Appunti Matematici 27

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Patrizio Gravano

APPUNTI MATEMATICI

IL CAMPO MAGNETICO TEORIA E APPLICAZIONI numero 27 - marzo 2017

INTRODUZIONE

Questo breve saggio contiene un sunto degli elementi di base della teoria del campo magnetico, a partire dagli elementi basici.

Cosi’ come fatto per il saggio precedente, relativa al

campo

elettrostatico,

la

parte

fisica

e’

intervallata da alcune note matematiche relative ad aspetti utili alla comprensione dell’elaborato.

Anche in questo caso ho cercato di elaborare nel modo piu’ semplice e piano possibile.

-1-

A questo numero ne sucedera’, nel mese di maggio, uno

ulteriore

dedicato

alla

teoria

del

campo

elettromagnetico e alle onde elettromagnetiche.

Patrizio Gravano

patrizio.gravano@libero.it

-2-

IL CAMPO MAGNETICO

1. L’EFFETTO MAGNETICO DELLA CORRENTE ELETTRICA

Uno

degli

effetti

della

corrente

elettrica

fu

scoperto dal fisico danese Hans C. Oersted ed e’ comunemente detto effetto magnetico della corrente elettrica.

Egli

ebbe

infatti

ad

evidenziare

che

un

filo

conduttore percorso da una corrente elettrica I interagisce

con

una

bussola

deviandola

dalla

direzione originaria.

Oersted dimostro’ l’esistenza di una forza magnetica che attiro’ la successive attenzione dei fisici M. Faraday e A.- M. Ampere.

-3-

A questo punto occorre dare una spiegazione delle ragioni per le quali una regione dello spazio e’ interessata

dalla

presenza

di

forze

magnetiche,

ovvero si e’ in presenza di un campo magnetico.

I campi magnetici ottenuti a partire da correnti elettriche sono di particolare importanza per le loro

applicazioni

pratiche,

quali

gli

elettromagneti.

2. ORIGINE DEI CAMPI MAGNETICI

Come appena detto una corrente elettrica genera un campo magnetico.

Vi e’ pero’ una seconda modalita’ generatrice di un campo magnetico, ovvero la presenza di particolari corpi, detti magneti permanenti, nei quali sono

-4-

rilevanti i moti degli elettroni costituitenti gli atomi che concorrono alla generazione di un campo magnetico,

risultante

dei

campi

magnetici

intrinseci degli elettroni orbitanti.

3. NOTA MATEMATICA – Il prodotto vettoriale

E’

utile

ripassare

la

nozione

di

prodotto

vettoriale.

Dati due vettori a e b esiste un piano dello spazio che li contiene.

Il prodotto vettoriale di detti vettori e’ cosi’ definito:

il

risultato

dell’operazione

e’

un

vettore

perpendicolare al piano dei vettori a e b avente direzione

ortogonale

-5-

ai

due

vettori,

verso

determinato dalla regola della mano destra e modulo eguale ai moduli dei due vettori moltiplicati per il seno dell’angolo minimo di rotazione antioraria del primo vettore fino a sovrapporsi al secondo.

In termini matematici formali il prodotto vettoriale si formalizza come segue:

c = a ∧ b

Il prodotto vettoriale e’ anticommutativo, ovvero invertendo i vettori il risultato e’ il vettore opposto.

In definitiva risulta essere

-6-

b ∧

a = - c

Il modulo del vettore c, ovvero | c | = | a ∧ b | e’

|c| = |a||b| sinθ

Tra le molte proprieta’ del prodotto vettoriale va ricordata anche la sua anticommutativita’.

Infatti, per il prodotto vettoriale risulta essere:

c = a ∧ đ?’ƒ â&#x;ş - c = b ∧ a â&#x;ş c = - (b ∧ a) â&#x;ş c = (1)(b ∧ a)

c e’ ortogonale al piano contenente i vettori a e b.

I vettori a e b devono considerarsi noti.

Quindi e’ noto anche l’angolo đ?œƒ tra essi.

La

scrittura

corrispondente

a

∧đ?’ƒ

alla

individua rotazione

-7-

un

angolo

antioraria

đ?œƒ che

dovrebbe compiere il vettore a per sovrapporsi al vettore b, complanare ad esso.

Sempre

dati

i

scrittura b∧ đ?’‚

medesimi

vettori

a

e

b

la

nota

individua un angolo θ corrispondente

ad una rotazione del vettore b di un angolo θ fino a sovrapporsi al vettore a.

La

sottostante

figura

evidenzia

la

situazione

corrispondente.

Il vettore c e’ perpendicolare al piano dei vettori a e b.

-8-

In definitiva c, dati a e b, ha sempre la medesima direzione

ma

varia

il

verso

a

seconda

che

si

consideri prima il vettore a oppure il vettore b.

La rotazione antioriaria puo’ essere considerata positiva, ammettendo che sia đ?œƒ > 0.

Quella

oraria,

a

contratiis,

deve

intendersi

negativa, ponendo quindi đ?œƒ < 0.

Queste osservazioni non paiono incoerenti con lo stesso andamento della funzione seno in (0, 2đ?œ‹) ove si ragioni considerando quale rotazione oraria o antioraria quella di đ?œƒđ?‘šđ?‘–đ?‘› = min (đ?œƒ , 2đ?œ‹ − đ?œƒ).

In

definitiva,

in

caso

di

riferimento

ad

una

rotazione antioraria (đ?œƒđ?‘šđ?‘–đ?‘› > 0) il vettore c ha verso up, mentre nel caso di una rotazione oraria (đ?œƒđ?‘šđ?‘–đ?‘› <

-9-

0) il vettore c, risultato dell’operazione detta prodotto vettoriale di due vettori.

Conseguentemente, dati due vettori a e b e dato uno scalare reale k non nullo se c = a ∧ b allora si ha đ?’„đ?’Œ = k(a ∧ b).

I vettori c e đ?’„đ?’Œ hanno, al variare di k, sempre la medesima direzione.

I due vettori hanno il medesimo verso quando k > 0.

I due vettori hanno verso opposto quando k e’ uno scalare negativo.

Per k = 0 si ha đ?’„đ?’Œ = 0.

Il prodotto vettoriale ammette una notazione detta del determinante simbolico di Laplace.

Essa e’ la seguente:

- 10 -

c = a ∧ b =

đ?‘Žđ?‘Ś = [đ?‘? đ?‘Ś

E’

đ?‘– [đ?‘Ž đ?‘Ľ đ?‘?đ?‘Ľ

đ?‘Žđ?‘§ đ?‘Žđ?‘Ľ ]i [ đ?‘?đ?‘§ đ?‘?đ?‘Ľ

evidente

đ?‘— đ?‘Žđ?‘Ś đ?‘?đ?‘Ś

đ?‘˜ đ?‘Žđ?‘§ ] = đ?‘?đ?‘§

đ?‘Žđ?‘Ľ đ?‘Žđ?‘§ ]j + [ đ?‘?đ?‘§ đ?‘?đ?‘Ľ

che

đ?‘Žđ?‘Ś đ?‘?đ?‘Ś ] đ?’Œ

sviluppando

i

determinanti

del

secondo ordine si ottiene la rappresentazione del vettore c, secondo le tre direzioni i, j e k.

Determinate le coordinate đ?‘?đ?‘Ľ , đ?‘?đ?‘Ś đ?‘’ đ?‘?đ?‘§ del vettore c e’ immediato calcolare il modulo c = √(đ?‘?đ?‘Ľ )2 +(đ?‘?đ?‘Ś )2 +(đ?‘?đ?‘Ś )2

La direzione e’ data dai coseni direttori

cosÎą =

đ?‘?đ?‘Ľ

cosβ =

cos� =

đ?‘?

đ?‘?đ?‘Ś đ?‘?

đ?‘?đ?‘§ đ?‘?

- 11 -

In generale ⌋Focardi, Massa, Uguzzoni, MeccanicaâŚŒ “esiste anche una seconda soluzione, ottenuta dalla precedente, cambiando il segno a tutti i coseni direttori.

Le due soluzioni corrispondono ai due possibili versi normali del piano individuato da a e b�

Vorrei soffermarmi sul determinante simbolico di Laplace per evidenziare che con riferimento ad esso per il caso c = a ∧ đ?’ƒ allora la descrizione per il caso d = b ∧ a e’ sostanzialmente la seguente

d = b ∧ a = - đ?‘?đ?‘Ľ đ?’Š + đ?‘?đ?‘Ś đ?’‹ - đ?‘?đ?‘§ đ?’Œ = - c

Il prodotto vettoriale puo’ essere sviluppato, come gia’

detto,

con

il

determinante

Laplace, avendosi

- 12 -

simbolico

di

i c = a ∧ b = [ax bx

j ay by

k đ?‘Ž az ] = [ đ?‘Ś đ?‘?đ?‘Ś bz

đ?‘Žđ?‘§ ax ]i [ đ?‘?đ?‘§ bx

ax az ]j + [ bz bx

ay by ] đ?’Œ

Se đ?‘Žđ?‘§ =đ?‘?đ?‘§ =0 allora i vettori a e b sono complanari, e specificatamente del piano (x, y, 0) ovvero del piano z = 0.

In questo caso, ovviamente, il prodotto vettoriale assume una forma semplice, del tipo

c = a ∧ b =

i [ax bx

j ay by

k đ?‘Ž 0] = [ đ?‘Ľ đ?‘?đ?‘Ľ 0

đ?‘Žđ?‘Ś đ?‘?đ?‘Ś ] đ?’Œ

Il vettore c ha la direzione dell’asse delle z (detto anche asse delle quote).

- 13 -

đ?‘Žđ?‘Ľ Il modulo di detto vettore e’ |det [ đ?‘? đ?‘Ľ

đ?‘Žđ?‘Ś đ?‘?đ?‘Ś ] | , ovvero

il modulo del determinante della matrice quadrata đ?‘Žđ?‘Ľ di ordine due [ đ?‘? đ?‘Ľ

đ?‘Žđ?‘Ś đ?‘?đ?‘Ś ].

Il verso del vettore đ?‘Žđ?‘Ľ quando det( [đ?‘? đ?‘Ľ

đ?‘Žđ?‘Ľ Se det( [đ?‘? đ?‘Ľ

c

e’ convenzionalmente up

đ?‘Žđ?‘Ś đ?‘?đ?‘Ś ]) > 0.

đ?‘Žđ?‘Ś đ?‘?đ?‘Ś ]) <0 allora il verso del vettore c

e’ down.

Si evidenzia graficamente il caso c > 0.

- 14 -

Si puo’ considerare un piano ι di equazione z = k.

Detto piano e’ parallelo al piano di base xy.

I punti A≥(�� , �� , k) e

B≥(đ?‘?đ?‘Ľ , đ?‘?đ?‘Ś , k) non sono vettori

del piano Îą.

Il piano che individua detti vettori e’ il piano per I punto O, A e B.

Detto piano e’ unico.

Due punti A e B individuano due vettori del piano Îą il vettore (A , B) e il vettore (B , A).

Questa

figura

ben

rappresenta

il

substrato

geometrico della questione. Il punto e’ evitare macchinose

forme

di

coordinate.

- 15 -

trasformazione

delle

Anche limitandosi ad una sola dimensione si puo’ ammettere che sia

đ?‘Ľđ?‘ƒ đ?’Š

= (đ?‘Ľđ?‘˜ − đ?‘Ľâ„Ž )i

quando

đ?‘Ľđ?‘ƒ = (đ?‘Ľđ?‘˜ − đ?‘Ľâ„Ž ).

La successiva figura evidenzia la situazione di due vettori di Îą e le proiezioni sul piano di base con conservazione dell’angolo θ tra essi.

- 16 -

I vettori a e b del piano ι possono essere traslati parallelamente a se stessi fino ad incontrare l’asse delle quote.

Con una successiva traslazione i due vettori possono essere portati sul piano xy.

Per i punti del piano Îą si ha:

- 17 -

P’ ≥ (đ?‘Ľđ?‘ƒ , đ?‘Śđ?‘ƒ , đ?‘§0)

A’ ≥ (đ?‘Ľđ??´ , đ?‘Śđ??´ , đ?‘§0)

B’ ≥ (đ?‘Ľđ??ľ , đ?‘Śđ??ľ , đ?‘§0)

Per le propiezioni sul piano xy si ha:

P ≥ (đ?‘Ľđ?‘ƒ , đ?‘Śđ?‘ƒ , 0)

A’ ≥ (đ?‘Ľđ??´ , đ?‘Śđ??´ , 0)

B’ ≥ (đ?‘Ľđ??ľ , đ?‘Śđ??ľ , 0)

In questo caso il prodotto vettoriale puo’ essere scritto nel modo seguente:

c = a ∧ b =

đ?‘Ľđ??´ − đ?‘Ľđ?‘ƒ [đ?‘Ľ − đ?‘Ľ đ??´

đ?‘ƒ

đ?‘Śđ??´ − đ?‘Śđ?‘ƒ đ?‘Śđ??ľ − đ?‘Śđ?‘ƒ ] đ?’Œ

Quando si disegna c questo ha punto di applicazione in P’.

Puo’ essere considerate un caso ulteriore.

- 18 -

Ad esempio potrebbe aversi il caso di due vettori del piano a = (đ?‘Žđ?‘Ľ , đ?‘Žđ?‘Ś , đ?‘Žđ?‘§ ) e b = (đ?‘?đ?‘Ľ , đ?‘?đ?‘Ś , đ?‘?đ?‘§ ).

In questo caso se (đ?‘Žđ?‘Ľ , đ?‘Žđ?‘Ś , đ?‘Žđ?‘§ ) = k(đ?‘?đ?‘Ľ , đ?‘?đ?‘Ś , đ?‘?đ?‘§ ), per un k reale, allora i due vettori sono paralleli e il loro prodotto vettoriale vale 0 di đ?‘‰03 .

Fuori da questo caso deve essere considerato il piano dei due vettori, ovvero quello definito dai punti O, A e B, essendo O ≥ (0, 0, 0) e A ≥(đ?‘Žđ?‘Ľ , đ?‘Žđ?‘Ś , đ?‘Žđ?‘§ ) e B ≥(đ?‘?đ?‘Ľ , đ?‘?đ?‘Ś , đ?‘?đ?‘§ ).

In questo caso il vettore c e’ normale al piano individuato dai punti O , A e B.

4. FORZA MAGNETICA SU UNA CARICA ELETTRICA IN MOTO

Sperimentalmente risulta che la forza magnetica cui e’ sottoposta una carica elettrica immerse in un

- 19 -

campo magnetico e’ ortogonale al piano dei due vettori v, ovvero al vettore velocita’ vettoriale della particella carica e al vettore B detto vettore induzione magnetica.

La grandezza induzione magnetica e’ una grandezza vettoriale.

La forza esercitata sulla particella carica vale 0 quando sinđ?œƒ = 0 rad., ovvero quando i vettori v

e

B hanno la medesima direzione.

Si parla, in questo caso, di “direzione particolare di forza nulla� ed in termini definitori il campo magnetico

B

e’ diretto parallelamente a detta

direzione.

- 20 -

La forza dovuta al campo magnetico B viene indicata con la notazione đ?‘­đ?‘Š .

In realta’ la forza �� dipende anche dalla carica q della particella in moto e la relazione formale e’ la seguente:

đ?‘­đ?‘Š = qv ∧ B

Questa e’ una complicazione solo apparente in quanto essa e’ riscrivibile come:

đ?‘­đ?‘Š = q(v ∧ B)

Poiche’

q

e’

una

grandezza

scalare

con

segno,

risulta immediato comprendere che si hanno le due situazioni equivalenti, giacche’ la moltiplicazione per

uno

scalare

non

modifica

vettore prodotto scalare.

- 21 -

la

direzione

del

La sitazione nei due casi e’ ben descritto dalle due seguenti figure a fronte.

Il modulo della forza magnetica esercitata sulla particella di carica q risulta essere

đ??šđ??ľ = |q|vBsinθ

La presenza di un campo B non ha alcuna influenza su v e neppure sul suo modulo v in quanto la forza non ha una componente nella direzione di v.

