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Dominio y Rango de una función Una función no queda completamente definida hasta que se indica cual es el conjunto de los valores de entrada de la variable independiente.
segundas componentes de los pares ordenados pertenecientes a la función.
• Dominio: llamado también conjunto de pre imágenes, está formado por todas las primeras componentes de los pares ordenados pertenecientes a la función.
Rf Ranf x B / (x; y) f Ejemplo:
Df Domf x A / (x; y) f
Ranf 2; 5; 6; 9
Sea f 1;2 , 3;5 , 7;6 , 4;9 Domf 1; 3; 7; 4
• Rango: llamado también conjunto de imágenes, está formado por todas las
Una función está completamente definida cuando se indica su dominio, y la fórmula para obtener los valores de la variable dependiente cuando la variable independiente toma cualquiera de los valores del dominio. A veces, el dominio de una función no se dice explícitamente. Cuando sucede esto, se entiende que el dominio es el conjunto más grande de números reales en el que puede tomar valores la variable independiente de la función.
Cálculo del dominio de una función En general, una función opera por medio de las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación, división, potencias o radicales, y en vista de esto, afirmamos que para encontrar el dominio de una función necesitamos solo conocer las operaciones involucradas en la regla de correspondencia de la función dada. Para la suma, resta, multiplicación y potenciación sabemos que no hay restricción en el conjunto de números que pueden relacionarse por medio de estas operaciones. Para la división si hay una restricción, ya que sabemos que no podemos dividir entre cero. Para la radicación o extracción de raíces, tenemos restricción si el índice de Profesor: Javier Trigoso T.
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2 la raíz es par, es decir, debemos restringirnos a operar solo con números reales no negativos; si el índice de la raíz es impar no tenemos restricción. Entonces, solo tenemos problemas de búsqueda de dominios para aquellas funciones que pueden ser comparadas, en su forma, con las siguientes funciones: f(x)
1 y f(x) x
x
Busquemos el dominio de estas funciones.
Dominio de funciones que contienen fracciones
1 tenemos que la división del x número 1 entre algún número x en solo es posible si x 0 Así, el conjunto de números que esta función puede operar es: 0
Para la función f definida por la regla: f(x)
Ejemplo 4 x3 1 Esta función es comparable con la función según su forma, pues es una división x entre una expresión que contiene a la variable x. Entonces para buscar el dominio, primero resolvemos la igualdad: x + 3 = 0 Despejando la variable x, tenemos: x = -3. Segundo, eliminamos del conjunto , este valor, y el conjunto resultante es el dominio buscado. Entonces:
Encuentra el dominio de la función f(x)
Dom(f)
3
Dominio de funciones que contienen raíces
Para la función g definida por la regla: f(x)
x tenemos lo siguiente: las raíces
pares existen solo si el radicando es mayor o igual a cero, es decir, es no negativo, entonces debemos resolver la desigualdad: x 0 La solución de esta desigualdad nos conduce al intervalo: 0; el cual es el dominio de la función dada. Ejemplo Encuentra el dominio de la función f(x)
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x5
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3 Si comparamos esta función con la función x vemos que son similares en la forma, es decir, f es la obtención de una raíz de índice par. Entonces procedemos a buscar el dominio resolviendo la desigualdad: x 5 0 Despejando la variable x, tenemos: x 5 . Y esto nos conduce al intervalo 5; Entonces: Dom(f) 5;
Vamos ahora a generalizar esta manera de encontrar dominios.
Si la función dada es la división entre una expresión que contiene a la variable x, resolvemos la ecuación: Denominador 0 Procedemos a eliminar de R los valores encontrados en la solución de la ecuación anterior, y el conjunto resultante es el dominio. Si la función dada contiene una raíz de índice par, resolvemos la desigualdad: Radicando ≥ 0 El conjunto solución resultante es el dominio buscado. Cuando la regla de correspondencia de la función contiene raíces en el denominador, es necesario imponer las dos condiciones anteriores.
… PARA LA CLASE 01.
A.
Halla el dominio de la función 1 f(x) x x B. 0
1
C.
1
02.
Halla el dominio de la función 2 f(x) 2 x 4 2;2 B. 2
A. C.
2
D.
D. 2;2
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03.
Calcula el dominio de la función f(x) 2 x x 3
Y da como respuesta la suma de sus valores enteros A. -3 B. -1 C. 1 D. 3 04.
Halla el dominio de la función f(x) x 1 4 6 x
A. 1;6 C. 1;6
B. 1;6 D.
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4 05.
A.
Halla el dominio de la función x 2 f(x) x
C. ;0 06.
A.
D. 0;
C.
B.
09.
