Hvad er GONG? … om foreningen GONG og alle de muligheder som den forhåbentligt vil åbne op for, kunne man orientere sig om i sidste Harmonix-medlemsblad, men hvad med instrumentet gong? Etymologisk er navnet gong vistnok beslægtet med tam-tam. Begge ord er såkaldte onomatopoietika, hvilket omtrent vil sige så meget som lydefterlignende ord. Læg mærke til at begge ord ender på en stemt konsonant med relation til mundhulens formanter: M hører til 3. formant, læbeområdet, mens Ng-lyden opstår i første formantområde, hvor bagtunge og blød gane mødes… det er lyde som man kan nynne på, vibrere sig ind i.
I moderne instrumentlære er det med tamtam og gong som med dromedar og kamel: der er en pukkel til forskel. Den kan man finde i midten af gongen, hvor det også er det område, som man anslår med en blød kølle. Tam-tammen er mere flad, men begge er principielt store og cirkulære med en ombukket kant, hvor ophænget er gjort gennem to huller, så hele pladen kan vibrere frit… OG HVILKEN LYD!!! - Måske ville det være en ide som præmieopgave her i bladet for ambitiøse sprogkunstnere og klangelskere at beskrive denne komplekse, rystende, mægtige og på en gang både bløde og splintrende lyd, hvor
det ikke altid er til at lokalisere en grundtone. Nogle af klangens elementer synes at falde, mens andre stiger, og man kommer i tvivl, om al denne lyd kan holdes samlet. Når vi hører en stor gong kommer vi måske til at tænke på noget stort ceremoniel i forbindelse med en kinesisk kejsers ankomst til sit palads, og det er da generelt også netop i Kina samt i sydøstasien: Java, Indonesien, Malaysia, Bali og Thailand, hvor man mest har udnyttet mulighederne i gonger og beslægtede instrumenter. At klangen kan give mindelser om noget stort og mægtigt, ja sågar kosmisk skabelse, er ikke helt ved siden af, hvis vi tager de analytiske briller på. For i endnu mindre grad end andre tre-dimensionale vibrerende legemer (klokker bl.a.) kan vi fortolke lyden blot som resultatet af en primærtone med dens medsvingende overtoner. Vi må operere mindst med et par forskellige primærtoner, og derudover bliver overtonerækkerne trukket lidt ud af stemning i forhold til de rene intervaller pga. materialets vægt og de indbyggede spændinger… lyden bliver så speciel at man må lade de vante forestillinger om vellyd og harmoni fare og i stedet overgive sig og leve med i den store vibration. - Big Bang var ikke bare et engangsknald, men GONG!!!! - Vidste du i øvrigt, at verdens største gong blev fremstillet i Århus for henved 10 år siden af den meget originale gong-mager og percussionist, waliseren Steve Hubback, hvis smukke instrumenter du kan kigge på ved at klikke dig ind på følgende net-adresse: www.hubgong.dse.nl En anden spændende gong-spiller er tyskeren Jens Zygar, som har udgivet CD på Fønix Musik og tilmed skrevet en bog om gonger. Endelig skal vi heller ikke glemme Bjarne Villy Larsen herhjemmefra, som foreningens medlemmer får muligheden for at hilse på til november. /S.L.
