HetSpelendeRegels
Overdegrenzenvanformeelredeneren
OratieRosalieIemhoff
UniversiteitUtrecht,dinsdag5juli2022
MeneerdeRectorMagnificus, Geachtetoehoorders,
IRedeneren
Eenvandeallermooisteenmeestintrigerendeeigenschappenvandemensishetvermogen omteredeneren.Daardoorkaneenastronoom,opgrondvandegegevensdiehijverzamelt, beredeneren daterzichopeenbepaaldeplekinhetheelaleenplaneetmoetbevinden.Een planeetdiehijnietdirectkanzien,nietheeftkunnenaanraken,proevenofruiken,maar waarvanhijtochweetdatzijbestaat.
DeplaneetNeptunusiseenvoorbeeldvaneenplaneetwaarvanmenvanhetbestaanwist voordatzijdaadwerkelijkwaswaargenomen.AandehandvandeopberekeningengebaseerdevoorspellingenvanUrbainLeVerrierontdekteJohannGalledeplaneetin1846.
Hetishetvermogenomteredenerendatdedetectiveuituwfavorietedetectiveseriein staatsteltomopgrondvanwaterisaangetroffenopdeplaatsdelictteconcluderendat demoordenaardeachterneefvanhetslachtofferisenhetmoordwapendekandelaar.Het maaktdateenartsopgrondvandesymptomenvaneenpatientkan beredeneren welkeziekte depatientheeft,nogvoordatereenbloedtestgenomenisomdattebevestigen.Alseriets duidelijkisdanishetdatredenereneenessentieelonderdeelisvanonsbestaan.
Wiskundigredenereniseenheelpurevormvanredenerenenspeeltinmijnonderzoekeen groterol.Metpuurbedoelikdathetniet“vervuild”wordtdoortastbarefeiten,zoals“het getal2weegtvijfkilo”of“hetgetal π heefteentemperatuurvan27◦ ”.Getallenhebben gelukkiggeengewichtengeentemperatuur.Doordatwiskundeoverabstracteonderwerpen gaatkankennisoverdieonderwerpennietdoorexperimentenverkregenworden.Maarwe kunneneroverredeneren,enzekerheidverkrijgenoverdegeldigheidvanonzebeweringen doormiddelvan bewijzen
Voordatikverdergametumeeroverbewijzentevertellenwilikeersteenjeugdherinnering ophalen.Toenik14jaarwasschreefmijnwiskundeleraarJanSinthetvolgendeophetbord:
Ikbeloofu,erzijnpreciestweeformulesindezelezingenditisdeeerste.
Watstaathier? n iseenwillekeurignatuurlijkgetalgroterdan0,dus1,2,....Linksvan hetgelijktekenstaatdesomvandeeerste n getallenenrechtsstaathetresultaatvande vermenigvuldigingvanhetgetal n metzijnopvolger n +1endatgedeelddoor2.Dus voor n =2staaterlinksenrechts3,envoor n =4staaterlinksenrechts10.Datklopt alvast!Stelnudat n heelgrootis,bijvoorbeeldgroterdanhetaantaljarendatdeaarde zalbestaan,danisdesomvandeeerste n getallenzoalsdielinksvanhetgelijkheidsteken staatnietmakkelijkteberekenendoordegetallen´e´en-voor-´e´enbijelkaaroptetellen.Maar opgrondvandesomstellingwetenwetochwatdeuitkomstis,namelijkdatwatrechtsvan hetgelijkheidstekenstaat: n vermenigvuldigtmet n +1gedeelddoor2.Voil`a,daarisuw antwoord,eenzeereenvoudigverkregenantwoord.
ToendeberoemdewiskundigeCarlFriedrichGauß(1777-1855)een kleinejongenwasgafzijnleraaropschoolaandeklasdeopdracht omdesomvandeeerste100getallenteberekenen.Datisnatuurlijk, wanneerjedesomstellingnietkent,veelwerk,endeleraarwasdanook zeerverbaasdtoenGaußzichinluttelesecondenbijdeleraarmeldde methetantwoord.Watbleek:kleineGaußhadbovenstaandeformule, desomstelling,zelfbedachtenbewezenenkonzorazendsneltoteen antwoordkomen.Enbovendienvoorelknatuurlijkgetal,nietalleen voorhetgetal100waardeleraarnaarhadgevraagd.Eenbekende anecdoteeneenmooiverhaal,zelfsalshetnietwaaris.Hetbewijsvan dezeformuleiskortensimpel,maarzalikhiernietgeven.(Hoewel ikbereidbenhetopeenbierviltjetereproducerenvooriedereendieer belangstellingvoorheeft.)
Toenikdesomstellingophetbordzagstaanendeleraar,opdewijzevanGauß,beredeneerdewaaromdestellingwaaris,gingereengrootendiepgeluksgevoeldoormeheen,een gevoeldateennieuwedeurinmijnlevenopende,naareeneindeloosintrigerendgebied;een deurdienooitmeerisdichtgegaan.
