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DESIGUALDAD Es aquella comparación que se establece entre dos números reales, mediante los símbolos de desigualdad: ; ; ;
Teoremas básicos de las
Si a b
1. Si a b c
a a a a
b: "a b: "a b: "a b: "a
, se tiene: es es es es
mayor menor mayor menor
que b " que b " o igual que b " o igual que b "
Ley de Tricotomia Dados dos números reales a y b; entre ellos solo se puede establecer una de las siguientes relaciones:
ab ; ab ; ab
Definiciones Dados a, b, c, d 1. Si a 0 a es positivo 2. Si a 0 a es negativo 3. a b a b a b 4. a b c a b b c 5. a b a b 0 6. a b a b 0 7. Si a b a c b c 8. Si a b c d a c b d 9. Si a b c 0 ac bc 10. Si a b c 0 ac bc
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desigualdades a c b c
a.c b.c 2. Si a b c 0 a b c c a.c b.c 3. Si a b c 0 a b c c 2 4.a a 0 0 a b 0 a.c b.d 0 c d 6. a.b 0 a 0 b 0 a 0 b 0 5.
7. a.b 0 a 0 b 0 a 0 b 0
1 0 a 1 9. a 0 0 a 10. Si a y b tienen el mismo signo : 1 1 1 a x b b x a a 11. Si 0 a.b 0 si b 0 b a 12. Si 0 a.b 0 si b 0 b 1 13. a 2 ; a a 1 14. a 2 ; a a 15. a2 b2 2ab ; a, b 8. a 0
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2
…PARA LA CLASE 01.
Si abcd 0 ; ad2 0 ; 2bc 0 ,
¿cuál de las siguientes afirmaciones es necesariamente cierta? A. c < 0 B. c > 0 C. d < 0 D. d > 0 02.
Si: a < 0 < b, afirmamos: a I. a2 > ab II. 1 b 1 1 III. IV. a2 < b2 a b ¿Cuántas son verdaderas? A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 03. Si ab < 0; a + c > 0 y bc > a, ¿cuál de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I. Si a < 0, entonces bc < 0 II. Si c > 0, entonces b > 0 III. Si abc > 0, entonces a > 0 A. Solo I B. Solo II C. I y III D. II y III 04. Si x + y > 0; x.z < 0; y.z > x ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son necesariamente ciertas? I. Si y > 0, entonces z > 0 II. Si x < 0, entonces y.z < 0 x.y 0 , entonces x > 0 III. Si z A. I y III B. I y II C. Solo III D. I y III
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05. De los siguientes enunciados, ¿cuántos son verdaderos? I. Si 5x 25 x 5 x II. Si 2 x 6 3 x III. Si 3 x 5 5 IV. Si x 1 x 1 V. Si x 4 x 4 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 06. De los siguientes enunciados, ¿cuántos son verdaderos?, si sabemos que: a < b < 0
I. Si a b x a b
2
x a b
II. Si a b x a2 b2 x a b III. Si b a x b2 a2 x a b
IV. Si a2 b2 x a2 b2 x 1
V. Si a2 b2 x a2 b2 x 1 A. 1 C. 3
B. 2 D. 4
07. De las siguientes desigualdades; indica la(s) correcta(s): I. II. III.
2 55 10 2 17 11
5 24 3 2
IV. 11 112 11 112 5 A. Solo I B. Solo II C. Solo III D. Solo IV
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3 08. Si x 3;2 , indica el mayor valor entero en el intervalo de x2. A. 3 B. 4 C. 8 D. 9 09. Si "a" representa un número entre 3 y 7; "b" representa un b número entre 21 y 33. representa a un número entre: A. 7 y 33/7 B. 3 y 11 C. 3 y 7 D. 7 y 11 10.
Si x 2;4 ; entonces
"2x + 3" pertenece al intervalo: A. 4;8 B. 7;11 C. 4;8
D. 7;11
11. Si x 3 ; 7 ; entonces
1 3x 1
pertenece al intervalo: A. x 4;8 B. x 7;11
1 1 ; C. x 18 6
1 1 ; D. x 20 8
1 3 x5 12. Si x ; y m;n 2 2 x 2 Halla m.n A. 3/143 B. 13/143 C. 143/3 D. 143/13
1 3 4 2
13. Si x ; ; halla el menor valor de “M” sabiendo que A. 1/4 C. 1/6
x 2 M x4 B. 1/5 D. 1/7
14. Califica con (V) si es verdadero y con (F) si es falso las siguientes proposiciones: 1 1 1 I. Si x 2;4 ; 2x 3 11 7 II. Si
x x a;a x
a;x0 a III. Si a; b c; d c a b d 0
0
A. VVF C. FVF
B. FFV D. VVF
…PARA LA CASA 01. Dados: x > y > 0, , la desigualdad que no siempre es verdadera es: A. x + z > y + z B. x - z > y – z C. xz > yz D. xz2 > yz2 02. Si a2 .b 0 c 0 Entonces: A. a < 0 B. a > 0 Profesor: Javier Trigoso T.