Digte af Rumi
/Bodil Claësson
I april udkom der på Aschehougs Forlag en digtsamling på dansk af Jeláluddin Rumi, en Sufi-digter fra 1200 tallet, oversat af Folmer Leide. Vi har fået lov at bringe et par udpluk, der handler om sangen. Det er måske på sin plads at starte med at citere oversætteren for at fortælle, at Rumis værker er gennemsyret af vers, der priser Gud. Hvorfor skabte Gud verden? Rumis svar er den kendte hadith (digtform): Jeg var en skjult skat og ønskede at blive kendt, så jeg skabte mennesket, for at jeg kunne blive kendt." Det betyder, at skatkammeret af evig visdom ønskede at blive set og genkendt: Hele den Guddommelige Kærlighed og Nåde skulle åbenbares! Og herefter længes alt på jorden efter at træde i eksistens: videnskabsmanden vil fremvise sine resultater, oversætteren sit arbejde, kirurgen sin operation og elskeren vil vise sin kærlighed og de troende hylde Gud og fejre livets mangfoldige rigdom. Hele verden er skabt for Guds skyld; den er vid og rummelig og hvert blad på træerne, hver fugl i buskene priser Guds storhed og ytrer tak for, at Han giver dem føde. Overalt i de seks retninger er der tegn på Hans generøsitet; alle partikler er Hans hær, som handler for Ham – hvad enten de kaldes ild, vand, vind eller jord eller hvad som helst andet. Rumis skrifter rummer en løbende dialog mellem den Gud, som har skabt verden, og som i hvert øjeblik skaber noget nyt fra det ikke-eksisterende, og os. Det kan være en fremmed og anderledes tankegang for os at fejre og glædes over livets mangfoldige rigdom og lovprise Gud i hverdagens dagligliv, men for Rumi er det livets selvfølgelige grundlag. Dansen, poesien og musikken er beregnet på at ryste barrieren i lytterens eller danserens sjæl, den barriere, der adskiller jeg’et fra Gud. Ekstasen opstår ved at slørene bliver fjernet og med dem begrænsningerne i vores ordinære bevidsthed. Når slørene løftes,
oplever vi – om det så bare er for en kort tid – Guds nærvær. Rumis kærlighed til musik blev ikke vel mødt fra ortodokst hold. En mand kritiserede en dag Rumi for hans musikinteresse. Mevlana (Rumi) svarer: "Musik er paradisets døres skraben". Hertil svarer manden: Jeg kan ikke lide lyden af skrabende døre! Mevlana siger: "Jeg hører dørene, når de åbner – du hører dem, når de lukker…" Det kan i øvrigt siges, at al musik uanset, hvilke kvaliteter den besidder, kun vil være effektiv i forhold til lytterens egen intention. Resten ligger i Guds hænder. Kun Han forsyner musikeren med talent, inspiration og nåde; og kun Han forsyner lytteren med den nådegave, det er at kunne høre. Musik er noget himmelsk for Rumi. Det er ikke noget tilfælde, at han beskriver kærlighedens hus, der har døre og tag lavet af musik, melodier og poesi. Musikkens billedsprog gennemtrænger hele Rumis værk...
Sama (hvirveldans)
Hver tone.
De vise mænd fortæller os:
Råd hjælper ikke elskende!
"Fra stjernehimlens hvælv og dets rotation
De er ikke floder,
har vi grebet og tilegnet os disse melodier.
du kan bygge en dæmning over.
Sangene, som vi synger og spiller,
En intellektuel ved ikke,
er tumulten i stjernehjulets uafladelige omdrejning"
hvad den fulde føler!
Men vi, som sætter al vores lid til Gud,
Prøv ikke at forudsige,
vi siger: "Hver uskøn lyd bliver
hvad de, der er berusede af kærlighed,
gennem vores indtryk af paradiset fuld af skønhed."
vil gøre som det næste!
Vi har alle været en del af Adam engang;
En hærfører vil opgive al sin magt,
i Guds paradis har vi hørt disse melodier.
Hvis han fik en snert af den vinduft,
Skønt ler og vand fylder os med tvivl,
som kommer fra de elskendes rum,
findes der noget tilbage hos os af himlens melodier,
hvor de laver, jeg ved ikke hvad!
og noget fra himlens harmoni kommer ind i vores sjæl.
Livet bliver fattigere,
På denne måde er samaen næring for Guds elskere,
hvis det ikke får en smagsprøve
for heri ligger den skjulte mening af samlethed og ro.
af denne mandelkage.
Vores tanker får kraft og form fra lyd og sang,
Stjernerne drejer rundt
og kærlighedens ild bliver varmere
hver nat fortumlede af kærlighed.
af underskønne toner.
De ville blive trætte af den hvirvlen, hvis de ikke allerede var det.
Samaen.
De ville sige:
En delegation af fugle kom til Salomon
"Hvor længe skal vi blive ved med det her!"
og klagede:
Gud samler alle rørfløjterne op
"Hvordan kan det være,
og blæser i dem.
at du aldrig kritiserer nattergalen?"
