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Porcentaje El porcentaje es una de las expresiones matemáticas que más usamos en la vida cotidiana. Por otra parte, la información que aparece en los medios de comunicación está repleta de datos expresados en porcentajes. Por ejemplo, ¿quién no ha oído decir alguna vez?: "Rebajas del 10% en todos los artículos del hogar" o "La inflación aumentó el último trimestre un 0,5%". Un porcentaje es la proporción de una cantidad respecto a otra y representa el número de partes que nos interesan de un total de 100.
El símbolo % es una forma estilizada de los dos ceros. Evolucionó a partir de un símbolo similar sólo que presentaba una línea horizontal en lugar de diagonal (1650), que a su vez proviene de un símbolo que representaba "P cento" (1425).
Porcentaje o tanto por ciento Cuando una familia invierte el 88% de sus ahorros en comprar una vivienda, se está gastando en ella 88 soles de cada 100 que ha ahorrado. Se puede definir el tanto por ciento como una fracción que tiene denominador 100. En este caso, el 88% es la fracción decimal. 88 88% 100 Como el porcentaje es una fracción decimal, se puede expresar también en número 88 decimal. Así, 88% 0,88 (se ha dividido 88 entre 100). 100 Cualquier porcentaje se puede expresar en forma de fracción o número decimal y, a su vez, cualquier número decimal o fracción se puede expresar en porcentaje:
Cálculo de porcentajes Existen dos formas para hallar un porcentaje o tanto por ciento 1. Para calcular el porcentaje de una cantidad, multiplicamos la cantidad por el número que indica el porcentaje y dividimos el resultado entre 100. Ejemplo:
Profesor: Javier Trigoso T.
El 20% de los estudiantes de un colegio, que tiene 240 alumnos, practica deporte. ¿Cuántos estudiantes practican deporte? Para hallar la respuesta multiplicamos 240 por 20 y dividimos el resultado entre 100: 4800 240 20 4800 48 100 Razonamiento Matemático
2 Por lo tanto, el 20% de 240 alumnos es 48 alumnos. 2. Para calcular el porcentaje de una cantidad, multiplicamos la cantidad por la expresión decimal de dicho porcentaje.
Observa esta igualdad: 20 20% 0,2 100 Para calcular el 20% de 240, basta con multiplicar 240 por 0,2: 240 0,2 48
Ejemplo:
Variaciones: incrementos y descuentos Incrementos
Descuentos
Un incremento se produce cuando a una cantidad se le suma un porcentaje de la misma para obtener una cantidad mayor.
Un descuento se produce cuando a una cantidad se le resta un porcentaje de la misma para obtener otra cantidad menor.
Ejemplo:
Ejemplo:
Si una camiseta, sin el 19% de IGV, cuesta 120 soles para saber cuánto cuesta con IGV hay que:
Vamos a calcular el precio de un libro que antes costaba 42 soles y ahora tiene el 5% de descuento:
Calcular el incremento que sufre el precio de la camiseta. Para ello, hallamos el porcentaje de la cantidad (19% de 120): 120 x 0,19 = 22,8 (0,19 es la expresión decimal del porcentaje 19%)
Calculamos el descuento que sufre el precio del libro. Para ello, hallamos el porcentaje de la cantidad (5% de 42): 42 x 0,05 = 2,10 (0,05 es la expresión decimal del porcentaje 5%)
Sumar la cantidad (120) y su incremento (22,8) para obtener el precio final: 120 + 22,8 = 142,8
Restamos la cantidad (42) menos su descuento (2,10) para obtener el precio final: 42 - 2,10 = 39,90
El precio de la camiseta tiene un incremento debido al IGV y, por tanto, es necesario disponer de un total de 142,8 soles para comprarla.
Profesor: Javier Trigoso T.
El precio del libro tiene un recuento y, por tanto, habría que disponer de 39,90 soles para comprarlo.
