Appunti Matematici 37

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Patrizio Gravano

APPUNTI MATEMATICI

LA TEORIA DEI LIMITI numero 37 - gennaio - dicembre 2018

INTRODUZIONE

Questo numero di Appunti matematici contiene una sintesi elementare della teoria dei limiti delle funzioni reali di una variabile reale e delle sue naturali estensioni ad altre funzioni, quali quelle di piu’ variabili e le funzioni vettoriali, non considerando, per ragioni di tempi, quelle di una variabile complessa.

L’elaborato contiene una parte introduttiva utile a ricordare le nozioni strettamente necessarie per la comprensione della teoria dei limiti.

Patrizio Gravano patrizio.gravano@libero.it

NOZIONI PRELIMINARI La teoria dei limiti presuppone alcune semplici nozioni matematiche. Si presuppone il lettore pratico con i numeri reali e con le relative proprieta’. In ogni caso in una apposita appendice (vedi infra, Appendice 1) si avra’ modo di ricordarle. E’ nota la corrispondenza biunivoca tra i numeri reali e i punti della retta. Ad un numero reale corrisponde un punto di una retta e viceversa. E’ assegnato un punto arbitrario cui e’ fatto corrispondere il numero reale 0. L’insieme R dei numeri reali si indica con il formalismo (−∞, +∞) detto continuo reale. L’insieme (−∞, 0) e’ l’insieme dei numeri reali negativi. L’insieme (0, +∞) e’ l’insieme dei numeri reali positivi. Una nozione particolarmente utile e’ quella di valore assoluto di un numero reale. Sia a un numero reale. E’ possibile una soltanto delle tre relazioni a < 0, đ?‘Ž = 0, đ?‘Ž > 0.

Il valore assoluto di un numero reale a si indica con il seguente formalism0 |a|. Per definizione si ha:

|a| = đ?‘Ž quando a > 0 |a| = −đ?‘Ž quando a < 0 |a| = 0 quando a = 0.

Le relazioni contenenti valori assoluti sono molto utilizzate nell’introdurre la nozione di limite di una successione o di una funzione di una variabile reale.

E’ bene fare qualche esempio. |3| = 3 |−6| = 6 |x −đ?‘Ś| = đ?‘Ľ − đ?‘Ś se x ≼ đ?‘Ś |x −đ?‘Ś| = đ?‘Ś − đ?‘Ľ se x < đ?‘Ś Si osservi che |x −đ?‘Ś| indica la distanza euclidea tra i numeri (punti della retta) x ed y. Va rimarcato che |x −đ?‘Ś| = |đ?‘Ś − đ?‘Ľ|.

E’ utile osservare che per ogni numero reale x risulta che:

−|đ?‘Ľ| ≤ đ?‘Ľ ≤ |đ?‘Ľ| e che |x|< đ?‘Ś â&#x;ş −đ?‘Ś < đ?‘Ľ < đ?‘Ś

Si avra’ modo di constatare che scritture del tipo |a −đ?‘?| < đ?‘? sono frequentemente usate per lo studio del limiti.

E’ bene quindi far notare che: |a −đ?‘?| < đ?‘? â&#x;ş −đ?‘? ≤ đ?‘Ž − đ?‘? < đ?‘?, trattabile algebricamente.

Una ulteriore utile nozione per comprendere la nozione di limite e’ costituito dal concetto di intervallo finito della retta reale. Dati due numeri reali tali che a < đ?‘? e’ possibile definire particolari intervalli, cioe’ sottoinsiemi di R. Ad esempio e’ possibile definire l’insieme (infinito) dei numeri reali x tali che a < đ?‘Ľ < đ?‘?.

Detto insieme non contiene i punti x ed y. Si tratta di un intervallo aperto, di estremi inferiore x e superiore y.

Un intervallo aperto viene indicato solitamente con le seguenti modalita’: (a, b) oppure âŚŒa , b⌋.

Un ulteriore esempio di intervallo e’ il seguente: a≤đ?‘Ľ ≤đ?‘? In questo caso si ha a che fare con un intervallo chiuso, indicato nel seguente modo: ⌋a, bâŚŒ.

In questo caso l’intervallo ha un minimo a e un massimo b.

Ulteriori esempi sono offerti dagli intervalli aperti a sinistra o aperti a destra. Essi individuano insiemi numerici del tipo a < đ?‘Ľ ≤ đ?‘? e a ≤ đ?‘Ľ < đ?‘?, rispettivamente.

Detti intervalli sono formalizzati, rispettivamente, come segue: (a, bâŚŒ (intervallo aperto a sinistra) ⌋a, b) (intervallo aperto a destra) Nel primo caso a e’ l’estremo inferiore dell’insieme e b il massimo. Nel secondo caso a e’ il minimo dell’insieme e b e’ l’estremo superiore.

La condizione per la quale lo zero appartenga ad un dato intervallo e’ che risulti a < 0 đ?‘’ đ?‘? > 0 oppure che 0 sia il minimo o il massimo dell’intervallo considerato.

Questi intervalli sono detti finiti e tale definizione si riferisce al fatto che hanno per estremi numeri reali assegnati. In ogni caso essi contengono un numero infinito di elementi, cioe’ di punti (numeri reali). Essi vanno distinti dai cosidetti intervalli infiniti.

Un primo esempio di intervallo infinito e’ il continuo reale (−∞, +∞). Altri esempi sono i seguenti: (−∞, đ?‘Ž) costituito da tutti gli x reali tali che x < đ?‘Ž (−∞, đ?‘ŽâŚŒ costituito da tutti gli x reali tali che x ≤ đ?‘Ž (c, +∞) costituito da tutti gli x tali che x > đ?‘? ⌋c , +∞) costituito da tutti gli x tali che x ≼ đ?‘?

Un ulteriore “ingredienteâ€? utile per lo studio dei limiti sono le disequazioni e la loro risoluzione. Sono sicuramente utili le disequazioni di primo e di secondo grado in x. Le disequazioni di primo grado sono relazioni del tipo: ax +đ?‘? < 0 ax +đ?‘? > 0 đ?‘?

đ?‘?

Da ax +đ?‘? < 0 si puo’ scrivere che ax < −đ?‘? e quindi x < − đ?‘Ž quando a > 0 e x < − đ?‘Ž quando a < 0. In modo analogo si discute ax +đ?‘? > 0 , dovendo tenere conto del segno di a. Le disequazioni di II grado sono riconducibili a due forme canoniche. Esse sono: ax 2 + bx + c > 0 ax 2 + bx + c < 0

Si puo’ osservare che đ?‘Žđ?‘Ľ 2 + đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘? > 0 e’ sempre vera quando a > 0 đ?‘’ đ?‘? 2 − 4đ?‘Žđ?‘? < 0. Analogamente đ?‘Žđ?‘Ľ 2 + đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘? < 0 e’ sempre vera quando a < 0 đ?‘’ đ?‘? 2 − 4đ?‘Žđ?‘? < 0.

Quando đ?‘? 2 − 4đ?‘Žđ?‘? = 0 đ?‘Žđ?‘Ľ 2 + đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘? segue il segno di a. Nel caso đ?‘? 2 − 4đ?‘Žđ?‘? > 0 occorre calcolare le radici dell’equazione đ?‘Žđ?‘Ľ 2 + đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘? = 0. La seguente figura fa capire agevolmente i termini della questione.

Si indica in rosso il caso sia a > 0.

La disequazione đ?‘Žđ?‘Ľ 2 + đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘? > 0 sotto le condizioni a > 0 e đ?‘? 2 − 4đ?‘Žđ?‘? > 0 e’ verificata nei due seguenti intervalli infiniti (−∞, đ?‘Ľ1 ) e (đ?‘Ľ2 , +∞). In modo analogo si discute đ?‘Žđ?‘Ľ 2 + đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘? > 0 sotto le condizioni a > 0 e đ?‘? 2 − 4đ?‘Žđ?‘? > 0.

La figura seguente da conto della situazione.

In questo caso si ha đ?‘Žđ?‘Ľ 2 + đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘? > 0 (sotto le condizioni a < 0 e đ?‘? 2 − 4đ?‘Žđ?‘? > 0) per gli x tali che x ∈ (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 ). Gli altri casi possibili si gestiscono sulla falsariga di quanto detto fino a questo punto.

Cio’ posto, e’ ora possibile dare la definizione di intorno simmetrico di un punto. Dato un punto đ?‘Ľ0 si dice intorno simmetrico di ampiezza đ?›ż di detto punto l’insieme costituito da tutti gli x tali che |x −đ?‘Ľ0 | < đ?›ż . Detta altrimenti un interno simmetrico di ampiezza đ?›ż e’ il luogo degli x tali che valgano le due diseguaglianze seguenti: x0 − δ < x < x0 + δ Allorquando l’intorno e’ chiuso le precedenti relazioni precedenti divengono: |x −đ?‘Ľ0 | ≤ đ?›ż

x0 − δ ≤ x ≤ x0 + δ

Non infrequentemente si utilizzano intorni sinistri e destri di un punto x0 . Un intorno sinistro di x0 viene rappresentato come segue: x0 − δ ≤ x ≤ x0 . Un intorno destro di di x0 viene rappresentato come segue: δ ≤ x ≤ x0 + δ .

E’ importante un’ulteriore nozione, quella di punto di accumulazione. Sia dato un insieme I di punti. Sia đ?‘Ľ0 un punto non necessariamente di I. Il punto đ?‘Ľ0 e’ un punto di accumulazione per I se per ogni intorno di đ?‘Ľ0 esiste almeno un punto x distinto da đ?‘Ľ0 tale che x ∈ đ??ź. A contrariis, per dimostrare che un punto đ?‘Ľ0 appartenente o meno a I non ha punti di accumulazione per I occorre ed e’ sufficiente trovare un intorno di esso che non contiene alcun pinto di I.

Si e’ soliti fare l’esempio dei numeri interi assoluti. Detto insieme non ha punti di accumulazione.

Sovviene la rappresentazione grafica seguente.

In buona sostanza quando si considerino intervalli (intorni) simmetrici di n di ampiezza đ?›ż < 1 determina sottoinsiemi propri tali che nessun altro elemento di I e’ intero. Si osservi che questi intervalli di ampiezza 0 < đ?›ż < 1 sono infiniti. Ma averne evidenziato uno e’ sufficiente ad ammettere che l’insieme degli interi non ha punti di accumulazione. Per i numeri reali la situazione e’ alquanto diversa. L’insieme R dei numeri reali non e’ lacunoso. Se r e’ un numero reale esiste sempre uno, o meglio infiniti, intervalli di ampiezza ≤ đ?›ż tali che contengano un r’ distinto da r. Nel caso dei numeri reali appartengono ad đ??źđ?›ż gli infiniti numeri reali dell’intervallo (min(r, r’), max(r, r’). Se si pone đ??´đ?‘… l’insieme dei punti di accumulazione di R allora si ha che đ??´đ?‘… = đ?‘… mentre đ??´đ?‘ = ∅.

Rispetto ad un dato insieme I un punto �0 puo’ essere di accumulazione per I oppure puo’ essere un punto isolato. Nel caso considerato i numeri n di N sono tutti punti isolati di N.

Per dichiarare che un punto e’ isolato e’ sufficiente trovare un intorno di detto punto che non contiene altri punti di I.

I punti razionali sono punti isolati per N. Infatti sia đ?›ź un numero razionale tale che sia n < đ?›ź < đ?‘› + 1. Sia d(đ?›ź, n+1) = đ?‘Ľ e d(a, đ?›ź) = đ?‘Ś . Sia đ?›ż < min(đ?‘Ľ, đ?‘Ś), allora i punti dell’intorno ⌋đ?›ź − đ?›ż, đ?›ź + đ?›żâŚŒ non contengono punti interi. đ?›ź e’ un punto isolato.

Un punto di accumulazione puo’ essere anche solo punto di accumulazione sinistro o solo punto di accumulazione destro.

Un punto di accumulazione sinistro per un insieme A e’ un punto non necessariamente appartenente ad A tale che in ogni intorno sinistro di esso esista un punto almeno di A. Un punto di accumulazione destro per un insieme A e’ un punto non necessariamente appartenente ad A tale che in ogni intorno destro di esso esista almeno un punto di A. Il piu’ noto numero razionale e’ sicuramente √2.

Quello in rosso deve essere inteso come un arco di circonferenza.

Il numero √2 e’ irrazionale. Esso e’ di accumulazione sia per l’insieme dei razionali che per l’insieme degli irrazionali. Per i punti di accumulazione vale un importante teorema detto di Bolzano.

Ogni sottinsieme limitato della retta reale che contiene infiniti punto ammette almeno un punto di accumulazione. L’essenza del teorema sta nella limitatezza. L’insieme degli interi relativi non ammette punti di accumulazione. Si consideri un intervallo chiuso ⌋đ?‘Ž , đ?‘?âŚŒ. Ogni x ∈ ⌋đ?‘Ž , đ?‘?âŚŒ e’ di accumulazione per ⌋đ?‘Ž , đ?‘?âŚŒ. In particolare ogni x ∈ (a, b) e’ di accumulazione in quanto ogni punto di esso contiene infiniti intorni contenenti infiniti punti di (a, b). Il punto a e’ un punto di accumulazione sinistro per ⌋đ?‘Ž , đ?‘?âŚŒ in quanto ogni intorno destro di a in quanto contiene almeno un punto x di ⌋đ?‘Ž , đ?‘?âŚŒ. Il punto b e’ un punto di accumulazione sinistro per ⌋đ?‘Ž , đ?‘?âŚŒ in quanto ogni intorno sinistro di a in quanto contiene almeno un punto x di ⌋đ?‘Ž , đ?‘?âŚŒ. I punti esterni di ⌋đ?‘Ž , đ?‘?âŚŒ non possono essere punti di accumulazione per ⌋đ?‘Ž , đ?‘?âŚŒ in quanto ad esempio, per ogni minorante di ⌋đ?‘Ž , đ?‘?âŚŒ, ovvero per ogni x < đ?‘Ž ∃ đ?›ż(đ?‘Ľ)| đ?‘‘(đ?‘Ľ, đ?‘Ž) < đ?›ż.

Questa osservazione evidenzia intervalli sinistri che non contengono elementi di ⌋đ?‘Ž , đ?‘?âŚŒ, quando si considerino minoranti di detto insieme limitato. Analoghe osservazioni possono farsi per i maggioranti di ⌋đ?‘Ž , đ?‘?âŚŒ, ovvero per ogni x > đ?‘? ∃ đ?›ż(đ?‘Ľ)| đ?‘‘(đ?‘Ľ, đ?‘?) < đ?›ż. Ponendo đ?›ż(đ?‘Ľ) = đ?›ż0 allora esistono infiniti intervalli, al variare di đ?›ż đ?‘–đ?‘› (0, đ?›ż0 ), che non contengono punti di ⌋đ?‘Ž , đ?‘?âŚŒ.

I punti di accumulazione vengono anche chiamati punti limite. Un punto isolato di I deve necessariamente appartenere a I.

Un sottoinsieme costituito da un numero discreto di punti non ha punti di accumulazione.

L’insieme {a, b, c, d} e’ costituito da tutti e soli punti isolati. Si puo’ ragionare come segue. Per ogni coppia di punti x ed y di esso si puo’ considerare d(x, y). Per ogni coppia di punti (x, y) si definisca min(d(x,y)). Ogni intervallo centrato in ogni punto dell’insieme discreto di ampiezza � < min(d(x,y)) non contiene elementi dell’insieme discreto assegnato. E’ anche possibile un approccio punto per punto.

Ad esempio, per dire che a e’ un punto isolato dell’insieme dato e’ sufficiente osservare che min(a, y) = d(a, b). Ogni intervallo di ampiezza đ?›ż < đ?‘‘(đ?‘Ž, đ?‘?) non contiene punti dell’insieme. Ove poi si dovesse ragionare con riferimento al punto b allora andrebbero considerate le distanze di detto punto da a e da c, rispettivamente, ovvero le grandezze d(a,b) e d(b, c).

Ogni intervallo centrato in b di ampiezza � < min (d(a, b) , d(b, c)) individua insiemi che non contengono punti dell’insieme discreto dato.

Cio’ evidenzia la natura di punto isolato di b per il dato insieme assegnato.

Dato un insieme A l’insieme i cui elementi sono i punti di accumulazione per l’insieme A e’ detto insieme derivato di A ed e’ indicato con il formalismo đ?’&#x;đ??´.

A questo punto e’ possibile introdurre la nozione di funzione reale di una variabile reale.

Una funzione di una variabile reale e’ una corrispondenza che associa in modo univoco ad un numero reale un numero reale, secondo una data legge di corrispondenza. Le funzioni vengono indicate con lettere minuscule tipo f, g, h etc.. Esse possono essere intese come particolari relazioni tra insiemi.

Infatti dati due insiemi non vuoti A e B tali che A ⊆ R e B ⊆ R una funzione da A a B e’ una relazione che associa ad ogni x | x ∈ đ??´ uno ed un solo y ∈ đ??ľ. Si scrive formalmente che f: A → đ??ľ . L’insieme A ⊆ R e’ detto dominio naturale della funzione f. Relativamente ad una assegnata funzione f e’ possibile considerare un insieme tale che sia A’⊂ A ⊆ R. Quando in luogo di f: A → đ??ľ si scrive f: A’ → đ??ľ ci si riferisce a due distinte funzioni. Il dominio naturale e’ il piu’ grande insieme per il quale la funzione ha significato. Le funzioni reali di una variabile reale sono solitamente rappresentate nel piano cartesiano. Si puo’ fare l’esempio di una funzione affine quale y = đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?. Il dominio naturale di essa e’ l’insieme R dei numeri reali. Infatti la y e’ definita per ogni valore della x quando x e’ un numero reale.

Una restrizione potrebbe essere quella ottenuta ammettendo che il dominio di f sia costituto dai numeri reali non negativi, ovvero tali che sia x ≼ 0. In questo caso il grafico sarebbe dato dalla semiretta di origine (0, b). In via di definizione due funzioni f e g sono eguali se f(x)= đ?‘”(đ?‘Ľ) e se dom f = đ?‘‘đ?‘œđ?‘š đ?‘”. E’ parimenti possibile definire una funzione f come l’insieme delle coppie (x, f(x)). Il dominio di una funzione e’ detto anche campo di esistenza di una funzione. L’insieme i cui elementi sono gli f(x) legati agli x ∈ đ??´ dalla legge di corrispondenza f costituiscono il codominio della funzione. Gli f(x) sono detti immagine di x tramite f. E’ utile ricordare alcune limitazioni per i domini naturali di alcune funzioni. Per la funzione razionale fratta

đ?‘?(đ?‘Ľ) đ?‘&#x;(đ?‘Ľ)

ove numeratore e denominatore sono solitamente

due polinomi il dominio di essa e’ dato da tutti reali x tali che r(x) ≠0. Per le funzioni contenenti radicali di ordine pari cioe’ del tipo 2đ?‘›âˆšđ?‘“(đ?‘Ľ) deve essere f(x) > 0 e quindi dom 2đ?‘›âˆšđ?‘“(đ?‘Ľ) = {đ?‘Ľ ∈ đ?‘… |đ?‘“(đ?‘Ľ) > 0}.

Per le funzioni logaritmiche cioe’ per le funzioni del tipo y = log đ?‘˜ đ?‘“(đ?‘Ľ) deve risultare f(x) > 0. Conseguentemente dom log đ?‘˜ đ?‘“(đ?‘Ľ) = {đ?‘Ľ ∈ đ?‘… |đ?‘“(đ?‘Ľ) > 0}.

LE SUCCESSIONI REALI E I LIMITI NOZIONI INTRODUTTIVE Occorre partire dalla nozione di successione numerica reale. Una successione numerica reale e’ una funzione matematica che si caratterizza per il fatto che il dominio della funzione non e’ costituito dall’insieme dei numeri reali ma dall’insieme N dei numeri naturali. Si tratta, quindi, di una legge di corrispondenza che ad un intero n ∈ đ??´ ⊆ đ?‘ fa corrispondere un solo numero reale (intero, razionale o irrazionale). Usando la notazione standard per le funzioni di puo’ scrivere che: f : đ??´ ⊆ đ?‘ → đ?‘… o anche f : n → đ?‘“(đ?‘›) = đ?‘Žđ?‘› In definitiva all’intero i viene fatto corrispondere il numero reale đ?‘Žđ?‘– . Una successione di numeri reali viene indicata con il formalismo {đ?‘Žđ?‘– }. Il dominio delle successioni numeriche reali e’ l’insieme dei naturali a volte comprensivo dello zero a volte no. Gli esempi seguenti chiariranno le ragioni di questa differenziazione tra successioni. In genere e’ data l’espressione che definisce la legge di corrispondenza.

Sono esempi di successioni quelle definite dalle seguenti leggi di corrispondenza: 1

đ?‘Žđ?‘› = đ?‘›

đ?‘›âˆ’2

đ?‘?đ?‘› = đ?‘›âˆ’2 +1 1

Si osservi che per la successione {đ?‘›} il dominio naturale e’ N −{0}. đ?‘›âˆ’2

Per la successione { đ?‘›âˆ’2 +1} il campo di definizione e’ N. đ?‘›+2

đ?‘›+2

Per particolari funzioni quali {đ?‘›âˆ’2} si pone che dom {đ?‘›âˆ’2} e’ N −{0, 1, 2}. 4

Nel considerarla si parte da n = 3 perche’ ponendo in essa n = 2 si otterrebbe 0 che non ha senso in R. Per le successioni numeriche reali sono possibili due distinte rappresentazioni grafiche. Una prima rappresentazione si ottiene considerando i punti �� su una retta . Nel caso considerato si considera il caso di una successione crescente con un punto limite b (estremo superiore).

La rappresentazione e’ la seguente.

In casi come questi si avra’ modo di scrivere con il significato che verra’ precisato piu’ oltre che lim đ?‘Žđ?‘› = đ?‘?. đ?‘›â†’+∞

Si osservi che quella data e’ una successione crescente e limitata (vedi infra).

Detto in termini intuitivi man mano che aumenta n la distanza tra il punto �� e il punto b decresce. Una seconda modalita’ rappresentativa delle successioni e’ quella nel piano cartesiano ponendo le n sull’asse delle x e i valori �� sull’asse delle ordinate. La corrispondente rappresentazione nel piano cartesiano per la funzione abbozzata piu’ sopra e’ la seguente.