Hver tone er en lidenskab,
"Fordi min måde," forklarede nattergalen Salomon,
som kommer igennem os,
"er anderledes.
En længsels smerte.
Fra midten af marts til midten af juni synger jeg.
Husk læberne,
De andre ni måneder,
Hvor vindpustet stammer fra,
mens I fortsætter med at kvidre,
lad din tone være klar.
er jeg tavs."
Prøv ikke at gøre en ende på den.
Fuglene er fløjet ud i friheden, buret står tomt.
Vær din tone.
Dine lykkelige sange bringer mig
Jeg skal vise dig, at det er nok.
Færten af himlen.
Gå op på taget om natten
Hold aldrig op med at synge.
Og i denne sjælens by.
Ved du, hvad musikken siger?"
Lad alle klatre op på tagene
"Kom, følg mig,
og synge deres toner!
og du skal finde vejen.
Syng højt!
Dine fejltagelser kan også føre dig til sandheden. Når du spørger, vil du få svar."
Per Nørgård Om det er besynderligt eller helt forståeligt, at vi endnu ikke har skrevet om Per Nørgårds arbejde i et blad som handler om overtoner, er et temperamentsspørgsmål. Vi kan forsvare os med, at vi har fokuseret meget på sang og klang, mens Per Nørgård som komponist arbejder meget med form, som for de fleste amatører kan være svært… og det kan man i det hele taget frygte, at mange vil synes, hans univers kan være. Men hvis nogen har arbejdet seriøst med overtonerækkens strukturer, må det være ham. Nuvel, lad os da starte med noget som vi alle kan forstå og forholde os til: en tur til stranden og de lyde, som man møder der: HAVETS GRUNDTONE ”I efteråret 1983 boede jeg en uges tid på en sydindisk strand ud for Koalam i Kerala, så tæt som 20 meter fra vandkanten. Bugten brølede dag og nat som fra 1001 løver, ved såvel storm som vindstille, da det jo var duvninger, hidtil ubrudte fra det vældige arabiske ocean, der pludselig skød op til flere meter høje brændings-surfs og – på én gang- væltede, i en længde af snesevis af meter! Da dette fænomen ikke var periodisk og parallelt, men flere gange vinkelforskudt, gentaget i hvert øjeblik, skulle baggrunden for den konstant øredøvende larm være ridset op… Fra tilsvarende ophold på andre strande med dette i særlige, i Danmark ukendte brændings-brus, nemlig på Bali, havde jeg vænnet mig til at fokusere på min egen perception, dvs. min høresans i modspil til dette lydfænomen, der akustisk beskrives som ’hvidt brus’. I hvidt brus rummes, simpelt udtrykt, enhver tænkelig tone, og det var derfor stimulerende for mig, ikke mindst som komponist, at slynge en eller anden tone ud af munden, sunget eller fløjtet, og umiddelbart efter høre den ’komme tilbage’ fra brændingslarmen klart og tydeligt – ligesom man kan høre et eller andet orkesterinstrument, f.eks. en obo, så snart man én gang er blevet (evt. gjort) opmærksom på den. På denne måde kunne jeg oplagre op til flere toner samtidig i min perception (og erindring), og danne flerklange. Husk på, at det nok var min fantasi, som vakte denne klang til eksistens i
mit øre, men at de hørte toner også var fysisk eksisterende i miljøet! Da jeg nu efterprøvede denne gamle, og underholdende, øvelse fra Bali på den sydindiske strand med dens eksceptionelle larm, opdagede jeg, at det her var sværere at fastholde mine udvalgte (og nu i mit sind klingende) toner, fordi der ligesom var en pågående dyb ’skyggetone’, som afledte mig fra mine vilkårlige tonevalg. Ja, - læseren, der har læst overskriften, vil naturligvis have gættet, hvad denne skyggetone var: havets grundtone. Da jeg efter et par minutter havde indkredset den, var den helt tydeligt en tone og ikke blot et tonebælte, forstået på den måde, at dén tone, jeg sang efter med munden, (et dybt g vistnok) var meget præcist, og ikke spor omtrentligt tonehøjdedefineret! De følgende timer dukkede så overtonerne op én for én, hver med sin karakteristiske klang, en brummede, en anden hvæsede, osv. – og jeg oplevede de følgende dage en dyb betagelse ved at have et så generøst, uendeligt, men orienteret klangrum til min uindskrænkede disposition… Ved at denne imponerende faste borduntone, uændret dag og nat og, som sagt, i stille og i storm, fungerede som orienteringspunkt for min klangfantasi, blev det mig muligt de følgende dage at sætte mig foran vandkanten med mit nodepapir og komponere en fast 14slags basmelodi med sit (over-) tonerepetoire hvilende på det uophørligt klingende g….”
