Ano VI. Boletín nº 58
UNHA
Depósito legal: C 2766-2006
XORNADA OLÍMPICA
C
atro alumnas de 1º de Bacharelato e dous alumnos de 2º participaron na Olimpíada Matemática Galega que se celebrou o sábado, 17 de decembro, na Facultade de Matemáticas da USC.
A verdade que foi unha xornada moi animada, xa que, mentres os alumnos lidiaban cos problemas da páxina 3 (6 problemas en 7 horas), máis de cen profesores de Galicia participaban nunha
Presentación de GeoGebra 4 e Proxecto Gauss, organizada pola Facultade de Matemáticas en colaboración co Instituto Geogebra de Galicia, e por se fora pouco, os alumnos de ESTALMAT participaban, á par que todos os equipos de España, nunha actividade chamada Matemáticas ao sprint.
ENQUISAS EN No blog TOMÁTEMATICAS hai un apartado dedicado as enquisa sobre conceptos, personaxes… É unha sección que ten por obxectivos: • Reflexionar sobre algúns conceptos. • Adquirir unha “cultura matemática”. • Pasalo ben, mentres aprendes. Nestes momentos están abertas dúas enquisas, así que
entra no blog e vota.
Decembro, 2011
XI ANIVERSARIO DE AGAPEMA
O
vindeiro mércores, 21 de decembro, celebraremos o XI Aniversario da fundación da Asociación Galega de Profesores de Educación Matemática (AGAPEMA). Este ano a mestra de ceremonias será a profesora Sandra Sambade Nieto, que este curso imparte clase, provisionalmente, no IES Mosteirón (Sada) e que disertará sobre o tema:
Matemáticas e Arquitectura, forma e función resultado do Traballo Fin de Máster de Matemáticas pola Universidade de Santiago. O acto celebrarase, ás 20:00 h, na Aula de Matemáticas do IES Ramón Otero Pedrayo. Sandra Sambade ademais de: • Ser vocal da delegación de AGAPEMA Coruña, • Formar parte da comisión organizadora da Feira Matemática, iniciou a súa andaina no IES Monelos, no curso 2006-07.
www.tomatematicas.blogspot.com ENQUISA 1 O conxunto dos números naturais represéntanse pola letra N, e o conxunto dos números enteiros, pola letra Z, Cal é a orixe desta denominación? A. Da palabra “zephirum”, que significa cifra. B. Da palabra italiana “zero”. C. Da palabra alemá, Zahlen, que significa número. D. Do matemático Zermelo, que estudou a Teoría de conxuntos.
ENQUISA 2 ¿Cal será o motivo polo qué aos números racionais se lles represente pola letra Q? 1. Para os vosos avós os números racionais eran "quebrados". 2. Polo matemático Quetelet. 3. Q cumpre unha propiedade arQuimediana: "entre dous números racionais sempre hai outro racional". 4. Pola palabra "quocient". 5. ¡Qué forte!, dixo o primeiro matemático que demostrou que os números racionais se poden numerar.
TOPOLOXÍA
Carmen Méndez Sánchez, 1º bach. B
A
SUPERFICIES topoloxía é unha rama das matemáticas, dedicada ao estudo daAs seguintes superficies son moi recurrentes en topoloxía debido as súas sin- quelas propiedades dos corpos xeométricos que permanecen inalteradas polas transformacións continuas. A topoloxía di que dous obxectos gularidades: son equivalentes nun sentido moi amplo: han de ter o mesmo número de anacos, ocos, interseccións...
TORO
ESFERA
BANDA
En topoloxía permítese dobrar, estirar, encoller, retorcer... os obxectos sempre que se faga sen romper nin separar o que estaba unido, nin xuntar o que estaba separado. Por exemplo, un triángulo é topoloxicamente igual a unha circunferencia, tampouco distínguese unha cunca dunha rosquilla. Esta é a razón de que tamén se chame Xeometría da páxina de goma.
DE
MÖBIUS
BOTELLA
DE
KLEIN
PROPIEDADES TOPOLÓXICAS: CIFRAS E LETRAS A Banda de Möbius é un exemplo de a. No conxunto de letras do abecedario: superficie cunha soa cara. a b c d e f g h i j k l m A botella de Klein non pode reter ninn ñ o p q r s t u v x y z gún líquido. existen tres grupos de letras que son topoloxicamente equivalentes. Constrúe os grupos. UN CHISTE SOBRE TOPÓLOGOS b. Cantos grupos diferentes de números topoloxicamente equivalentes se poden formar coas 10 cifras? Que é un topólogo? 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Un matemático que non distingue entre unha taza de café é un donut.
