Appunti Matematici 26

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Patrizio Gravano

APPUNTI MATEMATICI

IL CAMPO ELETTROSTATICO TEORIA E APPLICAZIONI numero 26 - febbraio 2017

INTRODUZIONE

Questa sintesi contiene la teoria del campo elettrostatico e alcune semplici applicazioni di essa. Ho infatti, deciso di frazionare l’elettromagnetismo in tre parti, ovvero il campo elettrostatico, il campo magnetostatico e le onde elettromagnetiche. Questa

prima

parte

molto

introduttiva

e’

dedicata

al

campo

elettrostatico, ovvero al campo creato da cariche elettriche in quiete. Patrizio Gravano patrizio.gravano@libero.it

1

IL CAMPO ELETTROSTATICO

1. I FENOMENI DI ELETTRIZZAZIONE

I fenomeni di elettrizzazione dell’ambra, ovvero il fatto che essa attira,

se

strofinata,

piccoli

corpi

leggeri

erano

noti

fin

dall’antichita’ classica. Questa proprieta’ e’ verificata anche per altre sostanze, quali il vetro. Gli

studi

successivi

hanno

portato

alla

bipartizione

delle

sostanze in due distinte categorie, quella degli isolanti e quella dei conduttori. L’elettrizzazione per strofinio fu poi di fondamentale importanza nel

comprendere

l’esistenza

di

forze

repulsive

e

di

forze

attrattive, espressione di distinte tipologie di carica elettrica. Si verifico’ ulteriormente che corpi elettrizzati posti a contatto con altri elettrizzavano questi ultimi.

2

Elettrizzando un terzo corpo si verificava che i due corpi si respingevano. In definitiva si verificava che a volte corpi elettrizzati si attraevano e a volte si respingevano. Era necessario dare conto di questi distinti fenomeni….

2. LA CARICA ELETTRICA E LA DENSITA’ DI CARICA

In

natura

esistono

due

tipi

di

cariche

elettriche,

convenzionalmente definite carica elettrica positiva

e carica

elettrica negativa. Tutte le cariche elettriche in natura sono multiple intere della carica dell’elettrone. La

carica

elettrica

dell’elettrone

e’

convenzionalmente

considerate negativa.

3

Questa convenzione e’ dovuta ⦋Capitani, De Sanctis⦌ a B. Franklin. Venne definita ”arbitrariamente positiva la carica che assume un pezzo di vetro per strofinio con un panno di seta”.

Come

si

vedra’

nel

seguito

l’unita’

di

misura

della

carica

elettrica e’ il coulomb, comunemente indicato con la lettera C. La carica elettronica, a meno del segno, misura 1,6*10−19 C.

In ogni caso si puo’ partire dalla constatazione che le cariche elettriche esistenti in natura sono multiple intere, positive o negative

della

carica

dell’elettrone

considerata

in

valore

assoluto.

Questo “dogma” e’ stato superato solo nella fisica delle particelle con la teoria dei quark che hanno cariche frazionarie che sommate riconducono alla carica fondamentale.

4

Quindi la carica q puo’ essere scritta come q = z|e|, ove z e’ un numero relativo. Con questa osservazione si evidenzia che la carica e’ quantizzata. Il

caso

piu’

semplice

(che

peraltro

e’

sicuramente

una

astrazione‌.) e’ rappresentato dalla carica puntiforme, ovvero da una carica elettrica concentrate in un punto. L’ipotesi della carica puntiforme puo’ essere ammessa come ottima approssimazione in molti problemi di elettrostatica. La prima grandezza che si considera e’ la densita’ volumica di carica, riferita ad un punto P dello spazio.

Essa e’ Ď (P) =

đ?‘‘đ?‘„đ?‘ƒ đ?‘‘đ?œ?đ?‘ƒ

ove đ?œ?đ?‘ƒ e’ un intorno di P. Se Ď non dipende da p si dice che la densita’ volumica di carica e’ uniforme. La densita’ volumica di carica puo’ ben essere intesa come il rapporto tra una carica elettrica ed un volume.

5

Si dimostra che per particelle quali il protone detta grandezza e’ dell’ordine di grandezza dei 10−25 Cđ?‘šâˆ’3.

Dalla relazione Ď (P) =

đ?‘‘đ?‘„đ?‘ƒ đ?‘‘đ?œ?đ?‘ƒ

si ottiene Ď (P) đ?‘‘đ?œ?đ?‘ƒ = đ?‘‘đ?‘„đ?‘ƒ ovvero

Q = ∭đ?‘ƒ ∈đ?‘‰ đ?œŒ(đ?‘ƒ) đ?‘‘đ?œ?đ?‘ƒ Una

seconda

grandezza

rilevante

e’

la

densita’

di

carica

superficiale.

Ad essa si puo’ pervenire a partire dalla Ď (P) =

đ?‘‘đ?‘„đ?‘ƒ đ?‘‘đ?œ?đ?‘ƒ

dove đ?‘‘đ?œ?đ?‘ƒ deve

intendersi come un elemento di volume. Dalla relazione Ď (P) đ?‘‘đ?œ?đ?‘ƒ = đ?‘‘đ?‘„đ?‘ƒ si ottiene (Ď (P)đ?œ† )đ?‘‘đ?‘†đ?‘ƒ = đ?‘‘đ?‘„đ?‘ƒ . Questo disegnino evidenzia il senso della formula.

6

La grandezza Ď (P)đ?œ† = đ?œŽ(P)e’ detta densita’ superficiale di carica.

La carica totale vale Q = âˆŹđ?‘ƒđ?œ–đ??ˇ đ?œŽ(đ?‘ƒ) đ?‘‘đ?‘†đ?‘ƒ Sia, infine, dato un punto P di una data curva. Si consideri un tratto đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘ƒ , ovvero un intorno del punto P. Viene definita densita’ lineare di carica Îť la grandezza

đ?œ†đ?‘ƒ =

đ?‘‘đ?‘„đ?‘ƒ đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘ƒ

Si ammette che in un sistema isolato la carica elettrica, intesa come la somma algebrica delle cariche elettriche, si conserva.

3. NOTA MATEMATICA – Integrali doppi e tripli Per

gli

integrali

doppi

si

parte

dalla

nozione

di

compatto

misurabile. Sia data una funzione f continua su K compatto di đ?‘… 2 .

K

e’

un

compatto

misurabile

se

K

=

{(x,

y)

∈đ?‘… 2 , đ?‘Ľ đ?œ– ⌋đ?‘Ž, đ?‘?âŚŒ , đ?‘Ś ∈

⌋đ?œ‘1 (đ?‘Ľ), đ?œ‘2 (đ?‘Ľ)âŚŒ} 7

a ≤ b đ?œ‘1 (đ?‘Ľ) ≤ đ?œ‘2 (đ?‘Ľ) ∀ x đ?œ– ⌋đ?‘Ž, đ?‘?âŚŒ essendo le due funzioni continue in ⌋đ?‘Ž, đ?‘?âŚŒ. 3.1 Integrali doppi Se f(x,y) e’ continua in ⌋đ?‘Ž, đ?‘?âŚŒ l’integrale di f su K e’ đ?‘?

đ?œ‘ (đ?‘Ľ)

2 âˆŹđ??ž đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś =âˆŤđ?‘Ž (âˆŤđ?œ‘ (đ?‘Ľ) đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ś )đ?‘‘đ?‘Ľ 1

In pratica si ammette che đ?œ‘2 (đ?‘Ľ) đ?‘’ đ?œ‘1 (đ?‘Ľ) siano due costanti. Se f(x,y) e’ continua in ⌋đ?‘Ž, đ?‘?âŚŒ ⤏ ⌋đ?‘?, đ?‘‘ âŚŒ si utilizza la relazione di Fubini per la quale đ?‘?

đ?‘‘

đ?‘‘

đ?‘?

âˆŹâŚ‹đ?‘Ž,đ?‘?âŚŒ⤏ ⌋đ?‘?,đ?‘‘âŚŒ đ?‘“ =âˆŤđ?‘Ž (âˆŤđ?‘? đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ś )đ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤđ?‘? (âˆŤđ?‘Ž đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľ )đ?‘‘đ?‘Ś Dette relazioni valgono sia in R che in C.

3.2 Integrali tripli Nello spazio a tre dimensioni sia K = ⌋đ?‘Ž, đ?‘?âŚŒ ⤏ ⌋đ?‘?, đ?‘‘ âŚŒ ⤏ ⌋đ?‘&#x;, đ?‘ âŚŒ

con

⌋đ?‘Ž, đ?‘?âŚŒ ⊆ X , ⌋đ?‘?, đ?‘‘ âŚŒ ⊆ Y , ⌋đ?‘&#x;, đ?‘ âŚŒ ⊆ Z, ove X, Y, Z, sono gli assi

cartesiani.

8

đ?‘?

đ?‘‘

đ?‘

∭đ??ž ⊆đ?‘…3 đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) = âˆŤđ?‘Ž âŚ‹âˆŤđ?‘? (âˆŤđ?‘&#x; đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§)đ?‘‘đ?‘§)dyâŚŒdx L’ordine di integrazione e’ commutabile.

4. CAMPO ELETTROSTATICO DOVUTO A CARICHE ELETTRICHE PUNTIFORMI

4.1 La legge di Coulomb

Le

cariche

elettriche

interagiscono

tra

di

loro

secondo

due

distinte modalita’. Le cariche elettriche dello stesso segno si respongono. Le cariche elettriche di segno opposto si attraggono. La forza coulombiana e’ in modulo inversamente proporzionale al quadrato della distanza ed e’ proporzionale al prodotto delle cariche.

Siano date due cariche puntiformi di segno discorde (quindi una forza attrattiva). E’

utile

esemplificare

con

la

seguente

semplice

figura

che

evidenzia due cariche đ?‘žđ??´ e đ?‘žđ??ľ poste a distanza costante r. 9

La forza esercitata dalla particella A sulla particella B e’ stata definita dalla seguente equazione, detta legge di Coulomb per la quale si ha 1

1

đ??…đ??´đ??ľ = 4đ?œ‹đ?œ€ đ?‘žđ??´ đ?‘žđ??ľ đ?‘&#x; 2 đ?’–đ??´đ??ľ 0

Il modulo della forza e’ immediatamente 1

1

Fđ??´đ??ľ = 4đ?œ‹đ?œ€ đ?‘žđ??´ đ?‘žđ??ľ đ?‘&#x; 2 0

Sviluppando

questo

criterio

rinvenuto

si

potrebbe

convenzionalmente ritenere positiva la forza attrattiva e negativa la forza repulsiva tra cariche puntiformi.

10

Nella meccanica newtoniana si fa solitamente il contrario e si considerano negative le forze attrattive in un contesto nel quale non sono ammesse forze repulsive.

Una modalita’ formale conveniente potrebbe essere la seguente 1

1

đ??…đ??´đ??ľ = (Âą1) 4đ?œ‹đ?œ€ đ?‘žđ??´ đ?‘žđ??ľ đ?‘&#x; 2 đ?’–đ??´đ??ľ = Âą 0

1 4đ?œ‹đ?œ€0

1

đ?‘žđ??´ đ?‘žđ??ľ đ?‘&#x; 2 đ?’–đ??´đ??ľ

ove đ?’–đ??´đ??ľ e’ il versore unitario di direzione corrispondente alla direzione della retta (unica) passante per i punti A e B. Va ricordato che la relazione di Coulomb e’ coordinata da una costante

1 4đ?œ‹đ?œ€0

nella quale compare una grandezza fisica đ?œ€0 detta

permittivita’ del vuoto.

Detta grandezza indicata con la lettera đ?œ€0 misura 8,85*10−12

đ?‘?đ?‘œđ?‘˘đ?‘™đ?‘œđ?‘šđ?‘? 2 đ?‘›đ?‘’đ?‘¤đ?‘Ąđ?‘œđ?‘›âˆ—đ?‘š2

.