Mere om Per Nørgård og hans arbejde med overtonerækken og andre aritmetiske rækker vil følge i kommende numre af GONG. De utålmodige kan anbefales et besøg på net-adressen www.pernoergaard.dk/da/strukturer/overtoner/ overtoner.html.
Denne hjemmeside har Jørgen Mortensen fra Vestjysk Musikkonservatorium strikket sammen og den er aldeles glimrende! /S.L
Overtoner Under Huden /Skye Løfvander Hvis alt går vel udkommer medio august på Sophia Forlaget, www.sophiaforlag.dk, min bog med ovenstående titel. Her følger vi ikke kun overtonerne ind under huden til vores eget instrument af kød og blod, men lader dem føre os på ture rundt i såvel de ydre som de indre akustiske rum. En stor del af bogen er viet et forsøg på at genetablere de elementære sammenhænge mellem musik, matematik og filosofi. Læsere af Harmonix’ medlemsblad har ageret prøveklude på flere af kapitlerne, og har dermed været til stor hjælp, da det altid gør en stor forskel at se noget på print i forhold til blot at skulle læse noget igennem for sig selv. Alt, hvad der hidtil har været bragt, er således blevet grundigt omarbejdet til bogen. Nedenstående kapitel bliver til gengæld første mulighed for at læse et helt kapitel som det præsenterer sig i endelig form. Emnet er musikkens kvintinterval og kapitlet gør sig bedst i forlængelse af det tidligere bragte om oktaven. De indledende bemærkninger om Werckmeister viser direkte hen til dette kapitel og til oktav-spiralen, som også har været tema i et par af de sidste numre af Harmonix. KVINTERNES ESSENS Gud skabte verden i form af en sfære. Derefter tog han først 1 del væk, så 2 dele, dernæst 3 dele og 4 dele. Til sidst hhv. 8, 9 og 27 dele. Disse dele blev brugt til at danne de himmelske sfærer, hvorpå planeterne sad. Platon i Timaios
Når Werckmeister kunne sammenligne skabelseshistoriens 7 dage med de 7 første oktaver af naturtonerækken, som vi så det i forrige kapitel, kan man umiddelbart synes, at det er lovligt spekulativt og måske resultatet af en overspændt religiøs tankegang. Men at det akkurat er blevet 7 oktaver, som det meste musik udfolder sig indenfor rammerne af, grunder i høj grad på en naturgiven struktur, som det slet ikke er så fjernt at give en kosmologisk tolkning. Med forholdet 1:2, fordoblinger og halveringer i frekvens og længde, skaber vi oktaver, rammen om musikken, en serie fikspunkter, som dog i sig selv aldrig rigtigt bliver til musik. Men når 3-tallet kommer ind i billedet, og dermed den rene kvints musikalske proportion, sker der pludselig en hel masse, for ved at kombinere kvinter op og ned i systemet, kan man i princippet konstruere alle tænkelige musikalske funktioner. Hvis nogen skulle blive sat til at give et bud på noget meget moderne og avantgardistisk musik, vil mange nok nævne tolvtonemusik, hvor de harmoniske spændinger, som tidligere havde været grundlaget for musikkens bevægelser, blev jævnet ud til 12 jævnbyrdige toner med lige store indbyrdes afstande indenfor oktaven. Tolvtonemusik vil i de flestes ører lyde meget 'moderne, specielt og kunstnerisk'. Men den bagved liggende struktur, inddelingen af oktaven i tolv trin, er ikke ny, for den havde man så tidligt som i Shangdynastiet omkring 1500-1000 f.kr. konstrueret sig frem til i Kina. Interessant er det, for helt op til vor tid har man siden da i Kina, i de skalaer man har benyttet, holdt sig til de simple pentatone med funktionerne do- re- mi- so- la (-do’), som absolut ikke umiddelbart synes at have noget tilfælles med 12-tonemusik.