- 22 -

In

definitiva

la

particella

si

muovera’

con

velocita’ v = v(t) = cost..

La forza non compie alcun lavoro, in quanto L = FB s e i due vettori sono ortogonali, quindi L = 0.

A contrariis, un effetto di accelerazione si avrebbe nel caso dovesse essere FB non ortogonale.

La figura che semplifica la situazione sarebbe la seguente.

- 23 -

In questo caso la forza FB sarebbe scomponibile in due forze una ortogonale e una parallela al vettore v.

Questa ultima componente determinerebbe una accelerazione secondo la legge di Newton per la quale Fparall = ma.

Risulterebbe a =

đ?‘‘đ?‘Ł(đ?‘Ą) đ?‘‘đ?‘Ą

=

đ??šđ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™đ?‘™ đ?‘š

=đ?‘˜

ovvero

dv(t) = kdt ed integrando si avrebbe

đ?‘Ą

đ?‘Ą

đ?‘–

đ?‘–

âˆŤđ?‘Ą đ?‘“ đ?‘‘đ?‘Ł(đ?‘Ą) = kâˆŤđ?‘Ą đ?‘“ đ?‘‘đ?‘Ą da cui

v(đ?‘Ąđ?‘“ ) - v(đ?‘Ąđ?‘– ) = k(đ?‘Ąđ?‘“ − đ?‘Ąđ?‘– )

v(đ?‘Ąđ?‘– ) esprime la condizione inziale ovvero v(đ?‘Ąđ?‘– ) = v.

Sarebbe in generale che v = v(t) secondo la relazione v(t)=

kt

+

v(0)

ove

0

e’

l’istante

particella carica entra nella regione B.

- 24 -

nel

quale

la

In realta’, per la direzione della forza FB

non si ha

alcun effetto di accelerazione.

Dalla relazione đ??šđ??ľ = |q|vBsinθ e’ possibile mettere in evidenza B avendo immediatamente che:

B =

đ??šđ??ľ |đ?‘ž|đ?‘Łđ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?œƒ

Misurando le forze in newton (N) la carica in coulomb

(C) e la velocita’ in

B viene misurato in

đ?‘š đ?‘ đ?‘’đ?‘?

đ?‘ đ??ś

il vettore induzione magnetica

ovvero in

đ?‘š đ?‘ đ?‘’đ?‘?

đ?‘ đ?‘ đ?‘’đ?‘? . đ??śđ?‘š

L’unita’ di misura del vettore induzione magnetica ha un nome particolare.

B viene misurato in tesla (T) in onore del fisico Nikola Tesla

studioso

dei

campi

magnetici

dell’elettromagnetismo.

đ?‘ đ?‘ đ?‘’đ?‘?

Dalla relazione trovata si scrive T = đ??śđ?‘š .

- 25 -

e

Dalla definizione matematica elementare di intensita’ di

corrente

elettrica

i(t)

đ?‘‘ q(t) đ?‘‘đ?‘Ą

=

si

ha

che

dimensionalmente, riferendosi alle unita’ di misura del

S.I. delle grandezze di ha che

Pertanto

ove

A

đ?‘ đ?‘’đ?‘? đ??ś

=

đ??ś đ?‘ đ?‘’đ?‘?

= A.

1 đ??´

denota

l’ampere,

ovvero

l’unita’

di

misura

dell’intensita’ di corrente elettrica.

Pertanto in conclusione risulta che:

T =

đ?‘ đ??´đ?‘š

Nel passato, in luogo del tesla si utilizzava quale unita’ di misura dell’induzione magnetica il gauss.

Tra le due unita’ di misura della medesima grandezza vale la seguente relazione:

1 tesla = 104 gauss

- 26 -

Ordinariamente non esistono monopoli magnetici, ovvero cariche magnetiche isolate.

Ogni oggetto magnetico ha pertanto un polo nord positivo e un polo sud negativo.

Le linee di forza entrano nel polo negativo uscendo da quello positivo.

Un esempio e’ il seguente

Ai bordi le linee di campo non sono rettilinee (effetto di bordo).

- 27 -

5. RELAZIONE TRA I VETTORI B E H

Nel trattare i campi magnetici oltre a considerare il vettore B si utilizza un’altra grandezza vettoriale, detta vettore campo magnetico, solitamente indicato con la lettera H.

La relazione che college le due grandezze e’:

B = đ?œ‡H

Nel vuoto si ha:

B = H

Il

campo

magnetico

H

nel

amperespire/metro.

- 28 -

S.I.

viene

misurato

in

6. SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI

Nel

caso

dei

campi

magnetici

trova

applicazione

il

principio di sovrapposizione degli effetti da intendesi in senso vettoriale.

Il campo B dovuto a diverse correnti generatrici di campi magnetici đ?? đ??˘ e’ la somma vettoriale dei đ?? đ??˘ dovuti alle i distinte correnti.

Non mancano esercizi elementari, quali quelli per i quali due correnti generano campi eguali in modulo ⌋De Sanctis,

CapitaniâŚŒ.

Ho quindi considerato il caso seguente con due correnti opposte đ?‘–1 đ?‘’ đ?‘–2 che scorrono su due conduttori paralleli posti a distanza d tra essi.

Si puo’ evidenziare il valore di B risultante dei due campi sovrapposti per effetto delle due correnti, come segue.

- 29 -

Nel punto P di intersezione sulla retta per d tale che le distanze dai conduttori siano rispettivamente đ?‘&#x;1 đ?‘’ đ?‘&#x;2 il vettore B e’ la somma anche in termini scalari.

đ?‘–

đ?‘–

đ?‘–

Ovvero si ha B(P) = cost(đ?‘&#x;1 ) + cost(đ?‘&#x;2 )= cost (đ?‘&#x;1 + 1

2

đ?‘–

1

đ?‘–

đ?‘–2 )= đ?‘&#x;2

đ?‘–

2 Nel punto Q si ha B(Q) = cost(đ?‘&#x;1 )- cost(đ?‘‘+đ?‘&#x; )= cost (đ?‘&#x;1 − đ?‘„

đ?‘–2 ) đ?‘‘+đ?‘&#x;đ?‘„

Si osservi che:

- 30 -

đ?‘„

đ?‘„



le correnti vanno intese in senso assoluto e non con la convenzione algebrica, đ?œ‡0 2đ?œ‹



la costante considerate e’



i vettori B, đ?‘Šđ?&#x;? e đ?‘Šđ?&#x;? sono vettori del piano đ?›ź.

se si opera nel vuoto,

Nel caso di correnti discordi come nel caso considerato per punti non appartenenti alla retta passante per la congiungente

i

punti

dei

conduttori

del

piano

considerate si ha una situazione del genere seguente.

- 31 -

Anche in questo caso i vettori induzione, ivi compreso quello risultante sono del piano Îą.

7. LA FORZA MAGNETICA SU UN ELEMENTO DI CORRENTE

Si e’ avuto modo di osservare che la forza esercitata su una carica in un campo di induzione magnetica B e’ data dalla seguente equatione:

đ?‘­đ?‘Š = q(v ∧ B)

Detta relazione e’ differenziabile, avendosi la seguente

đ?’…đ?‘­đ?‘Š = dq(v ∧ B)

Occorre inserite in questa relazione la corrente I che si suppone costante.

E’ noto che in termini matematici si ha:

I =

đ?‘‘đ?‘„ đ?‘‘đ?‘Ą

â&#x;ş dQ = Idt

- 32 -

Per sostituzione in formula si ha:

đ?’…đ?‘­đ?‘Š = Idt(v ∧ B)

Per una proprieta’ del prodotto vettoriale si puo’ scrivere

đ?’…đ?‘­đ?‘Š = I (dtv ∧ B)

Si osservi che la grandezza dtv,o anche vdt e’

dimensionata a

đ?‘š sec, đ?‘ đ?‘’đ?‘?

quandi e’ una lunghezza

solitamente indicate con dl = vdt.

A questo punto si puo’ scrivere la seguente relazione:

đ?’…đ?‘­đ?‘Š = I (dl ∧ B)

Nell’ipotesi che il conduttore sia rettilineo e B sia costante in ogni punto di esso la relazione diviene la seguente equazione scalare:

đ?‘‘đ??šđ??ľ = IdlBsinÎą

- 33 -

ove ι e’ l’angolo che definisce il prodotto vettoriale dei vettori v e B.

La precedente relazione e’, per le condizioni date, integrabile avendosi che:

âˆŤ đ?‘‘đ??š = âˆŤ đ??źđ?‘‘đ?‘™đ??ľđ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?›ź + đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ą. = đ??źđ??ľđ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?›ź âˆŤ đ?‘‘đ?‘™ + đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ą.

In definitiva si ha:

F =IBsinÎąL

E’ evidente ⌋Capitani, De SanctisâŚŒ che “la forza magnetica e’ sempre perpendicolare allo spostamento. Essa quindi non compie lavoro (‌.)â€?.

8. EQUAZIONE DI LORENTZ

Per un corpo carico q che si muove in una regione dello spazio nel quale sono presenti un campo elettrostatico E e un campo di induzione magnetica B, la forza che agisce su detta carica risulta essere:

- 34 -

F = qE + qv ∧ B

In essa e’ possibile raccogliere la carica q avendo che:

F = qE + qv ∧ B = q (E + v ∧ B)

Questo ultimo passaggio e’ legittimo in quanto qv ∧ B = q(v ∧ B).

Il raccoglimento a fattore comune di q induce almeno da un punto di vista formale a ritenere che omogeneo

v ∧ B e’

al vettore E.

In termini equivalenti la presenza di un campo B e’ equivalente

alla

esistenza

addizionale đ?‘Źđ?’—,đ?‘Š .

Pertanto F = q(E + đ?‘Źđ?’—,đ?‘Š )

- 35 -

di

un

campo

elettrico

9. NOTA MATEMATICA - Coordinate cilindriche

Un punto P ≥ (x, y, z) dello spazio e’ suscettibile di una ulteriore rappresentazione mediante una terna ordinata (r, θ, z).

L’angolo đ?œƒ e’ l’angolo che il raggio vettore r forma con l’asse delle x. L’angolo

Cio’ consente di scrivere:

- 36 -

di vertice X e’ retto.

x = rcosθ

y = rsinθ

Si ha che:

r = √đ?‘Ľ 2 +đ?‘Ś 2

đ?œƒ

đ?‘Ś

= arctang(đ?‘Ľ )

9.1 Esempi di passaggi di coordinate

Da coordinate cartesiane (rettangolari) a cilindriche

(1, 1, 1)

Dalle formule di trasformazione risulta:

r = √đ?‘Ľ 2 +đ?‘Ś 2 = √12 +12 = √2

tangđ?œƒ =

đ?‘Ś đ?‘Ľ

=

1 1

= 1

→đ?œƒ=

đ?œ‹ 4

rad.

Pertanto le coordinate cilindriche di detto punto sono:

- 37 -

(√2,

đ?œ‹ 4

, 1)

Scrivere la seguente equazione in coordinate cilindriche:

�2 + �2 + �2 = k

k > 0

�2 + �2 + �2 = k

→

10.

(đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 ) + đ?‘§ 2 = k → đ?‘&#x; 2 + đ?‘§ 2 = k

NOTA MATEMATICA – Il rotore

Dato un campo vettoriale A e’ possibile definite un nuovo campo vettoriale detto rotore di A, indicato con rot(A).

Se si considera un sistema di riferimento cartesiano ad ogni componente del vettore A corrisponde una componente del vettore rot(A).

Per definizione la componente secondo la direzione delle x e’ definite considerando un quadrato nel piano x costante passante per un punto P.

- 38 -

Detto piano e’ ortogonale all’asse x.

Si scrive:

rot(A)đ?’‚đ?’™ =

lim

∎ đ?‘¨đ?‘‘đ?’?

∆đ?‘Ľ,∆đ?‘Śâ†’0 ∆đ?‘Ľâˆ†đ?‘Ś

Siano đ??´đ?‘Ľ , đ??´đ?‘Ś , đ??´đ?‘§ le componenti del vettore A.

La

componente

secondo

la

direzione

delle

x

e’

rappresentata dalla seguente figura.

Il percorso che si considera e’ 1 → 2 → 3 → 4 .

L’integrale di circuitazione e’ la somma dei seguenti integrali:

- 39 -

2

3

4

1

∎ = âˆŤ1 + âˆŤ2 + âˆŤ3 + âˆŤ4 = đ??´đ?‘Ś ∆đ?‘Ś +(đ??´đ?‘§ +

đ?œ•đ??´đ?‘§ ∆đ?‘Ś)∆z đ?œ•đ?‘Ś

+(đ??´đ?‘Ś +

đ?œ•đ??´đ?‘Ś đ?œ•đ?‘§

∆đ?‘§)(-∆đ?‘Ś)+

đ??´đ?‘§ (-∆đ?‘§)

ed in definitiva:

đ?œ•đ??´

∎ = ( đ?œ•đ?‘Śđ?‘§ -

đ?œ•đ??´đ?‘Ś đ?œ•đ?‘§

)∆đ?‘Śâˆ†đ?‘§

La componente secondo l’asse delle x del rotore e’:

đ?œ•đ??´đ?‘§ đ?œ•đ?‘Ś

(

-

đ?œ•đ??´đ?‘Ś đ?œ•đ?‘§

)ax

Il rotore in coordinate cartesiane e’ il seguente:

rot A = (

đ?œ•đ??´đ?‘§ đ?œ•đ?‘Ś

-

đ?œ•đ??´đ?‘Ś đ?œ•đ?‘§

đ?œ•đ??´đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘§

)ax + (

-

đ?œ•đ??´đ?‘§ )ay đ?œ•đ?‘Ľ

đ?œ•đ??´đ?‘Ś

+ (

đ?œ•đ?‘Ľ

-

đ?œ•đ??´đ?‘Ľ )az đ?œ•đ?‘Ś

Esso e’ solitamente rappresentato con un deteminante simbolico del terzo ordine, ovvero di tre righe e tre colonne.

- 40 -

i rot đ??€ =

j

k

đ?œ• [ đ?œ•đ?‘Ľ

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś

đ?œ• ] đ?œ•đ?‘§

Ax

Ay

đ??´đ?‘§

đ?œ•đ??´

= ( đ?œ•đ?‘Śđ?‘§ -

đ?œ•đ??´đ?‘Ś đ?œ•đ?‘§

đ?œ•đ??´

)ax + ( đ?œ•đ?‘§đ?‘Ľ -

đ?œ•đ??´đ?‘§ )ay đ?œ•đ?‘Ľ

đ?œ•đ??´

+ ( đ?œ•đ?‘Ľđ?‘Ś -

đ?œ•đ??´đ?‘Ľ )az đ?œ•đ?‘Ś

In buona sostanza il rotore puo’ essere scritto come segue:

rot A = ∇ ∧ A

đ?œ•

In questo caso đ?› ≥ (đ?œ•đ?‘Ľ ,

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś

,

đ?œ• )(i, đ?œ•đ?‘§

quindi come un vettore simbolico

đ?œ•

di componenti (đ?œ•đ?‘Ľ ,

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś

,

j, k) da intendersi

đ?œ• đ?œ• (..)i+ đ?œ•đ?‘Ś (. . )đ?’‹ đ?œ•đ?‘Ľ

+

đ?œ• (..)k đ?œ•đ?‘§

đ?œ• ). đ?œ•đ?‘§

Valgono due importanti proprieta’, ovvero:

div (rot A) = 0

La spiegazione e’ molto semplice in quanto il rotore di un vettore A e’ sempre un vettore, detto B = Îąi + βj + φk.

- 41 -

La divergenza di B e’ uno scalare quindi si rientra nella logica dei prodotti interni scalari, quindi che:

đ?œ•

div B = (đ?œ•đ?‘Ľ ,

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś

,

đ?œ• )( đ?œ•đ?‘§

Îąi , βj , φk)=

đ?œ• Îąi đ?œ•đ?‘Ľ

đ?œ•

+đ?œ•đ?‘Ś βj+

đ?œ• φk đ?œ•đ?‘§

=

0 + 0 + 0 = 0.