L’intensita’ della forza dipende dal mezzo nel quale sono “immerse� le cariche.

11

In un mezzo distinto dal vuoto ci si riferisce alla quantita’ đ?œ€ = đ?œ€đ?‘&#x; đ?œ€0 . Essa ha le stesse dimensioni fisiche di đ?œ€0 mentre đ?œ€đ?‘&#x; e’ una grandezza adimensinata.

A parita’ di ogni altra condizione affermare

che

la

forza

di

il valore

interaziome

nel

(diverso dal vuoto) e’ minore di un fattore

1 đ?œ€đ?‘&#x;

đ?œ€đ?‘&#x;

mezzo

consente di considerate

.

Vorrei osservare che, oltre a quanto gia’ scritto, e’ possibile considerare una rappresentazione come la seguente, sempre riferita a cariche puntiformi. In generale si possono considerare puntiformi due cariche đ?‘žđ??´ , đ?‘žđ??ľ quando r ≍ đ?‘&#x;đ??´ + đ?‘&#x;đ??ľ , essendo queste ultime due le dimensioni dei raggi delle cariche considerate A e B. Si puo’ rappresentare il caso della attrazione coulombiana come segue.

12

Nel caso della repulsione si ha la situazione simmetrica.

5. INDUZIONE ELETTROSTATICA Un corpo carico attira un corpo neutro. Se il corpo neutro e’ un conduttore gli elettroni, che come piu’ oltre si vedra’ sono liberi di muoversi, vengono attratti nella zona limitrofa al corpo carico se questo ha carica complessiva positiva (coerentmente con la legge di Coulomb per la quale cariche opposte si attraggono….). Il caso opposto si realizza se il corpo carico e’ elettrizzato negativamente. Il fenomeno della induzione elettrostatica consiste quindi nella “migrazione di cariche” con conservazione complessiva della carica 13

del corpo, che quindi avra’ un eguale numero di cariche positive e negative.

Un corpo carico avra’ un numero di cariche di un tipo maggiore del numero di cariche dell’altro segno…

Una figura ampiamente utilizzata e’ la seguente

Essa ha un banale e certo approssimativo equivalente puntuale del tipo seguente

14

Questo e’ un modellino che si puo’ anche come esercizio rinvenire nella manualistica, seppur non con detti valori e non riferito specificatamente alla induzione elettrostatica. Esso

puo’

essere

risolto

applicando

la

sovrapposizione

degli

effetti come segue. Si ammetta che la forza risultante (quella che attrae i corpi) sia la differenza tra la forza attrattiva tra le cariche a distanza đ?‘&#x;1 e quella repulsive tra le cariche poste a distanza đ?‘&#x;2 . Le due forze Fa e Fr hanno la stessa direzione ma versi opposti. Ne vanno calcolati i moduli. La situazione e’ immediatamente schematizzabile come segue

15

R = Fa - Fr Poiche si opera su di una retta dale relazioni vettoriali si passa immediatamente a quelle scalari e si ha

R = Fa - Fr = k

|đ?‘›đ?‘’||đ?‘šđ?‘’| đ?‘&#x;12

- k

|đ?‘›đ?‘’||đ?‘šđ?‘’| đ?‘&#x;22

> 0 in quanto đ?‘&#x;2 > đ?‘&#x;1

Questo equivale a dire che Fa > Fr

Ovvero i due corpi si attraggono.

Molti interessanti esercizi sono contenuti in diversi testi di fisica ⌋Halliday, Resnick, WalkerâŚŒ cui si rimanda ampiamente.

La polarizzazione di un isolante e’ sempre coerente con la legge di Coulomb e presuppone una polarizzazione degli atomi o delle molecole secondo lo schema seguente

16

Si ammette che le cariche si spostino ma non si creino. Vale un sostanziale principio di conservazione della carica.

6. IL CAMPO ELETTROSTATICO CREATO DA UNA CARICA PUNTIFORME Si tratta di determinare il campo elettrostatico in un punto qualunque data una carica q situata in un punto A dello spazio. E’ possibile introdurre una carica di prova đ?‘žđ?‘? e definire il vettore campo elettrico E nel modo seguente

đ??„đ??´ (đ?‘ƒ) =

đ??…đ??´ →đ?‘€ đ?‘žđ?‘?

E’ ben evidente che per come e’ definite il vettore campo elettrico la carica di prova puo’ assumere qualunque valore.

17

Infatti, sostituendo

l’espressione della forza coulombiana il

valore di đ?‘žđ?‘? si semplifica essendo presente sia al numeratore che al denominatore avendosi per conseguenza i seguenti passaggi

đ??„đ??´ (đ?‘ƒ) =

đ??…đ??´ →đ?‘€ đ?‘žđ?‘?

1 đ?‘ž 4đ?œ‹đ?œ€0

Âą

=

1

đ?‘žđ?‘? 2 đ?’–đ??´đ?‘ƒ đ?‘&#x;

đ?‘žđ?‘?

1

= Âą 4đ?œ‹đ?œ€ đ?‘ž 0

1 đ?‘&#x;2

đ?’–đ??´đ?‘ƒ

Si ammetta che la carica di prova sia positiva. 1

Se la carica q e’ positiva allora đ??„đ??´ (đ?‘ƒ) = -4đ?œ‹đ?œ€ đ?‘ž 0

Se la carica q e’ negativa allora đ??„đ??´ (đ?‘ƒ) =

1 4đ?œ‹đ?œ€0

|đ?‘ž|

1 đ?‘&#x;2

1 đ?‘&#x;2

đ?’–đ??´đ?‘ƒ .

đ?’–đ??´đ?‘ƒ .

Se, per contro, si ragionasse nella logica del campo gravitazionale ove le forze attrattive sono negative il caso della attrazione elettrostatica si avrebbe per q < 0 e quindi sarebbe

đ??„đ??´ (đ?‘ƒ) = −

1 4đ?œ‹đ?œ€0

|đ?‘ž|

1 đ?‘&#x;2

đ?’–đ??´đ?‘ƒ .

Nel caso di una carica q positiva allora sarebbe

đ??„đ??´ (đ?‘ƒ) =

1 4đ?œ‹đ?œ€0

đ?‘ž

1 đ?‘&#x;2

đ?’–đ??´đ?‘ƒ .

Le linee di campo di una particella di carica q > 0 18

Il vettore campo elettrico E ha la medesima direzione della forza ed anche il medesimo verso. L’intensita’ del campo elettrico decresce in ragione inversa del quadrato della distanza della carica di prova da A, ove e’ situata la carica q > 0.

Solitamente la carica di prova đ?‘žđ?‘? viene intesa come una carica positiva

molto

piccolo

“tale

da

non

perturbare

in

modo

significativo il campo della carica fissa Q.

19

7. NOTA

MATEMATICA

–

Rappresentazione

di

E

in

coordinate

sferiche Un approccio spesso utile e’ quello di considerare le coordinate sferiche ammettando, ad esempio, che la carica Q sia collocate in (0,0,0)secondo

la

seguente

rappresentazione

grafica,

ove

si

evidenziano bene le coordinate sferiche.

Il punto P ha coordinate sferiche (r, θ, φ)

Il segmento orientato QP e’ rappresentabile come r�� Lo

stesso

vettore

e’

esprimibile

in

coordinate

cartesiane

potendosi scrivere

20

r = đ?‘Ľ0 đ?’–đ?’™ + đ?‘Ś0 đ?’–đ?’š + đ?‘§0 đ??Žđ??ł Il vettore r e’ detto vettore di separazione. Se la carica Q si trova in (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ś1 , đ?‘§1)e si vuole determinare il vettore E in un punto (đ?‘Ľ2 , đ?‘Ś2 , đ?‘§2 )≠(đ?‘Ľ1 , đ?‘Ś1 , đ?‘§1 )il corrispondente vettore di posizione, in coordinate cartesiane, e’ r = (đ?‘Ľ2 − đ?‘Ľ1 )đ?’–đ?’™ + (đ?‘Ś2 − đ?‘Ś1 )đ?’–đ?’š + (đ?‘§2 − đ?‘§1 )đ??Žđ??ł In coordinate sferiche una conveniente rappresentazione di E(r)e’ dato dalla seguente formula đ?‘„

E(r) =

4đ?œ‹đ?‘&#x; 2

đ?’–đ?’“

essendo �� il vettore unitario (versore)avente la direzione della retta contenente r. Questa ultima formula in simmetria sferica e’ differenziabile avendosi

dE(r) =

đ?‘‘đ?‘„ 4đ?œ‹đ?‘&#x; 2

đ?’–đ?’“

Da questa formula generale si possono ottenere le formule del campo elettrico E(r)nel caso volumico (carica di volume), in quello di

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superficie (carica di superficie) e di linea (carica di linea), rispettivamente. Si parla di carica di volume quando una carica e’ contenuta in un ��

volume V risultando Ď =

In questo caso dE(r) =

đ?‘‘đ?‘„

��

đ?‘‘đ?‘„ 4đ?œ‹đ?‘&#x; 2

, espresso, ovviamente, in Cđ?‘šâˆ’3

đ?’–đ?’“ viene integrata

avendosi

đ?œŒ

E = âˆŤđ?‘‰đ?‘œđ?‘™đ?‘˘đ?‘šđ?‘’ 4đ?œ‹đ?‘&#x; 2 đ?’–đ?’“ = âˆŤđ?‘‰đ?‘œđ?‘™đ?‘˘đ?‘šđ?‘’ 4đ?œ‹đ?‘&#x; 2dvđ?’–đ?’“

Dalla relazione Ď =

�� ��

si ottiene Ď dV = dQ.

Questa relazione e’ integrabile (ottennendo un integrale triplo, in quanto in coordinate cartesiane dV = dxdydz.

In termini concisi si scrive Q = âˆŤđ?‘‰ đ?œŒđ?‘‘đ?‘‰ .

8. IL CAMPO ELETTRICO DOVUTO AD UNA DISTRIBUZIONE DI CARICHE 8.1 LA SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI Un certo numero di cariche đ?‘žđ?‘– “generano una modificazione dello spazio che puo’ essere descritta da un campo vettoriale: il campo elettrico Eâ€? ⌋Capitani, De sanctisâŚŒ. 22

Il problema, in questo caso, e’ essenzialmente quello di definire la forza netta e il campo vettore E in un punto dello spazio quando e’ data una distribuzione discrete di cariche elettriche nello spazio. Le cariche si suppongono puntiformi.

Siano date due cariche positive đ?‘ž1 đ?‘’ đ?‘ž2 e sia data una carica di prova (pure positiva) in un punto X dello spazio.

E’ ben evidente che il valore di ���� dipende anche dal valore della carica posta in X, oltre che dai valori di carica �1 , �2 . Nel punto X e’ collocata la carica di prova (positiva).

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Il vettore in verde indica la forza coulombiana repulsiva (in quanto le cariche sono entrambe positive). Ove le cariche �1 � �2 fossero entrambe negative allora la risultante sarebbe un vettore opposto a quello disegnato. Vorrei esemplificare ulteriormente considerando il caso di cariche discordi e individuare la forza risultante in un punto nel quale deve considerarsi esistente una carica di prova (positiva, per definizione). Quello appena sotto indicato e’ un possibile esempio.

Si applica la legge del parallelogramma di Newton e il vettore verde e’ la risultante delle forze cui e’ sottoposta una particella

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positiva di data carica posta nel punto X per effetto della presenza delle cariche đ?‘ž1 positiva e đ?‘ž2 negativa. E’ evidente che mentre la direzione dipende dalle cariche đ?‘ž1 positiva e đ?‘ž2 negativa, l’intensita’ della forza risultante dipende anche dal valore della carica in X. Da queste semplici considerazioni e’ possibile pervenire alla determinazione del vettore campo elettrico E in un punto X, quando e’ data una distribuzione di cariche elettriche nello spazio, che, come e’ noto, determinano il campo. In particolare, il vettore campo elettrico in X ha la stessa direzione della forza risultante nei casi considerati. Ove si ipotizzasse di avere misurato đ??šđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘ (ovvero il modulo di đ?‘­đ?’“đ?’Šđ?’” )allora noto il valore di đ?‘žđ?‘‹ si potrebbe dire che E(X) =

đ??šđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘ đ?‘žđ?‘‹

.