Indewiskundeheetzo’nredeneringdieaantoontdatietswaaris,een bewijs.Enwatikzo mooivondaandesomstellingwarennietalleendegetallenendevergelijking,dienatuurlijk vangroteschoonheidzijn,maareigenlijkvooralhetideevaneen bewijs.Vaneenredenering diezosluitendisdaternietsmeertegenintebrengenvalt.Enmooivondikhetideedat mendoormiddelvandiebewijzenwaarhedentewetenkankomenoverzoietsabstractsals degetallen.Zoalsikalzei,wekunnenzenietaanraken,proevenofruiken,omopdiemanier ietsoverzetewetentekomen,maaroverzeredeneren,d`atkunnenwewel.
IIBewijzen
Bewijzenzijnnietvoorbehoudenaandewiskundeenlaterkomenbewijzeninanderecontexten,bijvoorbeeldinpraktischetoepassingen,aanbod.Maareerstwilikietsmeerzeggen overdeaardvaneenbewijsenuitwelkeonderdelenhetbestaat.Daarbijbeginikbijeen heelvroegevormvanbewijzen,die,zoalswelvaker,teruggaattotdeantiekeoudheid.Rond 300v.Chr.gafEuclidesvanAlexandrieeen axiomatisering vandemeetkunde.Ineenwerk in13delendat Elementen heet,laatEuclideszienhoeuiteenbeperktaantalaannames alletoenbekendemeetkundigestellingentebewijzenzijn,ennogveelmeer.Eenvande
bekendestellingendieEuclidesbewijstisdeStellingvanPythagoras,waarvanuhiereen bewijszietinverschillendetalenenuitverschillendeeeuwen.Euclides’Elementenisinvele talenvertaaldeniseenzeerinvloedrijkwerkgeweest.
Inde Elementen wordtdemeetkundedusopverrassendsimpelewijze geaxiomatiseerd.Voor elkvandestellingeninde13boekenwordtaangetoonddatzijwaarisdoormiddelvaneen bewijs.Eneenbewijshierbestaatuitaannames,axioma’sgenoemd,en redeneerstappen die totdeuiteindelijkestellingleiden.
Omdecorrectheidvanhetbewijstegaranderenmoetende axioma’sevidentzijnenderedeneringenbovenelketwijfel verheven,deredeneringenmoeten logisch zijn.Ergensinhet bewijsvermelden“Nugebeurtereenwonder,endaaromis x2 >y”,isamusant,maarvormtgeensluitendbewijsvan debewering.NaardehuidigemaatstavenblijftEuclidesin gebrekewaarhethetexplicietmakenvandelogischeredeneerstappeninbewijzenbetreft.
Hetisbelangrijkomheelkortietsoverdieredeneerstappen tezeggen,overde logischegevolgtrekkingen,diesameneen zogenaamde logica vormen.Zonderdietermendaadwerkelijk tedefinieren,kunnenzegeıllustreerdwordenmeteenvoorbeelddattevenslaatziendatlogischredenereneendagelijkse bezigheidisenbepaaldnietbeperktistotdewetenschap.
Stel,ukomtthuis,opentdedeurmetuwsleutel,doetin dehaluwjasuitenlooptdoordehalnaardekeukenom uwboodschappenuittepakken.Daarmerktudatuuw huissleutelkwijtbent.Ubedenkt:ikhadhemnogtoenik dedeuropendedus desleutelmoetindehalofindekeuken zijn.Uhaaltdekeukenoverhoop,kandesleutelnietvinden enconcludeert:desleutelis nietindekeuken,dusdanmoet die indehal zijn.
Ditishetsoortredeneringwaarbijjeuitroept:Ja,logisch!Dergelijkeredeneringenvoelen alsboventwijfelverheven,als absoluut.Ubentzelfszozekervandelogischeredeneringdat uliever´alhetandereintwijfeltrektdandat.Alsudesleutelnietindehalzouvinden danzouunietdenkendatuwredeneringonjuistis,maarweldatumisschiennietgoed genoeggezochtheeftendesleuteltochindekeukenis.Opditheerlijkegevoelvanabsolute zekerheidvaltvolgensslimmefilosofenvanallesaantemerken,maardaarovereenandere keer.
HetwarenditsoortlogischeredeneringendieinEuclideseigenlijknogniettevindenzijn, althansnietexpliciet.Hetduurdetoteindnegentiendeeeuwvoordatonderdeelvaneen bewijsexplicietwerdbenoemd,bestudeerdengebruikt.
Overigenskandekeuzevanzoweldeaxioma’salsdelogischeredeneerregelsallesbehalve voordehandliggendzijn.BijvoorbeeldhetvijfdeaxiomaindeElementen,het parallellepostulaat,wordtalsminderevidentbeschouwddandeoverigeaxioma’s.Euclidesprobeerde hetgebruikervaninzijnbewijzentevermijdenwaardatmogelijkwas.Wanneerhetparallellepostulaatvervangenwordtdoordeontkenningervanendeandereaxioma’sinde Elementen blijvengelijkdanvormthetresultaateenaxiomatiseringvandeniet-Euclidische meetkunde,demeetkundewaarmeeAlbertEinsteinin1916zijnAlgemeneRelativiteitstheoriekonformuleren.
