Appunti Matematici 31 32

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Patrizio Gravano

APPUNTI MATEMATICI

ALGEBRA ASTRATTA NOZIONI FONDAMENTALI SULLE STRUTTURE numeri 31/32 - luglio/agosto 2017

Patrizio Gravano – Appunti Matematici

INTRODUZIONE Questo elaborato sintetico contiene una raccolta delle piu’ importanti nozioni dell’algebra astratta (o moderna).

Esso si compone di otto parti.

La prima parte contiene le nozioni fondamentali della teoria matematica elementare degli insiemi, le nozioni di relazione e di funzione matematica, fino alla cardinalita’ e alle nozioni di calcolo combinatorio.

La seconda parte, “I numeri” contiene le nozioni essenziali sugli interi assoluti, i razionali e i numeri complessi, ma anche argomenti quali l’algoritmo euclideo e le congruenze.

Si entra nel vivo degli argomenti piu’ “moderni” considerando le strutture algebriche, trattate nella terza parte.

Questa parte, partendo dalla nozione di legge di composizione interna, approdera’ al concetto di struttura algebrica.

La parte quarta riguarda i polinomi visti come funzioni.

La quinta parte ha ad oggetto una particolare struttura algbrica, chiamata anello e in essa, tra l’altro, si introdurranno gli ideali e i domini, fino al dominio di integrita’.

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici L’introduzione ai gruppi e’ oggetto della sesta parte dell’elaborato e ricomprende l’isomorfismo tra gruppi e il teorema fondamentale dell’omomorfismo per giungere, quindi, ai prodotti dieretti e semidiretti, ai gruppi risolubili e a quelli abeliani finiti.

L’ultima parte e’ dedicate alla nozione di campo.

L’elaborato contiene pure una errata corrige di un punto di un numero precedente.

Una breve appendice riguarda, infine, il gruppo SU(1).

Patrizio Gravano

patrizio.gravano@libero.it

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici ALGEBRA ASTRATTA

Nozioni fondamentali sulle strutture

Nozioni di insiemistica elementare Il punto di partenza della teoria degli insiemi è costituita dal concetto di insieme. Si tratta di un concetto primitivo (quindi non definito da concetti matematici formalizzati) intuitivamente definibile come una collezione di oggetti, detti elementi dell’insieme. In luogo del termine “collezione” è possibile usare altri termini similari, quali “classe” “famiglia”, etc. La scrittura x ∈ X significa che l’elemento x appartiene all’insieme X.

Se è vero il contrario si usa il simbolo “non appartiene” e si scrive x ∉ X.

Un elemento qualunque può appartenere oppure no ad un dato insieme. Non è data una terza condizione. Il criterio che consente di affermare che x ∈ X (oppure x ∉ X) è oggettivo e dato a priori.

Non sono ammissibili proprietà caratteristiche confutabili o soggettivamente interpretabili, del tipo “ l’insieme dei libri interessanti”.

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici Tale relazione, che consente di dire senza ombra di dubbio, se un elemento è parte o meno di un dato insieme, è chiamata proprietĂ caratteristica. Viene definito, per dare completezza logica alla teoria, un particolare insieme, detto insieme vuoto.

Per insieme vuoto si intende l’insieme privo di elementi.

Esso è denotato dal simbolo ∅.

Gli insiemi possono avere un numero finito oppure un numero infinito di elementi.

Il numero degli elementi di un insieme finito costituisce la cardinalità dell’insieme.

Per esempio l’insieme A = {đ?‘Ž,đ?‘?,đ?‘?,đ?‘‘} è un insieme costituito da 4 elementi, a, b, c, d e quindi la sua cardinalitĂ vale 4.

Formalmente si scrive card(A) = 4, oppure |A| = 4. Tutti e soli gli insiemi aventi quattro elementi hanno cardinalitĂ 4. Essa conduce al concetto di numero cardinale.

Alcuni matematici in luogo di cardinalitĂ utilizzano il termine potenza.

Gli insiemi aventi la stessa cardinalitĂ si dicono equipotenti. Due insiemi equipotenti A e B sono indicati con il formalismo A âˆź B.

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici E’ intuitivo comprendere che se due insiemi hanno lo stesso numero di elementi (e sono quindi equipotenti) può essere associato ad ogni elemento del primo un elemento del secondo e viceversa.

Si dice che gli insiemi A e B sono posti in corrispondenza biunivoca.

Nella rappresentazione degli insiemi non conta l’ordine di successione degli elementi.

Per esempio gli insiemi A = {đ?‘Ž,đ?‘?,đ?‘?,đ?‘‘} e A’ = {đ?‘Ž,đ?‘?,đ?‘‘,đ?‘?} sono lo stesso insieme.

Formalmente si scrive A = A’.

Questa modalità di rappresentazione è detta tabulare.

Detto insieme è anche rappresentabile utilizzando la rappresentazione caratteristica nel modo seguente

A = { x : x è una delle prime quattro lettere dell’alfabeto }. Per la rappresentazione degli insiemi esiste una ulteriore forma di rappresentazione costituita dai cosiddetti diagrammi di Eulero-Venn.

Due insiemi sono eguali se sono lo stesso insieme.

Quando due insiemi non sono eguali si scrive A ≠B.

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici Uno stesso insieme può essere rappresentato in ⦋card(A)⦌ ! modi differenti (ove ! è il simbolo di fattoriale).

Dato un insieme è possibile definire un suo sottoinsieme. Un insieme B è un sottoinsieme di A se ogni elemento di B e anche elemento di A ma esiste almeno un elemento di A che non appartiene a B.

Detto sottoinsieme è detto sottoinsieme proprio.

In termini formali si ha A ⊂ B ⇔ A ⊆ B e A ≠ B.

In termini alternativi possiamo anche scrivere A⊂B⇔A⋂B=A.

Un insieme può essere considerato sottoinsieme di se stesso.

In questo caso si parla di sottoinsieme improprio.

Nel caso generale della definizione si parla di sottoinsieme proprio e si scrive che B ⊂ A quando ogni b ∈ B è anche elemento di A ma esiste almeno un elemento di A che non appartiene a B.

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici Dato A = {đ?‘Ž,đ?‘?,đ?‘?,đ?‘‘} possiamo dire che B = {đ?‘Ž,đ?‘?,đ?‘?} è un sottoinsieme proprio di A e scrivere B ⊂ A da cui consegue A ⊄ B.

Dato un insieme A si ammette che esso abbia tra i suoi sottoinsiemi pure l’insieme vuoto, potendo scrivere che ∅ ⊂ A, ∀ A : A ≠∅.

E’ immediato dimostrare che A = B â&#x;ş (A ⊂ B and B ⊂ A).

Un insieme avente un numero infinito di elementi è detto infinito.

Nel novero degli insiemi sono ricompresi pure gli insiemi numerici.

Tali sono l’insieme dei numeri naturali, quello dei razionali, quello dei reali e quello dei numeri complessi.

E’ bene ricordare che detti insiemi hanno un numero infinito di elementi. Ciò vale anche per l’insieme â„• dei numeri naturali.

La potenza (o cardinalità ) dell’insieme infinito dei numeri naturali si indica con �0.

Essa è detta potenza del numerabile. Un insieme ha la potenza del numerabile se è ponibile in corrispondenza biunivoca con â„•, insieme dei naturali.

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici Due insiemi sono detti essere in corrispondenza biunivoca se ad un elemento di uno corrisponde uno ed uno solo elemento del secondo e viceversa se ad ogni elemento del secondo corrisponde uno ed uno solo elemento del primo. Per gli insiemi sono definite due fondamentali operazioni, l’unione e la intersezione insiemistica. Dati due insiemi A e B si definisce unione insiemistica, definita dal simbolo ∪, quella operazione che consente di ottenere un terzo insieme C, avente per elementi tutti e soli gli elementi appartenenti ai due insiemi, considerato una sola volta e a prescindere dall’ordine. Formalmente si ha C = A ∪ B ove C = {a ∈ A, b ∈ b}.

Poiché è possibile che un medesimo elemento (o più di uno) appartenga ad entrambi gli insiemi non è detto che sia card(C) = card(A) + card(B). In generale card(C) ≤ card(A) + card(B).

Nel caso degenere A = B allora da C = A ∪ B si ottiene che card(C) = card(A) = card(B).

Il caso card(C) = card(A) + card(B) si ha quando non esiste alcun elemento comune agli insiemi A e B.

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici Queste considerazioni sono valide quando i due insiemi hanno un numero finito di elementi e ad essi è associato un numero cardinale nel senso di Russell.

L’unione insiemistica è definibile per un numero finito qualunque di insiemi.

C = ⋃ đ??´đ?‘–

La seconda fondamentale operazione è detta intersezione insiemistica.

Essa consente di ottenere un nuovo insieme C avente per elementi tutti e soli gli elementi comuni ai due insiemi presi una sola volta. Il simbolo insiemistico dell’intersezione è il seguente: â‹‚.

Formalmente si scrive C = A ⋂ B, essendo C = {a ∈ A : a ∈ b et b ∈ B : b ∈ A }.

Si prescinde dall’ordine e gli elementi comuni (e solo essi) sono considerati una sola volta. Ad esempio dato A = {đ?‘Ž,đ?‘?,đ?‘?,đ?‘‘} e B = {đ?‘Ž,đ?‘?,đ?‘&#x;,đ?‘ } si ha che C = A â‹‚ B = {đ?‘Ž,đ?‘?}.

E’ immediato studiare come si comporta la cardinalitĂ rispetto all’operazione di intersezione. L’operazione di intersezione conduce, a prescindere dalle cardinalitĂ degli insiemi, al risultato dell’insieme vuoto ∅ quando i due insiemi considerati non hanno elementi in comune.

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici Due insiemi privi di elementi comuni sono detti disgiunti. In questo caso si ha A ⋂ B = ∅.

Anche la intersezione è estensibile a un numero maggiore di due di insiemi formalizzando come segue C = â‹‚ đ??´đ?‘–

Affinchè card(C) = 0 è sufficiente che esista almeno un đ??´đ?‘˜ tale che đ??´đ?‘˜ â‹‚đ??´â„Ž đ??´â„Ž con h ≠k e k ≤ n.

Nella teoria degli insiemi viene solitamente definito anche un insieme detto insieme universo. Intuitivamente lo si può definire come l’insieme avente per elementi tutti (e soli) i possibili elementi. In un alfabeto l’insieme universo è costituito da tutte le lettere. In un sistema di numerazione esso è l’insieme avente come elementi tutte le cifre.

Un elemento dell’insieme universo, U, è anche elemento di un possibile sottoinsieme proprio di esso.

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici Un x ∉ U non può essere elemento di alcun sottoinsieme proprio di U.

Dal concetto di insieme universo U è possibile definire assegnato un insieme A ⊂ U un nuovo insieme, detto complemento di A rispetto ad U, definito formalmente come segue:

đ??´đ?‘? = {x ∈ U tale che x ∉ A}.

đ??żđ?‘Ž scrittura “tale cheâ€? è usualmente formalizzata dai due simboli : oppure |, entrambi letti “tale cheâ€?. đ??´đ?‘? è pertanto quell’insieme avente come elementi tutti gli elementi di U che non appartengono ad A, ove A è un sottoinsieme proprio di U. đ?‘†đ?‘’ A = U allora đ??´đ?‘? = ∅.

����� definita una ulteriore operazione sugli insiemi detta complementazione relativa.

Dati due insiemi A e B la scrittura B ∖ A viene chiamata insieme differenza di B ed A.

Per definizione si ha B ∖ A = { x ∈ B : x ∉ A}

Solitamente è A ⊂ B.

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici Non è ammesso B ⊂ A in quanto A è costituito da x : x ∈ A essendo ogni b ∈ B anche elemento di A. Evidentemente in generale B ∖ A ≠ A ∖ B.

Se A = B si ha B ∖ A = { x ∈ A : x ∉ A} = ∅.

Viene definita quindi una ulteriore operazione sugli insiemi A e B, detta prodotto cartesiano e indicata con il formalismo A ⨯ B.

Il prodotto cartesiano conduce ad un insieme i cui elementi sono coppie ordinate (a, b) ove la prima componente è un a ∈ A e la seconda un b ∈ B.

Formalmente si scrive C = A ⨯ B = { (a, b) : a ∈ A, b ∈ B }.

Per come è definito il prodotto cartesiano non è commutativo, pertanto, in generale A ⨯ B ≠ B ⨯ A.

E’ ammesso ed ampiamente utilizzato un prodotto cartesiano del tipo A ⨯ A.

Ci si chiede quando dati due insiemi A e B risulti A ⨯ B = ∅.

Si dimostra che A ⨯ B = ∅ ⇔ ( A = ∅ or B = ∅)

Dal concetto definitorio di prodotto cartesiano scaturisce un concetto importante, quello di coppia ordinata.

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici Una coppia ordinata è costituita da due elementi risultando rilevante l’ordine di elencazione degli elementi.

La coppia ordinata (a , b) e la coppia ordinata (b , a) sono diverse quando a ≠b.

Due coppie ordinate (a , b) e (x , y) sono eguali se e solo se a = x e b = y.

Il prodotto cartesiano è estensibile ad un numero finito di insiemi.

In questo caso gli elementi di esso sono n-ple ordinate di elementi. Ad esempio A ⤍ B ⤍ ‌. ⤍ Z = {(a, b, ‌., z) con a ∈ A, b ∈ B, ‌‌, z ∈ Z}

In modo analogo vengono definite le n-ple ordinate eguali.

Date le n-ple (a, b, c, ‌. , z) e (a’ , b’, c’, ‌.., z’) si ha la loro eguaglianza se e solo se a = a’, b = b’, c = c’, ‌.., z = z’.

Assegnato un insieme A viene definito un insieme detto insieme delle parti. L’insieme delle parti di un insieme A è l’insieme avente come elementi tutti e soli i sottoinsiemi dell’insieme A. L’insieme delle parti di A si indica con il formalismo đ?’Ť(A) avendo che

�(A) = {B : B ⊆ A}.

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici Giova osservare che gli elementi che compongono l’insieme delle parti sono insiemi e non elementi! Tra essi è ovviamente ricompreso anche l’insieme vuoto, ∅.

Appartiene all’insieme delle parti pure l’insieme dato. Dato ad esempio l’insieme A = { x, y } l’insieme delle parti di esso è rappresentato come segue

đ?’Ť(A) = {∅ , {x}, {y}, {x, y} }

La scrittura {x} ∈ đ?’Ť(A) si intende come l’insieme avente come elemento x.

PoichÊ esso è costituito da un unico elemento esso è detto singleton (singoletto).

Assegnato un insieme A di n elementi allora l’insieme delle parti đ?’Ť(A) è costituito da 2đ?‘› insiemi. Una interessante e semplice dimostrazione per induzione è contenuta in Introduzione alla geometria e all’algebra elementare, di Paolo Maroscia, Editore Zanichelli, cui si rimanda ampiamente.

Giova osservare che le forme ∅ e {∅} hanno significato diverso.

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici La prima si intende come l’insieme vuoto, mentre la seconda è intesa come l’insieme avente come elemento l’insieme vuoto. Viene definito un ulteriore concetto insiemistico, quello di partizione specie se riferita all’insieme universo. Un insieme generico non vuoto può essere considerato come l’unione insiemistica di un numero finito di sottoinsiemi propri tali che essi siano a due a due disgiunti e che la loro unione insiemistica riproduca l’insieme assegnato.

Gli insiemi đ??´đ?‘– costituiscono una partizione di A se:

1) Ahâ‹‚đ??´k = ∅ ∀ (h,k) : h ≠k con 1 ≤ h ≤ n, 1 ≤ k ≤ n;

2) ⋃ đ??´i = A

3) đ??´i ≠∅

Possono essere costituite distinte partizioni al variare di n. In informatica è stato istituito un criterio di rappresentazione dei sottoinsiemi di un insieme universo U nel modo seguente.

Abbia U cardinalitĂ k finita. Esso è costituito da k elementi e rappresentabile come segue U = { đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 , đ?‘Ž3 ‌ . . đ?‘Žđ?‘› }

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici La scrittura A {1, 1, 0, 0,‌.. , 0} è modalitĂ operativa per definire l’insieme A = {đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 } quindi A ⊂ U.

Le operazioni insiemistiche godono di particolari proprietĂ .

Esse sono le seguenti. ∀ A, B, C : A ⊆ U, B ⊆ U, C ⊆ U si ha:

1) A âˆŞ A = A

2) A â‹‚ A = A

Esse sono dette relazioni (o leggi) di idempotenza e discendono immediatamente dalla definizione di unione e di intersezione insiemistica. Le proprietĂ di idempotenza si giustificano molto semplicemente partendo dalla osservazione che A âˆŞ A contiene tutti e soli gli elementi di A (per la definizione di unione insiemistica); pertanto è immediato scrivere A âˆŞ A = A.

In modo analogo si evidenzia che A ⋂ A contiene solo gli elementi a : a ∈ A (per la definizione di intersezione insiemistica), quindi A ⋂ A = A.

3) A âˆŞ B = B âˆŞ A

4) A â‹‚ B = B â‹‚ A

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici Esse esprimono la proprietĂ commutativa dell’unione e dell’intersezione. La commutativitĂ dell’unione e dell’intersezione di insiemi discende dalla circostanza che A âˆŞ B contiene gli elementi dei due insiemi e che prescindendo dall’ordine di elencazione degli elementi scrivere A âˆŞ B è la stessa cosa che scrivere B âˆŞ A.

Il caso dei singleton chiarisce bene cosa si intende al riguardo. Da A = {a} e B = {b} si ha A âˆŞđ??ľ = {a, b } ma anche B âˆŞ A = {b, a}.

Ma {a, b} e {b, a} sono il medesimo insieme in quanto non conta l’ordine di elencazione degli elementi. Pertanto A âˆŞđ??ľ = B âˆŞ A.

Queste considerazioni sono estensibili a un numero di insiemi qualunque, a prescindere dalla loro cardinalitĂ . Le operazioni di unione e di intersezione insiemistica sono definite anche su insiemi infiniti, e astrattamente anche il relazione a un numero infinito di insiemi.

Riflessioni analoghe possono essere fatte relativamente all’intersezione.

Nel caso siano A e B due insiemi disgiunti si ha A â‹‚ B = B â‹‚ A = ∅ ed anche in questo caso la proprietĂ vale conducendo al caso particolare dell’insieme vuoto.

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici Valgono pure le seguenti proprietà associative (dell’unione e dell’intersezione): 5) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C

6) A ⋂ (B ⋂ C) = (A ⋂ B) ⋂ C

In relazione alla proprietà 5) osservo che se x è elemento di A ∪ (B ∪ C) deve essere pure elemento di (A ∪ B) ∪ C.

Infatti dall’essere x elemento di A ∪ (B ∪ C) discende che x è elemento di almeno uno degli insiemi A, B, C.

Questa osservazione conduce a ritenere che x sia elemento del secondo membro.

Se invece y ∉ A ∪ (B ∪ C) allora y ∉ A, y ∉ B, y ∉ C.

Da ciò discende che y ∉ (A ∪ B) ∪ C, non essendo elemento di C ma neppure di A ∪ B, non essendo y elemento né di A né di B.

Si può anche scrivere

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C = A ∪ B ∪ C.

Argomentazioni analoghe possono essere fatte per dimostrare la relazione 6) ovvero che

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici A ⋂ (B ⋂ C) = (A ⋂ B) ⋂ C

Infatti se x ∈ A ⋂ (B ⋂ C) allora deve essere x ∈ A, x ∈ B ed anche x ∈ C.

Dall’aver posto ciò consegue che x ∈ (A ⋂ B) ⋂ C.

Se x ∉ A ⋂ (B ⋂ C) vuol dire che x non è elemento di almeno uno degli insiemi considerati.

x ∉ (A ⋂ B) ⋂ C perché non può appartenere a tutti e tre gli insiemi.

Ammesso che x ∈ C allora x ∉ A oppure x ∉ B oppure x ∉ A ∪ B. Quindi x ∉ (A ⋂ B) ⋂ C. Se x ∉ C immediatamente si ha x ∉ (A ⋂ B) ⋂ C anche quando fosse x ∈ A et x ∈ B,ovvero risultasse x ∈ A ⋂ B.

Valgono le seguenti proprietà distributive 7) A ∪ (B ⋂ C) = (A ∪ B) ⋂ (A ∪ C)

8) A ⋂ (B ∪ C) = (A ⋂ B) ∪ (A ⋂ C)

Si consideri la relazione insiemistica 7. E’ possibile dire che x ∈ A ∪ (B ⋂ C) ⟹ x ∈ A oppure x ∈ (B⋂C) oppure x appartiene ad entrambi gli insiemi A e B ⋂ C, ovvero x ∈ A ⋂ (B ⋂C).

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici Se x ∈ A allora è immediato osservare che A ∪ (B ⋂ C) = (A ∪ B) ⋂ (A ∪ C).

Se x ∈ B ⋂ C allora discende che x ∈ B e x ∈ C .

Ma se è così allora x ∈ (A ∪ B) ed anche x ∈ (A ∪ C), ovvero x ∈ (A ∪ B) ⋂ (A ∪ C).

Se x ∈ A ⋂ (B ⋂C) allora x ∈ A, x ∈ B, x ∈ C.

Da ciò discende che x ∈ (A ∪ B) ed anche x ∈ (A ∪ C), ovvero x ∈ (A ∪ B) ⋂ (A ∪ C).

Questa relazione di appartenenza è vera anche quando x ∈ B oppure x ∈ C essendo comunque x ∈ A.

Considero ora la proprietà 8. Se x ∈ A ⋂ (B ∪ C) vuol dire che x ∈ A ed anche x ∈ (B ∪ C). Primo sottocaso x ∈ B et x ∈ C.

Considero il secondo membro (A ⋂ B) ∪ (A ⋂ C) ed ho x ∈ (A ⋂ B) e x ∈ (A ⋂ C) quindi x ∈ (A ⋂ B) ∪ (A ⋂ C).

Si hanno pure le seguenti proprietà:

9) A ⊆ B ⇔ A ⋂ B = A

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici Trattandosi di una implicazione logica (o condizione necessaria e sufficiente, c.n.e.s.) occorre considerare i due casi, ovvero 9’) A ⊆ B ⟹ A ⋂ B = A

9’’) A ⋂ B = A ⟹ A ⊆ B

Considero la relazione di inclusione A ⊆ B.

Per essa va considerato il caso A = B. Per esso si ha immediatamente che A ⋂ A = A (per la proprietà di idempotenza).

Sia A ⊂ B. Allora ogni a ∈ A è anche elemento di B. Ma esiste almeno un x ∈ B tale che x ∉ A.

Sotto questa condizione è evidente che A ⋂ B contiene tutti e soli gli elementi comuni ad A e a B. Ma detti elementi comuni sono tutti e soli gli a ∈ A.

Con ciò è provata la 9’).

Considero ora la 9’’).

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici A ⋂ B = A vuol dire che l’insieme A è eguale all’insieme avente come elementi tutti e solo gli elementi comuni ad A e a B. Quindi che B è costituito da tutti gli elementi di A. In questo caso sarebbe A ⋂ A = A.

Ma è possibile anche un secondo caso, ovvero che esista almeno un x ∈ B tale x ∉ A.

In questo caso sarebbe A ⊂ B.

10) A ⊆ B ⇔ A ∪ B = B

E’ possibile distinguere due casi A = B e A ⊂ B.

A = B conduce a A = B ⇔ A ∪ B = B da cui A = A ⇔ A ∪ A = A ovvero A = A ⇔ A = A. Considero il caso A ⊂ B. La 10) diviene la seguente

A⊂B⇔ A∪B=B

avendosi α) A ⊂ B ⟹ A ∪ B = B

β) A ∪ B = B ⟹ A ⊂ B

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici La α) si giustifica facilmente considerando che B contiene tutti gli elementi di A esistendo elementi di B non appartenenti ad A. Pertanto l’unione di A e B contiene tutti gli elementi di A pure elementi di B ma anche gli elementi di B non appartenenti ad A. Tale insieme è l’insieme B. Da A ⊂ B discende A ∪ B = B.

Viceversa si dimostra la β).

A ∪ B = B significa che ogni a ∈ A è pure elemento di B dovendo esistere almeno un b ∈ B tale che b ∉ A. B ⊈ A ovvero A ⊂ B.

Vorrei ricordare che vige la proprietà transitiva dell’inclusione. 11.0) A⊆ B, B ⊆ C ⟹ A ⊆ C

Vi è un caso banale per il quale A = B e B = C conduce a A = C.

Considero un secondo caso per il quale A ⊂ B e B ⊂ C conduce a A ⊂ C.

Ciò perché ogni a ∈ A è tale che a ∈ B esistendo comunque elementi di B per i quali b ∈ B : b ∉ A.

Ma poiché B ⊂ C per ipotesi allora ogni b : b ∈ b ( e quindi anche gli a : a ∈ A) è elemento di C.

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici Quindi C contiene anche tutti gli a ∈ đ??´.

In modo analogo è possibile studiare i sottocasi Îą) A = B , B ⊂ C;

β) A ⊂ B , B = C.

In definitiva si addiviene a A⊆ B, B ⊆ C â&#x;š A ⊆ C

Valgono pure le seguenti proprietĂ 11) (A⊆ C, B ⊆ C) ⇔ A âˆŞ B ⊆ C

12) (A⊇ C, B ⊇ C) ⇔ A ⋂ B ⊇ C

Queste sono le proprietĂ elencate nella preposition 3-1.3. del testo Fundamentals of Abstract Analysis del Gleason, Addison-Wesley unitamente al seguente teorema 13) ∀ A, B, C : A ⊆ B si ha AâˆŞ B ⊆ B âˆŞ C ed anche A â‹‚ B ⊆ B â‹‚ C

Per gli insiemi valgono due ulteriori proprietĂ dette leggi di DeMorgan come segue: 14) (đ?‘¨â‹‚đ?‘Š)đ?‘Ş = đ?‘¨đ?’„ âˆŞđ?‘Šđ?’„

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici Sia x ∈ (đ??´â‹‚đ??ľ)c allora x ∉ đ??´â‹‚đ??ľ quindi x ∉ A oppure x ∉ B, oppure non appartiene ad entrambi. Ma se x ∉ đ??´ (o se x ∉ B) allora x ∈ đ??´đ?‘? (x ∈đ??ľđ?‘?) quindi x ∈ đ??´đ?‘? âˆŞđ??ľđ?‘?.

Se x ∉ A e x ∉ B allora x ∉ đ??´ â‹‚đ??ľ .

Ma x ∈ đ??´đ?‘? âˆŞđ??ľđ?‘? e pure x ∈ (đ??´â‹‚đ??ľ)đ??ś .

Nel caso x ∈ A, x ∈ B allora x ∈ A â‹‚ B, da cui x ∉ (đ??´ â‹‚đ??ľ)c e x ∉ đ??´đ?‘? âˆŞđ??ľđ?‘?.

15) (đ?‘¨âˆŞđ?‘Š)c = đ?‘¨đ?’„â‹‚đ?‘Šđ?’„

Se x ∈ (đ??´âˆŞđ??ľ)c allora x ∉ A âˆŞ B . Da ciò discende che x ∉ A et x ∉ B.

Da ciò si evidenzia che x ∈ đ??´đ?‘? e x ∈ đ??ľđ?‘? ovvero x ∈ đ??´đ?‘?â‹‚đ??ľđ?‘?.

Vale anche la seguente relazione 16) B ∖ A = B â‹‚ đ?‘¨c

Il primo membro definisce un insieme i cui elementi b sono tali che contiene tutti e soli gli elementi di B che non sono elementi di A. B ∖ A = {b : b ∈ B, b ∉ A}

Per il secondo membro la scrittura B â‹‚ đ??´đ?‘? definisce l’insieme {b : b ∈ B, b ∈đ??´đ?‘?} .

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici Ma se b ∈đ??´đ?‘? allora b ∉ A.

Ciò una diretta conseguenza del principio di non contraddizione.

Esso è solitamente messo nella forma đ??´ â‹‚đ??´đ?‘? = ∅

đ?‘†đ?‘’ a ∈ A allora a ∉ đ??´đ?‘? (per la definizione di insieme complementare) quindi a ∉ đ??´ â‹‚đ??´đ?‘? .

đ??śđ?‘–ò è đ?‘Łđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œ ∀a : a ∈ A.

đ?‘ƒđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘œ đ??´ â‹‚đ??´đ?‘? = ∅.

Quindi è verificato il teorema.

Occorre poi ricordare anche la seguente 17) ∀A si ha che (đ?‘¨c)c = A

Tale proprietà insiemistica è detta involuzione.

Sia x ∈ A. Allora x ∉ đ??´đ?‘?.

Sia đ??´đ?‘?= B allora x ∉ B. Ma sicuramente x ∈ đ??ľđ?‘? ovvero x ∈ (đ??ľ)đ?‘? ovvero x ∈ (đ??´đ?‘?)đ?‘? .

In definitiva ogni x ∈ A appartiene pure a (đ??´c)đ?‘?.