Deve osservarsi che, data che sia la distribuzione delle cariche ovvero assegnati i valori di esse e la loro collocazione fissa nello spazio, allora si puo’ ammettere che, a partita’ di ogni altra condizione, Fris = Fris(qX).

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In altri termini e’ possibile introdurre una carica equivalente ������ che ha sulla carica qx

gli stessi effetti delle cariche q1 e

q2. Queste due cariche sono le cariche generatrici del campo đ??¸đ?‘ž1 ,đ?‘ž2 ≥ đ??¸đ?‘žđ?‘’đ?‘žđ?‘˘đ?‘–đ?‘Ł . Non e’ in effetti immediato stabilire la collocazione spaziale della carica

������ .

La direzione e’ quella del vettore Fris. La distanza si ricava considerando r incognita nella seguente equazione di primo grado ������ ��

đ??šđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘ = k

đ?‘&#x;2

In realta’, non si ha unicita’ della soluzione in quanto se e’ nota la risultante deve considerarsi incognita la quantita’

Quindi,

la

carica

equivalente

deve

intendersi

funzione

đ?‘žđ?‘’đ?‘žđ?‘˘đ?‘–đ?‘Ł đ?‘&#x;2

.

della

distanza r dal punto X. In effetti si potrebbe anche argomentare ulteriormente‌

26

Nella realta’ il campo creato da una distribuzione di cariche e la somma vettoriale seguente đ?‘ŹX = ∑đ?’? đ?‘ŹX,đ?’? (caso della distribuzione discreta di cariche). Va ora considerato il caso di una distribuzione continua di carica nello spazio. Sia data una porzione di materia carica di densita’ di carica Ď (P).

đ?‘‘đ?‘Źđ?‘ƒ (X) =

đ?‘‘đ?‘žđ?‘ƒ 1 4đ?œ‹đ?œ€0 đ?‘&#x; 2

đ??Ž

Nel caso di carica distribuita uniformenente in una regione dV centrata in P il campo E in un punto X e’ dato dal seguente integrale đ?œŒ(đ?‘ƒ) 1

E(X) = ∭đ?‘ƒđ?œ–đ?‘‰ 4đ?œ‹đ?œ€

0

đ?‘&#x;2

dV

9. SIMMETRIE NELLA DISTRIBUZIONE DI CARICHE ELETTRICHE 9.1 Piano di simmetria e di antisimmetria. Le due cariche sono simmetriche rispetto ad un piano đ?œ‹. 27

In questo caso le due cariche eguali in modulo e segno sono poste ad eguale distanza rispetto ad H ovvero risulta d(A, H) = d(B, H). Quando đ?‘ž1 = −đ?‘ž2 si ha che đ?œ‹ e’ detto piano di antisimmetria.

9.2 Invarianza per le traslazioni Assegnato un punto P per il quale sia Ď (P) e dato un vettore v ∈ đ?‘‰03 si ha invarianza per le traslazioni se Ď (P) = Ď (P’) per P’ : (x+a, y+b, z+c) ove P ≥ (x, y, z) e v =(a, b,c).

28

9.3 Simmetria cilindrica Assomma le condizioni della simmetria per traslazione e

di quella

per rotazione.

In essa si ha

đ?œŒ(đ?‘&#x;) = đ?œŒ0

≠0 per r ≤ a mentre đ?œŒ(đ?‘&#x;) = 0

per r > a.

9.4 Il principio di Curie Il principio di Curie per il campo elettrostatico ha il significato che ad una distribuzione simmetrica delle cariche (quindi data una simmetria distributive di cariche nello spazio) corrisponde una particolare simmetria del campo elettostatico.

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Il principio enunciato e’ fondamentale in molti campi della fisica ed evidenzia la corrispondenza di simmetrie tra cause fisiche e correlate effetti. Sono di seguito evidenziati i casi conseguenti alla simmetria e alla antisimmetria rispetto ad un piano π.

A fronte di questa figura deve intendersi che il piano đ?œ‹ e’ un piano di simmetria rispetto ad una distribuzione di carica, nel senso che le cariche in eguale numero occupano le posizioni (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 , đ?‘˜ Âą đ?œ?) quando si considera che il piano đ?œ‹ ha equazione z = k. 30

Le cariche simmetriche, ovvero di posizione (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 , đ?‘˜ Âą đ?œ? ), hanno medesimo segno e medesimo valore assoluto. In punti A’ e B’ simmetrici rispetto al piano đ?œ‹ e distinti da A e B il vettore campo elettrico e’ E(A’)= E(B’) ma in generale E(A)≠E(A’) e E(B)≠E(B’).

In generale, in relazione a coppie di punti simmetrici (A, B) non e’ conservata la direzione del campo elettrico E(A) ≠E(B).

Ma e’ data la eguaglianza in modulo. Se il piano di simmetria e’ z = k allora i punti simmetrici sono (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 , đ?‘˜ Âą đ?œ?), con đ?œ? reale positivo. Pertanto se il piano di simmetria e’ z = k questa successive esemplificazione

evidenzia

che

relativamente

a

due

punti

simmetrici la differenza delle direzioni del vettore E e’ costante e vale 2đ?œƒ rad..

31

L’angolo đ?œ— e’ quello formato dalla direzione del vettore E con una qualsiasi retta dei un piano z = k +đ?œ?.

10.

LA CIRCUITAZIONE

Sia dato un cammino, ovvero una curva, e un campo elettrostatico E(x).

Sia dlx uno spostamento vettoriale elementare. Viene definita la circuitazione elementare.

Essa e’ dC = E(x)dlx (esso va inteso come un prodotto scalare).

La circuitazione di un campo vettoriale in un cammino da A a B e’ il seguente integrale

đ??śđ??´â†’đ??ľ = âˆŤđ?‘Ľ đ?œ–đ?œ—(đ??´,đ??ľ) đ?‘Ź(x)đ?’…đ?‘™đ?‘Ľ ove đ?œ—(đ??´, đ??ľ) indica una curva continua passante per A e B.

In generale A ≠B .

32

C dipende dai punti A e B e piu’ in generale dalla curva

che

consente lo spostamento A → B. A volte si hanno cammini chiusi per i quali coincidono i punti A e B, ovvero A ≥ B. In questo caso particolare si scrive

đ?‘Şđ?‘¨â†’đ?‘Š = ∎x Ͼϑ(A,đ?‘Š) đ?‘Ź(x)đ?’…đ?’?đ?’™ Le

due

figure

sottostanti

sono

rappresentative

dei

due

casi

considerati.

33

Da queste considerazioni e’ possibile pervenire ad un importante concetto, quello di potenziale elettrostatico.

11.

IL POTENZIALE ELETTROSTATICO

Sia data una carica puntiforme q posta in un punto A. Il campo E generato da essa in un punto X ≠A assume la forma �

đ?‘Źđ?‘¨ (x) = kqđ?‘&#x; 3 r = d(A,X) La circuitazione elementare del campo e’ đ?’“

|đ?’“|

|đ?’–|

dC = đ?‘Źđ?‘¨ (x)dr = kqđ?‘&#x; 3 dr = kq đ?’“đ?&#x;‘ dđ??Ť = kq đ?’“đ?&#x;? dđ??Ť In termini di circuitazione tra i punti Y e Z si ha đ?‘?

đ?‘?

CY→Z = âˆŤđ?‘Œ đ?‘˜đ?‘žđ?‘&#x; −2 dr = kq âˆŤđ?‘Œ đ?‘&#x; −2 dr.

34

đ?‘?

âˆŤđ?‘Œ đ?‘&#x; −2dr e’ applicabile il teorema di Torricelli e

All’integrale

si ha, (sapendo che âˆŤ đ?‘Ľ đ?‘› đ?‘‘đ?‘Ľ = =

đ?‘Ľ −2+1 −2+1

đ?‘Ľ đ?‘›+1 đ?‘›+1

+ cost. e per n = - 2 risulta âˆŤ đ?‘Ľ −2 đ?‘‘đ?‘Ľ

+ cost, ovvero âˆŤ đ?‘Ľ −2 đ?‘‘đ?‘Ľ = -

đ?‘?

âˆŤđ?‘Œ đ?‘&#x; −2dr = -

1

– (-

đ?‘&#x;(đ?‘?)

1 đ?‘&#x;(đ?‘Œ)

) =

1 đ?‘&#x;(đ?‘Œ)

-

1

+ cost.) avendosi pertanto che

đ?‘Ľ

1 đ?‘&#x;(đ?‘?)

Per le posizioni fatte si ha che r(Y) = d(A,Y) e r(Z)= d(A,Z) In definitiva đ?‘?

đ?‘?

1

CY→Z = âˆŤđ?‘Œ đ?‘˜đ?‘žđ?‘&#x; −2 dr = kq âˆŤđ?‘Œ đ?‘&#x; −2 dr = kq (đ?‘&#x;(đ?‘Œ) -

La grandezza k e’ una costante che vale

1

1

) = kq (Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ?‘Œ

đ?‘&#x;(đ?‘?)

1 4đ?œ‹đ?œ€0

1 ) Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ?‘?

.

In definitiva

CY→Z =

1 4đ?œ‹đ?œ€0

1

1 ) Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ?‘?

đ?‘ž(Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ?‘Œ

La quantita’

1 4đ?œ‹đ?œ€0

1

đ?‘ž Ě…Ě…Ě…Ě… e’ detta potenziale elettrostatico dovuto ad đ??´đ?‘Œ

una carica q posta in A. Si evidenzia che il potenziale dipende dal punto Y.

35

Il campo elettrostatico e’ un campo conservativo e la differenza di potenziale tra due punti Y e Z non dipende dal cammino per passare da Y a Z ma solo dai punti Y e Z. In effetti, e’ proprio questa proprieta’ conservativa di E che consente di utilizzare i passassi sovra indicati e di utilizzare un integrale ordinario senza avvalersi degli integrali di linea che sarebbero necessari ove fosse rilevante il cammino. In pratica si e’ ammesso che i punti A, Y e Z siano allineati.

Nel caso sia Y = Z risulta

CY→Z =

1 4đ?œ‹đ?œ€0

1

đ?‘ž(Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ?‘Œ

1 )= Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ?‘?

0

Queste considerazioni sono vere nel caso di presenza di una sola carica q posta in un punto A. In detta simmetria e’ ben evidente che il potenziale dipende dall’inverso della distanza.

36

Pertanto i punti equipotenziali sono quelli per i quali d(A, đ?‘‹đ?‘– ) = đ?‘&#x;0 , ovvero gli đ?‘‹đ?‘– sono i punti di una circonferenza di raggio dato đ?‘&#x;0 .

Deve

ora

essere

preso

in

considerazione

il

caso

di

una

distribuzione discreta di cariche poste nei punti đ??´đ?‘– . Il potenziale viene calcolato in un punto X. Deve determinarsi il potenziale in un punto X per effetto della distribuzione delle cariche. Si applica la sovrapposizione degli effetti, ovvero V(X) = ∑đ?‘– đ?‘‰đ??´đ?‘– (đ?‘‹) In definitiva il potenziale dovuto a un numero intero i di distinte cariche poste nei punti đ??´đ?‘– e’ la somma dei contributi delle singole cariche elettriche.

37

12.

NOTA MATEMATICA – Il vettore gradiente

Assegnato un campo scalare

U = U(x,y,z) il gradiente in un punto

X e’ un campo vettoriale gradU(X) per il quale risulta dU = gradU(X)dđ?‘™đ?‘‹ , ove dđ?’?đ?‘ż e’ uno spostamento elementare vettoriale. La grandezza U ben potrebbe essere il potenziale elettrostatico. Nel caso della simmetria sferica con una sola carica i punti equipotenziali (ad eguale potenziale) sono tutti e solo i punti di assegnata distanza dalla carica q.

