INFINITESIMI

Stesura provvisoria

In attesa di Robinson

In questo periodo ho avuto modo di ripensare alla nozione di infinitesimo ricordando, ad esempio, la nota critica dell'abate Berkeley al concetto di infinitesimo; l’infinitesimo veniva aspramente criticato per quella sorta di antinomia che lo voleva eguale allo zero e diverso dallo zero al contempo.

Sono partito da una diseguaglianza ben ovvia o meglio dal sistema seguente di diseguaglianze: 1 0 < 𝑑𝑥 < 𝑛 Tali diseguaglianze sono vere comunque si prenda n intero assoluto, arbitrariamente grande. Ciò è possibile ricordando che l’insieme N è illimitato superiormente.

In termini sintetici è vero che: 1 0 < 𝑑𝑥 < ∀𝑛 ∈𝑁 . 𝑛

1

In particolare risulta 𝑑𝑥 < 𝑛 ∀𝑛 ∈𝑁 .

Questa ultima precisazione ha una implicazione. Non è lecito scrivere una relazione del tipo 1 1 1 < 𝑑𝑥 < in quanto la relazione 𝑑𝑥 < deve essere intesa come vera 𝑛+1 𝑛 𝑛 per ogni intero assoluto n.

In estrema sintesi, risulta che: 1 1 𝑑𝑥 ∉ (𝑛+1 , 𝑛 ) comunque si prenda n intero assoluto.

Se per ipotesi si fissa un k intero per il quale è vero 1 1 1 1 𝑑𝑥 ∉ (𝑘 , 𝑘−1 ) assumendo implicitamente 𝑑𝑥 ∉ (𝑛 , 𝑛−1 ) e cioè per 𝑛 < 𝑘 1

1

o in termini ampi ammettendo 𝑑𝑥 ∉ (𝑗 , 𝑗−1 ) quando j ∈ {1, 2, … . , 𝑘} .

Anche questa sorta di artifizio confligge – se limitata ad un dato k intero 1 assoluto – con l’assunto 𝑑𝑥 < 𝑛 .

Se ci si limita a riflettere su k intero assegnato, astrattamente si dovrebbe dire che nulla si potrebbe dover dire per 𝑛 > 𝑘 .

Infatti, si potrebbe ipotizzare esista un 𝜎 intero, tale che 𝜎 > 𝑘 o anche 𝜎 ≫ 𝑘 per il quale sia 1 1 𝑑𝑥 ∈ (𝜎+1 , 𝜎 ). Tale condizione di esistenza importa come conseguenza sia

1

𝜎+1

< 𝑑𝑥 <

1

𝜎

. Ma ciò contraddice la condizione 𝑑𝑥 <

1

𝑛

.

1

Si potrebbe obiettare che potrebbe essere 0 ≤ 𝑑𝑥 <𝑛.

Il che equivale ad affermare che 𝑑𝑥 = 0. Ciò è evidente in quanto la condizione 𝑑𝑥 = 0 assorbe tutte le altre, con essa, ovviamente, 1 compatibili e cioè 𝑑𝑥 =0 è compatibile con 0 < . 𝑛

In questo caso il problema sembra nascere quando si trattano le derivate come avviene elementarmente come rapporto di due infinitesimi del tipo 𝑑𝑦 = 𝑟 facendo il passaggio dy =𝑟𝑑𝑥. 𝑑𝑥 Qui l’assurdità, almeno a livello elementare, si realizza proprio ponendo 𝑑𝑥=0.

Teorie superiori non dovrebbero poter contraddire teorie “inferiori”, o meglio, elementari.

Mi pare si sia capovolta la questione.

Ora, parrebbe che dx non può essere né dx =0 né essere 𝑑𝑥 < In altri termini, per dx non c’è posto sulla retta reale.

1

1 𝑛

≠ 0.

E’ possibile considerare l’ampiezza degli intervalli aperti (𝑛 , variare di n a partire da un dato n, per esempio 𝑛 = 𝑛 0 . 𝑛+𝑥+1−(𝑛+𝑥) 𝑛+𝑥+1−𝑛−𝑥 1 Tale distanza 𝑑𝑥 = = = 2 2 (𝑥+𝑥)(𝑛+𝑥+1)

(𝑥+𝑥)(𝑛+𝑥+1)

Più precisamente per 𝑛 = 𝑛 0 si ha:

𝑛 +𝑛𝑥+𝑛+𝑥𝑛+ 𝑥 +𝑥

1 𝑛−1

) al

𝑛+𝑥+1−(𝑛+𝑥)

𝑑𝑥 =

(𝑥+𝑥)(𝑛+𝑥+1)

=

{0}.