In alcuni testi l’insieme complementare đ??´đ?‘? di un insieme A è scritto con il formalismo đ??´. - 26 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici Tra insieme vuoto ∅ e insieme universo U valgono le seguenti relazioni

∅c = U

đ?‘ˆđ?‘? = ∅

đ?‘ƒđ?‘’đ?‘&#x; l’insieme vuoto esistono infinite proprietĂ caratteristiche che lo rappresentano.

đ?‘ƒđ?‘’đ?‘&#x; gli insiemi vale la ulteriore proprietĂ di assorbimento per la quale si ha

đ?‘¨â‹‚(BâˆŞC)=A

đ?‘’ dualmente

đ?‘¨âˆŞ(Bâ‹‚C)=A

Nell’algebra degli insiemi viene definita una ulteriore proprietĂ detta differenza simmetrica cosĂŹ definita A ⊕ B = (A ∖ B) âˆŞ (B∖A)

Per essa valgono le seguenti proprietĂ 18) A ⊕ A = ∅

19) A ⊕ ∅ = A

20) A ⊕ B = B ⊕ A

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici 21) A ⊕ B ⊕ C = (A ⊕ B)⊕ C

22) A ⋂ (B ⊕ C) = (A ⋂ B) ⊕ (A ⋂ C)

Relazioni e funzioni

Nel paragrafo relativo alla teoria matematica degl insiemi e’ stata introdotta la nozione di prodotto cartesiano di insiemi estensibile al caso di n insiemi.

Il prodotto cartesiano di n insiemi đ??´1 Ă— đ??´2 Ă— đ??´3 Ă— đ??´4 Ă— ‌ . .Ă— đ??´đ?‘› e’ un insieme i cui elementi sono le n-ple (đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 , ‌ . đ?‘Žđ?‘– , ‌ . . , đ?‘Žđ?‘› ) tali che đ?‘Žđ?‘˜â‰¤đ?‘› ∈ đ??´đ?‘˜ . Si tratta di un n-pla ordinata. Cio’ premesso, e’ possibile dare la definizione di relazione n-aria, o relazione si arita’ n, intesa come un qualche sottoinsieme di đ??´1 Ă— đ??´2 Ă— đ??´3 Ă— đ??´4 Ă— ‌ . .Ă— đ??´đ?‘› .

Dalla definizione si comprende che la relazione e’ costituita da n-ple ordinate e se essa si denota come insieme R allora risulta R ⊆ đ??´1 Ă— đ??´2 Ă— đ??´3 Ă— đ??´4 Ă— ‌ . .Ă— đ??´đ?‘› .

Essendo insiemi le relazioni godono di tutte le proprieta’ formali della teoria degli insiemi e in particolare delle proprieta’ di commutativita’, associativita’ e distributivita’.

- 28 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici In particolare si hanno due relazioni dette rispettivamente relazione vuota, per la quale si utilizza il simbolo di insieme vuoto, ∅, per la quale nessun elemento e’ in relazione con nessun altro, e la relazione universal, per la quale ogni elemento (quindi ogni n-pla) e’ in relazione con un altro elemento.

Anche le relazioni vengono indicate con le lettere maiuscole, ad esempio R e T e sono legittime scritture del tipo: R⊆T

T=R R ⊂ T.

L’ultima scrittura si interpreta semplicemente che tutte le n-ple della relazione R sono nple della relazione T ma che esiste almeno una n-pla della relazione R che non appartiene alla relazione T. Come caso particolare delle relazioni n-arie si possono considerare le relazioni binarie, ovvero le R tali che R ⊆ đ??´1 Ă— đ??´2

La relazione binaria viene formalizzata in due modalita’ equivalenti, ovvero scrivendo: đ?‘Ž1 đ?‘…đ?‘Ž2 ≥ (đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 ) ∈ đ?‘…

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici Il membro sinistro si legge “ đ?‘Ž1 đ?‘’ đ?‘Ž2 sono in relazione tra loroâ€?. La coppia (đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 ) deve intendersi quale coppia ordinate, quindi deve intendersi che đ?‘Ž1 ∈ đ??´1 e đ?‘Ž2 ∈ đ??´2 .

Gli elementi di đ??´1 individuano il dominio della relazione R, ovvero dom R = {đ?‘Ž1,đ?‘– |đ?‘Ž1,đ?‘– đ?‘… đ?‘Ž2,đ?‘— , đ?‘Ž1,đ?‘– ∈ đ??´1 , đ?‘Ž2,đ?‘— ∈ đ??´2 } .

Gli elementi di đ??´2 individuano il codominio della relazione R, ovvero cod R = {đ?‘Ž2,đ?‘— |đ?‘Ž1,đ?‘– đ?‘… đ?‘Ž2,đ?‘— , đ?‘Ž1,đ?‘– ∈ đ??´1 , đ?‘Ž2,đ?‘— ∈ đ??´2 } .

Quando gli insiemi đ??´1 đ?‘’ đ??´2 sono finiti, ovvero quando hanno un numero finito e intero di elementi per la rappresentazione delle relazioni vengono usati il grafo di incidenza e la matrice di incidenza. Occorre quindi partire dalla nozione di grafo, inteso come un oggetto matematico definite da una coppia di insiemi, V, detto insieme dei vertici, e E detto insieme degli archi.

Un arco puo’ essere inteso come una coppia ordinata di vertici, detti, rispettivamente, vertice iniziale e vertice finale.

Ad esempio, dati gli insiemi A e B seguenti

- 30 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici A ={a, b, c, d, e} si cardinalita’ 5 e B ={u, v, z, t, đ?›ź, đ?›˝} di cardinalita’ 6 e data la relazione R ⊆đ??´ Ă—B | R ={(a, v) , (a, đ?›ź ) (c, z), (d, β) , (e, v)}

Si noti che ad un medesimo elemento di A possono corrispondere distinti elementi di B come nel caso di specie ove ad a corrispondono due disitni elementi di B, ovvero v e � .

E’ ora possibile disegnare il grafo di incidenza per la assegnata relazione R.

Il passo successivo e’ la costruzione della matrice di incidenza della relazione. Piu’ propriamente per una data relazione e’ possibile costruire una matrice di incidenza e non la matrice di incidenza. Questa pseudoambiguita’ nasce dal fatto che un insieme puo’ essere rappresentato in modi distinti non essendo rilevante l’ordine di elencazione dei suoi elementi.

- 31 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici Un insieme di cardinalita’ n (costituito cioe’ da n elementi) ha n ! distinte modalita’ rappresentative.

Si puo’ rappresentare il tutto come segue.

U

v

Z

t

�

β

a

0

1

0

0

1

0

b

0

0

0

0

0

0

c

0

0

1

0

0

0

d

0

0

0

0

0

1

e

0

1

0

0

0

0

L’allocazione degli zeri e degli uni nella tabella a doppia entrata e’ immediata. 1 viene collocate all’incrocio di due elementi che sono in relaizone, altrimenti si mette uno 0.

La matrice di incidenza della relazione e’:

đ?‘€đ?‘…⊆đ??´Ă—đ??ľ

0 1 0 0 = 0 0 0 0 (01

0 0 1 0 0

0 1 0 0 00 0 0 0 0 01 000)

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici Le cose si complicano leggrmente quando e’ A ∊ đ??ľ ≠∅ ove e’ necessario utilizzare il grafo bipartito. Data la matrice di incidenza delle relazioni R e T e’ possibile ricavare le matrici di incidenza delle relazioni R∊ đ?‘‡ e R âˆŞ T.

Un esempio semplice dovrebbe poter chiarire bene la situazione. Siano dati due insiemi non vuoti A = {a, b, c, d} e B = {1, 2, 3, 4} siano quindi date le due relazioni R ={(a, 3), (c, 2)} e T ={(a, 2), (b, 1), (c, 2), (d,4) }.

Da questi dati si desume che R ∊ T ={(c, 2)} mentre R âˆŞ T = ={(a,3),(c, 2), (a,2), (b, 1), (d, 4)}

0000 0010 Pertanto la matrice di incidenza di đ?‘€đ?‘…∊đ?‘‡ = ( ). 0000 0000

Infatti l’unico uno si trova all’inccrocio tra gli elementi c e 1.

La matrice di incidenza riferita alla relazione RâˆŞT risulta essere:

đ?‘€đ?‘…âˆŞđ?‘‡

0100 1010 =( ). 1000 0001

- 33 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici đ??źđ?‘› buona sostanza una matrice di incidenza di una relazione intersezione di due assegnate relazioni gli uni sono assegnati alle posizioni (e solo ad esse) per le quali le matrici di incidenza delle due relazioni, per quella posizione corrispondente, sono entrambi uni.

Per la matrice di incidenza associata ad una relazione unione di due relazioni date gli uni sono posti nelle posizioni cui corrispondono uni nelle corrispondenti posizioni delle due matrici di incidenza riferite alle due relazioni. Nel caso della intersezione l’elemento đ?‘?đ?‘–,đ?‘— della matrice di incidenza đ?‘€đ??´âˆŠđ??ľ si ha đ?‘?đ?‘–,đ?‘— = 1 quando (e solo quando) đ?‘Žđ?‘–,đ?‘— = đ?‘?đ?‘–,đ?‘— = 1 al variare di (i, j) essendo đ?‘Žđ?‘–,đ?‘— đ?‘’ đ?‘?đ?‘–,đ?‘— gli elementi delle matrici di incidenza delel trasformazioni R e T, rispettivamente.

Va ora esaminato il prodotto di relazioni.

Sono assegnate due relazioni R e T come segue: R ⊆ đ??´1 Ă— đ??´2

T ⊆ đ??´2 Ă— đ??´3

Sulla base di queste premesse viene ad essere definita la relazione RT, comunemente detta

prodotto di funzioni. Si osservi che lo stesso insieme đ??´2 compare nei due prodotti cartesiani.

- 34 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici Questa e’ una condizione di procedibilita’ del prodotto di relazioni.

La relazione prodotto RT viene formalizzata come segue: RT = { (đ?‘Ž1 , đ?‘Ž3 ) | ∃ đ?‘Ž2 ∈ đ??´2 : (đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 ) ∈ đ?‘…, (đ?‘Ž2 , đ?‘Ž3 ) ∈ đ?‘‡} L’elemento đ?‘Ž2 ∈đ??´2 e’ detto elemento di passaggio.

E’ forse utile esemplificare con le tabelle sottoelencate.

- 35 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici

Relazione R

A

b

1

c

D

1

2 3

1

4

(le caselle vuote devono intendersi come zeri)

Si consideri quindi una assegnata T seguente

X a

Y 1

b c

1

d

- 36 -

z

t

Patrizio Gravano – Appunti Matematici Da queste due tabelle rappresentative delle matrici di incidenza delle due relazioni si evince che l’elemento c dell’insieme đ??´2 e’ l’elemento di collegamento in quanto e’ possibile avere un arco (1, x) tramite c avvero tramite gli archi (1, c) e (c, x).

Con riferimento al caso di specie detto elemento e’ unico.

Cio’ non e’ vero in generale. Per concludere si puo’ considerare la tabella e la matrice di incidenza della relazione prodotto, RT, avendosi che:

- 37 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici

X

y

z

t

1

1

0

0

0

2

0

0

0

0

3

0

0

0

0

4

0

0

0

0

L’inesistenza di elementi di passaggio conduce alla conseguenza che RT = ∅.

Solitamente per determinare la matrice di incidenza di una relazione prodotto ⌋AA.VVâŚŒ si effettua la moltiplicazione delle matrici di incidenza delle due relazioni e si eguagliano a 1 i valori non nulli diversi da 1. Questo metodo ha il pregio di indicare il numero di volte che si puo’ “andareâ€? da un nodo all’altro. Va poi osservato che in generale risulta RT ≠đ?‘‡đ?‘…, ovvero si afferma che in generale il prodotto di due relazioni non e’ commutativo. E’ possibile che in casi particolari sia RT = TR.

In questo caso si dice che le due relazioni sono permutabili.

- 38 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici A questo punto e’ possibile considerare la relazione inversa. Data una relazione R | R ⊆ đ??´1 Ă— đ??´2 per la quale ∃ (đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 ) ∈ đ??´1 Ă— đ??´2 | đ?‘Ž1 đ?‘…đ?‘Ž2 viene definita una relazione, detta inversa, e indicata come đ?‘… − tale che si possa scrivere: đ?‘… − = {(đ?‘Ž2 , đ?‘Ž1 ) | (đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 ) ∈ R } đ??źđ?‘› definitiva đ?‘… − ⊆ đ??´2 Ă— đ??´1 .

Un esempio concredo chiarira’ la situazione.

Sono dati due insiemi A e B e una relazione R tra di essi tale che: A = { a, b, c, d, e}

B = { x, y, z, t, u}

R = { (a, y), (d, z), (c, t), (e,u)}

La relazione inversa e’: đ?‘… − = { (y, a), (z, d), (t, c), (u, e)}

đ??ˇđ?‘Žta R e quindi anche đ?‘€đ?‘… allora si ha che đ?‘€đ?‘…− = đ?‘€đ?‘…đ?‘‡ .

- 39 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici In definitiva la matrice di incidenza di una relazione inversa e’ la trasposta della matrice di incidenza della matrice di incidenza della relazione.

E’ ora possibile considerare le relazioni binarie su un insieme.

Una relazione binaria su un insieme e’ del tipo: R=đ??´ Ă—A

Vengono definite la relazione vuota e la relazione identica.

La relazione vuota e’: đ?‘…∅ = { (a, b) ∈ đ??´ Ă—A | aRb } = ∅.

E’ bene considerare la relazione detta identica.

Essa puo’ essere scritta nel modo seguente:

đ?‘…đ??ź = { (a, a) ∈ đ??´ Ă—A | aRa } = ∅.

Quindi (a, b) ∉ đ?‘…đ??ź quando a ≠b.

Vanno quindi considerate le proprieta’ delle relazioni a partire dalla proprieta’ seriale.

- 40 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici Una relazione R su un insieme A e’ detta seriale se ∀đ?‘Ž1 tale che đ?‘Ž1 ∈ A ∃đ?‘Ž2 ∈ đ??´ tale che (đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 ) ∈ đ?‘…đ??´ .

E’ possibile fare un esempio di relazione seriale.

Dato un insieme A ={ a, b, c, d} e sia data la seguente relazione tra elementi di A, ovvero đ?‘…đ??´ ={(a,b), (b,c), (c,d), (d,a)} .

Essa e’ seriale perche’ ad ogni elemento di a ne corrisponde un secondo in relazione con esso.

La matrice di incidenza della relazione assegnata e’:

A

b

c

d

a

0

1

0

0

b

0

0

1

0

c

0

0

0

1

d

1

0

0

0

Come vuole la teoria ogni riga della matrice di incidenza ha un uno.

Una ulteriore proprieta’ e’ la proprieta’ riflessiva.

- 41 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici Per essa si ha che ∀đ?‘Ž | đ?‘Ž ∈ đ??´ si ha che đ?‘…đ??´ e’ riflessiva se (a, a) ∈ đ?‘…đ??´ .

Dato un insieme A ={ a, b, c, d} đ?‘…đ??´ e’ riflessiva se risulta che (a,a) (b,b), (c, c), (d, d) sono elementi di đ?‘…đ??´ .

Poiche’ una data relazione puo’ godere di piu’ proprieta’, nella matrice di incidenza ho prefeito introdurre una condizione di indeterminatezza, limitandomi all’aspetto della riflessivita’ di essa, evincibile dal fatto che la diagonale principale di essa e’ costituita da valori identicamente eguali a 1.

Con riferimento al caso concreto si ha la seguente matrice di incidenza.

A

b

c

d

a

1

-

-

-

b

-

1

-

-

c

-

-

1

-

d

-

-

-

1

Se gli elementi ��� sono identicamente eguali a 0 allora la relazione gode della sola proprieta’ riflessiva e si puo’ scrivere che:

- 42 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici đ?‘…đ??´ ={(a,a), (b,b), (c, c), (d, d)}

đ??źđ?‘› generale le relazioni binarie godono contemporaneamente di piu’ proprieta’.

đ?‘ˆđ?‘›đ?‘Ž ulteriore proprieta’ tipica delle relazioni e’ la cosiddetta proprieta’ simmetrica.

đ?‘ˆđ?‘›a relazione R gode della proprieta’ simmetrica se per ogni elemento (đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 ) della relazione anche (đ?‘Ž2 , đ?‘Ž1 ) e’ un elemento della relazione assegnata.

Formalmente sarebbe: đ?‘‘đ?‘’đ?‘“

((đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 ) ∈ R â&#x;ş (đ?‘Ž2 , đ?‘Ž1 ) ) ⇒ R e’ simmetrica.

Dato il solito insieme A={ a, b, c, d} e’ possibile costruire la matrice di incidenza della relazione đ?‘…đ??´ simmetrica quando, ad esempio e’ noto che (a, b), (b, c) e (c, d) sono elementi di đ?‘…đ??´ .

- 43 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici Detta matrice e’ la seguente:

A

B

c

d

a

-

1

-

-

b

1

-

1

-

c

-

1

-

1

d

-

-

1

-

Si dimostra agevolmente che per le relazioni che godono della proprieta’ simmetrica la matrice di incidenza e la matrice trasposta di essa sono eguali. Ovvero, per le relazioni simmetriche si ha: đ?‘€đ?‘…đ??´ =đ?‘€đ?‘…đ?‘‡đ??´ . Una ulteriore importante proprieta’ delle relazioni e’ la proprieta’ antisimmetrica.

La proprieta’ antisimmetrica e’ formalizzata come segue: ( (đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 ) ∈ đ?‘…, (đ?‘Ž2 , đ?‘Ž1 ) ∈ đ?‘… ) ⇒ đ?‘Ž1 = đ?‘Ž2

Detto altrimenti se (a, b) ∈ R allora (b, a) ∉ đ?‘….

- 44 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici Ulteriore fondamentale proprieta’ delle relazioni e’ la proprieta’ transitive per la quale si puo’ scrivere che: ( (đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 ) ∈ đ?‘…, (đ?‘Ž2 , đ?‘Ž3 ) ∈ đ?‘… ) ⇒ ( đ?‘Ž1 , đ?‘Ž3 ) ∈ đ?‘…

Con riferimento al solito semplice insieme di studio A={ a, b, c, d} e’ possibile costruire la matrice di incidenza della relazione đ?‘…đ??´ transitive quando, ad esempio e’ noto che (a, b) e (c, d) sono elementi di đ?‘…đ??´ . La transitivita’ impone che sia pure (a, d) elemento di đ?‘…đ??´ .

Si ha la seguente matrice di incidenza:

A

b

c

d

a

-

1

-

-

b

-

-

-

-

c

-

-

-

-

d

-

-

-

-

- 45 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici Se la relazione e’ transitiva dalla appartenenza di (a, b) e (b, d ) si evidenzia l’esistenza di (a,d) e dalla di esistenza di (c, b) e (b,a) si ottiene, se vige la proprieta’ transitive l’appartenenza di (c, a). E’ possibile enunciare un semplice teorema sulla serieta’ per il quale se R e T sono distinte relazioni seriali allora il prodotto di esse, ovvero la relazione RT, e’ pure seriale.

Il solito insieme A={ a, b, c, d} e’ utile. Sia infatti data una relazione R tale che R ={ (a,b), (b, c), (c, d), (d, a)} e si consideri la distinta relazione T ={ (a,c), (b, d), (c, a), (d, b)}. T e’pure simmetrica.

R

A

b

c

d

a

0

1

0

0

b

0

0

1

0

c

0

0

0

1

d

1

0

0

0

- 46 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici Per la relazione T si ha la seguente matrice di incidenza.

T

A

b

c

d

a

0

0

1

0

b

0

0

0

1

c

1

0

0

0

d

0`

1

0

0

Un metodo grafico per ottenere la matrice di incidenza di RT, ovvero ��� e’ il seguente.

a b c d

a

a

b

b

c

c

d

d

- 47 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici La matrice di incidenza si ottiene considerando che dall’elemento a si passa tramite b allelemento d, e questo ragionamento e’ estensibile ad ogni elemento. Gli elementi di colonna sono riferiti al primo insieme mentre quelli di riga son oriferiti al terzo insieme, che nel caso di specie coincidono.

La matrice di incidenza e’ la seguente:

RT

a

b

c

d

a

0

0

0

1

b

1

0

0

0

c

0

0

1

0

d

0

0

1

0

Volendo si puo’ trovare la matrice di inciedenza di TR.

Vi sono molte importanti proprieta’ delle relazioni seruali, quali la seguente:

- 48 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici Se R e’ una relazione seriale allora R âˆŞ T e’ una relazione seriale a prescindere dalla serialita’ di T.

Si ammetta che anche T sia seriale. Se T = R allora R âˆŞ đ?‘… = đ?‘… e non vi e’ nulla da dimostrare.

Ammetto che sia T ⊂ R allora R âˆŞ đ?‘‡ = đ?‘… e non vi e’ nulla da dimostrare.

Sempre nell’ipotesi sia T seriale considere il caso T ∊ R = ∅.

Sia dato il solito insieme A={ a, b, c, d} e siano date due relazioni sicuramente disgiunte (condizione garantita dal fatto che le due matrici di incidenza non hanno mai gli uni nella spessa posizione‌..).

- 49 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici a

b

c

d

a

0

1

0

0

b

0

0

1

0

c

0

0

0

1

d

1

0

0

0

đ?‘…đ??´

Relativamente ad una seconda relazione seriale e’ possibile considerare la seguente tabella, o matrice di incidenza.

A

b

c

d

a

0

0

1

0

b

0

1

0

0

c

1

0

0

0

d

0

0

1

1

đ?‘‡đ??´

- 50 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici La matrice di incidenza dell’unione đ?‘…đ??´ âˆŞ đ?‘‡đ??´ e’ tale che đ?‘?đ?‘–đ?‘— = 1 quando đ?‘Žđ?‘–đ?‘— = 1, oppure bij = 1 oppure quando entrambi i valori valgono 1.

Evidentemente se esiste una coppia ( đ?‘–0 , đ?‘—0 ) per la quale sia đ?‘Žđ?‘–0 đ?‘—0 = đ?‘?đ?‘–0 đ?‘—0 = 1 allora corrispondentemente si puo’ scrivere T ∊ R ≠∅.

La sostanza delle cose non cambia.

Vi sono evidenti nessi con la somma logica.

Va citata un importante teorema che rigaurda la proprieta’ simmetrica.

Esso e’ il seguente:

R,T sono simmetriche allora R âˆŞ đ?‘‡, đ?‘’ đ?‘… ∊ đ?‘‡ đ?‘ đ?‘œđ?‘›đ?‘œ simmetriche.

Si consideri al solito l’insieme di lavoro A={ a, b, c, d} e due disitnte relazioni simmetriche tra elementi del medesimo insieme, siano esse đ?‘…đ??´ đ?‘’ đ?‘…đ??ľ .

Gli uni delle due tabelle ben evidenziano le coppie elementi delle due relazioni.

Per la prima relazione đ?‘…đ??´ si ha la seguente tabella.

- 51 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici

Per la relazione đ?‘‡đ??´ si ammetta sia

Nel caso di đ?‘…đ??´ âˆŞ đ?‘‡đ??´ gli uni saranno collocati nelle posizioni nelle quali sono collocate gli uni delle due distinte relazioni.

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici Con riferimento alle due relazioni date risulta che đ?‘…đ??´ ∊ đ?‘‡đ??´ = ∅ in quanto nessuna coppia di una e’ anche coppia elemento dell’altra. In questo caso si ammette che đ?‘…đ??´ ∊ đ?‘‡đ??´ = ∅ e’ riflessiva in quanto la relazione priva di coppie e’ definita riflessiva.

Non determina particolari problemi il caso che risulti đ?‘…đ??´ ∊ đ?‘‡đ??´ ≠∅.

Detta ipotesi corrisponde al caso che esista almeno una coppia (x, y) che sia commune alle due relazioni.

Ma poiche’ le due relazioni sono simmetriche per ipotesi pure la coppia (y, x) e’ comune alle due relazioni quindi la relazione đ?‘…đ??´ ∊ đ?‘‡đ??´|

đ?‘…đ??´ ∊đ?‘‡đ??´â‰ ∅

e’ simmetrica.

Per la loro importanza vanno sicuramente ricordate le relazioni di equivalenza. Una relazione binaria R su un insieme A e’ detta relazione di equivalenza se essa gode delle proprieta’ riflessiva, simmetrica e transitiva.

Un esempio sui generis di relazione NON di equivalenza a partire dal solito insieme A = {a, b, c, d} potrebbe essere il seguente.

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici In essa sono evidenziati con distinti colori gli uni riconducibili alle diverse proprieta della data relazione di equivalenza in oggetto.

R

A

b

c

d

a

1

1

0

0

b

1

1

0

0

c

0

0

1

0

d

0

0

0

1

In questo caso la transitivita’ ( in quanto (a, b) e (b, a) ∈ R ⇒ (a, a) ∈ R ) e la riflessivita’ convivono.

La relazione R ={(a,a), (a,b), (b,a), (b,b), (c,c) } non e’ una relazione di equivalenza.

Infatti, basta, ad esempio, osservare che mentre (a, a) e (c , c) sono elementi della relazione, la coppia (a, c) non lo e’. Ho tratto motivo di profondo interesse dalla lettura di un testo riportato in bibliografia ⦋AA. VV⦌ e in praticolare di un evidente esempio di relazione di equivalenza, rispetto al

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici quale ho costruito la corrispondente matrice di incidenza, pur dopo aver dovuto osservare che nella definita relazione (pag. 18, figura 1.2), tra gli elementi di essa, mancava la coppia (d,d) che mi risulta essenziale per dichiarare di equivalenza detta relazione.

La relativa matrice di incidenza e’ la seguente:

A

B

c

d

e

a

1

1

0

0

0

b

1

1

0

0

0

c

0

0

1

1

0

d

0

0

1

1

0

e

0

0

0

0

1

Per avere una relazione di equivalenza su un dato insieme occorre avere un numero discreto di sottomatrici quadrate i cui elementi siano tutti uni.

Nell’esempio riportato dette sottomatrici sono riquadrate in rosso.

Dette sottomatrici sono a due a due disgiunte. Le relazioni di equivalenza sono intimamente collegate al concetto insiemistico di partizione.

- 55 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici Dato un insieme I di indici e assegnato un insieme A quale quello dell’esempio, ovvero i cui elementi siano a, b, c, d, ed e, si dice partizione di A una famiglia B ={đ??ľđ?‘– | i ∈ đ??ź} tale

che nessun đ??ľđ?‘– sia vuoto, che due elementi distinti đ??ľđ?‘– e đ??ľđ?‘— siano disgiunti per ogni coppia di indici i e j distinti. L’unione di essi definisce un ricoprimento di A. A questo punto e’ possibile definire la classe di equivalenza rispetto ad R come rappresentante di un dato elemento di A.

Essa e’ detta R classe di un dato elemento.

Per esempio quando si scrive �� ci si riferisce all’insieme i cui elementi sono tutti e solo quelli che sono in relazione con a.

Nel caso di specie si ha đ?‘…đ?‘Ž = {a, b} mentre si ha đ?‘…đ?‘? = {c, d} e đ?‘…đ?‘’ = {e}.

Sviluppando la teoria si perviene alla nozione di insieme quoziente.

Le relazioni d’ordine sono relazioni binarie su un dato insieme che godono della proptiera’ riflessiva, antisimmetrica e transitiva. Quando una relazione d’ordine e’ verificata per ogni coppia di elementi dell’insieme si utilizza la locuzione relazione d’ordine totale.

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici Due elementi a e b di A tali che (a,b) e (b,a) non appartengano alla relazione R su A si dice che non sono confrontabili rispetto alla relazione R.

Una relazione d’ordine totale non ammette elementi non confrontabili.

A mo’ di sintesi e’ utile precisare e ricapitolare alcuni concetti. Sia data una relazione R di equivalenza su un assegnato insieme A. Si definisce classe di equivalenza modulo R di un elemento a dell’insieme A, che viene indicate come ⦋a⦌ l’insieme di tutti gli a che sono equivalenti ad a.

Con metodi formali si scrive che: ⦋a⦌ ={ b | bRa}

Si disse che una delle conseguenze era costituita dalla introduzione della nozione di insieme quoziente. L’insieme quoziente di A rispetto alla relazione R su quell’insieme e’, per definizione, l’insieme i cui elementi sono tutte le classi di equivalenza di A rispetto alla relazione R, ovvero: A/R = {⦋a⦌ | a ∈ A }

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici Si perviene quindi alla nozione di elemento rappresentativo della classe (ognuna delle quali costituita da tutti e soli gli elementi di A, equivalenti ad esso.) Come fu gia’ osservato, le classi di equivalenza di A rispetto ad R costituiscono una partizione di A. Si deve ricordare ⌋Piacentini Cattaneo âŚŒ che “le classi di equivalenza o coincidono o sono disgiunteâ€? Una ultima precisazione molto concreta sulla relazione inversa đ?‘…đ??´âˆ’1 di una relazione đ?‘…đ??´ assegnata. Data đ?‘…đ??´ = { (a,b) , (b, c), (c, d) , (d, a)} la relazione inversa ovvero đ?‘…đ??´âˆ’1 risulta il seguente insieme đ?‘…đ??´âˆ’1 = { (b, a) , (c, b), (d, c) , (a, d)}. In buona sostanza per ottenere la relazione inversa di una relazione data si invertono le componenti delle coppie, e in termini formali il tutto e’ cosi’ sintetizzabile: bđ?‘…đ??´âˆ’1a â&#x;ş ađ?‘…đ??´ đ?‘? o, equivalentemente, (a , b) ∈ đ?‘…đ??´ â&#x;ş (b, a) ∈ đ?‘…đ??´âˆ’1

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici

Funzioni Il concetto di funzione e’ piu’ restrittivo di quello gia’ introdotto di relazione.