Men de gamle kineseres erkendelse var, at de 5 toner opstod ud fra 5 opadgående kvintskridt: do- so- re'- la'- mi'', som blev samlet indenfor én oktav: do- re- mi- so- la (-do’).
Denne sekvens af 5 toner benyttede de med varierende grundtone, så man med samme materiale fik forskellige trinfølger. Med rækken la- do- re- mi- so (-la’), hvor la blev oplevet som grundtone, blev følelsen molagtig i stedet for dur-agtig.
Princippet er det samme i vores dur- og molskalaer, som jo består af det samme tonemateriale, men hvor trinfølgen ligeledes ændres ved at forskyde grundtonens placering i rækken: La fra dur bliver til Do i mol osv. Oldtidens kinesere opererede således med 5 grundskalaer, som hver kunne have en af de 12 halvtonetrin som grundtone, og dermed fik de i alt 60 skalaer til rådighed. Skalaerne med de fem skridt fra grundtone til oktav var harmoniske for øret, blandt andet fordi der kun indgik to forskellige størrelser skridt: heltone og lille terts. Da heptaton musik - altså med skalaer bestående af 7 toner - opstod i Kina omkring 300 f.kr. blev den kaldt 'ny' og det gør den for så vidt stadig. Princippet var at koble yderligere to kvintskridt på de 5 bestående, hvorved man fik tonemateriale, der igen kunne skabe harmonisk bevægelse fra grundtone til oktav. Igen var der to forskellige skridtstørrelser, men nu i form af halvtone- og heltoneskridt, præcis som vi benytter i dur- og molskalaer. Når man læser musikteoriens historie, fremgår det, at en stor del af basis for oldtidens kinesiske musikforståelse opstod under påvirkning for så fjerne kulturer som de mesopotamiske, og disse er også så interessante, at vi skal beskæftige os med dem selvstændigt i et senere kapitel. Imidlertid var kineserne nærmest svimlende tidligt på banen med grundlaget for pentaton musik.
De ældste eksisterende fløjter, som man stadig kan spille på, er 4 ud af en serie på 6, fundet ved Den Gule Flods Dal, fremstillet af traners vingeben og som anslås at være 9000 år gamle! Hullerne er anbragt med en nøjagtighed som udelukker tilfældigheder og befæster det pentatone fundament i den gamle kinesiske musik. At visse stenalderfolk således har haft en meget subtil opfattelse af musikkens spilleregler bør vække til eftertanke. Næsten lige så imponerende er Shang-tidens erkendelse af, at man med 12 opadgående kvintskridt kom tilbage til do, men nu 7 oktaver over den grundtone man havde valgt som sit udgangspunkt. Med andre ord går der 12 kvinter på 7 oktaver, og i løbet af de 12 kvintskridt kommer vi rundt til alle de 12 halvtoner som oktaven på eksempelvis et moderne klaver er inddelt i. Hvis vi benytter tonen c som udgangspunkt, ser de 12 skridt således ud: c-g-d'-a'-e''-h''-f#'''-c#''''-g#''''-d#'''''-a#'''''-e#''''''h#''''''. Tonen h#'''''' er i princippet den samme tone som c''''''', så vi er altså tilbage til udgangspunktet, men 7 oktaver over grundtonen. Det er helt essentielt kvinterne som danner grundlag for oktavens 12-deling og dermed reelt alle intervaller fra halvtone og opefter i størrelse. Kvintspiralen er en struktur der ikke blot siger en masse om musik, for så vidt som det er en 3-dimensional variant af den gode gamle kvintcirkel, men derudover får den gennem spiralformen og dens opståen fra noget så fundamentalt som tallene 2 og 3 mening som en fuldstændig grundlæggende struktur, der rækker langt videre og dybere end blot til musikken. Ved aflæsningen af figuren skal man erindre at eksempelvis 3³= 3x3x3= 27, og relationen til det indledende citat bliver således tydelig. De relative frekvensfaktorer som hører til rækken af 12 på hinanden følgende kvintskridt er beskrevet på diagrammet med kvint-oktav-spiralen som brøker med potenser af 3 i tælleren og potenser af 2 i nævneren.