Watbetreftdemoeilijkheidvanhetkiezenvandelogischeredeneerregels;eenvandegrootsteNederlandsewiskundigen,LuitzenEgbertusJanBrouwer(1888–1966),hadeenandere opvattingoverwiskundigredenerendandegebruikelijke,het intuıtionisme.Uitleggenhoe daarmeeooklogischredenerenvanvormverandertvoerthiertever,maarwatbelangrijkis, ishetbesefdatzelfsoverdegeldigheidvaneenlogischeredeneringverschillendeopvattingen kunnenbestaan.
Totslotvandithoofdstukwilikopmerkendatikhiernadrukkelijknietoverhet feilbare menselijkredenerenpraat.Datiedermensafentoeonlogischredeneert,somsmeteen goedereden,mogeduidelijkzijn.Hoeenwaarommensen onlogischredenereniseenboeiend onderwerp.Erisveelonderzoekgedaannaarmenselijkredeneren,enhetwereldberoemde Thinking,FastandSlow overhetwerkvanDanielKahnemanenAmosTversky,geefttalloze voorbeeldenvanhetonlogischeof,zoalsikstiekemdenk,alleenmaar schijnbaar onlogische menselijkredeneren.Ookisdeafgelopenjarendoordeopkomstvaneenbepaaldslag politicideaandachtvoordrogredenerenaangewakkerd.Genoegredenenomdatonderwerp tebestuderen.Maarnietvandaag,vandaagzonnenweons,behalveindezonvanhet logovandezeuniversiteit,ookinhetgeldige,correcte,juiste,zuivereenga-zo-maar-door redeneren.
IIIFormeelRedeneren
Webegonnenmetredenereninhetalgemeenenbelanddenbijdewiskunde,dieonsleidde naareenheelverfijndeenabsolutevormvanredeneren,namelijkhetbewijzen,enzagen waaruitdiebewijzenbestaan.Naasthetnietbenoemenvandelogischeinferentiesiser nogeenanderaspectvanredenerendatinEuclides’ Elementen opvallendafwezigis.De bewijzeninhetboekzijnniet formeel. Veelkinderenmakeneenfasedoorwaarinzeeeneigentaalwillenontwikkelendiezeexclusief
meteenvriendinnetjedelenendiezeinstaatsteltinhetbijzijnvanhunoudersoverzaken tepratendiehunoudersnietmogenweten.Eenformeletaalisookzo’nartifici¨eletaaldie wordtontwikkeld,nietomonzeoudersomdetuinteleiden,maaromeenbepaaldfenomeen formeel,datwilzeggenindietaal,tebeschrijven.
Een formeelsysteem iseensysteemgeformuleerdineendaarbijbehorendeformeletaal. Dezelezingistekortomaanallevormenvanformelesystemenrechttedoen.Ikbeperkme daaromhiertothetvolgende.Deformelesystemendieikhierbespreekzijn bewijssystemen, systemenvanaxioma’senafleidingsregelsgeformuleerdineenofandereformeletaal.
Formeelredeneren wordtdanopgevatalsredenerenineendergelijksysteem.Ookhier simplificeerikaanzienlijk,wanterzijnallerleibewijssystemenmeteenanderevormenmijn eigenwerkbeperktzichniettotdesystemendieikhierintroduceer,oftotbewijstheorie uberhaupt,maarvoorwaterhiervolgtvolstaateendergelijkebeperking.
Eenvoorbeeldvaneenafleidingsregelendiensformaliseringisdevolgendelogischeinferentie, diezowelinnatuurlijkealsinformeletaalisweergegeven:
Degevolgtrekkingzegtdat A geconcludeerdmagwordenalsdeuitspraak A of B waaris endeuitspraak B onwaaris.Wanneer A voordeuitspraak desleutelisindehal staaten B voordeuitspraak desleutelisindekeuken,dangeeftbovenstaandeinferentiepreciesde redeneringweerinhetvoorbeeldhierboven.(Ukuntoverigensopgeluchtademhalen,dit wasdelaatsteformuledieuvandaagzultzien.)
Destudievanbewijzenenbewijssystemenheetde bewijstheorie.Debewijstheorieisdusin zekerezineenvormvanredeneren over (formeel)redeneren,vanredenerenoverbewijzen. Formeelredeneren iseenietsbrederetermdieikookgeregeldgebruik,alsdatwatikzeg ookinbrederezingeldt.
Formeelredenerenheeftdeafgelopenhonderdvijftigjaareengroterolgespeeldinallerlei gebiedenindewetenschap,enbewijssystemeninhetbijzonderzijneenmanieromeenveelheidaanonderwerpeninwiskunde,filosofieeninformaticatebestuderen,meerhieroverin HoofdstukV.Inhetvolgendehoofdstukbespreekikkortenkeleredenenvoorhetformaliserenvanredeneren.Maareerstwilikalsslotvandithoofdstukeenmisverstanduitdeweg ruimen.
Wanneerstudentenmoetenlerenomeenuitspraaktebewijzenineenformeelsysteemdan ervarenzehetfeitdatzealleenmaarderegelsvanhetsysteemmogengebruiken,ennietalle overigekennisdiezebezitten,alsofhunhandenopderuggebondenzijn.Zijzieninwaarom eenbepaaldestellingwaaris,althansinhetmeestgunstigegeval,maarzeziennietinhoeze datmetdebeperktemiddelenvanhetsysteemkunnenbeargumenteren.Heelfrustrerend. Indieomstandigheidlijktdebeperkingeennadeel,ietsnegatiefs.Maarbeperkingkan,ook indiesituatie,juisttotinzichtenschoonheidleiden.