E’ bene partire dalla definizione di funzione. Dati due insiemi A e B una funzione f e’ una legge di corrispondenza che associa ad ogni elemento di A un elemento di B. Piu’ precisamente ad ogni elemento a ∈ đ??´ e’ associate uno ed uno solo b ∈ B.

I due insiemi A e B vengono chiamati rispettivamente dominio e codominio. La funzione f e’ una relazione, ovvero ∀ đ?‘Ž | đ?‘Ž ∈ đ??´ si ha che la relazione e’ costituita dalle coppie (a, f(a)). L’insieme F tale che F ⊆ A Ă— đ??ľ ovvero tale che F ={ (a, f(a)) | a ∈ A} e’ comunemente chiamato grafico della funzione f. Gli elementi b = f(a) ∈ đ??ľ sono detti imagine di a mendiante la funzione f.

Si deve sottolineare che il concetto di funzione e’ piu’ restrittivo di quello di relazione. Per avere una funzione, infatti, occorre ed e’ sufficiente che ogni elemento di A sia prima componente di una coppia della relazione e che non esistano due distinte coppie aventi la medesima prima componente e distinto b ∈ đ??ľ).

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici A questo punto sono introducibili le nozioni di immagine e di controimmagine. Dato S ⊆ A l’immagine f(S) di S mendiante f e’ per definizione l’insieme i cui elementi sono gli elementi di b che sono in relazione con un qualche s appartenente a S.

Si scrive che: Im f = { b ∈B | b = f(s) }

L’immagine inversa, detta anche controimamgine e’: đ?‘“ −1 (T) = {a ∈A | f(a) ∈ T}

đ??ˇđ?‘’đ?‘Łđ?‘œđ?‘›đ?‘œ essere ora date alcune definizioni fondamentali.

đ??żđ?‘Ž prima fondamentale definizione e’ quella di iniezione (funzione iniettiva).

đ?‘ˆđ?‘›đ?‘Ž funzione f: A → B e’ detta iniettiva (o mappa iniettiva) se comunque siano presi due elementi a e a’ dell’insieme A da f(a) = f(a’) discende (o equivalentemente implica) che a ed a’ sono eguali, ovvero sono lo stesso elemento.

đ??żđ?‘Ž definizione puo’ essere data equivalentemente dicendo che una funzione f da A a B e’ iniettiva se e solo se da a ≠a’ ⇒ f(a) ≠f(a’), ∀đ?‘Ž, đ?‘Žâ€˛ | đ?‘Ž ∈ đ??´ , đ?‘? ∈ đ??ľ. - 60 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici đ??źđ?‘™ secondo concetto rilevante e’ quello di funzione suriettiva (detta anche suriezione)

Si parla di funzione suriettiva quando ∀ đ?‘Žđ?‘– |đ?‘Žđ?‘– ∈ A si ha che ∃! đ?‘?đ?‘– = đ?‘“(đ?‘Žđ?‘– ) ∈ đ??ľ | { đ?‘?đ?‘– = đ?‘“(đ?‘Žđ?‘– )} = đ??ľ = Im f.

In buona sostanza una funzione e’ suriettiva allorquando gli elementi che sono immagine di un elemento di A sono tutti e soli quelli dell’insieme B.

Il codominio della funzione e im f coincidono, quindi sono lo stesso insieme.

Esistono funzioni che sono al contempo iniettive e suriettive. Esse sono collettivamente chiamate funzioni biiettive, o biiezioni, o, piu’ comunemente, corrispondenze biunivoche e continue. Per dette funzioni a distinti elementi đ?‘Žđ?‘– di A corrispondono distinti đ?‘?đ?‘– secondo l’assegnata funzione (o legge di corrispodnenza) e l’insieme dei đ?‘?đ?‘– coincide con l’insieme B.

E’ poi di findamentale importanza dare la definizione di funzione (o applicazione) composta.

In questo caso sono “coinvolti� tre insiemi e le funzioni sono la f e la g, secondo il seguente schema.

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici f :

A →B

g :

B →C

La corrispodente funzione composta g â‹„ f viene scritta simbolicamente come segue:

g⋄f : A → C

Si osservi preliminarmente che il codominio di f deve coincidere con il dominio di g.

La funzione composta viene, in via di definizione, formalizzata come segue: g ⋄ f (a) = g(f(a)) ∀a | a ∈ A.

L’iter logico che consente di ricavare l’espressione analitica di g ⋄ f (a) e’ la seguente:

đ?‘“

đ?‘”

a → f(a) → g(f(a))

Nel considerare la funzione composta (si parla al riguardo di composizione di funzioni) si e’ considerato il caso della funzione g ⋄ f.

Relativamente a detta situazione va rimarcato che avrebbe senso considerare il caso della funzione composta f â‹„ g che sarebbe operazione ammissibile quando fosse A = C

Va comunque ricordato che anche verificata la ammissibilita’ contemporanea delle due composizioni, in generale risulta che g ⋄ f ≠f ⋄ g.

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici In generale, quindi, la composizione di due funzioni non e’ commutativa.

E’, come caso particolare, dare significato a operazioni di composizione come la seguente:

f â‹„ f nella quale si ammette si ammette che il codominio di f coincida con il dominio della seconda f, ovvero in ultima analisi che A = B = C.

Va ora esaminato il caso della funzione inversa. Vanno quindi ricavate le condizioni per le quali data una funzione f esista (e sia unica) la funzione inversa đ?‘“ −1 .

Affinche’ si abbia una funzione, e quindi anche đ?‘“ −1 occorre che ad un elemento di un insieme ne corrisponda un altro di un altro insieme.

Evidentemente da

f :

A →B

dovrebbe essere che

đ?‘“ −1 : B → A

Ma affinche’ đ?‘“ −1 sia una funzione occorre che non risulti per un dato b ∈ B che b sia in relazione con due distinti elementi di A, per esempio đ?‘Ž1 đ?‘’ đ?‘Ž2 . - 63 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici Nel qual caso si avrebbe una relazione e non una funzione.

Ne consegue che f deve essere iniettiva.

Ma f deve essere anche suriettiva in quanto dalla coppia (a, f(a)) della relazione f deve potersi avere la coppia (f(a) , đ?‘“ −1 (f(a))) = ( f(a) , (đ?‘“ −1 f )(a)) = (f(a) , a).

L’insieme degli f(a) deve coincidere con il dominio della funzione inversa. L’insieme degli a deve coincidere con il codominio dalla funzione inversa che e’ il dominio di f.

Va evidenziato il caso di una relazione come la seguente che NON e’ una funzione.

Non si tratta di una funzione in quanto vi sono le coppie (x, r) ed (x, s) che hanno entrambe la stessa prima componente x e come seconda componente r ed s.

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici In modo abbastanza intuitivo siano dati gli insiemi A = { a, b, c} e B ={ x, y, z, t } sia data una f per la quale sia f(a) = �, f(b) = �, f(c) = �.

Graficamente si ha

Gli elementi x, y, z possono essere intesi quali elementi di un insieme B’⊂ đ??ľ.

Gli insiemi A e B’ sono in corrispondenza biunivoca.

Ho modificato alcuni esercizi solitamente proposti nella manualistica.

Una di queste modifiche mi ha indotto a considerare i seguenti insiemi.

A ={ a, b, c} e B ={ 1, 2, 3}

Si chiede di deteminare quante funzioni di A a B si possono avere.

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici Dette funzioni possono essere denotate con �� .

Si puo’ osservare che esistono tre funzioni suriettive. Una di esse e’ la �1 per la quale si ha �1 (a) = 1, �1 (b) = 2 e �1 (c) = 3.

La relativa matrice di incidenza per essa e’:

Ragionando analogamente si ottengono le altre due funzioni biiettive.

Per esse oggni colonna della matrice contiene un solo 1. Esistono poi tre funzioni che potremmo definire costanti, đ?‘“4 , đ?‘“5 e đ?‘“6 .

Per esempio di puo’ porre �4 (a) = �4 (b) = �4 (c) = 1 che in termini di matrice di incidenza si puo’ formalizzare come segue:

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici

Per esempio se si considera la matrice di incidenza seguente

(Si noti che in ogni riga compare un 1)

Una tabella di incidenza di una funzione non puo’ contenere una riga costituita ta tutti zeri.

Se cosi’ fosse allora non si potrebbe parlare di funzione in quanto esisterebbe un elemento di A che non ha immagine in B.

A volte in luogo del termine funzione si usa quello equivalente di applicazione.

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici Resta da considerare il caso della funzione identita’. Dato un insieme non vuoto A e’ possibile considerare una funzione che associa ad un elemento di A l’elemento medesimo. Cio’ per ogni elemento di A.

In termini di matrici di incidenza la funzione identita’ puo’ essere formalizzata come segue.

Gli elementi della relazione (che e’, in questo caso, anche funzione) sono (a,a), (b,b), (c,c) e (d, d). La funzione identita’ viene denotata come 1đ??´ .

Una funzione e’ una relazione seriale nella quale ad ogni elemento di A corrisponde uno ed uno solo elemento di B.

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici Affiche’ si possa parlare di funzione occorre che la legge di corrispondenza sia instaurata per tutti gli elementi di A.

In termini di matrici di incidenza, avuto riguardo al solito insieme A si osserva che la matrice di incidenza sottoindicata non e’ riferibile ad una funzione.

Basta porre l’attenzione sull’ultima riga ache evidenza che d ∈ A non e’ in relazione con alcun elemento distinto da esso di A.

Viene meno la condizione di serialita’.

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici In definitiva una matrice di incidenza contenente almeno una riga costituita da zeri non e’ riferibile ad una funzione. Un ulteriore concetto che puo’ essere inserito in questa nota introduttiva e’ la nozione di relazione nucleo di f, indicate come đ?‘˜đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘“ .

Data una funzione f tale che sia f : A→ B

la coppia (đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 ) di elementi di A appartiene a đ?‘˜đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘“ se e solo se f(đ?‘Ž1 ) = đ?‘“(đ?‘Ž2)

In termini formali possiamo scrivere che: (đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 ) ∈ đ?‘˜đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘“ â&#x;ş f(đ?‘Ž1 ) = đ?‘“(đ?‘Ž2 ) .

Ho tratto questa nozione dalla letteratura consultata ⌋ AA.VV.âŚŒ.

Essa non attiene agli aspetti elementari dell’algebra ed e’ di pertienza della logica matematica.

Si e’ introdotta nel paragrafo la nozione di corrispodenza biunivocal tra insiemi non vuoti. Due insiemi finiti sono ponibili in corrispondenza biunivoca quando hanno la stessa cardinalita’, cioe’ quando sono equipotenti.

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici La relazione di equipotenza tra insiemi e’ una relazione di equivalenza e come tale gode della proprieta’ transitiva, riflessiva e di quella simmetrica.

Si puo’ scrivere che:

|A| = |A|

|A| = |B| ⇒|B| = |A|

(|A| = |B|, |B| = |C|) ⇒|A| = |C|

Formalmente, la equipotenza tra insiemi viene anche scritta con il seguente formalismo: A ~ đ??ľ.

Un insieme non vuoto A e’ finito se e’ ponibile in corrispidenza biunivoca con l’insieme {1, 2, 3, ‌., n} per un assegnato intero n.

L’insieme vuoto ∅ ha, e’ bene ricordarlo, cardinalita’ 0.

Deve ora essere data la definizione di insieme infinito.

Un insieme e’ infinito se esso non e’ vuoto e se non ha cardinalita’ n, al variare di n in N.

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici La seguente e’ una importante proprieta’ – definizione per gli insiemi infiniti. Un insime e’ infinito se e solo se puo’ essere messo in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio. Dalla letteratura consultata ⌋ đ??´đ??´. đ?‘‰đ?‘‰âŚŒ riporto che “l’insieme N e’ infinito, infatti se indichiamo con P = {2n |n ∈ N} l’insieme dei numeri pari, allora la funzione f : N → B definite da f(n) = 2n e’ una biiezione e P e’ un sottoinsieme proprio di Nâ€?.

Tale dimostrazione sembra insoddisfacente in quanto per affermare che N e’ infinito in quando ponibile in corrispondenza con P occorre previamente avere dimostrato che P e’ infinito. Un insieme A ha potenza del numerabile se e’ vero che A ~ N, ove N e’ l’insieme dei naturali. Al naturale n corrisponde l’elemento �� .

Un insieme Y ha la potenza del continuo se e’ equipotente ad R, cioe’ all’insieme dei numeri reali. Due insiemi qualunque (a, b) e (r, s) hanno la potenza del continuo e si puo’ scrivere che (a, b) ~ (r, s) ~ R.

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici Solitamente si utilizza l’intervallo ⦌ 0, 1 ⦋ per dimostrare che esso non e’ numerabile, ovvero non e’ ponibile in corrispondneza biunivocal con N. Piu’ oltre si dimostrera’ un noto teorema, dovuto a Cantor, per il quale R ha potenza maggiore di N. Ho rielaborato con esemplificazione una parte che ho rinvenuto nella bigliografia ⦋Piacentini Cattaneo⦌ di grande importanza per gli sviluppi della materia.

Siano dati due insiemi non vuoti A e B e una funzione f : A → B ben esemplificata dai diagrammi di Eulero Venn seguenti.

a

r

b

s

c

t

d

x

e

La tabella di incidenza corrispondente e’:

f: A → B

r

s

t

x

a

1

0

0

0

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici b

0

1

0

0

c

1

0

0

0

d

0

0

1

0

e

1

0

0

0

Si porocede ora con la rappresentazione delle classi di equivalenza.

Esse definiscono una partizione di f.

(a,r) (c,r)

(d,t)

(e,r) (b, s)

( (

Si osservi che esiste un x ∈ R che non e’ in relazione con alcun elemento di A.

Sia đ?œ‘ un generico elemento di B.

Si puo’ scrivere che Im f = { đ?œ‘ ∈ B | đ?œ‘ = f(đ?›ź) | đ?›ź ∈ A }.

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici Nel caso di specie risulta Im f = { r, s, t}.

đ?œ‘ ∈ B | đ?œ‘ ∉ Im f e’ l’elemento x.

L’esemplificazione conduce alla nozione di fibra su un elemento del codominio di f. đ?‘“ −1 ( đ?‘&#x;) =⌋ a âŚŒ ={ a, c, e } â†? fibra sull’elemento r

đ?‘“ −1 ( đ?‘ ) =⌋ b âŚŒ ={ b } â†? fibra sull’elemento s đ?‘“ −1 ( đ?‘Ą) =⌋ d âŚŒ ={ d } â†? fibra sull’elemento d.

đ??żđ?‘Ž partizione di A determinata dalla relazione di equivalenza đ?œŒđ?‘“ e’ un insieme i cui elementi sono le fibre. L’insieme A/đ?œŒđ?‘“ ={⌋aâŚŒ, ⌋bâŚŒ, ⌋dâŚŒ} e’ detto insieme quoziente.

La teoria ⌋Piacentini CattaneoâŚŒ ha introdotto la nozione di proiezione canonica sul quoziente.

Data una relazione di equivalenza Ďƒ su un insieme A e quindi data A/Ďƒ si ha una corrispondenza đ?œ‹ : A → A/Ďƒ e quindi una funzione che associa ad un elemento a di A la rispettiva classe di equivalenza tale che đ?œŒđ?œ‹ = đ?œŒ.

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici Le funzioni che mandano un elemento di N in uno di R ovvero le funzioni f: N → R sono dette successioni e sono coppie del tipo (n, đ?‘Žđ?‘› ) o anche n → đ?‘Žđ?‘› . E’ definto ⌋CitriniâŚŒ l’insieme i cui elementi sono tutte le funzioni f : X → Y e viene solitamente indicato come đ?‘Œ đ?‘‹ .

Si definisce anche la cosiddetta funzione caratteristica đ?œ’đ??´ (x) che vale 1 oppure 0 a seconda che x ∈ A, oppure x ∉ A.

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici

Legge di composizione Siano dati n insiemi đ??´đ?‘–≤đ?‘› non necessariamente tutti eguali.

Sia data una legge di composizione che associa alla n-pla (đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 , ‌ . đ?‘Žđ?‘– , ‌ . đ?‘Žđ?‘› ) elemento di đ??´1 Ă— đ??´2 Ă— ‌ ‌ đ??´đ?‘– Ă— ‌ . .Ă— đ??´đ?‘› corrisponde un a ∈ A tale che a = f (đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 , ‌ . đ?‘Žđ?‘– , ‌ . đ?‘Žđ?‘› ).

L’elemento a esiste ed e’ unico.

Detto elemento e’ comunemente chiamato risultato della composizione f della n-pla (�1 , �2 , ‌ . �� , ‌ . �� ).

E’ possibile sia A =đ??´đ?‘–≤đ?‘› per ogni i.

In questo caso si parla di legge di composizione interna (o di arita’ n) su A. Quando A e’ finite si ha la rappresentazione grafica della legge di composizione che viene comunemente detta tavola di compsizione.

Per semplicita’ ci si limita al caso n = 2 e si parla di operazione binaria.

Le varie operazioni binarie vengono indicate con simboli particolari, quali *.

Esistono almeno due rappresentazioni per una data legge di composizione interna binaria. - 77 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici Esse sono sostanzialmente le seguenti: đ?‘Ž1 ∗ đ?‘Ž2 e

∗ (đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 ), da intendersi equivalenti.

đ??´ titolo puramente esemplificativo ne ho elaborata una cosi’ formalizzata.

a

b

c

d

e

a

b

a

a

a

a

b

b

b

b

b

b

c

c

c

b

c

c

d

d

d

d

b

d

e

e

e

e

e

B

∗

Essa e’ ottenuta a partire dalla seguente regola: (đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 ) = đ?‘? quando đ?‘Ž1 = đ?‘Ž2 e (đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 ) = đ?‘Ž1 quando đ?‘Ž1 ≠đ?‘Ž2 .

Va ora fatto qualche cenno alle proprieta’ delle leggi di composizione interna. đ?‘Ž1 ∗ đ?‘Ž2 = đ?‘Ž2 ∗ đ?‘Ž1 → proprieta’ commutativa

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici đ?‘Ž1 ∗ (đ?‘Ž2 ∗ đ?‘Ž3 ) = (đ?‘Ž1 ∗ đ?‘Ž2 ) ∗ đ?‘Ž3 → proprieta’ associativa

đ?‘’ ∗ đ?‘Ž = đ?‘Ž ∗ đ?‘’ = đ?‘Ž ∀đ?‘Ž ∈ đ??´ → esistenza dell’elemento neutro a sinistra e a destra

đ?‘§ ∗ đ?‘Ž = đ?‘Ž ∗ đ?‘§ = đ?‘§ ∀đ?‘Ž ∈ đ??´ → esistenza dello zero

đ?‘Ž ∗ đ?‘Ž −1 = đ?‘Žâˆ’1 ∗ a = e . đ??żâ€˛elemento đ?‘Ž −1 e’ detto elemento inverso di a.

Date due distinte leggi di composizione si dice che la legge ° e’ distributiva a sinistra se risulta: đ?‘Ž ∗ (đ?‘?°đ?‘?) = (a∗ đ?‘?)°(a∗c)

đ??żđ?‘Ž distributivita’ a destra e’ descritta come segue:

(b°đ?‘?) ∗ đ?‘Ž = (b∗ đ?‘Ž)°(đ?‘? ∗ đ?‘Ž)

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici

I numeri I numeri naturali A volte i numeri interi sono considerati un dato prematematico.

L’insieme N dei numeri naturali e’ solitamente indicato come segue: N = { 0, 1, 2, 3,‌‌ , n }.

La definizione formale di esso e’ basata sugli assiomi di Peano.

E’ dato un insieme N e si ammette che l’elemento 0 (lo zero) sia un elemento di N. Viene introdotta una relazione, che defnisce per ogni elemmento n di N un numero, unico, detto successivo di n, e solutamente indicato come (n + 1).

Tale relazione seriale si indica con la lettera Ďƒ e si puo’ scrivere che: đ?œŽ

n → n + 1.

La relazione Ďƒ e’ iniettiva.

In definitiva distinti naturali n hanno distinti successivi. L’elemento 0 non appartiene a Im Ďƒ = { 1, 2, 3, ‌‌, (n+1) }.

Se si considera un sottoinsieme A di N per il quale 0 ∈ A e ∀đ?‘˜ | đ?‘˜ ∈ đ??´ risulti Ďƒ(k) = k + 1 allora A ≥ N. - 80 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici In N e’ definita una relazione d’ordine ≤.

I numeri naturali obbediscono agli asisomi di Peano per postulato, quindi senza necessita’ di dimostrazione.

I numeri interi relativi L’equazione x + � = 0 non ha soluzioni in N.

Sorge l’esigenza di un ampliamento dell’insieme dei numeri naturali.

Si introduce quindi un insieme, Z, detto insieme degli interi relativi. Una modalita’ definitoria di questo nuovo insieme potrebbe aversi considerando il prodotto cartesiano N × N e una relazione tra coppie di esso basata sulla seguente condizione: due coppie (n, m) e (n’, m’) sono in relazione se e solo se n + �′ = � + �′.

Si tratta di una relazione di equivalenza e le coppie in relazione sono ripatibili in classi di equivalenza. Una di queste classi e’ per esempio {(0, 0), (1 , 1), (2 , 2), (3, 3)‌..}.

L’insieme Z {‌. , −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3 + ‌ . . } puo’ essere inteso come un insieme quoziente, i cui elementi sono gli elementi rappresentativi delle varie classi di equivalenza.

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici La classe precedentemente citata ovvero {(0, 0), (1 , 1), (2 , 2), (3, 3)‌..}.

conduce allo 0 di Z quando ci si riferisca alla coppia (0, 0).

Per indicare lo 0 di Z si scrive: 0đ?‘? = Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… (0,0) , ove Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… (0,0) indica la classe di equivalenza {(0, 0), (1 , 1), (2 , 2), (3, 3)‌..}. I numeri interi positivi đ?‘? + sono definibili formalmente come: đ?‘? + = { Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… (đ?‘›, 0) ∀đ?‘› ∈ đ?‘ /{0} }.

đ??żâ€˛đ?‘–đ?‘›đ?‘ đ?‘–đ?‘’đ?‘šđ?‘’ dei numeri interi negativi e’: đ?‘? − = { Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… (0, đ?‘›) ∀đ?‘› ∈ đ?‘ /{0} }.

A questo punto e’ facile comprendere che Z puo’ essere inteso come una unione insiemistica, ovvero Z = đ?‘? − âˆŞ {0} âˆŞ đ?‘? + . Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… E’ data una applicazione iniettiva che associa ad un n di N la classe (đ?‘›, 0) di đ?‘? + .

Questo consente di scrivere per definizione che: Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… (đ?‘›, 0) = n.

Si ammette, sempre per definizione che sia: Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… = n (0,0)

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… (0, đ?‘›) = − n.

Dato Z sono date due operazioni binarie interne + đ?‘’ ∗.

Un insieme e due leggi di composizione interna definiscono una struttura algebrica, che nel caso di specie si indica come (Z, + ∗).

Si avra’ modo di evidenziare che essa e’ un anello commutativo con unita’.

Le proprieta’ dei numeri interi relativi sono usualmente note.

Esse sono sostanzialente le seguenti: 1) commutativita’ dell’addizione e del prodotto, 2) associativita’ dell’addizione e del prodotto, 3) esitenza dell’elemento neutro rispetto all’addizione (lo zero) e dell’elemento neutro rispetto al prodotto (1), 4) esistenza dell’opposto, 5) distributivita’ della moltiplicazione rispetto all’addizione. E’ ben nota la nozione di valore assoluto di un a ∈ Z cioe’:

|a| = a se a ≼ 0

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici |a| = −a se a < 0.

Va considerata la nozione di divisibilita’. đ?‘?

Dati due interi a e b (con a ≤ b) si dice che a divide b se si ha đ?‘Ž = đ?‘Ľ | đ?‘Ľ ∈ đ?‘?. Se cio’ e’ vero si scrive a | b altrimenti si scrive a ∤ b.

L’insieme Z non contiene divisori dello zero.

Si dice anche che Z e’ un dominio di integrita’. Scrivere ab = 0 infatti equivale ad ammettere sia a= 0 oppure b = 0 oppure a = đ?‘? = 0.

Dati due interi relativi x ed y si dice che c e’ un divisore comune se c| x e c| y.

Affinche’ c sia un divisore comune di x ed y deve essere che |c| ≤ min (|x|, |y|)

Un elemento u di Z viene detto unita’ se divide 1.

Le unita’ di Z sono ¹ 1.

Va ricordata la nozione di massimo comune divisore tra due numeri relativi.

Un massimo comune divisore e’ un divisore comune a due numeri.

Il primo punto e’ che d vede essere tale che d| a e d|b.

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici Ma per ogni altro d’ tale che d’|a e d’|b deve risultare che d’|d. In buona sostanza ogni d’ tale che d’|a e d’|b deve comunque essere tale che d’≤ �.

Due numeri interi relativi tali che M.C.D. (a, b) = 1 si dicono coprimi.

Nelle applicazioni puo’ risultare utile ricordare che l’equazione nelle incognite x ed y ammette in Z soluzioni intere se e solo se M.C.D. (a, b) = d e’ tale che d |c.

I numeri razionali Anche i numeri razionali possono essere introdotti a partire da una esigenza pratica, ovvero risolvere una equazione del tipo ax = b, quando a ∤ b.

Anche i numeri razionali possono essere intesi come elementi di un insieme quoziente secondo la seguente definizione.

Q = { Z Ă— (đ?‘? /{0}) /đ?œŒ}.

Se (a, b) e (c, d) sono coppie ordinate di interi con b e d diversi da zero la relazione đ?œŒ e’ tale che ad = bc. đ?‘Ž

La scrittura (a, b) equivale a quella piu’ nota đ?‘? . La classe di equivalenza e’ scritta come segue:

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… (đ?‘Ž, đ?‘?).

Un esempio potrebbe essere il seguente: Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… (đ?‘Ž, đ?‘?) = { (1,2) (2, 4) (3, 6) , (k, 2k)‌‌ }

Si e’ soliti dare per via di definizione la formula della somma e del prodotto di due razionali. Si scrive Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… (đ?‘Ž, đ?‘?) + Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… (đ?‘?, đ?‘‘) = Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… (đ?‘Žđ?‘‘ + đ?‘?đ?‘?, đ?‘?đ?‘‘) e Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… (đ?‘Ž, đ?‘?) Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… (đ?‘?, đ?‘‘) = Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… (đ?‘Žđ?‘?, đ?‘?đ?‘‘)

Questo formule possono apparire astruse ma in realta’ hanno una spiegazione alquanto elementare. La classe Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… (đ?‘Ž, đ?‘?) e’ identificabile con l’elemento

đ?‘Ž đ?‘?

mentre Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… (đ?‘?, đ?‘‘) e’ corrispondente al

đ?‘?

numero . đ?‘‘

đ?‘Ž

đ?‘?

La somma đ?‘? + đ?‘‘ =

đ?‘Žđ?‘‘+đ?‘?đ?‘? đ?‘?đ?‘‘

.

Alla classe Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… (đ?‘Ž, đ?‘Ž) corrisponde il numero intero 1. Si osserva che Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… (đ?‘Ž, đ?‘Ž)= { (1,1) (2, 2) (3, 3) , (k, k)‌‌ } Alla classe Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… (0, đ?‘?) e’ associato lo zero. Le classi Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… (đ?‘Ž, đ?‘?) đ?‘’ Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… (đ?‘?, đ?‘Ž) definiscono due numeri razionali (a, b) e (b,a) che sono tali che (a, b) (b,a) = 1.

- 86 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici Detti razionali sono l’uno l’inverso dell’altro. Deve necessariamente essere a ≠0 e b ≠0.

Nel novero dei numeri razionali possono essere considerati i numeri razionali propri, ovvero i numeri (n, m) ∈ đ?‘? + Ă— đ?‘? + | m < n ≼ 2.

đ?‘? + indica gli interi assoluti.

I numeri cosi’ definiti, e posti in corrispondenza con n ∈ đ?‘ sono i seguenti:

1 2

1 3

2 3

1 4

↔1

↔2

↔3

↔4

Si puo’ procedere all’infinito.

L’insieme dei razionali propri e’ ponibile in corrispodenza biunivoca con N.

Quindi esso ha la cardinalita’ del numerabile.

- 87 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici La “costruzione� di questo insieme e’ immediata quando si parta da n = 2.

