Materi Bilangan Berpangkat by Iwan Sumantri

5.1

Apa yang akan kamu pelajari ?  Menjelaskan Pangkat Positif pengertian bilangan berpangkat dengan Dalam pelajaran biologi atau fisika kadang-kadang pangkat positif, negatif dan nol dijumpai bilangan yang sangat besar. Contohnya bilangan  Mengubah pangkat Avogadro 6,02205 × 1023 atau massa bumi 3,98 × 1024 kg. positif menjadi negatif dan Demikian juga sering dijumpai bilangan yang sangat kecil sebaliknya.  Mengenal arti seperti konstanta gravitasi Newton 6,67 × 10-11 atau pangkat positif dan diameter sel darah merah 7,75 × 10-7 m. Bilangan-bilangan negatif  Mengenal bentuk yang sangat besar atau sangat kecil ini ditulis dalam akar notasi ilmiah atau notasi baku Kata Kunci a × 10n, dengan 1 ≤ a < 10 dan n bilangan bulat • Pangkat Positif • Pangkat Negatif Pada penulisan a × 10n , n disebut pangkat. • Pangkat Nol Karena n bilangan bulat maka n dapat berupa bilangan

postif, negatif atau nol.

Dari pelajaran sebelumnya kalian sudah memahami bahwa: 32 = 3 × 3 (-2)3 = (-2) × (-2) × (-2) 54 = 5 × 5 × 5 × 5 210 = 2 × 2 × ….. × 2 10 faktor a6 = a × a × ….. × a 6 faktor

Matematika SMP Kelas IX / 93

Secara umum bilangan berpangkat dapat dinyatakan sebagai perkalian berulang pada bilangan yang sama. Jika a sebarang bilangan dan n bilangan bulat positif maka an = a × a × ….. × a n faktor a disebut bilangan pokok atau basis n disebut pangkat atau eksponen Bagaimana jika n = 1? Disepakati a1 = a.

Contoh 1: Tentukan nilai dari 3

a. 12

b. 3,4

c. (-6)

Jawab: 3 a. 12 = 12 × 12 × 12 = 1728 5 b. 3,4 = 3,4 × 3,4 × 3,4 × 3,4 × 3,4 = 454.35424

c. (-6) 7 = -6 × -6 × -6 × -6 × -6 × -6 × -6 = -279936

Pangkat Negatif Di depan kalian dapat menyatakan konstanta gravitasi Newton 0,0000000000667 dalam notasi baku sebagai 6,67 ×

10 −11 .

Perhatikan 6,67 ×

Maka 10-11 =

10 −11

= 0,0000000000667 = 6,67 ×

1 100000000000

= 6,67 ×

1 10 11

Dapatkah kamu menyatakan diameter sel darah merah 0,000000775 m dalam bentuk pangkat? Secara umum, jika a sebarang bilangan tidak nol dan n bilangan bulat maka

94 / Buku Siswa – Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar

a −n =

1 an

Mengapa a ≠ 0?

Contoh 2: Tentukan nilai dari a. 2

-3

b. 1,2

-4

c. (-3)

-5

Jawab: 1

-3 2 = 3 = 2 × 2 × 2 = 8 = 0,125 2

1,2

-4

c. (-3)

= 1 ,2 4 = 1 ,2 × 1 ,2 × 1 ,2 × 1 ,2 = 2 ,0736 = 0.4823

-5

− 35

1 1 = − 3 × −3 × −3 × −3 × −3 − 243

= -0.0041

Pangkat Nol Perhatikan bentuk pangkat berikut 23 = 8 22 = 4 21 = 2 Berapakah 20 ? Pada ruas kiri dari atas ke bawah, pangkatnya berkurang satu. Pada ruas kanan dari atas ke bawah selalu dibagi 2. Dengan demikian 20 = 1. Berapakah 30? 50? a0?

Ingat Semua bilangan kecuali nol jika dipangkatkan nol hasilnya 1.