ALGÚNS PROBLEMAS CLÁSICOS
Teorema das catro cores Dado un mapa plano, dividido en rexións, chegan catro cores para colorealo, de forma a que as rexións veciñas (as rexións que só se tocan nun punto non se consideran veciñas) non teñan a mesma cor. MAPA DE AUTOBUSES DA CORUÑA Este teorema foi demostrado no 1976 coa axuda dun computador Un mapa de liñas de autobús ou de metro IBM 360, e ata o momento foi imposible demostralo sen recorrer a un é topoloxicamente equivalente á realida- ordenador; polo que non todos os matemáticos aceptan esta demostrade; non interesan as distancias, só os ca- ción debido a que non é posible para un ser humano verificar a demosmiños e as paradas (nodos). tración a man. A aplicación pode ser un mapa político de rexións e/ou países, as rexións pódense colorear, usando non máis de catro cores. Nalgúns casos pode chegar con tres cores, pero non é moi común. O curioso que o anterior refírese a un mapa plano ou sobre unha superficie esférica. Se o mapa estivese debuxado sobre unha banda de Möbius se Colorea necesitarían 6 cores e se fose soeste bre un toro, se necesitarían 7 comapa res. Tetractis 58
2
Decembro, 2011
Teorema de la bola peluda Nunha esfera recuberta por pelos lisos, cada punto da esfera é a raíz dun pelo. Ao intentar "peinar" evitando as descontinuidades, non se permite que ningún pelo cambie bruscamente de dirección con respecto aos outros. O teorema afirma que é imposible obter este resultado: calquera intento causará ao menos un rizo, é dicir, un remuiño. Unha das aplicacións deste teorema é na meteoroloxía, como 1. Sexa A B C D un cuadrilátero convexo e P un punto interior. Determinar qué condicións deben un modelo esquemático do vento; o teorema di que en todo mocumprir o cuadrilátero e o punto P para que os mento hai unha zona onde non hai vento, que corresponde ao ollo catro triángulos PAB, PBC, PCD e P D A teñan a do ciclón ou anticiclón. Este teorema impón a existencia permamesma área. nente deste punto sobre a Terra. Na física nuclear: os primeiros reactores de fusión nuclear (tokamak) tiñan forma esférica e sempre erraban, ata que des- 2. Sexan a, b e c as lonxitudes dos lados dun triángulo A B C . Se cubriron que era pola súa forma esférica e empezaron a construílos en forma de anel (toro). b(a + b) (b + c) = a3 + b(a2 + c2) + c3 Problema das pontes de Königsberg demostrar que a medida (en radiáns) dos ángulos O problema das sete pontes de Königsberg é un problema A, B e C cumpre a relación matemático resolto por Euler en 1736 e da orixe á teoría de grafos. A cidade de Königsberg era atravesada polo río Pregolya dividindo o seu terreo en catro rexións distintas unidas por sete pontes. O problema consiste en encontrar un recorrido para cruzar a pe toda a cidade pasando unha soa vez por cada ponte regresando ao punto de inicio. 3. Temos unha colección de esferas iguais que apila-
2
mos formando un tetraedro cuxas aristas teñen todas n esferas. Calcular, en función de n, o número total de puntos de tanxencia (contactos) entra as esferas do montón.
2 1
1
4
4 3
4. Determinar todas as funcións reais continuas f : R+÷ R+ que cumpren, para todo x real positivo, a condición
3
A resposta é negativa, non existe tal ruta. Este problema pode resolverse facendo todos os percorridos existentes. Aínda que Euler da unha solución xeneralizada que pódese aplicar a calquera territorio no que certos accesos estean restrinxidos a certas conexións. Para dita demostración, Euler representou as 5. Consideremos o número enteiro positivo pontes como liñas e as rexión como puntos, a solución pasa por n = 2r—16s todas as liñas unha soa vez e regrésase ao punto de partida. onde r e s son tamén enteiros positivos. Determinar Euler determinou que os puntos intermedios deben ter un par as condicións que deben cumprir r e s para que o de liñas; se chegamos a un punto dende algunha liña entón temos resto da división de n por 7 sexa 5. Determinar o que saír por outra diferente. E o menor número que cumpre esta condición. punto inicial e final deben ter un número impar de liñas, neste caso como o inicial e o final son o mesmo 6. Os puntos A 1, A2 , ..., A 2n son os vértices dun polígono regular de 2n lados. punto, é o único que ten que ter núDeterminar o número de ternas A i , Aj, Ak tales que o mero impar de liñas. triángulo A iA jAk é rectángulo e o número de ternas Este diagrama non cumpre esas tales que o triángulo é acutángulo. propiedades polo que non ten soluKönigsberg ción. (Kaliningrago, na actualidade)
Tetractis 58
3
Decembro, 2011
PRINCIPIO DO POMBAL OU DIRICHLET O Departamento de Matemáticas do IES Monelos organizou unha charla con este nome, destinada a alumnos de 1º e 2º de bacharelato co obxectivo de preparar a algúns alumnos para a Olimpiada Matemática Galega. A charla foi impartida pola profesora do centro, Alicia Pedreira Mengotti, aproveitando a súa experiencia no tema; xa que ela, xunta coa profesora Covadonga RodríguezMoldes do IES Mugardos, fan unha ponencia co mesmo título aos alumnos de 1º e 2º do Programa ESTALMAT.