A volte si ottiene m|n e quindi si semplifica ottenedo un numero gia’ ottenuto, come capita 2

1

ad esempio con 4 che e’ 2. Ci si toglie d’impiccio ponendo la condizione m ∤ n.

I razionali impropri possono essere rappresentati da una successione a gruppi di (n − 1) elementi, ove n e’ il denominatore. đ?&#x;?

‌‌... đ?’? ,

đ?&#x;? đ?’?

,

đ?&#x;‘ đ?’?

, ‌ ‌ .,

đ?’?−đ?&#x;? đ?’?

1

, �+1 , ‌‌.. . 1

Anche un sottoinsieme proprio di quello considerato ovvero {đ?‘› | n ∈đ?‘? + } e’ ponibile in corrispondenza biunivoca con l’insieme degli interi assoluti, secondo uno schema 1

immediato � ↔ n . Questo stato di cose, relativo agli insiemi infiniti evidenzia che A ⊂ B non implica che valga una relazione < tra le cardinalita’.

La relazione “avere la cardinata’ del numerabile� e’ una relazione di equivalenza. Scritture come 1,357 e 1,358 denotano due numeri razionali rappresentabili sotto forma di frazione.

- 88 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici In particolare si ha 1,357 = 1 +

3 10

+

5 100

+

7 1000

=

1000+300+50 +7 1000

=

1357

.

1000

I numeri razionali sono sempre ponibili sotto forma di frazione e in altri termini di coppie ordinate di interi.

La somma di un intero e di un razionale proprio definisce un razionale improprio.

Congruenze Nell’insieme Z degli interi possono essere studiate le relazioni di congruenza. Dato un intero n positivo viene chiamata relazione di congruenza modulo n una relazione di equivalenza su Z definita come segue.

Due interi a e b sono congrui modulo n se e solo se e’ verificata la seguente eguaglianza: a – b = nh quando esiste un h intero (non necessariamente positivo).

Formalmente si scrive:

đ?‘Žđ?œŒđ?‘› b â&#x;ş ∃ℎ | â„Ž ∈ đ?‘? âˆś a – b = nh

Una scrittura equivalente e’ la seguente: đ?‘Žđ?œŒđ?‘› b = a ≥ đ?‘? (đ?‘šđ?‘œđ?‘‘. đ?‘›).

- 89 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici

Va data la condizione di risolubilita’ di una congruenza linaare contenente una incognita x posta nella forma:

ax ≥ đ?‘? (đ?‘šđ?‘œđ?‘‘. đ?‘›).

đ?‘?

Essa ammette soluzioni se il M.C.D. (a, n) divide b ovvero se đ?‘€.đ??ś.đ??ˇ.(đ?‘Ž,đ?‘›) e’ un intero.

Solitamente si scrive M.C.D. (a, n) = đ?‘‘ .

Se e’ stata ottenuta una soluzione x della conguenza le d soluzioni sono tutte del tipo: �

x +đ?›ź đ?‘‘ ove đ?›ź assume i valori 0, 1, 2, ‌.. (d−1). E’ possibile fare un esempio. Si consideri la congruenza 3x ≥ 5 (mod. 4)

E’ immediato partire dalla definizione. 3x ≥ 5 (mod. 4) â&#x;ş 3x − 5 = 4h

Si calcola il M.C.D. (a, n) ≥ M.C.D. (3, 4).

Detti numeri sono immediatamente coprimi quindi M.C.D. (3, 4) = 1 .

1 divide 5.

- 90 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici

L’equazione 3x + 4y = 5 ammette soluzioni in Z.

Questi aspetti pongono il problema della ricerca delle soluzioni intere di equazioni in x ed y. đ?‘š

Per esempio, il caso piu’ semplice e’ quello dell’equazione y = � x che ha soluzioni intere quando n|x. Le soluzioni intere sono quelle per le quali x e’ un multiplo di n. Quindi sono soluzioni del tipo (kn, mkn). Non rileva se |m| < |n|.

Si e’ ammesso che m ed n siano coprimi, ovvero che

đ?‘š đ?‘›

sia irriducibile.

Nel caso fosse y = kx, non si hanno soluzioni (x, y) ∈ Z Ă— đ?‘? quando k e’ irrazionale. đ?‘?

đ?‘Ž

Un caso molto praticolare e’ y =đ?‘? − đ?‘?x quando b|c e b|a allora y e’ intero quando x e’ intero, ma e’ un caso banale. Il caso piu’ geenrale e’ sicuramente quello per il quale b∤ đ?‘? e b ∤ a.

Ma e’ sempre possibile trovare un �0 tale che b|�0 ovvero tale che sia

Detto elemento sia đ?‘&#x;0 .

- 91 -

đ?‘Ľ0 đ?‘?

∈ Z.

Patrizio Gravano – Appunti Matematici đ?‘?

Allora si puo’ scrivere che y = − ađ?‘&#x;0 đ?‘?

Detta equazione non ha soluzioni (x, y) ∈ Z Ă— đ?‘? quando |c| < |b| ovvero per ogni đ?‘? đ?‘?

đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘§đ?‘–đ?‘œđ?‘›đ?‘Žđ?‘™đ?‘’ che cada nell’insieme ( − 1, +1 ).

Si potrebbe ragionare per approssimazione e ammettere sia |b |→ |c| allora sarebbe y intera e di valore y = Âą 1− ađ?‘&#x;0 .

Cio’ va inteso cum granu salis in quanto i razionali sono definiti a partire da interi. Ma tale ragionamento puo’ rientrare introducendo 0,9̅ che, come noto, si pone eguale a 1.

In questo caso e’ facile convincersi (e mi sono istituito una relazione ad hoc) che si puo’ scrivere che:

0,9Ě… = 9

10đ?‘›âˆ’1 +10đ?‘›âˆ’2 +10đ?‘›âˆ’3 +⋯‌+1 10đ?‘›

→1− per n →+∞.

In pratica al variare di n si ottiene una successione di valori quali la seguente 9 99

99

10 100 1000

‌‌

La successione e’ crescente in quanto đ?‘ đ?‘– < đ?‘ đ?‘–+1 al variare di i. 9

99

Ad esempio 10 < 100. Infatti 900 < 990.

- 92 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici

Esistono altre approsimaizoni di 1. đ?‘› đ?‘›+1

n+1 n

� approssimazione per difetto

� approssimazione per eccesso.

L’approssimazione per eccesso e’ riscrivibile come

n+1 n

1

≥ 1 + � che ha come limite

all’infinito 1+ .

Esistono infinite successioni che approssimano per eccesso e per difetto il numero 1. Le successioni che approssimano il numero 0,9Ě… sono uniche.

Se ci si limita ad un ragionamento formale e ci si limita a razionali positivi si potrebbe đ?‘?

osservare che il caso đ?‘? razionale in ( 1, +∞) e’ gestibile con l’algoritmo euclideo avendosi đ?‘?

che c = bq + đ?‘&#x; ovvero đ?‘? =

Nel caso fosse

đ?‘? đ?‘?

đ?‘?đ?‘ž+đ?‘&#x; đ?‘?

đ?‘&#x;

= q + đ?‘?. đ?‘&#x;

negativo allora sarebbe stato ottenuto – (q + đ?‘?) e le due soluzioni đ?‘&#x;

sarebbero a seconda del caso y = Âą( q + đ?‘?) − ađ?‘&#x;0 . Detti y non sono elementi di Z. In buona sostanza per gli x tali che b|x non si hanno coppie di soluzioni intere.

Devono essere trovati tra gli x tali che b∤ x.

- 93 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici

In generale dalla relazione ax + by = c ovvero da y =

đ?‘?−đ?‘Žđ?‘Ľ đ?‘?

.

Nel caso b ∤ c e b ∤ a allora deve essere b | đ?‘? − đ?‘Žđ?‘Ľ sotto la condizione x intero.

Sia x = n | y sia intero e si esso m.

Deve essere c > đ?‘Žđ?‘›. đ?‘?

Gli n ammissibili per a > 0, đ?‘? > 0 sono gli n < đ?‘Ž. Vi sono esempi alquanto banali per an + bm = c con n ed m interi.

Esempio a = b =5 e c = 10 si ha 5n + 5m = 10 â&#x;ş 5(n + m) = 10 ⇒ n + m =

10 5

= 2

đ?‘˜

In generale a = b =5 e c = k conduce a n + m = 5 intero solo se 5 | k. Ma potrebbe aversi an + bm = c tale che a, b, e c sono multipli secondo đ?‘˜1 , đ?‘˜2 , đ?‘˜3 interi.

Si ha đ?‘˜1 đ?‘Ž0 đ?‘› + đ?‘˜2 đ?‘Ž0 đ?‘š = đ?‘˜3 đ?‘Ž0

E’ possibile dividere per �0 ≠0 avendo

đ?‘˜1 đ?‘› + đ?‘˜2 đ?‘š = đ?‘˜3

đ?‘›=

đ?‘˜3 −đ?‘šđ?‘˜2 đ?‘˜1

đ?‘˜

đ?‘˜

= đ?‘˜3 − đ?‘š đ?‘˜2 1

1

- 94 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici

đ?‘š=

đ?‘˜3 −đ?‘›đ?‘˜1 đ?‘˜2

Alla fine delle mie riflessioni ho preferito impostare questa sintesi per punti. đ?‘?

ax +đ?‘?đ?‘Ś = đ?‘? â&#x;ş đ?‘Ś = đ?‘? −

đ?‘Žđ?‘Ľ đ?‘?

1. caso banale b| c b | a ⇒ y = đ?›ź + đ?›˝đ?‘Ľ ⇒ y ∈ Z ∀ đ?‘Ľ ∈ đ?‘? per chiusura sugli interi. 2. caso degenere x = 0 y = đ?›ź con đ?›ź ∈ đ?‘? đ?‘ đ?‘’ đ?‘’ đ?‘ đ?‘œđ?‘™đ?‘œ đ?‘ đ?‘’ đ?‘? | đ?‘?. 3. caso per il quale b ∤ c, b ∤ a , considerando gli x interi tali che b | x. đ?‘?

đ?‘Ľ

In questo caso si ha y = đ?‘? − đ?‘Žđ?‘›0 essendo đ?‘›0 =đ?‘? quando si considerano gli x ∈ {x| kb ∀ đ?‘˜ ∈ đ?‘?}. đ?‘?

Non esistono soluzioni intere (y, đ?‘›0 ) dell’equazione y = đ?‘? − đ?‘Žđ?‘›0 . đ?‘?

Infatti se |c| < |đ?‘?| si ha che |đ?‘? | < 1 quindi y ∉ Z. đ?‘?

Se | đ?‘? | > 1 ed e’ applicabile l’algoritmo di Euclide e pertanto l’equazione e’ riscrivibile come y = q +

đ?‘&#x;

−đ?‘Žđ?‘›0 = (q −đ?‘Žđ?‘›0 ) + đ?‘?

đ?‘&#x;

đ?‘&#x; đ?‘?

đ?‘? đ?‘?

= q+

.

E’ noto che |đ?‘? | < 1 quindi y ∉ Z, quindi l’equazione non ha soluzioni intere.

- 95 -

đ?‘&#x; đ?‘?

quindi

Patrizio Gravano – Appunti Matematici Vale sempre il solito sistema di disegualianze strette n < � +

đ?‘&#x; đ?‘

< đ?‘› + 1, quando r <

đ?‘ . đ?‘&#x;

Ovvero, quando al vincolo r < đ?‘ si aggiunga đ?‘ < 0 , n− 1 < đ?‘› +

đ?‘&#x; đ?‘

< đ?‘›.

4. Caso b ∤ c , b ∤ a x tali che b ∤ x.

Questo caso e’ studiabile a partire da y =

đ?‘?−đ?‘›đ?‘Ž đ?‘?

.

Ove n = x non e’ arbitrario in quanto vanno cercate le soluzioni intere, ove esistano.

Con n si intende un elemento di Z, insieme degli interi relativi.

Affinche’ per n assegnato esistano soluzioni y intere dovrebbe essere b| đ?‘? − đ?‘›đ?‘Ž, ovvero il numero b sarebbe un divisore di đ?‘? − đ?‘›đ?‘Ž.

Nel caso b ∤ đ?‘? − đ?‘›đ?‘Ž sarebbe

Ma il numero q +

đ?‘&#x; đ?‘?

đ?‘?−đ?‘›đ?‘Ž đ?‘?

=q+

đ?‘&#x; đ?‘?

con l’evidente condizione r < |đ?‘?|

non puo’, per x intero, essere elemento di Z.

Quindi la equazione per le condizioni poste non puo’ avere soluzioni in Z.

E’ quindi rilevante se per a, b, c dati esistano interi n per i quali b | đ?‘? − đ?‘›đ?‘Ž .

E’ convincente ritenere che risulti b | đ?‘? − đ?‘›đ?‘Ž quando b | đ?‘? đ?‘’ đ?‘? | đ?‘›đ?‘Ž.

- 96 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici Infatti in questo caso e’ garantita la chiusura sugli interi. đ?‘?−đ?‘›đ?‘Ž đ?‘?

đ?‘?

=đ?‘? −

đ?‘›đ?‘Ž đ?‘?

La somma algebrica di due interi e’ un intero.

Occorre verificare se al di fuori di queste ipotesi e’ conservata la chiusura sugli interi. đ?‘?

Se đ?‘? đ?‘’

đ?‘›đ?‘Ž đ?‘?

sono due razionali impropri applicando l’algoritmo di Euclide si ha assenza

di soluzioni intere al variare di n in quando si scrive: đ?‘?−đ?‘›đ?‘Ž đ?‘?

= đ?‘ž1 +

đ?‘&#x;1 đ?‘?

− đ?‘ž2 −

đ?‘&#x;2 đ?‘?

= (đ?‘ž1 − đ?‘ž2 ) +(

La chiusura non e’ data perche’ per b dato

đ?‘&#x;1

đ?‘&#x;1 đ?‘?

đ?‘&#x;

− đ?‘?2 )

đ?‘?

đ?‘&#x;

− đ?‘?2 =

đ?‘&#x;1 −đ?‘&#x;2 đ?‘?

quindi non puo’ essere che b

divida c −đ?‘›đ?‘Ž.

Infatti

đ?‘&#x;1 đ?‘?

đ?‘&#x;

− đ?‘?2 <

đ?‘&#x;1 đ?‘?

e quindi non puo’ essere un intero.

Infatti in relazione all’algoritmo di Euclide si ha đ?‘Ž đ?‘?

đ?‘&#x;

=đ?‘ž +đ?‘?

Se a o b sono negativi allora il formalismo euclideo puo’ essere riscritto come

(−1)

đ?‘Ž đ?‘?

đ?‘&#x;

đ?‘Ž

đ?‘&#x;

đ?‘Ž

đ?‘&#x;

= (−1)(đ?‘ž + đ?‘?) â&#x;ş − đ?‘? = (−1)(đ?‘ž + đ?‘?) â&#x;ş − đ?‘? = −(đ?‘ž + đ?‘?).

- 97 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici Questo garantisce r intero positivo anche per b < 0 e intero.

Cio’ garantisce che đ?‘&#x;2 ∈đ?‘? + .

Nel caso c − đ?‘›đ?‘Ž < b non vi e’nulla da dimostrare in quanto y sarebbe elemento razionale di (−1, +1).

Occorre quindi discutere tale condizione.

Tale condizione si ha con le seguenti riflessioni, nelle quali e’ essenziale il segno di a.

c − đ?‘›đ?‘Ž < b â&#x;ş c − đ?‘? < đ?‘›đ?‘Ž â&#x;ş đ?‘›đ?‘Ž > c – đ?‘?

Se a > 0 vale la seguente implicazione:

đ?‘›đ?‘Ž > c – đ?‘? ⇒ n >

đ?‘?−đ?‘? đ?‘Ž

.

Se a < 0 si ha la seguente implicazione immediata:

đ?‘›đ?‘Ž > c – đ?‘? ⇒ n <

đ?‘?−đ?‘? đ?‘Ž

.

I numeri complessi I numeri complessi possono essere considerati come coppie ordinate di numeri reali, cioe’ si tratta di elementi di R × R.

- 98 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici Le operazioni di somma e di prodotto di due numeri complessi si possono cosi’ sintetizzare: (a , b) + (c , d) = (a + c , b + �)

(a , b) (c , d) = (a đ?‘? − đ?‘?đ?‘‘ , ad + đ?‘?đ?‘?)

Esse hanno una banale interpretazione algebrica.

Ad esempio, il prodotto e’ ottenibile come segue:

(a , b) = a + ib

(c , d) = c + id

La moltiplicazione diviene (a + ib)( c + id) = ac + adi + bci + đ?‘– 2 db = ac + adi + bci −db = (ac – db) + i(ad + bc ) = (ac – db , ad + bc ).

Le coppia ordinate (a, 0) con a reale si confonde con il numero reale a.

Si puo’ scrivere che (a, 0) ≥ a | a ∈ R.

I numeri (0, b) sono detti numeri immaginari e sono del tipo ib.

Per b = 1 si ha la coppia (0, 1) ≥ i = √−1.

- 99 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici Sviluppando quanto riportato nella letteratura ⌋Piacentini CattaneoâŚŒ si puo’ rilevare che l’identificazione tra la coppia (a, 0) e il numero reale a e’ ammissibile in quanto esiste una f da R a C tale che a → (a, 0).

Piu’ precisamente deve rilevarsi che detta f e’ iniettiva.

A distinti a corrispondono distinte coppie (a, 0). a’ → (a’, 0) ≠(a’’, 0) � a’’ ≠a’.

La f e’ tale che f(a + a’) = f(a) + f(a’).

Infatti si puo’ dire che: �

a + �′ → (a+�′ , 0 ) = (a, 0) + (a’, 0) = f(a) + f(a’)

Deve quindi dimostrarsi che f(aa’) = f(a)f(a’).

đ?‘“

aa’→ (a�′ , 0 ), infatti f(aa’) =(a�′ , 0 ).

Si ha anche che f(a)f(a’) = (a, 0)(a’, 0).

Applicando le regole algebriche della moltiplicazione dei numeri complessi si puo’ scrivere che: (a, 0)(a’, 0) = (a +�0) (a’ +�0) = aa’ + 0 + 0 + 0 = aa’ ≥ (aa’ ,0) .

- 100 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici La coppia (0, 0) e’ un elemento di R ed e’ l’elemento neutro della somma in C. (0 ,0) ≥ 0�

La coppia (1, 0) e’ l’elemento neutro della moltiplicazione in C. Infatti, (a, b)(1, 0) â&#x;ş (a +đ?‘–đ?‘?) (1 + 0đ?‘–) = (a +đ?‘–đ?‘?)1 = a +đ?‘–đ?‘?.

1

Ogni (a, b) ha un inverso che si indica come (đ?‘Ž,đ?‘?).

1

đ?‘Ž

đ?‘?

Si dimostra che (đ?‘Ž,đ?‘?) = ( đ?‘Ž2 +đ?‘?2 , − đ?‘Ž2 +đ?‘?2) .

1

1

đ?‘Ž −đ?‘–đ?‘?

đ?‘Žâˆ’đ?‘–đ?‘?

đ?‘Ž

đ?‘?

Infatti, đ?‘Ž +đ?‘–đ?‘? = đ?‘Ž +đ?‘–đ?‘? đ?‘Ž −đ?‘–đ?‘? = đ?‘Ž2 +đ?‘?2 = đ?‘Ž2 +đ?‘?2 − đ?‘Ž2 +đ?‘?2.

La quantita’ √đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 indica il modulo del numero compesso (a, b)

I numeri (a, b) e (a , −đ?‘?) sono detti complessi coniugati.

- 101 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici

Questa figura sintetizza efficacemente lo stato dell’arte sui numeri complessi.

Si possono ricordare le seguenti relazioni

z = (a , b) = a + ib = ρcosφ + iρsinφ = ρ(cosφ + isinφ)= ρ(eiφ ) , ove ρ = √ a2 + b 2 . Vanno considerate le potenze, ovvero le scritture z n , e le radici di numeri complessi, ovvero n

√z . In questi casi sovvengono noti teoremi.

z n = ρn (cos(nφ) + isin(nφ)) = ρn (ei(nφ) )

Trattasi di un caso particolare della moltiplicazione. Si dimostra (usando la formula di addizione del seno) che z1 *z2 = ρ1 ρ2 (cos(φ + τ) + isin(φ+τ)= ρ1 ρ2 ei(φ+τ) ) .

- 102 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici Tale formula è generalizzabile (usando la proprietà associativa) a k zi . Quando poi ρi = costante e φ = τ = ⋯ …. si ottiene la relazione che definisce z n .

E’ molto algebrico e impositivo (tenendo conto della periodicità della funzione seno) della n

il criterio di ricerca della radice di ordine n di un numero complesso z, ovvero √z .

φ

n

√z = √ρ (cos( n +

2kπ n

φ

) + i sin( n +

2kπ n

)

Delle k determinazioni solo n sono distinte e sono dette radici n-esime di z. Per z = 1, ovvero z = 1 +i0 si ha φ = 0 (in quanto il punto (1,0) nel piano di Argandn

0

Wessel-Gauss coincide con l’asse delle x reali) si ha √1 = √1 (cos(n + ) = (cos(

2kπ n

) + i sin(

2kπ n

2kπ n

0

) + i sin(n +

2kπ n

).

Dal punti di vista algebrico i numeri complessi sono in ampliamento del campo reale, essendo R ⊂ C.

Qualche semplice esercizio in C. Ho tratto da “Katzan, Intermediate Calculus and Linear Algebra, Harvard University Lecture Notes, 1965”, i seguenti esercizi sui numeri complessi.

- 103 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici Esprimere nella forma a + ib i seguenti numeri complessi (1 − i)2

In questo caso è sufficiente sviluppare usando la formula del binomio di Newton. (1 − i)2 = 12 - 2(1)(i) + i2 = 1 – 2i – 1 = -2i = (0 , - 2)

(2 + i)(3 – i) E’ sufficiente sviluppare i calcoli (2 + i)(3 – i) = 2*3 + (2)(-i) + 3i –(i)(i) = 6 – 2i + 3i + 1 = 7 + i = ( 7, 1)

1 i

Dato

1 i

1

i

i

i

è possibile moltiplicare e dividere per i avendo i *i = i2 = −1 = - i = (0, -1)

1+i 2−i

Anche in questo caso è possibile “razionalizzare” avendosi 2+i+2i+ i2 4− i2

2+3i−1

= 4−(−1) =

2+3i 5

2

3

= 5 + 5 i = ( 2/5, 3/5).

- 104 -

1+i 2−i

1+i

= 2−i *

2+i 2+i

(1+i)(2+i)

= (2−i)(2+i) =

Patrizio Gravano – Appunti Matematici

1+i 1+2i

E’ possibile moltiplicare e dividere tale numero per la quantità 1 – 2i. avendo

1+i

= 1+2i

1+i

1−2i

(1+i)(1−2i)

* = (1+2i)(1− 2i) = 1+2i 1−2i

1−2i+i−2i2 1−4(i2 )

=

1−i +2 5

=

3−i 5

3

1

= 5 - 5i = (3/5, -1/5)

i3 + i4 + i271

Anche in questo caso la soluzione è semplice. Basta scomporre gli esponenti. i3 + i4 + i271

Ma i271 = ii3 i5 i9 i3 = i4 i4 i4 i4 i2 i3 = 1*1*1*1(-1)(-1)i = i quindi si ha che i3 + i4 + i271 = -i + 1 + i = 1

Esprimere in forma trigonometrica i seguenti numeri

La formula trigonometrica dei numeri complessi è z = (a , b) = a + ib = ρcosφ + iρsinφ = ρ(cosφ + isinφ) , ove ρ = √ a2 + b 2

1)

π

π

i = ( 0, 1) = 1(cos(2 ) +i sin(2 ))

- 105 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici π

π

2

2

2)

2i = (0 , 2) = √2( cos( ) +i sin( ))

3)

- 2i = (0, - 2) = √2( cos( 2 ) +i sin( 2 ))

3π

3π

π

3π

In questi casi ricordare che cos(2 ) = 0 e cos( 2 ) = 0. 4)

4 = (4, 0) = 2(cos0 + i sin0)

sin0 = 0

5)

- 1 = ( -1, 0) = 1(cosπ + isinπ) = 1(-1) + i0 = - 1 c.v.d.

6)

(1 − i)3 = 1 – 3(1)i2 + 3(1)i - i3 = 1 + 3 + 3i + i = 4 + 4i π

Poiché Re(z) = Imm(z) > 0 allora φ = 4 e ρ = √ 42 + 42 = √32 = 4√2 π

π

1

1 i

Pertanto 4 + 4i = 4√2(cos4 + i sin4 )

7)

1 (1+i)2

1

i

1

= 1+2i+ i2 = 1+2i−1 = 2i i = −2 = -2i

1

1

3π

3π

3π

Messo in questa forma si ha che z = -2i = √4( cos( 2 ) + i sin( 2 )) = ½ isin( 2 )

8)

½ (√3 + i)

1

In questo caso si ha ρ = √( 2)2 + (

√3 2 ) 2

1

=√4 +

- 106 -

3 4

4

= √4 = 1

Patrizio Gravano – Appunti Matematici √3

Pertanto z = 1(cos (arccos( 2 )) + i sin(arcsin (1/2))

9)

Calcolare le tre radici cubiche di i , - i e di 1 + i φ

n

2kπ

Si ha √z = n√ρ (cos( n +

n

φ

) + i sin( n +

2kπ n

)

Pertanto le radici cubiche sono formalizzabili come n = 3. φ

3

3 √z = √ρ (cos( 3 +

a)

2kπ 3

φ

) + i sin( 3 +

2kπ 3

)

3

Per z = i si ha ρ = 1 quindi n√ρ = 1 e √z = 3√ρ (cos(0 + 2kπ

1(cos(

3

2kπ

) + isin(

3

2kπ 3

) + i sin(0 +

2kπ 3

) =

)). Esse si determinano praticamente ponendo in essa k = 0, quindi k

= 1 e infine k = 2.

Analogamente nel caso z = -i

Esamino ora il caso z = 1 + i φ

3

Si a √z = 3√ρ (cos( 3 +

2kπ 3

φ

) + i sin( 3 +

2kπ 3

)

π

= √2 = 21/2 Poiche Re(z) = Imm(z) = 1 ⟾ φ = 4 (a meno del periodo).

ρ = √12 + 12

3

2

π

Pertanto si ha √z = (ρ)3 (cos(12 +

2kπ 3

π

) + i sin(12 +

- 107 -

2kπ 3

).

Patrizio Gravano – Appunti Matematici Per ottenere le tre radici terze basta porre nella precedente k = 0, 1, 2. Per k = 1 si ha la 2

π

seconda di esse che è (ρ)3 (cos(12 +

2π 3

π

) + i sin(12 +

2π 3

)

Calcolare le sei radici seste di z 6 = 1

10)

6

Si ha che z = √1 Si ha che il numero 1 è anche (1,0) in C. Basta ricordare la sua collocazione geometrica nel piano complesso. Per esso si ha che ρ = 1 e φ = 0 (a meno del periodo). φ

n

Dalla formula generale si ha √z = n√ρ (cos( n + 6

0

6

diviene √1 = √1 (cos(6 + sin(

2kπ 6

kπ

2kπ

) = (cos( 3 ) + i sin(

6 kπ 3

0

) + i sin(6 +

2kπ 6

2kπ n

φ

) + i sin( n +

)= 1 (cos(

2kπ 6

2kπ n

) + i sin(

). Per n = 3 essa

2kπ 6

)) = cos(

2kπ 6

)+i

). Esse (sono sei) si ottengono concretamente ponendo nella

relazione trovata k = 0,1, …..5.

3.3 Proprietà dei numeri complessi Dato un numero complesso z = a + ib, – come è noto – il coniugato di esso, denotato con z’ è definito come z’ = a – ib. Per essi quindi si ha Re(z) = Re(z’) e Im(z’) = - Im(z). Già si è ricordato che per definizione si ha: │z│= √ (Re(z))2 + (Im(z))2 .

- 108 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici Siano x e y due numeri complessi qualunque. Si può dimostrare che valgono le seguenti relazioni. L’autore le indica senza dimostrazione. Fornisco le semplici dimostrazioni.

1)

(x±y)’ = x’ ± y’

E’ possibile ragionare considerando il caso (x +y)’ = x’ + y’ e ragionare sul primo membro. E’ possibile intenderlo come la composizione di due operazioni somma e coniugazione. Si ha che (x+ y) = ((Re(x) + iIm(x)) + (Re(y) + iIm(y)) =Re(x) + iIm(x) + Re(y) + iIm(y) = Re(x) + Re(y) iIm(x) + iIm(y) = (Re(x) + Re(y)) + i (Im(x) + Im(y)). Ma (x +y)’ = (Re(x) + Re(y)) - i (Im(x) + Im(y)). Opero ora sul secondo membro. Da x = Re(x) + iIm(x) e y = Re(y) + iIm(y) posso ottenere immediatamente x’ = Re(x) - iIm(x) e y’ = Re(y) iIm(y). Da ciò si ottiene che x’ + y’ = Re(x) - iIm(x) + Re(y) - iIm(b) = Re(x) + Re(y) – i((Im(x)+Im(y)) = (Re(x) + Re(y)) – i((Im(x)+Im(y)) = x’ + y’.