Dette fænomen, at de matematiske funktioner, som ligger til grund for musikken ikke går fuldstændig op, når de skal bringes til at virke sammen, men at man som Askepots stedsøstre må klippe en tå eller hugge en hæl, er basis for alle de mange forskellige stemningssystemer. Mange tør slet ikke tænke på, endnu flere er helt uvidende om og ganske få dyrker de fascinerende subtiliteter stemningssystemerne indeholder. Af forskellige grunde, herunder det pythagoræiske komma, får det pythagoræiske stemningssystem, der altså udelukkende bygger på oplevelsen af den rene kvint, ikke i praksis så stor betydning som det gør som afsæt for filosofiske betragtninger. Nedenfor ses værdierne som i pythagoræisk stemning giver os kvintcirklen, som altså er den flade udgave af kvintspiralen.
At tage 12 skridt i kvintstørrelse svarer til 12 gange at multiplicere med faktor 3/2. 3i12/2i12. svarer til brøken 531.441/4.096= 129 3057/4096 Men 129 3057/4096 afviger jo altså en lille smule fra 128, som er tallet der svarer til 7 rene oktavtrin: 2 i 7. potens. Afvigelsen svarer til 1,36 % eller omtrent det kvarte af en halvtone. Afhængigt af sammenhængen og hvor kultiverede ører man er indehaver af, er det en temmelig stor eller ganske lille forskel. Et halvtoneskridt udgør ca. 6 % forøgelse af frekvensen fra foregående funktion. At 12 rene kvinter kommer så tæt som vel muligt på 7 oktaver, men alligevel ikke rammer helt præcist, er basis for det mest berømte af musikkens 'kommaer', kendt som det pythagoræiske.
F# H E A D G C F Bb Eb Ab Db Gb
729/512 243/128 81/64 27/16 9/8 3/2 1 4/3 16/9 32/27 128/81 256/243 1024/729
Cirklen kommer frem, fordi Gb og F# er såkaldt enharmoniske toner (principielt ens), 1024/729= 729/512, så de to ender mødes reelt. Systematikken i diagrammet er, at proportionerne i retning opad fra 1 har tællerværdien fra 3-progressionen og nævnerværdier fra 2-progressionen. Når man går nedad, er det omvendt. I dette tilfælde er C vores midtpunkt, som vi kun fjerner os 6 trin fra i begge retning og derved får overskuelige tal som kan samles indenfor moderoktaven 1:2. Med den pythagoræiske stemning kommer vi ikke uden om Pythagoras, som jo var græker, og dermed sporer vi os ind på, at ikke kun kineserne har lugtet lunten ved kvinten. Pythagoræerne som byggede deres filosofi og kosmologi på matematik og musikkens rene proportioner, anså talparret 2 og 3 for at være det oprindelige skabende par i en tolkning som indeholdt både musiske og kosmologisk-seksuelle overtoner. Dette danner basis for meget af Platons filosofi som for en stor del var baseret på Pythagoras og erkendelse af musikkens stemningsteori. Tallet 729 vil måske få Platon-læsere til at stoppe op, for det er det tal, han har nævnt som værende tyrannens tal. Da vi ikke længere tænker i samme meningssammenhæng og på samme sproglige baggrund, er der mange mysteriøse passager hos Platon. Men ved at drage stemningsteori med relationen til tal ind i billedet, forklares forholdet, for det er med dette tal, at man i den Pythagoræiske stemning genererer tritonus, det mest dissonante interval af alle, i middelalderen udnævnt til ”Djævelens Interval”. Det svarer altså til 3 i 6. potens, 6 kvintskridt eller 3½ oktav, hvilket en og anden esoteriker nok vil kunne få noget ud af… - ligesom med hvilken betydning vores grundstruktur baseret på faktor 2 og 3 har for hele oplevelsen af tid og rum. Lad os nemlig nu med en geometrisk rejse gå videre med Platon-citatet fra dette kapitels overskrift. Vores fortolkning af tid og rum er delvis knyttet sammen med vores oplevelse af geometriens grundelementer.