O
O principio do pombal asegura que:
Na Coruña hai polo menos dúas persoas co mesmo número de pelos na cabeza.
principio do pombal ou principio de Dirichlet, establece que se n pombas se distribuen en m pombales, e si n > m, entón, polo menos, haberá un pombal con máis dunha pomba. Outra maneira de decilo é que m ocos poden albergar como moito m obxectos se cada un dos obxectos está nun oco distinto, así que o feito de engadir outro obxecto forza a volver a utilizar algún dos ocos. Doutra maneira: de trece persoas, ao menos dúas naceron o mesmo mes. O primeiro enunciado do principio provén do matemático alemán Dirichlet en 1834 co nome de Schubfachprinzip (principio dos caixóns). Este principio que, a primeira vista, parece moi simple é unha ferramente moi potente na resolución de problemas e fai que, os problemas sobre o Principio do Pombal sexan unha clásico nas olimpíadas, concursos de resolución de problemas… Alicia e Covadonda sempre comezan por plantear este problema: 1. Demostrar que na cidade da Coruña, polo menos, hai dúas persoas co mesmo número de pelos na cabeza. No proceso da demostración, comparan o coiro cabeludo cunha semiesfera, calculan: a súa área e o número de pelos por cm2 e demostran que a cabeza non ten máis de 150 000 cabelos; como a poboación da Coruña ronda os 250 000 habitantes, xa queda demostrado.
Agora, unha colección deles para resolver (Matemáticas II . Anaya): Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (Düren, 1805 - Gotinga, 1859) 2. ANIVERSARIO COINCIDENTE NO IES MONELOS. foi un matemático alemán ao que se Este curso, o IES Monelos ten 462 alumnos. Demostra que, polo menos, lle atribúe a definición formal moderdous alumnos cumpren anos o mesmo día. Cantos alumnos en total están inna de función. volucrados no proceso de coincidir no aniversario? Ocupou a cátedra de Gotinga, deixaTerás que ter en conta un ano de 366 días, xa que unha alumna cumpre anos o 29 de da por Gauss trala súa morte. As súas febreiro. aportacións máis relevantes centráronse na teoría de números, series de 3. Nunha festa hai 50 persoas. Demostra que, polo menos, Fourier, demostración do teorema de dúas delas teñen o mesmo número de amigos na festa. Fermat, para n = 5 e n = 14, aplicou as funcións analíticas ao cálculo de 3. Se ABC é un triángulo equilátero de lado 2cm. Demostra problemas aritméticos e estableceu que se se elixen cinco puntos do seu interior, hai, como criterios de converxencia para as mínimo, dous puntos que distan menos de 1 cm. series. PRINCIPIO DE DISTRIBUCIÓN, DO POMBAR OU DO CAIXÓN DE
4. Os números secretos (PIN’s) das tarxetas de crédito teñen catro díxitos. Demostra que, con toda seguridade, hai dúas tarxetas que teñen o mesmo número.
DIRICHLET. Sexan m, n e p tres números na- 5. Na cuadrícula 4 x 6 do debuxo coloreamos algúns dos cadrados e outros deixámolos en branco. Isto pódese turais. Se desexamos colocar np + facer de moitas formas. Intenta atopar unha delas na m obxectos en n caixas, algunha que non se poida determinar un rectángulo cos catro caixa debe conter ao menos p + 1 vértices da mesma cor. obxectos. Tetractis 58
4
Decembro, 2011