Una modalita’ formale di rappresentazione delle successioni solitamente usata ⌋Anichini, ContiâŚŒ e’ la seguente: {đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , đ?‘Ľ3 ‌ . , đ?‘Ľđ?‘› ‌ } ≥ {đ?‘Ľđ?‘› }nđ?œ– N.

Alcune successioni sono definite per ricorrenza. Un esempio di successione definita per ricorrenza potrebbe essere il seguente. đ?‘Ž1 = 2 đ?‘Žđ?‘›+1 =

1+đ?‘Žđ?‘› 3

Per le successioni e’ necessario fornire alcune utili nozioni preliminari. Una successione reale si dice limitata superiormente se ∃ đ?‘€ | đ?‘€ > max {đ?‘Žđ?‘› } . Una successione reale si dice limitata inferiormente se se ∃ đ?‘š | đ?‘š < min {đ?‘Žđ?‘› } . Una successione e’ limitata se m < đ?‘Žđ?‘› < đ?‘€ ∀ đ?‘›. m ed M sono numeri reali tali che m ≤đ?‘€. Si ritiene ammissibile porre m ≤ đ?‘€ in quanto il caso particolare m = M equivale ad ammettere che m = đ?‘Žđ?‘› = đ?‘€ per ogni n. E’ il caso della successione costante che deve, ovviamente, intendersi quale una successione limitata. Puo’ capitare che la successione abbia minimo e massimo e sia: m ≤ đ?‘šâ€˛ < đ?‘Žđ?‘› ≤ đ?‘€â€˛ < đ?‘€ Una successione non limitata e’ detta illimitata.

Esempio di funzione crescente limitata non avente massimo e minimo.

In questo caso si e’ disegnata una successione avente i primi tre termini negativi e i termini a partire dal quarto positivi‌.. La successione e’ limitata in quanto ogni termine e’ compreso tra a < 0 e b > 0. Tutti

i

punti

della

successione

sono

interni

all’intervallo

(− max(|đ?‘Ž|, |đ?‘?|) , max(|đ?‘Ž|, |đ?‘?|) ).

Per le successioni reali sono date ulteriori importanti definizioni. Una successione e’ detta strettamente crescente se ��+1 > �� per ogni n. Una successione e’ detta non decrescente se ��+1 ≼ �� per ogni n. Una successione e’ detta strettamente decrescente se ��+1 < �� per ogni n. Una successione e’ detta non crescente se ��+1 ≤ �� per ogni n.

Una successione e’ monotòna se e’ verificata una delle due condizioni seguenti: đ?‘Žđ?‘›+1 ≼ đ?‘Žđ?‘› per ogni n đ?‘Žđ?‘›+1 ≤ đ?‘Žđ?‘› per ogni n.

Anche per successioni e’ possibile dare la definizione di periodicita’. Una successione e’ periodica se esiste un intero t tale che risulti vera l’eguaglianza đ?‘Žđ?‘› = đ?‘Žđ?‘›+đ?‘Ą ∀ đ?‘›

ESERCIZI INTRODUTTIVI SULLE SUCCESSIONI NUMERICHE Scrivere i primi cinque termini della seguente successione accertando se si tratta di una successione crescente o decrescente, limitata o meno. đ?&#x;‘đ?’?

{đ?&#x;?đ?’? } Deve essere n ≠0 per dare significato alla frazione. Pertanto essa viene considerata per n > 1.

I primi cinque termini di essa si ottengono per sostituzione in formula ponendo n = 1, 2, 3, 4, 5. đ?&#x;‘đ?’?

Per n = 1 si ha đ?&#x;?đ?’? = đ?&#x;‘đ?’?

Per n = 2 si ha đ?&#x;?đ?’? = đ?&#x;‘đ?’?

Per n = 3 si ha đ?&#x;?đ?’? =

đ?&#x;‘đ?&#x;? + đ?&#x;? đ?&#x;‘đ?&#x;? đ?&#x;’

đ?&#x;‘

3

= đ?&#x;? quindi si ha đ?‘Ž1 = 2. đ?&#x;—

9

= đ?&#x;’ quindi si ha đ?‘Ž2 = 4.

đ?&#x;‘đ?&#x;‘ +đ?&#x;? đ?&#x;”

=

đ?&#x;?đ?&#x;• đ?&#x;”

quindi si ha đ?‘Ž3 =

27 6

.

In modo analogo si ottengono i valori di �4 ��5 . Per dimostrare che la successione e’ strettamente crescente si dimostra che il rapporto q=

đ?‘Žđ?‘›+1 đ?‘Žđ?‘›

e’ maggiore di 1.

Ove fosse q = 1 la successione sarebbe costante. Si ha q =

đ?‘Žđ?‘›+1 đ?‘Žđ?‘›

3n+1 2n

n

n

= 2(n+1) 3n = 3n+1−n n+1 = 3 n+1

Gia’ da queste prime osservazioni si evince che q dipende da n, quindi si puo’ studiare q(n). n

Si osservi che q(n) non e’ costante al variare di n dipendendo da n+1 ma in ogni caso sarebbe ��+1 > 3�� che comprova che si ha una successione crescente.

Questa relazione, senza necessita’ di passaggio al limite, giustifica il fatto che la successione considerata non e’ limitata. Infatti comunque sia n si ha che e’ vero che ��+1 > 3�� . Quando infatti si decidesse di fare un passaggio al limite si potrebbe dire che per n arbitrariamente grande sarebbe ��+1 = 3�� , a riprova della illimitatezza superiore della successione. �+3

Una ulteriore modalita’ per stabilire se una successione quale { 5� } e’ crescente o decrescente e’ il seguente. �+1+3

Si calcola la differenza đ?‘Žđ?‘›+1 − đ?‘Žđ?‘› = 5(đ?‘›+1) −

đ?‘›+3 5đ?‘›

=

đ?‘›(đ?‘›+4)−(đ?‘›+1)(đ?‘›+3) 5(đ?‘›+1)đ?‘›

=

đ?‘›2 +4đ?‘›âˆ’(đ?‘›2 +3đ?‘›+đ?‘› +3) 5(đ?‘›2 +đ?‘›)

=

3

− 5(đ?‘›2 +đ?‘›) < 1. In buona sostanza la successione e’ decrescente. Si osserva intuitivamente che al crescere di n 3

in N la quantita’ − 5(đ?‘›2 +đ?‘›) decresce in valore assoluto fino ad avvicinarsi allo zero. In effetti si potra’ dimostrare con un passaggio al limite che detta successione tende al valore 1

4

per n arbitrariamente grande avendo come massimo il valore đ?‘Ž1 = 5. 5

IL LIMITE DI UNA SUCCESSIONE Si dice che una data successione reale possiede definitivamente, o per n abbastanza grande, una data proprieta’ se esiste un đ?‘›0 tale che per ogni n > đ?‘›0 detta proprieta’ e’ sempre vera ⌋SoardiâŚŒ. Un esempio banale potrebbe essere il seguente. Sia data la successione il cui termine generale e’ đ?‘Žđ?‘› = đ?‘› − 7 . La proprieta’ che si considera sia “đ?‘Žđ?‘› e’ positivoâ€?. Deve essere đ?‘› − 7 > 0 e cioe’ n > 7. Per n > 7 la successione {đ?‘Žđ?‘› = đ?‘› − 7} gode definitivamente della proprieta’ “đ?‘Žđ?‘› e’ positivoâ€?. E’ ora utile introdurre la nozione di limite di una successione. Data la successione {đ?‘Žđ?‘– } si dice che essa ha per limite il numero reale l se comunque si consideri un numero reale positivo đ?œ€ esiste un numero intero h tale che per n > â„Ž sia: |đ?‘Žđ?‘› − đ?‘™ | < đ?œ€ . Il numero reale đ?œ€ dipende da h. Se tali condizioni sono verificate allora si scrive che lim đ?‘Žđ?‘› = đ?‘™. đ?‘›â†’+∞

Quando tale limite esiste finito si dice che la successione {�� } e’ convergente.

E’ poi noto che: |đ?‘Žđ?‘› − đ?‘™ | < đ?œ€ â&#x;ş đ?‘™ − đ?œ€ < đ?‘Žđ?‘› < đ?‘™ + đ?œ€ Una conveniente formalizzazione della nozione di limite potrebbe essere la seguente:

∀đ?œ€|đ?œ€ đ?œ– ( 0, +∞) ∃đ?‘›0 (đ?œ€)| ∀ đ?‘› > đ?‘›0 sia |đ?‘Žđ?‘› − đ?‘™| < đ?œ€ definitivamente. Una successione che non ammette un limite finito e’ detta divergente. Vi sono sostanzialmente due casi di divergenza di una successione compendiati dalla seguente scrittura: lim đ?‘Žđ?‘› = Âąâˆž.

đ?‘›â†’+∞

In particolare si dice che una successione {�� } e’ divergente all’infinito positivo se assegnato un numero reale arbitrariamente grande esiste un n intero assoluto per il quale sia �� > �.

Condizione necessaria ma non sufficiente affinche’ una successione {�� } sia divergente all’infinito positivo e’ che essa sia monotona crescente. Non ogni successione monotona crescente e’ evidentemente illimitata superiormente.

Una successione {đ?‘Žđ?‘› } e’ illimitata inferiormente e quindi diverge a −∞ quando dato un numero reale M arbitrariamente grande esiste un n tale che đ?‘Žđ?‘› < −đ?‘€.

Una successione si dice regolare quando converge a un limite finito oppure quando ammette +∞ đ?‘œ − ∞ quale limite.

Non ogni successione e’ regolare. Esistono infatti successioni periodiche e successioni limitate e successioni a valori alterni che ammettono limiti distinti, quando si considerano i termini pari e dispari di essa. Per le successioni monotone crescenti limitate superiormente ne e’ acclarata la convergenza.

Nella teoria matematica non e’ infrequente avere a che fare con una successione il cui termine generale e’: 1

an = (1 + n)n 1

Ci si puo’ concentrare sulla successione di termine đ?‘?đ?‘› = 1 + n =

đ?‘›+1 đ?‘›

La successione e’ decrescente e la dimo e’ relativamente banale in quanto basta calcolare il segno della differenza di due frazioni cioe’ calcolare đ?‘Žđ?‘›+1 − đ?‘Žđ?‘› =

Si puo’ lavorare sul secondo membro avendo che

(đ?‘›+1)+1 đ?‘›+1

−

(đ?‘›+1)+1 đ?‘›+1

đ?‘›+1 đ?‘›

=

−

đ?‘›+1 đ?‘›

.

(đ?‘›+2)đ?‘›âˆ’(đ?‘›+1)2

= −1.

(đ?‘›+1)đ?‘›

Il massimo di {đ?‘?đ?‘› } si ha per n = 1 risultanto đ?‘?1 = 2.

Si e’ dimostrato che đ?‘?đ?‘›+1 < đ?‘?đ?‘› sotto la condizione che đ?‘?đ?‘– > 1 in quanto vale

đ?‘–+1 đ?‘–

.

Da đ?‘?đ?‘›+1 < đ?‘?đ?‘› si puo’ scrivere che (đ?‘?đ?‘›+1 )đ?‘› < (đ?‘?đ?‘› )đ?‘› da cui đ?‘?đ?‘›+1 (đ?‘?đ?‘›+1 )đ?‘› < (đ?‘?đ?‘› )đ?‘› đ?‘?đ?‘›+1 e quindi (đ?‘?đ?‘›+1 )đ?‘›+1 < (đ?‘?đ?‘› )đ?‘› đ?‘?đ?‘›+1 Cio’ che piu’ conta e’ che đ?‘?đ?‘› ≤ 2 e piu’ precisamente đ?‘?đ?‘› < 2 per n ≼ 2.

Quindi definitivamente si ha: 1 < đ?‘?đ?‘›+1 < đ?‘?đ?‘› < 2 ed anche: 1 < (đ?‘?đ?‘›+1 )đ?‘›+1 < (đ?‘?đ?‘› )đ?‘› < 2đ?‘› < 2đ?‘›+1 Quindi si puo’ scrivere che: 1 < (đ?‘?đ?‘›+1 )đ?‘›+1 < 2đ?‘›+1 1 < (đ?‘?đ?‘› )đ?‘› < 2đ?‘› Dividendo membro a membro possiamo scrivere che: 1<

1<

(đ?‘?đ?‘›+1 )đ?‘›+1 (đ?‘?đ?‘› )đ?‘› (đ?‘?đ?‘›+1 )đ?‘›+1 (đ?‘?đ?‘› )đ?‘›

< 2đ?‘›+1−đ?‘› e quindi:

<2

1

Questo comprova che la successione an = (1 + n)n e’ crescente. Da 1 <

(đ?‘?đ?‘›+1 )đ?‘›+1 (đ?‘?đ?‘› )đ?‘›

< 2 si ottiene, per n finito, che (đ?‘?đ?‘› )đ?‘› < (đ?‘?đ?‘›+1 )đ?‘›+1 < 2(đ?‘?đ?‘› )đ?‘› .

In definitiva dato (đ?‘?đ?‘› )đ?‘› si ottiene(đ?‘?đ?‘›+1 )đ?‘›+1 < 2(đ?‘?đ?‘› )đ?‘› , relazione vera per ogni n che evidenzia che la successione e’ limitata. Quindi la successione e’ strettamente crescente e limitata.

Esistono diversi metodi elementari per calcolare tale limite fondamentale. E’ infatti possibile utilizzare il teorema del binomio di Newton ⌋Campitelli, Campodonico, GaldiâŚŒ oppure un distinto procedimento algebrico che utilizza anche la diseguaglianza di Bernoulli ⌋Marcellini, SbordoneâŚŒ. In realta’ tale successione conduce ad un limite fondamentale per il quale risulta essere: 1

lim (1 + đ?‘›)đ?‘› = đ?‘’

đ?‘›â†’+∞

ove e e’ la base dei logaritmi neperiani. Per n = 105 si ha una buona approssimazione del numero e che vale: e = 2,7182

Il numero e e’ irrazionale e trascendente.

Relativamente alla successione considerata si puo’ affermare che dato che essa e’ crescente il minimo di essa vale 2 in corrispondenza di n = 1. Si e’ poi evidenziato che essa e’ limitata superiormente. 1

Si puo’ ulteriormente dimostrare che non esiste un n per il quale sia (1 + �)� = 3 . Infatti sviluppando algebricamente si otterrebbe che

đ?‘›+1 đ?‘›

đ?‘›

= √3, e sarebbe vera l’eguaglianza

assurda tra un numero razionale e un numero irrazionale. Anche per n = 1 si avrebbe l’assurdo 2 = 3.

Ma questa osservazione e’ vera per ogni k intero quando n > 1. In particolare per k = 4 si 3

avrebbe, volendo rendere razionale il secondo membro, ovvero ponendo n = 2 , l’assurdo 2 = 2 . Per n > 2 si avrebbe un numero razionale eguale ad un numero irrazionale. Per completare la dimostrazione alternativa proposta occorre dimostrare che per k ≼ 3 | đ?‘˜ đ?‘’ ′ đ?‘–đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œ non esiste alcun numero intero n tale che sia: k(đ?‘›)đ?‘› < (đ?‘› + 1)đ?‘› < (đ?‘˜ + 1)đ?‘›đ?‘› Dividendo per đ?‘›đ?‘› si evidenzia che al variare di n i termini della successione non possono essere interi. Infatti si ha: k<

(�+1)� ��

< (đ?‘˜ + 1)

In realta’ detti termini, razionali non interi, si hanno solo per k = 2 .

Si dimostra che se una successione ha un limite finito questo e’ unico. La dimostrazione e’ evidente se fatta per assurdo, usando la nozione di limite e la diseguaglianza triangolare. Sono di immediata dimostrazione i seguenti teoremi sui limiti. Se lim đ?‘Žđ?‘› = đ?‘™1 e lim đ?‘?đ?‘› = đ?‘™2 allora lim (đ?‘Žđ?‘› + đ?‘?đ?‘› ) = đ?‘™1 + đ?‘™2 đ?‘›â†’+∞

đ?‘›â†’+∞

đ?‘›â†’+∞

Se lim đ?‘Žđ?‘› = đ?‘™1 e lim đ?‘?đ?‘› = đ?‘™2 allora lim (đ?‘Žđ?‘› đ?‘?đ?‘› ) = đ?‘™1 đ?‘™2 đ?‘›â†’+∞

đ?‘›â†’+∞

đ?‘›â†’+∞

Se lim đ?‘Žđ?‘› = đ?‘™1 e lim đ?‘?đ?‘› = đ?‘™2 allora lim (đ?‘Žđ?‘› /đ?‘?đ?‘› ) = đ?‘™1 /đ?‘™2 đ?‘›â†’+∞

đ?‘›â†’+∞

đ?‘›â†’+∞

Questi teoremi sono veri quando đ?‘™1 e đ?‘™2 sono numeri reali. Nel caso del rapporto poi deve essere đ?‘™2 ≠0. Non infrequentemente nello studio delle successioni si ha a che fare con le cosiddette forme indeterminate, quali ad esempio ∞ − ∞, 0∞,

∞ ∞

0

, 0 , (1)Âąâˆž , (+∞)0.

E’ bene ricordare l’importanza del seguente limite fondamentale, cioe’: lim

1

đ?‘›â†’+∞ đ?‘›đ?‘˜

=0

quando k intero positivo.

Per le successioni valgono poi i cosiddetti teoremi di confronto. Il primo di tali importanti enunciati e’ il teorema della permanenza del segno. Si ha per ipotesi che esista finito il limite della successione di termine generale đ?‘Žđ?‘› e si ammetta che detto limite finito đ?‘™ positivo. Si scrive lim đ?‘Žđ?‘› = đ?‘™ > 0 â&#x;š ∃đ?‘˜ | đ?‘Žđ?‘› > 0 ∀đ?‘› |đ?‘› > đ?‘˜ . đ?‘›â†’+∞

Un importante corollario del teorema di permanenza del segno e’ il seguente: ( lim đ?‘Žđ?‘› = đ?‘™ e lim đ?‘?đ?‘› = đ?‘š , đ?‘Žđ?‘› ≼ đ?‘?đ?‘› ) â&#x;š đ?‘™ ≼ đ?‘š. đ?‘›â†’+∞

đ?‘›â†’+∞

Un ulteriore importante teorema applicabile e’ quello dei carabinieri. Se tra gli elementi di tre distinte successioni e’ verificata la seguente condizione

đ?‘Žđ?‘› ≤ đ?‘?đ?‘› ≤ đ?‘?đ?‘› e se risulta che lim đ?‘Žđ?‘› = đ?‘™ ed anche che lim đ?‘?đ?‘› = đ?‘™ allora si deve ammettere đ?‘›â†’+∞

đ?‘›â†’+∞

che: lim đ?‘Žđ?‘› = đ?‘™. đ?‘›â†’+∞

Alcune successioni convergono allo zero. In termini formali una successione converge allo zero se si puo’ dire che: lim �� = 0 .

đ?‘›â†’+∞

Una successione che converge a zero e’ detta infinitesima. La successione {�� } converge a zero se e solo se {|�� |} converge a zero.

Un ulteriore importante teorema riguarda il limite del prodotto di una successione limitata per una infinitesima.

Se lim đ?‘Žđ?‘› = đ?‘™ e lim đ?‘?đ?‘› = 0 allora lim (đ?‘Žđ?‘› đ?‘?đ?‘› )= 0. đ?‘›â†’+∞

đ?‘›â†’+∞

đ?‘›â†’+∞

Una nota applicazione di questo teorema e’ il calcolo del seguente limite: lim

đ?‘›â†’+∞

đ?‘ đ?‘’đ?‘›(đ?‘›) đ?‘›

La frazione

đ?‘ đ?‘’đ?‘›(đ?‘›) đ?‘›

1

puo’ essere riscritta opportunamente come � sin(n).

Si puo’ anche scrivere che lim

đ?‘›â†’+∞

đ?‘ đ?‘’đ?‘›(đ?‘›) đ?‘›

= lim

1

lim sin(đ?‘›).

đ?‘›â†’+∞ đ?‘› đ?‘›â†’+∞

Pertanto si ha che: lim

đ?‘ đ?‘’đ?‘›(đ?‘›) đ?‘›

đ?‘›â†’+∞

1

= 0 in quanto la successione sin(n) e’ limitata mentre quella di termine generale �.

Vanno ora enunciati i limiti notevoli relativi alle successioni. Limite di đ?‘Žđ?‘› . Vanno distinti diversi casi: per a > 1 đ?‘ đ?‘– â„Žđ?‘Ž lim đ?‘Žđ?‘› = +∞ đ?‘›â†’+∞

per a = 1 đ?‘ đ?‘– â„Žđ?‘Ž

lim đ?‘Žđ?‘› = 1

đ?‘›â†’+∞

per |x| < si ha lim đ?‘Žđ?‘› = 0 đ?‘›â†’+∞

per a ≤ 1 detto limite non esiste.

Limite della radice n-esima. đ?‘›

lim √đ?‘Ž = 1

đ?‘›â†’+∞

Se b e’ un numero reale vale il seguente limite: �

lim √đ?‘Žđ?‘? = 1

đ?‘›â†’+∞

Sono di fondamentale importanza i tre limiti trigonometrici fondamentali. sin( �� ) → 0 quando �� → 0 cos( �� ) → 1 quando �� → 0 Il terzo limite trigonometrico e’ il seguente: sin( �� ) ��

→ 1 quando per ogni n si ha �� → 0 e �� ≠0.

A questi limiti va aggiunto quello trattato informalmente in precedenza, cioe’: 1

lim (1 + đ?‘›)đ?‘› = đ?‘’

đ?‘›â†’+∞

A questo punto e’ utile enunciare il criterio del rapporto per le successioni.

Data una successione nella quale sia đ?‘Žđ?‘› > 0 . Sia đ?‘žđ?‘› =

đ?‘Žđ?‘›+1 đ?‘Žđ?‘›

.

Se lim đ?‘žđ?‘› < 1 allora la successione di termine generale đ?‘Žđ?‘› tende a zero. đ?‘›â†’+∞

Questo criterio e’ fondamentale in quanto consente di calcolare molti limiti posti sotto forma di rapporto tra due successioni. Siano date le seguenti successioni log(n), đ?‘›đ?‘? , đ?‘Žđ?‘› , n!, đ?‘›đ?‘› . E’ immediato constatare che per b > 0 e a > 1 dette successioni divergono all’infinito positivo. Per esse al variare di n si puo’ scrivere che:

log(n) < đ?‘›đ?‘? < đ?‘Žđ?‘› < n! < đ?‘›đ?‘› In definitiva ogni successione piu’ a destra diverge piu’ velocemente a +∞ rispetto a quelle poste alla sua sinistra. Questo consente di scrivere i seguenti limiti fondamentali che definiscono il rapporto di due infiniti, superando il limite formale della forma indeterminata che sarebbe, nei casi di specie, +∞

del tipo +∞. In effetti si ha: lim

đ?‘›â†’+∞

log(n) đ?‘›đ?‘?