Matematika SMP Kelas IX / 95

Bentuk Akar Aulia mempunyai sehelai saputangan yang berbentuk persegi dengan luas 900 cm persegi. Supaya indah, Aulia akan menambahkan renda di salah satu sisinya. akan Berapa panjang renda yang diperlukan Aulia?

Apa yang kamu pelajari ?

 Mengenali arti bilangan pecahan berpangkat dan menemukan hasilnya.  Mengubah bentuk akar suatu bilangan bulat menjadi bilangan berpangkat pecahan dan sebaliknya

Kata KunciMisal panjang sisi saputangan adalah n cm maka Aulia harus menentukan • •

Akar

n × n = 900.

Dalam hal ini n = 30 karena 30 × 30 = 900 atau 302 = 90.

Menentukan n = 30 berarti melakukan penarikan akar dari 900 dan ditulis sebagai Pangkat Pecahan Bentuk 900 dibaca ” akar kuadrat dari 900 ”.

900 = 30.

5 ? Kita tidak dapat menentukan suatu bilangan rasional n sedemikian hingga n2 = 5. Selanjutnya ” akar kuadrat

Berapakah nilai dari

5 dan

dari 5 ” tetap ditulis dalam bentuk akar

5 merupakan bilangan irrasional.

4 , 7 , 121 , 200 , merupakan bilangan irrasional? Mengapa ? Jika 2 × 2 × 2 = 23 = 8 maka dapat ditulis 3 8 = 2.

Apakah

Jika -3 × -3 × -3 × -3 × -3 = -243 maka 5 − 243 = −3 Tetapi walaupun -5 × -5 = 25 nilai dari positif. Secara umum,

25 = 5. Untuk akar pangkat genap hanya digunakan nilai yang

Jika n bilangan genap dan a suatu bilangan positif maka an = b berarti n b = a Jika n bilangan ganjil maka an = b berarti n b = a

Menyederhanakan Bentuk Akar Jika a, b bilangan positif maka

ab =

a ×b =

Contoh 3: Sederhanakan bentuk akar berikut: 8 a. b. 500 96 / Buku Siswa – Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar

a× b

Jawab: a. 8 = 4 × 2 = 4 × 2 = 2 × 2 = 2 2 b. 500 = 100 × 5 = 100 × 5 = 10 × 5

= 10 5

1. Nyatakan dalam bentuk bilangan berpangkat a. 7 × 7 × 7 × 7 × 7

c. 3,4 × 3,4 × 3,4 × 3,4

b. 8 × 32

d. n × n × n × n × n × n

2. Tentukan nilai dari a.

2 4 b.   3

d.  − 3 

−53



5

3. Carilah bilangan yang terbesar yang merupakan bentuk perpangkatan dari bilangan 3 dan -4. 4. Ubahlah dalam pangkat negatif a.

1 32

1 a5

2 p3

5 x4

5. Ubahlah dalam pangkat positif a.

2 −4

a−3

2 p −5

d. ( 3x ) −6

3 125

50a 4

6. Tentukan nilai dari a.

144

256

3 − 343

7. Sederhanakan a.

128

8. Ambil seutas benang atau tali, kemudian potong menjadi tiga bagian. Satukan ketiga bagian tersebut kemudian potong lagi menjadi tiga bagian. Berapa potong benang/tali yang akan diperoleh? Perkirakan berapa potong benang/tali yang akan diperoleh jika dilakukan pemotongan sebanyak 5 kali.