In modo analogo si dimostra che (x - y)’ = x’ - y’.

2)

(xy)’ = x’y’

Considero il primo membro xy = (Re(x) + iIm(x))(Re(y) + iIm(y))= Re(x)Re(y) + iRe(x)Im(y) + iIm(x)Re(y) + i2 (Im(x)Im(y)) = (Re(x)Re(y) - Im(x)Im(y)) + i(Re(x)Im(y) + Im(x)Re(y)) ⟾ (xy)’ = (Re(x)Re(y) - Im(x)Im(y)) - i(Re(x)Im(y) + Im(x)Re(y)). Considero ora il secondo membro avendo x’y’ = (Re(x)-iIm(x))(Re(y)-iIm(y)) = Re(x)Re(y)

- 109 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici - Re(x)iIm(y)- iIm(x)Re(y) + i2 Im(x)Im(y) = Re(x)Re(y) - Re(x)iIm(y)- iIm(x)Re(y) Im(x)Im(y) = (Re(x)Re(y) + Im(x)Im(y)) – i(Im(x)Re(y) - Im(x)Im(y)).

E’ quindi dimostrato che (xy)’ = x’y’.

3)

(x/y)’ = x’/y’

Per questa dimostrazione ho deciso di manipolare i due membri, con la consueta razionalizzazione. Opero simultaneamente sui due membri ed ho: x

x′

x y′ ′ ) y′

= y′ y ⟾ (xy’)’ = x’y

(y)′ = y′

(y

x′ y

Incidentalmente osservo che y’y = yy’ ∈ R. posto y’ = a essa diviene (xa)’ = x’a modo alternativo di definire la precedente (xy)’ = x’y’ solo che si ponga y’ = a ⟺ y = a’.

4)

(x’)’ = x

Questa è una nota proprietà immediata in quanto dato x viene definito due volte il coniugato. Da x = a + ib si ha che x’ = a – ib. A questo punto si determina il coniugato di x’ esso è (x’)’ = (a – ib)’ = a + ib. Con ciò la tesi.

- 110 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici 5)

x ∈ R ⟺ x = x’

Pure essa è immediata, Infatti x = a + ib e x’ = a - ib, ∀x∈C. b = 0 ⟾ x = x’ = a. Essa rigorosamente va studiata nei due sensi. x ∈ R ⟾ x = x’. In questo caso si ha (a, 0) per la quale x = a+i0 e x’ = a – i0. Nel senso opposto x = x’ ⟾ x ∈ R. Dall’ipotesi x = x’ discende che a+ib = a –ib. Detta relazione ha significato solo per b = 0. In questo caso si definisce la coppia (a,0) cui corrisponde un elemento x ∈ R │ x = a.

6)

x è “puramente immaginario” (“purely imaginary) se e solo se (⟺) x = - x’

Anche in questo caso si è in presenza di una condizione necessaria e sufficiente. Quindi vanno considerati i due casi (scambiando l’ipotesi con la tesi).

Un numero x è detto puramente immaginario se è del tipo x = 0 + ib, con b≠0. In termini di coppie si ha x = (0, b). Occorre dimostrare che x = (0, b) ⟾ x = - x’. Se x è dato si evince che x = ib e che – x’ = - (-ib) = ib. Quindi la tesi. Nella seconda parte, ovvero x = - x’ ⟾ x = (0, b) basta declinare il numero nella tesi avendo (0, b) = - (0, -b) ⟾ 0 + ib = - (0 – ib) ⟾ ib = - (-ib) ⟾ ib = ib, quindi la tesi.

- 111 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici 7)

Re(x) = ½ (x + x’)

Un numero complesso è sempre esprimibile nella forma x = Re(x) + iIm(x). ½ (x + x’) = ½ (Re(x) + iIm(b) + Re(x) – iIm(x)) = ½ (2Re(x)) = Re(x), quindi è dimostrata la relazione assegnata.

8)

1

Im(x) = 2i (x – x’)

Essa è immediata se si lavora sul secondo membro. Infatti 1 2i

1

1

(x – x’) = 2i(a+ib – a +ib) = 2i

2i

(2ib) = b2i = b. Ma b = Im(x). Quindi si è dimostrata l’identità.

L’autore ricorda poi che valgono anche le seguenti identità:

1)

│x│= √(x)(x ′ )

Anche in questo caso ho deciso di fare una breve dimo. Lavoro sul secondo membro, sviluppandolo. √(x)(x ′ ) = √xx′ = √(a + ib)(a − ib) = √ a2 − iab + iab − (ib)2 =√ a2 + b 2

Ma quella trovata è, come noto, anche l’espressione di │x│.

- 112 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici

2)

│x│= 0 ⟺ x = 0

In questo caso si è in presenza di una complicazione. Quindi bisogna considerare il caso │x│= 0 ⟾ x = 0. Esso è immediato in quanto │x│ = 0 ⟾ √ a2 + b 2 = 0 ovvero a e b tali che a = b = 0. Quindi si ha il numero x = (0, 0). Ora va considerata la seconda parte del teorema quella per la quale se x = (0, 0) allora │x│ = 0. Ciò e immediato in quanto x = (0 , 0) = 0 + i0. Ma │(0,0)│ = √ 02 + 02 = 0, indi la tesi.

3)

- │x│⩽ Re(x) ⩽ │x│

Anche questa è data senza dimostrazione. In ogni caso l’Autore (Gleason, op. cit.) ricorda che “the first equality holds if and only if x ⩽ 0, the second, if and only if, x ⩾0”.

Considero il caso x = (0,0). Per esso - │x│⩽ Re(x) ⩽ │x│⟾ - │(0,0)│ Re((0,0)) ⩽ │(0,0)│⟾ - 0 = 0 = 0. Ciò conduce a esito non contraddittorio, quindi l’ipotesi è vera.

Considero il caso x = (a, b) ≠ (0, 0). Per esso si ha - │x│⩽ Re(x) ⩽ │x│⟾ - √ a2 + b 2 < a < √ a2 + b 2 ovvero a < │√ a2 + b 2 │

Ma ove si ponga b = 0 si ha a = │a│ ⟾ a > 0.

- 113 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici Nel caso sia (a, b) = (0, b) con b ≠ 0 allora sarebbe - │x│⩽ Re(x) ⩽ │x│⟾ - √ b 2 < 0 < √ b2

4)

⟾ - │b│ < 0 < │b│

│Re(x)│⩽ │x│

Sia dato un numero complesso x = a +ib. Re(x) = a ⟾ │Re(x)│ = │a│. E’ ampiamente noto che │x│ = √ a2 + b 2 ⩾0 per ∀ (a,b) : a e b reali. Se a > 0 posso dire che │a│ = a, quindi ho

a ⩽ √ a2 + b 2 . Essa è vera ∀b ≠ 0. Per b = 0 si ha a = │a│ vera per a > 0. Quando a < 0 si ha che │a│ = - a > 0. Ponendo - a = u poichè u2 = (−a)2 si ha che u ⩽ √ u2 + b 2 vera quando b ≠ 0.

5)

│Im(x)│⩽ │x│

Dato il numero complesso x = a +ib si ha che Im(x) = b e │Im(x)│= │b│. Ma │x│ = √ a2 + b 2 . Si ha 0 < │b│ ⩽ √ a2 + b 2 per (a, b) ≠(0, 0). Per (a, b) = (0, b) ∀ b R - ⦃0⦄ si ha 0 < │b│ = √ b 2 . Il caso x = (0, 0) è degenere.

- 114 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici 6)

│xy│= │x││y│

Siano (a,b) e (c, d) i due numeri complessi tali che (a,b) ≠ (c, d) ≠ (0, 0).

Lavorando sul primo membro si ha │xy│ = │(a + ib)(c + id)│ = │ac + iad + ibc + i2 bd│= │(ac – bd) + i(ad + bc)│= √ (ac − bd)2 + (ad + bc)2 . Relativamente al secondo membro si ha │x│= √a2 + b 2

e │y│= √c 2 + d2 da cui │x││y│ =

(√a2 + b 2 ) ( √c 2 + d2 ) = √( a2 + b 2 )( c 2 + d2 )

Ammetto per ipotesi sia √ (ac − bd)2 + (ad + bc)2 = √( a2 + b 2 )( c 2 + d2 ) ovvero (ac − bd)2 + (ad + bc)2 = ( a2 + b2 )( c 2 + d2 )

(ac)2 - 2(acbd) + (bd)2 + (ad)2 + 2adbc + (bc)2 = (ac)2 + (bd)2 + (ad)2 + (bc)2 (ac)2 + (bd)2 + (ad)2 + (bc)2 = (ac)2 + (bd)2 + (ad)2 + (bc)2

Quindi

│xy│= │x││y│ nel caso generale.

Andrebbero considerati i sottocasi x = y ovvero a + ib = c + id, il caso sia almeno uno dei due x (o y) eguale a (0, 0). Ma essi sono comunque elementari. Per b = d = 0 si cade nel

- 115 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici caso dei numeri reali. Riflessioni analoghe possono essere fatte quando x ed y sono puramente immaginari.

7)

│x + y│2 = │x│2 + │y│2 +2Re(x(y’))

Sia x = (a,b) e sia y = (c, d).

In relazione al I membro si ha: │x + y│2 =

│(a + ib) + (c + id) │2 = │(a + c) + i(b + d) │2 = │√ (a + c)2 + (b + d)2 │2 = √ (a + c)2 + (b + d)2 )2 = (a + c)2 + (b + d)2

Considero ora il II membro. Si ha │x│2 + │y│2 +2Re(x(y’)) = (│a + ib│)2 + (│c + id│)2 + 2Re((a+ib)(c-id)) = │√ (a)2 + (b)2 │2 + │√ (c)2 + (d)2 │2 + 2 Re(ac − iad + ibc + bd)= (a)2 + (b)2 + (c)2 + (d)2 + 2(ac + bd)

Riprendendo quanto definito al I membro e sviluppando i quadrati si ha (a + c)2 + (b + d)2 = (a)2 + (c)2 + 2ac + (b)2 + (d)2 + 2 bd = (a)2 + (b)2 + (c)2 + (d)2 + 2(ac + bd)

Con ciò si è dimostrata la eguaglianza.

8)

│x + y│ ⩽ │x│ + │y│

- 116 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici Se x = (a,b) e y = (c, d) si ha:

│(a+ ib) + (c+id)│ = │(a + c) + i(b + d)│ = √(a + c)2 + (b + d)2

│x│ + │y│= │a + ib│+ │c + id│ = √a2 + b 2 + √c 2 + d2

Se si prova che √(a + c)2 + (b + d)2 ⩽ √a2 + b 2 + √c 2 + d2 si è provato che │x + y│ ⩽ │x│ + │y│

Consideriamo √(a + c)2 + (b + d)2 ⩽ √a2 + b 2 + √c 2 + d2 e quadriamo avendo:

(a + c)2 + (b + d)2 ⩽ (√a2 + b 2 + √c 2 + d2 )2

(a + c)2 + (b + d)2 ⩽ (a2 + b2 ) + (c 2 + d2 ) + 2(√a2 + b 2 )( √c 2 + d2 )

a2 +2ac + c 2 + b2 + 2bd + d2 ⩽ a2 + b2 + c 2 + d2 + 2√(ac)2 + (ad)2 + (bc)2 + (bd)2

0⩽ 2√(ac)2 + (ad)2 + (bc)2 + (bd)2

Essa è sicuramente vera in quanto (ac)2 + (ad)2 + (bc)2 + (bd)2 ⩾ 0 comunque si scelgano quattro numeri reali: se a 0 b = c = d allora vale 0 = 2*0 = 0

- 117 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici 9)

││x│ − │y││ ⩽ │x − y│

Sia x = (a, b) e y = (c,d) si ha

││x│ − │y││ =│ √a2 + b 2 - √c 2 + d2 │

│x − y│= √(a − c)2 + (b − d)2

In termini formali (√a2 + b 2 + √c 2 + d2 ⩽ √(a − c)2 + (b − d)2 ) ⟾ │x│ + │y││ ⩽ │x − y│

│√a2 + b 2 - √c 2 + d2 │ ⩽ √(a − c)2 + (b − d)2 .

Quadrando ambo i membri si ha

(│√a2 + b 2 │)2 + (│√c 2 + d2 │)2 - 2 (│√a2 + b 2 │)(│√c 2 + d2 │) ⩽ (a − c)2 + (b − d)2

(√a2 + b 2 )2 + (√c 2 + d2 )2 - 2 (√a2 + b 2 )(√c 2 + d2 ) ⩽ a2 - 2ac + c 2 + b2 + d2 - 2db

a2 + b2 + c 2 + d2 - 2√(ac)2 + (ad)2 + (bc)2 + (bd)2 ⩽ a2 - 2ac + c 2 + b2 + d2 2db

√(ac)2 + (ad)2 + (bc)2 + (bd)2 ⩽ -ac – bd

- 118 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici Infine due semplici esercizi.

1)

Dimostrare che │w + z│2 + │w − z│2 = 2(│w│2 + │ z│2 )

Si ha │w + z│2

=

│(a + ib) + (c + id)│2

=

│(a + c) + i(b + d)│2

=

(√ (a + c)2 + (b + d)2 )2 ) = (a + c)2 + (b + d)2 ed anche │w − z│2 = │(a + ib) − (c + id)│2 = │(a − c) + i(b − d)│2 = ( √ (a − c)2 + (b − d)2 )2 ) =

(a − c)2 +

(b − d)2

Pertanto il I membro diviene (a + c)2 + (b + d)2 + (a − c)2 + (b − d)2

E’ utile considerare il secondo membro. Si ha: 2(│w│2 + │ z│2 ) = 2( │a + ib│2 + │c + id│2 ) = 2(a2 + b2 + c 2 +d2 ) .

Giova osservare che per la presenza dei segni meno si ha (a + c)2 + (b + d)2 + (a − c)2 + (b − d)2 = 2(a2 + b2 + c 2 +d2 ).

A tale risultato si perviene comunque dalla nota relazione notevole (α + β)2 = α2 + 2αβ + β2 .

2)

Siano x, y, e z tre complessi tali che x ≠ (0, 0). Dimostrare che │x + y + z│=

│x│ + │y │+ │z│ ⟾ ∃ r, s ∈ R+ ∶ y = rx e z = sx. - 119 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici Dal simbolo â&#x;ž si evince che │x + y + z│= │x│ + │y │+ │z│ è vera (per ipotesi). Si ha che │x + y + z│ = │x│ + │y │ + │z│ â&#x;ž │(a + ib) + (c + id) + (e + if)│ = │a + ib│ + │c + id │ + │e + if│ â&#x;ž │(a+c+e) + i(b+d+f)│= │ a + ib│ + │c + id │ + │e + if│

â&#x;ž

√( c 2 + (d)2

√( a + c + e)2 + (b + d + f)2 +

√( e)2 + (f)2

â&#x;ž

=

√( a)2 + (b)2

√( a + c + e)2 + (b + d + f)2

+ -

√( a)2 + (b)2 = √( c 2 + (d)2 +√( e)2 + (f)2 .

A questo punto il problema diventa puramente algebrico.

Relazioni d’ordine e insiemi ordinati. Relazione d’ordine stretto. Dato un insieme non vuoto E e data una relazione R tra gli elementi di E che gode della proprieta’ riflessiva, antisimmetrica e transitiva la coppia (E , R) e’ un insieme ordinato.

La relazione R e’ detta, come noto, d’ordine.

Una relazione associata ad R e’ detta di ordine stretto se:

∀ (x, y) ∈ đ??¸ Ă— E (x ≺ đ?‘Ś ) â&#x;ş ( đ?‘Ľđ?‘…đ?‘Ś, đ?‘Ľ ≠đ?‘Ś)

La relazione d’ordine e’ detta totale e di conseguenza di dice che (E, R) e’ totalmente ordinato se e solamente se risulta xRy oppure yRx ∀(x, y) elemento di E Ă— E. - 120 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici Dato (E, R) totalmente ordinato. Dato un A ⊆ đ??¸ | A ≠∅ e sia a ∈ A.

L’elemento a di A e’ un maggiorante di A se e solo se e’ vero che xRa ∀x ∈ A.

L’elemento a di A e’ l’estremo superiore di A, ovvero a = sup (A), se a e’ il piu’ piccolo degli elementi maggioranti di A. Infine a = max(A) se e solo se (aRx) ⇒ a = x, ∀ x ∈ A.

Le strutture algebriche Si consideri un insieme non vuoto A e una o piu’ leggi di composizione interna binarie, cioe’ tali che ad ogni coppia di elementi di A corrisponda un elemento di A.

Le strutture algebriche sono formalizzabili come segue (A, +, ∗) ove l’insieme A viene ache chiamato sostegno della struttura algebrica, mentre i simboli + , ∗ denotano le due operazioni binarie. Ad esempio l’insieme N dei numeri naturali e’, rispetto alla addizione, il cui risultato e’ detto somma, gode della proprieta’ associativa.

E’ infatti noto che a livello elementare la somma in N gode della proprieta’ associativa.

- 121 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici Si puo, infatti, scrivere che: (a + đ?‘?) + đ?‘? = a + ( b + c)

E’ poi noto che la addizione e’ commutativa: a+đ?‘? =đ?‘? +đ?‘Ž

L’addizione in N si caratterizza pure per la presenza di un elemento neutro, lo 0, per il quale risulta: a + 0 = 0 + a = a.

La struttura algebrica (N , +) e’ un semigruppo commutativo dotato di elemento neutro.

Detta struttura e’ chiamata nonoide. Anche la struttura (N , ∗ ) e’ un monoide commutativo il cui elemento neutro e’ 1.

Si puo’ dimostrare che l’insieme delle parti P(A) di un insieme non vuoto A e’ un nonoide con elemento neutro dato dall’insieme vuoto rispetto alla operazione di unione insiemistica. La struttura da studiare e’ la seguente (P(A), âˆŞ).

- 122 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici Siano đ??´đ?‘– ∈ P(A), ovvero đ??´đ?‘– = A, oppure đ??´đ?‘– = ∅, oppure đ??´đ?‘– ⊂ A.

Siano dati tre đ??´đ?‘– a due a due distinti.

Si ha: (đ??´1 âˆŞ đ??´2 ) âˆŞ đ??´3 = đ??´1 âˆŞ (đ??´2 âˆŞ đ??´3 )

Essa e’ evidente perche’ đ??´1 âˆŞ đ??´2 contiene tutti gli elementi di essi contati una sola volta quando essi non sono disgiunti e il primo membro contiene anche quelli di đ??´3 ivi compresi quelli non presenti nei primi due insiemi.

Analoga riflessione puo’ essere fatta sul secondo menbro a partire dali elementi di đ??´2 âˆŞ đ??´3 .

In caso di elementi comuni ad almeno due insiemi essi vanno considerati una sola volta.

La commutativita’ e’ poi banalmente dimostrata ricordando che in un insieme non conta l’ordine di elencazione degli elementi. La associativita’ vale anche nel caso sia un đ??´đ?‘– = ∅.

L’elemento neutro e’ l’insieme vuoto in quanto si ha:

đ??´đ?‘– âˆŞ ∅ = đ??´đ?‘– ∀ đ??´đ?‘–

- 123 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici

I gruppi Sia dato un insieme A non vuoto.

Sia data una legge di composizione interna ⋆ .

Si ammetta che la legge di corrispodenza binaria ⋆ goda delle seguenti proprieta’:

1. (a ⋆ b) ⋆ c = a ⋆ (b ⋆ c ) 2.

a⋆e=e⋆a

3.

a ⋆ a’ = a’ ⋆ a

(proprieta’ associativa) (esistenza e unicita’ del neutro a destra e a sinistra)

=e

(esistenza ed unicita’ del simmetrico a’ di ogni elemento a)

La corrispodente struttura algebrica si indica come (A, ⋆) e la legge ⋆ viene comunemente detta legge del gruppo.

Se il sostegno e’ un insieme finito la struttura di gruppo si dice finita.

Se A e’ infinito allora il gruppo e’ infinito.

Il numero di elementi dell’insieme A definisce anche l’ordine del gruppo. Un gruppo e’ commutativo, o abeliano, se oltre alla precedenti proprieta’ e’ commutative, ovvero se:

4. a ⋆ b = b ⋆ a

(proprieta’ commutativa)

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici Vanno ora esamiante le proprieta’ dei gruppi.

Esse sono sostanzialmente le seguenti.

Unicita’ dell’elemento neutro. E’ immediato ragionando per assurdo, ovvero ammettendo l’esistenza di due neutri distinti si giunge a una ovvia contraddizione.

Unicita’ per un dato a del simmetrico a’. Si ametta che per un dato elemento a di A esistano due simmetrici, ovvero sia a ⋆ a’ = e ed anche a ⋆ a’’ = e.

a’ =a’ ⋆ e = a’ ⋆ (a ⋆ a’) = (a’ ⋆ a ) ⋆ a’’ = e ⋆ a’’

Proprieta’ di cancellazione (detta anche di semplificazione). ( a ⋆ b = a ⋆ c ) ⇒ b = c.

Sia dato il simmetrico a’ di a. a’ ⋆ (a ⋆ b) = a’ ⋆ (a ⋆ c) ⟺ ( a’ ⋆ a ) ⋆ b = (a’ ⋆ a )⋆ c ⟺ e ⋆ b = e ⋆ c ⇒ b = c .

Analogamente si dimostra che:

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici ( b ⋆ a = c ⋆ a ) ⇒ b = c.

Simmetrico di un composto. Il simmetrico di un composto e’ il composto dei simmetrici.

Si scrive che (a ⋆ b)’ = b’ ⋆ a’.

La dimostrazione di questa proprieta’ e’ facilmente reperibile.

E’ possibile anche procedure come segue. Si premoltiplichino ambo i membri per (a ⋆ b) avendo che:

(a ⋆ b) ⋆ (a ⋆ b)’ =(a ⋆ b) ⋆ (b’ ⋆ a’)

e = a ⋆ b ⋆ b’ ⋆ a’

e = a ⋆( b ⋆ b’ )⋆ a’

e = a ⋆e ⋆ a’

e = (a ⋆e) ⋆ a’

e = e ⋆ a’

e= e

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici Ad esempio (Z, + ) e’ un gruppo commutativo (o abeliano) perche’ vale la proprieta’ associativa, l’elemento neutro e’ e = 0, mentre il simmetrico di a e l’elemento – a in quanto si puo’ scrivere a + ( − đ?‘Ž) = 0.

Ma va osservato che (Z, ∗) non e’ un gruppo.

Infatti mentre vale la proprieta’ associative per la quale (ab)c = a(bc) e sicuramente l’elemento 1 e’ l’elemento neutro in quanto a1 1đ?‘Ž = đ?‘Ž ∀đ?‘Ž | đ?‘Ž ∈ đ?‘?, đ?‘?đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œâ€˛

1

1 đ?‘Ž

∉ Z.

1

Sarebbe a đ?‘Ž = 1 ma appunto đ?‘Ž ∉ Z. Va osservato che non tutti i gruppi sono commutativi.

I sottogruppi

Dato un gruppo (G , ∗) e’ dato un teorema detto di caratterizzazione ⌋Vershueren, Logeâ€™âŚŒ che consente di dire se un insieme A non vuoto e’ un gruppo.

Il teorema viene solitamente scritto come segue. ( (H , ∗ ) e’ un sottogruppo di (G, ∗ ) ) â&#x;ş ( H ≠∅ , ∀ (x, y) ∈ H Ă— H, x∗ đ?‘Ś −1 ∈ đ??ť)

E’ importante ricordare un altro teorema, ovvero che se rispetto ad un gruppo e’ data una classe di sottogruppi allora l’intersezione di essi e’ un sottogruppo dl gruppo dato. - 127 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici Detta intersezione mai puo’ essere vuota in quanto tutti contengono l’elemento neutro e.

I polinomi Si tratta di un argomento mutuato per certi aspetti dall’analisi ove si studiano le cosiddette funzioni polinomiali.

Si consideri l’insieme del numeri reali R.

Le funzioni polinomiali sono funzioni di R a valori reali (si dice di R in se’‌) cosi’ definite: �

f : x ∈ R | x → ∑ đ?‘Žđ?‘– đ?‘Ľ đ?‘–

∀ x | x ∈ R , đ?‘Žđ?‘– ∈ R.

Concisamente si scrive p(x) = ∑ đ?‘Žđ?‘– đ?‘Ľ đ?‘–

La lettera x viene detta indeterminata. L’insieme i cui elementi sono tutti e soli i polinomi in una indeterminata x si indicano come R⌋xâŚŒ.

E’ possibile definire le funzioni polinomiali come funzioni dell’insieme C in se stesso, ovvero come funzioni di una variabile complessa, ovvero: �

f : x ∈ C | x → ∑ đ?‘Žđ?‘– đ?‘Ľ đ?‘–

∀ x | x ∈ C , đ?‘Žđ?‘– ∈ C.

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici Per essi valgono le formali proprieta’ di addizione e moltiplicazione note a livello elementare. Due funzioni polinomiali f e g sono eguali quando sono la stessa funzione, ovvero hanno lo stesso dominio, R (o C) e si ha f(x) = g(x), per ogni x del dominio delle funzioni.

A volte i polinomi vengono studiati in insiemi che non coincidono con R o C ma ad esempio possono essere insiemi (campi, vedi infra per la definizione) molto diversi, quali đ?‘?đ?‘˜ e questo rende essenziale la distinzione tra funzione polinomiale e polinomio (o meglio espressione polinomiale). In generale in casi del genere ad una funzione polinomiale possono corrispondere distinte epressioni polinomiali, ma ad una espressione polinomiale corriponde una ed una sola funzione polinomiale.

Anche per i polinomi vale l’algoritmo di Euclide, avendosi che: �(�)

đ?‘&#x;(đ?‘Ľ)

= đ?‘ž(đ?‘Ľ) + đ?‘”(đ?‘Ľ) đ?‘”(đ?‘Ľ)

đ?‘ đ?‘’đ?‘™ caso sia r(x) identicamente 0 allora si dice che il polinomio g(x) divide il polinomio p(x). đ?‘“(đ?‘Ľ)

Il polinomio đ?‘”(đ?‘Ľ) ha grado m − đ?‘› ove m ed n sono i gradi dei polinomi f(x) e g(x) con m ≼ đ?‘›.

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici Un polinomio f(x) e’ detto invertibile se esiste ed e’ unico il polinomio g(x) tale che risulti identicamente f(x)g(x)=1.

Due polinomi f(x) e g(x) si dicono associati se risulta

đ?‘“(đ?‘Ľ) đ?‘”(đ?‘Ľ)

= k ove k ∈ R quando si

considerano R⌋xâŚŒ, ovvero k e’ elemento del particolare campo che si considera.

Di fondamentale importanza e’ la definzione di MCD di due polinomi.

Si tratta di un polinomio. MCD (f(x), g(x)) = d(x)

Detto polinomio divide ambo i polinomi ed e’ tale che ogni ulteriore polinomio d’(x) che divide ambo i polinomi e’ tale che d’(x) divide d(x). Due polinomi f(x) e g(x) tali che MCD (f(x), g(x)) = 1 si dicono polinomi coprimi.

Va quindi introdotta la nozione di irriducibilita’ di un polinomio di R⌋xâŚŒ o di C⌋xâŚŒ.

Dato un polinomio f(x). Se f(x)≢ 0 (f(x) = 0 ∀x e’ detto polinomio nullo) e se f(x) non e’ invertibile, ovvero se non esiste un g(x) tale che f(x)g(x) = 1 allora f(x) e’ irriducile in R⌋xâŚŒ o di C⌋xâŚŒ o sul campo che di volta in volta si considera.

In buona sostanza un polinomio su un campo e’ irriducibile se e’ primo.

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici Un contributo importante e pratico allo studio delle funzioni polinomiali e’ certamente costiutito dal teorema di divisibilita’ di Ruffini. �(�)

Esso sinteticamente afferma che se esiste un đ?‘Ľ0 | f(đ?‘Ľ0 ) = 0 allora đ?‘Ľ −đ?‘Ľ e’ in elemento di C 0

o di R o del campo che si considera di volta in volta. Il valore �0 | f(�0 ) = 0 e’ detto radice del polinonio f(x).

In un campo f(x) contiene al piu’ un numero di radici corrispondenti al grado di esso.

Il numero di esse dipende dal particolare campo che si considera.

Uno dei risultati fondamentali, dovuti al genio di Gauβ, afferma che “ogni polinomio f(x) ∈ C⌋xâŚŒ ha esattamente n radiciâ€? (corollario del teorema fondamentale dell’algebra).

L’irriducibilita’ su Z e su Q studiata da Gauβ e dal suo allievo Eisenstein e’ piu’ complessa e trascende dai contenuti della mia elaborazione e richiederebbe tempi attualmente troppo ampi.

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici

Gli anelli Si avra’ modo di osservare che i polinomi possono essere considerati dal punto di vista dell’algebra moderna come anelli, parlando, appunto, di anello dei polinomi.

La definizione formale di anello e’ la seguente.

Sia dato un insieme non vuoto A. Si condiferano due distinte leggi di composizione interna ⋆ e ⊺ .