Razonamiento Matemático
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… PARA LA CLASE 01. Un artículo aumenta de precio de $ 600 a $ 750 ¿Cuál es el porcentaje de aumento? A. 15% B. 20% C. 25% D. 30% 02. ¿En qué porcentaje es más, el producto de 25 x 18 que el producto de 20 x 18? A. 5% B. 25% C. 18% D. 20% 03. En un salón de 30 alumnos el 55% tiene buenas notas, el 35% tiene notas regulares y el resto notas deficientes. Entonces, los alumnos con notas deficientes son: A. 10 B. 3 C. 7 D. 13 04. Si x aumenta en su 40% e y en su 30%, ¿en qué porcentaje aumenta x.y? A. 60% B. 62% C. 72% D. 82% 05. El lado de un rectángulo de lados a y b es a · b. Si el lado b del rectángulo aumenta en 25%. ¿Cómo debe variar el lado a para conservar el área del rectángulo original? A. Disminuir en 20% B. Aumentar en 20% C. Disminuir en 25% D. Aumentar en 25%
Profesor: Javier Trigoso T.
06. Rosa gastó S/.0,5 por chocolate, si del total vende el 80% a S/.1 cada uno, generando una ganancia de S/.45. Calcula el número total de chocolates. A. 15 B. 75 C. 150 D. 300 07. Roberto ahorra mensualmente S/.75, con sus ahorros desea comprarse dentro de tres meses una casaca de S/.300 y que le sobre S/.15. ¿En qué porcentaje debe incrementar su ahorro mensual? A. 20% B. 30% C. 40% D. 50% 08. En una reunión, el 40% del total de personas son hombres. Si se retira la mitad de estos, ¿cuál es el nuevo porcentaje de hombres? A. 30% B. 25% C. 20% D.15% 09. En una reunión el 20% del número de hombres es igual al 50% del número de mujeres. ¿Qué porcentaje del total son hombres? A. 55,1% B. 65% C. 71,4% D. 78,1% 10. Un basquetbolista debe lanzar 160 veces al cesto. Si ya ha convertido 40 canastas, ¿cuántas más debe convertir para tener una eficiencia del 70%? A. 72 B. 68 C. 64 D. 58
Razonamiento Matemático
4 11. Un grupo de personas asiste a un concierto de música donde se hace rebaja de un 10% por cada 5 entradas. Si una persona junta a 14 personas más y cada entrada individual sale a $5000, ¿cuál es el valor de cada entrada con la rebaja? A. 4 750 B. 4 500 C. 4 400 D. 4 200
12. Se ha importado 10 000 objetos de tres países diferentes. De Japón, el 20%, de Corea, el 40% y el resto de Taiwán. El 90% de los artículos de Japón están en buen estado, el 80% de los de Corea y el 60% de los de Taiwán también lo están. ¿Cuántos artículos en total son defectuosos? A. 1 800 B. 2 000 C. 2 200 D. 2 400
… PARA LA CASA 01. Si el número 1 530 aumenta en un 30% ¿Qué número resulta? A. 459 B. 1 071 C. 1 989 D. 2 448
05. Los aumentos sucesivos del 10% y 30%, equivalen a un único aumento de: A. 67% B. 47% C. 43% D. 40%
02. ¿Qué porcentaje de una cantidad representa 1,5 de la misma? A. 1,5% B. 15% C. 125% D. 150%
06. Si la base de un triángulo, disminuye en su 20% y su altura disminuye 30%, el área en qué porcentaje disminuye. A. 56% B. 54% C. 46% D. 44%
03. En una mezcla de colores, María combina 5 litros de pintura roja con 2 litros de pintura azul y dos litros de pintura amarilla. ¿Qué porcentaje de la mezcla representa la pintura roja? A. 40 % B. 44, 4 % C. 55,6 % D. 50 % 04. Los descuentos sucesivos del 10%, 10% y 20%, equivalen a un único descuento del: A. 64,8% B. 45,2% C. 40% D. 35,2%
Profesor: Javier Trigoso T.