Matematika SMP Kelas IX / 97

9. Sebuah bank menerapkan sistem bunga majemuk atau berganda, dimana bunga yang diterima dibungakan lagi. Misal bank tersebut menerapkan bunga majemuk 1% per bulan. Jika Aulia menabung Rp 100.000,00 maka 1 bulan kemudian tabungan Aulia menjadi: 100000 + (100000 × 1%) = 100000 + (100000 × 0,01) = 100000 × ( 1 + 0,01) = 100000 × 1,01 Dua bulan kemudian tabungan Aulia menjadi (100000 × 1,01) + ((100000 × 1,01) × 1%) = (100000 × 1,01) + ((100000 × 1,01) × 0,01) = (100000 × 1,01) × ( 1 + 0,01) = 100000 × 1,01 × 1,01 = 100000 × 1,012 Tiga bulan kemudian tabungan Aulia menjadi (100000 × 1,01 × 1,01 ) + ((100000 × 1,01 × 1,01) × 1%) = (100000 × 1,01 × 1,01) + ((100000 × 1,01 × 1,01) × 0,01) = (100000 × 1,01 × 1,01) × (1 + 0,01) = 100000 × 1,01 × 1,01 × 1,01 = 100000 × 1,013 Nyatakan besar tabungan Aulia dalam bentuk pangkat selama satu tahun. 10. Penampang melintang sebuah batang tumbuhan dikotil di musim hujan mempunyai ukuran tertentu. Pada musim kemarau mengkerut sejauh x seperti pada gambar. Hitunglah prosentase penyusutan luas penampang batang tumbuhan dikotil tersebut.

5.2

98 / Buku Siswa – Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar

√x √x

•

√x

Apa yang akan kamu pelajari Operasi ? pada Bilangan Berpangkat  Menyelesaikan operasi kali, bagi, tambah, kurang, dan pangkat pada bilangan berpangkat  Menyelesaikan operasi yang melibatkan bentuk akar  Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan bilangan berpangkat dan bentuk akar

Setelah mengenal bilangan berpangkat dan bentuk akar, berikut ini kalian akan mempelajari operasi yang berlaku pada bilangan berpangkat dan bentuk akar serta bagaimana menggunakannya untuk menyelesaikan masalah.

Kata Kunci

• Merasionalkan

Masalah 1

1. Lengkapilah 52 × 53 = (5 × 5) × (5 × 5 × 5) = 5 × 5 × ... × ... × ... = 5... 2. Dengan menggunakan arti bilangan berpangkat sederhanakan a. 34 × 33 b. (-2)3 × (-2)4 c. b2 × b5 d. 3-2 × 3-3 e. (-5)-4 × (-5)-2 f. a-3 × a-6 3. Jika a sebarang bilangan dan m, n bilangan bulat, apakah bentuk sederhana dari am × an ?

Masalah 2 1. Lengkapilah 25 2 ×2 ×2 ×2 ×2 = 2 ... × ... 2

= ... × ... × ... = 2... 2. Dengan menggunakan arti bilangan berpangkat, sederhanakan: Matematika SMP Kelas IX / 99

35 32

( − 2)6 ( − 2) 3

c2 c5

( −2 )−6 ( −2 )−4

x −4 x −3

a −5 a −6

3. Jika a sebarang bilangan tidak nol dan m, n bilangan bulat, apakah bentuk sederhana dari

am an

Masalah 3 1. Lengkapilah (32)3 = 32 × 32 × 32 = (3 × 3) × (... × ...) × (... × ...) = 3... 2. Dengan menggunakan arti bilangan berpangkat, sederhanakan:

a. (23)4 2 4

c. (c )

b. ((-3)2)5 2  1 3    d.     3  

e. (c-5)2 f. (a-3)-1 Jika a sebarang bilangan dan m, n bilangan bulat, apakah bentuk sederhana dari (am)n

Masalah 4 1. Lengkapilah (a × b)3 = (a × b) × (a × b) × (a × b) = (a × a × a) × (… × ... × ...) = a... × b... 2. Dengan menggunakan arti bilangan berpangkat, sederhanakan: a. (-2 × 3)5 b. (3 × 5)2 c. (p × q)4 d. (x × y)5(3 × 2)-3 e. (a × b)-2 f. (x × y)-5 3. Jika a dan b sebarang bilangan, n bilangan bulat , apakah bentuk sederhana dari: (a × b)n ?

