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Función Inyectiva, Suryectiva y Biyectiva Función Inyectiva Una función puede tomar el mismo valor en diferentes puntos de su dominio, tal es el caso de la función: f(x) x2
que toma el mismo valor para elementos opuestos de su dominio, por ejemplo: f(2) 4
y
f(2) 4
En el caso de la función:
f(x) x 3 x 5
tenemos que.
f(3) 0
y
Observa en el gráfico siguiente como TODOS los elementos del conjunto X, tienen diferente imagen en el conjunto Y. Observación En toda función inyectiva se cumple que cualquier recta horizontal intercepta a su gráfica en no más de un punto.
f(5) 0
Las funciones para las que esta clase de repetición no tiene lugar, se denominan. Definición Una función es inyectiva o univalente (uno a uno) si y solo si a elementos distintos del dominio le corresponden imágenes distintas es decir: Si x1 x2 f x1 f x2
En forma equivalente: f es inyectiva, si: Si f x1 f x2 x1 x2
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Función Suryectiva Es aquella donde cada elemento del conjunto de llegada (Rango) es imagen de algún elemento del conjunto de partida (Dominio). Es decir el conjunto de llegada e imagen son iguales. Definición Sea f: A B una función. La función f es suryectiva o sobreyectiva si para todo y є B, existe x є A, tal que f(x) = y. Es decir, f es suryectiva si Ran(f) = B. Matemática 1
2 En el gráfico siguiente observa como TODOS los elementos del conjunto Y, son imagen de los elementos del conjunto X.
Función Biyectiva Sea f: A B una función. La función f es biyectiva si y solo si es inyectiva y suryectiva.
… PARA LA CLASE 01. ¿Cuántas de las siguientes gráficas corresponden a funciones inyectivas? y
y
x
A. 4
x
4
B.
1
D.
4
04. Si f es una función inyectiva definida por:
x
A. 1 C. 3
C.
y
y
03. Indica el conjunto de valores de k, de tal manera que la función f sea inyectiva. 4 kx f x; y 2 / y x 1
x
B. 2 D. 4
02. Dada la función: 2 x ;x 1 f x 3 x ; 1 x 1 Determina si la función es inyectiva y halla su rango. A. Si; 1; 1 B. Si; 1; C. No; 1; 1 D. No; 1;
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f
x;x
2
2x / x ;k 5
entonces es verdad que: A. k 2 B. k 5 C. k 6 D. k 7 05. Halla el valor de x2 y2 sabiendo que la función f es inyectiva: 5; 1 , 3;2 , 2x y; 1 , y x;2 f , x;6 A. 1 B. 4 C. 5 D. 13
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3 06. Dada la función
09. Dada la función
f : m;7
f : 0;3 3;
n;3m con regla de
correspondencia f(x) 5 2x ,
determina el valor de m + n, si f es sobreyectiva. A. -10 B. -8 C. 8 D. 10 07. Dada la función: 20;b con regla de f : a;10
correspondencia f(x) x2 4x 32 . Halla a + b para que f sea biyectiva. A. 6 B. 18 C. 28 D. 34 08. Sea f x x2 2x 1 una función sobreyectiva cuyo dominio es 2;10 y
B definida por:
x 7 ;x 3 f x 5 x2 7 ;0 x 3 Halla B para que f sea suryectiva. A. 7; 2 B. 2; C. ; 7 2; D. 7; 2 2; 10. Dada la función f : con regla de correspondencia: x 3 ;x k f x 2x 7 ;x k Halla k, si f es biyectiva. A. -10 B. -4/3 C. 4/3 D. 10
rango a;b 1 . Halla el valor de a. A. -1 C. 80
B. 1 D. 81
… PARA LA CASA 01. Dada la función f : A A definida por el diagrama sagital. Señala verdadero o falso. A 1 2 3
A. VVF C. FVV
f
02. ¿Cuántas de las siguientes gráficas corresponden a funciones inyectivas? y