Ikhoudzeerveelvanpoezieenvanallerleisoortendichters,maarvanallesoortengedichten houdikmisschienwelhetmeestvansonnetten.Waarom?Sonnettenhebbeneenlange traditie,zoalsbekendschreefShakespeareprachtigesonnetten,enhedendaagsedichters zoalsJeanPierreRawieenIljaLeonardPfeijfferzettendietraditievoort.Maarikhoud voornamelijkvansonnettenomdatzezo’nbeperkingopleggenaandedichter.Diewiliets verwoorden,maarmoetdatdoeninveertienregels,metnogallerleieisenaanrijmenritme bovendien.Enjuistdatheeftinmijnogendemooistegedichtenopgeleverd.Totzoverover schoonheiddoorbeperking.
IVWaaromFormaliseren
Terugkerendnaarformelesystemenvaltopdater,heelinhetalgemeen,tweeredenenzijn waaromzeontwikkeldworden.Endietweedelingiseigenlijkinhethelegebiedvande bewijstheoriezichtbaar.Hetgaatomwatik brede en smalle formalisatienoem.Waarbij hetinheteerstegevalmeestalgaatomformelesystemendieeentheoretischdoeldienenen inhettweedegevalomsystemendievanpraktischbelangzijn.
In brede formalisatiegaathetombewijssystemendieertoedienenomdewiskunde veilig testellen.Veiligvantegenspraken.Omdatdewiskundegaatoverabstracteobjectenishet nietmakkelijkuittesluitendatdeaannamesdiemenoverdieobjectenhanteerttoteen tegenspraakleiden.HoewetenwewaternogallemaalmeeruitEuclides’axioma’svolgtdan datwaterinde Elementen staat?Eenbewijssysteemdatpreciesdemeetkundebeschrijften waarvanweinziendathetgeentegensprakenafkanleiden,zoudemeetkunde,hoeabstract ook,veiligstellenvancontradictie.
DavidHilbertKurtGodel (1862–1943)(1906–1978)
DewiskundigeDavidHilbert(1862–1943),eenvandegrootstewiskundigenvanzijntijd, formuleerdedezemethodeomdewiskundeveiligtestellenindeeerstetweedecenniavan devorigeeeuw,ineentijddatdewiskundesteedsabstracterwerdenerbovendienparadoxenontdektwerdeninaxiomatiseringenvandewiskunde.In1931bleekdatdoel,om dewiskundeveiligtestellen,nietalleennietbinnenonsbereikteliggen,maarfundamenteelonmogelijk.DatwerdbewezendoorKurtGodel(1906–1978),degrootstelogicusvan zijntijd.Datresultaat,waarikalsderdejaarsstudentwiskundeaandeUvAmeekennis maakte,wasweerzo’ndeurinmijnbestaanenheeftertoegeleiddatdestudievanbewijzen
enbewijssystemen,eninhetverlengdedaarvanvanformeelredeneren,zo’ngroterolinmijn onderzoekinneemt.
Hoeweldebewijstheoriedewiskundedusnietveiligkanstelleniszeuitgegroeidtoteen vandegrotegebiedenindewiskundigelogica,met,sindsdeopkomstvandecomputer, tallozenieuweafzetgebiedenindeinformatica,dekunstmatigeintelligentieendetaalkunde. Daarmeeishetontstaanvandebewijstheoriehetverhaalvaneenvandemeestsuccesvolle ondernemingenindewetenschapdiegebaseerdzijnopeen verkeerd idee.
In smalle formalisatieishetdoelvaakveelpraktischerdaninbredeformalisering.Het betreftnietmijneigenonderzoek,maareengoedvoorbeeldomdatteverduidelijkenis modelchecking,eenvandegrootsteennuttigstetoepassingsgebiedenvandelogica.Stel erissoftwareontwikkelddieeenlogistiekprocescoordineert,zoalsdevliegbewegingenop Schiphol.Deontwikkelaarvandesoftwarewilwetenofdesoftwareveiligis,bijvoorbeeld datnooittweevliegtuigeninbotsingkunnenkomen.Daartoemoetopgrondvandecode waaruitdesoftwarebestaatberedeneerdwordendateendergelijkeonveiligesituatiezich nooitkanvoordoen.Degroottevandesoftwaremaakthetwenselijkdatdatredeneren geformaliseerdwordt.Ditiseeninstantievan modelchecking:eriseenwiskundigmodel geformuleerdwaarmeevastgesteldkanwordenofbepaaldeeigenschappengeformuleerdin eenzekereformeletaalgeldeninhetmodel.Nuspelensemantischemethodeseengroterol inditgebied,maarbewijssystemen(inditgevalvoortemporelelogica’s)wordenookals gereedschapgehanteerd.
Bovenstaandvoorbeeldlaatzienhoeinsmalleformalisatiebewijssystementoepassingen hebbenindeinformaticaendaarmeeeenvoorbeeldzijnvandepraktischetoepassingendie theoretischonderzoekkanhebbeningebiedendietoendetheoriegevormdwerdnognieteens bestonden.(Ikrichtmemetdezeobservatieoverdeheilzaamheidvantheoretischonderzoek nadrukkelijktotiedereenindezaaldieinvloedheeftophettoekennenvanonderzoeksgeld.)