Detto vettore B non deve essere inteso come il vettore induzione magnetica.

Una seconda importante proprieta’ e’:

∇ ∧ (∇đ?‘“)= 0

A

questa

proprieta’

si

arriva

per

immediate

considerazioni a partire dal determinante simbolico di Laplace.

∇ ∧ (∇đ?‘“)=

i

j

k

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ• đ?‘“ đ?œ•đ?‘Ľ

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś đ?œ• đ?‘“ đ?œ•đ?‘Ś

đ?œ• đ?œ•đ?‘§ đ?œ• đ?œ•đ?‘§ đ?‘“

[

]

- 42 -

Quando si sviluppa il determinante si ottiene il vettore 0i + 0j + 0k, ovvero il vettore nullo di đ?‘˝đ?&#x;‘đ?&#x;Ž .

Ad esempio sviluppando si avrebbe che la componente secondo la direzione delle i (asse delle x) sarebbe:

i

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś (đ?œ• đ?‘“ đ?œ•đ?‘Ś

đ?œ• đ?œ•đ?‘§ đ?œ• ) đ?œ•đ?‘§ đ?‘“

đ?œ• đ?œ•

= (đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘§ đ?‘“ -

đ?œ• đ?œ• đ?‘“)i đ?œ•đ?‘§ đ?œ•đ?‘Ś

Si tratta della differenza di due derivate parziali seconde, scritte secondo una stenografia che va intesa come segue.

Ad esempio la scrittura

đ?œ• đ?œ• đ?‘“ đ?œ•đ?‘§ đ?œ•đ?‘Ś

deve intendersi che data

una funzione f(x, y,z) si deternina dapprima la derivata parziale prima rispetto alla y (considerando quindi le x e le z alla stregua di costanti). Essa e’ solitamente indicata con il piu’ familiare �� (x,y,z). A questo punto si determina la derivate di detta funzione rispetto alla z ovvero risulta

- 43 -

đ?œ• đ?œ• đ?‘“ đ?œ•đ?‘§ đ?œ•đ?‘Ś

≥

đ?œ• đ?‘“ (x,y,z). đ?œ•đ?‘§ đ?‘Ś

E’ noto che invertendo l’ordine di derivazione si ottiene la medesima funzione, ovvero risulta:

đ?œ• đ?œ• đ?‘“ (x,y,z)= đ?œ•đ?‘Ś đ?‘“đ?‘§ (x,y,z) đ?œ•đ?‘§ đ?‘Ś

Pertanto risulta

i

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś (đ?œ• đ?‘“ đ?œ•đ?‘Ś

đ?œ• đ?œ•đ?‘§ đ?œ• ) đ?œ•đ?‘§ đ?‘“

đ?œ• đ?œ•

đ?œ• đ?œ• đ?‘“)i đ?œ•đ?‘§ đ?œ•đ?‘Ś

= (đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘§ đ?‘“ -

= 0i

Analogamente si procede per le altre due componenti dello sviluppo del determinante.

Da cui ∇ ∧ (∇đ?‘“)= 0 = (0, 0, 0).

E’ da evidenziare una ben nota relazione del campo elettrostatico, ovvero:

∇ ∧ (đ?‘Ź)= 0

- 44 -

10.1 Esempio di calcolo di un rotore

Dato il vettore A = (-cos x)(sin y)đ?’‚đ?’™ + sinxcosy đ?’‚đ?’š

Si tratta di un vettore del piano xy per il quale il rotore essere:

∇∧đ??´=

[

i

j

k

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś

đ?œ• ] đ?œ•đ?‘§

(−đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ľ)(đ?‘ đ?‘–đ?‘› đ?‘Ś) + đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?‘Ľđ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ś ∂

∂ ∂z]j

∂x [ (−cos x)(sin y)

0

+ [

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ

=

0

[

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś

đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?‘Ľđ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ś

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś

(−đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ľ)(đ?‘ đ?‘–đ?‘› đ?‘Ś) đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?‘Ľđ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ś

đ?œ• đ?œ•đ?‘§]i

0

+

]k

Ho rinvenuto questo esercizio in un ottimo testo che ho consultato richiede

con

di

notevole

determinare

interesse il

rotore

⌋EdministerâŚŒ di

detto

che

vettore

nell’origine ovvero nel punto (0, 0), essendo il vettore del piano xy.

In detto punto si ha:

- 45 -

∇∧đ??´

[

đ?œ• đ?œ•đ?‘§]i

[ đ?‘ đ?‘–đ?‘›0đ?‘?đ?‘œđ?‘ 0

=

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ

[

+

0

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś

đ?œ•

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś

(−1)(0) 0 ∗ 1

(−cos 0)(sin 0)

0

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś

]k = [ (−đ?‘?đ?‘œđ?‘ 0)(đ?‘ đ?‘–đ?‘› 0) đ?‘ đ?‘–đ?‘›0đ?‘?đ?‘œđ?‘ 0 0∗1

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ

∂ ∂x

đ?œ• đ?œ•đ?‘§]i

]k [ đ?œ•đ?‘Ś (−đ?‘?đ?‘œđ?‘ 0)(đ?‘ đ?‘–đ?‘› 0) đ?‘ đ?‘–đ?‘›0đ?‘?đ?‘œđ?‘ 0 đ?‘ đ?‘–đ?‘›0đ?‘?đ?‘œđ?‘ 0

+ [

[

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś

∂ ∂z]j

∂ ∂x + [ (−cos 0)(sin 0)

∂ ∂x

đ?œ• đ?œ•đ?‘§]i

+ [ (−1(0)

0

+

0

∂ ∂z]j

0

∂ ∂z]j

0

+

]k = 0i +0j + 0k =(0, 0, 0).

In generale potrebbe essere richiesto di calcolare il rotore in un punto qualunque del piano xy, e in questo caso occorre calcolare I vari determinanti del secondo ordine e calcolare le derivate parziali della funzione, avendo, nel caso in esame, che:

∇∧đ??´=

[

i

j

k

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś

đ?œ• ] đ?œ•đ?‘§

(−đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ľ)(đ?‘ đ?‘–đ?‘› đ?‘Ś) + đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?‘Ľđ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ś ∂ ∂x [ (−cos x)(sin y)

+ (-

∂ ∂z]j

0

+ [

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ

=

0

[

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś

đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?‘Ľđ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ś

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś

đ?œ•

+ (đ?œ•đ?‘Ľ đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?‘Ľđ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ś-

0

+

đ?œ•

(−đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ľ)(đ?‘ đ?‘–đ?‘› đ?‘Ś) đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?‘Ľđ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ś

∂ ((−cos x)(sin y))j ∂z

đ?œ• đ?œ•đ?‘§]i

]k = − đ?œ•đ?‘§ đ?’”đ?’Šđ?’?đ?’™đ?’„đ?’?đ?’”đ?’ši

đ?œ• ((−đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œ•đ?‘Ś

đ?‘Ľ)(đ?‘ đ?‘–đ?‘› đ?‘Ś)))đ?’Œ =

0i + 0j + (cosycosx – (-cosxcosy))k = 0i + 0j + 2cosxcosyk

- 46 -

Il rotore e’ sostanzialmente riconducibile alla logica dei prodotti vettoriali e se il vettore A dato e’ un vettore

del

piano

xy

mentre

il

vettore

rotA

ha

la

direzione dell’asse delle z.

11.

LA LEGGE DI BIOT-SAVART

E’ data una corrente i che attraversa un conduttore.

Viene definita una grandezza vettoriale detta elemento di corrente-lunghezza ids

Si

considera

un

punto

P

esterno

al

conduttore

distanza r dall’elemento corrente-lunghezza.

ids

i

- 47 -

P

e

a

La corrente i costante nel tempo si dirige

dal basso

verso l’alto e nel punto P genera un campo dB secondo una relazione che costituisce la legge di Biot e Savart, dal

nome

dei

due

fisici

francesi

che

per

primi

affrontarono la questione.

La relazione vettoriale che definisce la legge di Biot e Savart e’ la seguente:

dB =

đ?œ‡0 đ?‘–đ?‘‘đ?‘şâˆ§đ??Ť 4đ?œ‹ đ?‘&#x;3

Il vettore dB si rappresenta con la solita regola dette terne destrorse, qunindi con la regola della mano destra.

Con

rierimento

perpendicolare

alla al

figura

piano

dei

considerate vettori

idS

e

esso

e’

r

e’

ed

entrante nella pagina.

Dalla relazione vettoriale della legge si arriva al corrispondente valore scalare avendosi che

- 48 -

dB =

đ?œ‡0 đ?‘–đ?‘‘đ?‘†rsinθ 4đ?œ‹ đ?‘&#x;3

=

đ?œ‡0 đ?‘–đ?‘‘đ?‘†sinθ 4đ?œ‹ đ?‘&#x;2

Detta relazione e’ integrabile definitamente tra 0 e +∞ avendosi che:

+∞ đ?œ‡0 đ?‘–đ?‘‘đ?‘†đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?œƒ 4đ?œ‹ đ?‘&#x;2

B = 2âˆŤ0

+∞ đ?‘‘đ?‘†đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?œƒ đ?‘&#x;2

đ?œ‡

=4đ?œ‹0 i âˆŤ0

Esiste un caso particolare, quello di un filo rettilineo percorso da una corrente i costante nel tempo secondo il seguente modello grafico.

ds i↑

s

R

r

P

Per ragioni geometriche (teorema di Pitagora)si ha:

r = √đ?‘ 2 +đ?‘…2

- 49 -

E’ poi utile ricordare una importante proprieta’ della funzione seno, ovvero il fatto che angoli supplementari hanno il medesimo seno.

Questa

figura

rispolvera

nozioni

elementari

di

trigonometria.

I

due

raggi

circonferenza

vettori

sono

trigonometrica

raggi (di

di

raggio

una

ideale

unitario)

e

formano due angoli che misurano đ?œ— e Ď€ – θ.

La congiungente e’ parallela all’asse delle x.

I due angoli hanno medesima ordinata, quindi hanno eguale seno.

Pertanto si ha sinθ = sin(Ď€-θ) =

- 50 -

đ?‘… √đ?‘ 2 +đ?‘…2

Deve intendersi che r đ?œ– ⌋ đ?‘… , +∞) e per il contributo

simmetrico si studia r nell’intervallo (−∞, R)

Cio’ premesso si ottiene il seguente integrale:

B =2

đ?œ‡0 i 4đ?œ‹

+∞ đ?‘‘đ?‘†đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?œƒ âˆŤ0 đ?‘&#x;2

L’integrale

+∞ âˆŤ0

��

+∞ âˆŤ0

= 2

��

đ?œ‡0 i 4đ?œ‹

+∞ âˆŤ0

��

đ?‘… √đ?‘ 2 +đ?‘…2 đ?‘&#x;2

=

đ?œ‡0 iR 2đ?œ‹

+∞ âˆŤ0

��

1 √đ?‘ 2 +đ?‘…2 đ?‘&#x;2

1 √đ?‘ 2 +đ?‘…2 đ?‘&#x;2

e’ riscrivibile come

segue:

1 √đ?‘ 2 +đ?‘…2 đ?‘&#x;2

+∞

= âˆŤ0

Pertanto B =

(

1 1 )đ?‘‘đ?‘ √đ?‘ 2 +đ?‘…2 đ?‘ 2 +đ?‘…2

đ?œ‡0 đ?‘… i (1-0) 2đ?œ‹ đ?‘…2

=

+∞

= âˆŤ0

1 1 1+ (đ?‘ 2 +đ?‘…2 ) 2

ds =

đ?‘ đ?‘…2

1 (đ?‘ 2 +đ?‘…2 )2

đ?œ‡0 1 i 2đ?œ‹ đ?‘…

La direzione e il verso del vettore B sono dati dalla regola della mano destra.

Si considera la direzione radiale congiungente il filo con il punto P.

Il vettore B e’ ortogonale a detta direzione.

- 51 -

12.

E’

FORZE TRA CONDUTTORI PARALLELI PERCORSI DA CORRENTE

stato

verificato

sperimentalmente

che

due

fili

condottori percorsi da correnti elettriche nello stesso verso si attraggono tra di loro.

Si consideri la situazione rappresentata dalla figura sottostante.

Ci sono due conduttori a e b percorsi da due correnti nello stesso verso di percorrenza. Il vettore �� contiene

- 52 -

il deponente A perche’ si riferisce al campo indotto dal passaggio della corrente đ?‘–đ??´ .

Il vettore ��� contiene due indici perche’ attiene alla forza che il conduttore lineare B esercita su A.

Detto vettore e’ ortogonale al piano dei vettori L e ��.

L ha l’orientamento della corrente.

��� ha il senso di una forza risultante.

Ad essa si arriva tramite l’equazione vettoriale di Lorentz per la quale

đ?‘­đ?‘Šđ?‘¨ = qv ∧ BA â&#x;ş đ?‘­đ?‘Šđ?‘¨ = iL ∧ BA

La giustificazione di questa “equivalenza� e’ immediata.

Ad essa, infatti, si perviene per meri ragionamenti dimensionali.

Infatti, matematicamente i =

- 53 -

đ?‘‘đ?‘ž đ?‘‘đ?‘Ą

.

Poiche’ i =i(t)= cost. allora e’ legittimo scrivere Q = i∆đ?‘Ą, ovvero la carica che passa per un punto in un dato istante e’ costante e la carica che passa per un punto in un dato tempo vale

i∆đ?‘Ą.

Pertanto đ?‘­đ?‘Šđ?‘¨ = qv ∧ BA = i∆đ?‘Ąv ∧ BA

Ma a questo punto si ha che v =

đ?‘ł ∆t

Pertanto si puo’ sostituire in formula per avere:

đ?‘ł

đ?‘­đ?‘Šđ?‘¨ = qv ∧ BA = i∆đ?‘Ąv ∧ BA = i∆t ∆đ??­ ∧ BA = iL ∧ BA

I vettori L e BA sono perpendicolari.

Pertanto semplicemente si ha:

đ??šđ??ľđ??´ = iLBA

Con i deve intendersi la corrente passante in B, ovvero propriamente đ?‘–đ?‘? costante nel tempo.

- 54 -

Si

dimostra

anche

che

correnti

discord

e

parallele

esercitano una formza risultante che tende a respingere i due conduttori.

Riunendo i risultati si ottiene la relazione ben nota:

đ??šđ??ľđ??´ =

đ?œ‡0 đ??żđ?‘–đ??ľ đ?‘–đ??´ 2đ?œ‹đ?‘‘

Detta forza respinge i conduttori se le correnti hanno verso

opposto

e

li

attrae

se

essi

hanno

verso

coindicente.

In realta’ piu’ che la forza in se’ si considera il

rapporto

đ??šđ??ľđ??´ đ??ż

che indica la forza risultante esercitata

sui conduttori rettilinei con riferimento alla unita’ di lunghezza, idealmente supposta infinita.

Detto rapporto viene espresso in

Esso

e’

importante

anche

đ?‘ . đ?‘š

perche’

alla

base

della

definizione formale di ampere (A), ovvero della unita’ di misura della intensita’ di corrente elettrica.

- 55 -

In particolare, due correnti eguali (quindi anche una corrente) ha una intensita’di un ampere quando la forza che si esercita tra i conduttori rettilinei posti alla distanza d di un metro risulta essere di un newton per ogni metro di lunghezza del conduttore.

E’

forse

utile

evidenziare

in

simmetria

cilindrica

l’andamento del vettore B in un punto dello spazio non coincidente con il ocnduttore medesimo.

Il vettore induzione e’ scomponibile nelle tre direzioni spaziali.