07. Por equivocación a un empleado se le descontó el 20% de su sueldo. ¿Qué porcentaje se le debe aumentar, para devolverle su sueldo original? A. 20% B. 24% C. 25% D. 28% 08. Una tienda ofrece el 20 % de descuento. Al comprar un artículo con esta rebaja pagué $ 10.000 ¿Cuál fue el monto del descuento? A. $ 2 000 B. $ 2 500 C. $ 4 000 D. $ 1 250
Razonamiento Matemático
5 09. Los expertos estiman que el 25 % del total de accidentes en moto involucran heridas en la cabeza, y que un 80 % de estas heridas son fatales. ¿Qué porcentaje del total de los accidentes en moto involucran heridas fatales en la cabeza? A. 16% B. 20% C. 55% D. 105% 10. Este año hay 1 348 alumnos en colegio, el director indica que la matrícula aumentó en un 15 % respecto al año anterior. ¿Aproximadamente en cuántos alumnos aumentó la matrícula colegio? A. 140 B. 160 C. 180 D. 200 11. Una piscina tiene una capacidad de 320 m3. Si está hasta la mitad de su capacidad con agua y se le sacó un 40% de dicha cantidad ¿Cuánta agua deberemos agregarle para llenarla completamente? A.160 m3 B. 192 cm3 C. 224 cm3 D. 256 cm3 12. Si al 10% de los 2/5 de 500 le agrego el doble de cierto número, obtengo los 3/4 de los 4/7 del 25% de 14/3 de 48. ¿Cuál es dicho número? A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 13. Si José tuviera 24% menos de la edad que tiene, tendría 38 años. ¿Qué edad tiene actualmente? A. 45 años B. 48 años C. 50 años D. 52 años
Profesor: Javier Trigoso T.
14. En un corral hay 8 gallos y 12 gallinas. ¿Cuántas gallinas se deben escapar para que el porcentaje de gallos aumente en un 40%? A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 15. Con cierta cantidad de materia prima se fabricará un producto que consta de 4 procesos: en el primero se limpia el material y se pierde el 20%, en el segundo se rectifica y se pierde el 25%, en el tercero se le agrega un material de refuerzo, aumentando su peso en 20% y por último se vuelve a rectificar y se pierde el 10%. Si el producto final pesó 486 g, halla el peso inicial. A. 640 g B. 700 g C. 720 g D. 750 g 16. La mano de obra y las indemnizaciones suman el 40% del valor de una obra. Si las indemnizaciones representan el 60% del importe de la mano de obra, ¿qué tanto por ciento del valor de dicha obra importa solamente la mano de obra? A. 20% B. 25% C. 28% D. 30% 17. En una reunión el 40% son hombres y el resto mujeres. Después ingresan 70 hombres y salen 20 mujeres y entonces el número de hombres es el 60% del nuevo total. ¿Qué porcentaje del nuevo total de damas son las personas que ingresaron después? A. 90 B. 80 C. 70 D. 60
Razonamiento Matemático
6 18. Gasté el 30% de lo que no gasté. Si el 20% de lo que gasté es 72 soles, ¿cuánto tenía? A. S/. 1 560 B. S/. 1 423 C. S/. 1 250 D. S/. 1 240 19. Un tirador debe acertar en total el 60% de los disparos que realiza. Le dan 85 balas y ya ha disparado 45 consiguiendo sólo 19 aciertos. ¿Qué porcentaje de las balas que quedan debe acertar para cumplir el porcentaje requerido? A. 90 B. 80 C. 70 D. 60 20. En una compañía trabajan 250 personas, donde el 20% son mujeres. ¿Cuántas mujeres deben contratarse para que el 60% del personal sean mujeres? A. 250 B. 210 C. 200 D. 180 21. Después de una batalla Napoleón observó que el 5% de sus soldados habían muerto y el 20% de los que quedaron vivos estaban heridos, además habían 608 sanos. ¿Cuántos habían muerto? A. 10 B. 20 C. 30 D. 40
22. Con la finalidad de vender la mayor cantidad de artículos, un comerciante reduce el precio en un 20% y observa que al cabo de un mes el número de artículos vendidos aumentó en un 30%. ¿En qué porcentaje aumentó su ingreso bruto mensual? A. 4% B. 5% C. 8% D. 10% 23. Si la base de un triángulo aumenta en 20% y su altura disminuye en 40%, ¿en qué porcentaje varía su área? A. Disminuye en 20% B. Disminuye en 28% C. Disminuye en 24% D. Disminuye en 25% 24. Un hombre al morir dispone de que su fortuna, que asciende a $ 20 000, se entregue el 35% a su hermano mayor, el 40% del resto a su hermano menor y lo que queda a un asilo. ¿Cuánto le correspondió al asilo? A. $ 7 000 B. $ 7 800 C. $ 8 000 D. $ 9 600 25. Una ciudad está dividida en 2 bandos: el 45% de la población es del bando A y el restante del B. Si el 20% de A se pasa a B y luego el 75% de la población de B se pasa a A, ¿cuál será el porcentaje de población que ahora tiene A? A. 64% B. 75% C. 84% D. 85%
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Profesor: Javier Trigoso T.
Razonamiento Matemático