La quantita’ dU e’ detto differenziale di U(M). E’ noto che

dU =

đ?œ•đ?‘ˆ đ?œ•đ?‘Ľ

dx +

đ?œ•đ?‘ˆ đ?œ•đ?‘Ś

dy +

đ?œ•đ?‘ˆ đ?œ•đ?‘§

dz

La formulazione del gradiente nel sistema di coordinate cartesiane risulta essere

38

đ?œ•đ?‘ˆ

đ?’– + đ?œ•đ?‘Ľ đ?’™

gradU(x, y, z) =

(đ?’–đ?’™ đ?’–đ?’š đ?’–đ?’› )

đ?œ•đ?‘ˆ

đ?’– + đ?œ•đ?‘Ś đ?’š

đ?œ•đ?‘ˆ đ?œ•đ?‘§

đ?’–đ?’›

sono i vettori (versori) di una base ortonormale.

Gia’ si e’ compreso che il gradiente e’ una grandezza vettoriale. Esso “individua la direzione lungo la quale la funzione varia piu’ rapidamenteâ€? ⌋Focardi, Massa, UguzzoniâŚŒ.

Un ulteriore formalismo per il gradiente, ampiamente utilizzato, e’ il segue

∇U(x, y, z) =

(đ?’–đ?’™ đ?’–đ?’š đ?’–đ?’› )

đ?œ•đ?‘ˆ đ?œ•đ?‘Ľ

đ?’–đ?’™ +

đ?œ•đ?‘ˆ đ?œ•đ?‘Ś

đ?’–đ?’š +

đ?œ•đ?‘ˆ đ?œ•đ?‘§

đ?’–đ?’›

sono i vettori (versori) di una base ortonormale.

E’ astrattamente possibile, almeno in senso formale, scrivere

∇U(x, y, z) =

đ?œ•đ?‘ˆ đ?œ•đ?‘Ľ

đ?’–đ?’™ +

đ?œ•đ?‘ˆ đ?œ•đ?‘Ś

đ?’–đ?’š +

đ?œ•đ?‘ˆ đ?œ•đ?‘§

đ?œ•

đ?’–đ?’› = ⌋(đ?œ•đ?‘Ľ ,

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś

,

đ?œ• đ?œ•đ?‘§

)( U, U, U )âŚŒ (đ?’–đ?’™ ,

đ?’–đ?’š , đ?’–đ?’› )

ed anche đ?œ•đ?‘ˆ đ?œ•đ?‘§

đ?œ•

⌋(đ?œ•đ?‘Ľ +

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś

+

đ?œ•

)( U, U, U )âŚŒ (đ?’–đ?’™ , đ?’–đ?’š , đ?’–đ?’› ) đ?œ•đ?‘§

=

đ?œ•đ?‘ˆ

đ?’– + đ?œ•đ?‘Ľ đ?’™

đ?œ•đ?‘ˆ đ?œ•đ?‘Ś

đ?’–đ?’š +

đ?’–đ?’›

Nel caso (đ?’–đ?’™ , 0 , 0)

si ha ∇U(x, y, z) =

đ?œ•đ?‘ˆ đ?œ•đ?‘Ľ

�� ≥

dU dx

đ?’–đ?’™ 39

Nel caso (đ?’–đ?’™ đ?’–đ?’š 0)

si ha ∇U(x, y, z) =

∂U

đ?’– + ∂x đ?’™

∂U ∂y

đ?’–đ?’š

La relazione tra il gradiente e il differenziale della funzione scalare e’

dU(x, y, z) = (∇U(x, y, z))(dr)

(si tratta di un prodotto scalare) ove dr = (dx, dy, dz). Va

ricordata

una

particolare

relazione

detta

teorema

del

gradiente. Essa e’ la seguente đ??ľ

âˆŤđ??´ đ?‘”đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘ đ??š đ?‘‘đ?’“ = f(B) – f(A) Si dimostra anche che grad(fg) = f grad(g) + g grad(g) Il gradiente viene rappresentato anche con il seguente formalismo ⌋StewartâŚŒ đ?› f = < fx , fy , fz >, ove le componenti devono intendersi come le derivate parziali prime rispetto alla variabile indicata a deponente. 40

Puo’ essere utile considerare il concetto di derivata direzionale che in termini operativi e’ đ??ˇđ?‘˘ f(x, y, z) = ∇fu In essa u deve essere un versore, ovvero un vettore tale che |u|= 1.

Si tratta, evidentemente, di un prodotto scalare. E’ bene fare un esempio di calcolo di un gradiente e di una derivata direzionale di una data funzione scalare � 3 → � . Sia data f(x,y,z) = � 2 � 3 �1

Vanno in primis calcolate le tre derivate parziali đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ

f(x,y,z) =

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś

đ?œ• đ?œ•đ?‘§

f(x,y,z) =

f(x,y,z) =

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś

đ?œ• đ?œ•đ?‘§

đ?œ•

� 2 � 3 �1

= � 3 �1

� 2 � 3 �1

= đ?‘Ľ 2 zđ?œ•đ?‘Ś đ?‘Ś 3 =

� 2 � 3 �1

=

đ?œ•đ?‘Ľ

đ?œ•

� 2 = � 3 �1 2� = 2x� 3 z

� 2 z3� 2 = 3� 2 � 2 �

đ?œ•

đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś 3 đ?œ•đ?‘§ đ?‘§1 = đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś 3

Il gradidente ∇f di detta funzione e’

41

∇f = đ?‘“đ?‘Ľ đ?’Š + đ?‘“đ?‘Ś đ?’‹ + đ?‘“đ?‘§ k = 2xđ?‘Ś 3 zi +3đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś 2 đ?‘§j +đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś 3 Il gradiente in un punto assegnato si ottiene per sostituzione in forma. Ad esempio per (x, y, z) = (1, -2, 1) si ha ∇đ?‘“(1,−2,

1)

= 2*1*(−2)3 ∗ 1i +312 (−2)2 1j +(−2)2 13 k = -16i +12j+ 4k

Se deve calcolarsi la derivata direzionale riferita ad un assegnato vettore u occorre preliminarmente accertare se detto vettore e’ un versore. Se u non e’ un versore allora si deve considerare il versore avente la medesima direzione. 1

Sia assegnato il vettore u = ( ,

1

,

1

√2 √2 √2

).

3

Esso non e’ un versore in quanto il modulo di esso vale √2 > 1.

Il versore di u, detto vers(u), vale

vers(u)=

1 1 1 đ?’Š+, đ?’‹+ đ?’Œ √2 √2 √2 3 √ 2

= (√3)−1 đ?’Š +

(√3)−1 đ?’‹ + (√3)−1 k

42

Pertanto

la

derivata

direzionale,

assegnato

vers(u),

risulta

essere Ě‚ = ⌋2xđ?‘Ś 3 zi +3đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś 2 đ?‘§j +đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś 3 đ?’ŒâŚŒ ⌋ (√3)−1 đ?’Š + (√3)−1 đ?’‹ + đ??ˇđ?‘˘ f(x, y, z) = ∇fđ?’– (√3)−1kâŚŒ = ⌋2xđ?‘Ś 3 z +3đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś 2 đ?‘§ +đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś 3 âŚŒâŚ‹i, j, k âŚŒ ⌋ (√3)−1 + (√3)−1 + (√3)−1âŚŒâŚ‹đ??˘, đ??Ł, đ??¤âŚŒ = ⌋2xđ?‘Ś 3 z +3đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś 2 đ?‘§ +đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś 3 âŚŒ ⌋ (√3)−1 + (√3)−1 + (√3)−1âŚŒâŚ‹đ??˘, đ??Ł, đ??¤âŚŒâŚŒâŚ‹đ??˘, đ??Ł, đ??¤âŚŒ= 3

+

√3

�2�2� +

La

1 √3

2

xđ?‘Ś 3 z

√3

đ?‘Ľ2đ?‘Ś3

semplificazione

e’

legittima

in

quanto

⌋đ??˘, đ??Ł, đ??¤âŚŒâŚŒâŚ‹đ??˘, đ??Ł, đ??¤âŚŒ

viene

trattato come un prodotto interno avendosi ⌋đ??˘, đ??Ł, đ??¤âŚŒâŚŒâŚ‹đ??˘, đ??Ł, đ??¤âŚŒ = (1, 1, 1)(1, 1, 1) =1+1+1 = 3. 2

3

√3

√3

Ma sempre come prodotto interno risulta ( xđ?‘Ś 3 z +

1

�2�2� +

√3

đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś 3 )3

dal che il risultato indicato, ovvero

Ě‚ = đ??ˇđ?‘˘ f(x, y, z) = ∇fđ?’–

Se,

a

questo

6

punto,

9

xđ?‘Ś 3 z +

√3

√3

fosse

�2�2� +

3 √3

đ?‘Ľ2đ?‘Ś3.

necessario

calcolare

la

derivata

direzionale in un dato punto, ad esempio in (x, y, z) = (1,1,1) basta sostituire in formula, avendo che 2

xđ?‘Ś 3 z +

√3

3

√3

1

�2�2� +

√3

đ?‘Ľ2đ?‘Ś3 =

6 √3

9

+

√3

3

+

√3

=

18 √3

Ě‚ = đ??ˇđ?‘˘ f(x, y, z) = ∇fđ?’–

.

43

Detto valore ,razionalizzato, vale

18 √3 √3 √3

= 18

√3 √9

= 6√3.

Ě‚ del vettore u e’ possibile Quando poi si e’ utilizzato il versore đ?’– Ě‚ )essendo cos(∇f,đ?’– Ě‚ )= determinare l’angolo (∇f, u)≥ (∇f,đ?’–

đ??ˇđ?‘˘ đ?‘“(đ?‘Ľ,đ?‘Ś,đ?‘§) |∇f|

.

Dato il coseno si ricava immediatamente l’angolo tra le direzioni dei due vettori.

Ě‚ )= Si ha max (đ??ˇđ?‘˘ f(x, y, z)) quando cos(đ?› f,đ?’–

đ??ˇđ?‘˘ đ?‘“(đ?‘Ľ,đ?‘Ś,đ?‘§) |∇f|

= 1.

Cio’, a meno della periodicita’ 2đ?œ‹ della funzione sin(.), si ha Ě‚ )= 0 rad., ovvero quando i vettori per (đ?› f,đ?’–

Ě‚ hanno la đ?› f e đ?’–

medesima direzione e il medesimo verso.

Vanno

citate

alcune

importanti

proprieta’

dell’operatore

gradiente. Esse sono le seguenti 

∇(f + g) = ∇f + ∇g



∇(fg) = f∇g+đ?‘”∇f



∇ (đ?‘”) =

đ?‘“

���+��� �2

44



∇đ?‘“ đ?‘› = nđ?‘“ đ?‘›âˆ’1 ∇f

Dette proprieta’ sono una immediata conseguenza delle proprieta’ delle derivate. In particolare la ∇(f + g) = ∇f + ∇g, detta linearita’ dell’operatore gradiente puo’ essere riscritta piu’ ampiamente come segue ∇(Îąf Âą βg) = đ?›źâˆ‡f Âą đ?›˝âˆ‡g con (Îą , β) ≠(0, 0) , intesi come coppia di numeri reali non contemporaneamente nulli.

A titolo di esempio si puo’ dimostrare la relazione ∇(f + g) = ∇f + ∇g

Si puo’ ammettere f + g = h Essa va intesa che la funzione h e’ la somma di due funzioni per le quali risulta, evidentemente che dom f = dom g = dom h risultando dette funzioni dotate delle derivate prime in ogni (x, y, z)| (x, y, z)đ?œ– dom f, g, h.