1 𝑛20 +2𝑛0𝑥+𝑛0 + 𝑥2 +𝑥

al variare di x in 𝑁0 essendo 𝑁0 = 𝑁 ∪

Le ampiezze 𝑑𝑥 decrescono al crescere di x.

Con riferimento ad un intervallo sinistro dello zero si ammette sia vero 1 1 che − < −𝑑𝑥 < 0 . Moltiplicando i membri per (-1) si ha > 𝑑𝑥 e quindi 𝑑𝑥 <

𝑛 1 𝑛

𝑛

. Esito coerente con la definizione.

Il caso particolare 𝑑𝑥 = 0 conduce alle seguenti relazioni: 1 1 − 𝑛 < −𝑑𝑥 ≤ 0 ≤ 𝑑𝑥 < 𝑛 che si riduce (per 𝑑𝑥 = 0 e anche per |𝑑𝑥 |= 0) ad 1

1

𝑛

𝑛

affermare che - < 𝑑𝑥 = 0 < 1

1

𝑛

𝑛

. Ciò è formalmente coerente in quanto 0 1

∈ (− , ) ∀ 𝑛 ∈ 𝑁. In altri termini |𝑑𝑥 | < | | . 𝑛

Anche nella definizione di derivata nella sua formulazione “elementare”, quella di Leibnitz andrebbe intesa nel senso che dx deve intendersi 1 caratterizzato dalla condizione 0< 𝑑𝑥 < 𝑛 . 𝑑𝑦

Il che può condurre al caso 𝑑𝑥 = 0 (caso della funzione costante o caso di massimo o di minimo della funzione 𝑦 = 𝑓(𝑥)) .

Nella definizione di derivata dovuta a J.B. Fourier si scrive: 𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) 1 |ℎ| < | | . 𝑓′(𝑥) = lim con ciò implicitamente ponendo 0 < ℎ 𝑛 ℎ→0 ′( ) ( ) ( ) Il che consente di dire 𝑓 𝑥 = 0 quando lim 𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓 𝑥 = 𝑑𝑦 = 0 . ℎ→0

Ciò con riferimento alle notazioni classiche.

A meno di una complicazione che pure potrebbe essere eccepita si 𝑑𝑦 = lim 𝑓( 𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ→0 potrebbe ipotizzare di scrivere { . 𝑑𝑥 = ℎ → 0 Anche gli sviluppi superiori dovrebbero tenere conto della utilità in concreto della derivata da intendersi come riferita ad una variazione della variabile indipendente 𝑑𝑓(𝑥) = 𝑑𝑦 per una variazione “infinitesima” della variabile indipendente che passa dal valore 𝑥0 al valore 𝑥0 + 𝑑𝑥 .

Nei termini più generali f’(x) deve intendersi (quando esiste e in termini di unicità) come una funzione di una funzione data f(x).

Per certi aspetti il “vero infinitesimo” è 𝑑𝑥 = ℎ → 0 con 𝑑( ℎ, 0) ≠ 0 ma non quantificabile.

La condizione 𝑑𝑥 ≠ 0 è ricondotta alla ragione concreta dell’introduzione della derivata, cioè, studiare l’andamento di f(x) al variare della x.

Il valore di 𝑑𝑦 = 𝑓 ′(𝑥)𝑑𝑥 è in concreto tra i risultati ammissibili sia in termini infinitesimi che in termini di eguaglianza allo zero, risultando 1 nei casi concreti, qui di interesse, che sia 𝑑𝑦 = 0 ⋀ |𝑑𝑦| < |𝑛| ∀𝑛 ∈ 𝑁 .

Conclusione provvisoria (in attesa di approfondire studiando l’Analisi non standard di A. Robinson): l’insieme degli infinitesimi è costituito da entità numeriche comprendenti lo zero reale (0) e realtà numeriche non collocabili sulla retta reale.

Ipotesi: L’insieme degli infinitesimi è costituito da elementi non reali (ipotesi ristretta) atteso che lo zero reale (che dovrebbe giustificare i casi dy = 0) lo è solo formalmente. Perché mai dovrebbe esistere questa doppiezza (non collocabilità sulla retta reale) tra la generalità degli elementi e lo zero reale ?

L’infinitesimo 𝑑𝑥 dovrebbe ritenersi una sorta di costante sui generis e ciò non sarebbe vero per dy legato a dx dalla grandezza reale k, dipendente da x.

Roma, 3 e 6 giugno 2021 Patrizio Gravano