In coordinate castesiane si ha:

B(X)= B(x,y,z) = đ?‘Šđ?’™(x,y,z) + đ?‘Šđ?’š (x,y,z) + đ?‘Šđ?’›(x,y,z)

Analogamente si puo’ procedure in simmetria cilindrica, avendo ⌋AA.VV.âŚŒ che e’:

- 56 -

B(X)= B(r,đ?œƒ,z) = đ?‘Šđ?’“ (đ?‘&#x;, đ?œƒ, đ?‘§) + đ?‘Šđ?œ˝ (r, θ, z) + đ?‘Šđ?’› (r,đ?œƒ,z)

Va ben precisata la direzione e il verso del vettore B nel caso di corrente costante che per semplicita’ si ammette lungo la direzione z.

La

componente

radiale

r

giace

nel

piano

della

circonferenza di raggio r.

Se la corrente i avesse avuto verso opposto il vettore B avrebbe avuto medesima direzione ma verso opposto.

Ě‚ đ?›‰. La direzione di detto vettore e’ quella del versore đ??Ž

- 57 -

Si ha:

Ě‚đ?›‰ B(X) = B(r) đ??Ž

13.

LA LEGGE DI AMPERE

La formulazione della legge e’ abbastanza semplice ed e’ una diretta conseguenza della legge di Biot e Savart.

Essa e’ la seguente:

∎ đ?? dđ??’ = đ?œ‡0 đ?‘–đ?‘?â„Ž

đ?‘–đ?‘?â„Ž e’ la corrente netta interna ad una linea chiusa, detta amperiana.

La linea chiusa appartiene ad un piano dato e le correnti scorrono su fili conduttori ortogonali al piano, come da figura.

- 58 -

In rosso ho indicato la curva semplice e chiusa, detta linea amperiana, mentre le frecce blu indicano i versi della corrente. In grigio ho stilizzato un pollice P e le alter dita incurvate della mano destra.

I segni positivo e negative delle correnti si coordinano con il principio della mano destra.

In figura risulta positive la corrente uscente i1 e negative la corrente entrante i2

.

Con riferimento alla figura risulta che:

ich = đ?‘–1 −đ?‘–2

Si

puo’

ad

esempio

considerare

il

caso

di

un

rettilineo calcolando B all’esterno del conduttore.

- 59 -

filo

La figura sottostante esemplifica la situazione fisica.

A presciendere dale mie abilita’ nel disegno a computer quella rossa e’ da intendersi come una circonferenza di raggio r. Ho “coordinato” il police della mano destra con la direzione di percorrenza della linea amperiana chiusa.

Si

deve

precisare

che

non

necessariamente,

come

si

vedra’, le linee amperiane sono circonferenze.

Nel caso considerate trattasi di circonferenze ma cio’ non e’ necessariamente generalizzabile.

- 60 -

Credo utile osservare che la mano destra ben puo’ essere “stilizzata� da un vettore ortogonale al piano della linea amperiana.

Detto vettore ha il medesimo verso della corrente. Quando esso e’ up la linea amperiana deve intendersi percorsa in senso antiorario.

Nel

caso

di

vettore

down

seguente.

- 61 -

la

situazione

diviene

la

Rirornando

alle

considerazioni

pregresse

e’

utile

ricordare che il caso indicato e’ in effetti molto semplice perche’ i due vettori B

e dS sono linearmente

dipendenti e hanno lo stesso verso.

Il modulo di B dipende dalla distanza r ovvero e’ B = B(r).

Si ha che:

∎ đ?? dđ??’ = B ∎ dS = B2đ?œ‹r = đ?œ‡0 đ?‘–đ?‘?â„Ž

In questo caso i = đ?‘–đ?‘?â„Ž

Da B2đ?œ‹r = đ?œ‡0 đ?‘– si ha che:

B(r)=

đ?œ‡0 đ?‘– 2đ?œ‹đ?‘&#x;

Essa vale per r > đ?‘&#x;đ?‘œ ove questo ultimo e’ il raggio del conduttore di corrente elettrica.

- 62 -

Questo

caso

va

studiato

con

riferimento

alla

determinazione di B in un punto interno del conduttore.

Questa

situazione

seguente

figura

puo’ ove

essere

il

rappresentata

calibro

del

con

la

conduttore

e’

“ingigantito”.

Questa

figura

ben

esemplifica

corrispondente.

- 63 -

la

situazione

fisica

In essa e’ indicato il verso della corrente, la linea amperiana di raggio r (quindi anche in questo caso una circonferenza‌..) minore del calibro del conduttore, indicato con la lettera R.

Anche in essa ho stilizzato un police P e ho coordinato con la regola della mano destra con il senso della linea amperiana.

In

questo

caso

la

linea

amperiana

e’

interna

al

conduttore in quanto e’ necessario calcolare, per una data corrente i, B(r) per r ≤ R.

Se si ammette che la corrente che scorre e’ uniforme nella sezione del ocnduttore, e’ legittimo impostare la seguente proportione:

i :

đ?‘–đ?‘?â„Ž = đ?œ‹đ?‘… 2 : đ?œ‹đ?‘&#x; 2

ovvero

iđ?œ‹đ?‘&#x; 2 = ichđ?œ‹đ?‘… 2

- 64 -

Dividendo ambo i membri per đ?œ‹ ≠0 si ottiene:

iđ?‘&#x; 2 = ichđ?‘… 2 da cui si ottiene:

đ?‘–đ?‘?â„Ž ( đ?‘&#x;) = i

đ?‘&#x;2 đ?‘…2

Con qualche semplice passaggio si arriva al risultato, ovvero si ha:

∎ đ?? dđ??’ = B ∎ dS = B2đ?œ‹r = đ?œ‡0 đ?‘–đ?‘?â„Ž

Ovvero si ha:

B =

đ?œ‡0 đ?‘–đ?‘?â„Ž 2đ?œ‹đ?‘&#x;

Ora,

=

e’

đ?œ‡0 đ?‘&#x; đ?‘– 2đ?œ‹ đ?‘…2

possibile

coordinare

i

risultati

ben

rappresentabili e sintetizzabili nel seguente grafico.

- 65 -

Essa

e’

riferita

ad

una

data

i

circolante

in

un

conduttore di raggio R.

Va osservato che in tutti questi casi di e’ ammesso che la densita’ di corrente sia costante in ogni punto del conduttore.

Solitamente la densita’di corrente J vale

đ?‘– đ?œ‹đ?‘&#x; 2

ove r e’ il

raggio del conduttore elettrico.

Una ulteriore formulazione della legge di Ampere e’ la seguente:

∎ đ?‘Żđ?‘‘đ?’? = đ?‘–đ?‘?â„Ž

La corrente đ?‘–đ?‘?â„Ž deve intendersi nota.

E’ solitamente necessario calcolare H e il suo modulo H.

Viene senpre considerate un cammino chiuso.

- 66 -

Sono possibili due distinte ipotesi, la prima delle quali prevede che sia H perpendicolare al cammino oppure che sia H tangente.

Il vettore H deve risultare costante nell’intervallo che si considera.

Si

consideri

quindi

una

corrente

che

scorre

in

un

conduttore filiforme.

Ad

esempio

per

calcolare

H

ad

una

distanza

r

dal

filamento si ocnsidera un cammino chiuso di lunghezza 2đ?œ‹r.

Il vettore H e’ sempre tangente a detto cammino in ogni punto di esso.

La seguente figura e’ istruttiva.

- 67 -

In questo caso si puo’ scrivere che:

∎ đ?‘Żđ?‘‘đ?’? = H2đ?œ‹r = I

Da essa immediatamente si ha:

H =

14.

I đ?’‚ . 2Ď€r đ?’“

EQUAZIONE DI MAXWELL PER I CAMPI STATICI

Dato un campo mangnetico H la densita’ di corrente J e’ data dalla seguente relazione vettoriale:

đ?‘ą = đ?› ∧ H

Detta relazione e’ detta equazione di Maxwell per i campi statici.

Si ha:

đ??˘ đ?‘ą = đ?› ∧ H = =

đ??Ł

đ??¤

∂ [ ∂x

∂ ∂y

∂ ] ∂z

Hx

Hy

Hz

- 68 -

Si ammette sia H noto, quindi siano note le sue component secondo le tre direzioni.

15.

RELAZIONE H, B

La relazione tra i campi H e B e’, salvo quanto si dira’ piu’ oltre, lineare, del tipo:

B = đ?œ‡H

Quando si operi in un mezzo diverso dal vuoto.

Risulta

che

đ?œ‡ = đ?œ‡0 đ?œ‡đ?‘&#x;

ove

đ?œ‡đ?‘&#x;

e’

un

numero

detto

permeabilita’ relativa, priva di dimensioni fisiche.

đ?œ‡đ?‘&#x; ≈ 1, salvo che per i materiali

In generale risulta

ferromagnetici, per i quali đ?œ‡đ?‘&#x; ≍ 1.

Per i campi magnetici si ha:

∇B = 0 â&#x;ş

đ?œ• đ??ľ đ?œ•đ?‘Ľ đ?‘Ľ

đ?œ• đ??ľ đ?œ•đ?‘Ś đ?‘Ś

+

đ?œ• đ??ľ đ?œ•đ?‘§ đ?‘§

+

- 69 -

16.

IL FLUSSO DI CAMPO MAGNETICO

Il vettore B viene anche chiamato densita’ di flusso magnetico.

Viene definita una ulteriore grandezza scalare, detta flusso magnetico indicato con la lettera ÎŚ definita come segue:

ÎŚ=

âˆŤđ?‘ş đ?‘Š dđ??’

Ě‚ dove dS = dSđ?’?

Ě‚ e’ perpendicolare alla superficie piana dS. Il versore đ?’?

- 70 -

In realta’ assegnata dS esistono due possibili versi per la retta contenente il vettore unitario.

Essi sono opposti.

Convenzionalmente uno puo’ essere assunto positivo e l’altro negativo.

Questo si ripercuote sul segno di ÎŚ, positivo o negativo.

In

un

“mondo�

semplificato

ove

magari

B

e

dS

sono

paralleli la formula si semplifica alla gestione di un banale prodotto scalare, del tipo:

ÎŚ = B * dS = BdS.

L’unita

di

misura

del

flusso

magnetico

nel

Sistema

internazionale di misura e’ il weber (Wb) avendosi che 1 weber = 1 Tesla* 1�2 .

Per

il

campo

magnetico

vale

vettoriale:

đ?› ∧ B = 0

- 71 -

la

seguente

equazione

Si dice, al riguardo, che “i campi magnetici non hanno ne’ sogenti ne’ pozzi” ⦋Edminister⦌.

17.

IL POTENZIALE MAGNETICO VETTORE A

Nello studio dei campi magnetici viene introdotta una ulteriore

grandezza

vettoriale,

detta

potenziale

magnetico vettore A, definito come segue:

∇∧ A = B

In relazione a detta grandezza risulta:

∇ A = 0

E’

possibile

partire

dalla

relazione

∇∧

A

=

B

utilizzando lo sviluppo del determinante di Laplace per avere:

- 72 -

đ??˘ ∇∧ A = B

=

đ??Ł

đ??¤

đ??? [ đ???đ?’™

đ??? đ???đ?’š

đ??? ] đ???đ?’›

Ax

đ??´đ?‘Ś

Az

Con riferimento al primo determinante si puo’ scrivere che:

∂

∂ ∂z ] đ?’Š

đ??ľđ?‘Ľ đ?’Š

= [ ∂y Ay

Si

consideri

Az

∂

∂ ∂z ]

â&#x;ş đ??ľđ?‘Ľ = [ ∂y Ay

l’ipotesi

Az

siano

=

∂ A ∂y z

∂ A ∂y z

-

e

∂ đ??´ ∂z đ?‘Ś

∂ đ??´ ∂z đ?‘Ś

costanti,

avendosi che

đ?œ•

đ?œ•

âˆŤ đ??ľđ?‘Ľ dx = âˆŤ( đ?œ•đ?‘Ś đ??´đ?‘§ - đ?œ•đ?‘§ đ??´đ?‘Ś )dx

+ cost.

In pratica si ha:

đ?œ•

âˆŤ đ??ľđ?‘Ľ dx = âˆŤ( đ?œ•đ?‘Ś đ??´đ?‘§ -

đ?œ• đ??´ đ?œ•đ?‘§ đ?‘Ś

)dx

+ cost.= đ??´đ?‘Ľ

Analogamente si procede per le altre componenti, secondo le direzioni y e z.

Avendo, rispettivamente che:

- 73 -

âˆŤ đ??ľđ?‘Ś dy = đ??´đ?‘Ś

âˆŤ đ??ľđ?‘§ dz = đ??´đ?‘§

In realta’ negli esercizi proposti ⌋EdministerâŚŒ vengono considerati casi particolari solitamente utilizzando le coordinate cilindriche.

Nella prassi il potenziale magnetico viene calcolato assegnate

le

correnti,

relativamente

ai

casi

del

filamento, del foglio e della corrente di volume.

E’ immediato notare che il vettore A viene misutato in tesla per metro (T*m).

18.

NOTA MATEMATICA – Digressione di algebra vettoriale

Dato un vettore V si puo’ scrivere:

V = (a, b, c) ≥ ai + bj + ck

Ma una terna di vettori componenti non e’ il vettore V.

- 74 -

Dalla terna (ai, bj, ck) si ottiene il vettore V con l’uso di + da intendersi come addizione vettoriale che conduce alla somma V.

Ho deciso di denotare la terna (ai, bj, ck) con il formalismo �� .

Si ammette dato l’operatore vettoriale ∇.

Ho introdotto il fomalismo ∇đ??ś come una terna nel modo seguente:

đ?› đ?‘Ş = (

đ?œ• (..)i, đ?œ•đ?‘Ľ

đ?œ• đ?œ• (..)j, đ?œ•đ?‘§(..)k) đ?œ•đ?‘Ś

E’ immediato constatare che risulta essere:

div V â‰? đ?› V = đ?› đ?‘Ş đ?‘˝đ?‘Ş = (

đ?œ• (..)i, đ?œ•đ?‘Ľ

đ?œ• đ?œ• (..)j, (..)k) đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘§

(ai,

bj, ck)

Questa relazione e’ sviluppabile seguendo la regola standard usata per il prodotto scalare.

Si ha:

- 75 -

div V â‰? đ?› V = đ?› đ?‘Ş đ?‘˝đ?‘Ş = (

đ?œ• (a)ii đ?œ•đ?‘Ľ

bj, ck)=

+

đ?œ• (..)i, đ?œ•đ?‘Ľ

đ?œ• (b)jj đ?œ•đ?‘Ś

+

đ?œ• đ?œ• (..)j, (..)k) đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘§

(ai,

đ?œ• (c)kk đ?œ•đ?‘§

Deve osservarsi che ii = jj = kk = 1.

In definitiva si ha:

div V â‰? đ?› V = đ?› đ?‘Ş đ?‘˝đ?‘Ş =

Lavorando

sulle

dispendio

di

sarebbe

đ?œ• (a) đ?œ•đ?‘Ľ

componenti

operazioni

comunque

+

lo

ottenuto

đ?œ• (b) đ?œ•đ?‘Ś

si

+

đ?œ• (c) đ?œ•đ?‘§

e’

stesso lavorando

ottenuto

con

un

risultato

che

si

“algebricamente�

sulla relazione data per definizione, ovvero:

div V â‰? đ?› V

Con un formalismo analogo dato lo scalare div V e’ possibile formalizzare le componenti della divergenza di un vettore V come segue:

đ?œ•

(đ?‘‘đ?‘–đ?‘Ł đ?‘˝)đ??ś = (đ?œ•đ?‘Ľ(a) ,

đ?œ• (b) đ?œ•đ?‘Ś

,

đ?œ• (c)) đ?œ•đ?‘§

- 76 -

E’ immediato poter scrivere che:

((đ?‘‘đ?‘–đ?‘Ł đ?‘˝)đ??ś )−1 = (a, b, c)

Con il formalismo introdotto e’ possibile definire il gradiente di V, ovvero grad V risultando essere:

đ?œ•

grad V = (đ?‘‘đ?‘–đ?‘Ł đ?‘˝)đ??ś (i, j, k)= (đ?œ•đ?‘Ľ(a) ,

k)=

đ?œ• (a)i đ?œ•đ?‘Ľ

+

đ?œ• (b)j đ?œ•đ?‘Ś

+

đ?œ• (b) đ?œ•đ?‘Ś

,

đ?œ• (c)) đ?œ•đ?‘§

(i, j,

đ?œ• (c)k đ?œ•đ?‘§

Va osservato che (i, j, k)≢

đ?’Š + đ?’‹ + đ?’Œ

= 1 đ?’Š + 1đ?’‹ + 1 đ?’Œ =

(1, 1, 1).