45

Esse devono essere continue. Esse devono essere limitate. I passaggi formali sono i seguenti đ?œ•

đ?œ•

đ?œ•

đ?œ•

∇h ≥ ∇(f+g) = ⌋đ?œ•đ?‘Ľ â„Ž + đ?œ•đ?‘Ś â„Ž + đ?œ•đ?‘§hâŚŒ (i, j, k) = ⌋ (i, j, k)

= ⌋

đ?œ•

đ?œ•

đ?œ•đ?‘§

⌋(

đ?œ•

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ

đ?‘“ +

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ

đ?‘” +

đ?œ•

đ?‘“ + đ?œ•đ?‘Ľ đ?‘” + đ?œ•đ?‘Ś đ?‘” + đ?œ•đ?‘§ đ?‘” = ⌋( đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ

đ?œ•

đ?œ•

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ

đ?‘“+

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•

đ?œ• đ?œ•đ?‘§

đ?‘“+

đ?œ•

đ?œ• đ?œ•đ?‘§

đ?‘“ + đ?œ•đ?‘Ś đ?‘“ + đ?œ•đ?‘§ đ?‘“)+(

đ?‘“ + đ?œ•đ?‘Ś đ?‘“ + đ?œ•đ?‘§ đ?‘“))âŚŒ(i, j, k) + ⌋(

13.

đ?‘”+

đ?œ•đ?‘Ľ

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ

đ?œ•

(đ?‘“ + đ?‘”) +

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś

(đ?‘“ + đ?‘”) +

đ?‘”âŚŒ (i, j, k) = đ?œ•

đ?œ•đ?‘Ľ

đ?œ•

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ

đ?œ• đ?œ•đ?‘§

(đ?‘“+g)âŚŒ

đ?‘“ +

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś

đ?‘“+

đ?œ•

đ?‘” + đ?œ•đ?‘Ś đ?‘” + đ?œ•đ?‘§ đ?‘”)âŚŒ(i, j, k)= đ?œ•

đ?‘” + đ?œ•đ?‘Ś đ?‘” + đ?œ•đ?‘§ đ?‘”)âŚŒ(i, j, k)= ∇đ?‘“ + ∇đ?‘”.

NOTA MATEMATICA – Campo vettoriale conservativo

Data una funzione scalare f(x,y,z) di đ?‘… 3 a valori reali. Data la relazione ∇f = F la funzione f(x,y,z) e’ detta potenziale del campo vettoriale F Se z e’ identicamente nulla ovvero se ∀ (x, y) đ?œ– R ⤏ R risulta z = 0, allora il problema si riduce al piano cartesiano xy.

46

In questo caso puo’ considerarsi un esempio, quale quello seguente

f(x, y) =

1 �

(x + 2y).

Si chiede di trovare F. 1

Si ha ∇f = F â&#x;ş ⌋đ?›ź x ,

1 �

2y)âŚŒ (i , j) =

1 �

xi +

2 �

đ?‘Śđ?’‹

In đ?‘… 3 la conservativita’ del campo F e’ garantita dal vigore delle seguenti relazioni đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś

đ?œ• đ?œ•đ?‘§

đ?œ• đ?œ•đ?‘§

đ?œ•

đ?‘ƒ = đ?œ•đ?‘ĽQ đ?œ•

đ?‘ƒ = đ?œ•đ?‘Ľ đ?‘… đ?œ•

đ?‘„ = đ?œ•đ?‘Ś đ?‘…

quando F = Pi + Qj + Rk Deve, in ogni caso, osservarsi che (F = Pi + Qj + Rk) ≥ F = (P,Q, R) (i, j, k)

In casi del genere esiste, ovviamente anche un problema inverso, ovvero dato F trovare f(x,y,z). 47

14. La

RELAZIONE TRA CAMPO E POTENZIALE

relazione

tra

circuitazione

elementare

e

differenza

di

potenziale elettrostatico e’ elementare e spiegata dalla formula dC = - dV Essa deriva immediatamente da quanto detto precedentemente circa il valore del potenziale. In definitiva si ha che dC = �� (x)dr = - dV ovvero

dV = grad�� dr in altri termini si ha

E(X)= - grad�� . L’unita’ di misura del potenziale elettrostatico e’ il volt (V).

L’unita’ di misura del campo elettrico e’

� �

.

48

Da un punto di vista matematico il potenziale e’ una funzione continua delle coordinate.

Si puo’ fare un esempio di potenziale in un punto dello spazio dato dalla relazione V(x,y,z) = a� 3 – bxy + xyz per calcolare il tasso

di

variazione

di

V

(scalare)

nel

punto

(1,1,1)

nella

direzione del vettore v = i + j - k = (1, 1, -1). Il

vettore

considerato

non

e’

un

versore

in

quanto

|v|

=

√12 +12 +(−1)2 = √3 > 1.

Ě‚ = Pertanto deve essere considerato il versore đ?’—

15.

đ?’— |đ?’—|

=

đ?’Š+đ?’‹âˆ’đ?’Œ √3

ENERGIA POTENZIALE DI UNA PARTICELLA CARICA NEL CAMPO E

Dato un campo elettrico E(X)dovuto ad una distribuzione di cariche, la forza che agisce su una particella carica q posta in X e’ data dalla relazione �� = qE(X) 49

Si ammetta di dover sostare la carica q dal punto X al punto B, distinto da esso lungo un dato percorso (non necessariamente rettilineo) qualunque đ?œŒđ??´â†’đ??ľ . Il lavoro elementare, come noto dalla meccanica, e’ dW = |đ?‘­đ?’’ dl|

≠0 quando i vettori �� e dl non sono ortogonali.

Integrando la precedente relazione si ottiene đ??ľ

đ??ľ

đ??ľ

đ??ľ

đ?‘Šđ?‘‹â†’đ??ľ = âˆŤđ?‘‹ đ?‘žE(X)đ?‘‘đ?‘™đ?‘‹ = - qâˆŤđ?‘‹ đ?’ˆđ?’“đ?’‚đ?’…đ?‘‰đ?‘‹ đ?‘‘đ?’?đ?‘‹ = - qâˆŤđ?‘‹ đ?’ˆđ?’“đ?’‚đ?’…đ?‘‰đ?‘‹ đ?‘‘đ?’?đ?‘‹ = - qâˆŤđ?‘‹ đ?‘‘đ?‘‰ da cui -q (đ?‘‰đ??ľ − đ?‘‰đ??´ )= qđ?‘‰đ??´ − qđ?‘‰đ??ľ Per il principio di conservazione dell’energia risulta che đ??¸đ??ľ,đ?‘?đ?‘œđ?‘Ą = đ??¸đ?‘‹,đ?‘?đ?‘œđ?‘Ą - đ?‘Šđ?‘‹â†’đ??ľ ovvero đ??¸đ??ľ,đ?‘?đ?‘œđ?‘Ą − đ??¸đ?‘‹,đ?‘?đ?‘œđ?‘Ą = - đ?‘Šđ?‘‹â†’đ??ľ da cui đ?‘Šđ?‘‹â†’đ??ľ =

- (đ??¸đ??ľ,đ?‘?đ?‘œđ?‘Ą − đ??¸đ?‘‹,đ?‘?đ?‘œđ?‘Ą )=

đ??¸đ?‘‹,đ?‘?đ?‘œđ?‘Ą - đ??¸đ??ľ,đ?‘?đ?‘œđ?‘Ą = - ∆đ??¸đ?‘?đ?‘œđ?‘Ą

Concisamente 50

đ?‘Šđ?‘‹â†’đ??ľ = - ∆đ??¸đ?‘?đ?‘œđ?‘Ą

L’energia potenziale in un punto A e’ data da đ?‘Źđ??´,đ?‘?đ?‘œđ?‘Ą = qđ?‘‰đ??´

16.

FLUSSO DEL CAMPO ELETTROSTATICO

Dato un campo vettoriale quale E deve essere definito il flusso del campo vettoriale, Ό� . La grandezza flusso e’ una grandezza fisica scalare. La seguente figura ben evidenzia il concetto.

51

Data una superficie piana dS il vettore dS e’ ortogonale a dS e il versore n indica tale situazione. Il vettore n e’ ortogonale al piano per dS e misura 1. Il flusso elementare e’ il seguente prodotto scalare

dđ?›ˇđ??¸(đ?‘‹) = E(X)Ds

Il flusso e’ uno scalare algebrico per il quale il segno dipende da dS.

Non necessariamente la superficie S e’ piana e il flusso e’ ricondotto ad un integrale doppio, avendosi che

đ?›ˇđ??¸(đ?‘‹) = âˆŹđ?‘‹ ∈ đ?‘† đ?‘Ź(đ?‘‹) dS

Nel caso di superfici chiuse si ha

đ?š˝đ??„(đ??—) = âˆŻđ?‘ż ∈ đ?‘ş đ?‘Ź(X)đ?’…đ?‘ş

52

17.

DENSITA’ DI FLUSSO

Si e’ evidenziato il carattere di grandezza scalare del flusso. In elettrostatica viene definita una ulteriore grandezza detta densita’ del flusso elettrico.

In un intorno di P le linee di flusso hanno la direzione di un dato versore u allora, per definizione, si ha

D =

đ?‘‘đ?œ‘ đ?‘‘đ?‘†

đ?’–

La densita’ di flusso viene misurata in

đ??ś đ?‘š2

.

Sia φ il flusso che passa attraverso una superficie S, il flusso che passa attraverso una parte dS di essa e’ dđ?œ‘.

Si ha dđ?œ‘ = DdS =

đ?‘‘đ?œ‘ đ?‘‘đ?‘†

udSđ?’–đ?’? = DdS cos(u,đ?’–đ?’? )

dđ?œ‘ = DdS e’ integrale entro una linea chiusa e si ha

φ = ∎ đ?‘Ťđ?‘‘đ?‘ş

53

Questo

ultimo

integrale

definisce

anche

la

carica

Qint

alla

supeficie chiusa S. Su questi aspetti ritornero’ piu’ oltre‌

18.

IL TEOREMA DI GAUβ

Il teorema di Gauβ “puo’ essere considerato come una formulazione alternativa

della

legge

di

Coulomb,

nel

senso

che

e’

una

conseguenza di questa leggeâ€? ⌋Capitani, De SanctisâŚŒ.

I due eununciati si coimplicano.

Sia dato un campo E dovuto ad una distribuzione spaziale di cariche in una regione di volume V. Si consideri una superficie S. Essa non contiene necessariamente le cariche poste nella regione V. Sia ���� la carica complessiva contenuta in S.

54

Essa va intesa come la somma algebrica delle cariche presenti. Il campo elettrico e’ dovuto alla totalita’ delle cariche in V. Il teorema di Gauβ

afferma che

đ?š˝đ??„(đ??—) = âˆŻđ?‘ż ∈ đ?‘ş đ?‘Ź(X)đ?‘‘đ?‘ş =

đ?‘„đ?‘–đ?‘›đ?‘Ą đ?œ€0

Il calcolo del flusso deve essere immediato, quindi il “segreto� sta nel saper ben individuare la S. Deve osservarsi che la legge enunciata e’ nella formulazione data valida solo nel Sistema internazionale di misura.

Essa ha diversa formulazione in sistemi di misura ormai desueti, quali

il

cosiddetto

sistema

CGS

elettrostatico,

detto

anche

sistema gaussiano di misura.

18.1 Teorema di Gauβ per il caso di carica puntiforme Data una carica q supposta puntiforme.

55

La superficie S sia una sfera di raggio R. Si ha Ě‚ = ES (in quanto i vettori E e đ?’? Ě‚ sono paralleli). đ?œ‘đ?‘† (E) = ESđ?’? In definitiva si ha

đ?œ‘đ?‘† (E) =

1

đ?‘ž

4đ?œ‹đ?œ€0 đ?‘&#x; 2

4đ?œ‹đ?‘&#x; 2 =

đ?‘ž đ?œ€0

18.2 Campo elettrico di una sfera carica non conduttrice Il teorema di Gauβ si applica al caso di una sfera di raggio R contenente una carica Q distribuita uniformemente al suo interno.