Vi tager nu en tur gennem rummet og tidens dimensioner: Vi starter dimensionsløst med punktet, som ingen udstrækning har, men alligevel som ide lægger basis for al geometri. Vi har så akkurat 1 geometrisk grundelement. Idet punktet ”træder ud af sig selv” åbenbares den første dimension: udstrækning, længde. Linien har 2 endepunkter og 1 hel dimension af punkter imellem. 2 punkt-elementer og 1 linie-element. Når linien ”breder sig" kan en flade skabes: 2 dimensioner: Længde og bredde, her repræsenteret af et kvadrat: Det har 4 punkter til at afgrænse hjørner, 4 linieelementer fra den en-dimensionale virkelighed og akkurat 1 to-dimensional flade. Næste trin bliver terningen som repræsentant for rummets tre dimensioner: 8 punkter i hjørnerne, 12 linier, 6 flader og 1 tredimensionalt rum. Hvordan ser en hyperterning ud, et firdimensionalt legeme? Ja, ret beset kan man jo ikke se den fjerde dimension, som man kan forstå som noget, der har med tid at gøre. Men man kan skabe en slags afskygning i en virkelighed med et antal dimensioner, som vi lettere kan håndtere. En tegning med perspektiv indlagt er jo en tre-dimensional virkelighed afbildet i et to-dimensionalt medie. Den fir-dimensionale hyperfigur kan næsten tilsvarende afsløre lidt af sin virkelighed med computergrafik, hvor formen bringes i bevægelse og giver et forunderligt indtryk af et mønster i forvandling, og man kan her se og analysere sig frem til denne figurs virkelighed som begrænset af 16 punkter, 32 linier, 24 flader, 8 rum og akkurat 1 hyper-rum. Disse vil også kunne findes på illustrationen, man skal dog huske at den to-dimensionale struktur er en meget svag afglans af den firdimensionale virkelighed. De 8 rum vil kunne ses som perspektiviske kasser. Linier, flader og punkter kan man også tælle sig frem til.
Med punkt, linie, flade, rum, hyperrum har vi gennemgået en progression gennem de 4 dimensioner, og nu er det vist tid til at sætte det hele op skematisk:
FIGUR
ELEMENTER PR. DIMENSION "0."
1.
2.
3.
4. I ALT
punkt
1
0
0
0
0
1
Iinie
2
1
0
0
0
3
kvadrat
4
4
1
0
0
9
kubus
8
12
6
1
0
27
hyperkubus 16
32
24
8
1
81
Skemaet læses som vi gennemgik dimensionerne ovenfor: En kvadratisk flade opstår f.eks. således mellem 4 nuldimensionale hjørnepunkter, 4 endimensionale linier, og dermed fremkommer 1 to-dimensional flade. I alt indeholder kvadratet således 9 geometriske grundelementer. Der er ganske mange interessante lovmæssigheder i skemaet: bl.a. beskriver antallet af punkt-elementer en progression af fordoblinger: 1-2-4-8-16, mens det totale antal geometriske elementer: punkter+ linier+ flader+ rum+ hyper-rum følger en progression af tre-doblinger: 1-3-9-27-81. Det er altså med andre ord talrækkerne fra Platons indledningscitat. Det er ingenlunde tilfældigt, og som vi har set, har disse tal længe været kendt som grundlag for musik. Husk så, at musikkens virkelighed opstår på baggrund af rum (gennem tonens bølgelængde) og tid (gennem den tilhørende frekvens). Med 2 og 3 opstår strukturer som sætter hele vores oplevelse af tid og rum i relief, og det er helt passende, at man har brugt musikken som afsæt. Den geometriske progression gennem Punkt-linie-kvadrat-kubus-hyperkubus