Formeelredenerenspeeltookeenbelangrijkerolindekunstmatigeintelligentie.Naast devoordehandliggendetoepassingendiehetdeeltmetdeinformatica,isernogeen opmerkelijkerolweggelegdvoorformeelredenereninkunstmatigeintelligentie.Namelijkin devormvaneendebatoverdevraagof,enzojawelke,rolformeelredenerenheeftinde kunstmatigeintelligentie,zoalsdatrecentelijkookintweeoratiesindezezelfdeaulawerd benoemd.Datdebatvolgikmetgroteinteresse,maaromdathetmindermetmijneigen onderzoektemakenheeftlaatikhethierbij,hoewelikergraageenhelemiddagoverzou willendoorpraten.
Totslotwiliknogkortderolvanbewijstheorieindefilosofienoemen.Daarwordtzein sommigegebiedengebruiktomeenfilosofischbegripteisolerenenvasttestellenwat,los vananderenoties,geldtvoordatbegrip.Datkantotverhelderingeninteressanteinzichten leiden,hoewelhetzeerzekernietdeenigemanierisomietsfilosofischteonderzoeken.Veel filosofieis,terecht,vrijvanformelemethoden.
Mijnonderzoekgeldtzoweldebredealsdesmalleformalisatie.Inbredeformalisatiebestudeerikformeletheorieendieniet-klassiekzijn,inhetbijzonderconstructievetheorieen, zoalsdievanderekenkundeendeverzamelingenleer.Daarisdestudievaneenformele
theorieonderdeelvanhetonderzoeknaardegrondslagenvandewiskunde.Watdatprecies betekentisstofvooreenanderegelegenheid.Insmalleformalisatieisdepreciezevormvan bewijssystemenessentieelenzijnkleineverschillenintaalofaxioma’sbelangrijk.Zozou jekunnenzeggendatinbredeformalisatiemijninteressebijdeinhoudligteninsmalle formalisatiebijdevorm.
VKeuzesbijFormaliseren
Bijhetformaliserenvanredeneren,ofhetnubreedofsmalis,moetenereenaantalkeuzes gemaaktworden:ermoeteenformeletaalgekozenworden,diebepaaltwatwelenniet uitdrukbaaris,endeaxioma’senlogischeregelsvanhetbewijssysteemmoetengekozen worden.Voorelkvandieonderdelenisdekeuzeeindeloos.Eenanalogiemet GoogleMaps iswellichtinstructief.Wanneererin GoogleMaps zoektermenwordengegeven,zeg“academiegebouwUtrecht”,danverschijnthetstratenplanrondditgebouw(delinkerafbeelding hieronder).Erzijnstraatnamentezien,maarbijvoorbeeldgeencaf´e’sofboekwinkels,die zijnnietformeelweergegeven.Echter,doordezoekterm“coffee”toetevoegenwordendie opeenswelzichtbaar(derechterafbeeldinghieronder).Zokunjespelenmetdematevan detaildieopdeplattegrondwordtweergegevenenopvergelijkbaremanierkunjespelen metdekeuzevaneenformeletaal.
Uiteraardhangendekeuzesvooreenbewijssysteemafvanhetdoelvandeformalisering.In hetgevalvanbreedformaliserenisexpressiviteitbelangrijk.Hetformeleredenerenmoeteen nietaltegrotevereenvoudigingvanhetoorspronkelijkeredenerenzijn.Ineenbewijssysteem voordenatuurlijkegetallenishetbijvoorbeeldgewenstdatveeleigenschappenvande natuurlijkegetallenuitdrukbaarzijnindeformeletaal.Diemoetdaaromexpressiefzijn, rijkaanuitdrukkingskracht.
Inhetgevalvansmalformaliserendaarentegenishetbelangrijkdathetbewijssysteem efficientis,datwilzeggenmetgoedecomputationeleeigenschappen,zodatdebewijzenniet zolangzijndatzeindepraktijknuttelooszijn.Wanneermenwilvaststellenofbepaalde softwareveiligis,daniseenbewijssysteemdatlangerdandeleeftijdvanhetheelalnodig heeftomtoteenantwoordtekomenvangeenenkelnut.
Gegevendezetweedelinginformeelredeneren,breedenexpressiefversussmalenefficient, ligtdevraagvoordehandofhetnietallebeikan,bijvoorbeeldeenbewijssysteemvoor logischredenerendatzowelexpressiefalsefficientis.Eenvandegroteprestatiesuitde vorigeeeuw,vanAlanTuring(1912–1954),ishetinzichtdatzo’nsysteemnietkanbestaan. Ermoetophetgebiedvaneffici¨entieofophetgebiedvanexpressiviteitingeleverdworden. Datmaakthetformaliserentoteensubtielebalanceeract.