In buona sostanza il teorema di Gauβ consente di ricavare E(r≤R) ovvero il relativo modulo. Poiche’ si ammette una densita’ di carica uniforme e la carica complessiva e’ Q si ha đ?œŒ =

Per r < R si ha

đ?‘„ 4 đ?œ‹đ?‘… 3 3

=

đ?‘ž(đ?‘&#x;) 4 đ?œ‹đ?‘&#x; 3 3

� �

→

=

đ?‘„ đ?‘…3

đ?‘„ 4 đ?œ‹đ?‘… 3 3

=

.

đ?‘ž(đ?‘&#x;) đ?‘&#x;3

đ?‘&#x;

→ q(r)= Q(�)3

56

In questo caso il teorema di Gauβ puo’ essere scritto nel modo seguente đ?‘ž(đ?‘&#x;)

đ?œ‘đ?‘ (đ?‘&#x;) (E(r≤R))= E(r≤R)4đ?œ‹đ?‘&#x; 2 =

Da

questa

relazione

đ?œ€0

si

deve

đ?‘&#x;

1

mettere

in

evidenza

l’incognita

E(r≤R), avendosi che

E(r≤R)=

đ?‘ž(đ?‘&#x;) đ?œ€0 4đ?œ‹đ?‘&#x; 2

=

đ?‘ž(đ?‘&#x;) 4đ?œ‹đ?‘&#x; 2 đ?œ€0

= Q(đ?‘…)3 4đ?œ‹đ?‘&#x; 2 đ?œ€ = 0

đ?‘„

đ?‘&#x;

4đ?œ‹đ?œ€0 đ?‘… 3

quando r ≤ R.

Il valore massimo di E si ha per r = R, ottenendosi, in questo caso, E(r=R) =

đ?‘„

đ?‘…

4đ?œ‹đ?œ€0 đ?‘… 3

=

đ?‘„ 4đ?œ‹đ?œ€0 đ?‘… 2

.

Poiche’ anche R e’ costante la relazione E = E(r≤R) e’ lineare.

Per r > R la relazione decresce in ragione della seguente legge ricavabile immediatamente dal teorema di Gauβ. đ?‘„ đ?œ€0

= đ??¸đ?‘&#x;≼đ?‘… 4đ?œ‹đ?‘&#x; 2 da cui si ricava

đ??¸đ?‘&#x;≼đ?‘… =

đ?‘„ đ?œ€0

4đ?œ‹đ?‘&#x; 2

1

= cost.đ?‘&#x; 2

Per valori di r > R il campo decresce in ragione inversa del quadrato di r. 57

L’andamento

complessivo

del

campo

E

in

funzione

di

R

e’

riassimibile con il seguente grafico.

19.

LA RELAZIONE TRA I VETTORI E ED E

Si puo’ dimostrare che D = đ?œ€E.

I due campi vettoriali hanno la stessa forma. Si ammetta data una carica Q posta in (0,0,0). Si consideri una superficie sferica di raggio r. Il teorema di Gauβ puo’ essere scritto nella forma Q = ∎ đ?‘Ťđ?‘‘đ?‘ş = D∎ đ?‘‘đ?‘† = D4đ?œ‹đ?‘&#x; 2 đ?‘„

Si ha D = 4đ?œ‹đ?‘&#x; 2 58

Dal punto di vista vettoriale il vettore D ha direzione delle linee di flusso che sono nel caso di una carica puntiforme radiali, đ?‘„

quindi dalla relazione scalare D = 4đ?œ‹đ?‘&#x; 2 si ottiene la corrispondente vettoriale, ovvero đ?‘„

D = 4đ?œ‹đ?‘&#x; 2 đ?’–đ?’“ Ma si era evidenziato che Q

E = 4ξπr2 �� I due vettori hanno medesima direzione. Dal punto di vista scalare si ha �

D = 4đ?œ‹đ?‘&#x; 2 e Q

E = 4ξπr2 A questo punto si puo’ dividere membro a membro, avendo

đ??ˇ đ??¸

=

đ?‘„ 4đ?œ‹đ?‘&#x;2 đ?‘„ 4đ?œ€đ?œ‹đ?‘&#x;2

=

1 1 đ?œ€

= đ?œ€

Da cui, c.v.d., D =ξΕ. 59

Per quanto detto, circa la comune direzione dei vettori dati, allora si puo’ scrivere D =ξΕ.

20.

NOTA MATEMATICA – La divergenza di un vettore v

La divergenza di un vettore v e’ una grandezza fisica scalare. In coordinate cartesiane ortogonali la divergenza di un vettore v e’ solitamente indicata come segue đ?œ•

∇ v = div(v) = (đ?œ•đ?‘Ľ ,

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś

,

đ?œ• đ?œ•đ?‘§

) (�� , �� , �� )

ove (đ?‘Łđ?‘Ľ , đ?‘Łđ?‘Ś , đ?‘Łđ?‘§ ) sono le componenti scalari di un vettore v rispetto alla base ortonormale (i, j, k). In definitiva đ?œ•

∇ v = div(v) = (đ?œ•đ?‘Ľ đ?‘Łđ?‘Ľ ,

đ?œ•

đ?‘Ł , đ?œ•đ?‘Ś đ?‘Ś

đ?œ•

đ?‘Ł) đ?œ•đ?‘§ đ?‘§

Se e’ dato un campo vettoriale F = Pi + Qj + Rk la divergenza div F risulta 60

đ?œ•

div F = ∇*F = (đ?œ•đ?‘Ľ,

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś

đ?œ•

đ?œ•

) (P, Q, R) = đ?œ•đ?‘Ľ đ?‘ƒ + đ?œ•đ?‘§

đ?œ•

Q + đ?œ•đ?‘Ś

đ?œ• đ?œ•đ?‘§

đ?‘…

Essa e’ sostanzialmente un prodotto scalare.

20.1 Esempio di calcolo di una divergenza Dato F = xyzi + xđ?‘Ś 2 j + xzk đ?œ•

div F = ∇*F = (đ?œ•đ?‘Ľ, đ?œ• đ?œ•đ?‘§

�� = yz

21.

đ??? đ???đ?’™

đ?œ•

đ?œ•

đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘§

x + 2xđ?‘Ś +x

đ?œ•

) (P, Q, R) = đ?œ•đ?‘Ľ đ?‘ƒ +

đ?œ• đ?œ•đ?‘§

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś

Q +

đ?œ• đ?œ•đ?‘§

đ?‘…=

đ??? đ???đ?’™

xyz +

đ??? đ???đ?’š

xy 2 +

� = yz+ 2x� + x

IL DIPOLO

Esso diviene rilevante anche in relazione alla chimica in quanto molte molecole, quali quella dell’acido cloridrico HCl, purche’ complessivamente neutre, hanno una distribuzione asimmetrica di cariche in ragione della quale si puo’ dire che esse hanno un polo positivo ed uno negativo.

61

Tanto

premesso,

e’

necessario

dare

la

definizione

di

dipolo

elettrico. E’ intendibile come costituito da due cariche elettriche ±q poste a distanza r tra di loro.

Dette cariche sono ammesse puntiformi.

Il baricentro del sistema e’ il punto O medio tra A e B, ove sono collocate le cariche +q e −q.

Si ammette r = r(t) = cost. in quanto si ammette che l’effetto attrattivo di dette cariche e’ neutralizzato da altre interazioni.

E’ conveniente calcolare il potenziale V in un punto X posto a distanza d ≫ r.

62

La prima grandezza fisica rilevante e’ sicuramente il momento dipolare. Esso si indica con la lettera p avendosi che p = qr

La direzione di r e’ quella della congiungente le due cariche, mentre il verso e’ quello dalla carica negativa alla positiva. L’unita’

di

misura

del

momento

dipolare

e’,

nel

S.I.,

il

Coulomb*metro.

63

X tale che Ě…Ě…Ě…Ě… đ?‘‚đ?‘‹ ≍ Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ľ e’ calcolabile come

Il potenziale in un punto

somma dei potenziali dovuti alle due particelle q e −q

V(X) =

đ?‘ž

−đ?‘ž

4đ?œ‹đ?œ€0đ?‘‹đ??´

+4đ?œ‹đ?œ€

0đ?‘‹đ??ľ

=

đ?‘ž 4đ?œ‹đ?œ€0

1

1

(đ?‘‹đ??´ − đ?‘‹đ??ľ)

Utilizzando il teorema del coseno ed una approssimazione al primo ordine si ottiene il valore V(x) seguente

V(X) =

22.

1

đ?‘?đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œ—

4đ?œ‹đ?œ€0

đ?‘‘2

NOTA MATEMATICA – Il gradiente in coordinate sferiche

Vanno introdotte le coordinate sferiche e la formulazione del vettore gradiente in coordinate sferiche. E’ bene partire dalle coordinate sferiche.

64

Le coordinate sferiche del punto P sono la terna (r, θ,

φ) .

Immediatamente risulta che

r = √đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 + đ?‘§ 2

tangφ

cosđ?œƒ =

=

đ?‘Ś đ?‘Ľ

đ?‘§ đ?‘&#x;

L’angolo θ < đ?œ‹ e’ detto colatitudine.

L’angolo đ?œ‘ < 2đ?œ‹ e’ detto longitudine.

In coordinate sferiche la formula del grandiente e’ la seguente

gradV =

đ?œ•đ?‘‰

1 đ?œ•đ?‘‰

đ?’– +đ?‘&#x; đ?œ•đ?‘&#x; đ?’“

đ?œ•đ?‘‰

đ?’– + đ?‘&#x;đ?‘ đ?‘–đ?‘› đ?œƒđ?œ•đ?œ‘ đ?’–đ??‹ đ?œ•đ?œƒ đ?œ˝

Questa formula sembra complicata ma in realta’ “l’espressione del gradiente consegue direttamente dall’espressione cartesianaâ€? e “contiene la derivata parziale di V rispetto alla distanza, nella direzione di quel particolare valoreâ€? ⌋EdministerâŚŒ. 65

Nell’ottimo

testo

di

elettromagnetismo

che

ho

consultato

⌋EdministerâŚŒ ho rinvenuto ottime figure che spiegano concetti non facili. Per la simmetria sferica ho deciso di sintetizzare le direzioni dei tre versori utili a definire il gradiente. La

rappresentazione

grafica

molto

semplificata

rispetto

alle

figure proposte e’ la seguente. Diviene in particolare utile definire le direzioni dei vettori unitari đ?’–đ?’“ đ?’–đ?œ˝ đ?’–đ??‹ che lo definiscono. I tre vettori devono intendersi come applicati in P. Il vettore đ?’–đ?’“ e’ sulla retta per O e P. Va ben evidenziato il vettore đ?’–đ?œ˝ Al riguardo deve essere considerata la superficie conica per la quale e’ đ?œ— costante.

66

E’ poi utile “visualizzareâ€? la direzione del terzo vettore, ovvero đ?’–đ??‹ . Questa successiva rappresentazione evidenzia la situazione.

Il piano rilevante e’ quello per i punti O, P e �0 .

67

Il versore

đ?’–đ??‹ e’ perpendicolare a detto piano.

Si dimostra che đ?’–đ?’“ = sinθcosφi + sinθsinφj + cosθk đ?’–đ?œ˝ = cosθcosφi + cosθsinφj - sinθk đ?’–đ??‹ = -sinφi + cosθj

23.

AZIONE DEL CAMPO E SU UN DIPOLO p

Se si ammette che il campo E sia uniforme esso non esercita alcuna azione, ovvero alcun effetto, sul dipolo p. Un campo E e’ uniforme quando E(X) = cost. Le forze agenti sul dipolo (dovute ad E) costituiscono una coppia di forze.

68

Le due forze hanno risultante nulla in quanto vangono -qE(B)+ qE(A)ma E(A) = E(B) quindi -qE(B) +qE(A)= 0.