Si consideri la legge ⋆.

Essa gode, per ipotesi, delle seguenti proprieta’:

proprieta’ associativa,

proprieta’ commutativa,

ammette (ed e’ unico) elemento neutro,

ammette (ed e’ unico) elemento simmetrico. L’operazione ⊺ deve essere associativa.

Tassativamente entrambe le operazioni devono essere associative.

La ⊺ puo’ (ma non necessariamente lo deve essere….) essere commutativa.

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici Se tale evenienza e’ verificata si parla di anello commutativo. La ⊺ puo’ (ma non necessariamente) possedere un elemento neutro.

Se questa evenienza e’ verificata si parla comunemente di anello unitario (e detto elemento e’ detto elemento unita’).

Valgono le seguenti proprieta’ distributive.

a ⊺ ( b ⋆ c) = (a ⊺ b) ⋆ (a ⊺ c)

( a ⋆ b) ⊺ c = (a ⊺ c) ⋆ (b ⊺ c)

E’ immediato dimostrare che ( Z, + , ∗) e’ un anello commutativo.

Un esempio di anello commutativo unitario e’ l’anello di Boole, (P(E ) , ∆, ∩ ).

Sottoanelli e ideali Dalla nozione di anello si perviene a quella di sottoanello. Sia dato un anello ( A, +, ∗) e sia un insieme B non vuoto tale che sia B ⊆ A e sia B ≠ ∅.

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici La struttura (B, +, ∗) e’ un anello e quindi B e’ un sottoanello di A quando:

∀ (x, y) ∈ B Ă— B allora (x+đ?‘Ś ) ∈ đ??ľ đ?‘’ đ?‘Ľ ∗ đ?‘Ś ∈ đ??ľ.

Deve poi risultare 1đ??´ ∈ B.

Ideale di un anello commutativo La nozione di ideale di un anello commutativo e’ abbastanza complessa ma comunque riassumibile come segue.

Sia dato un anello commutativo (A, +, ∗) e sia I ⊆ A | A ≠∅.

Condizione necessaria e sufficiente affinche’ I sia un ideale di A e’ che (I, + ) sia un sottogruppo di (A, +) | ∀ (a, x) | (a, x) ∈ A Ă— I | (a∗ đ?‘Ľ) ∈ I.

Viene poi introdotto il teorema di caratterizzazione per il quale dato I ⊆ A | A ≠∅ condizione necessaria e sufficiente affinche’ I sia un ideale di A:

1) ∀ (x, y) ∈ I Ă— đ??ź si ha (x + đ?‘Ś) ∈ I 2) ∀ (x, y) ∈ I Ă— I si ha (x∗y) ∈ I 3) I = đ??´ â&#x;ş 1đ??´ ∈ đ??ź

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici

Definizione formale dei domini di integrita’ L’anello (A, + , ∗) e’ un dominio di integrita’ se ∀ (x, y) ∈ A Ă— đ??´ quando x∗ đ?‘Ś = đ?‘‚đ??´ se e solo se almeno uno dei due elementi e’ đ?‘‚đ??´ .

Quello introdotto e’ un modo elegante e generale per dire che vale la legge di annullamento del prodotto.

Tale condizione e’ vera in (Z, +, ∗) o nell’anello dei polinomi.

E’ abbastanza facile dimostrare che ( đ?‘€đ?‘› (K) , +, ∗) non e’ un dominio di integrita’.

�� (K) indica l’insieme delle matrici quadrate di ordine n, ovvero costituite da n righe e da n colonne. K indica il campo, ovvero indica se gli elementi delle matrici sono elementi di R, insieme dei numeri reali, ovvero se essi sono elementi di C, ovvero dell’insieme dei numeri complessi. Dalla teoria elementare e’ noto che in detto insieme (quello delle matrici quadrate di ordine n) e piu’ un generale quando le matrici sono conformabili per la moltiplicazione, non vale la legge di annullamento del prodotto.

- 135 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici In pratica il risultato della moltiplicaizone di due matrici quadrate puo’ essere la matrice nulla anche quando si ha a che fare con due matrici non nulle. Si puo’ esemplificare il caso con riguardo alle matrici quadrate del secondo ordine, ovvero le seguenti, nei quali, come caso piu’ generale si pone che ogni elemento di esse sia diverso da zero. Si considera il caso che siano a coefficienti reali, quindi le due matrici seguenti A = �11 (�

21

đ?‘Ž12 đ?‘?11 đ?‘Ž22 ) e B = (đ?‘?21

đ?‘?12 ). đ?‘?22

Il prodotto e’ la matrice C cosi’ ottenuta:

C=[

đ?‘Ž11 đ?‘?11 + đ?‘Ž12 đ?‘?21 đ?‘Ž21 đ?‘?11 + đ?‘Ž22 đ?‘?21

đ?‘Ž11 đ?‘?12 + đ?‘Ž12 đ?‘?22 ] đ?‘Ž21 đ?‘?12 + đ?‘Ž22 đ?‘?22

0 0 Occorre trovare la matrice nulla quadrata del secondo ordine, ovvero C = ( ). 0 0 Affinche sia cosi’ deve risultare che: đ?‘Ž11 đ?‘?11 + đ?‘Ž12 đ?‘?21 = 0

đ?‘Ž11 đ?‘?12 + đ?‘Ž12 đ?‘?22 = 0

đ?‘Ž21 đ?‘?11 + đ?‘Ž22 đ?‘?21 = 0

đ?‘Ž21 đ?‘?12 + đ?‘Ž22 đ?‘?22 = 0

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici đ??¸â€˛ ben evidente che se đ?‘Žđ?‘–đ?‘— = đ?‘?đ?‘–đ?‘— = 0 ∀ (đ?‘–, đ?‘—) allora si ha đ?‘?đ?‘–đ?‘— = 0 ∀ (đ?‘–, đ?‘—).

đ??´đ?‘›đ?‘Žđ?‘™đ?‘œđ?‘”đ?‘Žmente si avrebbe đ?‘?đ?‘–đ?‘— = 0 ∀ (đ?‘–, đ?‘—) đ?‘žđ?‘˘đ?‘Žđ?‘›đ?‘‘đ?‘œ risulti đ?‘Žđ?‘–đ?‘— = 0 ∀ (đ?‘–, đ?‘—) oppure quando đ?‘?đ?‘–đ?‘— = 0 ∀ (đ?‘–, đ?‘—).

Ma nel caso delle matrici quadrate di ordine n e’ possibile sia đ?‘?đ?‘–đ?‘— = 0 ∀ (đ?‘–, đ?‘—) anche quando đ?‘Žđ?‘–đ?‘— ≠0 ∀ (đ?‘–, đ?‘—), e đ?‘?đ?‘–đ?‘— ≠0 ∀ (đ?‘–, đ?‘—).

Con riferimento al caso concreto si ha đ?‘?đ?‘–đ?‘— = 0 ∀ (đ?‘–, đ?‘—) quando gli elementi della matrice sono presi in modo tale che:

đ?‘Ž11 đ?‘?11 = − đ?‘Ž12 đ?‘?21 đ?‘Ž11 đ?‘?12 = −đ?‘Ž12 đ?‘?22 đ?‘Ž21 đ?‘?11 = − đ?‘Ž22 đ?‘?21 đ?‘Ž21 đ?‘?12 = − đ?‘Ž22 đ?‘?22 1 1 Se, ad esempio, A e’ la matrice unitaria di ordine n, ovvero risulta A =( ) le precedenti 1 1 relazioni di eguaglianza si scrivono come:

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici đ?‘?11 = − đ?‘?21 đ?‘?12 = −đ?‘?22 Un anello non e’ un dominio di integrita’ quando il risultato dell’operazione ∗ e’ lo zero di A, indicato con đ?‘‚đ??´ , si ottiene anche quando gli elementi non sono almeno uno zero di A.

Con riferimento alle matrici del secondo ordine considerate lo zero e’ la matrice 0 tale che i suoi elementi sono đ?‘?đ?‘–đ?‘— = 0 ∀ (đ?‘–, đ?‘—).

La nozione di campo Dalla nozione di anello si perviene a quella di campo.

Sia dato un insieme non vuoto A. Siano date due operazioni interne binarie ⋆ e ⊺ tali che:

(C, ⋆) e’ un gruppo commutativo,

(C / {�⋆ } , ⊺ ) e’ un gruppo commitativo,

l’operazioe binaria ⊺ e’ distributiva rispetto all’operazione ⋆

allora (C, ⋆, ⊺ ) e’ una struttura algebrica chiamata campo.

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici

I campi ordinati Mutuo da Gleason (op. cit.) la definizione formale di campo ordinato.

Un campo ordinato è una configurazione (F, +, *, <, ⩽) tale che

1)

(F, +,*) è un campo;

2)

F(<, ⩽) è un insieme ordinato;

3)

se x < y allora x+ z < y + z;

4)

se 0 < x e 0 < y allora 0 < xy.

Per i campi ordinati valgono le ben note proprietà:

a) a> 0 se e solo se a < 0;

b) se a > b e c > d allora a + c > b+d;

c) se a > 0 e b < 0 allora ab < 0;

d) se a < 0 e b < 0 allora ab > 0;

e) se a > b e c > 0 allora ac > bc;

f) se a > b e c < 0 allora ac < bc; g) se a > b ⩾ 0 e c > d ⩾ allora ac > bd;

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici h) a2 ⩾ 0;

i) se a e b non sono contemporaneamente eguali a zero allora a2 + b2 > 0;

j) 1 > 0; 1

k) se a > 0 allora a > 0. Per alcuni campi ordinati vale la proprietà archimedea per la quale per ogni x ∈ F allora esiste un n tale che n > x. Se x ed y sono elementi non negativi di un campo ordinato si ha che x 2 < y 2 se e solo se x < y.

Ho potuto ritrovare la formalizzazione di ben note proprietà di uso comune.

1) a ⩽ √a2

2) √ab = √a√b se a ⩾0 e b ⩾ 0

3) √(a + c)2 + (b + d)2

= √a2 + b 2 +

√c 2 + d2

Un esercizio sulla struttura di campo di un insieme dato (Proposto da Gleason, op. cit.)

E’ assegnato un insieme F = {p, q} con p ≠ q. Sono date due leggi a ed m binarie.

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici a: p q p p q q q p

m: p q

p q p p p q

L’operazione a(p,q) è convenientemente rappresentata come p + q.

L’operazione m(a,b) è convenientemente scritta come a*b = ab

Occorre verificare se dalla tabella relativa ad a: e dalla tabella relativa ad m: sono verificate le proprietà che definiscono la struttura di campo:

Commutatività: p + q = q ed anche q + p = q ; pq = p ed anche qp = p Il problema si complica perché l’insieme contiene solo due elementi distinti p e q non essendo ammissibile introdurre un elemento ulteriore, avendosi per questa via un ulteriore insieme F’ ≢ F.

Ho deciso quindi di studiare la associatività introducendo una “variabile” χ che assume i valori χ = p e χ = q e solamente essi.

Allora sarebbe (χ + p) + q = χ + (p + q) . Essa va verificata per valori χ = p e χ = q, avendosi che (p+p) + q = p+ (p+q) ⟾ p + q = p + q ⟾ q = q. Nel caso χ = q si avrebbe (q + p) + q = q + (p + q) ⟾ q + q = q + q ⟾ p = p.

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici In modo analogo si discute l’associatività moltiplicativa per la quale (χp)q = χ(pq) va considerata nei due casi possibili χ = p e χ = q. Infatti per χ = p si ha (χp)q = χ(pq) ⟾(pp)q = p(pq) ⟾ pq = pp ⟾ p = p. Per χ = q si ha (qp)q = q(pq) ⟾pq = qp ⟾ p = p.

La proprietà distributiva χ(p+q) = χp + χq da studiare per i casi χ = p e χ = q. Sia χ = p si ha che χ(p+q) = χp + χq ⟾ p(p+q) = pp + pq ⟾ p(q) = p + p ⟾ p = p. Ove si ponga χ = q allora si ha che q(p+q) = qp + qq ⟾ q(q) = p + q ⟾ q = q. La p. distributiva è quindi verificata. Va quindi verificato che ∀x deve essere x + χ = x. Poiché il campo (presunto! almeno fino questo momento) è costituito dai soli p e q distinti allora deve esistere un χ : p + χ = p ed anche q + χ = q. la prima è verificata per χ = p oppure χ = q. La seconda è verificata se se χ ≠ q, ovvero per χ = p.

Pertanto l’elemento neutro additivo è χneutro per+ = p .

E’ possibile fare la verifica. Si ha che p + p = p ⟾ p = p ed anche che q + p = q ⟾ q = q.

In modo analogo si ragiona per il neutro moltiplicativo per il quale deve essere τx = x ∀x∈F.

Deve essere τp = p ed anche τq = q . La prima è vera per τ = p oppure τ = q. La seconda solo per τ = q. Ciò si desume immediatamente osservando la tabella moltiplicativa. - 142 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici Pertanto l’elemento neutro della moltiplicazione esiste (ed è unico) ed è l’elemento q. Per ogni elemento b dell’insieme esiste un x tale che b + x = χneutro per+

Occorre verificare che per b = p e per b = q esiste un X (che può essere o p o q) tale che la somma +, come definita, sia eguale a χneutro per+ .

E’ stato ricavato che χneutro per+ = p pertanto occorre verificare che:

b + x = p.

Per b = p si ha che p+ x = p. Dalla tabella relativa all’operazione a: si desume che x = p.

Per b = q si ha che q + x = p, da cui analogamente x = p. ∀b ≠

χneutro per+ ∃x : bx = u.

Poiché si era ricavato che χneutro per+ = p allora b ≠ p ⟾ b = q. Ma si era evidenziato che il neutro moltiplicativo u = τ = q , pertanto ci si riduce a considerare il caso qx = q . Dalla tabella della m: vi evince che x = q.

Poiché q ≠ p allora il neutro moltiplicativo e quello additivo sono distinti.

1. La definizione del numero reale

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici Il metodo più noto per definire i numeri reali è quello delle partizioni di Dedeking (matematico tedesco dell’Ottocento). Esso è basato ⦋Citrini⦌ sulla idea che “un numero reale è noto quando siano note tutte le sue approssimazioni razionali, per difetto e per eccesso”.

Richard Dedeking definì il concetto di sezione del campo razionale. I razionali costituiscono un campo abeliano. In pratica si considera l’insieme Q dei numeri razionali. Quindi si ammette di separare gli elementi di Q in due sottoinsiemi propri di esso. Ciò avviene con la regola che ogni elemento di Q appartenga all’uno a all’altro di detti sottoinsiemi (che quindi sono non vuoti). La separazione dei razionali e quindi la loro appartenenza ad uno dei due sottoinsiemi ubbidisce ad una regola molto semplice. Va preliminarmente osservato che nell’insieme Q è definita una relazione d’ordine (stretta e totale) che poi di fatto conduce alla tricotomia. E’ quindi possibile dire che dati due razionali α e β è vera una ed una soltanto delle tre relazioni α < β, α = β, α > β.

Ciò conduce naturalmente a definire il criterio (oggettivo) di attribuzione dei razionali agli insiemi A e B. A = ⦃∀α : α ∈ Q e α < β ∀β ∶ β ∈ Q ⦄;

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici B = ⦃∀β : β ∈ Q e β >α ∀α ∶ α ∈ Q ⦄.

Nel linguaggio insiemistico si dice che A e B definiscono una partizione dei razionali. Infatti

A∪B = Q

A∩B = ∅

Alcune di queste sezioni contengono un elemento separatore. Si ammetta esista un αmax ∈A

oppure un βmin ∈ B. Sia τ l’elemento di separazione. Vale una ed una sola delle

seguenti ipotesi τ = αmax oppure τ = βmin .

Ho constatato (Citrini, op cit.) che per semplificare la trattazione di introduce una condizione addizionale per la quale B non ha minimo, ovvero B non ha minimo. Potrebbe però capitare che non esistano supA e inf B. In questo caso non esiste l’elemento separatore, bensì una lacuna.

Alla lacuna corrisponde un numero irrazionale.

Credo eccessivo formalizzare completamente la definizione di numero reale. E’ opportuno che in generale per numero reale si intende una sezione dei numeri razionali nell’ipotesi B non ha minimo.

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici Un numero reale è definito da una sezione. Per esempio x = (A,B) si intende il numero reale x definito dalla partizione A,B ove B è privo di minimo, mentre y = C,D) si intende il numero reale x definito dalla partizione C, D ove D è privo di minimo. A = C ⟾ x = y (più ampiamente si tratta di una complicazione). Ho lasciato ⟾ perché geneticamente il numero è definito da una sezione. Nell’insieme R dei reali vige la relazione di ordine stretto < e totale (valida senza limitazioni nei possibili confronti) per la quale x < y. Dal punto di vista formale A ⊂ C ⟾ x < y. Essa è sensata in quanto se A ⊂ C allora C contiene tutti gli elementi di A esistendo almeno un elemento di C non appartenente ad A. Ma D non contiene il minimo (per come sono costruite le partizioni). Esiste però un γ = max C ma γ ∉ A. Infatti se fosse γ∈A allora sarebbe A = C da cui sarebbe x = y.

Che in caso del genere sia x < y discende dal fatto che l’approssimazione γ’ < γ ove γ’ = max A si ripercuote sul numero e quindi sul confronto tra essi, avendosi quindi A ⊂ C ⟾ max A < max C = γ’ < γ ⟾ x < y.

Una formale definizione completa è contenuta in Citrini (op. cit.) a pag. 65.

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici L’insieme R dei numeri reali è costituto dai numeri razionali e dai numeri irrazionali. R = QâˆŞđ?•ľ ove đ?•ľ è l’insieme degli irrazionali. Questi due insiemi costituiscono una partizione in quanto Q∊đ?•ľ = ∅.

E’ utile ricordare che in un intervallo I ⊂ R con I ≠∅ sono contenuti infiniti razionali e infiniti irrazionali.

2. Le proprietà algebriche e d’ordine dei numeri reali

Per quanto attiene all’insieme R dei numeri reali e alla corrispondente struttura algebrica (R, +, *) possibile affermare che si tratta di un campo abeliano per il quale per ogni x, y, z elementi di R sono sempre verificate le proprietà seguenti.

(x+y) + z = x + (y + z) = x + y + z

(x*y)*z = x*(y*z)

Queste due relazioni esprimono la proprietà associativa dell’operazione + e *, rispettivamente.

Valgono anche le due seguenti relazioni che definiscono la commutativitĂ delle due operazioni.

x+y=y+x - 147 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici x*y = y*x Relativamente alle due operazioni sono poi definiti gli elementi neutri, quello additivo, ovvero il numero 0, e il neutro moltiplicativo, ovvero l’unità, 1.

x+0=0+x=x

x*1 = 1*x = x Per le due operazioni esistono gli elementi simmetrici. Essi sono rispettivamente – x e 1/x avendosi rispettivamente:

x + (- x) = 0

x*(1/x) = 1 quando x ≠ 0.

I due simetrici (uno per operazione) sono unici.

Vale, infine, la proprietà distributiva per la quale deve essere:

x*(y+z) = x*y + x*z

Spazi vettoriali e algebra Sia X un gruppo additivo.

Sia A un campo di scalari. - 148 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici In genere A corrisponde a R oppure a C. Sia data una applicazione A × X → X | (a, x) → ax

L’applicazione che si considera ha le seguenti proprieta’:

� (x + �) = �� + ��

∀đ?›ź ∈ đ??´, ∀ đ?‘Ľ, đ?‘Ś ∈ đ?‘‹

(� + �) � = �� + ��

∀đ?›ź , đ?›˝ ∈ đ??´, ∀ đ?‘Ľ ∈ đ?‘‹

(��)� = �(��)

∀đ?›ź , đ?›˝ ∈ đ??´, ∀ đ?‘Ľ ∈ đ?‘‹

1đ?‘Ľ = đ?‘Ľ

∀đ?‘Ľ ∈đ?‘‹

Si dice che X e’ uno spazio vettoriale su A.

Si ammetta che X sia un anello.

Se vale la seguente proprieta’:

(��)� = �(��)

∀đ?›ź ∈ đ??´, ∀ đ?‘Ľ, đ?‘Ś ∈ đ?‘‹

si dice che X e’ un’algebra su A.

La dimensione di uno spazio vettoriale e’ il numero dei vettori linearmente indipedendenti.

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici Ogni đ?‘Ľ ∈ đ?‘‹ puo’ essere espresso in unico modo come una combinazione lineare di vettori linearmente indipendenti che costituiscono una base.

Morfismi tra anelli Nelle righe seguenti R denota un insieme non vuoto non quello dei reali, salvi i casi ove cio’ non sia detto esplicitamente.

Dato un anello R sono date le due seguenti proprieta’ formali. a0 = 0a = 0

(−đ?‘Ž)đ?‘? = đ?‘Ž(−đ?‘?) = −(đ?‘Žđ?‘?) comunque siano presi a e b, elementi di R.

Un isomorfismo e’ una relazione tra due anelli R e R’ biunivoca tale che ∀đ?‘Ž, đ?‘? ∈ đ?‘… đ?‘ đ?‘– â„Žđ?‘Ž:

đ?œ‘(a +đ?‘?) = đ?œ‘(đ?‘Ž) + đ?œ‘(đ?‘?)

đ?œ‘(ađ?‘?) = đ?œ‘(đ?‘Ž)đ?œ‘(đ?‘?)

Quando e’ dato un isomorfismo tra anelli si dice che i due anelli sono isomorfi. Si scrive R ≃ đ?‘…′ .

Si tratta di una relazione di equivalenza.

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici Studiare un anello equivale a studiare ogni altro anello ad esso isomorfo.

Gli anelli isomorfi sono indistinguibili.

L’isomorfismo tra anelli presuppone che per i due anelli vigano le medesime proprieta’. Tra R ed R’ e’ stato instaurato un isomorfismo đ?œ‘ se agli elementi a, a +đ?‘? , đ?‘Žđ?‘? di R corrispondono gli elementi đ?œ‘(a), đ?œ‘(đ?‘Ž + đ?‘?) đ?‘’ đ?œ‘(đ?‘Žđ?‘?) di R’ .

In particolare la legge di corrispondenza e’ tale che:

đ?œ‘(a +đ?‘?) = đ?œ‘(đ?‘Ž) + đ?œ‘(đ?‘?)

đ?œ‘(ađ?‘?) = đ?œ‘(đ?‘Ž)đ?œ‘(đ?‘?)

comunque vengano presi gli elementi di R.

Nel caso segli isomorfismi la corrispondenza e’ biunivoca. In altri termini esiste una relazione inversa đ?œ‘ −1 che manda un elemento đ?œ‘(đ?‘Ž) in un elemento a di R, secondo lo schema seguente: đ?œ‘ −1 (đ?œ‘(đ?‘Ž)) = a

Si ricorda, a titolo di esempio ⌋Piacentini CattaneoâŚŒ che “l’applicazione che manda ogni numero complesso z nel suo coniugato đ?‘§ e’ un isomorfismo di C in se.â€?

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici Vogliamo provare che al numero complesso a + đ?‘–đ?‘? corrisponde univocamente il numero complesso a – ib.

E’ immediato osservare che alla coppia (x, y) corrisponde la coppia (x, −đ?‘Ś) del secondo insieme (che e’ sempre C).

A distinte coppie corrispondono distinti coniugati.

Si consideri ora la somma di due distinti elementi del primo insieme, ovvero le coppie (x, y) e (x’, y’) . La somma e’ il numero (x+đ?‘Ľ ′ , đ?‘Ś + đ?‘Śâ€˛). Il coniugato di esso e’ il numero complesso (x+đ?‘Ľ ′ , −( đ?‘Ś + đ?‘Śâ€˛)). Ma e’ ben evidente che (x+đ?‘Ľ ′ , −( đ?‘Ś + đ?‘Śâ€˛)) = ( x, − đ?‘Ś ) + ( x′, − đ?‘Śâ€˛ ).

Occorre fare il ragionamento sul prodotto (a+đ?‘–đ?‘?)(đ?‘Ľ + đ?‘–đ?‘Ś) = đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘Žđ?‘Śđ?‘– + đ?‘?đ?‘Ľđ?‘– − đ?‘Žđ?‘Ś = (đ?‘Žđ?‘Ľ − đ?‘Žđ?‘Ś ) + đ?‘– (đ?‘Žđ?‘Ś + đ?‘?đ?‘Ľ)

Il coniugato di esso e’ il numero complesso dato dalla coppia ordinata ( (đ?‘Žđ?‘Ľ − đ?‘Žđ?‘Ś ), − (đ?‘Žđ?‘Ś + đ?‘?đ?‘Ľ) )

Occorre dimostrare che il prodotto dei coniugati dei due numeri e’ eguale a detta coppia ordinata.

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici I coniugati sono (a −đ?‘–đ?‘?) đ?‘’ (đ?‘Ľ − đ?‘–đ?‘Ś) e il loro prodotto vale ax −đ?‘Žđ?‘Śđ?‘– − đ?‘–đ?‘?đ?‘Ľ − đ?‘?đ?‘Ś che messo in forma di coppia ordinata eguaglia quella precedentemente ottenuta. Per i sottoanelli, oltre a quelli banali, dell’insieme vuoto e dell’anello medesimo, si utilizza il seguente teorema:

Dato un anello, ogni sottoinsieme S non vuoto di esso e’ un sottoanello se e solo se:

∀đ?‘Ž, đ?‘? ∈ đ?‘† risulta a − đ?‘? ∈ đ?‘† đ?‘’ đ?‘Žđ?‘? ∈ đ?‘†.

La letteratura ⌋Piacentini CattaneoâŚŒ fornisce molti esempi di sottoanelli e ad essa si rimanda. Uno di questi esempi e’ il seguente: Sia R un anello e sia a un fissato elemento di R. Si consideri l’insieme đ?‘†đ?‘Ž ={x ∈ đ?‘… | đ?‘Ľđ?‘Ž = đ?‘Žđ?‘Ľ}.

L’interpretazione e’ immediata. L’insieme �� e’ costituito da tutti gli x di R tali che siano in relazione con a con una legge moltiplicativa commutativa. Si condiderino due distinti x tali che �′� = ��′ e �′′� = ��′′.

Dimostrare che S e’ un sottoanello equivale a dimostrare che (S, +) e’ un gruppo additivo.

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici Si avrebbe đ?‘Ľâ€˛đ?‘Ž − đ?‘Ľâ€˛â€˛đ?‘Ž = (đ?‘Ľâ€˛ − đ?‘Ľâ€˛â€˛)đ?‘Ž.

E’ possibile scegliere đ?‘Ľâ€˛ = đ?‘Ľâ€˛â€˛ = 0 ∈ S

Posto đ?‘Ľâ€˛ = 0 si ha (0 − đ?‘Ľâ€˛â€˛)đ?‘Ž = − x’’a ∈ S. Quindi đ?‘Ľ ′ đ?‘Ž − (− đ?‘Ľâ€˛â€˛đ?‘Ž) = đ?‘Ľ ′ đ?‘Ž + đ?‘Ľâ€˛â€˛đ?‘Ž ∈ S.

Va ora introdotto il concetto di omomorfismo tra anelli. Date due strutture algebriche che hanno le proprieta’ di anelli e siano esse (R, +, ∗ ) e (R’, +, ∗ ) viene definito omomorfismo ogni relazione đ?œ‘ đ?‘… → R’ tale che ∀ x, y ∈ R tale che sia: đ?œ‘(x+đ?‘Ś) = đ?œ‘(đ?‘Ľ) + đ?œ‘(đ?‘Ś)

đ?œ‘(xđ?‘Ś) = đ?œ‘(đ?‘Ľ)đ?œ‘(đ?‘Ś)

Come in ogni relazione funzionale ad ogni elemento x di R corrisponde un solo elemento đ?œ‘(đ?‘Ľ) di R’.

E’ stato rimarcato ⌋Piacentini CattaneoâŚŒ che per avere un omomorfismo devono “essere conservateâ€? entrambe le operazioni, ovvero la somma e il prodotto.

Un omomorfismo e’ una relazione binaria. - 154 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici Se ∃! đ?œ‘ −1 che mette in relazione đ?œ‘(đ?‘Ľ) con un x di R si ricadenel caso precedente degli isomorfismi.

Esistono particolari omomorfismi, detti monomorfismi, per si ha đ?œ‘(đ?‘Ľ) ≠đ?œ‘(đ?‘Ś) ogni volta che x ≠y.

Si ha un epimorfismo quando đ?œ‘ đ?‘’′ suriettivo.

In buona sostanza risulta che l’insieme R’ coincide con l’insieme cui elementi sono tutti i đ?œ‘(đ?‘Ľ).

Ovvero si avrebbe che { đ?œ‘(đ?‘Ľ) | đ?‘Ľ ∈ đ?‘… } = R’

cioe’ quando l’insieme delle immagini coincide con R’. E’ sottointeso che ∀đ?‘Ľ | đ?‘Ľ ∈ đ?‘… đ?‘’ ′ đ?‘–đ?‘› relazione con un elemento di R’ mediante la đ?œ‘.