= lim

đ?‘›â†’+∞

đ?‘›đ?‘? đ?‘Žđ?‘›

= lim

đ?‘Žđ?‘›

đ?‘›â†’+∞ n!

= lim

n!

đ?‘›â†’+∞ đ?‘›đ?‘›

=0

Vorrei osservare che da tali limiti si possono ottenere altre formule di limite, quali le due seguenti: lim

đ?‘›â†’+∞

log(n) n!

= lim

đ?‘›đ?‘?

đ?‘›â†’+∞ đ?‘›đ?‘›

=0

Merita sicuramente qualche cenno la nozione di successione di Cauchy. Una successione di numeri reali {đ?‘Žđ?‘› } e’ chiamata successione di Cauchy se, per ogni numero reale positivo đ?œ€ esiste un intero đ?‘›0 tale che sia | đ?‘Žđ?‘˜ − đ?‘Žâ„Ž | < đ?œ€ quando k ed h sono interi maggiori di đ?‘›0 .

Viene enunciato il criterio di convergenza affermando che: Una successione {�� } e’ convergente se e solo e’ di Cauchy.

Operativamente cio’ vuol dire che se si e’ dimostrata la convegenza (esistenza di un limite reale finito) allora la successione e’ di Cauchy. Se invece si e’ accertato che la successione e’ di Cauchy allora si puo’ ammettere che essa e’ limitata.

ESERCIZI SULLE SUCCESSIONI E SUI LIMITI DI SUCCESSIONI Studio di una successione definita per ricorrenza. 1

đ?‘Ž1 = 2 đ?‘Žđ?‘›+1 = đ?‘Žđ?‘› + (đ?‘Ž

đ?‘›)

2

E’ sicuramente utile dare una rappresentazione tabellare della successione, come segue. n=1 �1 = 2

2 9 4

3

4

5

6

‌.

‌‌

‌‌.

‌‌..

Ho rinvenuto questo esercizio in uno dei bei manuali che ho consultato ⌋Marcellini, SbordoneâŚŒ rispetto al quale si puo’ osservare che e’ ben definito per essa anche đ?‘Ž0 = 1 . Infatti, si puo’ scrivere che đ?‘Ž1 = 2 =

(đ?‘Ž0 )3 +1 (đ?‘Žđ?‘œ )2

vera per �0 = 1 come si puo’ facilmente verificare per

sostituzione in formula. La relazione di ricorrenza peraltro si puo’ scrivere nella formula ��+1 =

(đ?‘Žđ?‘› )3 +1 (đ?‘Žđ?‘› )2

.

Poiche’ �1 = 2 > 1 allora �2 > �1 . �2 > 1 da cui �3 > �2 e questo e’ sempre vero al variare di n in N.

Quindi in generale si evidenzia che la successione e’ crescente. Occorre ora evidenziare che essa converge ad un limite finito e positivo. Poiche’ N e’ illimitato superiormente per le condizioni date allora sara’ sempre ��+1 > �� .

In questo caso al variare di n si ha che �� e’ crescente al variare di n. Per n = 0, 1 si hanno ad esempio i valori 1, 2, etc. 1

La differenza tra due termini di essa e’ positiva e vale đ?‘Žđ?‘›+1 − đ?‘Žđ?‘› = (đ?‘Ž

2 đ?‘›)

variare di n e si avvicina a zero al crescere di n.

ed essa decresce al

LIMITE DI UNA FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE REALE E’ bene partire dalla definizione di limite di una funzione reale di una variabile reale. E’ data una funzione f(x) tale che dom f = A ⊆ R. Si dice che il limite di f(x) per x → đ?‘Ľ0 esiste e vale đ?‘™ se comunque si prenda đ?œ€ > 0 tale che sia |f(x) −đ?‘™| < đ?œ€ esiste un đ?›ż tale che sia |x −đ?‘Ľ0 | < đ?›ż. Il punto đ?‘Ľ0 non appartiene necessariamente a dom f. E’ sufficiente che sia un punto di accumulazione per f(x). Esistono alcuni limiti particolari quali quelli che seguono. lim đ?‘“(đ?‘Ľ) = +∞

�→�0

Questa scrittura ha un significato intuitivo corrispondente alla circostanza che tanto piu’ ci si avvicina al valore đ?‘Ľ0 tanto piu’ il valore di f(x) diviene grande. In definitiva per M grande a piacere si puo’ dire che in prossimita’ di đ?‘Ľ0 si ha che f(x) > đ?‘€. Si osservi che đ?‘Ľ0 non e’ un punto del dominio di f. đ?‘Ľ0 ∉ dom f. La retta y = đ?‘Ľ0 e’ un asintoto verticale per la funzione f(x). đ?‘Ľ0 e’ un punto di accumulazione per dom f. ∀đ?‘Ľ đ?œ– đ?‘‘đ?‘œđ?‘š đ?‘“ | đ?‘Ľ ≠đ?‘Ľ0 si ha |x −đ?‘Ľ0 | < đ?›ż

Un ulteriore caso di limite particolare e’ il seguente. lim �(�) = �

đ?‘Ľâ†’ +∞

Per ogni đ?œ€ > 0 si ha |f(x)−đ?‘™| < đ?œ€ ∀đ?‘Ľ | đ?‘Ľ > đ?‘˜(đ?œ€)

Infine occorre dare conto di un ulteriore limite. lim đ?‘“(đ?‘Ľ) = + ∞

đ?‘Ľâ†’ +∞

Per ogni M grande a piacere esiste un k(M) per il quale f(x) > đ?‘€ quando x > đ?‘˜. Si e’ soliti ricordare che il limite di una funzione in un punto esiste se sono esistenti ed eguali i limiti sinistro e destro. In altri termini lim đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘™ â&#x;ş đ?‘Ľâ†’đ?‘Ž

lim đ?‘“(đ?‘Ľ) = lim+ đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘™

đ?‘Ľâ†’đ?‘Žâˆ’

�→�

Al riguardo si puo’ affermare l’esistenza di due successioni aventi, rispettivamente, đ?‘Ľ0 come estremo superiore e come estremo inferiore, la prima crescente la seconda decrescente. Ove si provasse lim− đ?‘“(đ?‘Ľ) ≠lim+ đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘™ allora lim đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘›đ?‘œđ?‘› đ?‘’đ?‘ đ?‘–đ?‘ đ?‘Ąđ?‘’. đ?‘Ľâ†’đ?‘Ž

�→�

�→�

Fatte queste premesse e’ utile considerare alcuni casi banali di limiti. lim � �

đ?‘Ľâ†’+∞

In questo caso se a > 1 si ha lim đ?‘Ž đ?‘Ľ = +∞. đ?‘Ľâ†’+∞

Cio’ vale anche per a = �.

Se invece e’ 0 < đ?‘Ž < 1 allora si ha lim đ?‘Ž đ?‘Ľ = 0. đ?‘Ľâ†’+∞

Non pone eccessivi problemi neppure lo studio di lim đ?‘Ž đ?‘Ľ . đ?‘Ľâ†’−∞

1

Infatti dato un M> 0 qualunque si puo’ dire che đ?‘Žâˆ’đ?‘€ = (đ?‘Ž)đ?‘€ . 1

1

Quando a > 1 đ?‘ đ?‘– â„Žđ?‘Ž 0 < đ?‘Ž < 1 pertanto si puo’ dire che lim đ?‘Ž đ?‘Ľ = lim (đ?‘Ž)đ?‘Ľ = 0. đ?‘Ľâ†’−∞

đ?‘Ľâ†’+∞

Bisogna prestare attenzione alle funzioni goniometriche. 1

lim sin(đ?‘Ľ), lim sin(đ?‘Ľ) , lim sin(đ?‘Ľ) non esistono.

đ?‘Ľâ†’+∞

đ?‘Ľâ†’+∞

�→0

1

Sono dati i due limiti fondamentali lim (1 + đ?‘Ľ)đ?‘Ľ = đ?‘’ . đ?‘Ľâ†’Âąâˆž

Anche per i limiti di funzioni reali di una variabile reale valgono le operazioni con i limiti di funzioni gia’ definiti in relazione ai limiti delle successioni numeriche.

A volte e’ necessario lavorare sui limiti di funzioni composte. Per esse si puo’ scrivere che: lim �(�(�)) = �(lim �(�)).

�→�

�→�

Quando e’ stata introdotta la nozione di limite di una funzione reale di una variabile reale f per x → �0 si e’ fatto rilevare che non necessariamente il punto �0 e’ un punto del dominio di f(x).

Quando e’ verificata la condizione lim �(�) = �(�) di dice che la funzione e’ continua in x = �→�

đ?‘Ž. Una funzione f e’ continua in ⌋a, bâŚŒâŠ† dom f ⊆ R se essa e’ continua in ogni x | x ∈ ⌋a, bâŚŒ. Agli estremi si considerano i limiti destro e sinistro. In particolare deve risultare

lim đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘“(đ?‘Ž) e lim− đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘“(đ?‘?).

�→�+

đ?‘Ľâ†’đ?‘?

LA DERIVATA COME LIMITE DI UN RAPPORTO Sia data una funzione f(x) definita e continua in (a, b). Sia x un punto qualunque di (a, b). In altri termini deve essere vero che x > đ?‘Ž e x < đ?‘? e quindi a < đ?‘Ľ < đ?‘?. Una funzione f e’ derivabile in x se lim

ℎ→0

đ?‘“(đ?‘Ľ+â„Ž)−đ?‘“(đ?‘Ľ) â„Ž

=đ?‘™

Detto limite deve essere reale.

La derivata e’ sostanzialmente un limite e quindi affiche’ una funzione sia derivabile in x đ?œ–(đ?‘Ž, đ?‘?) deve essere che i limiti per h → 0− e per h → 0+ siano eguali. Agli estremi si considerano i limiti destro e sinistro rispettivamente.

LIMITI DI FUNZIONI đ?‘šđ?’? → đ?‘š Una funzione đ?‘… đ?‘› → đ?‘… e’ una legge che associa ad una n-pla ordinata di numeri reali, uno ed un solo numero reale, secondo lo schema (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , ‌ . , đ?‘Ľđ?‘› ) → đ?‘Ľđ?‘›+1 . Le variabili contenute nella tupla sono indipendenti, mentre la variabile đ?‘Ľđ?‘›+1 e’ la variabile dipendente. Ad esempio per n = 2 si ha una funzione che fa corrispondere alla coppia ordinata (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 ) đ?‘–đ?‘™ đ?‘?đ?‘˘đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œ đ?‘Ľ3 avendosi che f(đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 ) = đ?‘Ľ3 . Solitamente le variabili vengono indicate con le lettere x, y e z e si scrive che z = đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś). I punti (x, y) sono complanari. L’insieme dei punti (x, y, f(x,y)) salvo ipotesi degeneri individuano superfici dello spazio đ?‘… 3 . Quando si considerano tre variabili indipendenti si ha una corrispondenza del tipo (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , đ?‘Ľ3 ) → đ?‘Ľ4 . In questo caso si ha a che fare con uno spazio a 4 dimensioni.

Ci si limita, per ora, al caso di due sole variabili indipendenti, indicate con le lettere x ed y. Una relazione funzionale f fa corrispondere alla coppia ordinata (x, y) un punto z | z = �(�, �). Anche una funzione f(x, y) avra’ un dominio naturale di definizione inteso come insieme delle coppie ordinate (x, y) per le quali la f ha significato. Il piano euclideo puo’ essere inteso come costituito da punti. Esso e’ indicato come � 2 .

A questo punto deve essere introdotta la nozione di intorno circolare di raggio đ?œš di un punto dato.

I punti dell’intorno circolare di (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ) di ampiezza đ?›żsono quelli per i quali e’ verificata la seguente condizione: (đ?‘Ľ − đ?‘Ľ0 )2 + (đ?‘Ś − đ?‘Ś0 )2 < đ?›ż 2 In altri termini un intorno I di ampiezza đ?›ż > 0 e’ formalizzato come segue: đ??źđ?›ż = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)| đ?‘‘ ((đ?‘Ľ, đ?‘Ś), (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 )) < đ?›ż} Si ammetta che la funzione f(x, y) sia definita in A ⊆ đ?‘… 2. Si consideri il punto (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ) e si ammetta che al variare di đ?›ż esista almeno un punto di đ??źđ?›ż appartenente a dom f(x,y). Nel peggiore dei casi questo insieme di punti e’ costituito da un segmento, non necessariamente da una semiretta. Non necessariamente (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 )∈ dom f(x,y). Detto punto comunque deve essere di accumulazione per f(x, y). Una funzione f(x, y) converge a đ?‘™ quando (x, y) → (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ) se per ogni đ?œ€ > 0 esiste un đ?›ż dipendente da đ?œ€ per il quale sia √(đ?‘Ľ − đ?‘Ľ0 )2 + (đ?‘Ś − đ?‘Ś0 )2 < đ?›ż â&#x;š |đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) − đ?‘™| < đ?œ€ .

Se (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ) ∈ đ?‘‘đ?‘œđ?‘š đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) allora la funzione e’ continua in detto punto. Se la funzione e’ continua in ogni (x,y) ∈ đ??´ ⊆ đ?‘… 2 . Per le funzioni di piu’ variabili sono definite le derivate parziali. Le derivate parziali saranno introdotte in un’appendice al presente elaborato sintetico.

Vanno ora fatti cenni ai limiti e alla continuita’ per funzioni di piu’ variabili. E’ data una funzione f : đ?‘… đ?‘› → đ?‘… definita in un intorno di đ?’™đ?&#x;Ž ∈ đ?‘… đ?‘› . Si puo’ esemplificare considerando il caso di đ?‘… 2 .

Intorno circolare del punto dato.

Il luogo e’ una superficie dello spazio tridimensionale. Esempio: f(x, y) =

đ?‘Ľ 2 +đ?‘Ś 2 2đ?‘Ľâˆšđ?‘Ś

Detta funzione e’ definita per y > 0 � � ≠0.

Esiste un metodo elementare per dimostrare che

lim

(�,�)→(�0 ,�0 )

đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) non esiste.

Si puo’ imporre una restrizione per la funzione ponendo y = �1 � e quindi una distinta restrizione ponendo y = �2 �. Se per dette restrizioni si ottengono due valori distinti di

lim

(�,�)→(�0 ,�0 )

đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) allora detto limite

non esiste. Affinche’ si possa avere un limite e’ necessario che tale valore sia il medesimo, ovvero sia

lim

(�,�)→(�0 ,�0 )

đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = đ?‘™ qualunque sia la restrizione che si considera, non limitandosi quindi

a quelle lineari. Per calcolare il limite si utilizza una funzione in coordinate polari dovendosi dimostrare che si ha: |f(đ?œŒ, đ?œ—) − đ?‘™ | ≤ đ?‘”(đ?œŒ) → 0 đ?‘?đ?‘’đ?‘&#x; đ?œŒ → 0. La funzione đ?‘”(đ?œŒ) non dipende da đ?œ—. 2

Se (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) → (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ) ≠(0, 0) si ha che đ?œŒ = √(đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ľ0 )2 + (đ?‘Ś − đ?‘Ś0 )2 Risulta: x = đ?‘Ľ0 + đ?œŒđ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œ— y = đ?‘Ś0 + đ?œŒđ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?œ—

SVILUPPI E APPLICAZIONI DELLA TEORIA DEI LIMITI DELLE FUNZIONI DI UNA SOLA VARIABILE

Una funzione f(x) definita in un intervallo ⌋a, bâŚŒ e’ limita superiormente se per ogni x in detto intervallo risulta essere f(x) ≤ M , dove M e’ un numero reale. Se esiste in detto intervallo almeno un x tale che f(x) = đ?‘€ allora il punto (x, M) e’ un punto di massimo della funzione. Se f(x)

<đ?‘€

il numero M

e’ detto estremo

superiore

se

M

< đ?‘˜ ∀đ?‘˜ | đ?‘˜ ∉

đ??źđ?‘šđ?‘š đ?‘“(đ?‘Ľ) đ?‘žđ?‘˘đ?‘Žđ?‘›đ?‘‘đ?‘œ đ?‘€ ∉ Imm f(x) . Analoghe riflessioni possono essere fatte per le funzioni limitate inferiormente. Infatti, una funzione f(x) si dice limitata inferiormente se per ogni x in ⌋a, bâŚŒ si ha: f(x) ≼ đ?‘š. Se esiste almeno un x in detto intervallo tale che f(x) = đ?‘š si dice che il punto (x, m) e’ un punto di minimo assoluto per la funzione f(x) in detto intervallo. Il numero m e’ l’estremo inferiore di f(x) se m ∉ Imm f(x) e ogni altro h | h ∉ Imm f(x) e’ tale che k < đ?‘š.

Una funzione limitata inferiormente e limitata superiormente in ⌋a, bâŚŒ e’ ivi limitata. La grandezza đ?œ— = đ?‘€ − đ?‘š e’ detta oscillazione della funzione f(x) nel dato intervallo.

Vanno enunciato due ulteriori teoremi sui limiti.

Teorema della funzione opposta. lim đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘™ â&#x;šlim − ( đ?‘“(đ?‘Ľ)) = − đ?‘™

�→�

�→�

Teorema del valore assoluto. lim đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘™ â&#x;šlim |( đ?‘“(đ?‘Ľ))| = | đ?‘™| .

�→�

�→�

Teorema della funzione reciproca. lim đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘™ â&#x;š lim

1

�→� �(�)

�→�

=

1 đ?‘™

Ulteriori limiti di funzioni sono i seguenti: lim đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘™ ≠0 â&#x;š lim (đ?‘“(đ?‘Ľ))đ?‘› = đ?‘™ đ?‘› .

�→�

�→�

đ?‘›

lim đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘™ â&#x;š lim đ?‘›âˆšđ?‘“(đ?‘Ľ) = √đ?‘™ .

�→�

�→�

lim đ?‘”(đ?‘Ľ)

lim (�(�)) �(�) = lim ( �(�)) �→�

�→�

�→�

= � �′ quando e’ lim ( �(�)) = � e lim �(�) = �′. �→�

�→�

Quando l e l’ non sono limiti finiti o si ricade in una forma indeterminata allora si puo’ utilizzare la seguente formula, ottenuta applicando il logaritmo naturale a y = (�(�))�(�) : lim �(�)ln(�(�))

lim (�(�)) �(�) = � �→�

�→�

Vi sono alcune forme solo apparentemente indeterminate, quali: 0 ∞

∞

= 0 , 0 = ∞, 0+∞ , 0−∞ = +∞, (+∞)−∞ = 0, ∞∞ = +∞.

Esse sono giustificabili anche naïvamente. Ad esempio la prima puo’ essere spiegata osservando 0

1

che ∞ = 0 ±∞ = 0 ∙ 0 = 0.

APPENDICE 1 – LE PROPRIETA’ DEI NUMERI REALI I numeri reali sono costruiti a partire dai numeri interi per successivi ampliamenti, passando dai numeri razionali per giungere ai numeri irrazionali, quali √2, misura del rapporto tra la lunghezza della diagonale del quadrato di lato unitario e il lato medesimo. Quindi, l’insieme R dei numeri reali e’ costituito dai numeri razionali (interi e razionali definiti come rapporto tra due numeri interi m ed n con n ≠0) e dai numeri irrazionali che non sono ponibili nella forma

đ?‘š đ?‘›

.

I numeri irrazionali danno luogo ad un allineamento decimale non periodico. Solitamente si avvia lo studio dei numeri reali a partire dai numeri reali assoluti. Il numero 0 e’ un numero reale (astrattamente tale asserzione potrebbe essere assunta come un postulato). Ogni numero reale maggiore di 0 e’ un numero reale assoluto (positivo). Tra due numeri reali assoluti a e b sussiste una sola delle due relazioni: a=đ?‘?

a ≠đ?‘?. Dire che a = đ?‘? equivale ad affermare che a e b sono lo stesso numero. Se a ≠đ?‘? sono possibili due ipotesi a > đ?‘? oppure a < đ?‘?.

Queste argomentazioni sono riassunte in una proprieta’ detta tricotomia per la quale tra due interi a e b e’ vera una ed una sola delle tre seguenti relazioni: a = đ?‘? , a > đ?‘? , a < đ?‘?.

L’insieme dei numeri reali e’ archimedeo nel senso che ha significato in tale contesto scrivere relazioni quali a > đ?‘? , a < đ?‘?. Con riferimento ai numeri reali sono definite alcune operazioni dette razionali, quali l’addizione, la sottrazione, la moltiplicazione e la divisione.

Il termine “operazione razionale� discende dal fatto che per ogni coppia di numeri razionali assoluti il risultato dell’operazione e’ ancora un numero razionale.

Esistono, per contro, alcune operazioni che sono dette irrazionali in quanto il risultato dell’operazione puo’ essere un numero irrazionale, come nel caso dell’estrazione di radice quadrata.

E’ solitamente data una definizione di numero reale come elemento di separazione tra coppie di successioni convergenti di numeri razionali. Sia Q l’insieme dei numeri razionali assoluti. Una successione di numeri razionali e’ definita da una corrispondenza (quindi da una funzione) che associa univocamente ad un i di N un razionale indicato formalmente come �� .

Una successione di elementi razionali e’ monotona strettamente crescente se risulta �� < ��+1 per ogni i intero. In questo caso di dice anche che essa e’ illimitata superiormente. Le successioni vengono indicate solitamente con il formalismo {�� }. Una successione {�� } e’ strettamente decrescente se �� > ��+1 per ogni i intero.

Un evidente metodo di rappresentazione delle successioni numeriche e’ sicuramente quello del piano cartesiano. Ad esempio si puo’ rappresentare una successione come nell’esempio seguente.

Nell’esempio sono rappresentati i primi tre termini di una successione decrescente. In realta’ le successioni sono costituite da un numero infinito di elementi. Cio’ e’ possibile in quanto N e’ illimitato superiormente. Per le finalita’ di definizione del numero reale e’ piu’ utile una ulteriore modalita’ di rappresentazione delle successioni.