A questo punto e’ bene considerare il momento esercitato sul dipolo dal campo E. Il momento M e’ la somma algebrica di due prodotti vettoriali. M = OA ∧ qE(A) - OB ∧ qE(B)= (OA – OB) ∧ qE (passaggio legittimo in quanto il campo E e’ uniforme). Si osservi che

OA – OB = BA da cui

M = BA ∧ qE = BAq ∧ E = p ∧ E.

Sinteticamente possiamo dire che M = p ∧ E I vettori p ed E sono complanari. Sia Îą = min (Îą, 2đ?œ‹ − đ?›ź)

69

Il vettore M e’ perpendicolare al piano dei vettori p ed E ed ha modulo M = pEsinι La

“vettorializzazione�

di

detta

grandezza

fisica

si

ottiene

Ě‚ ortogonale ai vettori p ed E, avendosi considerando un versore đ?’– Ě‚ M = pEsinÎąđ?’–

̂ L’equilibrio del dipolo e’ garantito dalla condizione M = pEsinι� = 0, ovvero, piu’ semplicemente, dalla condizione scalare M = pEsinι = 0. Cio’ si verifica quando sinι = 0 ovvero in due casi (a meno della periodicita’ della funzione sin(.) ) � = 0 rad. e

�=

đ?œ‹ rad.

Per � = 0 rad. si ha una condizione di equilibrio stabile in quanto la risultante delle forze vale 0. Per � =

đ?œ‹ rad. la condizione e’ di equilibrio instabile in quanto

la risultante R delle forze e’ R ≠0. 70

Se E(A) ≠E(B)allora il campo E non e’ uniforme e la risultante R delle forze applicate non e’ nulla. R = qE(A)- qE(B) = q(E(A) – E(B))≠đ?&#x;Ž.

24.

La

INTENSITA’ E DENSITA’ DI CORRENTE

corrente

elettrica

viene

definita

⌋EdministerâŚŒ

come

“la

velocita’ di trasporto della carica elettrica al di la’ di un certo punto, o attraverso una certa superficieâ€?. La corrente elettrica viene solitamente anche chiamata intensita’ di corrente elettrica e viene solitamente indicata con la lettera I, se continua, oppure con i = i(t), se variabile nel tempo. Nel Sistema internazionale di misura l’unita’ di misura della intensita’ di corrente elettrica e’ l’ampere (A) che quantunque sia una unita’ di misura fondamentale e’ eguale al rapporto tra la carica unitaria e l’unita’ di tempo. đ??ś

1 A = đ?‘ đ?‘’đ?‘? 71

Nella teoria dell’elettromagnetismo viene definita una ulteriore grandezza detta densita’ di corrente J. Essa e’ sostanzialmente il rapporto tra una corrente I e l’area di una superficie e, pertanto, viene misurata in

25.

đ??´ đ?‘š2

.

MOVIMENTO DI CARICHE IN E

Se una carica elettrica positiva q > 0 si trova in un campo E e non e’ vincolata ad una posizione costante la forza cui e’ soggetta F = qE induce una accelerazione, coerentemente con il secondo principio della dinamica.

In particolare si ha ma = qE

Poiche’ a =

đ?‘‘đ?‘Ł đ?‘‘đ?‘Ą

si ha

đ?‘‘đ?‘Ł đ?‘‘đ?‘Ą

=

đ?‘žđ??¸ đ?‘š

ovvero a =

đ?‘œđ?‘Łđ?‘Łđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œ dv =

(Hp: dt=dđ?œ?) e quindi v(t) - đ?‘Ł0 =

đ?‘žđ??¸ đ?‘š

đ?‘žđ??¸ đ?‘š

đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘žđ??¸ đ?‘š

.

đ?‘Ł(đ?‘Ą)

ovvero âˆŤđ?‘Ł

0

đ?‘‘đ?‘Ł =

(t - đ?‘Ą0 ) ovvero v(t)=

đ?‘žđ??¸ đ?‘š

đ?‘žđ??¸ đ?‘š

đ?‘Ą

âˆŤđ?‘Ą đ?‘‘đ?œ? 0

(t -

đ?‘Ą0 ) + đ?‘Ł0 .

72

Questa

relazione

e’

vera

entro

i

limiti

di

validita’

della

meccanica classica. Essa poi presuppone il vuoto e quindi l’assenza di urti tra la carica e particelle del mezzo. Se la carica q positiva e’ immersa in un liquido o in un gas essa urta ripetutamente le molecole del mezzo e ogni urto, supposto elastico, muta la direzione del moto. Se E(x, t)= cost. ∀x, ∀đ?‘Ą carica

q

sia

soggetta

ad

allora si ammette che la particella una

velocita’

V(t)costante,

detta

velocita’ di scorrimento. Detta velocita’ ha la medesima direzione di E. La conduzione elettrica nei metalli e’ dovuta alla mobilita’ degli elettroni

del

livello

energetico

piu’

esterno

degli

atomi

metallici che vengono a costituire un gas di elettroni. In

questo

caso

la

velocita’

di

movimento

degli

elettroni,

comunemente detta velocita’ media di scorrimento, e’ legata al vettore

campo

elettrico

dalla

seguente

relazione

di

proporzionalita’ V = ΟE 73

La costante di proporzionalita’ Ο espressa in

e’ detta mobilita’ ed e’

đ?‘š2 đ?‘‰ đ?‘ đ?‘’đ?‘?

Detta costante dipende dalla temperatura T e dalla struttura del cristallo. Le piu’ ampie vibrazioni dovute a temperature T elevate riducono la mobilita’. L’equivamente

circuitale

e’

il

concetto

di

resistivita’,

solitamente crescente al crescere della temepratura. Vanno quindi definite le densita’ di corrente, a partire dalla densita’ di corrente di convenzione J in assenza di campo E. Data una densita’ di carica đ?œŒ

di un corpo di volume v in moto

rispetto ad una data sezione S con velocita’ costante V. La densita’ di corrente di convezione J e’ J = đ?œŒV

Affinche’ sia J(t) costante deve essere đ?œŒ costante.

S’(t) = cost, essendo S’(t) ≤ S ∀ t, ove S’ e’ la sezione di V “passante� per S in ogni t.

74

Nel caso piu’ generale affinche’ la corrente di convezione sia costante deve essere

đ?œŒ(đ?‘† ′ (đ?‘Ą))(đ?‘† ′ (đ?‘Ą)) = cost.

In generale, nella teoria della nuvola di particelle cariche in movimento risulta che J(t) ≠0 per t ∈ (đ?‘Ą0 , đ?‘Ą1 ) đ?‘’ J(t) = 0 altrove. Va ora definita la densita’ di corrente di conduzione J. In questo caso la relazione J = Ď V va coordinata con la presenza del campo E per il quale si ha V = đ?œ‡đ?‘Ź .

Coordinando si ha J =

Ď đ?œ‡đ?‘Ź

La grandezza Ď đ?œ‡ e’ indicata con la lettera đ?œŽ ed e’ comunemente chiamata conduttivita’. Essa varia al variare del materiale e della temperatura T. L’unita’ di misura della conduttivita’ e’ il siemens per metro đ?‘†

(đ?‘š).

Nel caso dei metalli il movimento di cariche e’ costituito dal movimento di elettroni in senso opposto al verso di E.

75

La relazione J =

Ďƒđ?‘Ź e’ detta forma puntuale della legge di Ohm.

Va ora definita la intensita’ di corrente I che attraversa una superficie S. Risulta per definizione ⌋EdministerâŚŒ che

I = âˆŤđ?‘ş đ?‘ą đ?’…đ?‘ş Detto integrale deve intendersi propriamente come un integrale doppio

76

26.

CONDENSATORE PIANO

Un condensatore piano e’ costituito da due conduttori collocati nelle vicinanze e separati ma un materiale isolante. Uno dei conduttori viene tenuto a potenziale costante. All’altro conduttore viene fornita una carica Q. Si verifica sperimentalmente che la differenza di potenziale ∆đ?‘‰ tra i due conduttori, tecnicamente chiamate armature del condensatore e la carica Q e’ data dalla seguente costante C =

đ?‘„ ∆đ?‘‰

Detto rapporto e’ chiamato capacita’ del condensatore. Anche in questo caso e’ possibile applicare la legge di Gau�. Infatti si ha

đ?‘„ đ?œ€0

= EA, ove A e’ l’area dell’armatura sulla quale

e’ distribuita uniformemente la carica Q. Si ricava immediatamente che E =

đ?‘„ 1 đ?œ€0 đ??´

=

đ?‘„ đ??´đ?œ€0

Ma dalla relazione ∆đ?‘‰ = Ed, ove d e’ la distanza tra le armature, solitamente misurata in mm, ovvero in 10−3 m, si ottiene ∆đ?‘‰ = Ed =

đ?‘„ đ??´đ?œ€0

đ?‘‘

Da cui si ricava 77

C =

đ?‘„ ∆đ?‘‰

=

đ??´

đ?œ€ đ?‘‘ 0

se tra le armature c’e’ il vuoto, altrimenti in

luogo di đ?œ€0 si utilizza đ?œ€ del mezzo isolante utilizzato. La capacita’ elettrica “indica la proprieta’ di un corpo conduttore di contenere la carica elettricaâ€? ⌋De Sanctis, CapitaniâŚŒ. La capacita’ C viene misurata in

đ?‘?đ?‘œđ?‘˘đ?‘™đ?‘œđ?‘šđ?‘? đ?‘Łđ?‘œđ?‘™đ?‘Ą

, ovvero in farad.

Nella pratica fisica si utilizzano i sottomultipli del farad, ovvero il microfarad, il nanofarad e il picofarad, 10−6 , 10−9 đ?‘’ 10−12 farad. C dipende dalla forma geometrica del conduttore su cui e’ collocata la carica Q. Per esempio se si ha un conduttore a simmetria sferica di raggio R, la carica si colloca tutta sulla superficie sferica, quindi e’ uniformemente distribuita su una superficie sferica di raggio R e l’andamento del campo E e’ dato dal seguente grafico.

78

Il campo E alla distanza R si puo’, al solito, ricavare con il teorema di Gau�,

avendosi che

đ?‘„ đ?œ–0

= E(R)4đ?œ‹đ?‘…

2

vale E(R)=

đ?‘„ đ?œ–0

4đ?œ‹đ?‘… 2

=

đ?‘„

1

4đ?œ‹đ?œ–0 đ?‘… 2

Dalla definizione di capacita’ elettrica e da una successiva sostituzione in formula si ha, molto semplicemente che C =

đ?‘„ ∆đ?‘‰

27.

đ?‘„

= đ??¸(đ?‘…)đ?‘… =

đ?‘„ đ?‘„ 1 đ?œ–0 4đ?œ‹đ?‘…2

đ?‘…

= 4đ?œ‹đ?œ€0 R

NOTA MATEMATICA – Il rotore

Il rotore di un vettore v e’ una grandezza vettoriale. Esso e’ ottenuto sviluppando il seguente determinante formale detto di Laplace. Ci si limita al caso delle coordinate cartesiane ortogonali.

rot v = ∇ ∧ v =

đ?‘–

đ?‘—

đ?œ•

đ?œ•

đ?œ•

đ?œ•đ?‘Ś

đ?œ•đ?‘§

( đ?œ•đ?‘Ľ đ?‘Łđ?‘Ľ

đ?‘Łđ?‘Ś

đ?‘˜ )

��

essendo v ≥ (�� , �� , �� ) Il determinante simbolico di Laplace e’ sviluppabile.

79

Nel caso di un campo vettoriale F = Pi + Qj + Rk lo sviluppo e’ il seguente

rot F = ∇ ∧ F =

đ?’Š

đ?’‹

đ?’Œ

đ???

đ???

đ???

