1
Introducción El concepto del logaritmo de un número nace a partir de la necesidad de facilitar los cálculos que correspondían a distintas actividades económicas y científicas del siglo XV. Con la invención de las calculadoras, el uso de los logaritmos como herramienta de cálculo parece ya no ser relevante; sin embargo, la función logarítmica, en la actualidad, tiene mucha importancia, ya que es la función inversa de la función exponencial. La importancia del estudio de los logaritmos radica en que sus aplicaciones, lejos de estar distanciadas de nuestra vida diaria, son de uso cotidiano, como, por ejemplo, en el volumen de un equipo de sonido, el color de las flores, los ahorros, prestamos y compras al crédito, la antigüedad de los restos fósiles, etc.
Algunas aplicaciones 1.- Aplicación en la Estadística: una de las aplicaciones es para calcular el crecimiento de la población. 2.- Aplicación en la Economía: Se puede aplicar en la oferta y la demanda; que son dos de las relaciones fundamentales en cualquier análisis económico. 3.- Aplicación en la Banca: se utiliza los logaritmos para poder medir el crecimiento de los depósitos de acuerdo al tiempo. 4.- Aplicación en la Publicidad: cuando las campañas publicitarias van a lanzar un producto o una promoción se toma en cuenta ciertos aspectos de estadísticas donde entran variados cálculos matemáticos, y de eso depende el éxito o fracaso de la misma.
Profesor: Javier Trigoso T.
5.- Aplicación en la Medicina: Al consumir una droga, pasa a la sangre, y posteriormente se va eliminando una determinada fracción en cada unidad de tiempo. Esta forma de eliminación, tan particular, hace que con el tiempo, vaya disminuyendo la cantidad de droga en la sangre, pero nunca se elimina totalmente. Si queremos determinar el tiempo necesario para que esa cantidad alcance un nivel dado, utilizaremos la función logarítmica. 6.- Aplicación en la Psicología: se utiliza la ley de Weber - Fechner, de estímulo - respuesta, que dice que la respuesta (R) se relaciona con el estímulo (E). Ejemplo: a un levantador de pesas se le aplica un estímulo de electricidad (en Razonamiento Matemático
2 voltios) para alentarlo a levantar más peso. 7.- Aplicación en la Física: En la física el estudio resulta de mucho interés. Ejemplo: la trayectoria que describe un río al caer desde lo alto de una montaña, la forma que toma una cuerda floja sobre la cual se desplaza un equilibrista. 8.- Aplicación en Ingeniería Civil Se pueden resolver problemas específicos tomando en cuenta un punto de apoyo de una ecuación de 2do grado Ejemplo: Al construir un puente colgante que está amarrado a 2 torres de sus cables. 9.- Aplicación en Topografía: Se puede determinar la altura de un edificio, teniendo la base y el ángulo. Ejemplo, la torre de Pisa, fue construida sobre una base de arena poco consistente; por lo tanto esta cada vez inclinada verticalmente. 10.- Aplicación en la Geología: Como ciencia las ecuaciones logarítmicas para la geología sirven para el cálculo de la intensidad de un evento. Ejemplo: el caso de un sismo. 11.- Aplicación en la Biología: Los biólogos lo utilizan para estudiar los efectos nutricionales de los organismos. Se puede mostrar que se aplica en el cálculo del PH que Profesor: Javier Trigoso T.
es el logaritmo de la inversa de la concentración de iones de hidrogeno, y mide la condición llamada acidez. 12.- Aplicación en la Astronomía: Los astrónomos para determinar una magnitud estelar de una estrella o planeta, utilizan ciertos cálculos de carácter logarítmico. La ecuación logarítmica les permite determinar la brillantez y la magnitud. 13.- Aplicación en Química: El PH es la concentración de H+, donde H+ una sustancia se define como: H = -Log iones de una sustancia expresada en moles por litro. El PH del agua destilada es 7. Una sustancia con un PH menor que 7, se dice que es ácida, mientras que su PH es mayor que 7, se dice que es base. 14.- Aplicaron en la Aviación: Si dos aviones parten de una base aérea a la misma velocidad formando un ángulo y siguiendo en trayectorias rectas, se puede determinar la distancia que se encuentran entre los mismos. 15.- Aplicación en la Música: Un ejemplo de escala logarítmica es el pentagrama utilizado en occidente para escribir música, la diferencia en la altura del sonido es proporcional al logaritmo de la frecuencia (de un do grave al do siguiente más agudo la frecuencia se dobla. Es decir: que la sucesión de frecuencias de las notas do están en progresión geométrica).