C. bc < 0
D. bc > 0
03. Para reales afirmamos: I. Si a b a c b c II. Si a 0 a 0
III. a b
2
2ab
Son verdaderas: A. Solo I C. Solo III
B. Solo II D. Todas Matemática 1
4 04. Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. Si 3 x 5 9 x2 25 II. Si 3 x 2 0 x2 9 III. Si 3 x 4 0 x2 15 A. VVV B. VFV C. FVF D.FFV 05. De los siguientes enunciados, ¿Cuántos son verdaderos? I. Si 2x 3 2x 3 II. Si 2x 8 x 4 III. Si 12x 24 x 2 IV. Si 3x 9 x 3 V. Si 4x 16 x 4 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 06. Si: 0 < b < 1 < a < 2, señala el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. b3 a II. a2 2 III. b2 b A. VFV B. VFF C. VVF D. FVF 07. Si x < 0, y > 0, z > y. ¿Cuáles son verdaderas? I. z – y > x II. y.z > 0 III. x –1 < y A. Sólo I B. I y III C. I y II D. Sólo III
A. Todas C. I y III
B. Solo I D. I y II
09. Si a < b; indica cuáles son verdaderas: 2a b ab I. b II. a 3 2 a 2b III. b 3 A. Solo I B. Solo II C. I y II D. Todas 10.
Si xyzw 0 ;
w2 5 0; 0 x yz
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es necesariamente cierta? A. z > 0 B. w > 0 C. x < 0 D. w < 0
yz2 x2 y 0; 0 x z ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I. y > z II. y < x III. xy < xz A. Solo I B. Solo II C. I y II D. II y III 11.
Si xyz 0 ;
12.
Si x, y, z R / x, y, z 0
entonces podemos afirmar que: x x zy I. Si y z II. Si x y x 2 y 2
08. Para reales son verdaderas: I. Si a 0 a2 0 II. Si a b ac bc 1 1 III. Si 0 a b 0 b a
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III. Si x y
1 1 x y
A. Solo I es falsa B. Solo II es falsa C. I y II son falsas D. Todas son falsas
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5 13. Sean a y b dos números; si se tienen las siguientes proposiciones: 1 1 I. Si a b b a 25 II. Si a 0 a 10 a III. Si a 0 ab ac c b 0 ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son siempre verdaderas? A. Solo I B. Solo II C. I y II D. II y III 14. Si a < b < 0. Halla el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: b 1 1 b b I. II. a a a b a III. Si a b 0 a a b a b
IV.
b2 b a
A. VVVF C. FVVF
A. –3 y –2 C. –15 y 2
16.
Si x 1;2 halla el mayor
valor entero de x2 + 3 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 18.
Si x 3;5 ; entonces
"3x + 6" pertenece al intervalo: A. 9;21 B. 3;21 C. 3;21 19.
B. FVFV D. VFVF
a 2b varía entre: 3 B. –18 y 3 D. –16 y 6
10 a 5 Si 2 b 1 , entonces 2c5
ab está comprendido entre: M c A. -10 y – 1 B. 2 y 20 C. 2 y 10 E. 0 y 10
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D. 9;21
Si 2x 6 4;4 ; entonces
"x" pertenece al intervalo: A. 2;5 B. 1;5 C. 2;10
D. 1;10
1 3 Si x ; 2 2 pertenece 2x + 5? A. 1;3
B. 6;8
C. 1;3
D. 6;8
20.
15. Si a y b son números reales tales que 5 a 7 2 b 6,5 entonces P
17.
21.
, ¿a qué intervalo
Si x 2 ; 5 ; entonces
1 pertenece al intervalo: 4x 3 A. x 5;17 B. x 5;17
1 1 ; C. x 17 5
1 1 D. x ; 5 17
Dado 8 x 10 6 1 Calcula a + b, si: a 3x 4 b 2 A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 22.
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6 23.
Si x 3;7
1 12 1 a x 1 b Indica el valor de “a – b” A. 12 B. 6 C. 1/12 D. 1/6 Además
24.
Si 3
x 11 6 . Señala el 2
máximo valor de x 4
2
; si x
A. 49
B. 64
C. 80
D. 81
D) 25
E) 36
25. Si 0 < x < 2, entonces se cumple que m x2 1 n ; Halla m y n. A. m = -1 ˆ n = 3 B. m = -5 ˆ n = -2 C. m = 3 ˆ n = 5 D. m = 4 ˆ n = 8 26. Si 1 x 2 . Calcula a + b si se cumple: a x3 2 b A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 x 27. Si x 1 ; 7 ; entonces 2x 1 pertenece al intervalo:
A. x 3;8
1 7 B. x ; 3 15
1 7 ; C. x 15 3
1 7 D. x ; 6 16
28.
Si x 2;4
x 1 1 1 ; 3x 8 a b Indica el valor de “a – b” A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 Además
29. Hallar el menor número racional « m » que para cualquier valor de x 2 ; 4 satisface la siguiente desigualdad A. -2/3 C. -1/3 30.
x3 m x 5 B. -5/3 D. 5/3
Halla « A + B », si x 1 ; 3
y además A A. 79/189 C. 176/89
x3 B x x 16 B. 17/189 D. 176/189 2
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