha niet overstijgen. Hier volgen de resultaten van de simulatie.
Figuur 4: Overzicht uitgevoerde simulaties
Er zijn 726 simulaties uitgevoerd. Op de horizontale as zijn de volgnummers van de simulaties te zien en op de verticale as de bijbehorende NCW voor de geselecteerde portefeuille. We zien dat na simulatie # 160 de groen lijn niet verder stijgt. Dit betekent dat er een optimale oplossing is gevonden, namelijk # 160 welke bestaat uit de selectie van projecten 2, 3, 6, 7, 9, en 10.
Figuur 5: De optimale oplossing
De optimale oplossing kunnen we nogmaals in een Monte Carlo-simulatie invoeren om te zien wat de spreiding van de resultaten is. De totale gemiddeld te verwachten NCW voor het hele terrein bij deze oplossing bedraagt € 6.390.773. Er is een relatief groot risico dat tot uitdrukking komt in een forse standaarddeviatie van bijna 3.6 miljoen. We zien ook dat de totale hoeveelheid kavels 6.42 ha beslaat. In het histogram van figuur 5 zijn alle tienduizend gesimuleerde resultaten vewerkt. Zoals reeds in de voorgaande artikelen is besproken kan uit dit histogram waardevolle informatie worden gehaald. We kunnen bijvoorbeeld kijken wat de kans is dat het bedrijventerrein verlieslatend is. Hiertoe meten we de oppervlakte van de grafiek voor een NCW kleiner dan nul Dit gedeelte van de grafiek is rood gekleurd. Duideljk is te zien dat er een kans is van minder dan vier procent dat er verlies wordt geleden en bijgevolg een kans van 96% dat er winst wordt gemaakt. Met deze cijfers kunnen we naar de gemeenteraad! We kunnen nog een stapje verder gaan. In het bovenbesproken voorbeeld van de verdeling van het bedrijventerrein hadden we bij de optimalisatie als eis gesteld dat de standaarddeviatie niet meer bedraagt dan 3.5 miljoen euro. Dit betekent dat we oplossingen die wellicht een betere NCW opleveren maar boven het risicoplafond uitkomen niet meenemen. Het is duidelijk dat als we het plafond van de standaarddeviatie laten schuiven we andere optimale combinaties van projecten krijgen. Men kan stellen dat er een optimale oplossing is voor ieder risiconiveau. Indien men al deze optimale oplossing verbindt krijgt met de efficiënte grenslijn oftwel in het Engels de efficient frontier die bekend is uit de portfoliotheorie van Nobel-prijswinnaar Harry Markovitz die de optimalisatiestrategieën voor effectenportefeuilles voor het eerst adresseerde in 1952 in zijn baanbrekende artikel Portfolio Selection. Kern van dit artikel is de afweging tussen rendement en risico. Doorgaans is het rendement van een effecetenportefeuille hoger als men bereid is een hoger risicoprofiel te accepteren. De efficiënte grenslijn verbindt voor de optimale oplossingen voor ieder risiconiveau, dit wil zeggen voor iedere standaarddeviatie. De resultaten voor de berekening van de efficiënte grenslijn zijn te zien in figuur 6. Duidelijk is te zien hoe het rendement (Y-as) omhoog gaat als het risco (X-as) toenmeent.
Figuur 6: Afweging tussen rendement en risico en de efficient frontier
Risico moet worden gezien als de onzekerheid met betrekking tot de einduitkomst.Naar mate de standaarddeviatie groter wordt bewegen de einduitkomsten in grotere bandbreedte, zijn gaan als het ware zwabberen. Bij een lagere standdaarddeviatie is de bandbreedte weliswaar smaller, maar de gemiddelde NCW komt dichter bij nul te liggen waardoor de kans groter wordt dat het bedrijventerrein niet kostendekkend wordt. In dit atrikel hebben we op eenvoudige wijze gedemonstreerd hoe Monte Carlomodellen een rol kunnen spelen bij beslissingsprocedures in organisaties. Veel van deze problemen zijn door middel van optimalisatiestrategieĂŤn stoelend op de moderne portfoliotheorie aan te pakken. Het is onze stellige overtuiging dat deze methodes meer aandacht verdienen van overheden en bedrijven. Monte Carlo technieken verdienen meer aandacht buiten de beperkte kring van risk en portfolio manager bij financiĂŤle instellingen.
Saad Ibrahim (saad.ibrahim@capgemini.com) AndrĂŠ Koch (andre@stachanov.com)