1
CONCEPTOS FUNDAMENTALES EN EL PLANO CARTESIANO DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Sean las coordenadas de dos puntos cualesquiera A (x 2; y2) y B (x1; y1); la distancia entre ellos es igual a la longitud del segmento AB. Así:
A (x2;y2)
y2
d(A,B)
y2 – y1
x1
x2 y1
B (x1;y1)
x1 – x2
01. Encuentra la distancia entre cada par de puntos. A (-4; 4) y B (4; 4 ) 8 C (3; -4) y D (3; 3) 7 E (2; -2) y F (6; 1) 5
G (2; 1) y H (7; 2)
26
02. Si la distancia del origen al punto P (3; x – 2) es 5. Calcula el valor de x. x = -2, x = 6
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03. La distancia entre dos puntos de igual abscisa es 8. Si uno de los puntos tiene ordenada -3, halla la ordenada del otro punto. y = -11, y = 5 04. El punto (x; -5) se encuentra tres veces más lejos del punto (-5; 4) que del punto (10; -1). Halla el valor de x. x = 7, x = 67/4
Matemática 1
2 05. Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud 5 es el punto P (3;-2). Si la abscisa del otro extremo es 6, halla su ordenada. y = -6, y = 2 06. Encuentra un punto sobre el eje Y que sea equidistante de los puntos (5; -5) y (1, 1). (0; -4) 07. Si P (a; a + 1) es un punto que equidista de A (2; 1) y B (-6; 5). Halla el valor de a. a = -6 08. Un triángulo equilátero tiene por vértices (-3; 0) y (3; 0). Determina las coordenadas del tercer vértice. 09. Los vértices de un triángulo equilátero son los puntos A (-1; 1), B (3; 1) y C (x; y). Halla las coordenadas del punto C.
1;1
26
10. La base de un triángulo isósceles es el segmento que une los puntos (-1; -3) y (3; 1). Si la abscisa del tercer vértice es -4 encuentra la ordenada. y=4 11. La distancia entre los puntos A (-1; n) y B (5n + 1; 7) es igual a 13. Halla el valor de n, si A pertenece al segundo cuadrante. n=2 12. La base de un triángulo isósceles es el segmento que une los puntos (6; 1) y (-1; 2). Sabiendo que la abscisa del otro vértice es 3, determina su ordenada. y=5
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13. Encuentra las coordenadas del centro de la circunferencia circunscrita al triángulo de vértices A (10; 2), B (9; -3) y C (-8; -10) (-3; 2) 14. La base de un triángulo isósceles mide 6u, cada uno de sus lados iguales mide 5u. Su base está sobre el eje de abscisas, bisecada por el origen. ¿Cuáles son las coordenadas de sus vértices? (-3; 0), (3; 0), (0; 4) (-3; 0), (3; 0), (0; -4) 15. Las bases de un trapecio isósceles miden 20u y 10u respectivamente y la medida de cada uno de sus lados iguales y la medida de cada uno de sus lados iguales es de 13u. la base mayor está sobre el eje de ordenadas, estando bisecada por el origen. La base menor está a la izquierda. ¿Cuáles son las coordenadas de sus vértices? (0; -10), (0; 10), (-12; 5), (-12; -5) (0; -10), (0; 10), (12; 5), (12; -5) 16. Si la distancia de A (2; 2) a B (5; b) es 5 y la distancia de este último a C (c; 3) es
29 . Halla la
distancia del punto A al punto C. (b < 0 y c ≠ 3)
d 26
17. La longitud del segmento MN es 13; su origen está en el punto M(3; -2), la proyección sobre el eje de abscisas es -12. Halla las coordenadas del otro extremo del segmento, si forma con el eje de ordenadas un ángulo dado. (-9; -7)
Matemática 1
3 DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA Si A (x2; y2) y B (x1; y1) son los extremos de un segmento de recta, es posible encontrar las coordenadas de un punto P(x; y) que divida al segmento AB en una AP razón dada por la expresión r , así: PB
A (x2;y2)
ar P B (x1;y1)
y2
a y
y1 x1
x
18. Los extremos de un segmento son los puntos A(-2; -5) y B(7; 7). Determina un punto C que divida al segmento AB en la razón de 4 a 5. (2; 1/3) 19. Dados los puntos A(-2; 1) y B(8; 11). Halla las coordenadas de un punto P que divida al segmento AB en la razón de 2 a 3. 20. Los extremos de un segmento son los puntos P1 (7; 4) y P2 (-1; -4). Halla la razón P1P : PP2 en que el punto P (1; -2) divide al segmento. 3: 1