Sia r il numero reale positivo da rappresentare.

Il numero reale r si trova alla destra dello zero in quanto positivo essendo quindi r > 0.

E’ ben noto l’iter che consente di associare il numero r ad un punto della retta reale. Si considera un punto qualunque della retta e lo si associa univocamente al numero 0. Si definisce l’unita’ di misura e in corrispondenza di essa di associa il punto con il numero 1. La corrispondenza che associa un punto ad un numero della semiretta di origine O e’ biunivoca e continua.

Una rappresentazione utile ad evidenziare che il numero reale r e’ l’elemento di separazione tra gli elementi di due distinte successioni potrebbe essere la seguente.

In definitiva per definire r occorre avere a disposizione due successioni di numeri razionali di infiniti elementi che verifichino le seguenti condizioni: {đ?‘Žđ?‘– } e’ strettamente nonotona e crescente ma limitata superiormente {đ?‘?đ?‘– } e’ strettamente nonotona e decrescente e limitata inferiormente.

Sotto queste condizioni fissato un intero đ?‘›0 esiste un đ?œ€ đ?‘›0 tale che si possa scrivere |đ?‘Žđ?‘›0 − đ?‘?đ?‘›0 | = đ?œ€ đ?‘›0 . Per come sono definite le due successioni si puo’ pero’ scrivere che: |đ?‘Žđ?‘› − đ?‘?đ?‘› | < đ?œ€ đ?‘›0 per ogni n > đ?‘›0 . Le due successioni sono assunte in modo tale che đ?‘Žđ?‘› < đ?‘?đ?‘› ma piu’ propriamente che đ?‘Žđ?‘› < đ?‘–đ?‘›đ?‘“{đ?‘?đ?‘› } ed anche che đ?‘?đ?‘› > đ?‘ đ?‘˘đ?‘?{đ?‘Žđ?‘› }.

E’ utile ricordare le nozioni di estremo inferiore (inf I) e di estremo superiore (sup I) di un intervallo I della retta reale.

Se I e’ costituito da tutti gli x reali tali che a < đ?‘Ľ < đ?‘? si dice che a e’ l’estremo inferiore di I se a ∉ I se e’ il massimo dei suoi minoranti.

L’insieme dei minoranti e’ formalmente l’insieme (−∞, đ?‘ŽâŚŒ. In definitiva inf I = max(−∞, đ?‘ŽâŚŒ = đ?‘Ž Sempre sotto la condizione data per I si dice che b e’ l’estremo superiore di I, e si scrive b = sup đ??ź se b = min ⌋đ?‘? , +∞). L’insieme ⌋đ?‘? , +∞) e’ detto insieme dei maggioranti di I.

L’utilizzazione di successioni di numeri razionali sembra avere un fondamento logico evidente in quanto ove si utilizzassero successioni di numeri reali si definirebbe un oggetto matematico a mezzo dello stesso oggetto matematico.

Il numero reale r e’ l’elemento di separazione tra gli infiniti elementi delle due successioni. In altri termini si puo’ scrivere che: r = lim đ?‘Žđ?‘› = lim đ?‘?đ?‘› đ?‘›â†’+∞

đ?‘›â†’+∞

Si dimostra che l’elemento di separazione tra le due classi e’ unico.

Le due successioni sono dette rispettivamente successione minore e successione maggiore.

Anche un numero irrazionale puo’ essere approssimato, per difetto e per eccesso, da due successioni (la minore e la maggiore). In definitiva ogni numero reale puo’ essere inteso come elemento di separazione (unico) tra due successioni con le caratteristiche sopra indicate. Nel contesto algebrico e’ invalso si indicare le due successioni con le lettere A e A’.

Per indicare che il numero reale r e’ definito a partire dalle due successioni date si scrive: r ≥ (đ??´, đ??´â€˛ )

Come gia’ ricordato l’insieme dei numeri reali e’ archimedeo, cioe’ i numeri reali sono confrontabili. Due numeri reali r≥ (đ??´, đ??´â€˛ ) ed r’≥ (đ??ľ, đ??ľ ′ ) sono eguali se si puo’ porre:

e quindi quando tutti gli elementi di A sono minori (o al massimo eguali) a quelli di B’ e quando tutto gli elementi di B sono minori (o eguali) agli elementi di A’.

Ho disegnato stilizzando le successioni con una freccia che esprime bene il tendere a r e ad r’ rispettivamente.

Dati due numeri reali r ed r’ definiti come r ≥ (đ??´, đ??´â€˛ ) e r’ ≥ (đ??ľ , đ??ľ ′ ) posto A ={đ?‘Žđ?‘– } e posto B’ ={đ?‘?′đ?‘– } si ha r = đ?‘&#x; ′ â&#x;ş lim đ?‘Žđ?‘– = lim đ?‘?′đ?‘– đ?‘›â†’+∞

đ?‘›â†’+∞

(la parte in blu e’ al momento inserita con riserva)

Si dimostra che la eguaglianza tra due numeri reali definisce una relazione di equivalenza nel senso che essa gode della proprieta’ riflessiva ( r = đ?‘&#x;) , della proprieta’ riflessiva ( r = đ?‘&#x; ′ â&#x;š đ?‘&#x; ′ = đ?‘&#x; ) e della proprieta’ transitiva ( r = đ?‘&#x; ′ , đ?‘&#x; ′ = đ?‘&#x; ′′ â&#x;š đ?‘&#x; = đ?‘&#x;′′). Al momento e’ stata definita una corrispondenza biunivoca e continua tra i punti di una semiretta di origine O e i numeri reali positivi, nel senso che ad ogni punto corrisponde un numero e ad ogni numero un punto e ovviamente a punti (numeri) distinti corripondono numeri (punti) distinti.

Come piu’ sopra evidenziato si e’ assunta arbitraria la corrispondenza del numero zero con un punto della semiretta.

Cio’ posto e’ pero’ possibile definire il numero reale 0 a mezzo delle due successioni di razionali, con le proprieta’ piu’ sopra indicate.

Al riguardo si considerano successioni di numeri razionali relativi. Dato un numero reale r ≥ (đ??´, đ??´â€˛ ) se ogni elemento della successione A e’ negativo e se ogni elemento della successione A’ e’ positivo allora si ha r = 0. Un numero reale e’ detto numero reale positivo se esso e’ maggiore dello zero. Un numero reale e’ positivo se esiste un k intero per il quale sia đ?‘Žđ?‘› > 0 per ogni n intero tale che n ≼ đ?‘˜. Un numero reale e’ negativo se esiste un k tale che đ?‘Žđ?‘› < 0 quanto n ≼ đ?‘˜.

Queste definizioni sono valide quando riferite alle successioni come definite. Solitamente si utilizzano le cosiddette successioni ridotte. Quando infatti una successione e’ decrescente potendo essa partire da valori positivi decresce via magari raggiungendo lo zero e passando a valori negativi‌‌ In casi come questi si utilizzano le ridotte, e, nel caso di specie la successione (sottosuccessione di quella assegnata) i cui termini sono tutti negativi. Si osservi che comunque le sottosuccessioni sono convergenti ad un dato valore r e sono costituite da infiniti elementi.

Un numero reale r > 0 e’ definito da successioni di razionali positivi. Un numero reale r < 0 e’ definito da successioni di razionali negativi. Dato il numero reale r ≥ ({đ?‘Žđ?‘– }, { đ?‘?đ?‘– }) il suo valore assoluto (o modulo) indicato come | r | e’ tale che |r| ≥ ({|đ?‘Žđ?‘– | }, {| đ?‘?đ?‘– |}).

Utili osservazioni sul metodo sintetico per l’introduzione dei reali e sulle operazioni sono contenute ad esempio in Russo (pagg. 54 e segg.). In questa sede operativa e’ utile ricordare come vengono definite le operazioni sui reali, chiudendo con le proprieta’ formali.

Somma di due numeri reali. Dati due numeri reali r ≥ (đ??´, đ??´â€˛ ) e r’ ≥ (đ??ľ , đ??ľ ′ ) si dice somma di due numeri reali il numero reale s = đ?‘&#x; + đ?‘&#x; ′ tale che s ≥ (đ??´ + đ??ľ, đ??´â€˛ + đ??ľâ€˛). Dato un numero reale r ≥(A, B) il numero reale opposto e’ il numero reale r’≥ (−đ??ľ, −đ??´).

Differenza di due numeri reali. Dati due numeri reali r ≥ (đ??´, đ??´â€˛ ) e r’ ≥ (đ??ľ , đ??ľ ′ ) si dice somma di due numeri reali il numero reale d = đ?‘&#x; − đ?‘&#x;′ tale che s ≥ (đ??´ − đ??ľâ€˛, đ??´â€˛ − đ??ľ).

Prodotto di due numeri reali. Dati due numeri reali r ≥ (đ??´, đ??´â€˛ ) e r’ ≥ (đ??ľ , đ??ľ ′ ) si dice prodotto di due numeri reali il numero reale p = đ?‘&#x;đ?‘&#x;′ đ?‘ tale che s ≥ (đ??´đ??ľ, đ??´â€˛ đ??ľâ€˛). Dette operazioni sono estensibili immediatamente a piu’ di due numeri reali.

Puo’ essere definito, per ogni numero reale r ≠0, il reciproco di un numero reale, 1

indicato con r’ = đ?‘&#x; . 1

1

Se r ≥ (đ??´, đ??ľ) allora r’ ≥ (đ??ľ , đ??´). Il reciproco di r ≠0 e’ unico.

La definizione di reciproco di un numero reale consente di definire naturalmente la divisione tra due numeri reali. Dati due numeri reali a e b definiti come a ≥ (A, B) e b �

1

đ?‘Ž

đ??´

đ??ľ

≥ (đ??´â€˛ , đ??ľâ€˛ ) il rapporto đ?‘? puo’ essere scritto come ađ?‘? quindi il numero q = đ?‘? ≥ (đ??ľâ€˛, đ??´â€˛).

Viene poi definito l’elevamento a potenza n-esima di un numero reale. Si pone che sia n intero assoluto e si definisce, dato r ≥ (A, B), đ?‘&#x; đ?‘› ≥ (đ??´đ?‘› , đ??ľ đ?‘? ). In R valgono le usuali proprieta’ delle potenze. Una importante conseguenza e’ che đ?‘&#x; đ?‘› = đ?‘&#x;′đ?‘› â&#x;š r = đ?‘&#x;′.

Vanno ora considerate le proprieta’ cosiddette formali dei numeri reali. L’insieme R dei numeri reali viene studiato come una struttura algebrica costituita da R e da due operazioni interne, dette addizione, indicata dal simbolo + , e moltiplicazione, solitamente espressa con il simbolo â‹…. Le due operazioni sono interne, nel senso che la somma o il prodotto di due numeri reali e’ ancora un numero reale (proprieta’ di chiusura). ∀đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘? ∈ đ?‘… valgono le seguenti proprieta’: đ?’‚ + đ?’ƒ = đ?’ƒ + đ?’‚ e ab= đ?’ƒđ?’‚ (commutativita’ della somma e del prodotto) (đ?’‚ + đ?’ƒ) + đ?’„ = đ?’‚ + (đ?’ƒ + đ?’„) e (đ?’‚đ?’ƒ)đ?’„ = đ?’‚(đ?’ƒđ?’„) prodotto) a(b +đ?’„) = đ?’‚đ?’ƒ + đ?’‚đ?’„ (proprieta’ distributiva)

(associativita’ della somma e del

Nelle applicazioni e’ piu’ usuale dover utilizzare la proprieta’ di raccoglimento a fattore comune per la quale si ha đ?’‚đ?’ƒ + đ?’‚đ?’„ = a(b +đ?’„).

Risulta poi che: a+đ?&#x;Ž =đ?’‚ 1â‹…a = đ?’‚ Gli elementi 0 e 1 sono gli elementi neutri rispetto all’addizione e alla moltiplicazione. Gli elementi neutri esistono e sono unici. Ogni numero reale a ammette un opposto indicato come −đ?‘Ž . Si scrive a +(−đ?’‚) = đ?&#x;Ž. Ogni numero reale a ≠0 ammette inverso indicato con i formalismi equivalentemente đ?‘Žâˆ’1 . Si scrive che đ?’‚đ?’‚−đ?&#x;? = đ?&#x;?. Vigono due importanti proprieta’ dette di cancellazione per le quali si ha: a+đ?’ƒ = đ?’‚ + đ?’„ â&#x;š đ?’ƒ = đ?’„ ac = đ?’ƒđ?’„ â&#x;š đ?’‚ = đ?’ƒ quando sia c ≠0.

1 đ?‘Ž

oppure

In R vale la legge di annullamento del prodotto per la quale si ha: đ??šđ??› = đ?&#x;Ž â&#x;š đ?’‚ = đ?&#x;Ž oppure b = đ?&#x;Ž oppure entrambi eguali allo zero. Una importante conseguenza e’ che đ?&#x;Ža = đ?&#x;Ž .

La struttura (R, +,∗) đ?‘’′ detta campo dei numeri reali.

Una importante proprieta’ dei numeri reali e’ la proprieta’ invariantiva della divisione per la quale

đ?‘Ž đ?‘?

đ?‘Žđ?‘?

= đ?‘?đ?‘? per ogni c ≠0.

Valgono in R le usuali proprieta’ delle potenze. � � � � = � �+� �� ��

= đ?‘Ž đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ś con a ≠0.

đ?‘Ž0 = 1 ∀đ?‘Ž > 0. (đ?‘Žđ?‘?)đ?‘› = đ?‘Žđ?‘› đ?‘? đ?‘› đ?‘Ž

đ?‘Žđ?‘›

(đ?‘?)đ?‘› = đ?‘?đ?‘› con b ≠0.

1

đ?‘Žâˆ’đ?‘› = đ?‘Žđ?‘› con a ≠0.

Nell’accezione moderna i numeri irrazionali nascono dall’esigenza di dare giustificazione di equazioni quali đ?‘Ľ 2 = 2. Essa non ammette soluzioni in Q, insieme dei razionali. Assegnato un reale positivo r > 0 dicesi radice quadrata di esso quel numero che elevato al quadrato e’ eguale a r. La radice quadrata di r positivo si indica col il formalismo √đ?‘&#x;.

Per dare un senso all’operazione di estrazione di radice e’ stato introdotto un assioma detto di Dedeking, dal nome del matematico che lo ha elaborato fondato sulla nozione di sezione dell’insieme dei numeri reali.

Due insiemi non vuoti A e B costituiscono una sezione, indicata dal formalismo (A , B), di R se sono verificate le due condizioni:

AâˆŞđ??ľ =đ?‘… A ∊ đ??ľ = ∅. se a < đ?‘? per ogni a di A e per ogni b di B. A e B sono detti classi.

Rispetto ad esse diviene essenziale individuare l’elemento separatore delle classi A e B.

Ad esempio se A = (- ∞, 3 âŚŒ e B = (3 , +∞) si puo’ affermare che 3 e’ l’elemento di separazione tra le due classi. Infatti 3 e’ minore di inf(B) e per i due insiemi risulta vero che A âˆŞ đ??ľ = đ?‘… A ∊ đ??ľ = ∅.

L’assioma di Dedeking viene enunciato come segue: Per ogni sezione (A, B) di R esiste l’elemento separatore delle classi A e B.

APPENDICE 2 - NOZIONI DI TOPOLOGIA DELLA RETTA Nel fornire la definizione di punto di accumulazione (detto anche punto limite) e di punto isolato per un dato insieme, specie in relazione alle prime semplici applicazioni e’ stato utilizzato il formalismo d(x, y) inteso come la distanza euclidea tra i punti x ed y. Per gli scopi di questo elaborato elementare e’ sufficiente ricordare che: d(x,y) = đ?‘‘(đ?‘Ś, đ?‘Ľ) > 0 d(x, x) = 0 . La distanza euclidea tra due punti x ed y e’ esprimibile anche con la notazione di valore assoluto. d( x, y) = |đ?‘Ľ − đ?‘Ś| E’ sicuramente utile fare qualche esempio pratico.

Posto x = 3 đ?‘’ đ?‘Ś = 8 si puo’ scrivere che d(3,8) = đ?‘‘(8,3) = | 3 − 8| = |−5| = 5

A volte puo’ capitare di dover operare anche con numeri negativi, come nel seguente caso:

Si consideri il caso sia x = −3 đ?‘’ đ?‘Ś = 4 . In questo caso si ha d(−3, 4) = đ?‘‘(4, −3) = | − 3 − 4| = | − 7| = 7 Quando i punti sono simmetrici si ha il caso d(−đ?‘Ľ, đ?‘Ľ) = 2|đ?‘Ľ| = sup(−đ?‘Ľ, đ?‘Ľ). Si consideri ad esempio la distanza tra i punti đ?‘Ľ1 = −3 e đ?‘Ľ2 = 3.

d(−3, 3) = 2|3| = 6

Altrettanto banalmente si puo’ considerare la distanza di un punto x ≠0 dal punto 0. Si ha d(0, �) = �(�, 0) = |�| valida sia per il caso x > 0 che per il caso x > 0.

Vi sono ulteriori due nozioni che sono utili per avere una visione complessiva delle problematiche.

Rispetto ad un insieme đ??ź ⊂ đ?‘… un punto x di R rispetto a I puo’ essere: •

interno se esiste almeno un intorno di x tale che ogni elemento dell’intorno distinto da x sia tale da essere elemento di I

•

esterno se esiste un intorno di x tale che ogni elemento di detto intorno non sia elemento di I

•

punto di frontiera se esiste un intorno di detto punto che contenga almeno un punto che appartiene ad I ed un almeno un punto che non appartiene ad I.

Si osservi che dette nozioni sono riferite a sottoinsiemi propri di R. Un punto di frontiera di un insieme I ⊂ R puo’ appartenere o meno a I. Due casi sono paradigmatici. Si consideri l’insieme ⌋đ?‘Ž, đ?‘?âŚŒ . I punti a e b sono punti della frontiera e appartengono ad ⌋đ?‘Ž, đ?‘?âŚŒ. Ove invece si consideri l’insieme (a, b) i punti a e b sono punti di frontiera ma essi non appartengono all’insieme dato. I punti interni di ⌋đ?‘Ž, đ?‘?âŚŒ sono costituiti dall’insieme (a, b).

Una ulteriore semplice nozione relativa agli intervalli e’ quella di centro dell’intervallo. Dato l’intervallo (a, b) o anche ⌋đ?‘Ž, đ?‘?âŚŒ il punto medio dell’intervallo di estremi a e b e di ampiezza |b −đ?‘Ž|.

đ?‘Ž+đ?‘? 2

e’ usualmente detto centro

APPENDICE

3

− EQUAZIONI

E

DISEQUAZIONI

ESPONENZIALI

E

LOGARITMICHE E’ utile ricordare brevemente alcune parti della teoria utili alla teoria dei limiti specie nella parte applicativa. Una equazione del tipo đ?‘Ž đ?‘Ľ = đ?‘? e’ detta equazione esponenziale in quanto l’incognita compare all’esponente. I numeri reali a e b sono positivi con a ≠1. Infatti, ove fosse a = 1 si avrebbe 1đ?‘Ľ = đ?‘? da cui 1 = đ?‘? cioe’ b = 1. L’equazione esponenziale ammette sempre soluzione. Detta soluzione e’ unica. Oltre alle definizioni gia’ note una ulteriore e’ riconnessa alla risoluzione dell’equazione esponenzialeâ€?. Infatti, si afferma ⌋RussoâŚŒ che “la soluzione dell’equazione esponenziale đ?‘Ž đ?‘Ľ = đ?‘? e’ detta logaritmo del numero b in base a e si scrive: x = log đ?‘Ž đ?‘? “ da cui segue la definizione di logaritmo ben riportata nella manualistica. Una definizione poco utilizzata ma che potrebbe essere rinvenuta e’ quella di cologaritmo. Il cologaritmo (Colog(. )) di un numero e’ l’opposto del logaritmo di tale numero.

Colog(x) = −đ??żđ?‘œđ?‘”(đ?‘Ľ) Cio’ e’ vero qualunque sia la base a ≠1 che si utilizza.

Per le finalita’ eminentemente pratiche e operative e’ utile impratichirsi con la risoluzione delle equazioni e delle disequazioni logaritmiche ed esponenziali. Si puo’ fare un primo esempio di equazione esponenziale che si puo’ risolvere utilizzando i logaritmi. (đ?‘Ž + 2)đ?‘Ľ = (đ?‘? − 2) Ho “creatoâ€? questa piccola equazione esponenziale che presuppone vengano definite le condizioni per la sua risolubilita’, definite le quali l’equazione ha una unica soluzione. Occorre che sia b −2 > 0 cioe’ b > 2 Ma deve essere anche a + 2 > 0 cioe’ a > −2 e anche đ?‘Ž + 2 ≠1 cioe’ a ≠1 − 2 = −1. A questo punto l’equazione puo’ essere risolta applicando ad ambo i membri il logaritmo in una qualunque base consentita (qualunque numero reale positivo diverso dall’unita’). Si puo’ utilizzare come base il numero e di Nepero e scrivere che:

ln(đ?‘Ž + 2)đ?‘Ľ = ln(đ?‘? − 2) x ln(đ?‘Ž + 2) = ln(đ?‘? − 2) ln(đ?‘?−2)

x = ln(đ?‘Ž+2)

Una ampia quantita’ di equazioni esponenziali possono essere risolte senza fare uso della nozione di logaritmo di un numero reale positivo. Ad esempio e’ immediato calcolare la x per la quale e’:

đ?‘&#x; đ?‘Ľ = đ?‘&#x; đ?‘ che si risolve banalmente ponendo x = đ?‘ . Un esempio di equazione risolubile sulla base della seguente argomentazione e’ la seguente: 62đ?‘Ľ+3 = 65 . Essa si risolve ponendo 2x +3 = 5 da cui 2x = 5 − 3 = 2 e quindi x = 1. Un esempio che ho rinvenuto tra gli esercizi proposti mi ha consentito di fare qualche “modificaâ€? e di proporre l’equazione seguente: đ?‘Ľ

√2đ?‘› = 22đ?‘Ľ +1

Il primo membro di essa puo’ essere scritto opportunamente avendo che: �

(2)đ?‘Ľ = 22đ?‘Ľ +1 Da essa si ha che: đ?‘› đ?‘Ľ

= 2đ?‘Ľ + 1 da cui n = 2đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ľ e quindi 0 = 2đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ľ − đ?‘› da cui:

2đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ľ − đ?‘› = 0 da cui si possono ottenere i due valori risolvendo l’equazione di secondo grado in x, avendo che x =

−1Âąâˆš1 +8đ?‘› 4

Poiche’ al variare di n in N si ha 1 + 8đ?‘› > 0 l’equazione ammette sempre due soluzioni reali e distinte. A volte e’ possibile risolvere equazioni esponenziali del tipo đ?‘&#x; đ?‘Ľ = đ?‘Ą ragionando opportunamente sul numero t. Affinche’ ci si possa ricondurre al caso precedente e’ sufficiente ricondurre il numero t ad una espressione del tipo t = đ?‘&#x; đ?‘ per un dato s reale.