Halla el dominio de la función
Halla el rango de la función x 1 f(x) x 2 0 B. 1
2
10.
D.
3
Halla el rango de f, si
f(x) 4x2 16x 17
f(x) 1 1 x
A.
B. 0;1
A. 1;1
B. 1;
C.
D. 1;0
C. 1;
D. 1;
07.
Halla el dominio de la función f(x)
2
x 2x 1
3 3 B. ; 2 2
2 2 C. ; 3 3
2 2 D. ; 3 3
08.
Si f(x)
f(x) 2x2 4x 1 ; 2 x 3
9 4x2
3 3 A. ; 2 2
2
A. 1;31 C. 1;31
5 , x 1
D. ;3 1
C. ;3
B. 1;31 D. 31;1
12.
y g(x)
3x Halla Dom(f) Dom(g) A. 1 B. ;3
11. Determina el rango de la función cuadrática definida por
Dadas las funciones: f(x) 3x 2 ; x 0;2
g(x) 1 x ; x 2;5
Halla: Ran(f) Ran(g) A. B. 4;4 C.
D. 4;4
… PARA LA CASA 01. Halla el dominio de la función
02.
4
f(x) x 1 x 3
A. 1; C. ;1
B. 3; D. ;3
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C. 0 A. 1
Halla el dominio de la función f(x) 4 x 1 8 1 x
B. D.
1
0
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5 03.
Halla el dominio de la función
1x x 3 Y da como respuesta su mayor valor entero A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 f(x)
04.
A.
Halla el dominio de la función 2x 5 f(x) 2 x 5x 6 2;3 B. 2;3
C.
2;3
E.
3
05.
Halla el dominio de la función 1 f(x) x 3 4x A. 3; B. 3; 4 C.
4
D. 3;
4
06.
Indica el dominio de la función: x f(x) 1 2x x A. 0;1 B. 0;1 / 2 C. 0;2
f(x)
08.
x2 5x 6 da como x4 respuesta el mayor entero negativo de su dominio A. -4 B. -3 C. -2 D. -1
10. Halla el dominio de la función x4 f(x) x2 5x 6 A. ;2 3; B. 2;3 C. ; 3 2; 11. Si f(x)
x4
2
12. Halla el dominio de la función 2x (x 3)(x 4)
A. ;2 4; B. ;2 3;4 C. ;2 3;4
2
x 1 B. 4 D. 6
D.
2;3;4
13. Halla Dom(f) Ran(f) para la 1
una
x 2 función real de variable real, entonces su dominio es: Profesor: Javier Trigoso T.
D. 3; 2
da como x 5x 6 respuesta el menor entero negativo de su dominio A. -5 B. -4 C. -3 D. -2
f(x)
x 3 3x
Sea f(x) 5 x
B. 2;5 D. 2;5
09. Si f(x)
E. ;1 / 2
07. Obtén el número de elementos enteros del dominio de:
A. 3 C. 5
A. 2;5 C. 2;5
función: f(x) 2x2 6x 8 ; 1 x 4
25 ; A. 2
25 ;4 B. 2
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6 C. 1;0
D. 1;0
14. Dada la función f según: f(x) 2x2 16x 16 ; 1 x 5 hallar: Dom(f) - Ran(f) A. 5;16 B. 2;1 5;16 D. 1;16
C. 2;5
x 3 x 2
15. Dada la función f x Hallar: Dom(f) Ran(f) A. C.
2
3
B. D.
1
2;1;3
16. Dada la función ; 2 x 6 4 g(x) x 2 ; 6 x 11 Hallar Dom(g) Ran(g) A. 2;11 B. 2;3
C. 2,3 4
D.
2;3
17. Si f es una función definida por f(x) x 1 ; x 0;8 , entonces el
rango de f es. A. 0;3 C. 0;2
B. 1;3 D. 1;8
18. Si f es una función definida por f(x) x2 1 ;x 1;2 , entonces el rango de f es.
A. ;5 C. 2;5
B. 1;5 D. 0;5
19. Sea f(x) 4x x2 , halla Ran(f) Dom(f) A. 2;0 C. 2;2
B. 0;4 D. 0;2
20. Calcula el Dom(f) Ran(f) para la 3x ; x 2;3 función: f(x) 2 x ; 3 x 5 A. 2;5 B. 2;5 C. 2;5
D. 2;5
21. Halla el rango de la función 2x 8 f x si x 2;5 x 3 9 1 A. ;5 B. ;5 4 4
1 C. ;1 4
9 D. ;4 4
22. Sea la función x 1 ; x 3;9 2 f(x) x ; 3 x 2 x ; x 25; 4 Halla el Rango de f A. 4;10 B. 0;10 C. 0;9
D. 4;5
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