x2
21. Sobre una recta se ubican los puntos A (-4; -1), B, C y D (8; 5), BC CD tal que AB . 2 3 Calcula las coordenadas de los puntos B y C. B(-2; 0), C(2; 2) 22. Dados los puntos A (-2; a), B (b; 10) y C (0; 4). Halla a + b si se AC 1 sabe que BC 2
23. Obtén las coordenadas del punto C perteneciente al segmento AB, siendo A(1; 5) y B(4; 17) y
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5
AC 2 BC
(3; 13) Matemática 1
4 24. Halla las coordenadas de un punto (x; y) que divida al segmento determinado por los puntos P1 (1; 7) y P2 (6; -3) en la relación de 2 a 3. (3; 3) 25. Determina las coordenadas del baricentro del triángulo ABC de vértices A(5; 3), B(-4; 1) y C(2; 2) (1; 2) 26. Determina las coordenadas de los puntos que dividen al segmento AB en tres partes iguales, sabiendo que A(-1; 7) y B(11; -8) (3; 2), (7; -3)
3
29. Las coordenadas de los extremos del segmento AB son: A(2; -1) y B(8; 4). Halla las coordenadas del punto C que divide al segmento AB en dos partes tales que AC es la mitad de CB. 30. Si el segmento AB de extremos A (1; 3), B(7; 5), se divide en cuatro partes iguales, ¿cuáles son las coordenadas de los puntos de división?
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32. Los puntos A (2; 5), B (4, 2) y C (a; b) son los vértices de un triángulo. Halla las coordenadas del vértice C, si el baricentro del triángulo ABC es el punto G (2; 3). 33. Si P (8; 3b) = Q (2ª; 81), halla la distancia entre el punto R (a; b) y el baricentro del triángulo de vértices A (b; a), B (2b; a – 1) y C (-a, -b) 34. ¿Hasta qué punto debe prolongarse el segmento que une los puntos A(1; -1) y B(4; 5), para que su longitud se triplique? (10; 17)
27. Halla las coordenadas de los puntos de trisección del segmento cuyos extremos son los puntos A(-2;3) y B(6;-3) 28. Los vértices del triángulo ABC son los puntos A (1; 0), B (5; 4) y C (-3; 5). Halla la distancia del baricentro al vértice A.
31. Si los puntos M(-4; 2) y N(4; 6) trisecan al segmento AB, calculas las coordenadas de A y B.
35. El punto de intersección M, de las medianas de un triángulo ABC, se encuentra en el eje de abscisas, dos de sus vértices son los puntos A(2; -3) y B(-5; 1). El tercer vértice C está en el eje de ordenadas. Determina las coordenadas de los puntos M y C. M(-1; 0), C(0; 3) 36. Dos de los vértices de un triángulo son A(–4; 6) y B(–3; –6). Calcula la suma de las coordenadas del tercer vértice, sabiendo que las medianas de dicho triángulo se cortan en el punto (2; 6) 31
Matemática 1
5 PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO Si A (x2; y2) y B (x1; y1) son los extremos de un segmento de recta, el punto medio de dicho segmento es el punto M (x; y), que divide en dos segmentos AM y MB de igual longitud. Así:
A (x2;y2)
M
y2 y
B (x1;y1)
y1 x1
37. Halla los puntos medios de los lados de los triángulos cuyos vértices son los puntos: A (3;-4), B (2;1) y C (6;-2) A (0;5), B (0;4) y C (12;4) 38. El punto medio del segmento AB es M (-7; 2). La abscisa de A es 5 y la ordenada de B es -9. Encuentra las coordenadas de los puntos A y B. 39. Halla las coordenadas del punto C, sabiendo que B (2, -2) es el punto medio de AC, A (-3, 1)
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x
x2
40. Halla las coordenadas de los vértices de un triángulo sabiendo que las coordenadas de los puntos medios de sus lados son: ( -2; 1), (5; 2), (2; -3) (3; 2), (-1; -2), (5; -4) 41. Determina las coordenadas del punto medio del segmento AB. A(m + 1; -3) y B(1 - m; 5) (1; 4) 42. Si el punto medio del segmento cuyos extremos son A (x – 5; y + 3) y B (x – 1; y + 1) es M (4; 5). Calcula x + y.