Ma, dato grad V e’ possibile considerare la terna delle componenti ovvero

grad đ?‘˝ đ?‘Ş

= (

đ?œ• (a)i đ?œ•đ?‘Ľ

,

đ?œ• (b)j đ?œ•đ?‘Ś

,

đ?œ• (c)k) đ?œ•đ?‘§

Moltiplicando secondo le regole proprie del prodotto scalare detta grandezza per la terna (i, j, k) si ha:

- 77 -

(

đ?œ• (a)i đ?œ•đ?‘Ľ

đ?œ• (c)kk đ?œ•đ?‘§

=

,

đ?œ• (b)j đ?œ•đ?‘Ś

đ?œ• (a) đ?œ•đ?‘Ľ

+

,

đ?œ• (c)k) đ?œ•đ?‘§

(i, j, k)=

đ?œ• (a)ii đ?œ•đ?‘Ľ

+

đ?œ• (b)jj đ?œ•đ?‘Ś

+

đ?œ• đ?œ• (b)+ đ?œ•đ?‘§(c) đ?œ•đ?‘Ś

In definitiva si ha che:

div V =( grad đ?‘‰ đ??ś )(i, j, k)

Occorre ora considerare l’operatore nabla vettoriale dato in coordinate cartesiane.

Si ha per definizione che:

âˆ‡â‰Ą

đ?œ• (a)i đ?œ•đ?‘Ľ

+

đ?œ• (b)j đ?œ•đ?‘Ś

+

đ?œ• (c)k đ?œ•đ?‘§

= (

đ?œ• đ?œ• (a), (b) đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ś

,

đ?œ• (c))(i, đ?œ•đ?‘§

j, k)=

In definitiva:

∇ ≥ (đ?‘‘đ?‘–đ?‘Ł đ?‘˝)đ??ś (i, j, k)

A questo punto puo’ essere definita la terna delle componenti di ∇ che per uniformita’ potremmo definire con il simbolo ∇đ??ś , avendosi che:

- 78 -

∇đ??ś = (

đ?œ• (..)i đ?œ•đ?‘Ľ

,

đ?œ• (..)j đ?œ•đ?‘Ś

,

đ?œ• (..)k đ?œ•đ?‘§

)

Per semplicita’ si puo’ anche scrivere:

∇đ??ś = (đ?‘“đ?‘Ľ i , đ?’‡đ?’š j , đ?‘“đ?‘§ k )

Ho reputato necessario definire l’operatore inverso di đ?› đ?‘Ş , indicato con il simbolo đ?œľđ?‘Ş âˆ’đ?&#x;? e definito come segue.

đ?œľđ?‘Ş âˆ’đ?&#x;? = ( âˆŤ(. .)đ?‘‘đ?‘Ľ, âˆŤ(. . )đ?‘‘đ?‘Ś, âˆŤ(. . )đ?‘‘đ?‘§ )

Pertanto si ha che:

đ?œľđ?‘Ş âˆ’đ?&#x;? đ?› đ?‘Ş = ( âˆŤ(. .)đ?‘‘đ?‘Ľ, âˆŤ(. . )đ?‘‘đ?‘Ś, âˆŤ(. . )đ?‘‘đ?‘§ ) (đ?‘“đ?‘Ľ i , đ?’‡đ?’š j , đ?‘“đ?‘§ k )

Utilizzando la regola standard dei prodotti scalari si ha:

đ?œľđ?‘Ş âˆ’đ?&#x;? đ?› đ?‘Ş = âˆŤ(đ?‘“đ?‘Ľ đ?’Š)dx + âˆŤ đ?’‡đ?’š đ?’‹đ?‘‘đ?‘Ś + âˆŤ đ?’‡đ?’› đ?’Œdz = ai + bj + ck = (a , b, c)

- 79 -

In

generale

le

grandezze

a,

b,

e

c

possono

essere

considerate tre funzioni scalari.

18.1 Esempi di calcolo di divergenze di vettori in coordinate cartesiane rettangolari

Dato il vettore A = đ?‘’ đ?‘Žđ?‘Ľ đ?’Š

+ bcosyj + bsinzk

E’ possibile cosiderare le componenti scalari e passare alle derivate parziali prime, avendo:

(đ?‘’ đ?‘Žđ?‘Ľ , bcosy,

∂

(∂x eax ,

bsinz)

∂ đ?œ• bcosy, đ?œ•đ?‘§ ∂y

bsinz)

(aeax , k(-siny), kcosz)

Pertanto ∇A = aeax + k(-siny)+ kcosz = aeax -ksiny+ kcosz

Se si cerca il valore nell’origine si scrive:

- 80 -

∇A(0,0,0) = aeax

-ksiny+ kcosz = aea0

-ksin0+ kcos0 =

ađ?‘’ 0 + 0 + k = a + k.

Si consideri un secondo caso di calcolo di divergenza di un vettore quale A = (3x + đ?‘Ś 2 )i + (x - đ?‘Ś 2 )đ?’‹ + 0k

Si ha:

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ

( (3x + đ?‘Ś 2 ),

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ

( (3x +

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ

đ?œ• (x đ?œ•đ?‘Ś

đ?‘Ś 2 ),

- đ?‘Ś 2 ),

đ?œ• (x đ?œ•đ?‘Ś

-

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś

đ?œ• 0) đ?œ•đ?‘Ś

đ?‘Ś 2 ),

đ?œ• 0) đ?œ•đ?‘Ś

( 3 + 0 , 0 -2y, 0)

In definitiva si ha:

∇A = 3 – 2y

Si puo’ calcolare l’andamento di ∇A per un dato A quando ci si sposta su una curva ad esempio su una retta di equazione y = mx + b.

In questo caso si ha đ?›ťđ?‘¨(đ?‘Ľ,đ?‘Ś): đ?‘Ś=đ?‘šđ?‘Ľ+đ?‘? = 3x – 2(mx + b) = 3x – 2mx – b

- 81 -

E’ possibile fare qualche altro esempio, ad esempio per A = 4xyi + zj + 5sinzk si ha:

Da cio’ si ha:

đ?› đ?‘¨ =

19.

In

∂ 4xy ∂x

+

∂ z ∂y

+

∂ 5sinz ∂z

= 4y + 0 + 5cosz = 4y + 5cosz

NOTA MATEMATICA – Laplaciano

algebra

vettoriale

viene

deinito

un

ulteriore

operatore, detto laplaciano.

Ad esso si perviene come segue:

Data una funzione scalare V = V(x,y,z) il laplaciano in coordinate

cartesiane

viene

formalizzato

nel

modo

segmente:

∇2 V(x,y,z) =

đ?œ•2 V(x,y,z) đ?œ•đ?‘Ľ 2

+

đ?œ•2 V(x,y,z) đ?œ•đ?‘Ś 2

+

đ?œ•2 V(x,y,z) đ?œ•đ?‘§ 2

Il formalismo per componenti risulta essere:

đ?œ•2

đ?›ť 2 đ?‘‰(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) đ??ś = (đ?œ•đ?‘Ľ 2 V(x,y,z) ,

- 82 -

đ?œ•2 V(x,y,z) đ?œ•đ?‘Ś 2

,

đ?œ•2 V(x,y,z) đ?œ•đ?‘§ 2

)

Alla forma del gradiente si puo’ pervenire per step.

1) Data

la

funzione

V

=

V(x,y,z)

si

puo’

ottenere

il

gradiente per componenti, avendo:

đ?œ•

(∇đ?‘‰)đ??ś = (đ?œ•đ?‘ĽVi ,

đ?œ• Vj đ?œ•đ?‘Ś

,

đ?œ• Vj) đ?œ•đ?‘Ś

2) Premoltiplicando, nella logica del prodotto scalare, si ha:

đ?œ•

∇đ??ś (∇đ?‘‰)đ??ś = (đ?œ•đ?‘Ľ (‌ )i ,

=

đ?œ•2 V(x,y,z) đ?œ•đ?‘Ľ 2

20.

+

đ?œ• (‌)j đ?œ•đ?‘Ś

đ?œ•2 V(x,y,z) đ?œ•đ?‘Ś 2

,

đ?œ• đ?œ• (‌ . )j)(đ?œ•đ?‘ĽVi đ?œ•đ?‘Ś

+

đ?œ•2 V(x,y,z) đ?œ•đ?‘§ 2

,

đ?œ• Vj đ?œ•đ?‘Ś

,

đ?œ• Vj) đ?œ•đ?‘Ś

EQUAZIONE DI LAPLACE – Variazione del potenziale

in una sola direzione

L’equazione di Laplace-Poisson che

contiene l’operatore

laplaciano, riferita ad una regione nella quale non vi siano cariche elettriche interne e’ la seguente:

- 83 -

∇2 V(x,y,z) =

đ?œ•2 V(x,y,z) đ?œ•đ?‘Ľ 2

+

đ?œ•2 V(x,y,z) đ?œ•đ?‘Ś 2

+

đ?œ•2 V(x,y,z) đ?œ•đ?‘§ 2

=

0

Se si ammette che sia V(đ?‘Ľ0 ) = đ?‘‰0 mentre risulta un campo uniforme E = đ?‘˜103 (-i).

Ho ampliato in via generale un esercizio di cui non

e’

data la traccia di risuluzione contenuto in un testo di consultazione ⌋EdministerâŚŒ.

Si ha E = đ?‘˜103 (-i) = - â„Ž103(i)

Per i dati del problema si ha che la derivata parziale

seconda rispetto alla x, ovvero

đ?œ•2 V(x,y,z) đ?œ•đ?‘Ľ 2

due volte, avendosi:

đ?œ•2 V(x,y,z)= đ?œ•đ?‘Ľ 2

0

Con una prima integrazione si ottiene

âˆŤ đ?‘‰đ?‘Ľ dx = k

- 84 -

e’ derivabile

(k e’ una costante reale in quanto la primitiva (in questo caso k) ha derivate nulla e al secondo membro đ?œ•2

della relazione di partenza, đ?œ•đ?‘Ľ 2 V(x,y,z)= 0, si trovava proprio 0).

�� e’ la derivata prima di V rispetto alla x.

Detta relazione trovata, ovvero âˆŤ đ?‘‰đ?‘Ľ dx = k e’ integrabile ulteriormente avendo che V = âˆŤ đ?‘˜đ?‘‘đ?‘Ľ + đ?‘˜1 ove đ?‘˜1 e’ la ulteriore costante di integrazione.

Si ha pertanto:

V = kâˆŤ đ?‘‘đ?‘Ľ + đ?‘˜1 = kx + đ?‘˜1

In definitiva si ottiene:

V(x) = kx + đ?‘˜1

Dal punto di vista fisico si evince immediatamente che đ?‘˜1 viene misurata in volt (V) ed indica la condizione al contorno, quindi đ?‘˜1 = đ?‘‰0 .

- 85 -

Anche la grandezza kx deve avere le fimensioni fisiche di un potenziale, quindi essa e’ misutata in volt (V).

�

Questo si ha quando V =đ?‘šm

E’ immediato comprendere quindi che la costante k ha le dimensioni fisiche corrispondenti a quelle del vettore campo elettrico E.

Il modulo di E viene indicato con E.

In sintesi, coi dati del problema, si ha:

V(x) = Ex + �0 = - ℎ103 � + �0

Tra i dati numerici del problema si aveva V(đ?‘Ľ0 ) = 25 V e h = 1,5.

21.

MOMENTO TORCENTE E MOMENTO MAGNETICO m

Questi concetti sono importanti perche’ alla base del funzionamento del motore elettrico.

- 86 -

Se e’ data una spira percorsa da corrente contenuta un una regione caratterizzata da un campo di induzione magnetica B che sia libera di ruotare attorno ad un proprio asse si determina per le forze magnetiche un momento torcente che ne determinano la rotazione.

La corrente viene commutata periodicamente in modo che il momento torcente sia sempre nello stesso senso.

Dalla fisica elementare e’ noto che il momento torcente, solitamente indicato con la lettera T,

e’ una grandezza

vettoriale definite come segue:

T = r ∧ F

Esso ha le dimensioni fisiche di una energia e quindi astrattamente misurabile in juale (J).

In realta’ esso viene misurato in Jđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘−1 .

Il vettore T e’ al solito perpendicolare al piano dei dati vettori e costituisce con essi una terna destrorsa.

- 87 -

A questo punto si puo’ considerare una spira percorsa da una corrente I collocate in una regione in cui il vettore induzione magnetica B ha il verso delle x positive.

Si ammetta che la spira sia collocate nel piano xy per il quale z = 0 secondo la seguente figura

E’ noto ⦋Edminister⦌ che “le uniche forze in gioco sono quelle che risultano dai lati l della spira”.

- 88 -

Occorre dare un senso alle formule vettoriali date.

Per il lato sinistro F = Ili ∧ Bj .

F ha la direzione dell’asse delle z, quindi nel piano xy si avrebbe una situazione del tipo seguente.

Una rotazione oraria di

đ?œ‹ 2

rad. sovrappone il vettore

corrente al vettore induzione magnetica.

Per avere una terna destrorsa occorre che il verso del vettore B sia quello delle z negative.

Quindi risulta:

F = - Bilk

Nel caso del secondo lato l della spira si devono fare le seguenti osservazioni.

- 89 -

La situaizone vettoriale nel piano di base ora e’ la seguente.

In questo caso per avere una base destrorsa la direzione del prodotto vettore F deve essere quella dell’asse delle z e il verso e’ quello delle z positive.

Pertanto per il secondo lato rilevante della spira la forza e’:

F =

Bilk

Occorre ora calcolare il momento torcente risultante delle due forze considerate.

Per fare cio’ agevolmente si considera un Sistema di riferimento

tridimensionale

geometrico della spira.

- 90 -

centrato

nel

centro

In questo modo, il momento torcente, somma dei momenti torcenti

delle

due

forze,

e’

dato

dalla

relazione

seguente:

đ?‘Ľ 2

đ?‘Ľ 2

T = (− )đ?’Š ∧ (- Bilk) + ( )đ??˘ ∧ ( Bilk)= -BIlxk = -BIAk

essendo A l’area della spira.

Deve essere ora introdotto il momento magnetico m della spira piana.

Si tratta di una grandezza vettoriale cosi’ definita:

m = IAđ?’‚đ?’?

ove I indica la corrente circolante, A l’area della superficie e đ?’‚đ?’? definisce il versore ortogonale al piano contenente la superficie piana di area A.

Si puo’ utilmente considerare la sosttostante figura che evidenzia anche il moto della particella carica, lungo una linea amperiana di raggio r risultando quandi A = đ?œ‹đ?‘&#x; 2 .

- 91 -

La carica q si muove con una velocita’ scalare v che in termini vettoriali risulta tangente la circonferenza di raggio r in ogni punto di essa.

Il

moto

della

particella

carica

corrisponde

all’andamento di una corrente su una linea amperiana, come dal senso rappresentato dalla freccia rossa sulla circonferenza di raggio r indicate in verde.

Tanto prenesso, deve essere definito il momento agente su una spira.

Detto momento, indicato con la lettera T, risulta essere:

T = m ∧ B

- 92 -

ove m e’ il momento magnetico della spira, mentre B e’ il campo induzione magnetica.

Esiste una corta di equivalenza carica in moto – corrente per la quale una carica q che si muove con una velocita’ v, ovvero con una velocita’ angolare đ?œ”, equivale ad una

corrente I =

đ?œ” đ?‘„ 2đ?œ‹

⌋EdministerâŚŒ.