Man kunne imidlertid have forestillet sig en progression gennem dimensionerne som ikke tog udgangspunkt i det firkantede, men i stedet for fladen have valgt eksempelvis en cirkel eller en trigon, hvorved antallet af grundelementer naturligvis ser anderledes ud. Dette bør lede til filosofiske overvejelser om hvorfor vores huse bygges af kasseformede elementer, hvorfor marker er firkantede og hvorfor bøgernes linier udfolder sig over sidernes firkantede flade og som helhed fremstår som 'kasser', samt ikke mindst hvorfor vi, når vi skal tænke abstraktmatematisk, vælger koordinatsystemer med to på hinanden vinkelrette akser. Spørgsmålet er naturligvis i sidste ende, hvordan en verden ville se ud, som i bund og grund fortolkede tid og rum ud fra f.eks. trigoner. Når Platon i Timaios beskrev universets skabelse og planeternes indbyrdes afstande ifølge disse musikalske proportioner, dyrkede han absolut rationalitet, for så vidt som planeterne betød andet og mere for grækerne end de gør for os, hele deres sproglige reference havde et helt andet grundlag end vore dages videnskab. Værdierne svarer ikke til de reelle værdier, men at påpege dette viser blot, at man slet ikke har fanget, hvad det egentlig er han beskriver. Planet planet Måne Sol Venus Merkur Mars Jupiter Saturn
Afstand til jord 1 2 3 4 8 9 27
På det nedenstående lille træsnit ses Boethius og Pythagoras, toneteoriens europæiske fædre, i den guddommelige aritmetiks helligdom, hvor de sysler akkurat med de to rækker af hhv. fordoblinger og tredoblinger. Kvindeskikkelsen bag dem er personifikationen af aritmetik, tallæren som gudinde! I hendes skød er den oprindelig helhed, 1, mens de to progressioner skrider frem langs hendes lår og ben. "Tallenes Moder" kan åbenbart besvangres af den mandlige og den kvindelige progressions iboende mening.
Interval til foregående oktav kvint kvart oktav sekund duodecim (oktav+ kvint)
Og planeternes placering og bevægelser i solsystemet er nu faktisk bundet op på elementær geometri, som relaterer til faktor 2 og 3 samt hvad de betyder for vores opfattelse af rummet. Keplers love om planeternes afstande som funktion af hastigheden beskriver en sammenhæng, der binder faktorer i 2. potens sammen med faktorer i 3. potens som essentielt knytter sig til flade og rum.
Man vil kunne finde tolkninger, teoretisk forståelse eller udbredt praktisk anvendelse af den rene kvint i næsten samtlige historiske og moderne kulturer. Ligesom pythagoræerne har inderne har taget billedet af skabelsesaktens far-mor-barn til hjælp i deres musikforståelse. I deres heptatone skala lyder trinfølgen sa-ri-ga-mada-pa-ni(-sa), hvor ma, den rene kvart er moderen, mens pa, den rene kvint er faderen, sa, primen/oktaven bliver så afkommet. I det meste af den klassiske indiske musik indledes der typisk med en enkel baggrund fra strengeinstrumentet tamboura, hvis klang simrer af overtoner og som vedvarende fastholder funktionerne prim, ren kvint og oktav.
Hvad er subjekt og objektet uden det verbum som forbinder dem? Og hvad skal vi med fortid og fremtid, hvis ikke vi lever i det nu som knytter dem sammen? Ved at tælle til tre kan du skabe teser, antiteser og synteser, fylde dit rums tre dimensioner ud og skabe al den musik det skal være. I musikken er kvinten så fundamental, at det kun er ganske få marginale kulturer som ikke har denne funktion i en absolut fremtrædende rolle (bl.a. indonesisk slendro-skala). Den rene kvint er essentiel, når musikere skal stemme deres instrumenter ind efter hinanden. Det er et interval vi i sproget benytter hyppigt, ikke mindst ved spontane udbrud og syngende råb. Som tidligere nævnt er kvinten i harmonilæren den grundlæggende basis og endelig er den skalaernes lysende midtpunkt. Chladni-figurer (som dannes af sand på vibrerende metalplader)
Det fraktale Cantor-sæt spejler både oktavprocessen og kvintprocessen. For hvert led fordobles antallet af udvækster (oktav). Samtidig deles bredden for hvert led i tredjedele (kvint).