Wanneerdeformeletaaleenmaalgekozenis,danzijndemogelijkhedenvoordekeuzevan eenbewijssysteemnogsteedsoneindig.Ofhetnuomgetallengaat,eenfilosofischfenomeen zoals verantwoordelijkheid,ofsoftware,erzijn,zelfsindezelfdetaal,altijdoneindigveel manierenomietstebeschrijven,netzoalseenzelfdepersoondoortweeschilders,Velasquez
enBacon,optweeheelverschillendewijzeweergegevenkanworden,ofzoalshetliedje All AlongtheWatchtower,doortweeverschillendezangers,bijvoorbeeldDylanenHendrix,heel verschillendgezongenkanworden.
PausInnocentiusXDiegoVel´asquezFrancisBacon (1599–1660)(1909–1992)
Deonbegrensdheidvanmogelijkebewijssystemenillustreerikmeteenvoorbeeldvande onbegrensdheidvandeaxiomakeuze,deoverigekeuzesdieertemakenzijnkomeninhet volgendehoofdstukaanbod.
Eenbewijskanbeschouwdwordenalseenargumentwaarmeeueenander,latenwedie de tegenstander noemen,moetovertuigenvandewaarheidvaneenofandereuitspraak. Datwilzeggendatdetegenstanderuwaannames(deaxioma’s)moetaccepterenalsmede uwredenering.Wanneerechterdetegenstandereenvanuwaannamesnietaccepteert,dan moetueenonderbouwing,eenbewijs,gevendiedetegenstandervandieaannameovertuigt.
Echter,inhetnieuwebewijsfungerenweernieuweaannamesdiedetegenstanderintwijfel kantrekken,enwaarvooru,indatgeval,opnieuweenonderbouwingenmoetproduceren, enzovoort.
Eenmijdierbaarvoorbeeldvanditfenomeen,eneenmodernevariantopBertrandRussell’s It’sturtlesallthewaydown,isvandehandvandeAmerikaanse comedian LouisC.K: Waarom?1
kind:Papa,waaromgaanwenietnaarbuiten?
vader:Omdathetregent. kind:Waarom?
vader:Omdatwateruitdeluchtvalt. kind:Waarom?
vader:Omdathetineenwolkzat. kind:Waarom?
vader:Wel,wolkenvormenzichuitwaterdamp. kind:Waarom?
vader:Datweetikniet.Datisalleswatikweet. kind:Waarom?
vader:Omdatiknietvoldoendehebopgeletopschool. kind:Waarom? . . .
kind:Waarom?
vader:Omdatsommigedingenzijn,enanderenietzijn!
1 VrijvertaaldnaarLouisC.K.
Watditalleslaatzien,naastdeincidentelewanhoopvandegoedbedoelendeouder,isdat eenaxiomaaltijdalseenvraagomeennieuwerechtvaardigingbeschouwdkanworden.In eenbewijsmoetaltijdergensbegonnenworden:bijaxioma’s.Endiekeuze,debeslissing omhet Waarom? aftebrekenenteponeren“ditiseenaxioma”isaandeontwerpervan hetformelesysteem.
Hetfeitdaterzoveelmogelijkhedenzijnbetekentnietdatdeenekeuzeevengoedisals deandere.Bijsmalformaliserenendepraktischetoepassingendiedatheeftbehoeftdat denkikgeenuitleg.Maarookbijbreedformaliserenisdekeuzebelangrijk,omdateigenlijk elkekeuzeeenbepaaldekijkophetonderwerprepresenteert,netzoalsbijdekeuzetussen beeldhouwenenschilderen.Tegenwoordigzijnerbijvoorbeeldenkeleopvattingenvande wiskundedieeenwezenlijkanderekijkopdewiskundevoorstaan,zoalsdeverzamelingenleer endecategorietheorie.Menkandecategorietheoriezienalseenopvattingwaarinerveel structuurisendebegrippenalshetware uitgehakt worden,terwijlerbijdeverzamelingenleer minderstructuurisendebegrippenalshetwarevanonderaf opgebouwd worden.Eenbeetje zoalshetverschiltusseneenbeeldhouwereneenschilder.
Dergelijkeverschillenzijngeenniemendalletjes,maarstaanvooreenwezenlijkandereopvattingvandeaardvandewiskunde.
Wezagendatdekeuzesdieinbreedformaliserengemaaktwordenvaakfundamenteelvan aardzijnendieinsmalformaliserenvaakvanpraktischeaard.Maarinbeidegevallengeldt: Doordegrotekeuzeaanformelesystemen,zoalszojuistbesproken,dringtdevraagzichop hoeje,gegevenhetdoelvandeformalisatie,kuntinziendathetgekozenformelesysteem goedis,wellichtzelfshetbeste.Endatbrengtonsbijhetlaatstehoofdstuk,waarinwede grenzenvanformalisatieopgaanzoeken.
VIGrenzenvanFormaliseren
Menzegtwel“Jemoetjegrenzenopzoeken.”.Datmogeinsommigesituatieswaarzijn,in andereishetdatzekerniet.Maarinformalisatieishetzoekennaardegrenzenzeerzeker w´elvangrootbelang.Eenfeitdathelaasnogonvoldoendebekendisenwaaraanikvandaag hoopietsteveranderen.
Eendeelvanwatikindithoofdstukbespreekheeftbetrekkingnietalleenopformeelredenerenmaaropformalisatieinhetalgemeen.Daarmeeheeftditpleidooivoorhetzoeken naareengoedeformaliseringdoormiddelvanhetopzoekenvandegrenzenookbetrekking opformelesystemendienietoverredenerengaan.