Ad esempio si debba calcolare la x che rende vera la relazione 52đ?‘Ľ+đ?‘˜ = 252 . Si puo’ operare sul secondo membro osservando che 252 = 52 52 = 52+2 = 54

A questo punto si puo’ scrivere che: 52đ?‘Ľ+đ?‘˜ = 54 Da essa si puo’ scrivere che: 4−đ?‘˜

2đ?‘Ľ + đ?‘˜ = 4 da cui 2x = 4 − đ?‘˜ e quindi x =

2

Ove si avesse, ad esempio con riferimento al caso considerato da ultimo, a dover esaminare disequazioni , da 52đ?‘Ľ+đ?‘˜ > 54 discenderebbe che x >

4−đ?‘˜ 2

in quanto 5 > 1.

In generale giova osservare che: Da đ?‘Ž đ?‘Ľ > đ?‘Ž đ?‘Ś discende x > đ?‘Ś quando a > 1 e x < đ?‘Ś quando 0 < đ?‘Ž < 1. Da đ?‘Ž đ?‘Ľ < đ?‘Ž đ?‘Ś discende x < đ?‘Ś quando a > 1 e x > đ?‘Ś quando 0 < đ?‘Ž < 1. đ?‘Ž đ?‘Ľ < đ?‘Ž đ?‘Ś â&#x;ş đ?‘Ľ = đ?‘Ś ∀đ?‘Ž > 0 | đ?‘Ž ≠1.

Puo’ essere utile dover risolvere equazioni logaritmiche. Solitamente per la risoluzione di esse si utilizzano i ben noti teoremi sui logaritmi.

Una ampia casistica di equazioni contiene argomenti di logaritmi dati in una data base (qualunque numero reale positivo distinto dall’unita’). Sia data ad esempio la seguente equazione: 4

log đ?‘? đ?‘Ľ = 3 log đ?‘? 2−2 + log đ?‘? 6 − 3 log đ?‘? đ?‘‘ −đ?‘?đ?‘œ log đ?‘? 7 Si puo’ lavorare sul secondo membro, osservando che: 1

3 log đ?‘? 2−2 = log đ?‘? ( 2−2 )3 = log đ?‘? (4)3 4

4

3

log đ?‘? đ?‘‘ = log đ?‘? √đ?‘‘4 = log đ?‘? (đ?‘‘)3 3 Si puo’ quindi scrivere che: 1

4

log đ?‘? đ?‘Ľ = log đ?‘? (4)3 + log đ?‘? 6 − log đ?‘? (đ?‘‘)3 + log đ?‘? 7 log đ?‘? đ?‘Ľ = log đ?‘?

1 ( )3 6∗7 4

4 (đ?‘‘)3

da cui si ottiene x =

1 ( )3 6∗7 4

4

.

(đ?‘‘)3

Questa equazione e’ di fantasia, elaborata col solo scopo di utilizzare il maggior numero di conoscenze utili per gestire dette equazioni.

In analisi solitamente si usa la base dei logaritmi naturali, detti anche di Nepero, la cui base e’ il numero e. In questo caso si pone log đ?‘? ( đ?‘Ľ) = ln(đ?‘Ľ)

Anche se ne e’ infrequente l’utilizzazione per gli scopi di questo elaborato si da’ conto della relazione che consente il passaggio da una base di logaritmi ad un’altra. Siano a e b le distinte basi con a ≠đ?‘?, đ?‘Ž ≠1, đ?‘? ≠1 . Si ha: 1

log đ?‘Ž đ?‘Ľ = log đ?‘? đ?‘Ľ log 1

La frazione log

đ?‘?đ?‘Ž

đ?‘?đ?‘Ž

.

e’ detta modulo della trasformazione.

APPENDICE 4 - DERIVATE PARZIALI Nel testo e’ stata ricordata la nozione di derivata di una funzione y = f(x). Ora e’ necessario dare la definizione di derivate prime di una funzione z = đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś). Si puo’ far variare, di volta una delle variabili, mantenendo costante l’altra (o le altre, a seconda del caso che si considera). Viene definito il rapporto incrementale parziale rispetto alla x come: ∆đ?‘§đ?‘Ľ =

đ?‘“(đ?‘Ľ0 +∆đ?‘Ľ, đ?‘Ś0 )−đ?‘“(đ?‘Ľ0 ,đ?‘Ś0 ) ∆đ?‘Ľ

Il limite di tale rapporto incrementale per ∆đ?‘Ľ → 0 viene detto derivata parziale di f(x,y) rispetto alla x e si scrive: đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ

�(�, �) = �′� (�, �) = lim

∆đ?‘Ľâ†’0

đ?‘“(đ?‘Ľ0 +∆đ?‘Ľ, đ?‘Ś0 )−đ?‘“(đ?‘Ľ0 ,đ?‘Ś0 ) ∆đ?‘Ľ

Analogamente si definisce la derivata parziale prima rispetto alla y come segue: đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś

�(�, �) = �′� (�, �) = lim

∆đ?‘Śâ†’0

đ?‘“(đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 +∆đ?‘Ľ)−đ?‘“(đ?‘Ľ0 ,đ?‘Ś0 ) ∆đ?‘Ś

Una funzione f(x, y) viene detta derivabile in un punto del suo dominio se esistono finite le due derivate parziali prime.

Quando si ha una funzione di n variabili indipendenti, si possono definire n rapporti incrementali medi, considerando a volta a volta n – 1 variabili come costanti, al variare di una di esse.

Poiche’ lo scopo di questo testo e’ ricostruire la teoria dei limiti da un punto vista elementare ci si limita alle derivate prima ma e’ abbastanza meccanico pervenire alla derivate seconde e a quelle di ordine superiore. Da un punto di vista operativo quando si calcola la derivata rispetto alla variabile x si considerano le altre variabili alla stregua di costanti.

Un esempio chiarira’ la situazione. Sia data la funzione z = cos(đ?‘˜đ?‘Ľ + â„Žđ?‘Ś) ove h e k sono due interi assoluti non eguali allo zero. Poiche’ le variabili indipendenti sono due, la x e la y allora esisteranno due rapporti incrementali e quindi due derivate parziali prime. Vi e’ una complicazione che scaturisce dal fatto che la funzione puo’ essere considerata quale una funzione composta, secondo lo schema seguente: đ?‘“1

đ?‘“2

x, y → đ?‘˜đ?‘Ľ + â„Žđ?‘Ś → cos(đ?‘˜đ?‘Ľ + â„Žđ?‘Ś)

Si puo’ calcolare

đ?œ• đ?‘“ đ?œ•đ?‘Ľ 1

= đ?‘˜ + 0 = đ?‘˜ e in definitiva

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ

đ?œ•

đ?œ•

đ?‘“ = đ?œ•đ?‘Ľ đ?‘“1 đ?œ•đ?‘˘ cos(đ?‘˘) = đ?‘˜(− sin(đ?‘˘)) =

−đ?‘˜đ?‘ đ?‘–đ?‘›(đ?‘˜đ?‘Ľ + â„Žđ?‘Ś). đ?œ•

Pertanto si scrive che đ?œ•đ?‘Ľ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = −đ?‘˜đ?‘ đ?‘–đ?‘›(đ?‘˜đ?‘Ľ + â„Žđ?‘Ś). A questo punto si puo’ calcolare

đ?œ•

đ?‘“ = 0 + â„Ž = â„Ž e in definitiva đ?œ•đ?‘Ś 1

â„Ž(− sin(đ?‘˘)) = −ℎđ?‘ đ?‘–đ?‘›(đ?‘˜đ?‘Ľ + â„Žđ?‘Ś). đ?œ•

In definitiva đ?œ•đ?‘Ś đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = −ℎđ?‘ đ?‘–đ?‘›(đ?‘˜đ?‘Ľ + â„Žđ?‘Ś).

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś

đ?œ•

đ?œ•

đ?‘“ = đ?œ•đ?‘Ś đ?‘“1 đ?œ•đ?‘˘ cos(đ?‘˘) =

Volendo si possono considerare le due derivate prime parziali e ricavare le quattro derivate parziali seconde. Anche in questo caso si deve ricordare che si ha a che fare con funzioni composte.

APPENDICE 5 - LIMITI E CONTINUITA’ DI FUNZIONI VETTORIALI Anche per le funzioni vettoriali sono date le nozioni di limite e di continuita’. Le funzioni di piu’ variabili a valori vettoriali sono del tipo f : đ?‘… đ?‘› → đ?‘… đ?‘š . Un esempio applicativo concreto e’ dato dalla meccanica dei fluidi ove la velocita’ in un punto (x, y, z) e nel tempo t e’, in termini vettoriali v = (x, y, z, t) , quindi da 4 variabili indipendenti x, y, z, t si ottiene una grandezza vettoriale v che designa la direzione, il verso e l’intensita’ della velocita’ in un dato punto dello spazio (x, y, z) al tempo t. In questi casi si ammette sia pure t una variabile indipendente. Un caso particolare si ha quando v non dipende dal tempo. In questi casi v dipende esclusivamente dalle coordinate spaziali e si realizza una condizione detta di moto stazionario. Questo e’ un caso particolare di campo vettoriale. Anche per queste funzioni e’ possibile introdurre le nozioni di limite e di continuita’. Il dato essenziale e’ che di passa da elementi di uno spazio đ?‘… đ?‘› ad elementi di uno spazio đ?‘… đ?‘š . Ad un elemento đ?’™đ?&#x;Ž = (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ľ1 , ‌ . . , đ?‘Ľđ?‘› ) | đ?’™đ?&#x;Ž ∈ đ?‘… đ?‘› tramite la funzione f corrisponde un elemento y = (đ?‘Ś0 , đ?‘Ś1 , ‌ . . , đ?‘Śđ?‘š ) | y ∈ đ?‘… đ?‘š . E’ possibile considerare m funzioni per le quali sia realizzata la corrispondenza: fi≤m

x→

yi .

In altri termini si puo’ scrivere che: (�0 , �1 , ‌ . . , �� ) ≥ (�1 (�), �2 (�), ‌ . . , �� (�))

In definitiva le funzioni �� associano ad un elemento dello spazio � � un elemento di R. Dette funzioni sono comunemente chiamate funzioni componenti di f. Gli elementi (�0 , �1 , ‌ . . , �� ) vengono indicati come Y. E’ possibile anche per queste funzioni considerare la nozione di limite, ovvero dare conto di una scrittura del tipo: lim �(�) = �

đ?’™â†’đ?’™đ?&#x;Ž

Che significa che |f(x) −đ?‘ł | → 0 quando |x −đ?’™đ?&#x;Ž | → 0. Nella pratica detto limite si calcola con riferimento ad ogni componente. Pertanto detto limite L e’ ottenuto calcolando i seguenti limiti: lim đ?‘“đ?‘– (x) per i | 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘š.

đ?’™â†’đ?’™đ?&#x;Ž

In definitiva lim �(�) = lim (�1 (�), �2 (�), ‌ . . , �� (�)) = ( lim �1 (x), lim �2 (x), ‌.., lim �� (x))

đ?’™â†’đ?’™đ?&#x;Ž

đ?’™â†’đ?’™đ?&#x;Ž

đ?’™â†’đ?’™đ?&#x;Ž

đ?’™â†’đ?’™đ?&#x;Ž

đ?’™â†’đ?’™đ?&#x;Ž

La funzione f e’ continua in un punto o in un aperto se e solo se lo sono le componenti �� .

ESEMPI DI ESERCIZI NOZIONI DI BASE SUGLI INSIEMI NUMERI Estremi superiori, inferiori, massimi e minimi di un intervallo I ⊂ �. Dato l’insieme I = { � =

2đ?‘›+1 5đ?‘›

con n intero positivo }

L’elemento rappresentativo puo’ essere riscritto opportunamente avendosi che: 2�+1 5�

2đ?‘›

1

2

1

= 5đ?‘› + 5đ?‘› = 5 + 5đ?‘› 2

Si osservi che x > 5 2

Proviamo che Inf I = 5 2

1

2

1

1

Dato un đ?œ€ > 0 possiamo scrivere che 5 + 5đ?‘› < 5 + đ?œ€ da cui 5đ?‘› < đ?œ€ e vera per đ?œ€ > 5đ?‘›. Nel linguaggio dei limiti si potrebbe scrivere che lim

2

đ?‘›â†’+∞ 5

1

2

+ 5đ?‘› = 5.

Sup I si determina considerando il valore n minimo ovvero n = 1. Si puo’ scrivere che Sup I = đ?‘€đ?‘Žđ?‘Ľ đ??ź Non si puo’ invece dichiarare vero che Inf I =Min I. Cio’ perche’ per n arbitrariamente grande e’ possibile dichiarare vero che: 2 5

1

2

1

+ 5(đ?‘›+1) < 5 + 5đ?‘›

D'altronde N e’ illimitato superiormente.

2

Quantunque si faccia crescere n in N ci si avvicina al punto 5 senza mai raggiungerlo. 2

In definitiva il punto x = 5 non appartiene ad I e quindi non e’ il minimo di I che pure e’ limitato inferiormente. 2

3

Si osservi che i punti x sono tutti contenuti in (5 , 5⦌ . I punti di I sono tutti punti isolati, salvo l’estremo inferiore che e’ un punto limite (cioe’ di accumulazione). Puo’ essere istruttivo dare le rappresentazioni grafiche, la prima delle quali sulla retta reale, come segue.

Nel piano si ha la seguente rappresentazione.

Un ulteriore esempio di insieme che si puo’ studiare e’ il seguente: 1

I = {đ?‘Ľ = đ?‘›đ?‘˜ , n intero assoluto e k intero | k ≼ 2} Si osservi che

1 đ?‘›đ?‘˜

< 1 đ?‘?đ?‘’đ?‘&#x; đ?‘› > 1.

Si puo’ scrivere che Max I = 1 đ?‘?đ?‘’đ?‘&#x; đ?‘Ľ = 1 . Occorre dimostrare che Inf I = 0. 1

Infatti e’ đ?‘›đ?‘˜ < 0 + đ?œ€ = đ?œ€ > 0. 1

1

Da đ?‘›đ?‘˜ < đ?œ€ si ottiene immediatamente che đ?œ€ > đ?‘›đ?‘˜ .

E’ possibile studiare l’insieme I = { đ?‘Ľ = đ?‘˜ đ?‘› đ?‘?đ?‘œđ?‘› đ?‘˜ > 1} . Due osservazioni aiutano a discutere il caso. Primariamente si puo’ scrivere che đ?‘˜ 0 = 1 e poiche’ e’ đ?‘˜ > 1 ne consegue che đ?‘˜ đ?‘›+1 > đ?‘˜ đ?‘› al variare di n in N. L’insieme i cui elementi sono del tipo đ?‘˜ đ?‘› al variare di n in N e’ illimitato superiormente. Si ammetta, per assurdo, che esita un massimo, detto M = 2đ?‘› . Cio’ non e’ possibile in quanto N e’ illimitato superiormente risultando poi che đ?‘˜ đ?‘›+1 > đ?‘˜ đ?‘› .

Esiste un x tale che x > đ?‘€ = đ?‘˜ đ?‘› essendo quindi x > đ?‘˜ đ?‘› .

(−1)đ?‘›

Quando si studia un insieme tipo I = {

đ?‘›

} si comprende che esso contiene termini positivi

ed elementi negativi. Piu’ precisamente se n e’ dispari si hanno termini negativi, mentre se n e’ pari si hanno termini positivi. Ovviamente 0 non puo’ essere elemento di I. 1

1

I primi sei elementi di I sono nell’ordine −1, 2 , − 3 ,

1 4

1

,− 5 ,

1 6

1

I punti − 1 đ?‘’ + 2 sono rispettivamente il minimo e il massimo di I. Detti punti sono punti isolati di I. Ad esempio si puo’ osservare che ogni intervallo centrato 1

in (- 1) di ampiezza 0 < đ?›ż < − + 1 non contiene alcun punto di I . 3

Il punto x = 0 e’ un punto di accumulazione per I.

đ?‘›3

Un ulteriore caso da studiare potrebbe essere il seguente insieme I = {1+đ?‘›3 } . đ?‘›3

In relazione a detto insieme si puo’ affermare che i punti di esso cadono 0 ≤ 1+đ?‘›3 < 1. L’elemento 0 e’ il minimo della funzione in quanto ottenuto per n = đ?‘œ in quanto per esso si 0

avrebbe 1 = 0. Si dimostra che Sup I = 1 . Da x < 1 si puo’ scrivere che x < 1 + đ?œ€ đ?‘?đ?‘’đ?‘&#x; đ?œ€ > 0.

đ?‘›3

Pertanto si ha đ?‘Ľ − 1 < đ?œ€ da cui, per sostituzione, 1+đ?‘›3 − 1 < đ?œ€ . E’ possibile lavorare sul đ?‘›3

primo membro scrivendo che 1+đ?‘›3 − 1 =

đ?‘›3 −1−đ?‘›3 1+đ?‘›3

1

= − 1+đ?‘›3.

1

A questo punto si puo’ scrivere che = − 1+đ?‘›3 < đ?œ€ relazione vera per ogni đ?œ€ > 0. Un ulteriore insieme di studio potrebbe essere il seguente. {đ?‘Ľ | đ?‘Ľ 2 < đ?‘˜ , đ?‘˜ > 0} In questo caso si puo’ osservare che l’insieme puo’ essere riscritto in forma equivalente come segue: {đ?‘Ľ | − √đ?‘˜ < đ?‘Ľ < √đ?‘˜ đ?‘?đ?‘œđ?‘› đ?‘˜ > 0} e cioe’ come intervallo continuo ( −√đ?‘˜ , √đ?‘˜ ) Ogni punto di esso e’ di accumulazione per I. Si osserva che pure i punti −√đ?‘˜ √đ?‘˜ sono di accumulazione per I, pur non essendo punti di I medesimo. Relativamente al punto x = −√đ?‘˜ si puo’ affermare che ogni intorno destro di ampiezza < 2√đ?‘˜ contiene solo punti di I . Analoghe riflessione possono farsi per il punto x = √đ?‘˜ con riferimento ad un intorno sinistro di esso di ampiezza < 2√đ?‘˜ . In questo caso particolare non ogni punto di accumulazione per I e’ anche elemento di I. In casi del genere si dice che l’insieme I e’ un insieme aperto. Nella teoria viene data anche la definizione di insieme chiuso.

Un insieme I viene detto chiuso se tutti i suoi punti di accumulazione sono elementi di I oppure quando I non ha punti di accumulazione. Lo schema logico che consente di dichiarare chiuso un insieme e’ sostanzialmente il seguente.

I e’ aperto

E’ dato un insieme I

No

L’insieme ha punti di accumulazione ?

No

L’insieme I e’ chiuso

Si

Esiste almeno un punto di accumulazione che non appartiene a ?

No

ESERCIZI VARI SUI LIMITI DI FUNZIONI 1.

Una prima serie di esercizi sui limiti di funzioni presuppone di dover dimostrare

eguaglianze del tipo lim �(�) =�. �→�0

Un esempio tipico e’ il seguente: lim đ?‘˜đ?‘Ľ − 3 = −3.

�→0

Occorre dimostrare che per ogni valore di đ?œ€ > 0 da | đ?‘˜đ?‘Ľ − 3 − (−3)| < đ?œ€ si ha |x −0| = |đ?‘Ľ| < đ?›ż, con đ?›ż dipendente da đ?œ€. Dalla prima relazione d’ordine si ha | đ?‘˜đ?‘Ľ| < đ?œ€ e quindi −đ?œ€ < đ?‘˜đ?‘Ľ < đ?œ€ ed equivalentemente si ottiene che: đ?œ€

đ?œ€

−đ?‘˜ < đ?‘Ľ < đ?‘˜ (A tali esiti si arriva comunque anche nel caso sia k < 0 dopo aver lavorato sulle disequazioni) Poiche’ deve essere −đ?›ż < đ?‘Ľ < đ?›ż allora devono valere le seguenti relazioni d’ordine: đ?œ€

đ?œ€

− đ?‘˜ < −đ?›ż < đ?‘Ľ < đ?›ż < đ?‘˜ đ?œ€

Ai fini dimostrativi occorre porre |đ?›ż| < | đ?‘˜ | per avere un intorno simmetrico dello zero.

Ulteriore casi del genere potrebbe essere il seguente. 3−đ?‘Ľ

lim− đ?‘Ľâˆ’4 =+∞

�→4

La x si avvicina al punto 4 da sinistra assumendo via via valori crescenti ma comunque sempre minori di 4. Occorre studiare quindi un opportuno intorno sinistro del numero 4. Deve essere |

3−đ?‘Ľ đ?‘Ľâˆ’4

| > đ?‘€ per un opportuno M grande a piacere e, in definitiva, comunque si

prenda M positivo. Si ha |3 −đ?‘Ľ | > đ?‘€|(đ?‘Ľ − 4)| Poiche’ si deve ragionare su un intorno sinistro di 4 allora ci si puo’ ridurre al caso đ?‘Ľ − 3 > đ?‘€(4 − đ?‘Ľ) con x < 4. đ?‘Ľ + đ?‘€đ?‘Ľ > 4đ?‘€ + 3 â&#x;ş đ?‘Ľ(1 + đ?‘€) > 3 + 4đ?‘€ đ?‘Ľ >

3 +4đ?‘€ 1+đ?‘€

da cui

3 +4đ?‘€ 1+đ?‘€

<đ?‘Ľ

Occorre dimostrare che

3 +4đ?‘€ 1+đ?‘€

< 4. Infatti si ha 3 + 4đ?‘€ < 4(1 + đ?‘€) da cui 3 + 4đ?‘€ < 4 +

4đ?‘€ e quindi 3 < 4. In definitiva

3 +4đ?‘€ 1+đ?‘€

< đ?‘Ľ < 4 ovendo ottenuto in definitiva un intorno sinistro di 4.