In ogni omomorfismo đ?œ‘ si ha che đ?œ‘(đ?‘‚đ?‘… ) =đ?‘‚đ?‘…′. đ?œ‘

Detto in altri termini si scrive che �� → ��′.

In definitiva ogni omomorfismo manda lo zero nello zero.

Si osservi che gli insiemi R ed R’ possono anche coincidere, ma cio’ non e’ vero in generale.

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici Si dimostra agevolemente la seguente proprieta’:

đ?œ‘(−đ?‘Ž) =− đ?œ‘(đ?‘Ž) ∀a ∈ R.

Infatti, a e −đ?‘Ž sono elementi di R e si puo’ scrivere che −đ?‘Ž = (−1)đ?‘Ž da cui si ha:

đ?œ‘((−1)(đ?‘Ž) )= (−1) đ?œ‘(đ?‘Ž) =− đ?œ‘(đ?‘Ž)

Esempi elementari di omomorfismi tra anelli. Il primo caso banale e’ dato dall’omomorfismo nullo per il quale ogni elementi di R viene fatto corrispondere allo zero dell’insieme R’.

Nel formalismo corrispondente a questa affermazione si scrive:

đ?œ‘: x → đ?‘‚đ?‘…′ đ?‘‰đ?‘Ž provato in via formale che si tratta di un morfismo.

�� cioe’ provato che risultano vere le due seguenti relazioni:

đ?œ‘(x+đ?‘Ś) = đ?œ‘(đ?‘Ľ) + đ?œ‘(đ?‘Ś)

đ?œ‘(xđ?‘Ś) = đ?œ‘(đ?‘Ľ)đ?œ‘(đ?‘Ś)

ovvero la conservazione della somma e del prodotto.

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici Si osservi che il morfismo assegnato e’ tale che: đ?œ‘

(đ?‘Ľ + đ?‘Ś)đ?‘… → (0)đ?‘…′ đ?œ‘

(đ?‘Ľ)đ?‘… → (0)đ?‘…′ đ?œ‘

(�)� → (0)�′

Riunendo i risultati si ha: (0)�′ = (0)�′ + (0)�′ � conservazione della somma.

La relazione e’ imediatamente vera.

Relativamente alla moltiplicazione si ha: đ?œ‘

(đ?‘Ľđ?‘Ś)đ?‘… → (0)đ?‘…′ đ?œ‘

(đ?‘Ľ)đ?‘… → (0)đ?‘…′ đ?œ‘

(�)� → (0)�′ (per come e’ stato definito il morfismo).

Si puo’ agevolemte scrivere che:

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici (0)�′ = (0)�′ (0)�′ � conservazione del prodotto.

La relazione e’ imediatamente vera.

Ne consegue la tesi, ovvero la relazione assegnata e’ un morfismo. La letteratura ⌋Piacentini CattaneoâŚŒ riporta, a contrariis, casi di relazioni che non sono omomorfismi.

E’ il caso della relazione funzionale đ?œ‘ di Z in se’ che associa ad un (ad ogni‌.!) elemento z di Z il suo doppio 2Z. Si tratta di una funzione di Z in se in quanto le immagini tramite la đ?œ‘ sono elementi di Z, ove Z denota l’insieme dei numeri interi relativi.

In termini formali si scrive: đ?œ‘ : z → 2z

Siano z’ e z’’ due distinti elementi di Z.

Si puo’ partire dalla somma. đ?œ‘(z’+đ?‘§â€˛â€˛) = đ?œ‘(đ?‘§ ′ ) + đ?œ‘(đ?‘§â€˛â€˛)

Ammettiamo che detta relazione sia vera, avendosi imediatamente che: - 158 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici 2(z’+đ?‘§â€˛â€˛) = 2 đ?‘§â€˛ + 2đ?‘§â€˛â€˛ â&#x;ş 2(z’+đ?‘§â€˛â€˛) = 2( đ?‘§â€˛ + đ?‘§â€˛â€˛)

Si e’ provata la conservazione della somma, resta da vedere che succeed con il prodotto.

Ammettiamone la conservazione avendo quindi che: đ?œ‘(z’đ?‘§â€˛â€˛) = đ?œ‘(đ?‘§ ′ )đ?œ‘(đ?‘§â€˛â€˛)

đ?‘†đ?‘– osservi che z’đ?‘§â€˛â€˛ e’ un elemento di R e si puo’ porre che sia đ?œ‘(z’đ?‘§â€˛â€˛) = 2(z’đ?‘§â€˛â€˛)

Allora sarebbe che:

2(z’z’’) = (2z’)(2z’’) â&#x;ş 2(z’z’’) = 4(z’z’’),

Tale relazione e’ assurda, essendo ovviamente 2(z’z’’) ≠4(z’z’’), e, non essendo conservata la moltiplicaizone, quello proposto non e’ un omomorfismo.

Si puo’ considerare ora un altro caso di relazione che non e’ un morfismo.

Ragionando sempre nell’insieme Z si potrebbe considerare il caso di una đ?œ‘ che manda un elemento di Z nel suo valore asoluto.

In termini formali possiamo scrivere nl modo seguente đ?œ‘

đ?œ‘ âˆś đ?‘? → đ?‘? + z → |z|

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici đ?‘‰đ?‘Ž cioe’ provato che risultano vere le due seguenti relazioni, vedendo che una di esse non e’ vera: đ?œ‘(x+đ?‘Ś) = đ?œ‘(đ?‘Ľ) + đ?œ‘(đ?‘Ś)

đ?œ‘(xđ?‘Ś) = đ?œ‘(đ?‘Ľ)đ?œ‘(đ?‘Ś)

ovvero la conservazione della somma e del prodotto.

Si ammette che x d y siano elementi di Z.

Possiamo scrivere che: đ?œ‘

(đ?‘Ľ + đ?‘Ś)đ?‘? → (|đ?‘Ľ + đ?‘Ś|)đ?‘? + đ?œ‘

(đ?‘Ľ)đ?‘? → (|đ?‘Ľ|)đ?‘? + đ?œ‘

(đ?‘Ś)đ?‘? → (|đ?‘Ś|)đ?‘? +

Riunendo i risultati si ha: |� + �| = |x| + |�| � non conservazione della somma.

Infatti della relazione non e’ identicamente vera per ogni x ed y di Z.

La relazione e’ vera per particolari ma non in generale.

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici Essa e’ sicuramente vera per x =y = 0 e in generale per ogni x = y.

Basta un banale esempio numeric per dire che essa non e’ vera in generale. Ad esempio ponendo x = 3 e y = − 4 si avrebbe:

|3 + (−4)| = |3| + | − 4| â&#x;ş |3 − 4| = |3| + | − 4| â&#x;ş | − 1| = |3| + | − 4| da cui si ottiene 1 = 3 + 4 ovvero 1 =7, relazione palesemente assurda.

đ??żđ?‘Ž non conservazione della somma fa escludere che quello proposto sia un morfismo.

Relativamente alla moltiplicazione per come e’ stato definito il morfismo, si ha: đ?œ‘

(đ?‘Ľđ?‘Ś)đ?‘? → (|đ?‘Ľđ?‘Ś|)đ?‘? + đ?œ‘

(đ?‘Ľ)đ?‘? → (|đ?‘Ľ|)đ?‘? + đ?œ‘

(đ?‘Ś)đ?‘? → (|đ?‘Ś|)đ?‘? + Si puo’ agevolemte scrivere che: (|đ?‘Ľđ?‘Ś|)đ?‘§ + = (|đ?‘Ľ|)đ?‘§ + (|đ?‘Ś|)đ?‘§ + â†? conservazione del prodotto. La relazione e’ imediatamente vera. - 161 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici Da una osservazione relativa alla eguaglianza

|� + �| = |x| + |�| si puo’ desumere che si ha un morfismo quando si scrive

đ?œ‘

đ?œ‘: đ?‘§ + → đ?‘? + z → |z|

In questo caso la relazione e’ sempre verificata in quanto x = |x| e y = |y|.

Risulterebbe quindi che: |đ?‘Ľ + đ?‘Ś| = |x| + |đ?‘Ś| â&#x;ş | |đ?‘Ľ| + |đ?‘Ś| | = |x| + |đ?‘Ś| .

Il secondo membro e’ non negativo, ovvero e’ |x| + |�| ≼ 0.

La scrittura | |�| + |�| | e’ puramente formale e per le limitazioni poste si ha che:

| |�| + |�| | = |x| + |�| ≼ 0.

E’ immediato evidenziare la conservazione del prodotto e concludere che đ?œ‘

đ?œ‘: đ?‘§ + → đ?‘? + z → |z| e’ un omomorfismo. đ?œ‘

E’ agevole dimostrare che đ?œ‘: đ?‘§ − → đ?‘? + z → |z| e’ un omomorfismo.

La moltiplicazione al solito non pone problemi.

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici Per la addizione si deve lavorare su |đ?‘Ľ + đ?‘Ś| = |x| + |đ?‘Ś| Gli elementi |đ?‘Ľ + đ?‘Ś| , |x| đ?‘’ |đ?‘Ś| devono intendersi quali elementi di đ?‘? + .

Sovviene la nozione di valore assoluto per la quale si ha |z| = −đ?‘§ quando z < 0.

Da |đ?‘Ľ + đ?‘Ś| = |x| + |đ?‘Ś|

si ha |đ?‘Ľ + đ?‘Ś| = − (đ?‘Ľ + đ?‘Ś) ed anche |x| =−đ?‘Ľ đ?‘’ |đ?‘Ś| =− đ?‘Ś .

Ovvero − (đ?‘Ľ + đ?‘Ś) = −đ?‘Ľ + (− đ?‘Ś) da cui − (đ?‘Ľ + đ?‘Ś) = −(đ?‘Ľ + đ?‘Ś).

Per le limitazioni poste su x ed y (interi non positivi) la relazione e’ sempre verificata. Va osservato che (đ?‘Ľ + đ?‘Ś) e’ elemento di đ?‘? − per la proprieta’ di chiusura. Il numero − (đ?‘Ľ + đ?‘Ś) > 0 e’ un elemento di đ?‘? + .

Viene solitamente ricordato che negli omomorfismi non necessariamente vale la relazione đ?œ‘(1đ?‘… ) = 1đ?‘…′ Occorre ora considerare la nozione di nucleo di un omomorfismo.

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici Dato un omomorfismo đ?œ‘ tra R ed R’ il nucleo di un omomorfismo e’ l’insieme i cui elementi sono tutti e soli gli elementi di R tali che essi siano in relazione con R’ e risulti đ?œ‘(đ?‘&#x;) = 0đ?‘…′ .

La prima importante dimostrazione da fare e’ che l’insieme Kerđ?œ‘ e’ un anello.

La seconda dimostrazione e’ evidenziare che se đ?‘&#x;đ?‘˜đ?‘’đ?‘&#x; e’ un elemento di Kerđ?œ‘ allora pure rđ?‘&#x;đ?‘˜đ?‘’đ?‘&#x; e đ?‘&#x;đ?‘˜đ?‘’đ?‘&#x; đ?‘&#x; e’ un elemento di Kerđ?œ‘ ∀đ?‘&#x; | đ?‘&#x; ∈ R.

Dimostriamo, quindi, che Kerđ?œ‘ e’ un anello.

Gli elementi di Kerđ?œ‘ sono tutti e soli gli elementi r di R tali che risulti đ?œ‘(đ?‘&#x;) = 0đ?‘…′ .

Quindi non ogni elemento r ∈ R e’ tale che r ∈ Kerđ?œ‘ .

Infatti esistono elementi r ∈ R | đ?œ‘(đ?‘&#x;) ≠0đ?‘…′ .

Occorre quindi dimostrare che Kerđ?œ‘ e’ un sottoanello di R.

Si puo’ anche scrivere che Kerđ?œ‘ ⊆ R.

In generale Kerđ?œ‘ ⊂ R.

Astrattamente dovrebbe dimostrarsi che Kerđ?œ‘ ≠∅ . đ?œ‘

In effetti nei monomorfismi si ha che �� → 0�′ .

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici Quindi Kerđ?œ‘ dovendo contenere đ?‘‚đ?‘… non puo’ essere vuoto.

Una conseguenza della fedinizione operative di sottoanello S di R ⌋Piacentini CattaneoâŚŒ e’ che assegnati due elementi di Kerđ?œ‘ allora anche la loro somma e il loro prodotto e’ un elemento di Kerđ?œ‘.

Si diano due elementi đ?‘&#x;1 đ?‘’đ?‘‘ đ?‘&#x;2 tali che essi siano elementi di Kerđ?œ‘ ovvero tali che risulti

đ?œ‘(đ?‘&#x;1 ) = đ?œ‘(đ?‘&#x;2 ) =đ?‘‚đ?‘…′ Dalla definizione di conservazione delle operazioni del monomorfimo si ha:

đ?œ‘(đ?‘&#x;1 + đ?‘&#x;2 ) = đ?œ‘(đ?‘&#x;1 ) + đ?œ‘(đ?‘&#x;2 ) = đ?‘‚đ?‘…′ + đ?‘‚đ?‘…′

Ma da đ?œ‘(đ?‘&#x;1 ) + đ?œ‘(đ?‘&#x;2 ) = đ?‘‚đ?‘…′ + đ?‘‚đ?‘…′ si evince ictu oculi che đ?œ‘(đ?‘&#x;1 + đ?‘&#x;2 ) = đ?‘‚đ?‘…′.

La conclusione đ?œ‘(đ?‘&#x;1 + đ?‘&#x;2 ) = đ?‘‚đ?‘…′ equivale ad ammettere che l’elemento (đ?‘&#x;1 + đ?‘&#x;2 ) di R e’ pure elemento di di Kerđ?œ‘.

Analogamente nei monomorfismi viene conservato il prodotto.

Ovvero risulta, per definizione, che:

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici đ?œ‘(đ?‘&#x;1 đ?‘&#x;2 ) = đ?œ‘(đ?‘&#x;1 )đ?œ‘(đ?‘&#x;2 )

Ma poiche’ risulta che đ?‘&#x;1 đ?‘’đ?‘‘ đ?‘&#x;2 sono elementi di Kerđ?œ‘ allora risulta che:

đ?œ‘(đ?‘&#x;1 )đ?œ‘(đ?‘&#x;2 ) =0đ?‘…′ 0đ?‘…′ Quindi sarebbe đ?œ‘(đ?‘&#x;1 )đ?œ‘(đ?‘&#x;2 ) =0đ?‘…′ 0đ?‘…′ = đ?œ‘(đ?‘&#x;1 đ?‘&#x;2 ) =0đ?‘…′

La conclusione đ?œ‘(đ?‘&#x;1 đ?‘&#x;2 ) =0đ?‘…′ equivale ad ammettere che đ?‘&#x;1 đ?‘&#x;2 e’ un elemento di Kerđ?œ‘.

Kerđ?œ‘ e’ un sottoanello di R.

La seconda dimostrazione e’ parimenti semplice. Sia r un elemento di R tale che đ?œ‘(đ?‘&#x;) = 0đ?‘…′ e si ocnsideri un β∈ đ?‘… đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™đ?‘’ đ?‘?â„Žđ?‘’ đ?œ‘(đ?›˝) ≠0đ?‘…′ ovvero si consideri un β tale che β ∉ Kerđ?œ‘.

Si consideri l’elemento βr e quindi sia đ?œ‘

βr → đ?œ‘(đ?›˝đ?‘&#x;) = đ?œ‘(đ?›˝)đ?œ‘(đ?‘&#x;)

Aver scritto đ?œ‘(đ?›˝đ?‘&#x;) = đ?œ‘(đ?›˝)đ?œ‘(đ?‘&#x;) e’ ammissibile in quanto si tratta di un monomorfismo.

Si puo’ quindi scrivere che:

đ?œ‘(đ?›˝đ?‘&#x;) = đ?œ‘(đ?›˝)đ?œ‘(đ?‘&#x;) = đ?œ‘(đ?›˝)0đ?‘…′ = 0đ?‘…′ (annullamento del prodotto). - 166 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici Quindi đ?›˝đ?‘&#x; e’ elemento di Kerđ?œ‘ đ?‘Žđ?‘›đ?‘?â„Žđ?‘’ đ?‘žđ?‘˘đ?‘Žđ?‘›đ?‘‘đ?‘œ đ?›˝ non e’ elemento di Kerđ?œ‘.

Analoga riflessione puo’ essere fatta per l’elemento rβ sotto le stesse condizioni per r e per β.

Ideali e anello quoziente. La proiezione canonica. Dato un anello R un ideale destro di esso e’ un sottogruppo additivo di R, solitamente indicato con la lettera I, tale che se a ∈ I allora ar ∈ I, essendo r un qualunque elemento di R, cioe’ si ammette che ar ∈ I ∀ đ?‘&#x; đ?‘‘đ?‘– đ?‘….

In modo del tutto analogo si da la definizione di ideale sinistro. I e’ un ideale bilatero, o semplicemente un ideale di R, se per ogni a di A allora ar e ra sono elementi di I, comunque sia preso r elemento di R. Dato (R, +, ∗ ) e’ un anello per ipotesi.

Sia đ?œŒ una relazione di equivalenza in R (cioe’ come al oslito tra elementi di R).

Occorre dare la definizone di relazione compatibile con le operazioni definite su R. Una relazione di equivalenza e’ compatitible con le operazioni definite su R se vale la seguente implicazione logica:

( đ?‘Ž1 đ?œŒđ?‘Ž2 , đ?‘?1 đ?œŒđ?‘?2 ) ⇒ ( (đ?‘Ž1 +đ?‘?1 )đ?œŒ(đ?‘Ž2 + đ?‘?2 ) , đ?‘Ž1 đ?‘?1 đ?œŒđ?‘Ž2 đ?‘?2 )

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici Se la relazione di equivalenza ha queste caratteristiche l’insieme costituito dagli x ∈ R tali che xđ?œŒ0 e’ un ideale bilatero di R.

Si scrive che I = { x ∈ R | xđ?œŒ0 }.

Occorre dimostrare il seguente teorema:

( ∀ x, y | x, y ∈ I , ∀ r| r ∈ R ) ⇒ ( (x − đ?‘Ś) ∈ I, xr ∈ I, rx ∈ I )

Dallo scrivere x ∈ I e y ∈ I (per la definizione di ideale di un anello) discende che xđ?œŒ0 e yđ?œŒ0.

(ed anche 0đ?œŒđ?‘Ľ e 0đ?œŒđ?‘Ś).

Ma si osserva che 0 e’ un elemento di R. Quindi 0x e 0y sono elementi di I ed anche x0 e y0 lo sono.

Da esse discende che xđ?œŒđ?‘Ś e (−y)đ?œŒ(−đ?‘Ś).

La prima relazione e’ vera in quanto da xđ?œŒ0 e da 0đ?œŒđ?‘Ś si ricava xđ?œŒđ?‘Ś.

La seconda relazione, cioe’ (−y)đ?œŒ(−đ?‘Ś) e’ la proprieta’ riflessiva.

La dimostrazione si sviluppa ricordando che (x − đ?‘Ś) ∈ I in quanto la relazione e’ compatibile e

da (xđ?œŒ0, −đ?‘Śđ?œŒ0 ) ⇒ ( x+(−đ?‘Ś) đ?œŒ(0 + 0)) = (x−đ?‘Ś)đ?œŒ0.

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici Ma (x−đ?‘Ś)đ?œŒ0 equivale ad ammettere che (x−đ?‘Ś) ∈ đ??ź.

Sia x ∈ I e r ∈ R.

Da x ∈ I si puo’ scrivere che xđ?œŒ0 per la definizione di ideale.

Relativamente ad r poiche’ đ?œŒ e’ una relazione di equivalenza allora si puo’ scrivere rđ?œŒr (per la proprieta’ riflessiva). Si puo’ consiederare la compabibilita’ di đ?œŒ rispetto alla moltiplicazione, ovvero:

( xđ?œŒ0 , rđ?œŒr) ⇒ xrđ?œŒ0đ?‘&#x; = xrđ?œŒ0

Dal che si evince che xr ∈ I.

Analogamente si dimostra che rx ∈ I.

Dato un anello R, un ideale I di esso e una relazione di equivalenza đ?œŒ compatibile con le due operazioni definite su R tale che risulti xđ?œŒđ?‘Ś â&#x;ş đ?‘Ľ − đ?‘Ś ∈ đ??ź .

Detta relazione e’ chiamata congruenza modulo I.

Va ulteriormente precisato il significato della scrittura R/đ?œŒ quando R e’ un anello e la relazione di equivalenza đ?œŒ e’ compatibile con le due operazioni, somma e prodotto, definite in R.

Va definito l’insieme i cui elementi sono tutti e solo gli x ∈ A tali che xđ?œŒđ?‘Ž đ?‘’đ?‘ đ?‘ đ?‘’đ?‘›đ?‘‘đ?‘œ đ?‘Ž ∈ đ?‘….

- 169 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici Detto insieme costiutisce una classe di equivalenza e si scrive che: đ?‘ŽĚ… =⌋aâŚŒ ={ x ∈ R | xđ?œŒđ?‘Ž}

Ovviamente l’elemento a ∈ đ?‘ŽĚ….

L’insieme quoziente R/đ?œŒ ha come elementi le varie classi di equivalenza e si puo’ scrivere che

R/đ?œŒ = { đ?‘ŽĚ… | a ∈ R }

Viene quindi introdotto un ideale I di R tale che sia vera la seguente coimplicazione: xđ?œŒđ?‘Ś â&#x;ş đ?‘Ľ − đ?‘Ś ∈ đ??ź .

L’insieme quoziente R/đ?œŒ puo’ essere inteso come R/đ??ź.

L’insieme quoziente R/đ??ź e’ costituito dale classi a + đ??ź che sono costituite dagli elementi a +đ?‘– .

Si scrive che a +đ??ź = {đ?‘Ž + đ?‘– |đ?‘– ∈ đ??ź} = {đ?‘Ľ ∈ đ?‘… | đ?‘Ľđ?œŒđ?‘Ž}.

(R/đ??ź, +, ∗ ) e’ un anello e la classe I ne e’ lo zero.

L’applicazione đ?œ‹ : a → a +đ??ź = đ?‘ŽĚ… e’ detta proiezione canonica sul quoziente.

I e’ il nucleo, ovvero e’ : Kerđ?œ‹ = I.

đ?œ‹ : a∈ R → đ?‘ŽĚ… ∈ R/đ??ź e’ un epimorfismo. - 170 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici Infatti, non puo’ esistere una classe di equivalenza che non sia classe di equivalenza di un a ∈ R.

Il teorema fondamentale di omomorfismo tra anelli Il teorema fondamentale viene solitamente rappresentato graficamente come segue.

Gli omomorfismi f e đ?œ‹ sono dati, mentre f∗ deve essere provato quanto ad esistenza. In particolare deve essere che f = f∗ ° đ?œ‹. Per ipotesi, essendo f un monomorfismo, si ha f(x+đ?‘Ś) = đ?‘“(đ?‘Ľ) + đ?‘“(đ?‘Ś) f(xđ?‘Ś) = đ?‘“(đ?‘Ľ)đ?‘“(đ?‘Ś) Rispetto al morfismo đ?œ‹ che manda un elemento di R nella classe di equivalenza di esso la relazione di equivalenza pare condizionata dal morfismo f, in quanto deve ritenersi che due elementi di R sono equivalenti quando f(x) = f(y).

- 171 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici Quindi a questa condizione x ed y si devono ritenere equivalenti. Quindi ad essi tramite đ?œ‹ corrisponde la medesima classe di equivalenza.

Due elementi per i quali non e’ vero che f(x) = f(y) sono elementi rappresentativi di due distinte classi di equivalenza che si indicano solitamente come ⌋xâŚŒ e ⌋yâŚŒ .

L’insieme R/Ker f contiene come elementi le classi di equivalenza definite dal morfismo. Tutti gli a | a ∈ R con a âˆˆâŚ‹xâŚŒ sono tali che f(a) = f(x), mentre tutti i b |ba ∈ R con b âˆˆâŚ‹yâŚŒ sono tali che f(b) = f(y). La f∗ e’ tale che ad una classe ⌋xâŚŒ corrisponda un f(x) e che a distinte classi corrispondano, ovviamente, distinti elementi di Imf . All’elemento (x+đ?‘Ś) đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘–đ?‘ đ?‘?đ?‘œđ?‘›đ?‘‘đ?‘’ tramite đ?œ‹ la classe di equivalenza ⌋ x+đ?‘ŚâŚŒ e tramite f∗ ottiene f(x+đ?‘Ś).

Si ha: ⌋ x+đ?‘ŚâŚŒ = ⌋ đ?‘ĽâŚŒ +⌋ đ?‘ŚâŚŒ

E’ immediato che Imf =Imđ?‘“ ∗ .

- 172 -

si

Patrizio Gravano – Appunti Matematici

Primi approfondimenti sulla teoria dei gruppi Si tratta di strutture algebriche costituite da un insieme G e da una sola operazione binaria che puo’ essere addiviva o moltiplicativa. L’operazione binaria si indica con il simbolo ∗ .

Formalmente si ha:

G Ă— G → G | (a , b) → a∗ đ?‘?

Detta operazione ∗ e’ associativa, ovvero si ha:

(a∗ đ?‘?) ∗ đ?‘? = đ?‘Ž ∗ (đ?‘? ∗ đ?‘?)

Nei gruppi esiste un elemento e detto elemento neutro per il quale a∗ đ?‘’ = đ?‘’ ∗ đ?‘Ž = a .

L’elemento neutro e’ unico. L’elemento inverso, che e’ unico, e’ tale che a∗ đ?‘Žâˆ’1 =đ?‘Žâˆ’1 ∗ đ?‘Ž = e .

La proprieta’ commutativa non e’ necessaria ma e’ possibile che in gruppo risulti: a∗ đ?‘? = đ?‘? ∗ đ?‘Ž

I gruppi nei quali vige detta proprieta’ sono detti abeliani. Si dimostra che: (đ?‘Ž ∗ đ?‘?)−1 = đ?‘? −1 ∗ đ?‘Žâˆ’1

- 173 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici Nel dimostrarla non puo’ essere utilizzata la propieta’ commutativa che non sempre e’ vera per G.

Ammettiamo sia vera. (đ?‘Ž ∗ đ?‘?)−1 = đ?‘? −1 ∗ đ?‘Žâˆ’1 â&#x;ş (a∗ đ?‘?) (đ?‘Ž ∗ đ?‘?)−1 = (a∗ đ?‘?) ∗ ( đ?‘? −1 ∗ đ?‘Žâˆ’1 ) â&#x;ş e = (a∗ đ?‘?) ∗ ( đ?‘? −1 ∗ đ?‘Žâˆ’1 ) â&#x;ş e = a ∗ đ?‘? ∗ đ?‘? −1 ∗ đ?‘Žâˆ’1 â&#x;ş e = a ∗ (đ?‘? ∗ đ?‘? −1 ) ∗ đ?‘Žâˆ’1 â&#x;ş e = a ∗ (đ?‘’) ∗ đ?‘Žâˆ’1 â&#x;ş e = ( a ∗ đ?‘’) ∗ đ?‘Žâˆ’1 â&#x;ş e =a∗ đ?‘Žâˆ’1 e, in definitiva e = đ?‘’.

Puo’ essere fatto qualche esempio elementare di gruppo prima di considerare alcuni semplici approfondimenti. Nei gruppi additive l’operazione ∗ e’ ‘ordinaria addizione o somma.

Sia C l’insieme dei numeri complessi e si studi quindi la struttura (C, +) .

Va innanzitutto evidenziato che la somma di numeri complessi e’ associativa.

Infatti, si ha:

( (a, b) + (c, d) ) + (r, s) = (a, b) + ( (c, d) + (r, s) )

(a + c , b + d) + (r, s) = (a, b) + (c + r , d + s)

- 174 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici (a + c + đ?‘&#x; , b + d+ s) = (a +c + r , b +d + s)

Esistenza ed unicita’ dell’elemento neutro rispetto alla somma. (a, b) + (0, 0) = (a +0, đ?‘? + 0) = (a, b)

In modo analogo si dimostra che (0, 0) + (a, b) = (a, b).

La coppia (0, 0) e’ l’elemento neutro della somma in C, insieme dei numeri complessi.

Esistenza ed unicita’ dell’elemento inverso. (a, b) + (� , �) = (0 , 0)

Deve essere

(a +đ?›ź, đ?‘? + đ?›˝) = (0, 0)

Deve quindi risultare che:

a +� = 0

đ?‘? +đ?›˝ =0

Ovvero deve essere đ?›ź = −đ?‘Ž e đ?›˝ = −đ?‘?.

Si osservi che il gruppo considerato e’ abeliano, cioe’ commutativo.

- 175 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici I gruppi (G, ⋆) sono facilmente rappresentabili in forma tabellare.

⋆

đ?‘”1 đ?‘”1

đ?‘”7

�1 ⋆ �1

�5 ⋆ �1

đ?‘”7

Va ora data la definizione di sottogruppo di un gruppo dato. L’insieme G’ ⊆ G e’ un sottogruppo di un gruppo dato quando rispetto alla medesima legge ∗ esso e’ un gruppo.