(đ???đ?’™

đ???đ?’š

�

�

đ?œ•đ?‘…

đ?œ•đ?‘„

đ?œ•đ?‘ƒ

đ?œ•đ?‘…

đ?œ•đ?‘„

đ?œ•đ?‘ƒ

) = (đ?œ•đ?‘Ś − đ?œ•đ?‘§ )i +( đ?œ•đ?‘§ − đ?œ•đ?‘Ľ )j +(đ?œ•đ?‘Ľ − đ?œ•đ?‘Ś )k đ???đ?’› đ?‘š

27.1 Esempio di calcolo del rotore Sia dato un campo vettoriale F(x, y, z) = xyi +yzj + zxk In questo caso risulta che P(x,y,z) = xy Q(x,y,z) = yz R(x,y,z) = zx

Allora si avrebbe đ?’Š đ???

đ?’‹

đ?’Œ

rot F = ∇ ∧ F = (đ???đ?’™

đ???

đ???

đ???đ?’š

đ???đ?’›

�

�

đ?‘š

đ?œ•đ?‘…

đ?œ•đ?‘„

đ?œ•đ?‘ƒ

đ?œ•đ?‘…

đ?œ•đ?‘„

đ?œ•đ?‘ƒ

) = (đ?œ•đ?‘Ś − đ?œ•đ?‘§ )i +( đ?œ•đ?‘§ − đ?œ•đ?‘Ľ )j +(đ?œ•đ?‘Ľ − đ?œ•đ?‘Ś )k =

80

đ???đ?’›đ?’™

= ( đ???đ?’š −

đ???đ?’šđ?’›

đ???đ?’™đ?’š

)i +( đ???đ?’› − đ???đ?’›

đ???đ?’›đ?’™

đ???đ?’šđ?’›

)j +( đ???đ?’™ − đ???đ?’™

đ???đ?’™đ?’š đ???đ?’š

)k

= (0 – y)i + (0 – z)j + (0 -

x)k = - (y)i + zj + xk)

Se il campo F e’ conservativo risulta rot F = 0. Se rot F ≠0 allora il campo F e’ non conservativo.

Questa e’ una diretta conseguenza di quanto detto precedentemente, ovvero che in un campo conservativo risulta ∂R ∂y

∂P ∂z

∂Q ∂x

=

∂Q

=

∂R

∂z

∂x

∂P

= ∂y

28.

UN PROBLEMA INVERSO – Dal campo F al potenziale f

Uno dei miei testi di periodica consultazione ⌋StewartâŚŒ pone il problema inverso in alcuni esercizi, pure spiegati. In definita la questione apparentemente sembra semplice.

81

Dato un campo F conservativo nella forma F = Pi + Qj + Rk si ammette che, data la conservativita’ di F, esista una funzione scalare f per la quale ∇f = F

Da un punto di vista formale e’ possibile introdurre un operatore ∇−1 per il quale risulti ∇−1(∇f) =∇−1 F (∇−1 ∇)f =∇−1F f = ∇−1F

Il primo membro contiene f che e’ una grandezza scalare. Quindi pure il secondo membro deve essere una funzione scalare. In particolare la funzione vettoriale F puo’ essere intesa come un prodotto scalare ovvero, formalmente, F = Pi + Qj + Rk = (P, Q, R) (i,

j,

k),

ove

P,

Q

ed

R

sono

tre

funzioni

scalari

nelle

indeterminate x, y, e z.

82

Affinche’ vi sia eguaglianza dei due membri la grandezza ∇−1F deve essere uno scalare, e, coerentemente, la scrittura ∇−1F deve essere intesa come un prodotto scalare interno.

f = ∇−1F =

đ?› −đ?&#x;? ⌋ (P, Q, R)(i, j, k)âŚŒ = ⌋ (âˆŤ(. . )đ?‘‘đ?‘Ľ , âˆŤ(. . )đ?‘‘đ?‘Ś, âˆŤ(. . )đ?‘‘đ?‘§)(i’,

j’, k’)âŚŒ ⌋(P, Q, R)(i, j, k)âŚŒ = ⌋(âˆŤ(. . )đ?‘‘đ?‘Ľ , âˆŤ(. . )đ?‘‘đ?‘Ś, âˆŤ(. . )đ?‘‘đ?‘§) (P, Q, R)âŚŒâŚ‹ (i’, j’, k’) (i, j, k)âŚŒ

Affinche’ sia ⌋(i’, j’, k’)(i, j, k)âŚŒ = 1 deve risultare che l’angolo tra le direzioni corrispondenti delle direzioni delle due 1

basi sia θ = arccos(3). Ho definito questo operatore, indicato come ∇−1 = âˆŤ(. . )đ?‘‘đ?‘Ľ đ?’Šâ€˛ + âˆŤ(. . )đ?‘‘đ?‘Śđ?’‹â€˛ + âˆŤ(. . )đ?‘‘đ?‘§ đ?’Œâ€˛ Dato il campo vettoriale F = Pi + Qj + Rk ove risulta

P≥

Q≥

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ

f

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś

f

83

R≥

Mi

đ?œ• đ?œ•đ?‘§

f

sono

sostanzialmente

discostato

dal

metodo

utilizzato

per

determinare f, noto F, come rinvenuto ⌋StewartâŚŒ. f = ∇−1F =

đ?› −đ?&#x;? ⌋ (P, Q, R)(i, j, k)âŚŒ = ⌋ (âˆŤ(. . )đ?‘‘đ?‘Ľ , âˆŤ(. . )đ?‘‘đ?‘Ś, âˆŤ(. . )đ?‘‘đ?‘§)(i’,

j’, k’)âŚŒ ⌋(P, Q, R)(i, j, k)âŚŒ = ⌋(âˆŤ(. . )đ?‘‘đ?‘Ľ , âˆŤ(. . )đ?‘‘đ?‘Ś, âˆŤ(. . )đ?‘‘đ?‘§) (P, Q, R)âŚŒ

Si puo’ scrivere che f = ∇−1F =

đ?› −đ?&#x;? ⌋ (P, Q, R)(i, j, k)âŚŒ = ⌋ (âˆŤ(. . )đ?‘‘đ?‘Ľ , âˆŤ(. . )đ?‘‘đ?‘Ś, âˆŤ(. . )đ?‘‘đ?‘§)(i’,

j’, k’)âŚŒ ⌋(P, Q, R)(i, j, k)âŚŒ = ⌋(âˆŤ(. . )đ?‘‘đ?‘Ľ , âˆŤ(. . )đ?‘‘đ?‘Ś, âˆŤ(. . )đ?‘‘đ?‘§) (P, Q, R)âŚŒ

In pratica si ha f = đ?‘“đ?‘Ľâˆ’1 + đ?‘“đ?‘Śâˆ’1 + đ?‘“đ?‘§âˆ’1 + k. Le tre componenti sono intese come integrali indefiniti.

Ad esempio, si ha

đ?‘“đ?‘Ľâˆ’1 = âˆŤ đ?‘ƒ đ?‘‘đ?‘Ľ

Va osservato che se risulta đ?‘“đ?‘Ľâˆ’1 = đ?‘“đ?‘Ľâˆ’1 (x, y, z) allora si ha f ≥ đ?‘“đ?‘Ľâˆ’1 Se risulta đ?‘“đ?‘Ľâˆ’1 = đ?‘“đ?‘Ľâˆ’1 (x, y, z) allora il procedimento si arresta.

84

Affinche’ sia f =đ?‘“đ?‘Ľâˆ’1 + đ?‘“đ?‘Śâˆ’1 + đ?‘“đ?‘§âˆ’1 + k deve essere che le tre funzioni siano linearmente indipendenti. Nella elaborazione proposta per ragioni formali, dovendo f essere una funzione scalare, ho dovuto imporre che le basi ortonormali (i, j, k) e (i’, j’, k’) siano tali che (i, j, k)(i’, j’, k’) = 1.

Per quanto posto deve essere ii’ = jj’ = kk’ = cosđ?œƒ =

29.

1 3

UN ESERCIZIO‌

Repulsione tra cariche Due corpi inizialmente neutri sono collocati nel campo di gravita’ g. Sia L la lunghezza del filo inestensibile, come in figura.

85

Il caso piu’ semplice da trattare e’ quello che e’ rappresentato dalla figura sottostante.

86

Le due direzioni formano un angolo 2θ. Questo e’ il caso che le masse dei due corpi sono eguali (dal che sono eguali le due forze peso mg) e che la relazione tra le cariche dei due corpi sia del tipo đ?‘ž1 = đ?‘˜đ?‘ž1 con k > 0. Essa conserva validita’ anche nel caso k = 1. Con

considerazioni

di

similitudine

di

triangoli

e

per

la

definizione della funzione seno intesa come relazione tra elementi di un triangolo si ha che

sinđ?œƒ =

đ??šđ?‘’ đ?‘šđ?‘”

da cui

Fe = mgsinđ?œƒ

(in altri termini θ= arcsin

đ??šđ?‘’ đ?‘šđ?‘”

)

Si puo’ intendere Fe costante per la relazione ipotizzata tra le cariche, da considerarsi nota.

87

Data questa condizione Fe deve intendersi dipendente da m, e quindi va definita la relazione angolare in funzione di m (mantenendo l’ipotesi che le due masse siano eguali). Fe

dipende

dai

valori

delle

cariche

(e

decresce

in

ragione

dell’inverso del quadrato della distanza). Le due Fe giacciono sulla medesima retta. Si ammetta che il sistema sia in condizioni di equilibrio, quindi le due sfere siano a distanza costante d tra di loro. Nota la distanza d si ricava immediatamente Fe

Si ha tgđ?œƒ =

đ?‘Ľ đ??ż

=

đ??šđ?‘’ đ?‘…

essendo R la forza risultante in modulo.

Risulta che x = Ltgđ?œƒ da cui si ricava d = 2x =2Ltgđ?œƒ. La complicazione e’ che R(t) non e’ costante ma va considerata R quando la distanza tra i due corpi resta costante. Il caso piu’ generale e’ sicuramente quello per il quale đ?‘šđ??´ ≠đ?‘šđ??ľ . Anche in questo caso le due Fe giacciono sulla medesima retta e la differenza e’ fatta dalla forza peso, diversa in modulo per i due corpi per i quali si ha đ?‘šđ??´ ≠đ?‘šđ??ľ . 88

Il tutto puo’ essere espresso dalla seguente figura.

Le due risultanti hanno le direzioni delle rette contenenti i segmenti di lunghezza L. Poiche’ si ha l’eguaglianza dei moduli delle forze di repulsione allora si puo’ scrivere Fe = đ?‘šđ??´ gsinđ?œ—đ??´

= đ?‘šđ??ľ gsinđ?œ—đ??ľ

Pertanto si avrebbe la relazione

đ?‘šđ??´ đ?‘šđ??ľ

đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?œ—

= đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?œ—đ??ľ

đ??´

(questo nei due casi đ?‘žđ??´ = đ?‘ž1 , đ?‘žđ??ľ = đ?‘˜đ?‘ž1 e đ?‘žđ??´ = đ?‘˜đ?‘ž1 đ?‘žđ??ľ = đ?‘ž1 đ?‘˜ > 0). La distanza d di equilibrio e’ d = L(đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?œ—1 +đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?œ—2 ) 89

BIBLIOGRAFIA

 AA.VV., Physique tout-en-un, MP-MP*, Dunod, Paris, 2014  Capitani,

De

Sanctis,

Elementi

di

fisica,

La

Sapienza

editrice, Roma, 1999  Edminister, Elettromagnetismo, McGraw-Hill,1979  Focardi,

Massa,

Uguzzoni,

Fisica

generale,

II

edizione,

Ambrosiana, 2003  Stewart, Calcolo. Funzioni di piu’ variaibli, Apogeo, 2002

90

PROPRIETA’ LETTERARIA

Questo saggio non ha finalita’ commerciali o lucrative. Ne e’ autorizzata la divulgazione, anche totale, a condizione che essa non abbia finalita’ commerciali o lucrative purche’ essa avvenga con la citazione dell’autore e del soggetto diffusore dell’opera.

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