Masalah 5 1. Lengkapilah 4 2 2 2 2 2    = × × × 3 3 3 3 3

100 / Buku Siswa – Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar

2 × 2 ×... ×... 3 × 3 ×... ×...

2... 3...

2. Dengan menggunakan arti bilangan berpangkat sederhanakan: − 2 3 a.  

3 5 b.   −4

 5  7 4 c.   2 2 −3 e.   3

3 p    , q   

−2 p    , q   

q≠0 q≠0

3. Jika a dan b sebarang bilangan, b ≠ 0, dan m bilangan bulat positif apakah bentuk a m sederhana   ? b 

Rangkuman Jika m dan n bilangan bulat, dan a, b sebarang bilangan maka berlaku sifat-sifat berikut. 1. am × an = am+n 2.

(am )n = amn

am = a m −n , n a

4. ( a ×b ) n

a≠0

= an × b n

a m am 5.   = m , b ≠ 0 b

Menggunakan Kalkulator Untuk menghitung nilai bilangan berpangkat dapat digunakan xy kalkulator. Kalkulator jenis scientific biasanya memuat tombol untuk menentukan nilai x y atau tombol

untuk menentukan akar pangkat dua.

Matematika SMP Kelas IX / 101

Contoh 1: Hitunglah 3,456 Jawab: Tekan tombol

akan menghasilkan nilai1686.221298140625 Contoh 2: Hitunglah 789 Jawab: Tekan tombol

akan menghasilkan nilai28.089143810376278537410115784912 Contoh 3: Hitunglah 5 456 Jawab: 5

456 = 456 5 = 456 0 ,2

Tekan tombol

akan menghasilkan nilai3.4024595321284907652092505444728

Menggunakan Komputer Beberapa software komputer dapat digunakan untuk menghitung nilai bilangan berpangkat, diantaranya Microsoft Excel. Contoh 4: Hitunglah 5,67-8 Jawab: Pada salah satu sel ketiklah: =5.67^-8 atau =POWER(5.67,-8)

Hasil 9.36129E-07 berarti 9,36129 Ă&#x2014;10 â&#x2C6;&#x2019;7

= 0,000000736129

102 / Buku Siswa â&#x20AC;&#x201C; Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar

Contoh 5: Hitunglah

789

Jawab: Pada salah satu sel ketiklah: =SQRT(789)

Contoh 6: Hitunglah 5 456 Jawab: 5 456 =

1 5

456 =

456 0 ,2

Pada salah satu sel ketiklah: =POWER(456,1/5)

1. Tentukan nilai dari a.

82 × 84

b. (-3)2 × (-3)4

48 46

( − 3) 5 f. ( − 3) 3

2  5 

c.  

d. (3 × 105) × (5 × 106) 6

3 5

g. (5 )

 1 2   −    3    

2. Jika a, b, dan c sebarang bilangan dan tidak nol, sederhanakan a.

(2a3)4

b. (4a5b2)2 × (2a3b-5)5

c. (-8(2c)-3)4

a 3b 4 c 5 a 5b 2 c 4

Matematika SMP Kelas IX / 103

3. Carilah bilangan yang terbesar yang merupakan hasil operasi perpangkatan dari bilangan 2, 3, dan 4. 4. Ubah bentuk-bentuk di bawah ini dalam pangkat negatif a. c.

2 34

1 1 × 4 3 35

5 a4

1 1 × 7 a a4

2 a 2 e.     b 

1 3a5

5. Ubahlah bentuk-bentuk di bawah ini dalam pangkat positif. a. 3-2 × 3-5

b. 33 × 3-4

c. (-2)-2 × (-2)-4

d. (-3)3 × (-3)-5

( − 4 ) −5

( −4 )−6

( −4 )−3 ( −4 )5

6. Penalaran. Apakah an × bm = (ab)n+m ? Jika ya beri alasan. Jika tidak beri contoh. 7. Hitunglah jika a ≠ 0 a. (5 a2)0 b. (22 × a0)4 8. Produksi baju suatu perusahaan garmen mengikuti fungsi