Questa relazione e’ ben giustificata anche dal punto di

vista dimensionale in quanto

đ?œ” 2đ?œ‹

e’ misurata in

đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘ đ?‘ đ?‘’đ?‘?

đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘

=

đ?‘ đ?‘’đ?‘? −1.

Per quanto detto si puo’ scrivere:

m =

đ??Ž QAđ?’‚đ?’? đ?&#x;?đ??…

La carica si muove fino a quando T = 0, ovvero fino a

quando sinđ?œ— =0, ovvero fino a quando i due vettori sono giacenti sulla medesima retta.

Occore ora introdurre il magnetone di Bohr.

- 93 -

Il modello introdotto puo’ essere utile per lo studio dell’elettrone nell’atomo di idrogeno.

In una ipotesi elementare si ammette che l’elettrone descriva una traiettoria circolare di raggio r.

La figura seguente ben esemplifica la situazione.

Il momento cinetico dell’elettrone vale L = OP ∧ mv =

mvrđ??šđ??ł .

In questo caso Q = - e.

Il momento magnetico dell’elettrone m risulta essere m

=

−đ?‘’ đ?œ‹đ?‘&#x; 2 đ?‘‡

đ??Žđ??ł .

- 94 -

Dopo una sostituzione in formula si arriva alla relazione tra L e m.

m = -

La

đ?‘’ L 2đ?‘š

quantita’

-

đ?’† đ?&#x;?đ?’Ž

e’

comunemente

detta

rapport

giromagnetico dell’elettrone.

La teoria quantistica introduce una ulteriore grandezza, detta magnetone di Bohr, definite come segue:

đ?œ‡đ??ľ =

đ?‘’â„Ž 4đ?œ‹đ?‘š

In essa h e’ la costante di Planck.

22.

SOLENOIDE

Il solenoide e’ una componente circuitale nella quale scorre una corrente I e che genera un campo di induzione magnetica B.

- 95 -

Quando si considerano i solenoidi ci si riferisce al solenoidi ideale di lunghezza infinita.

In realta’ i solenoidi reali hanno una lunghezza finita e solo con una certa approssimazione possono essere considerati solenoidi ideali.

Un solenoid reale puo’ ritenersi ideale quando L ≍ đ?‘&#x;, ove L ed r sono rispettivamente la lunghezza e il raggio del solenoide.

Una definizione elegante di solenoid e’ la segmente:

“si chiama solenoide un filo conduttore avvolto ad elica circolare con passo costanteâ€? ⌋Capitani, De

SanctisâŚŒ.

Per ragioni di semplicita’ si ammette che i solenoidi reali siano ideali.

- 96 -

Entro le spire il campo magnetico B e’ uniforme, nel senso che B(x, t) = cost., ove x e’ un punto interno.

Nella figura e’ evidenziata in rosso la linea amperiana abcd.

E’ evidente che:

đ?‘?

đ?‘?

đ?‘‘

đ?‘Ž

∎ đ?‘Šđ?‘‘đ?’” = âˆŤđ?‘Ž đ??ľđ?‘‘đ?‘ + âˆŤđ?‘? đ??ľđ?‘‘đ?‘ + âˆŤđ?‘? đ??ľđ?‘‘đ?‘ + âˆŤđ?‘‘ đ??ľđ?‘‘đ?‘ = Bh + 0 +0 + 0= Bh

In questa formula h = d(b,a).

đ?‘?

Risulta âˆŤđ?‘? đ??ľđ?‘‘đ?‘ = 0 in quanto i due vettori sono ortogonali e il prodotto scalare e’ nullo.

đ?‘Ž

Per ragione analoga risulta âˆŤđ?‘‘ đ??ľđ?‘‘đ?‘ = 0.

đ?‘‘

âˆŤđ?‘? đ??ľđ?‘‘đ?‘ e’ eguale a zero in quanto all’esterno risulta B = 0

- 97 -

In sintesi, in relazione al caso considerato si ha:

∎ đ?‘Šđ?‘‘đ?’” = Bh = đ?œ‡0 đ?‘–đ?‘?â„Ž

Il solenoide e’ alimentato da una corrente i, supposta costante nel tempo.

Ma la grandezza rilevante e’ đ?‘–đ?‘?â„Ž in quanto la corrente interna alla linea amperiana chiusa abcd tiene conto che nella lunghezza h vi e’ un certo numero di spire.

Quindi la corremte interna, rilevante ai fini della legge di ampere, e’ un multiplo intero di i.

In pratica risulta vera la seguente relazione:

đ?‘–đ?‘?â„Ž = inh

ove n indica il numero delle spire per unita’ di

lunghezza, ovvero

đ?‘›đ?‘˘đ?‘šđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œ đ?‘‘đ?‘– đ?‘ đ?‘?đ?‘–đ?‘&#x;đ?‘’ . đ?‘šđ?‘’đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘œ

Cio’ premesso, si ha che:

Bh = đ?œ‡0 đ?‘–đ?‘?â„Ž = đ?œ‡0 inh

- 98 -

Da essa, dividendo per h ≠0, si ha:

B =

đ?œ‡0 in

Se in luogo della densita’ di spire (numero di esse nella unita’ di lunghezza) si puo’ scrivere che:

Bh = đ?œ‡0 iN

dove N e’ il numero delle spire.

23.

INDUZIONE MAGNETICA

La legge di induzione magnetica e’ dovuta al genio sperimentale di M. Faraday ed e’ stata ricavata a partire da due esperienze.

La prima di esse riguardava una spira collegata ad un galvanometro.

- 99 -

Il moto del magnete rispetto alla spira genera una corrente,

detta

indotta,

che

viene

misurata

sperimentalmente mediante un galvanometro.

Viene,

come

ben

noto,

definita

anche

una

forza

elettromotrice indotta che puo’ essere ⦋Halliday, Walker, Resnick ⦌ definita come “il lavoro svolto per unita’ di carica

per

far

passare

gli

elettroni

di

conduzione

attraverso la spira”.

Il secondo esperimento prevede due spire affiancate con due circuiti distinti. Il primo di essi e’ costituito da una spira collegata ad un amperometro, mentre il secondo e’

costituito

da

un

circuito

con

una

batteria,

un

resistore R, e, appunto, da una spira.

I

due

circuiti

sono

affiancati

ma

non

collegati

fisicamente.

Chiudendo il circuito si evince una corrente nel circuito affiancato, come evidenziato da un galvanometro.

- 100 -

Aprendo il circuito la corrente nel secondo circuito si azzera.

24.

FLUSSO MAGNETICO ATTRAVERSO UNA SUPERFICIE

Per

la

trattazione

dell’induzione

magnetica

e’

necessario introdurre il concetto di flusso magnetico attraverso una superficie S.

Sia data una area piana infinitesimale dS ed un vettore u unitario perpendicolare a detta area.

Il vettore dS ha modulo Ds e direzione e verso dati dal vettore unitario u.

Sia dato il vettore B induzione magnetica.

Da questi elementi, come e’ noto, viene definite una grandezza vetoriale detta flusso magnetico indicato con đ?œąđ?‘Š .

đ?œąđ?‘Š = âˆŤ đ?‘Šđ?‘‘đ?‘¨

- 101 -

Dalla semplice osservazione dell’integrale si evince che il flusso magnetico si misura in T�2 .

A detta unita’ di misura nel Sistema internazionale di misura e’ stato dato il nome di weber (Wb).

25.

LEGGE DI GAUβ PER IL CAMPO MAGNETICO

đ?œąđ?‘Š = ∎ đ?‘Šdđ?‘¨ = 0

đ??źđ?‘™ flusso e’ riferito ad una superficie gaussiana chiusa.

26.

LEGGE DI FARADAY

Con queste premesse, e’ possibile scrivere la legge di induzione di Faraday nel modo seguente, ove E indica la forza elettromotrice indotta:

E = -

đ?‘‘đ?œąđ?‘Š đ?‘‘đ?‘Ą

- 102 -

Il significato fisico del segno meno sara’ nuovamente esplicitato nel paragrafo dedicato alla legge di Lenz.

Nel caso di N spire la relazione di Faraday diviene:

E = - N

đ?‘‘đ?œąđ?‘Š đ?‘‘đ?‘Ą

La variazione di E e’ imputabile ad una variazione di đ?œąđ?‘Š .

La variazione del flusso concatenato đ?œąđ?‘Š a sua volta puo’ avere le seguenti cause:

1) variazione di B; 2) variaizone

della

“geometria�

della

bobina

o

suo

spostamento rispetto alla regione dello spazio nella quale e’ presente il campo B; 3) variazione dell’angolo tra il vettore B e il piano passante per la bobina (detto giacitura).

27.

LEGGE DI LENZ

- 103 -

La formulazione della legge di Lenz e’ la seguente:

La corrente indotta in una spira per effetto di una variazione di B e’ tale che il campo magnetico generato dalla corrente indotta si oppone alla variazione di B.

Lo schema logico e seguenziale e’ sostanzialmente il seguente.

1) viene traslato (avvicinato o allontanato) un magnete rispetto alla spira, supposta in quiete. 2) si determina una variazione tale che B(x, t +dt) - B(x, t) ≠0 3) quando il magnete viene avvicinato alla spira si genera una

corrente

elettrica

indotta,

misurabile

sperimentalmente con un galvanometro. 4) La corrente elettrica indotta genera un campo magnetico indotto đ?‘Šđ?’Šđ?’?đ?’… . 5) La spira percorsa dalla corrente indotta i si comporta come un dipole magnetico di momento Îź.

- 104 -

6) In pratica e’ come se esistesse un secondo magnete (la spira

!)

che

rallenta

il

movimento

del

magnete

in

avvicinamneto. 7) La direzione della corrente e’ coerente con la regola della mano destra e per il magnete in avvicinamento alla spira in quiete essa risulta antioraria. 8) Quando poi il magnete viene allontanato varia il verso della corrente.

Va osservato che affermare che il campo indotto đ?‘Šđ?’Š si oppone a B non equivale necessariamente ad affermare che i due campi sono opposti.

Questo caso non si ha ad esempio quando per un dato punto đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ą

x risulta | B(x)| < 0.

In questo caso B(x, t+dt) - B(x, t) < 0 e l’opposizione alla variazione di B si ha controbilanciando la riduzione

- 105 -

di B con un campo đ?‘Šđ?’Šđ?’?đ?’… non opposto a B ma ad esempio avendo lo stesso verso di B.

Nel caso della forza elettromotrice indotta V si ha che ∎ đ?‘Źđ?‘‘đ?’? non e’ nullo.

Il campo indotto non e’ conservativo.

Ci si deve porre la questione della legge temporale di variazione di B in un dato punto x nel dominio del tempo.

Si puo’ ammettere che sia dato B(x, �0 ).

Una ipotesi rozza potrebbe essere quella per la quale B(x,t) decresca linearmente nel tempo.

Rispetto

all’asse

dei

tempi

rappresentabile come segue:

- 106 -

tale

situazione

sarebbe

Questa legge di descrescita da un punto di vista logico formale pare addirittura assurda in quanto esisterebbe un istante Ď„ per il quale B(x, Ď„)= 0.

Per istanti successivi t > đ?œ? cambierebbe il verso di B.

Non e’ adeguata neppure l’analogia con la legge di Ampere riferita a un filamento percorso da corrente in quanto la simmetria radiale ha condotto alla legge scalare B = �

costđ?‘&#x;

per i punti sulla circonferenza.

Essa va intesa che B e’ in modulo costante per tutti gli x

tali

che

d(x,

đ?’™đ?&#x;Ž )

=

r,

essendo

đ?’™đ?&#x;Ž le

coordinate

cartesiane, quindi una coppia per un assegnato z, ovvero una terna del tipo (�0 , �0 , �0 ) dello spazio, mentre si ha x = (x, y, �0 ).

Si ammette sia noto x.

Si deve studiare B(x, t).

- 107 -

Anche

in

questo

caso

vi

sono

sicuramente

dei

casi

particolari.

Il primo di essi e’ decritto dalla figura seguente.

Se

si

ragiona

nel

piano

la

coordinata

z

diviene

superflua.

Se il filamento si sposta con velocita’ v nella direzione della retta per F e x allontanandosi da F dopo t secondi la distanza del filamento dal punto x diviene tv + r.

Pertanto al tempo t si ha

- 108 -

B(x, t)= cost

đ?‘– . đ?‘Ąđ?‘Ł+đ?‘&#x;

Questo nell’ipotesi che sia v = v(t) = cost.

Si ammette che il raggio del filo conduttore sia đ?‘&#x;đ?‘“

Per

certi

aspetti

questa

ipotesi

≈ 0.

semplificatrice

complica, ma ci si puo’ ccordinare con la relazione che studia B in funzione di r quando r ≤ đ?‘&#x;đ?‘“đ?‘–đ?‘™ .

In questo caso r e’ pur sempre la distanza tra il filamento e il punto x, ovvero in simmetria cilindrica.

Quindi deve intendersi noto B(đ?’™đ?&#x;Ž , 0) = B(đ?’™đ?&#x;Ž + đ?’—t, 0).

Similmente si studia il caso in cui il filamento si avvicina al punto x, da considerarsi noto.

E’ ben evidente che il filamento puo’ spostarsi secondo una direzione non coincidente con la direzione della retta passante per i punti F e x.

In questo caso la direzione e’ rilevante e la distanza nel tempo e’ governata dal teorema del coseno.

Esso puo’ essere scritto secondo questa relatione:

- 109 -

đ?‘&#x;(đ?‘Ł, đ?‘Ą)2 = đ?‘&#x; 2 + (đ?‘Ąđ?‘Ł)2 – 2rtvcosđ?œ—

da cui

r(v,t) = √đ?‘&#x; 2 + (đ?‘Ąđ?‘Ł)2 – 2đ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘Łđ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œ—

Pertanto per il punto x si ha:

B(x, t) = B(x, t, v) = cost.

√đ?‘&#x; 2

đ?‘– + (đ?‘Ąđ?‘Ł)2

– 2đ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘Łđ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œ—

Nel caso in cui la direzione dello spostamento sia ortogonale rispetto alla direzione della retta per i punti F e x allora la formula diventa pitagorica, ovvero si ha:

B(x, t) = B(x, t, v) = cost.

đ?‘–

√đ?‘&#x; 2 + (đ?‘Ąđ?‘Ł)2

Ulteriormente si puo’ partire dalla legge di Ampere per

il caso specifico considerato, ovvero da B = cost

đ?‘– đ?‘&#x;

immediatamente ponibile nella forma

Br = icost che differenziata risulta essere ponibile come segue:

- 110 -

d(Br) = d(icost)

(dB)r + rdB = 0

da cui si ricava:

rdB = - Bdr

Pertanto si ha:

đ?‘‘đ??ľ đ?‘‘đ?‘&#x;

=−

đ??ľ(đ?‘&#x;) đ?‘&#x;

Per i dato e costante quando e’ noto r e quindi pure B(r) risulta noto.

Pertanto e’ legitimo ammettere che

đ?‘‘đ??ľ đ?‘‘đ?‘&#x;

In definitiva si puo’ affermare che:

đ?‘‘đ??ľ đ?‘‘đ?‘&#x;

=−

28.

đ??ľ(đ?‘&#x;) đ?‘&#x;

=

∆đ??ľ . ∆đ?‘&#x;

LEGGE DI AMPERE – MAXWELL

- 111 -

=−

đ??ľ(đ?‘&#x;) đ?‘&#x;

= cost..

La legge di Faraday della induzione si puo’ mettere nella formulazione seguente:

∎ đ?‘Źdđ?’” = -

đ?‘‘đ?›ˇđ??ľ đ?‘‘đ?‘Ą

Quando varia il flusso del campo di iduzione viene indotto un campo elettrico E.

Maxwell

fece

il

ragionamento

simmetrico,

ovvero

si

chiese se una variazione del flusso del campo elettrico E generasse un campo magnetico indotto e arrivo’ alla sua legge dell’induzione detta di Maxwell.