G’ e’ tale che l’elemento neutro di G e’ anche elemento di G’. Vale la chiusura, ovvero se x ed y sono due elementi di G’ allora l’elemento x∗ đ?‘Ś e’ un elemento di G’. Inoltre, ∀đ?‘Ľ ∈ đ??ş ′ đ?‘Žđ?‘™đ?‘™đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ž pure đ?‘Ľ −1 e’ un elemento di G’.

- 176 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici La scrittura G’≤ G indica che G’ e’ un sottogruppo di G.

Non necessariamente e’ vero che G’ ⊆ G ⇒ G’≤ G.

Occorre ora dare la definizione di centro del gruppo. Dato un gruppo (G, ⋆) il centro del gruppo Z(G) e’ il seguente insieme:

Z(G) = { g ∈ G | gx = đ?‘Ľđ?‘” ∀đ?‘Ľ đ?œ– đ??ş}

L’insieme Z(G) e’ costituito dagli elementi g đ?œ– đ??ş per i quali gx = đ?‘Ľđ?‘” per i quali quindi vale la commutativita’.

Se il gruppo e’ commutativo la relazione gx = đ?‘Ľđ?‘” e’ vera in generale in quanto preso uno qualunque dei g che lo compongono si hanno (n−1) eguaglianze commutative. E questo vale per ognuno degli elementi di G. In buona sostanza Z(G) = G.

Se ( G, ⋆) non e’ commutativo allora risulta che Z(G) < G.

Bisogna dimostrare che Z(G) e’ un gruppo.

- 177 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici Se, ad esempio, fosse ( G, ⋆) un gruppo additivo, allora sarebbe vero che gli elementi di Z(G) sarebbero solo gli elementi di G, detti g, per i quali sarebbe:

đ?‘”+đ?‘Ľ =đ?‘Ľ+đ?‘”

quando detta eguaglianza commutativa e’ sempre verificata al variare di x.

Nel caso particolare anche per x = g.

Nel caso moltiplicativo con significato analogo sarebbero elementi del centro del gruppo gli elementi g per i quali sia gx = xg, al variare di x.

Se x e’ l’elemento neutro di G, nella prospettiva moltiplicativa si avrebbe:

ex = xe = x ∀đ?‘Ľ | đ?‘Ľ ∈ đ??ş

Quindi e e’ l’elemento neutro di Z(G) . Z(G) contiene almento un elemento e, quindi non e’ vuoto.

Detto elemento e’ anche l’elemento neutro di Z(G). Sia dato un gruppo ( G, ⋆) e sia g un elemento di G. Sia i un elemento di Z.

�� = g⋆g⋆g⋆g ⋆g

(i volte)

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici Esempio �3 = g⋆g⋆g

Per definizione đ?‘”0 = e. đ?‘”−đ?‘– = đ?‘”−1 ⋆đ?‘”−1 ⋆đ?‘”−1 ⋆‌.⋆ đ?‘”−1 ( − đ?‘– đ?‘Łđ?‘œđ?‘™đ?‘Ąđ?‘’).

Si dimostra che �� ⋆ � � = ��+� . Inf

Infatti si ha �� ⋆ � � = (g⋆g⋆‌⋆g) ⋆ (g⋆g⋆‌⋆g) = g⋆g⋆‌⋆g ⋆ g⋆g⋆‌⋆g = ��+� .

Si dimostra pure che (�� )� = ���

Infatti si puo’ scrivere (�� )� = (� ⋆ � ⋆ ‌ ⋆ �)� .

Quando la legge ⋆ e’ quella additive allora si scrive �� ≥ ig = g + � + � + ⋯ . . +� (i volte).

Dato un gruppo G e dato un sottoinsieme X di esso, sia cioe’ X ⊆ G.

Si chiede di determinare il piu’ piccolo sottogruppo di G che contiene X.

â&#x;¨Xâ&#x;Š =â‹‚đ?‘‹âŠ†đ??ť ≤đ??ş đ??ť Sia V = {g} ⊆ G.

Va definito il gruppo ciclico generato da g. â&#x;¨gâ&#x;Š = { đ?‘”đ?‘– | i ∈ Z }.

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici â&#x;¨gâ&#x;Š e’ un sottogruppo di G ed e’ il piu’ piccolo tra tutti i sottogruppi contenenti g.

L’insieme â&#x;¨gâ&#x;Š contiene come elementi tutti i đ?‘”đ?‘– ove g ∈ X ⊆ G.

Vanno studiate le proprieta’ di â&#x;¨gâ&#x;Š rispetto alla legge ⋆.

La prima proprieta’ e la proprieta’ associativa.

Infatti per opportuni a, b, c possiamo evidenziare che: (đ?‘”đ?‘Ž ∗ đ?‘”đ?‘? ) ∗ đ?‘”đ?‘? = đ?‘”đ?‘Ž ∗ (đ?‘”đ?‘? ∗ đ?‘”đ?‘? )

đ?‘”đ?‘Ž+đ?‘? ∗ đ?‘”đ?‘? = đ?‘”đ?‘Ž ∗ đ?‘”đ?‘?+đ?‘?

đ?‘”đ?‘Ž+đ?‘?+đ?‘? = đ?‘”đ?‘Ž+đ?‘?+đ?‘? Elemento neutro: đ?‘”0 = đ?‘’.

đ?‘”0 ∗ đ?‘”đ?‘– = đ?‘”đ?‘– ∗ đ?‘”0

�0+� = ��+0

đ?‘”đ?‘– = đ?‘”đ?‘– ∀đ?‘”đ?‘– ∈ â&#x;¨gâ&#x;Š.

Elemento inverso (unico). đ?‘”−đ?‘– | đ?‘”−đ?‘– ∗ đ?‘”đ?‘– = đ?‘”đ?‘– * đ?‘”−đ?‘–

- 180 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici

đ?‘”−đ?‘–+đ?‘– = đ?‘”đ?‘–−đ?‘–

đ?‘”0 = đ?‘”0

Verifica della commutativita’. đ?‘”đ?‘– ∗ đ?‘” đ?‘— = đ?‘” đ?‘— ∗ đ?‘”đ?‘–

��+� = � �+�

Ordine o periodo di g. Dato un gruppo (G, *) e’ possibile che sia �ℎ = � .

Se G e’ finito pure finito e’ â&#x;¨gâ&#x;Š . Da đ?‘” đ?‘ = đ?‘”đ?‘Ą si ha đ?‘” đ?‘ −đ?‘Ą = đ?‘”đ?‘Ąâˆ’đ?‘Ą = đ?‘’.

In definitiva đ?‘”â„Ž = đ?‘’. Il piu’ piccolo r tale che đ?‘”đ?‘&#x; = đ?‘’ e’ detto ordine o periodo di g.

Se detto r non esiste allora si dice che g ha periodo infinito.

Ordine o periodo di G.

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici Se G e’ finito allora l’ordine di G e’ |G| coincidente con la cardinalita’ dell’insieme G, ovvero cn il numero dei suoi elementi. â&#x;¨gâ&#x;Š e’ un sottogruppo infinito se g ha period infinito e se da h ≠đ?‘˜ consegue đ?‘”â„Ž ≠đ?‘”đ?‘˜ .

Se g ha periodo n â&#x;¨gâ&#x;Š ha cardinalita’ n ed i suoi elementi sono:

â&#x;¨gâ&#x;Š = {e≥ đ?‘”0 , đ?‘”1 , ‌ . đ?‘”đ?‘– , ‌ . đ?‘”đ?‘›âˆ’1}

Quando si puo’ scrivere G =â&#x;¨gâ&#x;Š si dice che il gruppo e’ ciclico.

Gruppo delle trasformazioni.

G si dice gruppo delle trasformazioni di un insieme X se G e’ un sottogruppo del gruppo (S(X), ° ) di tutte le corrispondenze biunivoche.

Esempio elementare di trasformazioni sono le isometrie del piano, ovvero i movimenti rigidi del piano come trasformazioni che conservano le distanze.

Morfismi tra gruppi Dati due gruppi (G, *), (G’, ∙ ) deve essere data la definizione di omomorfismo.

Un omomorfismo e’ una funzione đ?œ‘ per la quale viene conservata l’operazione, ovvero deve risultare che:

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici đ?œ‘: G → G’ | đ?œ‘(đ?‘Ž ∗ đ?‘?) = đ?œ‘(đ?‘Ž)đ?œ‘(đ?‘?) ∀đ?‘Ž, đ?‘? đ?œ– đ??ş.

Il nucleo dell’applicazione e’: Kerđ?œ‘ = { g ∈ G | đ?œ‘(đ?‘”) = đ?‘’đ??şâ€˛ }.

Si tratta, come facilmente si evince, dell’insieme i cui elementi sono tutti e soli gli elementi g dell’insieme G che sono in corrispondeza con lo zero di G’, ovvero con đ?‘’đ??şâ€˛ .

Kerđ?œ‘ = { g ∈ G | đ?œ‘(đ?‘”) = đ?‘’đ??şâ€˛ } e’ un sottogruppo di G. Deve essere đ?‘’đ??ş ∈ Kerđ?œ‘ , deve valere la chiusura e deve contentere l’elemento đ?‘Ľ −1 . Si ha che đ?œ‘(đ?‘’đ??ş ) = đ?‘’đ??şâ€˛ quindi đ?‘’đ??ş ∈ Kerđ?œ‘.

Siano đ?‘”â„Ž đ?‘’ đ?‘”đ?‘˜ due eleementi di G tali che essi siano anche elementi di Kerđ?œ‘.

Sarebbe đ?œ‘(đ?‘”â„Ž ) = đ?‘’đ??şâ€˛ e đ?œ‘(đ?‘”đ?‘˜ ) = đ?‘’đ??şâ€˛ .

Quindi occorre dimostrare che đ?œ‘(đ?‘”â„Ž ∗ đ?‘”đ?‘˜ ) = đ?‘’đ??şâ€˛

Si tratta di un monomorfismo, quindi si puo’ scrivere: đ?œ‘(đ?‘”â„Ž ∗ đ?‘”đ?‘˜ ) = đ?œ‘(đ?‘”â„Ž ) đ?œ‘(đ?‘”đ?‘˜ ) = đ?‘’đ??şâ€˛ đ?‘’đ??şâ€˛ ⇒ đ?œ‘(đ?‘”â„Ž ∗ đ?‘”đ?‘˜ ) = đ?‘’đ??şâ€˛ .

Quindi (đ?‘”â„Ž ∗ đ?‘”đ?‘˜ ) ∈ Kerφ.

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici ∀ g ∈ G | đ?œ‘(g) = đ?‘’đ??şâ€˛

E’ evidente che g*đ?‘”−1 = đ?‘’đ??ş ⇒ đ?œ‘( g*đ?‘”−1 ) = đ?œ‘(đ?‘’đ??ş ) = đ?‘’đ??şâ€˛ . Posto g = đ?‘’đ??ş allora si ha đ?œ‘( e*đ?‘”−1 ) = đ?œ‘(đ?‘”−1) = đ?‘’đ??şâ€˛ . Quindi g −1 e’ elemento del nucleo di đ?œ‘.

Imđ?œ‘ ={ g’ ∈ G’ | g’ = đ?œ‘(đ?‘”)}

(G’, *) e’ un gruppo (per ipotesi).

Esso ha una elemento neutro e’;. Si ha pure che đ?œ‘(đ?‘’) = đ?‘’ ′ , đ?‘œđ?‘Łđ?‘’ đ?‘’ ′ đ?‘’ đ?‘–đ?‘™ đ?‘›đ?‘’đ?‘˘đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘œ đ?‘‘đ?‘– đ??ş ′ .

L’elemento e’ e’ un elemento di Imđ?œ‘.

Dati due elementi g’ e x’ di G’ allora risulta che: đ?œ‘(đ?‘”)đ?œ‘(đ?‘Ľ) = đ?œ‘(đ?‘” ∗ đ?‘Ľ)

g*x e’ elemento di G (chiusura su G). đ?œ‘(đ?‘” ∗ đ?‘Ľ) ∈ đ??ş ′ deriva immediatamente dal fatto che đ?œ‘ e’ un monomorfismo.

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici Sia per ipotesi dato un g ∈ G tale che đ?œ‘(đ?‘”) ∈ đ??źđ?‘šđ?‘“.

Si osservi che: đ?œ‘(đ?‘”)đ?œ‘(đ?‘”−1 ) =đ?œ‘(đ?‘” ∗ đ?‘”−1 ) = đ?œ‘(đ?‘’đ??ş ) =đ?‘’đ??şâ€˛ . E’ ora opportuno passare alla definizione di isomorfismo tra gruppi e alla enunciazione del teorema di Cayley. Dati due gruppi (G, *) e (G’, ∙ ) si dice che essi sono isomorfi e si scrive G ≃ G’ quando esiste un morfismo biunivoco per il quale, comunque si prendano due elementi di G, sia: đ?œ‘(a*b) = đ?œ‘(đ?‘Ž)đ?œ‘(đ?‘?)

Un esempi otipico di isomorfismo riferito all’insieme R (campo) dei numeri reali e’ il seguente: (R, +) ≃ (R, ∙) rispetto ala morfismo della funzione esponenziale di una variabile reale, ovvero quando đ?œ‘ ≥ đ?‘’ đ?‘Ľ ( R → R | x → đ?‘’ đ?‘Ľ ).

La dimostrazione e’ immediata ricordando che: đ?œ‘(a*b) = đ?œ‘(đ?‘Ž)đ?œ‘(đ?‘?) conduce a:

đ?‘’ đ?‘Ž+đ?‘? = đ?‘’ đ?‘Ž đ?‘’ đ?‘? = đ?‘’ đ?‘Ž+đ?‘? c.v.d.

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici La funzione inversa e’ đ?œ‘ −1 = ln(x).

Infine va enunciato il teorema di Cayley per il quale ogni gruppo e’ isomorfo ad un gruppo di trasformazioni.

Sia dato un opportune insieme X. Sia quindi dato S(X).

Sia S’(X) un sottogruppo di S(X). (G, *) ≃ (S(X) , ° ).

Si ponga X ≥ G.

Si consideri una opportuna applicazione detta trasformazione đ?‘‡đ?‘Ž tale che x → ax ∀x ∈ G.

E’ una corrispondenza biunivoca di G in se’ per la quale si puo’ scrivere che:

��

đ?‘‡đ?‘Žâˆ’1

x → ax → x

Poiche’ a distinti valori di x, per a dato ed elemento di G, corrispondono distinti ax si puo’ affermare che �� e’ una iniezione.

In termini formali si puo’ scrivere che: ��

x ≠� → ax ≠��.

- 186 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici Il fatto che đ?‘‡đ?‘Ž sia suriettiva, ovvero che Im đ?‘‡đ?‘Ž = G , deriva dal fatto che ax ∈ G .

Quindi ax puo’ essere scritto come y = ax.

In generale gli elementi di G possono essere anche essere rappresentati come �� = a�� . Ampiamente gli elementi �� x sono elementi di G.

La trasformazione đ?‘‡đ?‘Ž e’ una suriezione e đ?‘‡đ?‘Ž ∈ đ?‘†(đ??ş).

đ?›š: (G, ∙) → đ?‘†(đ??ş) , °)

a → ��

Tramite l’applicazione � ad a di G corrisponde univocamente �� .

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici Si puo’ scrivere che: �� : x → ax

đ?‘‡đ?‘? : x → bx

đ?‘‡đ?‘Žđ?‘? : x → (ab)x

Si scrive che: đ?‘‡đ?‘Žđ?‘? = abx = a(bx) =a đ?‘‡đ?‘? .

Sostanzialmente e’ vero che đ?‘‡đ?‘Žđ?‘? = đ?‘‡đ?‘Ž ° đ?‘‡đ?‘? .

đ?‘‡đ?‘Žđ?‘? = Ψ(ab)

đ?‘‡đ?‘Ž = Ψ(a)

đ?‘‡đ?‘? = Ψ(b)

Cio’ implica che Ψ(ab) = Ψ(a)° Ψ(b).

Da đ?‘‡đ?‘Ž = đ?‘‡đ?‘? si ha ax = bx, da cui per la proprieta’ di cancellazione si ha a = b.

Ψ e’ una iniezione.

- 188 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici Per definizione Ψ(G) = { đ?‘‡đ?‘Ž | a ∈ G}.

Ψ(G) < S(G).

Ψ(G) ≃ G.

Una ultima osservazione. G ≃ G’ presuppone che i due gruppi siano entrambi non commutativi o entrambi abeliani.

Se si e’ dimostrato che đ?œ‘(a*b) = đ?œ‘(đ?‘Ž)đ?œ‘(đ?‘?) e si e’ dimostrato pure che đ?œ‘(đ?‘Ž)đ?œ‘(đ?‘?) = đ?œ‘(đ?‘?)đ?œ‘(đ?‘Ž) allora si e’ pure dimostrato che đ?œ‘(a*b) = đ?œ‘(b*a).

Ovvero (G, *) e’ abeliano.

- 189 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici

Appendice SU FUNZIONI POLINOMIALI ED IN PARTICOLARE SU QUELLE DI TERZO GRADO

Le funzioni polinomiali di terzo grado sono del tipo p(x) = ađ?‘Ľ 3 + đ?‘?đ?‘Ľ 2 +đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘‘. La funzione polinomiale e’ una funzione per la quale dom p(x) = Re Im p(x) = R. E’ una suriezione.

Le intersezioni con gli assi sono cosi’ ottenute: 1) intersezione con l’asse delle ascisse, ponendo y = 0, ovvero risolvendo l’equazione ađ?‘Ľ 3 + đ?‘?đ?‘Ľ 2 +đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘‘ = 0. 2) intersezione con l’asse delle ordinate ponendo x = 0, ovvero p(0) = d.

Passaggio per l’origine Pertanto la funzione polinomiale di III grado passa per l’origine quando d = 0. In

questo caso si ha (0, p(0)) ≥ (0, 0) � origine del sistema di riferimento.

Limiti all’infinito lim đ?‘?(đ?‘Ľ) = Âąâˆž a seconda che sia a > 0 oppure sia a < 0.

đ?‘Ľâ†’+∞

lim đ?‘?(đ?‘Ľ) = ∓ ∞ a seconda che sia a > 0 oppure sia a < 0.

đ?‘Ľâ†’−∞

Derivata del primo ordine p’(x) = 3ađ?‘Ľ 2 + 2đ?‘?đ?‘Ľ1 +đ?‘? + 0 =3ađ?‘Ľ 2 + 2đ?‘?đ?‘Ľ +đ?‘?

- 190 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici (In generale una derivata prima di una funzione polinomiale p(x) di grado n puo’ essere scritta come p’(x) = ∑đ?‘›đ?‘–=1 đ?‘–đ?‘Žđ?‘– đ?‘Ľ đ?‘–−1 .) Le funzioni polinomiali di terzo grado sono derivabili ovunque.

Ricerca dei punti stazionari di una polinomiale di III grado I punti stazionari sono le coppie (x, f’(x)) tali che f’(x) = 0.

Punti di discontinuita’ Non sono presenti. Infatti per ogni x del dominio di essa si puo’ scrivere che lim đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘“(đ?‘?) ∈ đ?‘….

đ?‘Ľâ†’đ?‘?

Studio delle relazioni p(x) = đ?’‘(−đ?’™) e p(x) =− đ?’‘(−đ?’™). Con riferimento alla prima relazione, ovvero p(x) = đ?‘?(−đ?‘Ľ) si ottiene una eguaglianza palesemente assurda, ovvero ađ?‘Ľ 3 +đ?‘?đ?‘Ľ = (−1)( ađ?‘Ľ 3 +đ?‘?đ?‘Ľ) non vera in generale. Sarebbe vera solo per x = 0.

Oltre a questo valore si puo’ discutere 2ađ?‘Ľ 3 +2đ?‘?đ?‘Ľ = 0 ovvero ađ?‘Ľ 3 +đ?‘?đ?‘Ľ = 0 cioe’ đ?‘Žđ?‘Ľ 2 =−đ?‘? đ?‘?

e quindi dopo brevi passaggi si ottengono i particolari ammessi, ovvero x =Âą √− đ?‘Ž che per la condizione di realta’ del radicale impone siano c ed a discordi e sia a ≠0.

đ?‘‘

Lo studio della seconda relazione conduce p(x) =− đ?‘?(−đ?‘Ľ) per x = 0 e per x =Âąâˆšâˆ’ đ?‘?

Per la condizione di realta’ del radicale deve risultare che d e b sono discordi con b ≠0. - 191 -

Patrizio Gravano – Appunti Matematici

Asintoti Non esistono asintoti ne’ orizzontali ne’ verticali.

Metodo della derivata prima Si pone p’(x) = 0

Si ha p’(x) = 3ađ?‘Ľ 2 + 2đ?‘?đ?‘Ľ +đ?‘? = 0

Dalla teoria delle equazioni di II grado si puo’ scrivere che:

x=

−2đ?‘?Âąâˆš(2đ?‘?)2 −12đ?‘Žđ?‘? 6đ?‘Ž

E’ possibile introdurre la condizione per la quale una funzione polinomiale di III grado non ha punti stazionari. Essa e’ priva di punti stazionari quando (2đ?‘?)2 − 12đ?‘Žđ?‘? < 0 ovvero 4đ?‘? 2 < 3đ?‘Žđ?‘?.

La p(x) ha un punto stazionario (ed uno solo) quando (2đ?‘?)2 − 12đ?‘Žđ?‘? = 0 .

1

1

In questo caso il punto stazionario e’ ( − 3đ?‘Ž , p(− 3đ?‘Ž)) Quando (2đ?‘?)2 − 12đ?‘Žđ?‘? > 0 la funzione p(x) ha due distinti punti stazionari.

Se �0 e’ uno zero di p’(x) allora il punto (�0 p(�0 ) ) e’ un punto stazionario di p(x).

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici

Derivata seconda di p(x) Il calcolo della derivate seconda di p(x) e’ immediate quando la si intenda come la derivate prima di p’(x).

Immediatamente per le regole di derivazione si ottiene: p’’(x) = 6ax + 2đ?‘?

Se risulta per x = �0 che p’’(x) > 0 allora il punto (�0 p(�0 ) ) e’ un punto di minimo della funzione di p(x).

Si ha p’’(x) > 0 quando e’ 6ađ?‘Ľ0 + 2đ?‘? > 0 ovvero 6ađ?‘Ľ0 > −2đ?‘? ovvero 3ađ?‘Ľ0 > −đ?‘? .

Con osservazioni analoghe si puo’ agevolmente dimostrare che 3ađ?‘Ľ0 > −đ?‘? e’ la condizione per un punto di massimo di p(x), essendo il punto (đ?‘Ľ0 p(đ?‘Ľ0 ) ) un punto stazionario di p(x).

Un punto stazionario che non e’ di minimo relativo o di massimo assoluto e’ un punto di flesso della p(x). đ?‘?

La condizione di flesso e’ 6ađ?‘Ľ0 + 2đ?‘? = 0 â&#x;ş 6ađ?‘Ľ0 = −2đ?‘? â&#x;ş 3đ?‘Ž đ?‘Ľ0 = −đ?‘? ⇒ đ?‘Ľ0 = − 3đ?‘Ž La conseguenza e’ che se esiste un punto di flesso e’ unico.

Non possono esistere flessi a tangente verticale in quanto p’(x) e’ definita ovunque.

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici

Errata Corrige Nel numero 30 di Appunti matematici e’ stata considerata la seguente funzione: �

y=đ?‘Ľ+đ?‘Ľ

Di essa se ne discusse la presunta monotonia.

Il metodo risulta viziato da un errore algebrico evidente. La monotonia presuppone che per đ?‘Ľ1 ≠đ?‘Ľ2 si abbia f( đ?‘Ľ1 ) ≠đ?‘“(đ?‘Ľ2 ) ∀đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 | đ?‘Ľ1 ∈ dom f , x2 ∈ dom f. Per dimostrare la monotonia si dovrebbe ipotizzare che per đ?‘Ľ1 ≠đ?‘Ľ2 ponendo f(đ?‘Ľ1 ) = đ?‘“(đ?‘Ľ2 ) si avrebbe una eguaglianza assurda e quindi una contraddizione nata dall’aver posto f(đ?‘Ľ1 ) = đ?‘“(đ?‘Ľ2 ) quando đ?‘Ľ1 ≠đ?‘Ľ2 .

In realta’ questa contraddizione non sorge.

Si ipotizzi sia: đ?‘›

đ?‘›

1

2

�1 + � = �2 + � quando sia �1 ≠�2 .

E’ possibile scrivere: �

đ?‘›

2

1

đ?‘Ľ1 − đ?‘Ľ2 = đ?‘Ľ − đ?‘Ľ

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici đ?‘Ľ1 − đ?‘Ľ2 = n(

1

đ?‘Ľ2

−

1 đ?‘Ľ1

)

đ?‘Ľ −đ?‘Ľ

đ?‘Ľ1 − đ?‘Ľ2 = n( đ?‘Ľ1 đ?‘Ľ 2) 1 2

Dividendo ambo i membri per (đ?‘Ľ1 − đ?‘Ľ2 ) ≠0 si ha:

1 = n(đ?‘Ľ

1 1 đ?‘Ľ2

) â&#x;ş đ?‘Ľ1 đ?‘Ľ2 = n

đ?‘›

đ?‘›

1

1

Ne consegue che i punti đ?‘Ľ1 e đ?‘Ľ sono tali che f (đ?‘Ľ1 ) = f(đ?‘Ľ ) . đ?‘›

Quindi in generale si ha f(x) = f(đ?‘‹) per ogni x del dominio di f che e’: dom f = (−∞, 0 ) âˆŞ (0 , +∞ ).

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici

Bibliografia Essenziale AA. VV., Appunti di logica e algebra con esercizi, Maggioli editore, 2014

Citrini, Analisi matematica1, Bollati Boringhieri, 1991

Gleison, Fundamentals of Abstract Analysis, Addison Wesley, 1966 Katzan, Intermediate Calculus and Linear Algebra, Harvard University Lecture Notes, 1965

Piacentini Cattaneo, Algebra, un approccio algoritmico, Decibel Zanichelli, 1996

Verschueren, Loge’, Toutes les Mathématiques. MP MP*, Ellipses, 2014

Zwirner, Scaglianti, Algebra. Strutture – funzioni, Parte I, Cedam, 1986

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici

Anticipazione Il numero di settembre sara’ dedicato alla teoria dei giochi.

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici

Proprieta’ Letteraria

Questo saggio non ha finalita’ commerciali o lucrative. Ne e’ autorizzata la divulgazione, anche totale, a condizione che essa non abbia finalita’ commerciali o lucrative purche’ essa avvenga con la citazione dell’autore e del soggetto diffusore dell’opera.

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici

Indice Sommario INTRODUZIONE ............................................................................................................................................. 1 Nozioni di insiemistica elementare ............................................................................................................... 3 Funzioni ....................................................................................................................................................... 59 Legge di composizione ................................................................................................................................ 77 I numeri ....................................................................................................................................................... 80 I numeri naturali ..................................................................................................................................... 80 I numeri interi relativi ............................................................................................................................. 81 I numeri razionali .................................................................................................................................... 85 Congruenze ............................................................................................................................................. 89 I numeri complessi .................................................................................................................................. 98 Qualche semplice esercizio in C. ............................................................................................................... 103 Relazioni d’ordine e insiemi ordinati. Relazione d’ordine stretto. ........................................................... 120 Le strutture algebriche.............................................................................................................................. 121 I gruppi ...................................................................................................................................................... 124 I polinomi .................................................................................................................................................. 128 Gli anelli .................................................................................................................................................... 132 Sottoanelli e ideali ................................................................................................................................ 133 Ideale di un anello commutativo .......................................................................................................... 134 Definizione formale dei domini di integrita’ ............................................................................................. 135 La nozione di campo ................................................................................................................................. 138 I campi ordinati ..................................................................................................................................... 139 Spazi vettoriali e algebra ........................................................................................................................... 148 Morfismi tra anelli..................................................................................................................................... 150 Ideali e anello quoziente. La proiezione canonica. ................................................................................... 167 Il teorema fondamentale di omomorfismo tra anelli ............................................................................... 171 Primi approfondimenti sulla teoria dei gruppi ......................................................................................... 173 Morfismi tra gruppi ................................................................................................................................... 182 Appendice ................................................................................................................................................. 190 Passaggio per l’origine .......................................................................................................................... 190 Limiti all’infinito .................................................................................................................................... 190

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Patrizio Gravano – Appunti Matematici Derivata del primo ordine ..................................................................................................................... 190 Ricerca dei punti stazionari di una polinomiale di III grado .................................................................. 191 Punti di discontinuita’ ........................................................................................................................... 191 Studio delle relazioni p(x) = đ?’‘(−đ?’™) e p(x) =− đ?’‘(−đ?’™). ......................................................................... 191 Asintoti .................................................................................................................................................. 192 Metodo della derivata prima ................................................................................................................ 192 Derivata seconda di p(x) ....................................................................................................................... 193 Errata Corrige ............................................................................................................................................ 194 Bibliografia Essenziale ............................................................................................................................... 196 Anticipazione............................................................................................................................................. 197 Proprieta’ Letteraria.................................................................................................................................. 198

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