Razonamiento Matemático
3
LOGARITMOS Notación:
Leyes de los logarítmos
LogaN, se lee: “logaritmo del número N en base a”
Sea a > 0 a 1. Sea A, B y n números reales cualesquiera con A > 0 y B > 0
Definición:
P1. El logaritmo de la unidad en cualquier base es cero
Sea N > 0, a > 0 a 1, existe un x R, tal que ax = N, dicho número “x” es el logaritmo de N en la base a. Es decir:
P2. El logaritmo de la base es igual a la unidad loga a 1
LogaN x a x N
Donde:
loga 1 0
P3. Logaritmo de un producto loga A.B loga A loga B
N R+ b R+ – {1} xR
P4. Logaritmo de un cociente
Identidades fundamentales De la definición de logaritmos se tiene: loga N x a x N
A loga loga A loga B B
P5. Logaritmo de una potencia
(2)
(1)
Reemplazando (1) en (2): loga N
a
loga An n.loga A
P6. Logaritmo de una raíz
N
Primera identidad fundamental
Reemplazando (2) en (1): loga a x x
loga
n
A
1 . loga A n
Auxiliares:
loga A log
An
loga A logn
n
an a
A
Segunda identidad fundamental
Profesor: Javier Trigoso T.
Razonamiento Matemático
4
… PARA LA CLASE 01.
Calcula: log125 5
02.
Halla x, si: log
03.
Resuelve: log9 x 27 4
04.
Halla x en: log x2 - 15x 2
05.
Efectúa:
3
16 x - 1
log2 5
log7 12
7
log13 18
13
log7 (2x-19)
Halla x en: 7
log 8x-5 2 2
log 5x 16 3 3
Resuelve:
08.
Resuelve: logx 9
09.
Resuelve: log xlog x - log x4 5
2
11.
Resuelve:
4 4logx 9
Si log2 a y log3 b
12.
Calcula log 48
Si x log2 log4 log8 64
13.
Señala el valor de: E 31x 31-x
x4
07.
x Resuelve: 3log x - log64 2log 2
log16 log x log x - 1 log15 log x2 - 4
P2
06.
2
10.
log(x 2)
14.
Halla x en:
15.
Reducir: P
03.
Resuelve: logx 5 x5
log 10 5x 10 2log7 5
2
5
log7 14
5
log7 2
5
… PARA LA CASA
01. A. 64 C. 32 02. A. 1/5 C. 5/2
Halla x en: log0,25 x B. 1/64 D. 1/32
5 2
Halla a en: loga 0,5 0,2 B. 1/32 D. 2/5
Profesor: Javier Trigoso T.
A. 25 C.
5
04.
B.
5
D. 1/5
5
Si log2 a . Halla log25
A. 2(a-1) C. 2(2+a)
B. 2(a+1) D. 2(1-a)
Razonamiento Matemático
5 05. Resuelve: 10log(3x10) x 50 A. 10 B. 20 C. 30 D. 50 06.
Si log2 = 0,30103. Calcula
log 25.53
A. 3,6 C. 4,8
B.3 D. 5
Halla el producto de las soluciones:
log xlog x log x - 6 0
A. 0,05 C. 0,1 09.
B. 0,01 D. 0,5
Halla y en:
11.
1
B. 64 D. 1024 Resuelve:
log(x4) x2 10 log(x4) 7x
A. -5 C. 3 12. A. 8 C. 40
14.
B. 16 D. 8
x 10
Halla n en: log n - log3 0,5
A. 70 C. 90
B. 80 D. 100
15.
Resolver: 1 1 log x log16 - log8 1 2 3 A. 10 B. 20 C. 30 D. 30 Si log3 a 0,5 . Halla b en:
ab log3 1,5 9
Halla x en: log2 log3 log2 x
A. 32 C. 512
B. 6 D. 8
16.
y 5log y log288 3log 2 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 10.
A. 4 C. 7
2
A. 14 C. 9
07. Calcula: P log100 log8 64 - log2 16 log5 3125
08.
Resuelve: logx3 - log32 log x
12. Halla x en: log23 4 4 3 2
B. 3,8 D.3,2
A. 2 C. 4
2
13.
B. -2 D. Más de una Resuelve: logx 3log2 1 B. 80 D. 1
Profesor: Javier Trigoso T.
A. 2
B. 1/3
C. 3
D. 2/3
17. A. 2 C. 6
x Resuelve: 3log x - log32 2log 2 B. 4 D. 8
18.
Halla x en: 1 log x 2 log18 log8 2log25 2 A. 48 B. 32 C. 16 D. 8
Razonamiento Matemático
6 Si log a.b2 1 y log a3.b 1
19.
Encuentra el valor de ab. A. 10 B. 1/10 C. 0,01 20. log 3 6 2
D.
log2 6
10log x 3
10
log
x
Si: loga b 2 ; Encuentra el valor de
A. 1/2 C. 2
B. 1 D. 4
Halla el mayor valor de x en:
log 5 - x 35 - x3 3
A. 1 C. 3
x
B. 3 D. 5
logb a2 .b
22.
a3x .b5x ax5 .b3x A. loga B. logb C. a + b D. ab
Halla x en:
A. 2 C. 4 21.
5
B. 2 D. 4
23.
x
b Calcula log ; sabiendo que: a
24. Si log4 y 2 , halla el valor que debe tener x para que se cumpla: x2 y3 5 log4 16 A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 25.
Si log5 = k. Calcula el valor de: 16 1 M log2 2log log 25 125
A. 9k – 10 C. 10k - 9
B. 9k + 10 D. 9 - 10k
www.issuu.com/sapini/docs/
Profesor: Javier Trigoso T.
Razonamiento Matemático