Egli evidenzio’ che:

∎ đ?‘Šdđ?’” = đ?? đ?&#x;Ž đ?œşđ?&#x;Ž

đ?‘‘đ?›ˇđ??¸ đ?‘‘đ?‘Ą

Va ricordata la legge di Ampere che evidenzia il campo indotto B ex corrente elettrica, ovvero:

∎ đ?‘Šdđ?’” = đ?œ‡0 đ?‘– ch

- 112 -

Essa puo’ essere interpretata nel senso che una corrente netta entro una linea amperiana genera in campo di induzione B tale che:

∎ đ?‘Šdđ?’” = đ?œ‡0 đ?‘– ch

La relazione piu’ generale e’ la seguente, detta legge di Ampere-Maxwell:

∎ đ?‘Šdđ?’” = đ?œ‡0 đ?‘– ch + đ?œ‡0 đ?œ€0

đ?‘‘đ?›ˇđ??¸ đ?‘‘đ?‘Ą

Essa va intesa nel senso che il concomitante effetto di una corrente e di una variazione del flusso del campo elettrico verifica

genera la

un

campo

condizione

mangnetico

data

dalla

indotto

legge

B

che

assegnata,

ovvero genera un campo di induzione magnetica B tale che:

∎ đ?‘Šdđ?’” = đ?œ‡0 đ?‘– ch + đ?œ‡0 đ?œ€0

đ?‘‘đ?›ˇđ??¸ đ?‘‘đ?‘Ą

Va poi notato che đ?œ€0

đ?‘‘đ?›ˇđ??¸ đ?‘‘đ?‘Ą

ha le dimensioni fisiche di una

corrente, detta corrente di spostamento, solitamente indicate con il simbolo is.

- 113 -

Cio’ osservato

la legge di Ampere-Maxwell assume una sembianza piu’ semplice,

ovvero:

∎ đ?‘Šdđ?’”

29.

=

đ?œ‡0 đ?‘– ch

+

đ?œ‡0 = đ?œ‡0 (đ?‘–ch + đ?‘–s)

INDUTTORI E INDUTTANZE

L’induttore, detto anche induttanza, e’ un dispositivo che genera un campo magnetico nella regione circostante.

Per

esso

l’effetto

termico

della

corrente

deve

considerarsi trascurabile.

Esso e’ sostanzialmente un solenoide.

Il campo B generato da esso deve considerarsi noto.

Facendo solenoide

scorrere si

una

genera

corrente

nella

i

regione

all’interno interna

un

del campo

magnetico e quindi un flusso magnetico noto.

Se

N

e’

il

numero

delle

spire

viene

definita

grandezza fisica caratteristica detta induttanza.

- 114 -

una

Essa si indica solitamente con la lettera L e la formula relativa e’ la seguente:

L =

đ?‘ đ?›ˇđ??ľ đ?‘–

La grandezza a numeratore ovvero đ?‘ đ?›ˇđ??ľ e’ detta flusso concatenato.

Le induttanze, come peraltro immediatamente si evince

dalla formula, si misurano in

đ?‘‡đ?‘š2 . đ??´

La terminologia corretta da usare sarebbe induttore di induttanza L.

L’unita’ di misura della induttanze e’ chiamata henry e indicata con la lettera H.

Con considerazioni algebriche si ottiene l’induttanza del solenoide.

Sia S la sezione del solenoide.

- 115 -

All’interno come e’ noto il campo B e’ ortogonale alla sezione S, quindi il flusso concatenato risulta essere:

đ?‘ đ?›ˇđ??ľ = nlBS

dove, al solito, n e’ il numero di spire per unita’ di lunghzza.

E’ poi noto che

B = đ?œ‡0 in

A questo punto e’ possibile sostituire in formula ed avere:

L =

đ?‘ đ?›ˇđ??ľ đ?‘–

=

đ?‘›đ?‘™đ??ľđ?‘† đ?‘–

=

đ?‘›đ?‘™đ?œ‡0 đ?‘–đ?‘›đ?‘† đ?‘–

= đ?œ‡0 đ?‘›2 đ?‘™đ?‘†

A volte viene calcolata la induttanza per unita’ di

lunghezza, ovvero la grandezza

đ??ż đ?‘™

viene misurata in Hđ?‘šâˆ’1.

Risulta che:

đ??ż đ?‘™

= đ?œ‡0 đ?‘›2 đ?‘†

Questa relazione vale peri il solenoide.

- 116 -

30.

Il

AUTOINDUZIONE

fenomeno

della

autoinduzione

e’

una

prima

applicazione dell’induzione magnetica di Faraday.

Se in una induttanza, ovvero in una bobina, varia la corrente circolante, ovvero se i(t) ≠cost. allora nella bobina si genera un campo magnetico indotto che obbedisce alla equazione di Faraday.

In effetti da L =

đ?‘ đ?›ˇđ??ľ đ?‘–

si ottiene che đ?‘ đ?›ˇđ??ľ = Li.

Sostituiendo nella equazione di Faraday si ha:

đ??¸đ??ż = −

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘ đ?›ˇđ??ľ = -

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ą

Li

La grandezza L e’, comen noto, una costante dell’elemento circuitale e peranto si puo’ scrivere:

đ??¸đ??ż = -đ??ż

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ą

i(t)

đ??¸đ??ż ≠0 finche’ i(t)≠0.

- 117 -

L’equazione đ??¸đ??ż = -đ??ż

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ą

i(t) e’ comunemente detta legge

costitutiva del solenoide.

La grandezza a primo membro e’ detta forza elettromotrice autoindotta.

E’ ben evidente che il valore della derivata pilota il senso di detta forza elettomotrice.

Anche

in

questo

caso

il

ragionamento

algebrico in quando da đ??¸đ??ż = -đ??ż

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ą

e’

puramente

i(t) si puo’ dire che

per i(t+dt) – i(t) > 0 allora risulta ai capi del solenoide una caduta di tensione.

Questo e’ il caso in cui

đ??¸đ??ż = -đ??ż

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ą

i(t)< 0.

Nel caso in cui la corrente diminuisce ovvero se i(t+dt)

– i(t) < 0, allora risulta

đ??¸đ??ż = -đ??ż

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ą

i(t)> 0.

- 118 -

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ą

i(t)< 0 quindi risulta sia

Quello che rileva non e’ il verso di percorrenza di i quanto piuttosto la variazione, positiva o negativa, della corrente i(t).

Piu’ rigorosamente, poiche’ e’ coinvolta una derivate cio’ che conta e’ il tasso di variazione di i(t) nel dominio del tempo.

Quando i(t) e’ costante allora si ha đ??¸đ??ż = -đ??ż

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ą

i(t) = 0

in quanto la derivata prima di una costante vale zero.

Per i(t) costante il solenoide si comporta come un bipolo corto

circuito

ideale,

in

quando

si

prescinde

dall’effetto resistivo tipico dei conduttori.

Data

una

superficie

il

flusso

magnetico

risulta

proporzionale alla corrente i, essendo L la costante di proporzionalita’.

In definitiva si ha:

đ?œąđ?‘Š = Li

- 119 -

31.

ENERGIA DEL CAMPO MAGNETICO

Un semplice circuito contenente una pila di d.d.p. pari a E, un resistore di resistenza R ed un induttore di induttanza

L

e’

utile

per

pervenire

al

valore

dell’energia immagazzinata in un campo magnetico.

Per il II principio di Kirchhoff si ha:

đ?‘‘

E – i(t)R - L��i(t) = 0

L’equazione differenziale ha come incognita i(t).

La soluzione di essa e’ la funzione incognita i(t) =

đ?‘…đ?‘Ą

- đ?‘’ − đ??ż ).

- 120 -

đ??¸ (1 đ?‘…

Peraltro l’equazione differenziale assegnata e’ ponibile nella forma:

i(t) =

đ??¸ đ?‘…

-

đ??ż đ?‘–′(t) đ?‘…

Osservo che essa contiene la grandezza

đ??ż đ?‘…

detta costante

di tempo induttiva.

i(0)= 0

đ??¸ đ?‘…

=

đ??ż đ?‘–′(0) đ?‘…

�′(0) =

đ??¸ đ??ż

A regime la corrente vale i(t≼ 5đ?œ?) =

đ??¸ đ?‘…

L’andamento della corrente, ovvero i(t) e’ ricavabile, come gia’ detto, dalla equazione differenziale ordinaria �

E – i(t)R - L��i(t) = 0

Essa e’ immediatamente riscrivibile come:

đ?‘‘

E = i(t)R + Lđ?‘‘đ?‘Ąi(t)

- 121 -

Moltiplicando ambo i membri per i si ha:

đ?‘‘

Ei = đ?‘– 2 R + iLđ?‘‘đ?‘Ąi(t)

Ei ha le dimensioni fisiche di una potenza, trattansosi della

potenza

generata

dal

generatore

di

tensione,

mentre la quantita’ � 2 R indica la Potenza dissipata dal resistore di resistenza R.

Pertanto, sempre ragionado in termini di conservazione đ?‘‘

dell’energia, il termine iL��i(t)indica la quantita’ di energia

che

viene

immagazzinata

nel

solenoid

ogni

secondo.

đ??¸đ??ż indica l’energia immagazinata nel solenoide.

Essa e’ la grandezza fisica da trovare.

Quello che si e’ ottenuto e’ la derivata prima, ovvero la potenza, misurata in watt (W).

Risulta formalmente che:

- 122 -

đ?‘‘ đ??¸ đ?‘‘đ?‘Ą đ??ż

đ?‘‘

= Liđ?‘‘đ?‘Ą đ?‘–

da cui si ottiene:

dEL = Lidi

Solitamente per ottenere EL si integra definitamente ⌋Halliday, Resnick, WalkerâŚŒ scrivendo che:

đ??¸

âˆŤ0 đ??ż đ?‘‘đ??¸ L =

đ?‘–

âˆŤ0 đ??żđ?‘–đ?‘‘đ?‘–

Vorrei comunque osservare che da dEL = Lidi si ottiene immediatamente che:

đ?‘‘đ??¸đ??ż đ?‘‘đ?‘–

= Li

Integrando indefinitamente la precedente relazione si ha:

âˆŤ

đ?‘‘đ??¸đ??ż đ?‘‘đ?‘–

= âˆŤ đ??żđ?‘–đ?‘‘đ?‘– + cost.

đ?‘‘

(âˆŤ đ?‘‘đ?‘–)đ??¸đ??ż = đ??ż âˆŤ đ?‘–đ?‘‘đ?‘– + cost.

đ??¸đ??ż = đ??ż âˆŤ đ?‘–đ?‘‘đ?‘– + cost.

- 123 -

In definitiva si ha:

EL = L

1 2

32.

NOTA MATEMATICA – Vettori assiali (pseudovettori)

đ?‘– 2 + cost.

Si consideri un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxyz per il quale sia dato đ?‘˝đ?&#x;‘đ?&#x;Ž .

Sia dato anche il piano z = 0.

Due vettori v e v’ sono simmetrici rispetto al piano z = 0 se risulta

v = (�� , �� , �� )

v’ = (đ?‘Łđ?‘Ľ , đ?‘Łđ?‘Ś , −đ?‘Łđ?‘§ )

I due vettori possono essere visti come vettori riflessi rispetto al piano z = 0.

- 124 -

Questa e’ la logica della riflessione tipica dei vettori assiali.

Piu’ in generale e’ opportuno considerare la riflessione della terna i, j, k rispetto a piano contenente i versori i e j.

Questa figura ben evidenzia la situazione.

La riflessione rispetto allo “specchio” S ⦋Focardi, Massa, Uguzzoni⦌ conserva i versori i e j ma si ha inversione di k.

- 125 -

Quando si ragiona sui prodotti vettoriali si ottiene come risultato un vettore riflesso.

Se sono dati i vettori a e b e c e’ il prodotto vettoriale si ha lo sviluppo simbolico di Laplace.

đ??˘ c = [đ??´đ?‘Ľ Bx

La

đ??Ł đ??´đ?‘Ś đ??ľđ?‘Ś

đ??¤ đ??´đ?‘§ ] Bz

riflessione

rispetto

al

piano

considerato

e

l’introduzione del versore opposto k’ rispetto a k, i conduce al vettore c’ = [đ??´đ?‘Ľ Bx

j đ??´đ?‘Ś đ??ľđ?‘Ś

k′ −đ??´đ?‘§ ] −Bz

Sono opportune le seguenti osservazioni relative alla proprieta’

anticommutativa

in

quanto

se

e’

dato

il

vettore c = a ∧ b lo sviluppo di Laplace conduce a:

c = a ∧ b =

đ?‘– đ?‘Ž [ đ?‘Ľ đ?‘?đ?‘Ľ

đ?‘— đ?‘Žđ?‘Ś đ?‘?đ?‘Ś

đ?‘˜ đ?‘Ž đ?‘Žđ?‘§ ] = [ đ?‘Ś đ?‘?đ?‘Ś đ?‘?đ?‘§

- 126 -

đ?‘Žđ?‘§ đ?‘Žđ?‘Ľ đ?‘?đ?‘§ ]i - [đ?‘?đ?‘Ľ

đ?‘Žđ?‘Ľ đ?‘Žđ?‘§ + ]j [ đ?‘?đ?‘§ đ?‘?đ?‘Ľ

đ?‘Žđ?‘Ś đ?‘?đ?‘Ś ] đ?’Œ

Il vettore d = b ∧ a e’ in termini formali dato dal seguente sviluppo simbolico di Laplace, ovvero si ha:

d = b ∧ a =

đ?‘– [đ?‘?đ?‘Ľ đ?‘Žđ?‘Ľ

Risulta che c

đ?‘— đ?‘?đ?‘Ś đ?‘Žđ?‘Ś

đ?‘˜ đ?‘? đ?‘?đ?‘§ ] = [ đ?‘Ś đ?‘Žđ?‘Ś đ?‘Žđ?‘§

đ?‘?đ?‘§ đ?‘?đ?‘Ľ đ?‘Žđ?‘§ ]i - [đ?‘Žđ?‘Ľ

đ?‘?đ?‘Ľ đ?‘?đ?‘§ ]j + [đ?‘Ž đ?‘Žđ?‘§ đ?‘Ľ

đ?‘?đ?‘Ś đ?‘Žđ?‘Ś ] đ?’Œ

= - d.

Questo perche’ si ha:

đ?‘Žđ?‘Ś [đ?‘? đ?‘Ś

đ?‘Žđ?‘§ đ?‘?đ?‘Ś đ?‘?đ?‘§ ] = - [đ?‘Žđ?‘Ś

đ?‘?đ?‘§ đ?‘Žđ?‘§ ]

đ?‘Žđ?‘Ľ [đ?‘? đ?‘Ľ

đ?‘Žđ?‘§ đ?‘?đ?‘Ľ đ?‘?đ?‘§ ] = - [đ?‘Žđ?‘Ľ

đ?‘?đ?‘§ ] đ?‘Žđ?‘§

đ?‘Žđ?‘Ľ [đ?‘?

đ?‘Žđ?‘Ś đ?‘?đ?‘Ľ đ?‘?đ?‘Ś ] = - [đ?‘Žđ?‘Ľ

đ?‘?đ?‘Ś đ?‘Žđ?‘Ś ]

đ?‘Ľ

Se e’ vero quello che si afferma ⌋Focardi, Massa,

UguzzoniâŚŒ ovvero che l’introduzione del versore opposto i đ??´ k’ rispetto a k, conduce al vettore c’ = [ đ?‘Ľ Bx che porta al vettore c’ = −đ?’„đ?’™ đ?’Š −đ?’„đ?’š đ?’‹ + đ?‘?đ?‘§ đ?’Œâ€˛.

- 127 -

j đ??´đ?‘Ś đ??ľđ?‘Ś

k′ −đ??´đ?‘§ ] −Bz

Ma e’ evidente che k’ =-(1)k, in quanto i due versori hanno stessa direzione (asse delle z) e detta assunzione conduce a vedere i vettori c e c’

come segue.