Hetisvaaknietmakkelijkomeengoedeformalisatievaneenbegriptegeven,watmisschien deredenisdatkennisvanalternatieveformalisatiesofinzichtin´allemogelijkeformalisatieszeldenvoorhandenis.Maareendergelijkinzichtisw´elwenselijk.Teneerstezijn verschillendeformalisatiesalsdeverschillendegezichtspuntenvanwaaruitietsbeschouwd kanworden.Enaldieverschillendegezichtspuntengeveneenveelvolledigerbeelddan slechts´e´enformalisatiedoet.Tentweedeisdekwaliteitvaneenformalisatie,dienatuurlijk
HenrySpencerMooreJoanMir´obepaaldwordtdoorhetdoelervan,relatiefenkanhetlonenommeerdereformalisatieste beschouweneninkwaliteittevergelijken.
Endatzijnslechtstweevandeveleredenen.Hetbestuderenvanallemogelijkeformalisaties vaneenbegripishet verkennen vande grenzen vanhetformaliserenvandatbegrip,vanwat erformeelmogelijkis.Hetopzoekenvandiegrenzen,enhetdaartoe spelen metmogelijke formalisaties,kanopallerleimanieren.Tweedaarvanzijnspeciaalbelangrijkinmijnwerk. Zezijninprincipevoorzowelbreedalsvoorsmalformaliserenvanbelang;welkemanier uiteindelijkdenuttigsteishangtafvanhetdoelvandeformaliseringenverschiltvangeval totgeval.Ikzaldetweemanierenuitleggenaandehandvanlego.
Jekuntallemogelijkehuizendiejemetlegokuntbouwenzienalsverschillendeformalisaties vanhetbegrip huis indezelfdeformeletaal,lego.
Aldieformalisatieskunjeinhunformeleeigenschappenmetelkaarvergelijken:hoeveelsteentjesieder huisheeft,hoeveelkleuren,etcetera.Zokunjehet vergelijkenvandebewijssystemenineenzelfdeformeletaalookbeschouwen.Zulkonderzoeknoemik hetopzoekenvande binnengrenzen (binnen eenspecifiekeformeletaal)vanformalisatie.Somsgaathet omformalisatiesnietin´e´enmaarineeneindigaantal formeletalen,maardatisvoorwatikgazeggenniet belangrijk.Debinnengrenzenzijnvaakvangroot belangindepraktischetoepassingenvansmalformaliseren.
Ikhebdeafgelopenjarenmetmijnonderzoeksgroepeennieuweonderzoekslijnuitgezetvoor hetverkennenvandebinnengrenzenvanformeelredeneren,inonsgevalvanbewijssystemen. Wehebbenveelgespeeld.Maarookandereonderdelenvanmijnwerk,zoalsdetoelaatbare regelsvantheorieen,kunneninhetlichtvaneenverkenningvandebinnengrenzengezien worden.
Terugnaarhetvoorbeeld.Beschouwnu´allemogelijkeweergavesvanhuizen,nietalleen doormiddelvanlego,maarookdoormiddelvankleiofmetpenoppapierofopeenandere wijze,waarbijdekwaliteitvandieverschillendeweergaveswordtbepaalddoordewijze waaropzehetinformelebegrip,inditgeval huis,weergeven.
Deanalogiehierishetvergelijkenvanbewijssystemen (innietnoodzakelijkdezelfdeformeletaal)intermen vanhetinformelebegripdatzebeideformaliseren.Dit onderzoeknoemikhetopzoekenvande buitengrenzen (buiten ´e´enspecifiekeformeletaal)vanformalisatie. Zokunjejeafvragenofdeverzamelingenleerdanwel decategorietheorieeenbetereformalisatievandewiskundevormt.Debuitengrenzenzijnjuistvoorbrede formalisering,waarbijjegetrouwwiltzijnaandewerkelijkheid,vanbelang,hoewelhetkennenvandebinnengrenzendaarooknuttigkanzijn.
Wezagendatbijhetverkennenvandebinnengrenzen devraagformeelis:hoeverhoudenverschillendeformalisatiesvaneenbegripzichformeeltotelkaar?Bijde buitengrenzen isdesituatieheel anders.Hierisdevraaghoe,vooreeninformeelbegrip,zoalshetwiskundigebegrip functie ofhetfilosofischebegrip verplichting,verschillendeformalisatiesvandatzelfdebegripzich totelkaarverhoudenmetbetrekkingtotdatinformelebegrip.Juistdoordatdevraageen informelenotiebetreftkanergeenvolledigformeelantwoordopgegevenworden.Ikkan niet formeelbewijzen datconstructieveverzamelingenleereenevengoedeformalisatievan hetbegrip functie geeftalsMartin-L¨oftypentheorie.
Ikkanechterweltrachtenhetinformeelteonderbouwen.Maarhoe?Doortespelen: formaliseerhetinformelebegrip(functie, verplichting)opallerleiverschillendemanieren, weesinventief,enstelvastofdieverschillendeformaliseringen(d.w.z.verschillendemanieren vankijken)precieshetzelfdebegripdefini¨eren.Alsdatzoblijkttezijn,danvormtdateen steentjeindeonderbouwingvandethesedatbeideformalisaties juist zijn.