Matemática 1
6 43. Determina las coordenadas de los extremos A y B del segmento que es dividido en tres partes iguales por los puntos P(2; 2) y Q(1; 5) A(3; -1), B(0; 8) 44. ¿Cuál es la suma de coordenadas del punto medio del segmento cuyos extremos son A(1; 7) y B (-3; 1) 45. Si los vértices de un triángulo son los puntos A (1; 4), B (3; -9) y C (-5; 2). Calcula la longitud de la mediana relativa al lado AC.
13
46. Determina la distancia del punto (a; b) al origen de coordenadas,
sabiendo que (1; 2) es el punto medio del segmento formado por (a; 1) y (-2; b) 5 47. El punto medio del segmento AB es M(-7;2). la abscisa de A es 5 y la ordenada de B es -9. Encuentra las coordenadas de los puntos A y B. 48. La longitud del segmento MN es 13; su origen está en el punto M(3; -2), la proyección sobre el eje de abscisas es -12. Halla las coordenadas del otro extremo del segmento, si forma con el eje de ordenadas un ángulo dado. (-9; -7)
ÁNGULO DE INCLINACIÓN Y PENDIENTE DE UN SEGMENTO El ángulo de inclinación (α) de un segmento, es el ángulo que forma el segmento (o su prolongación) con el eje X, medido en sentido anti-horario y considerando al eje X como lado inicial. La pendiente (m) es la tangente del ángulo de inclinación.
A (x2;y2)
y2
y2-y1 y1
α
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B (x1;y1) α x2-x1
x1
x2
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7 49. Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos: A (2; 1) y B (7; 2) C (3; -4) y D (3; 3) E (2; -2) y F (6; 1) 50. Determina si los siguientes puntos son colineales: A(-3;6); B(3;2); C(9;-2) A(-1;3); B(3;11); C(5;15) 51. Si el punto (-3; y) es colineal con los puntos (1; 3) y (0; 2); halla el valor de y. 52. Si los puntos A (-5; 2), B (a; 2a) y C (7; 8) son colineales, encuentra el valor de a. 53. Los vértices de un triángulo son los puntos (2; - 2), (- 1; 4) y (4; -5). Calcula la pendiente de cada uno de sus lados. 54. Tres de los vértices de un paralelogramo son los puntos (- 1; 4), (1; - 1) y (6; 1). Si la ordenada del cuarto vértice es 6, cuál es su abscisa?
55. Tres vértices de un paralelogramo son los puntos (1; -2), (7; 3) y (-2; 2) Encuentra el cuarto vértice. 56. Se tiene un rectángulo ABCD cuyos vértices son A (4; 1), B (9; 1) y C (9; 5). Determina La pendiente de la recta que contiene a la diagonal BD. 57. Los vértices de un triángulo son los puntos A (2; -2), B (-1; 4) y C (4; 5). Calcula el producto de las pendientes de los tres lados. 58. Sean A (-3; 1), B (2; -1) y C (4; 3) tres vértices consecutivos de un paralelogramo, determina las coordenadas del cuarto vértice. 59. Dos vértices de un cuadrado ABCD son A(–1; 3)y B(–1; –3). Si el vértice C está en el cuarto cuadrante, calcula la suma de las coordenadas de los vértices C y D. 10 60. En el paralelogramo mostrado, determinar P a b
Y
(a; b)
(1; 5) (7; 3)
X
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