In termini di terna i, j, k si ha:

Va fatto un altro esempio di riflessione.

- 128 -

Ad esempio un corpo R che descrive una traiettoria non rettilinea

e

specualre

IR

il

moto

come

descritto

dalla

dalla

figura

sua

nella

immagine

quale

sono

evincibili le posizioni negli istanti 1, 2, e 3 e le posizioni dell’immagine nei medesimi istanti.

Ad andamento orario nella realta’ corrisponde andamento antiorario dell’immagine, e viceversa.

Il piano e’ lo specchio.

I punti n ed n’ devono intendersi simmetrici e collegati quindi da linee rette.

I

vettori

velocita’

v

e

v’

istantanea

devono del

- 129 -

intendersi corpo

R

e

riferiti alla

alla

velocita’

istantanea

della

sua

imamgine

riferite

a

punti

simmetrici rispetto al piano dello spechcio.

33.

NOTA MATEMATICA – Derivata vettoriale

Dato un vettore v che sia v = v(t)ovvero che varia nel tempo.

Potrebbe essere v costante in senso scalare ma v variare in direzione e verso (rotazione) nel dominio del tempo.

Dato un vettore v e’ possibile definire la derivate

vettoriale di esso rispetto al tempo, ovvero

đ?‘‘ v(t) đ?‘‘đ?‘Ą

nel

modo seguente:

đ?‘‘ Δđ??Ż(t) v(t)= lim Δt đ?‘‘đ?‘Ą ∆đ?‘Ą →0

In termini operativi la funzione vettoriale v(t) puo’ essere intesa come la somma di tre funzioni come segue:

- 130 -

v(t)= �� (t)i + �� (t)j + �� (t)k

Pertanto e’ possibile scrivere che:

d đ?‘‘ v(t)= đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘Łđ?‘Ľ (t)i dt

+

đ?‘‘ đ?‘Ł (t)j đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘Ś

+

� � (t)k �� �

Se e’ dato v(t)tale che v(t) e’ costante nel tempo, ovvero data una funzione vettoriale il cui modulo nel dominio del tempo sia una costante allora di ha che si puo’ ammettere sia:

d đ??? v(t)= ⌋v(t)đ??Žđ?›‰(đ??­) âŚŒ = dt đ???đ??­

d dt

đ??Žđ?›‰(đ??­) v(t)+ v(t)

Quando v(t) e’ costante si ha

d đ??Ž dt đ?›‰(đ??­)

d d v(t)= v(t) dt đ??Žđ?›‰(đ??­) dt

A questo punto e’ possibile utilizzare la relazione di Poisson per la derivata di un vettore ⌋Focardi, Massa,

UguzzoniâŚŒ avendo che:

d v(t)= dt

d

v(t) dt đ??Žđ?›‰(đ??­) = v(t)⌋w ∧ uâŚŒ

Il vettore w e’ un vettore ortogonale al piano dei

vettori đ??Žđ?›‰(đ??­) di modulo

đ?‘‘đ?œƒ đ?‘‘đ?‘Ą

tale che esso costiuisce una

- 131 -

terna destrorsa, ovvero corrispondente ad una rotazione antoraria del vettore u(đ?œƒđ?‘Ą ) a sovrapporsi al vettore u(đ?œƒđ?‘Ą+đ?‘‘đ?‘Ą ).

Quando v(t) e’ scalarmente costante si puo’ ammettere

che i vettori v(t) e

đ?‘‘ v(t) đ?‘‘đ?‘Ą

sono ortogonali tra loro.

Infatti dalla costanza di v(t) discende che

(v(t))(v(t) = kk = costante

In termini scalari

Un

metodo

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ą

cost = 0 =

alternativo

đ?‘‘ (đ?‘Ł(đ?‘Ą)2 ) đ?‘‘đ?‘Ą

rispetto

a

quello

proposto

potrebbe essere quello costituito dal teorema della derivate di una funzione composta, per il quale si ha:

đ?‘‘ (đ?‘Ł(đ?‘Ą)2 )= đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘‘

2v(t)đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘Ł(đ?‘Ą)

đ?‘‘

Per la costanza di v(t) si ha che 2v(t)đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘Ł(đ?‘Ą) = 0,

pertanto i vettori v(t) e

đ?‘‘ đ?’—(đ?’•) đ?‘‘đ?‘Ą

- 132 -

sono ortogonali.

Il caso piu’ generale e’ quello per il quale v(t) non sia eguale in modulo.

In questo caso si utilizza una ulteriore equazione vettoriale dovuta a Poisson, che rimuovendo l’ipotesi v(t) costante in senso scalare e’ comunque di immediata comprensione, ovvero:

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ą

v(t) =

34.

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ą

v(t) đ??Žđ?›‰(đ??­) + (w∧đ??Žđ?›‰(đ??­) )

CAMPO MAGNETICO CREATO DA UN DIPOLO MAGNETICO

E’ nota la definizione di momento magnetico riferito agli effetti di una corrente I costante nel tempo.

Si ha:

m = ISn

Questo disegno evidenzia i contenuti.

- 133 -

Il momento magnetico e’ un vettore assiale.

Per semplice ispezione della formula che lo definisce risulta che esso viene misurato in Ađ?‘š2 .

Viene

ammessa

corrente

in

una una

sostanziale spira,

come

equivalenza quella

della

tra

una

figura

precedente e un magnete, ovvero si ha:

Nella

teoria

viene

introdotta

“approssimazione dipolare�.

- 134 -

la

cosiddetta

Si definisce dipolo magnetico una “distribuzione di cariche elettriche, tali che m sia “piccoloâ€? rispetto ad alter grandezze in giocoâ€? ⌋AA.VVâŚŒ.

35.

AZIONE DI UN CAMPO ESTERNO SU UN DIPOLO MAGNETICO

Dato il campo magnetico B = B(x, t) = cost., ovvero un campo magnetico uniforme, e’ noto che un dipolo subisce una coppia di forze il cui momento e’ dato da:

đ?‘ťđ?‘ł = m ∧ B

L’effetto e’ che i vettori m e B risulteranno avere medesimo verso e direzione.

L’energia

potenziale

(grandezza

definita da un prodotto scalare) e:

đ??¸đ?‘? = -

mB

(misurata in jaule).

- 135 -

scalare,

e

quindi

36.

ESPERIENZA DI STERN E GERLASCH

Detta

esperienza

quantificazione

ha

permesso

spaziale

del

di

ottenere

momento

la

magnetico

dell’atomo.

Il modello prevede che sia:

B = đ??ľđ?‘§ (đ?‘§)đ?’–đ?’›

L’esperienza originaria, successivamente premiata con il

Premio

Nobel

per

la

fisica,

venne

condotta

utilizzando atomi di argento.

Indicando con m e con L il momento magnetico e il momento cinetico dell’atomo di argento la formula che college le due grandezze e’:

m = ÎłL

Lo scalare γ e’ detto rapporto giroscopico.

In un campo B l’energia potenziale osservata per l’atomo e’:

- 136 -

đ??¸đ?‘? = -

mB

mentre la forza e’ F = grad(mB).

Dato un punto A il momento rispetto ad esso risulta:

đ?‘ťđ?‘¨ = m ∧ B(A)

Il teorema del momento magnetico applicato al centro dell’atomo, supposto puntiforme conduce a:

đ?‘‘đ?‘ł đ?‘‘đ?‘Ą

= T

ed anche:

đ?‘‘ m đ?‘‘đ?‘Ą

= ÎłB ∧ m.

đ?’…

Risulta che Bđ?’…đ?’•m = 0.

L’angolo tra i vettori B ed m risulta costante nel tempo

ed indicato con

la lettera �.

In pratica m ruota nel cono di ampiezza � (precessione).

- 137 -

37.

CORRENTI PARASSITE

Sia dato un campo magnetico uniforme B = B(x, t) tale che x ∈ ⌋a, bâŚŒ ⤏ ⌋đ?‘?, dâŚŒ e B = 0 all’esterno di detto rettangolo.

Il vettore B e’ perpendicolare al piano contenente ⌋a, bâŚŒ ⤏ ⌋đ?‘?, dâŚŒ.

Il verso del vettore B e’ entrante nel piano dato.

Quando la spira conduttrice e’ in quiete, ammettendo che essa sia immersa nella regione ⌋a, bâŚŒ ⤏ ⌋đ?‘?, dâŚŒ il flusso del campo B e’ semplicemente đ?œ‘đ??ľ = BA, ove B e’ il modulo

dell’intensita’

del

vettore

induzione,

A

e’

l’area della supeficie della spira.

Se la spira si muove con velocita’ costante scalare v l’area di essa la parte di essa che e’ contenuta nel campo varia nel tempo, dipendendo dal valore di v.

- 138 -

L’area si compone di due componenti, i lati della spira L ed x.

Per come viene spostata la spira, l’area di essa immersa in B e’ A(t) = Lx(t), ove e’ noto x(0).

Si ha una forza elettromotrice indotta che in modulo

vale E =

� �B ��

=

đ?‘‘ BLx(t)= đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘‘

BLđ?‘‘đ?‘Ąx(t)= BLv

Il valore BLv ha le dimensioni fisiche di una differenza di potenziziale elettrico.

Per conoscere il valore della corrente che circola nella spira in movimento relativo rispetto alla regione nel quale esiste il campo magnetico B.

Si ha in definitiva, applicando banalmente la legge di

Ohm, che i =

đ??¸ đ?‘…

đ??ľđ??żđ?‘Ł đ?‘…

=

Questo disegno esemplifica la situazione.

- 139 -

I tre vettori disegnati in rosso evidenziano le forze che

agiscono

sui

tre

lati

rilevanti

della

spira

conduttrice.

Le

forze

rilevando

ortogonali la

sola

allo

forza

spostamento

parallela

ma

si

elidono,

opposta

alla

direzione di moto sollcitato della spira.

Questa forza viene ricavata dalla equazione vettoriale di Lorentz avendo che:

F = iL ∧ B

La forza vale in modulo iLB in quanto i vettori L e B sono ortogonali.

Pertanto si ha:

- 140 -

F = iLB =

đ??ľđ??żđ?‘Ł LB đ?‘…

=

đ??ľ2 đ??ż2 v đ?‘…

Con un artificio si ricava la potenza meccanica.

Infatti, dalla fisica sperimentale risulta, come ben noto che L = Fs

da cui si giustifica la formula della

potenza meccanica P =

đ?‘‘ Fs đ?‘‘đ?‘Ą

= F

đ?‘‘đ?‘ đ?‘‘đ?‘Ą

= Fv, essenso v la

velocita’ di moto della spira.

La potenza meccanica si trasforma in potenza termica e in estrema sintesi il lavoro compiuto per spostare la spira, facilmente determinabile, si converte in energia termica, quindi in produzione di calore.

Gli sviluppi di questo modo di intndere portano, quando la spira viene sostituita da una lamina metallica e quindi condutrice sulla quale agisce una forza che la sposta verso l’esterno del campo B.

- 141 -

La geometria del conduttore, ora una lastra, complica la trattazione in quanto la corrente non circola in una spira ma gli elettroni di conduzione danno luogo a correnti

parasite

dette

comunemente

correnti

di

Foucault.

Il tutto viene modellizzato con una spira di corrente parassita.

Anche in questo caso energia meccanica viene traformata in

calore,

coerentemente

con

dell’energia.

Il campo B deve intendersi uniforme.

- 142 -

la

conservaizone

Su un piano parallelo ruota un oggetto rispetto ad un punto fisso (perno).

Il contorno rosso indica la zona interna in cui si ha un campo B, al di fuori di essa il campo e’ nullo.

Nel suo moto il “pendolo” entra ed esce dalla regione in cui si ha il campo B (visibile anche con riferimento al piano di moto del pnedolo).

Il moto nel tempo risulta smorzato fino ad arrstarsi in quanto via via energia meccanica viene trasformata in calore, fino a che il moto si esaurisce……

38.

MAGMETISMO E MATERIA

Riporto

un

paragrafo

tratto

da

un

mio

precedente

elaborato (Appunti matematici n. 10 dell’ottobre 2015)

“20. Motivazione del magnetismo e isteresi magnetica

- 143 -

Già è stato introdotto il vettore B detto di induzione magnetica. Mentre esistono cariche elettrihe isolate, positive

o

negative,

non

esistono,

almeno

ordinariamente, monopoli magnetici. Dididendo in due la calamita in figura si avranno due magneti con poli positivo e negativo.

E’ noto che B = μ H. Come già detto, la grandezza μ è detta permeabilità magnetica del mezzo. L’intensità del campo magnetico H è misurata in A/m.

Se μ è costante si dice che il mezzo è lineare.

- 144 -

Come si vede dal grafico non per tutti i materiali Îź resta costante al variare di H.

In realtĂ si ha Îź = đ?œ‡0 đ?œ‡đ?‘&#x; ove la quantitĂ đ?œ‡0 è una costante detta permeabilitĂ magnetica del vuoto, che vale 4Ď€*10−7

Come detto, per i materiali

ferromagnetici đ?œ‡đ?‘&#x; non è

costante al crescere di H assumendo valori >> 1

Le

proprietĂ

spiegano

con

ferromagnetiche la

disposizione

- 145 -

di

certe

degli

sostanze

elettroni

si che

ruotando

formano

un

campo

magnetico

che

sommato

settorialmente di fatto definisce il campo B (in senso macroscopico).

Le

proprietà

ferromagnetiche

son

riconducibili

agli

elettroni orbitanti.

Va

ora

dato

conto

di

un

ulteriore

fenomeno

detto

isteresi magnetica.

Quello

dell’isteresi

è

un

concetto

applicabile

in

svariati settori della fisica ed è stato formulato in generale da J. A. Ewing (1890). Essa è in generale definita

come

“la

caratteristica

di

un

sistema

di

reagire in ritardo alle sollecitazioni applicate e in dipendenza dello stato precedente”.

- 146 -

All’origine dei tempi stiamo in O in quanto H = 0 poi si

fa

passare

una

corrente

crescente

i(t)

fino

a

giungere ad đ??ťđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ per il dato materiale ferromagnetico si arriva a B = S poi si diminuisce i(t) diminuisce di conseguenza H e quindi anche B. L’andamento delle frecce ben fa comprendere gli step successivi!!!!

Notare bene che quando H diviene nullo (corrente i(t) = 0) il materiale ha una magnetizzazione residua (nel grafico sarebbe in corrispondenza del punto A). Viene definita una grandezza detta magnetizzazione residua,

Mr =

Br . Îź

- 147 -

Quindi si inverte la corrente arrivando al punto F ove B = 0. đ?‘Żđ?‘­ è detto campo di coercizione.

E’

possibile

portare

il

materiale

nella

condizione

iniziale scaldandolo ad una data temperatura (detta di Curie), tipica di ogni elemento (per il ferro è di 1043 °K). spin

In questo caso l’energia termica disallinea gli degli

elettroni

ferromagnetico.�

- 148 -

cui

è

dovuto

l’effetto

BIBLIOGRAFIA

AA.VV. Physique tout-en-un, Dunod, 2014 Capitani, De Sanctis, Elementi di fisica, La Sapienza editrice, Roma, 1999 Edminister, Elettromagnetismo, McGraw-Hill, 1994

Focardi, Massa, Uguzzoni, Fisica generale. Meccanica, II edizione, Ambrosiana, 2003

Focardi,

Massa,

Uguzzoni,

Fisica

generale,

Elettromagnetismo, Ambrosiana, 2003 Halliday, Resnick, Walker, Fondamenti di fisica, VI edizione, Ambrosiana, 2006

- 149 -

PROPRIETA’ LETTERARIA

Questo

saggio

non

ha

finalita’

commerciali

o

lucrative.

Ne e’autorizzata la divulgazione, anche totale, a condizione che essa non abbia finalita’ commerciali o di lucro purche’ essa avvenga con la citazione dell’autore e del soggetto diffusore dell’opera.

- 150 -

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