Eenvoorbeeldvaneendergelijkesituatiezijndeverschillendeformalisatiesvanhetbegrip berekenbaarheid dieAlanTuringenAlonzoChurchonafhankelijkvanelkaargavenin 1936.Dezeformalisatiesblekenlaterequivalenttezijn,waarmeedeintuıtiedatbeideeen goedeformaliseringvanhetbegrip berekenbaarheid vormenonderbouwdwordt.Dezeop de Church-TuringThese geınspireerdemethodegeeftonseenhandvatomdebuitengrenzen vanformalisatieoptezoeken.
Debuitengrenzenverkennenisnietmakkelijkenhoewelermooieresultatenzijn,zijnheter nietveel.Eenvandemeerfilosofischeonderzoekslijnenbinnenmijnonderzoeksgroeplijkt daar,hoewelnietmetdatdoelontwikkeld,ietsovertezeggen.
HetSpelendeRegels
Ikhoopdatikheblatenziendathetvoorhetgoedformaliserenvanredenerenbelangrijk isomtespelenmetverschillendeformalisaties.Enom,alspelende,debinnen-enbuitengrenzenvanformalisatieteverkennen.Alseenformalisatieeenmaalgevondeniskuntu zichaltijdnogaanderegels(vandatformeleredeneersysteem)houden.Enalsuvooraf voldoendegespeeldhebt,danweetudathetformelesysteemwaaropubentuitgekomen goed is,enishetduidelijkwaaromuzichaanderegelsdaarvanmoethouden.
Maarumagookgewoondoorspelen,alsudatlieverdoet.
Dankwoord
Erzijnveelmensenomtebedankenenhetvolgendeisslechtseensummieresamenvatting vanwatikeigenlijkallemaalzouwillenzeggen.
Mijnleermeesters.Albert,inmijnacademischelevenbenjijinallerleihoedanigheden belangrijkgeweest:alsco-promotor,alsbaas,enalsnaastecollega.Ikhebveelgeleerdvan allemeanderendegesprekkenwaarinjejouwlichtlietschijnenoptalvanonderwerpen,van filosofietotkroketten.
Dick,jijonderweesmetoenikpromovenduswasindeniet-klassiekelogica’s,enjelietme vrijmijneigenwegtegaan.Jegedetailleerdecommentaaropmijnwerkheeftmeaanhet beginvanmijnwetenschappelijkelevenveelgeholpen,ensamendanseninTbilisiiseen mooieherinnering.
Mijnbelangrijkstebuitenlandseleermeesters,SamBuss,LevBeklemishevenMatthiasBaaz, zijnhiernietaanwezig,maarikwilhunnamennoemen.
HetdepartementFilosofieenReligiewetenschap:watzalikdaarvanzeggen?Ikkanzeggen hoeknapiedereenisenhoegedegenhetonderzoek.Maarikwileigenlijkvooralzeggendat hetzo gezellig is.Erhangthetsoortcollegialeatmosfeerdie,denkik,maaktdatvelenvan onsmetzin,ofopz’nminstzondertegenzin,naarhunwerkgaan.
Daniel,jijbenthoofdvanhetdepartement,enookeennaastecollega.Doorjouworiginele, heeleigen,maniervanbesturenbenikvoorheteerstgaaninzienhoeleukenonhierarchisch besturenkanzijn.
DevakgroepTheoretischeFilosofie.LetmedothisoneinEnglish:TheTheoreticalPhilosophygroup.Whatanicebunchofpeople!Itisapleasuretobeheadofthisgroup.
Janneke,wijzijnalcollega’szolangikinUtrechtben,ensindsvelejarenkamergenoten.
Alonzetallozevluggeoflangegesprekkenoverwerk,ensomsoverietsanders,waardeerik zeer.
Andthenmyresearchgroup:Iris,Robin,Raheleh,Takahiro,anduntilrecentlyAmir.What funwehavetogether!Ienjoyworkingwithyou,andIalsoenjoyseeingyougrowintofine researchersthatIamextremelyproudof.
Ikhebgeenheelgrotefamilie,maarhetgezegde kleinmaarfijn isophenmaaraltezeervan toepassing,enmijndrienichteninAmersfoortalsookmijnlieveschoonmoederinHeiloo zijndaargoudenvoorbeeldenvan.
Mijnouders,EverdineenWillem,kunnendoordoodendementiehiernietaanwezigzijn. Zewarenvasttrotsgeweest,maardatwarenzegelukkigookgeweestalsikg´e´enhoogleraar wasgeworden.
Ikzieopallerleiplekkenindezaalvriendenzitten.Julliezijnhetzoutindepap.Twee vriendinnenwilikinhetbijzondernoemen:Annette,jouwtomelozelevenslustisaanstekelijkenmaaktmealtijdblij.Heleen,jouwweloverwogenoordeelenwarmeaandachtzijn essentieelvoormij.
Bas,wijgaansamendoorhetleven.Waaraanikdatgeluktedankenhebweetikniet,maar ikweetweldatvanalleplekkenopaardeikhetaller-allerliefstebijjouben.
Ikhebgezegd.