(3−1 t 2 )−3 , dengan t bilangan bulat positif yang

menya-takan waktu berjalan dalam tahun. Keuntungan perusa-haan dinyatakan oleh p dari persamaan p = b × al-irsyad0.tripod.com (10-3 × 22)-3. Berapakah keuntungan perusahaan selama 3 tahun? (Gunakan kalkulator atau komputer bila perlu)

9. Bank A menerapkan bunga majemuk 1% per bulan. Bank B menerapkan bunga majemuk 12,5% per tahun. Jika Aulia ingin menabungkan uang Rp 100.000,00 selama 3 tahun, bank manakah yang menghasilkan tabungan lebih banyak? (Gunakan kalkulator atau komputer bila perlu)

104 / Buku Siswa – Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar

10. Salah satu tolok ukur tingkat kemakmuran suatu negara diukur dari besarnya Gross National Product (GNP). Kenaikan GNP suatu negara setelah n tahun (Tn) dihitung dengan rumus Tn = GNP × tn, dimana t adalah rata-rata pertumbuhan GNP. Pada tahun 1986, GNP di www.i-mrt.jp Jepang 1.204 trilyun dolar, dengan rata-rata pertumbuhan GNP 4.85 % per tahun. Jika diasumsikan rata-rata pertumbuhan GNP Jepang tidak berubah, tentukan kenaikan GNP Jepng pada tahun 1990 dibandingkan tahun 1986. (Gunakan kalkulator atau komputer bila perlu)

Pangkat Pecahan Bentuk sebagai

2 × 2 = 2 dapat dinyatakan dalam bentuk bilangan berpangkat 2 x × 2 x = 21 .

Ini berarti x + x = 1, atau

Dengan demikian dapat dinyatakan

2 = 22

x =1 2

Bentuk 3 2 dibaca ”akar pangkat 3 dari 2” yang berarti 3 2 × 3 2 × 3 2 = ( 3 2 )3 = 2. Dalam bentuk bilangan berpangkat dapat dinyatakan 2y × 2y × 2y = (2y)3 = 2 sehingga y =

1 3

1 . Dengan demikian 3 2 = 2 3 .

Masalah 6 Tulislah dalam bentuk akar 1

a. 4 3 1

b. 3 5 1

c. 5 3 1

Nyatakan a n dalam bentuk akar. Selidikilah syarat-syarat untuk a dan n. Apakah syarat a untuk n genap? Masalah 7 Di depan sudah dipahami makna dari

an =n a , a ≥0 ,

a bilangan positif,

> 1 untuk n genap dan a bilangan sebarang untuk n ganjil.

Matematika SMP Kelas IX / 105

Sekarang apakah makna dari a n , dengan m, n bilangan bulat lebih dari 1? Berikut 2 cara untuk menunjukkan hubungan akar dan pangkat pecahan. Cara 1 Cara 2 2 2  1   7 3 =7 3      2 3 = 7

2 1 7 3 = 72 3

( )

3 2 =  7   

( )

Ubahlah

m an

dalam bentuk akar!

106 / Buku Siswa – Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar

Operasi pada Bentuk Akar Masalah 8 Kalian telah memahami bahwa

( )

m n n m , ab =n a . n b a =n a

dan

(am )n = a

Gunakan ketiga hal di atas untuk menghitung: 1.

( 3 )2

3 3 4 2     

2 2 4 3 3     

6 33 a 2     

6 2 4 x 2     

k n a m     

, jika a > 0, m, n bilangan bulat positif

Masalah 9 Sederhanakan dengan menggunakan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan. 1. a c + b c Ingat 2. a c −b c Sifat distributif perkalian 3. 4 2 + 3 2 terhadap penjumlahan a(b + c) = ab + ac 4. 2 3 + 5 3 + 3 3 (a + b)c = ac + bc 5. 2 5 − 3 5 + 7 5 6 + 54 + 250 6. 7. 4 3 − ( 3 3 − 2 3 )

Matematika SMP Kelas IX / 107

Masalah 10 Di atas kalian sudah mempelajari ab sebagai perkalian bentuk akar a × b

a× b.

ab .