Un ulteriore caso paradigmatico potrebbe essere il seguente. lim

đ?‘Ľ

đ?‘Ľâ†’−∞ đ?‘Ľâˆ’5

=1 đ?‘Ľ

Deve essere 1 − đ?œ€ < đ?‘Ľâˆ’5 < 1 + đ?œ€ dalla quale si ottiene il seguente sistema di due disequazioni in x. đ?‘Ľ đ?‘Ľâˆ’5 đ?‘Ľ đ?‘Ľâˆ’5

>1−đ?œ€ <1+đ?œ€

di facile discussione.

Questa parte e’ facilmente sviluppabile.

Si puo’ concludere questa carrellata di esempi con il seguente. Dimostrare che lim (3đ?‘Ľ + 4) = −∞ đ?‘Ľâ†’−∞

La funzione affine considerata e’ definita per ogni x reale. Dato un M reale tale che M e’ positivo allora esiste un â„Žđ?‘€ tale che f(x) < −đ?‘€ quando x < −ℎđ?‘€ . In pratica occorre discutere 3đ?‘Ľ + 4 < −đ?‘€ da cui si ha 3đ?‘Ľ < −đ?‘€ − 4 da cui x < −

đ?‘€+4 3

=

−ℎđ?‘€ .

Una ulteriore tipologia di esercizi presuppone il calcolo di limiti per x → Âąâˆž di una funzione polinomiale del tipo y = đ?‘Žđ?‘œ đ?‘Ľ đ?‘› + đ?‘Ž1 đ?‘Ľ đ?‘›âˆ’1 + đ?‘Ž2 đ?‘Ľ đ?‘›âˆ’2 + â‹Ż . +đ?‘Žđ?‘› đ?‘Ľ 0 . Tale limite e’ gestibile raccogliendo đ?‘Ľ đ?‘› a fattore comune avendo quindi: lim đ?‘Žđ?‘œ đ?‘Ľ đ?‘› + đ?‘Ž1 đ?‘Ľ đ?‘›âˆ’1 + đ?‘Ž2 đ?‘Ľ đ?‘›âˆ’2 + â‹Ż . +. đ?‘Žđ?‘› đ?‘Ľ 0 = lim đ?‘Ľ đ?‘› (đ?‘Žđ?‘œ +

đ?‘Ľâ†’Âąâˆž

đ?‘Ľâ†’Âąâˆž

Ma lim đ?‘Ľ đ?‘› (đ?‘Žđ?‘œ + đ?‘Ľâ†’Âąâˆž

đ?‘Ž1 đ?‘Ľ

đ?‘Ž

+ â‹Ż . . . + đ?‘Ľđ?‘›2 ) = ( lim đ?‘Ľ đ?‘› ) lim (đ?‘Žđ?‘œ + đ?‘Ľâ†’Âąâˆž

đ?‘Ľâ†’Âąâˆž

đ?‘Ž1 đ?‘Ľ

đ?‘Ž1 đ?‘Ľ

đ?‘Ž

+ â‹Ż . . . + đ?‘Ľđ?‘›2 ).

đ?‘Ž

Le quantita’ đ?‘Ľ đ?‘–đ?‘– sono infinitesime per x → Âąâˆž. Pertanto lim đ?‘Žđ?‘œ đ?‘Ľ đ?‘› + đ?‘Ž1 đ?‘Ľ đ?‘›âˆ’1 + đ?‘Ž2 đ?‘Ľ đ?‘›âˆ’2 + â‹Ż . +. đ?‘Žđ?‘› đ?‘Ľ 0 = đ?‘Ž0 ( lim đ?‘Ľ đ?‘› ). đ?‘Ľâ†’Âąâˆž

đ?‘Ž

+ â‹Ż . . . + đ?‘Ľđ?‘›2 ).

đ?‘Ľâ†’Âąâˆž

Qualche semplice esempio chiarisce alquanto la questione.

Data la seguente funzione y = 4đ?‘Ľ 5 + 2đ?‘Ľ 3 + 7đ?‘Ľ 2 +9. In questo caso e’ đ?‘Ž0 = 4 . Si hanno quindi i seguenti limiti: lim 4đ?‘Ľ 5 + 2đ?‘Ľ 3 + 7đ?‘Ľ 2 + 9 = 4(+∞) = +∞

đ?‘Ľâ†’+∞

lim 4đ?‘Ľ 5 + 2đ?‘Ľ 3 + 7đ?‘Ľ 2 + 9 = 4(−∞) = −∞.

đ?‘Ľâ†’−∞

Se fosse stato đ?‘Ž0 < 0 i limiti a Âąâˆž sarebbero stati ∓∞.

Un ulteriore ipotesi si ha quando si hanno due polinomi p(x) e g(x) e una forma indeterminata 0

∞

del tipo 0 oppure ∞ . Una prima ipotesi di soluzione e’ usare, se possibile, il teorema di Ruffini. Se i due polinomi si annullano per đ?‘Ľ0 allora essi sono divisibili per il binomio (x −đ?‘Ľ0 ) e pertanto si ha la seguente serie di passaggi formali: lim

đ?‘?(đ?‘Ľ)

�→�0 �(�)

= lim

(x −đ?‘Ľ0 ) đ?‘ž1 (đ?‘Ľ)

đ?‘Ľâ†’đ?‘Ľ0 (x −đ?‘Ľ0 ) đ?‘ž2 (đ?‘Ľ)

= lim

đ?‘ž1 (đ?‘Ľ)

�→�0 �2 (�)

Se detti polinomi non sono ulteriormente scomponibili con il teorema di Ruffini sara’ necessario utilizzare la regola di De L’Hôpital.

Un ulteriore caso ben consolidato e’ il seguente limite. lim

đ?‘?(đ?‘Ľ)

đ?‘Ľâ†’Âąâˆž đ?‘”(đ?‘Ľ)

ove p(x) e g(x) sono due polinomi di grado m ed n rispettivamente.Con

considerazioni simili a quelle del caso precedente applicate al numeratore e al denominatore si ottiene che: lim

đ?‘?(đ?‘Ľ)

đ?‘Ľâ†’Âąâˆž đ?‘”(đ?‘Ľ)

=

đ?‘Ž0

lim đ?‘Ľ đ?‘›âˆ’đ?‘š

đ?‘?0 đ?‘Ľâ†’Âąâˆž

Si comprende che al fine del calcolo di detto limite prevale lim đ?‘Ľ đ?‘›âˆ’đ?‘š . đ?‘Ľâ†’Âąâˆž

Se n > đ?‘š lim đ?‘Ľ đ?‘›âˆ’đ?‘š = +∞ quindi lim

đ?‘Ž0 đ?‘?0

lim đ?‘Ľ đ?‘›âˆ’đ?‘š = −∞ quindi lim

đ?‘?0

đ?‘Ž

= +∞ quando đ?‘?0 > 0 mentre lim 0

đ?‘?(đ?‘Ľ)

đ?‘Ľâ†’+∞ đ?‘”(đ?‘Ľ)

= −∞ quando

< 0. đ?‘?(đ?‘Ľ)

đ?‘Ľâ†’+∞ đ?‘”(đ?‘Ľ)

đ?‘Ľâ†’−∞ đ?‘Ž0

đ?‘?(đ?‘Ľ)

đ?‘Ľâ†’+∞ đ?‘”(đ?‘Ľ)

đ?‘Ľâ†’+∞

> 0.

Se n = đ?‘š si ha che đ?‘Ľ đ?‘›âˆ’đ?‘š = đ?‘Ľ 0 = 1 vera per ogni x. Pertanto si puo’ scrivere che: lim

đ?‘?(đ?‘Ľ)

đ?‘Ľâ†’Âąâˆž đ?‘”(đ?‘Ľ)

=

đ?‘Ž0 đ?‘?0

In questo caso il limite esiste ed e’ finito. Nel caso n < � si ha che: lim

đ?‘?(đ?‘Ľ)

đ?‘Ľâ†’Âąâˆž đ?‘”(đ?‘Ľ)

= 0.

đ?‘Ž

= +∞ quando đ?‘?0 < 0 mentre lim 0

đ?‘?(đ?‘Ľ)

đ?‘Ľâ†’+∞ đ?‘”(đ?‘Ľ)

= −∞ quando

Si forniscono ora alcuni esempi di calcoli di limiti usando i teoremi noti. lim (đ?‘˜đ?‘Ľ +

đ?‘Ľ=−1

â„Ž đ?‘Ľ2

đ?‘Ž+2đ?‘Ľ

3

+ đ?‘?−3đ?‘Ľ + √đ?‘Ľ − đ?‘?)

Detto limite puo’ essere scritto opportunamente come: lim (đ?‘˜đ?‘Ľ +

đ?‘Ľ=−1

đ?‘Ľ=−1

đ?‘Ž+2đ?‘Ľ

3

+ đ?‘?−3đ?‘Ľ + √đ?‘Ľ − đ?‘?)= lim đ?‘˜đ?‘Ľ + lim đ?‘Ľ=−1

đ?‘Ž+2 lim đ?‘Ľ

â„Ž lim

â„Ž đ?‘Ľ2

đ?‘Ľ2

â„Ž

đ?‘Ľ=−1 đ?‘Ľ 2

+ lim

đ?‘Ž+2đ?‘Ľ

đ?‘Ľ=−1 đ?‘?−3đ?‘Ľ

3

+ lim √đ?‘Ľ − đ?‘? = k lim đ?‘Ľ + đ?‘Ľ=−1

đ?‘Žâˆ’2

+ đ?‘?−3 đ?‘Ľ=−1 + 3√ lim đ?‘Ľ − đ?‘? = −đ?‘˜ + đ?‘?+3 + 3√−(1 + đ?‘?). lim đ?‘Ľ đ?‘Ľ=−1 đ?‘Ľ=−1

Questo esercizio inventato condensa molti teoremi sui limiti. Vi e’ un limite che solitamente viene proposto del tipo lim

� ��+1

đ?‘Ľâ†’+∞ đ?‘’ đ?‘›đ?‘Ľ+2

� ��+1

Si puo’ osservare che đ?‘’ đ?‘›đ?‘Ľ+2 = đ?‘’ đ?‘›đ?‘Ľ+1−đ?‘›đ?‘Ľâˆ’2 = đ?‘’ −1 = Pertanto lim

đ?‘Ľâ†’+∞

� ��+1 � ��+2

=

1 đ?‘’

1 đ?‘’

.

.

.

Un ulteriore esempio potrebbe essere il seguente: lim

� ��

đ?‘Ľâ†’+∞ đ?‘’ đ?‘šđ?‘Ľ

Anche in questo caso possono essere usate le proprieta’ delle potenze. � �� � ��

= đ?‘’ đ?‘›đ?‘Ľâˆ’đ?‘šđ?‘Ľ = đ?‘’ (đ?‘›âˆ’đ?‘š)đ?‘Ľ con n ≠đ?‘š.

Se n > đ?‘š allora (n−đ?‘š) > 0 pertanto lim

� ��

đ?‘Ľâ†’+∞ đ?‘’ đ?‘šđ?‘Ľ

Se n < đ?‘š allora (n−đ?‘š) < 0 pertanto lim

� ��

đ?‘Ľâ†’+∞ đ?‘’ đ?‘šđ?‘Ľ

= +∞.

= −∞.

đ?‘Ľ=−1

E’ forse utile considerare qualche esempio di calcolo di limiti quando sono coinvolte funzioni goniometriche circolari. limđ?œ‹

�→

sin2 (đ?‘Ľ)+2đ?‘?đ?‘œđ?‘ 2 (đ?‘Ľ)+sin(đ?‘Ľ) đ?‘’ (sin(đ?‘Ľ))

2

Ho costruito questa relazione per soli scopi eserciziali. Si puo’ lavorare sul numeratore della frazione osservando che si ha: sin2 (đ?‘Ľ) + 2đ?‘?đ?‘œđ?‘ 2 (đ?‘Ľ) + sin(đ?‘Ľ)

= sin2 (đ?‘Ľ) + đ?‘?đ?‘œđ?‘ 2 (đ?‘Ľ) + đ?‘?đ?‘œđ?‘ 2 (đ?‘Ľ) + sin(đ?‘Ľ)

=

đ?‘?đ?‘œđ?‘ 2 (đ?‘Ľ)) + đ?‘?đ?‘œđ?‘ 2 (đ?‘Ľ) + sin(đ?‘Ľ) = 1 + đ?‘?đ?‘œđ?‘ 2 (đ?‘Ľ) + sin(đ?‘Ľ). Si puo’ scrivere che:

limđ?œ‹

�→

sin2 (đ?‘Ľ)+2đ?‘?đ?‘œđ?‘ 2 (đ?‘Ľ)+sin(đ?‘Ľ) đ?‘’ (sin(đ?‘Ľ))

=

đ?œ‹ 2 đ?‘’1

đ?œ‹ 2

1+ đ?‘?đ?‘œđ?‘ 2 ( )+sin( )

=

1+0+1 đ?‘’

2

=đ?‘’

2

I limiti possono essere utilizzati per definire la continuita’ delle funzioni. Un esercizio tipo potrebbe essere il seguente. Dimostrare che la funzione f(x) =

đ?‘Ľ 2 +√2 2

√đ?‘Ľ2 −3

e’ continua in x = 4.

Occorre dimostrare che la funzione e’ definita nel punto x = 4. Quindi occorre calcolare il limite di f(x) per x → 4. Infine occorre verificare che detto limite e’ eguale a f(4). Il calcolo di f(4) e’ immediato e avviene per sostituzione in formula, avendo che:

(sin2 (đ?‘Ľ) +

f(4) =

42 +√2 2

√42 −3

=

16+√2 √13

Si procede ora al calcolo del limite di f(x) quando x → 4. đ?‘Ľ 2 +√2

lim 2

đ?‘Ľâ†’4 √đ?‘Ľ 2 −3

=

lim đ?‘Ľ 2 +√2

�→4

lim đ?‘Ľ 2 −3 √đ?‘Ľâ†’4

=

16+√2

đ?‘Ľ 2 +√2

Poiche’ f(4) = lim 2 �→4

√đ?‘Ľ 2 −3

√13

se ne deduce che la funzione f(x) =

đ?‘Ľ 2 +√2 2

√đ?‘Ľ 2 −3

e’ continua in x = 4.

APPENDICE 6 - CONFRONTO ASINTOTICO E LIMITI Come noto, una successione che diverge a Âąâˆž per n → +∞ e’ detta infinito. Lo studio degli infiniti evidenzio’ che da tali dati si potevano calcolare particolari limiti. Se {đ?‘Žđ?‘– } e’ una successione tale che lim đ?‘Žđ?‘– = Âąâˆž allora lim

1

đ?‘›â†’+∞ đ?‘Žđ?‘–

đ?‘›â†’+∞

= 0.

1

Sotto questa condizione ( lim đ?‘Žđ?‘– = Âąâˆž) la successione {đ?‘Ž } e’ un infinitesimo. đ?‘›â†’+∞

đ?‘–

Dati due infiniti {đ?‘Žđ?‘– } e {đ?‘?đ?‘– } sono possibili i quattro casi seguenti: lim

đ?‘Žđ?‘›

đ?‘›â†’+∞ đ?‘?đ?‘›

=0

In questo, come negli altri casi possibili, si ammette che sia da un certo indice in poi che đ?‘?đ?‘› ≠0. Un esempio di limite che conduce a detto risultato si ha per đ?‘Žđ?‘› = đ?‘› e per đ?‘?đ?‘› = đ?‘’ đ?‘› . Una seconda ipotesi si ha quando risulta lim

đ?‘Žđ?‘›

đ?‘›â†’+∞ đ?‘?đ?‘›

=� ≠0.

In questo caso si dice che gli infiniti sono dello stesso ordine. Il terzo caso di interesse si ha quando risulta essere: lim

đ?‘Žđ?‘›

đ?‘›â†’+∞ đ?‘?đ?‘›

= Âąâˆž.

Un esempio tipico potrebbe essere quando sia đ?‘Žđ?‘› = đ?‘’ đ?‘› e đ?‘?đ?‘› = √đ?‘›. Una quarta ipotesi e’ la seguente:

lim

đ?‘Žđ?‘›

đ?‘›â†’+∞ đ?‘?đ?‘›

non esiste.

In questo caso i due infiniti sono detti non confrontabili. In questa tassonomia e’ dato un caso particolare, cioe’: lim

đ?‘Žđ?‘›

đ?‘›â†’+∞ đ?‘?đ?‘›

= 1.

Quando e’ verificata questa condizione si dice che le due successioni sono asintotiche. La scrittura lim

đ?‘Žđ?‘›

đ?‘›â†’+∞ đ?‘?đ?‘›

= 1 viene sintetizzata dal formalismo đ?‘Žđ?‘› ~đ?‘?đ?‘› .

La relazione “e’ asintoticaâ€? e’ una relazione di equivalenza. In particolare si ha che ( đ?‘Žđ?‘› ~đ?‘?đ?‘› , đ?‘?đ?‘› ~đ?‘?đ?‘› )â&#x;š (đ?‘Žđ?‘› ~đ?‘?đ?‘› ). Una relazione particolarmente importante ⌋Bramanti, Pagani, SalsaâŚŒ e’ la seguente: đ?‘Žđ?‘› đ?‘?đ?‘› đ?‘?đ?‘›

~

đ?‘Žâ€˛đ?‘› đ?‘?′đ?‘› đ?‘?′đ?‘›

vera quando đ?‘Žđ?‘› ~đ?‘Žâ€˛đ?‘› , đ?‘?đ?‘› ~đ?‘?′đ?‘› e đ?‘?đ?‘› ~đ?‘?′đ?‘› . La valutazione asintotica risulta particolarmente utile nello studio delle funzioni. Due funzioni reali di una variabile reale sono asintotiche per đ?’™ → đ?’„ quando risulta essere: đ?‘“(đ?‘Ľ)

lim đ?‘”(đ?‘Ľ) = 1

đ?‘Ľâ†’đ?‘?

Occorre precisare che c puo’ essere un numero reale ma anche essere riferito ai simboli Âąâˆž. đ?‘“(đ?‘Ľ)

Se lim đ?‘”(đ?‘Ľ) = 1 si scrive f(x) ~ đ?‘”(đ?‘Ľ) quando x → đ?‘?. đ?‘Ľâ†’đ?‘?

A questo punto e’ possibile considerare la seguente gerarchia di infiniti: đ?‘“1 (đ?‘Ľ) = (log đ?‘Ž đ?‘Ľ)đ?›ź , đ?‘“2 (đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ đ?›˝ , đ?‘“3 (đ?‘Ľ) = đ?‘? đ?‘Ľ . I numeri đ?›ź e đ?›˝ sono positivi, mentre a e b devono essere maggiori dell’unita’. Per essi si ha: lim

đ?‘“đ?‘– (đ?‘Ľ)

đ?‘Ľâ†’+∞ đ?‘“đ?‘–+1 (đ?‘Ľ)

=0

Data una funzione f(x) per la quale risulti lim đ?‘“(đ?‘Ľ) = Âąâˆž oppure ∓∞. đ?‘Ľâ†’Âąâˆž

Si calcola il seguente limite: lim

đ?‘“(đ?‘Ľ)

đ?‘Ľâ†’+∞ đ?‘Ľ

Sono possibili tre casi: lim

đ?‘“(đ?‘Ľ)

đ?‘Ľâ†’+∞ đ?‘Ľ

lim

đ?‘“(đ?‘Ľ)

đ?‘Ľâ†’+∞ đ?‘Ľ

lim

đ?‘“(đ?‘Ľ)

đ?‘Ľâ†’+∞ đ?‘Ľ

= Âąâˆž â†? crescita sovralineare

= � ≠0 � crescita lineare

= 0 � crescita sottolineare.

In modo del tutto analogo si considera lim

đ?‘“(đ?‘Ľ)

đ?‘Ľâ†’−∞ đ?‘Ľ

.

Esempio di stima asintotica Si puo’ considerare la successione di termine generale

đ?‘›3 +2đ?‘›2 +cos(đ?‘›) đ?‘›+ln(đ?‘Ľ)

Si ricordi che cons(n) e’ una funzione limitata al variare di n. Le sostituzioni asintotiche per n → +∞ sono le seguenti: đ?‘›3 + 2đ?‘›2 + cos(đ?‘›)~ đ?‘›3 e đ?‘› + ln(đ?‘Ľ) ~đ?‘› Basta calcolare i due limiti per n → +∞ avendo che: lim

đ?‘›3 +2đ?‘›2 +cos(đ?‘›) đ?‘›3

đ?‘›â†’+∞

Da

đ?‘›3 +2đ?‘›2 +cos(đ?‘›) đ?‘›3

=1 2đ?‘›2 cos(đ?‘›)

dividendo numeratore e denominatore per �3 ≠0 si ha:

1+ 3 + 3 đ?‘› đ?‘› 1

→

1 đ?‘?đ?‘’đ?‘&#x; đ?‘› → +∞. In modo del tutto analogo si giustifica la seconda sostituzione asintotica. Si puo’ pertanto scrivere la seguente relazione asintotica: đ?‘›3 +2đ?‘›2 +cos(đ?‘›) đ?‘›+ln(đ?‘Ľ)

~

đ?‘›3 đ?‘›

= đ?‘›2

Detto limite vale +∞.

Puo’ essere utile calcolare, con riferimento alle successioni, il rapporto lim

đ?‘Žđ?‘›+1

n →∞ đ?‘Žđ?‘›

đ?‘Žđ?‘›

per n → ∞.

per đ?‘Žđ?‘› = đ?‘›đ?‘˜ , essendo k un intero positivo

Si puo’ sinteticamente scrivere che scrivere:

đ?‘Žđ?‘›+1

đ?‘Žđ?‘›+1 đ?‘Žđ?‘›

=

(đ?‘›+1)đ?‘˜ đ?‘›đ?‘˜

=(

đ?‘›+1 đ?‘˜ ) đ?‘›

1

= (1 + đ?‘›)đ?‘˜ . Quindi si puo’

lim

đ?‘Žđ?‘›+1

1

1 đ?‘˜ ) đ?‘›â†’+∞ đ?‘›

= lim (1 + đ?‘›)đ?‘˜ = (1 + lim

n →∞ đ?‘Žđ?‘›

đ?‘›â†’+∞

= (1 + 0)đ?‘˜ = 1

Un ulteriore esempio potrebbe essere il seguente: lim

đ?‘Žđ?‘›+1

n →∞ đ?‘Žđ?‘› đ?‘Žđ?‘›+1 đ?‘Žđ?‘›

=

per đ?‘Žđ?‘› = đ?‘›!

(đ?‘›+1)! đ?‘›!

=

(đ?‘›+1)đ?‘›! đ?‘›!

= đ?‘› + 1.

Ma (đ?‘› + 1) → +∞ quando n → +∞.

Un distinto esempio potrebbe essere il seguente: lim

đ?‘Žđ?‘›+1

n →∞ đ?‘Žđ?‘›

per đ?‘Žđ?‘› = đ?‘˜ đ?‘› ove k e’ un numero positivo.

In questo caso si ha

đ?‘Žđ?‘›+1 đ?‘Žđ?‘›

=

đ?‘˜ đ?‘›+1 đ?‘˜đ?‘›

= đ?‘˜ đ?‘›+1−đ?‘› = đ?‘˜.

Se k < 1 la successione converge.

Si puo’ fare anche un ulteriore esempio, determinando il limite seguente. lim

đ?‘Žđ?‘›+1

n →∞ đ?‘Žđ?‘›

per �� = �� In questo caso si ha

đ?‘Žđ?‘›+1 đ?‘Žđ?‘›

=

Si osserva che il primo limite vale e. Infatti lim ( n →∞

Pertanto lim

đ?‘Žđ?‘›+1

n →∞ đ?‘Žđ?‘›

= +∞ quando đ?‘Žđ?‘› = đ?‘›đ?‘› .

(n+1)�+1 ��

đ?‘›+1 đ?‘› ) đ?‘›

=

(n+1)� (�+1) ��

=(

đ?‘›+1 đ?‘› ) (n+1). đ?‘›

= đ?‘’ mentre il secondo vale +∞.

Ulteriori esempi di limiti determinati con sostituzioni asintotiche. lim

đ?‘Žđ?‘Ľ 3 +đ?‘?đ?‘Ľ+đ?‘?

đ?‘Ľâ†’+∞ đ?‘šđ?‘Ľ 3 +đ?‘‘

Si prova facilmente che đ?‘Žđ?‘Ľ 3 + đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘?~ đ?‘Žđ?‘Ľ 3 e che đ?‘šđ?‘Ľ 3 + đ?‘‘~ đ?‘šđ?‘Ľ 3 . Pertanto e’ lecito scrivere che: lim

đ?‘Žđ?‘Ľ 3 +đ?‘?đ?‘Ľ+đ?‘?

đ?‘Ľâ†’+∞

đ?‘šđ?‘Ľ 3 +đ?‘‘

= lim

đ?‘Žđ?‘Ľ 3

đ?‘Ľâ†’+∞ đ?‘šđ?‘Ľ 3

đ?‘Ž

= � con m ≠0.

Un ulteriore esercizio potrebbe essere il seguente. Calcolare lim

3

đ?‘Ľâ†’+∞ đ?‘Ľ đ?‘˜ +1

con k intero assoluto.

Risulta che đ?‘Ľ đ?‘˜ + 1~ đ?‘Ľ đ?‘˜ Si puo’ ammettere che 3 ~ 3. Piu’ in generale da f(x) = đ?‘”(đ?‘Ľ) | dom f(x) = dom g(x) si puo’ affermare che f(x) ~ g(x) . Non e’ vero il contrario. Infatti f(x) ~ g(x)â‡? f(x) = đ?‘”(đ?‘Ľ) | dom f(x) = dom g(x). Pertanto e’ possibile affermare che: 3

lim

đ?‘Ľâ†’+∞ đ?‘Ľ đ?‘˜ +1

= lim

3

đ?‘Ľâ†’+∞ đ?‘Ľ đ?‘˜

= 3 lim

1

đ?‘Ľâ†’+∞ đ?‘Ľ đ?‘˜

= 3∙0 = 0.

Esempi di calcolo di limiti usando il teorema di de L’Hôpital. lim

�→0

đ?‘’ đ?‘Ľ −1 đ?‘Ľ

Per sostituzione in formula si avrebbe, applicando i noti teoremi sui limiti, una forma 0

indeterminata del tipo 0. Si puo’ applicare il teorema di de L’HĂ´pital. Si ha: đ??ˇđ?‘Ľ (đ?‘’ đ?‘Ľ − 1) = đ?‘’ đ?‘Ľ đ??ˇđ?‘Ľ đ?‘Ľ = 1. Pertanto si puo’ scrivere che: lim

�→0

đ?‘’ đ?‘Ľ −1

= lim

đ?‘Ľ

đ?‘’đ?‘Ľ

�→0 1

=

đ?‘’0 1

1

=1=1

Un ulteriore esempio di limite calcolabile con il teorema di de l’Hôpital potrebbe essere il seguente: lim

đ?‘’ 2đ?‘Ľ −1

�→0

đ?‘Ľ

Anche in questo caso l’applicazione dei teoremi sui limiti conduce ad una forma di 0

indeterminazione del tipo 0. Le funzioni a numeratore e a denominatore sono derivabili. Si ha: đ??ˇđ?‘Ľ (đ?‘’ 2đ?‘Ľ − 1) = 2đ?‘’ 2đ?‘Ľ đ??ˇđ?‘Ľ (x) = 1 In definitiva si puo’ scrivere che: lim

�→0

2đ?‘’ 2đ?‘Ľ 1

= 2lim ( đ?‘’ 2đ?‘Ľ ) = 2 ∙ 1 = 2. đ?‘Ľâ†’0

Uso della razionalizzazione per l’eliminazione di forme indeterminate. E’ possibile fare un esempio partendo dalla teoria delle funzioni. Il seguente limite non pone problemi. lim (√đ?‘› + 2 +√đ?‘›) . Esso e’ immediatamente della forma +∞ + ∞ = +∞.

đ?‘›â†’+∞

La forma lim (√đ?‘› + 2 −√đ?‘›) conduce ad un contesto indeterminato del tipo ∞ − ∞. đ?‘›â†’+∞

Per eliminare queste forme di indeterminazione si utilizza il metodo della razionalizzazione. Da √đ?‘› + 2 − √đ?‘› si ottiene (√đ?‘› + 2 − √đ?‘›) đ?‘›+2−đ?‘› (√đ?‘›+2 +√đ?‘›)

2

= (√đ?‘›+2 +

√đ?‘›)

(√đ?‘›+2 +√đ?‘›) (√đ?‘›+2 +√

= đ?‘›)

(√đ?‘›+2−√đ?‘›)(√đ?‘›+2 +√đ?‘›) (√đ?‘›+2 +√đ?‘›)

=

(√đ?‘›+2)2 −(√đ?‘›)2 (√đ?‘›+2 +√đ?‘›)

=

.

Nel passaggio al limite il denominatore tende a +∞ per n → +∞. Pertanto il limite vale 0. Si e’ evidenziato che per n → +∞ risulta essere n+2 ~ đ?‘› ed equivalentemente lim

n+2

đ?‘›â†’+∞ đ?‘›

.

Se f(x) ~ g(x) per n → +∞ allora lim ( √đ?‘“(đ?‘Ľ) − √đ?‘”(đ?‘Ľ)) = 0 con x ristretto ad n. n →+∞

Non e’ vero il contrario. Infatti date due successioni tali che lim ( √đ?‘“(đ?‘Ľ) − √đ?‘”(đ?‘Ľ)) = 0 non n →+∞

e’ detto che sia vero che f(x) ~ g(x) per n → +∞. Ad esempio da đ?‘Žđ?‘›2 + +2đ?‘› + đ?‘˜ ≠2đ?‘› si ottiene lim ( √đ?‘“(đ?‘›) − √đ?‘”(đ?‘›)) = 0 . n →+∞

Calcolo di limiti di funzioni razionali fratte. đ?‘˜

Sia data la funzione y =(đ?‘Ľâˆ’3)3 con k reale diverso da 0. Si chiede di calcolare il limite per x → 3− e per x → 3+ . Si osservi che per x x → 3− il denominatore della frazione cioe’ la quantita’ (đ?‘Ľ − 3) → 0− . đ?‘˜

Quindi si puo’ scrivere che lim− (đ?‘Ľâˆ’3)3 = −∞. x →3

Ulteriormente si osservi che per x x → 3+ il denominatore della frazione cioe’ la quantita’ (đ?‘Ľ − 3) → 0+ . đ?‘˜

Quindi si puo’ scrivere che lim+ (đ?‘Ľâˆ’3)3 = +∞. x →3

đ?‘˜

Analoghe riflessioni possono farsi per la funzione f(x) =(đ?‘Ľâˆ’â„Ž)2đ?‘›+1 con h reale positivo, k reale diverso da zero e n intero assoluto, quando devono calcolarsi i limiti per x → ℎ− e per x → â„Ž+ . đ?‘˜

Si osservi che per funzioni del tipo f(x) =(đ?‘Ľâˆ’â„Ž)2đ?‘› i due limiti (sinistro e destro) sono entrambi eguali a +∞ đ?‘?đ?‘’đ?‘&#x; x → ℎ− e per x → â„Ž+ .

Un esempio ancora piu’ semplice potrebbe essere il seguente. Calcolare il limite della funzione y =

đ?‘˜đ?‘Ľâˆ’đ?‘&#x; đ?‘Ľ2

per x → 0+ .

Detta funzione e’ definita per ogni numero reale x ad eccezione del valore x = 0 in corrispondenza del quale la f(x) perde di significato.

Il limite lim

đ?‘˜đ?‘Ľâˆ’đ?‘&#x;

x →0 � 2

lim

đ?‘˜đ?‘Ľâˆ’đ?‘&#x;

x →0 � 2

puo’ essere riscritto usando un teorema sui limiti ae avendo quindi:

1

= lim (đ?‘˜đ?‘Ľ − đ?‘&#x;) lim đ?‘Ľ 2 = −đ?‘&#x; ∙ ∞ = −∞. x →0

x →0

Si osservi che detto limite e’ il medesimo sia che si proceda da sinistra che da destra di x = 0.

APPENDICE 7 – ESEMPI DI LIMITI DI FUNZIONI DI PIU’ VARIABILI INDIPENDENTI

Si riportano ampi stralci del paragrafo relativo alla continuita’ delle funzioni di piu’ variabili reali, riportato nel numero di ottobre 2017 di Appunti matematici.

1. Le funzioni continue Va ora fatta qualche riflessione sulla continuita’ delle funzioni di due variabili indipendenti, ovvero le funzioni da � 2 a R. Si consideri ad esempio la seguente funzione di due variabili per le quali alla coppia (x, y) corrisponde il numero reale z = z(x, y). �2

z = � 2 +�2 Ci si chiede se essa possa prolungata per continuita’ nel punto (0 , 0). In detto punto la funzione non e’ definita in quanto sarebbe � 2 + � 2 = 0. Equivalentemente sarebbe x = � = 0. Ma in questo caso la funzione non e’ definita. Il prolungamento per continuita’ presuppone che esista finito il seguente limite: lim

đ?‘Ś2

(�,�)→(0,0) � 2 +� 2

=đ?‘™

Si pone proprio che la funzione che si ottiene abbia valore l per x = đ?‘Ś = 0.

Vediamo ora se sussistono le condizioni del prolungamento per continuita’. Si puo’ far tendere (x, y) alla coppia (0, 0) su una retta di equazione y = mx . Calcoliamo quindi il limite della funzione per (x, y) → (0 , o) avendo che: lim

(x,y) → (0 ,0)

đ?‘Ś2 đ?‘Ľ 2 +đ?‘Ś 2

=

lim

(đ?‘šđ?‘Ľ)2

(x,y) → (0 ,0)

đ?‘Ľ 2 +(đ?‘šđ?‘Ľ)2

=

lim

(x,y) → (0 ,0)

(đ?‘šđ?‘Ľ)2 đ?‘Ľ 2 (1+đ?‘š2 )

=

lim

(đ?‘š)2

(x,y) → (0 ,0)

(1+đ?‘š2 )

=

(đ?‘š)2 (1+đ?‘š2 )

Si osservi che detto limite dipende da m. đ?‘Ś2

Possiamo concludere che la funzione z = đ?‘Ľ 2 +đ?‘Ś 2 non e’ prolungabile per continuita’. đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ś

In modo del tutto analogo si puo’ studiare la funzione z = �+� . La funzione non e’ definita nel punto (0, 0) in quanto per detta coppia sarebbe nullo il denominatore. Pertanto il dominio della funzione e’ � 2 – (0, o). Occorre verificare se in detto punto la funzione e’ o meno prolungabile per continuita’. Occorre in altri termini calcolare il limite della funzione per (x, y) → (0 , o). Anche in questo caso si parte dall’ipotesi che ci si avvicini al punto (o, 0) lungo una retta di equazione y = ��. lim

đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ś

(x,y) → (0 ,0) �+�

=

lim

đ?‘Ľâˆ’đ?‘šđ?‘Ľ

(x,y) → (0 ,0) �+��

=

lim

đ?‘Ľ(1−đ?‘š)

(x,y) → (0 ,0) �(1+�)

=

lim

(1−đ?‘š)

(x,y) → (0 ,0) (1+�)

=

1−đ?‘š 1+đ?‘š

Anche in questo caso la dipendenza del limite da m evidenzia che detta funzione non puo’ essere prolungata per continuita’. Un ulteriore esempio di funzione da studiare puo’ essere la seguente:

đ?‘Ľ 3 +đ?‘Ś3

z = � 2 +�2 Anche in questo caso la funzione non e’ definita in (0, o) in quanto per detta coppia ordinata essa non e’ definita. E’ possibile studiare il limite della funzione per (x, y) → (0 , o) partendo dall’ipotesi che ci si avvicini al punto (o, 0) lungo una qualunque retta di equazione y = ��. lim

đ?‘Ľ 3 +đ?‘Ś3

(x,y) → (0 ,0) � 2 +�

2 =

lim

đ?‘Ľ 3 +(đ?‘šđ?‘Ľ)3

2 =

(x,y) → (0 ,0) � 2 +(��)

lim

đ?‘Ľ 3 (1 +đ?‘š)

(x,y) → (0 ,0) � 2 (1+�)

=

lim

(x,y) → (0 ,0)

đ?‘Ľ = 0.

Il fatto che la funzione abbia un limite non dipendente da m non consente comunque di affermare che detto limite per la funzione sia quello indicato e che, conseguentemente, la funzione sia prolungabile per continuita’. La continuita’ della funzione si prova in modo piu’ ampio, cioe’ muovendosi da (x,y) verso (0, 0) su qualunque curva e dimostrando che cosi’ facendo si ottiene sempre lo stesso limite. E’ necessario ricordare le relazioni tra le coordinate rettangolari e quelle polari, date dalle seguenti formule. 2

đ?œŒ = √đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 đ?‘Ľ = đ?œŒđ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œ— đ?‘Ś = đ?œŒđ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?œ— In questo contesto si ammette che

lim

(�,�) →(0,0)

đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = đ?‘™ se esiste una funzione, data in

coordinate polari, tale che essa dipenda esclusivamente da đ?œŒ e non da đ?œ— e tale che g(đ?œŒ) → 0 đ?‘?đ?‘’đ?‘&#x; đ?œŒ → 0. Deve risultare che: |f(đ?œŒ, đ?œ—) − đ?‘™ | ≤ đ?‘”(đ?œŒ)

Pertanto la funzione viene ridefinita come segue: đ?‘Ľ 3 +đ?‘Ś3

z = đ?‘Ľ 2 +đ?‘Ś2 ∀(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) ≠(0, 0). z = 0 đ?‘?đ?‘’đ?‘&#x; (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = (0, 0). Ovviamente si tratta di una funzione distinta da quella assegnata. L’uso delle coordinate polari puo’ risultare utile per lo studio di una funzione quale

đ?‘Ľ 3 +đ?‘Ś 5 đ?‘Ľ 2 +đ?‘Ś 4

non definita in (0, o). Si deve calcolare

lim

đ?‘Ľ 3 +đ?‘Ś 5

(�,�)→(0,0) � 2 +� 4

.

Si puo’ scrivere che da f(x,y) si ottiene, per sostituzione, la funzione đ?œ‘(đ?œŒ) = đ?œŒ3 (cos(đ?œ—)3 +đ?œŒ2 sin(đ?œ—)5 đ?œŒ2 (cos(đ?œ—)2 +đ?œŒ2 sin(đ?œ—)4 )

= đ?œŒ đ?œŽ(đ?œŒ, đ?œ—).

Ma la funzione đ?œŽ(đ?œŒ, đ?œ—) e’ una funzione limita. Inoltre e’ immediato constatare che đ?œŒ → 0 per definizione. Dal che si deduce il limite proposto che vale zero. ‌.omissis‌.. In relazione alle funzioni di piu’ variabili e’ possibile procedere al calcolo dei massimi e dei minimi raccordandosi con lo strumento della derivata direzionale. Sia P (x,y,z) un punto della superficie z = z(x,y). Sia P’(x,y,0) la proiezione di P sul piano Oxy. Si consideri il piano đ?›ź passante per P e P’. Si ammetta che detto piano formi un angolo đ?œ— con l’asse positivo delle x.

��

La derivata direzionale đ?‘‘đ?‘ viene definita come segue: đ?‘‘đ?‘§ đ?‘‘đ?‘

��

��

= đ?‘‘đ?‘Ľcosđ?œ— + đ?‘‘đ?‘Śsinđ?œ—

Per il resto gli sviluppi, ai fini della ricerca dei punti di massimo e di minino, sono quelli gia’ noti. Si puo’ considerare un esempio semplice di calcolo di una derivata direzionale. I dati del problema sono i seguenti: z = đ?‘Ľ 2 +đ?‘Ľđ?‘Ś + đ?‘Ś 2 đ?œ—=

đ?œ‹ 3

nel punto ( 3, 1). ��

��

��

Consideriamo la derivata direzionale nella forma đ?‘‘đ?‘ = đ?‘‘đ?‘Ľcosđ?œ— + đ?‘‘đ?‘Śsinđ?œ— avendo che risulta: đ?‘‘đ?‘§ đ?‘‘đ?‘

=

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ľ

đ?œ‹

đ?‘‘

3

đ?‘‘đ?‘Ś

(đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ľđ?‘Ś + đ?‘Ś 2 ) cos +

đ?œ‹

(đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ľđ?‘Ś + đ?‘Ś 2 )sin = (2x +đ?‘Ś) 3

√3 2

+(đ?‘Ś + 2đ?‘Ś)

Il calcolo in (3, 1) si ottiene sostituendo in formula, avendo quindi che: 1

√3

3

1

+(đ?‘Ś + 2đ?‘Ś) 2 = 7 2 + 2 = 2(7√3 +3). ‌. omissis‌.

đ?‘‘đ?‘§ đ?‘‘đ?‘

1 2

= (2x +đ?‘Ś)

√3 2

OSSERVAZIONE

Data una funzione f(x) di dato dominio I ⊆ R. Si ammetta I = đ?‘… + = ⌋0 , +∞). E’ possibile considerare una funzione f : đ?‘… + → đ?‘…. Una successione numerica reale e’ una corrispondenza che associa ad un numero intero assoluto n un numero reale. Data la f :

� + → � e’ possibile definire una successione associata alla f considerata in modo

tale che n = �� = �(�). N ⊂ �+ .

Questo si riflette sul limite all’infinito positivo (n → ∞).

3đ?‘Ľ 3

Ad esempio dalla funzione y = 2đ?‘Ľâˆ’1 +đ?‘˜ Essa e’ sicuramente definita in đ?‘… + . Restringendo il dominio di essa ad N si ha la seguente successione: 3đ?‘›3

đ?‘Žđ?‘› = 2đ?‘›âˆ’1 +đ?‘˜

APPROFONDIMENTO NOZIONI DI TOPOLOGIA Si introducono alcune nozioni di geometria e di topologia strettamente necessarie alla comprensione di alcune parti del testo. L’insieme R esteso. Viene definito un insieme, detto R esteso, ed indicato con il simbolo đ?‘… , tale che đ?‘… = đ?‘… âˆŞ {−∞, +∞} . Dato un numero reale qualunque r risulta che −∞ < đ?‘&#x; < +∞. Spazi euclidei. Dato un intero assoluto n si consideri l’insieme đ?‘… đ?‘› i cui elementi sono le n-ple ordinate (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , ‌ . , đ?‘Ľđ?‘› ) di numeri reali dette punti o vettori ad n dimensioni. La tupla viene anche indicata come x =(đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , ‌ . , đ?‘Ľđ?‘› ). Sono definite la somma di due vettori (estensibile alla somma di n vettori) ed il prodotto di un vettore per uno scalare come segue: x + đ?’š =(đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , ‌ . , đ?‘Ľđ?‘› ) +(đ?‘Ś1 , đ?‘Ś2 , ‌ . , đ?‘Śđ?‘› ) = (đ?‘Ľ1 + đ?‘Ś1 , đ?‘Ľ2 + đ?‘Ś2 , ‌ ‌ , đ?‘Ľđ?‘› + đ?‘Śđ?‘› )

rx = đ?‘&#x;(đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , ‌ . , đ?‘Ľđ?‘› )= (đ?‘&#x;đ?‘Ľ1 , đ?‘&#x;đ?‘Ľ2 , ‌ . , đ?‘&#x;đ?‘Ľđ?‘› ). Dati due vettori viene definito il prodotto interno (detto anche prodotto scalare) definito come segue: (x, y)= ∑đ?‘›đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– đ?‘Śđ?‘–

L’insieme i cui elementi sono le n-ple dotato delle tre operazioni come definite e’ detto spazio euclideo ad n dimensioni. Operando per estrema sintesi si puo’ dire che: •

la somma vettoriale e’ commutativa ed associativa,

•

lo zero di detto spazio, cioe’ l’elemento (0, 0, ‌ . . ,0) (sequenza di n zeri) e’ l’elemento neutro della somma, ovvero tale che x +đ?&#x;Žđ?‘šđ?’? = đ?’™ ∀đ?’™

•

il prodotto interno e’ commutativo,

•

valgono le proprieta’ distributive del prodotto e della somma e del prodotto interno,

•

r(r’x)= đ?‘&#x; ′ (rđ?’™) = (rr ′ )đ?’™

Dato un vettore x=(�1 , �2 , ‌ . , �� ) viene definita la norma di detto vettore come segue:

||x|| = √(đ?’™, đ?’™) = √x12 + x22 + â‹Ż . . +xn2 La norma euclidea gode di particolari proprieta’ valide ∀đ?’™ , đ?’š e ∀ r reale. ||đ??ą|| ≼ 0 ||đ??ą|| = 0 â&#x;ş đ?’™ = đ?&#x;Žđ?‘šđ?’? ||rđ??ą|| = r||đ??ą|| |(x, y)| ≤ ||x|| ||y||

(diseguaglianza di Cauchy)

||x+�|| ≤ ||�|| + ||�|| (diseguaglianza triangolare) ||x|| - ||y|| ≤ ||� + �||

Gli spazi metrici E’ dato un insieme A non vuoto ed e’ data una funzione d che ad una coppia di elementi di A fa corrispondere univocamente un numero reale d. Piu’ precisamente d e’ un elemento di �0+ . �

In termini formali si scrive che ∀đ?‘‹ | đ?‘‹ ≠∅ ∃ đ?‘‘ | (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) → d(x, y) ∀ đ?‘Ľ, đ?‘Ś ∈ đ?‘‹ . (X, d) e’ uno spazio metrico se sono verificate le seguenti quattro condizioni:

d(x, y) > 0 quando x ≠đ?‘Ś. d(x, y) â&#x;ş đ??ą = đ??˛ d(x, y) = đ?‘‘(đ?’š, đ?’™) d(x,y) ≤ đ?‘‘(đ?‘Ľ, đ?‘§) + đ?‘‘(đ?‘§, đ?‘Ś) Ad una coppia qualunque (x,y) di elementi dello spazio metrico X corrisponde una distanza. X e’ metricizzato tramite d. La norma ||x – y|| e’ detta metrica euclidea e si scrive che: d(x, y) = ||x – y|| Si osservi che la metrica euclidea non e’ in generale l’unica possibile per un dato insieme A. La manualistica riporta molti esempi di metriche ⌋SoardiâŚŒ. Dal punto di vista topologico puo’ essere data la anche la nozione di intorno. Ci si limita alla metrica euclidea.

Dato uno spazio metrico (X, d) e p e’ un punto di X ed r e’ un numero reale positivo viene definito intorno circolare di raggio r l’insieme B(p, r) ={ x ∈ đ?‘‹ | đ?‘‘(đ?‘Ľ, đ?‘?) < đ?‘&#x;} .

Il punto p potrebbe anche essere indicato con il formalismo đ?‘Ľ0 . Detto punto e’ usualmente chiamato centro dell’intorno. Quando si ponga X eguale all’insieme R dei numeri reali e si consideri la usuale metrica euclidea allora si perviene alla usuale notazione che definisce gli intorni avendosi che B(p, r) ={ x ∈ đ?‘… âˆś |p – x| < đ?‘&#x;} Poiche’ |p – x| < đ?‘&#x; â&#x;ş đ?‘? − đ?‘&#x; < đ?‘Ľ < đ?‘? + đ?‘&#x; allora e’ possibile scrivere che: B(p, r) ≥ (đ?‘? − đ?‘&#x; , đ?‘? + đ?‘&#x;). Relativamente agli spazi metrici e’ introdotta (per teorema) una proprieta’ detta di Hausdorff per la quale: dato uno spazio metrico (X, d) e dati due distinti punti di esso x ed y allora esiste un r > 0 tale che: B(x, r) ∊ đ??ľ(đ?‘Ś, đ?‘&#x;) = ∅. E’ data una classificazione dei punti, rispetto ad un insieme A dotato di una metrica d. Dato lo spazio topologico (A, d) un punto x e’ un punto interno di A se esiste un r > 0 tale che B(x, r) ⊆ đ?‘…. Un punto x e’ esterno all’insieme A se esiste un intorno B(x, r) ⊆ đ??´đ?‘? â&#x;ş B(x, r)⊈ đ??´ Per quanto riguarda i punti di frontiera di un insieme A essi sono tali che ogni intorno di x contiene punti di A e punti del complementare. Un punto e’ quindi di frontiera se esiste un intorno di esso che verifica entrambe le condizioni:

B(x, r) ∊ đ??´ ≠∅ B(x, r) ∊ đ??´đ?‘? ≠∅ La frontiera o contorno di A e’ un insieme indicato come đ?œ•đ??´. Come si e’ detto nel testo rispetto ad un insieme A un punto x puo’ essere o di accumulazione per A (appartenendo o meno ad A) oppure un punto isolato di A (appartenendo necessariamente ad A). Dato uno spazio metrico (X, d) e dato A ⊆ X. Il punto x e’ di accumulazione per A se ∀đ?‘&#x; | đ?‘&#x; ∈ đ?‘… + esiste un x ≠đ?‘Ľ0 | x ∈ đ??ľ(đ?‘Ľ0 , r) ∊ đ??´. In altri termini đ?‘Ľ0 e’ un punto di accumulazione per A se đ??ľ(đ?‘Ľ0 , r) ∊ đ??´ ≠∅, quindi se esiste almeno un x ≠đ?‘Ľ0 | đ?‘Ľ ∈ đ??´. Poiche’ in generale si ha a che fare con l’insieme dei numeri reali, cioe’ si ha A ⊂ R allora nel caso piu’ generale ogni x ∈ (đ?‘Ľ − đ?‘&#x;, đ?‘Ľ + đ?‘&#x;) | đ?‘Ľ ≠đ?‘Ľ0 e’ elemento di đ??ľ(đ?‘Ľ0 , r) ∊ đ??´ ≠∅.

Alcuni esempi dovrebbero chiarire la situazione. Se si ha A ⊂ đ?‘… | A ≥ (đ?‘Ž, đ?‘?âŚŒ allora si ponga đ?‘Ľ0 = inf đ??´ allora e’ evidente che đ?‘Ľ0 ∉ A. Ma e’ altrettanto vero che comunque si prenda r positivo allora B(đ?‘Ľ0 , r) ∊ đ??´ ≠∅. Infatti nel caso considerato si ha che B(đ?‘Ľ0 , r) ∊ đ??´ = {đ?‘Ľ|đ?‘Ľ > đ?‘Ľ0 and x ≤ đ?‘?}. Il punto đ?‘Ľ0 ∉ A e’ quindi un punto di accumulazione per A ed e’ anche un punto della frontiera di A, infatti i punti di ogni intorno sinistro di đ?‘Ľ0 non sono elementi di A, mentre esistono intorni destri di đ?‘Ľ0 che contengono elementi di A, tutti gli elementi di A. Con riferimento alla topologia della retta si puo’ dire che dato A ≥ (đ?‘Ž, đ?‘?âŚŒ i punti a e b sono di frontiera, quindi ∂A ={a, b} .

Va data la definizione di interno di A. Esso e’ l’insieme đ??´đ?‘–đ?‘›đ?‘Ą. . Con riferimento alla topologia della retta reale e ad A ≥ (đ?‘Ž, đ?‘?âŚŒ i punti a e b non possono essere punti interni in quanto non esistono intorni di a e di b rispettivamente che siano inclusi propriamente o impropriamente in A. Infatti ogni intorno simmetrico di a contiene almeno un elemento, quindi infiniti che non contengono elementi di A, e questo per ogni r positivo a piacere. Precisamente si tratta degli intorni sinistri di a. Analoga riflessione puo’ farsi per gli intorni destri di b, elemento di A. Altro esempio, se A =⌋a, bâŚŒ l’insieme dei punti interni, detto đ??´đ?‘–đ?‘›đ?‘Ą e’ l’intervallo (a,b). I punti a e b sono di frontiera e appartengono ad A. Essi sono punti di accumulazione per A e come noto l’insieme dei punti di accumulazione per A e’ ⌋a, bâŚŒ. Un insieme A e’ detto aperto se A = đ??´đ?‘–đ?‘›đ?‘Ą . Un insieme e’ chiuso se non e’ aperto. Dato X allora se A e’ aperto ( A = đ??´đ?‘–đ?‘›đ?‘Ą ) allora đ??´đ??ś e’ chiuso (e viceversa). Gli intervalli (đ?‘Ž, đ?‘?âŚŒ e ⌋a, b) non sono ne’ aperti ne’ chiusi. L’intervallo (a,b) e’ aperto in quanto ogni x tal che a < đ?‘Ľ < đ?‘? e’ centro di un intorno di x tale che detto intorno I ⊆ (đ?‘Ž, đ?‘?). Argomentando da un esempio dato ⌋SoardiâŚŒ si puo’ osservare che l’insieme dei numeri reali R e’ al contempo un aperto e un chiuso.

Infatti, ogni x reale e’ centro di un intorno costituito da numeri reali. Quindi ogni x di R e’ interno ad R. Ma ogni x e’ punto di accumulazione per R. Quindi e’ anche un chiuso. R = R’. Un insieme A e’ un chiuso se A ⊆ đ??´â€˛ essendo A’ l’insieme dei punti di accumulazione per A. Per dimostrare che R non sia anche chiuso occorrerebbe trovare almeno un punto di accumulazione per esso tale che detto punto non sia elemento di R. L’intervallo ⌋ a,bâŚŒ e’ chiuso i quanto coincide con l’insieme dei suoi punti di accumulazione. Vi e’ una ulteriore nozione topologica rilevante, costituita dalla cosiddetta chiusura. Dato uno spazio metrico (X, d) e sia A ⊆ đ?‘‹ per chiusura đ??´Ě… si intende l’insieme unione di A e di A’ , ove A’ e’ l’insieme dei punti di accumulazione per A. In pratica per definire la chiusura di un dato insieme si deve previamente trovare l’insieme dei suoi punti di accumulazione (siano essi o meno appartenenti all’insieme A) e definire đ??´Ě… = đ??´ âˆŞ đ??´â€˛.

Una ulteriore importante nozione topologica e’ costituita dalla compattezza. Dato uno spazio metrico (X, d) dato E ⊆ X sia data una famiglia di sottoinsiemi aperti di X. La famiglia (intesa come l’insieme i cui elementi sono insiemi đ??´đ?‘– ) costituisce una copertura di E se e solo se E ⊆ ⋃đ?‘–∈đ??ź đ??´đ?‘– . Esempio. X = đ?‘… E = (0, 1) ⊂ R. Al variare di n in N la famiglia potrebbe essere data dagli 1

1

1

3

intervalli ( đ?‘› , 1 − đ?‘›). Per esempio per n = 4 si avrebbe l’intervallo (4 , 4) . Al variare di n in N detto intervallo tende a essere (0 ,1).

Questo esempio ⌋SoardiâŚŒ definisce una famiglia numerabile, in quanto ogni intervallo, uno al variare di n, e’ ponibile in corrispondenza di un n intero.

L’insieme E e’ detto compatto se da ogni copertura aperta di E si puo’ estrarre una sottocopertura finita. Una sottocopertura finita estratta e’ una sottofamiglia finita { đ??´đ?‘–1 , đ??´đ?‘–2 , đ??´đ?‘–3 , ‌ . . , đ??´đ?‘–đ?‘› } tale che E ⊆ ⋃đ?‘˜â‰¤đ?‘› đ??´đ?‘–đ?‘˜ . Se X = đ?‘… đ?‘› allora per E ⊆X si puo’ dimostrare che E e’ compatto se e solo se E e’ chiuso e limitato (teorema di Heine-Borel). E’ poi noto il corollario di Bolzano-Weierstraβ per il quale se A ⊆ đ?‘… đ?‘› e’ infinito e limitato allora esiste per esso almeno un punto di accumulazione.

Dalla nozione di separazione si perviene a quella di connessione. La separazione di due insiemi presuppone la disgiunzione di essi, ovvero che detti insiemi non abbiano punti in comune, ma cio’ non e’ sufficiente. Due insiemi disgiunti possono essere separati. Affinche’ due insiemi A e B disgiunti siano anche sepatati e’ necessario che sia đ??´Ě… ∊ đ??ľ = ∅ ed anche đ??´Ě… ∊ đ??ľ = ∅.

(a, b) e (a’ b) non sono disgiunti e non possono neppure essere separati. Ben piu’ rilevante e’ la connessione.

E e’ connesso se non esistono due sottoinsiemi A e B di E tali che essi siano separati e tali che la loro unione riproduca E. Per esempio l’insieme (a, b) âˆŞ (đ?‘?, đ?‘‘) non e’ connesso in quanto esso e’ pensabile come la unione di due insiemi non vuoti e separati la cui unione riproduce il dato insieme. In termini concreti la separazione tra essi e’ l’intervallo ⌋b, câŚŒ. Deve ritenersi connesso l’insieme (a, b) âˆŞ (đ?‘?, đ?‘‘). Un singleton, cioe’ un insieme costituito da un solo elemento e’ connesso. Non possono esistere due insiemi non vuoti e separati che lo riproducono per unione salvo il caso degenere che i due sottoinsiemi siano il dato singleton. Un insieme finito di punti {đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , ‌ . , đ?‘Ľđ?‘› } non puo’ essere connesso. Ogni intorno circolare di đ?‘šđ?’? e’ connesso.

APPENDICE 9 - LE FUNZIONI VETTORIALI R → đ?‘šđ?&#x;‘ Sia dato un vettore r come terna dello spazio đ?‘… 3 , r ≥ (x, y, z) . Si ammette che sia x = x(t), y = y(t), z = z(t). Il parametro t e’ reale e t ∈ ⌋đ?‘Ą1 , đ?‘Ą2 âŚŒ ⊆ R. Per esse e’ data una notazione vettoriale del tipo: r(t) = x(t)i + y(t)đ?’‹ + z(t)k. (i, j, k) costituiscono una base ortonormale di versori. Tramite r ad un numero reale t | t ∈ ⌋đ?‘Ą1 , đ?‘Ą2 âŚŒ ⊆ R corrisponde un elemento di đ?‘… 3 . Questa osservazione puo’ valore per uno spazio ad n dimensioni, quindi ad un numero reale t | t ∈ ⌋đ?‘Ą1 , đ?‘Ą2 âŚŒ ⊆ R corrisponde un elemento di đ?‘… đ?‘› . Nel caso piu’ generale saranno necessarie n funzioni scalari della variabile indipendente t. Nel caso n = 3 sia avranno tre funzioni scalari, definite come x = x(t), y = y(t), z = z(t). Tra di esse non esiste collegamento funzionale nel senso che devono essere intese quali variabili indipendenti. La funzione r(t) definisce una curva o cammino di đ?‘… đ?‘› .

Per esse sono definite il passaggio al limite e la continuita’. Una notazione alternativa, correntemente utilizzata, per quelle a valori di � 3 e’: r(t) = (x(t), y(t), z(t)).

Una funzione r(t) ammette limite per t → �0 se esistono finiti i limiti delle tre funzioni scalari per t → �0 . Analoga riflessione vale per la continuita’. Una funzione r(t) e’ continua in �0 se sono continue in �0 le tre funzioni scalari.

APPENDICE 10 - ORDINE DI INFINITESIMO E ORDINE DI INFINITO DI UNA FUNZIONE DI UNA VARIABILE REALE

Sia data una funzione f(x) definita in un intorno di �0 . Se per detta funzione si ha che lim �(�) = 0 si dice che essa e’ un infinitesimo per � → �0 . �→�0

Ove si consideri una funzione g(x) distinta da f(x) per la quale pure risulti che lim �(�) = 0 �→�0

allora il limite lim

đ?‘“(đ?‘Ľ)

�→�0 �(�)

conduce alla forma indeterminata

0 0

in quanto sarebbe lim

đ?‘“(đ?‘Ľ)

�→�0 �(�)

=

lim đ?‘“(đ?‘Ľ)

�→�0

.

lim đ?‘”(đ?‘Ľ)

�→�0

Sia dato un punto đ?‘Ľ0 ∈ đ?‘…. Viene definito l’infinitesimo principale come segue: y = |đ?‘Ľ − đ?‘Ľ0 |, ove |‌| indica che ci si riferisce ad un valore assoluto. Viene quindi definito l’infinitesimo di ordine n come segue: y = |đ?‘Ľ − đ?‘Ľ0 |đ?‘› , ove n e’ un intero assoluto.

Rispetto all’infinitesimo principale (y = |đ?‘Ľ − đ?‘Ľ0 | quando x → đ?‘Ľ0 ) e’ ricavabile l’ordine di infinitesimo della f(x) quando x → đ?‘Ľ0 .

La funzione f(x) e’ infinitesima di ordine n in �0 se risulta finito e non nullo il seguente limite: �(�)

lim

x → đ?‘Ľ0 |đ?‘Ľ −đ?‘Ľ0 |đ?‘›

= � ≠0.

E’ possibile dare il seguente esempio. La funzione f(x) = đ?‘Ľ 2 + 4đ?‘Ľ + 4 e’ infinitesima per đ?‘Ľ → −2. Banalmente si evidenzia che đ?‘“(−2) = lim đ?‘“(đ?‘Ľ) = 0. Detta funzione e’ infatti continua in x đ?‘Ľ →2

= −2. Per essa si ha: lim

đ?‘Ľ 2 +4đ?‘Ľ +4

x → −2 |đ?‘Ľ

−(−2) |đ?‘›

= lim

(đ?‘Ľ+2)2

x → −2 |đ?‘Ľ +2 |đ?‘›

Basta osservare che per n = 2 risulta essere: lim

đ?‘Ľ 2 +4đ?‘Ľ +4

x → −2 |đ?‘Ľ +2 |2

=1

Va ad esempio osservato cosa accade per n> 2. In questo caso ci si riconduce alla relazione equivalente lim (đ?‘Ľ + 2)2−đ?‘› . x → −2

Un banale esempio numerico chiarisce la situazione: 1

sia n = 10 da cui si ha lim (đ?‘Ľ + 2)2−10 = lim ( (đ?‘Ľ+2))8 che non puo’ essere una forma finita x → −2

in quanto (đ?‘Ľ + 2) → 0 per x → −2.

x → −2

Per n = 1 il limite considerato vale 0. Infatti, lim (đ?‘Ľ + 2)1 = 02 = 0. x → −2

Una funzione f(x) continua in đ?’™đ?&#x;Ž tale che sia lim đ?‘“(đ?‘Ľ) = 0 si dice essere infinitesima đ?‘Ľâ†’∞

all’infinito. Per essa si puo’ scrivere che: lim �(�) = lim �(�) = 0. 1

đ?‘Ľâ†’∞

đ?‘Ľ

→0

1

Se đ?‘Ľ → ∞ allora đ?‘Ľ → 0 per cui sono leciti i seguenti passaggi: đ?‘“(đ?‘Ľ)

lim 1

1

� →0 |�| �

= lim |đ?‘Ľ|đ?‘› f(x)= lim |đ?‘Ľ|đ?‘› f(x) 1 đ?‘Ľ

đ?‘Ľâ†’∞

→0

Se detto limite esiste finite e distinto da 0 allora la funzione f(x) e’ infinitesima di ordine n. Accanto alla nozione di infinitesimo va definita anche quella di infinito di una funzione in un punto đ?’™đ?&#x;Ž .

Una funzione definita in un intorno di đ?‘Ľ0 tale che risulti lim đ?‘“(đ?‘Ľ)=∞ e’ detta infinita in đ?’™đ?&#x;Ž . đ?‘Ľâ†’đ?‘Ľ0

Si osservi che lim đ?‘“(đ?‘Ľ)=∞ â&#x;š lim đ?‘Ľâ†’đ?‘Ľ0

1

= 0.

�→�0 �(�)

Non sarebbe sbagliato utilizzare il simbolo di coimplicazione (â&#x;ş). L’ordine di infinito di una funzione f(x) coincide con l’ordine di infinitesimo della funzione 1

.

đ?‘“(đ?‘Ľ)

Un esempio operativo elementare potrebbe essere il seguente: đ?‘“(đ?‘Ľ) =

đ?‘Ľ 2 −3đ?‘Ľ+1 đ?‘Ľâˆ’7

La funzione non e’ definita per x = 7. Si osservi che đ?‘Ľ − 7 → 0+ quando x → 7+ mentre si ha đ?‘Ľ − 7 → 0− quando x → 7− . Il numeratore e’ reale per x = 7. Si ha che g(7) = đ?›ź essendo g(x) = đ?‘Ľ 2 − 3đ?‘Ľ + 1. Si possono scrivere i due limiti seguenti: đ?›ź

lim+ đ?‘Ľâˆ’7 = +∞

�→7

�

lim− đ?‘Ľâˆ’7 = −∞

�→7

In definitiva la funzione considerata e’ infinita per x = 7. Ne consegue che la funzione reciproca e’ infinitesima per x = 7. Detta funzione reciproca e’ del tipo h(x) =

đ?‘Ľâˆ’7 đ?›ź

.

Va calcolato il seguente limite:

lim

đ?‘Ľâˆ’7 đ?›ź

đ?‘Ľâ†’7 |đ?‘Ľâˆ’7|đ?‘›

Da

đ?‘Ľâˆ’7 đ?›ź

|đ?‘Ľâˆ’7|đ?‘›

si ha

đ?‘Ľâˆ’7 đ?›ź

|đ?‘Ľâˆ’7|đ?‘›

=

đ?‘Ľâˆ’7

1

�

|đ?‘Ľâˆ’7|đ?‘›

Per n = 1 detto limite esiste finito e distinto da 0.

BIBLIOGRAFIA

➢ Anichini, Conti, Analisi matematica 1, Pearson, 2008 ➢ Apostol, Calcolo, Analisi 1, Boringhieri, 1977 ➢ Campitelli, Campodonico, Galdi, Analisi infinitesimale 1, Serie e successioni. Teoria dei limiti, Societa’ Editrice Dante Alighieri, 2007 ➢ Hilbert, Fondamenti della geometria, Franco Angeli, 2009 ➢ Marcellini, Sbordone, Analisi matematica 1, Liguori Editore, 1998 ➢ Russo, Algebra e geometria analitica per i licei scientifici, Cappelli, 1955 ➢ Soardi, Analisi matematica, Citta’ Studi, 2010 ➢ Kazdan, Intermediate Calculus and Linear Algebra, Part I, Harward University Lecture Notes, 1964 – 1965.

ANTICIPAZIONE

Il prossimo numero di Appunti matematici sara’ dedicato alla teoria degli insiemi. In esso verranno considerati gli sviluppi della teoria elementare, oggetto di un precedente numero di Appunti matematici. La copertina del numero sara’ dedicata al matematico tedesco Ernest Zermelo.

PROPRIETA’ LETTERARIA

Questo saggio non ha finalita’ commerciali o lucrative. Ne e’ autorizzata la divulgazione, anche totale, a condizione che essa non abbia finalita’ commerciali o lucrative purche’ essa avvenga con la citazione dell’autore e del soggetto diffusore dell’opera.

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