y
B a b c
I. es inyectiva II. es suryectiva III. es biyectiva B. VVV D. FFV
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x x y
y
x
x
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A. 1 C. 3
B. 2 D. 4
B es una función 03. Si f : suryectiva tal que f(x) x 2 x Halla B A. 2;
B. 2;2
C. 2;
D. 2;0
04. Si f es una función definida por:
2;15 / f x x2 3x 1 Indica si f es sobreyectiva e indica su rango. A. Si; 1;10 B. No; 1;10 f : 3;2
5 C. No; ;11 4
D. Si; 2;15
05. Dada la función a;b con regla de f : 2;5 correspondencia f(x) 5x 2 ,
determina el valor de b - a, si f es sobreyectiva. A. 5 B. 8 C. 15 D. 23 06. Dada la función 9;b con regla de f : a;4 correspondencia f(x) 2x 1 ,
determina el valor de a + b, si f es sobreyectiva. A. 2 B. 5 C. 10 D. 13 07. Si la función f definida por: f : 3;1
1;11 / f x kx 2 , es
4
08. Dada la función f : 3;k
4;6 con regla de
correspondencia: 2 2x ; 3 x 1 f x 5 x ; 1 x k Halla k, si f es biyectiva. A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
09. Dada la función biyectiva: 1;5 con regla de f : a;b correspondencia f(x) 3 x 1 Señala el valor de a + b A. 0 B. 63 C. 120 D. 126 10. Si la función f definida por:
6;b / f x 2x2 16x 24 es biyectiva, el valor de a + b es: A. 5 B. 6 C. 7 D. 11 f : a;4
11. Con respecto a la función:
f : 3;8 a;b / f x 2 6x 20k
Calcula M suryectiva. A. 2 C. 4
b a , si la función es B. 3 D. 5
12. Dada la función biyectiva: a;72 con regla de f : 5;b correspondencia f(x) x2 8x 7 Señala el valor de a + b A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
biyectiva, calcula f(-2) A. -8 B. -4 C. 4 D. 8 Profesor: Javier Trigoso T.
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13. Dada la función: f : 2;3 3;
B definida por
6x 7 ; 2 x 3 5 f x x ;x 3 x 3 Halla B para que f sea suryectiva. A. 1; B. 0;1 1;
1;1, 2;1, 3;2 es sobreyectiva II. 1;2 , 2;2 , 1;3 es inyectiva III. 1;2 , 2;2 , 3;1 es sobreyectiva I.
A. VVV C. VFV
B. VVF D. VFF
18. Dada la función:
;0 con regla de
C. 5;1
1;
f : 1;1
D. 5;1
1;
correspondencia f(x)
14. Con respecto a la función: f : 2;5 a 1;b / f x
x2 4 x2 3
x 1 . x 1 ¿Qué clase de función es f? A. Inyectiva B. Suryectiva C. Biyectiva D. No es función
Calcula E ab ba , si la función es suryectiva. A. 1,25 B. 1,5 C. 1,75 D. 2,25
19. ¿Cuáles de las siguientes Afirmaciones son verdaderas? I. f x 3x x es inyectiva
15. Sea f : 0;5 1;7 definida 4 x ;0 x 3 por: f x 2 x 6x 2;3 x 5 Se cumple que: A. f es inyectiva y sobreyectiva B. f es inyectiva pero no sobreyectiva C. f es sobreyectiva pero no inyectiva D. f no es inyectiva ni sobreyectiva
correspondencia f x x2 6x 10 es
16. Con respecto a la función: f
x;y
2
/ y 4x 7 es
correcto afirmar que: A. Es inyectiva B. Es biyectiva C. Es sobreyectiva D. No es función
II. f : 3;
1; con regla de
biyectiva III. f x 3x2 5x 3 es inyectiva x ; 1
A. Solo I C. II y III
B. I y II D. Solo III
20. Dadas las funciones: f:
A / f x x
g:
/ g x
Donde A x
/ x 0
x 1 2
17. Dados los conjuntos A 1;2;3 B 1;2 y la función
Señala la proposición verdadera A. f y g son suryectivas B. f es inyectiva y g es suryectiva C. f y g son inyectivas D. f es suryectiva y g es inyectiva
f : A B . Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
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