Bentuk ini dapat juga ditulis

Hitunglah: a. 2 × 3 b. 12 × 3 c. 3 9 × 3 81 d. 5 2 3 .5 3 4 e.

a. b

,a>0,b>0

f. n a .n b , a > 0, b > 0, n bilangan bulat positif g. n am .n b k , a > 0 , b > 0, m, n bilangan bulat positif

Merasionalkan Penyebut Bentuk Akar Kalian sudah memahami bahwa √2, √3, √5, √7 adalah bilangan irrasional. Demikian juga

1 1 1 1 , , , merupakan bilangan irrasional. Penyebut dari 2 3 5 7

pecahan-pecahan tersebut dapat diubah menjadi bilangan rasional, dan pengubahan ini disebut merasionalkan bentuk akar. Contoh 1: Rasionalkan bentuk 1 2 3 b. 2 3

Jawab: a.

1 1 2 = × (pembilang dan penyebut dikalikan √2) 2 2 2

2 4 2 1 = atau 2 2

Ingat

108 / Buku Siswa – Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar

(a + b)(a - b) = a2 – b2

3 2 3

3 (pembilang dan penyebut dikalikan √3) 3

3 3 2 9 3 3 1 = = 2 ×3 2

1. Hitunglah 1 256 4

a. e.

1 7 4 7 ×7 4

b.  3  5 4  

1 15 2

4     

3 16 4 1 16 4

5 64 6

d. 1  −  8 2  

2 27 3 −

2 −  3    

2. Nyatakan dalam bentuk pangkat

a6b 3

4 8x 2 y 8

125 a 2 b 3

5 32 x 5 y 8

3. Nyatakan dalam bentuk akar 2

a. x 3 4. Mengapa

b. ( 7a ) 8 b 8 np

c. 4 3 a 3 y 3

d. a 6 b 6 c 6

tidak terdefinisi jika n genap dan p < 0?

5. Tulis bentuk lain yang ekuivalen dengan 3 46

6. Sederhanakan a.

5√3 + 4√3 + 6√2 - 3√2

√6 + √54 - √200

2 2 a 3 + 32 a 3 − a 18 a

(3 + √2)(3 - √2)

(√a - √b)(√a + √b)

a 3b 2

a 4b 5

7. Arsitektur. Seorang arsitek akan membuat dinding dengan mengambil ide dari gelembung sabun jika luas

Matematika SMP Kelas IX / 109

Brasouw.tripod.com

permukaan gelembung sabun a maka volumenya v diberikan oleh persamaan v = 0 ,94 a3 . Tentukan luas permukaan gelembung jika volumenya 7,5 cm3. (Gunakan kalkulator atau komputer bila perlu) 8.

Periode orbit dari satelit yang mengelilingi bumi adalah 90 menit, jari-jari bumi adalah 6400 km. gmt 2 4π 2

Diberikan rumus r =

, disini r menyatakan

jarak dalam meter dari pusat bumi ke satelit, g = 6,67 x 10-11, t menyatakan waktu dalam detik, m menyatakan massa bumi yaitu 5,98 x 1024 kg. www.censolar.es Tentukan jarak bumi dengan satelit. (Gunakan kalkulator atau komputer bila perlu) 9. Rasionalkan bentuk akar berikut a.

2 8

18 6

c. 4 b

10. Dalam pelajaran fisika terdapat persamaan

6 3 5

1 −  1 1  3   3 + 3  b  a

3 2 8

. Ubahlah persamaan

tersebut dalam bentuk paling sederhana tanpa pangkat negatif.

110 / Buku Siswa – Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar