1
Γεώργιος Κ. Σιάρδος ΟΜΟΤΙΜΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ
[2]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
Ο Γεώργιος Σιάρδος είναι Ομότιμος Καθηγητής του Α.Π.Θ. Είναι πτυχιούχος της Γεωπονικής Σχολής, του Τομέα Αγροτικής Οικονομίας, πτυχιούχος της Σχολής Οικονομικών Επιστημών, κάτοχος M.Sc. Αγροτικής Οικονομίας του Πανεπιστημίου του Λονδίνου και διδάκτορας της Γεωπονικής με αντικείμενο την Επικοινωνία και Πληροφόρηση του Αγροτικού Πληθυσμού. Είναι μέλος επιστημονικών συλλόγων και οργανώσεων του Εσωτερικού και Εξωτερικού και έχει τιμηθεί με σειρά υποτροφιών για σπουδές και επιστημονική συνεργασία σε χώρες της Ευρώπης και την Αμερική, έχει δε συμμετάσχει σε μεγάλο αριθμό σεμιναρίων, συνεδρίων, δημόσιων διαλέξεων, δημόσιων συζητήσεων και σε ερευνητικά προγράμματα που χρηματοδοτήθηκαν από δημόσιους και ιδιωτικούς φορείς της χώρας μας και του εξωτερικού. Είναι συγγραφέας περισσότερων από 100 επιστημονικών άρθρων δημοσιευμένων σε ελληνικά και διεθνή περιοδικά και σε Πρακτικά επιστημονικών συνεδρίων και, σε συνεργασία με άλλους επιστήμονες, αυτοτελών ερευνητικών εργασιών. Ακόμη, είναι συγγραφέας των, με επανεκδόσεις, βιβλίων, όπως: «Γεωργικές Εφαρμογές: Το Συμβουλευτικό Έργο των Φορέων Γεωργικής Ανάπτυξης» 1996, «Μεθοδολογία Κοινωνιολογικής Έρευνας» 1997, «Μέθοδοι Πολυμεταβλητής Στατιστικής Ανάλυσης: Με την Επίλυση Ασκήσεων μέσω του στατιστικού Προγράμματος SPSS, Μέρος Πρώτο» 1999, «Μέθοδοι Πολυμεταβλητής Στατιστικής Ανάλυσης: Με την Επίλυση Ασκήσεων μέσω του στατιστικού Προγράμματος SPSS, Μέρος Δεύτερο» 2000, «Αειφορική Γεωργία και Ανάπτυξη» 2011 και «Μαθηματική Οικονομική Ανάλυση» 2011.
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[3]
ΓΕΩΡΓΙΟΣ Κ. ΣΙΑΡΔΟΣ ΟΜΟΤΙΜΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 2η ΕΚΔΟΣΗ ΒΕΛΤΙΩΜΕΝΗ & ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΕΝΗ
[4]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
Γεώργιος Κ. Σιάρδος, Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης ISBN: 978-618-5147-11-2 Ιανουάριος 2015
Σχεδιασμός εξωφύλλου, σελιδοποίηση: Ηρακλής Λαμπαδαρίου www.lampadariou.eu
Ο συγγραφέας φέρει την ευθύνη για την επιμέλεια του κειμένου. Σειρά: Οικονομικές προσεγγίσεις Επιστημονικός υπεύθυνος σειράς: Γεώργιος Κ. Σιάρδος, siardos@auth.gr
Εκδόσεις Σαΐτα Αθανασίου Διάκου 42, 652 01, Καβάλα Τ.: 2510 831856 Κ.: 6977 070729 e-mail: info@saitapublications.gr website: www.saitapublications.gr
Άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική χρήση Όχι Παράγωγα έργα 3.0 Ελλάδα Επιτρέπεται σε οποιονδήποτε αναγνώστη η αναπαραγωγή του έργου (ολική, μερική ή περιληπτική, με οποιονδήποτε τρόπο, μηχανικό, ηλεκτρονικό, φωτοτυπικό, ηχογράφησης ή άλλο), η διανομή και η παρουσίαση στο κοινό υπό τις ακόλουθες προϋποθέσεις: αναφορά της πηγής προέλευσης, μη εμπορική χρήση του έργου. Επίσης, δεν μπορείτε να αλλοιώσετε, να τροποποιήσετε ή να δημιουργήσετε πάνω στο έργο αυτό. Αναλυτικές πληροφορίες για τη συγκεκριμένη άδεια cc, μπορείτε να διαβάσετε στην ηλεκτρονική διεύθυνση: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/gr/
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[5]
[6]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[7]
Στη μνήμη του λατρευτού μου Κωνσταντίνου
[8]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[9]
Πρόλογος 2ης Έκδοσης Στο παρόν σύγγραμμα περιέχονται οι λύσεις των 250 ασκήσεων, των οποίων οι εκφωνήσεις δίνονται στο τέλος του καθενός από τα εννέα κεφάλαια του προηγηθέντος σε έκδοση βιβλίου με τον τίτλο «Μαθηματική Οικονομική Ανάλυση». Η αρίθμηση των ασκήσεων στο παρόν σύγγραμμα είναι η ίδια με αυτή που ακολουθείται στο προαναφερόμενο πόνημα και με σειρά αντίστοιχη της θεωρίας που αυτό περιλαμβάνει. Η παρούσα δεύτερη έκδοση του βιβλίου χαρακτηρίζεται αφενός από τις επιγενόμενες βελτιώσεις, διορθώσεις και προσθήκες που ήταν αναγκαίες για την πληρέστερη έκδοση και αρτιότητα του πονήματος. Με τη βελτίωση και ανανέωση της πρώτης έκδοσης και με κατασταλαγμένη, ύστερα από πολλά χρόνια, την ακαδημαϊκή γνώση και δοκιμασμένη τη διδακτική εμπειρία μου, πιστεύω ότι παρέχω στον προπτυχιακό και μεταπτυχιακό φοιτητή, αλλά και στον οικονομικό επιστήμονα, ένα έργο σχεδόν ολοκληρωμένο σε περιεχόμενο, σημαντικά χρήσιμο για τις επιστημονικές απαιτήσεις τους. Τα περιεχόμενα του παρόντος βιβλίου ασκήσεων καλύπτονται σε εννέα κεφάλαια, αντίστοιχα ως προς τη διάταξη και θεματική σειρά με εκείνα που περιλαμβάνονται στην ύλη του θεωρητικού πονήματος. Συγκεκριμένα: Στο πρώτο κεφάλαιο, με τίτλο «Μονομεταβλητές Συναρτήσεις», περιέχονται 37 ασκήσεις που αφορούν απλές μαθηματικές συναρτήσεις μιας μόνον ανεξάρτητης μεταβλητής, συναρτήσεις οικονομικής φύσης, όπως ζήτησης και προσφοράς αγαθού, παραγωγής, κόστους, εσόδων, χρησιμότητας, κ.λπ. και στατικά συστήματα οικονομικών εξισώσεων. Στο δεύτερο κεφάλαιο, με τίτλο «Παραγώγιση» περιέχονται 66 ασκήσεις που αφορούν την τεχνική της παραγώγισης μαθηματικών μονομεταβλητών συναρτήσεων και την εφαρμογή των παραγώγων στην οικονομική επιστήμη (ελαστικότητες, οριακά μεγέθη, μεγιστοποίηση - ελαχιστοποίηση οικονομικών μεγεθών). Στο τρίτο κεφάλαιο, με τίτλο «Πολυμεταβλητές Συναρτήσεις» περιέχονται 14 ασκήσεις που αφορούν συναρτήσεις με περισσότερες της μιας ανεξάρτητες μεταβλητές, γραμμικής, τετραγωνικής και λογαριθμικής (Cobb-Duglas) μορφής, καθώς και έννοιες οικονομικές όπως φθίνουσες αποδόσεις, αποδόσεις κλίμακας, φθίνουσα χρησιμότητα, κ.ά. Το τέταρτο κεφάλαιο, με τίτλο «Μερική Παραγώγιση», περιέχει 45 ασκήσεις που αναφέρονται στην τεχνική της μερικής παραγώγισης και στην εφαρμογή των μερικών παραγώγων ως προς τις έννοιες των μερικών ελαστικοτήτων και των οριακών μεγεθών σε συναρτήσεις πολυμεταβλητής μορφής, στις ομογενείς συναρτήσεις και το θεώρημα του Euler και στη μεγιστοποίηση - ελαχιστοποίηση
[10]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
οικονομικών μεγεθών με τη χρησιμοποίηση των πολλαπλασιαστών του Lagrange υπό συνθήκες δέσμευσης. Στο πέμπτο κεφάλαιο, με τίτλο «Διαφόριση», περιέχονται 19 ασκήσεις που αφορούν την τεχνική της διαφόρισης και την εφαρμογή της στις έννοιες των οριακών μεγεθών στην οικονομία, στην εξήγηση της σχέσης εξωγενούς και ενδογενούς μεταβλητής υποδείγματος και στη μεγιστοποίηση - ελαχιστοποίηση οικονομικών μεγεθών. Το έκτο κεφάλαιο, η «Ολοκλήρωση», περιέχει 18 ασκήσεις που αφορούν την τεχνική της αόριστης και ορισμένης ολοκλήρωσης και την εφαρμογή της δεύτερης στην οικονομία. Το έβδομο κεφάλαιο, με τίτλο «Άλγεβρα Μητρών», καλύπτει ζητήματα γραμμικής άλγεβρας που περιλαμβάνονται σε 28 ασκήσεις σχετικές με την επίλυση μικροοικονομικών παραδειγμάτων. Το όγδοο κεφάλαιο, με τίτλο «Εξισώσεις Διαφορών», περιέχει 14 ασκήσεις που αφορούν μαθηματικές ομογενείς και μη ομογενείς εξισώσεις γραμμικής μορφής και οικονομικής μορφής εξισώσεις δυναμικών υποδειγμάτων. Τέλος, το ένατο κεφάλαιο, με τίτλο «Γραμμικός Προγραμματισμός» περιέχει 9 ασκήσεις σχετικές με την επίλυση προβλημάτων αριστοποίησης (μεγιστοποίησης – ελαχιστοποίησης) συναρτήσεων υπό συνθήκες δέσμευσης (γραμμικές συναρτήσεις) και παρέχονται, μέσω της δυικής λύσης, πληροφορίες ως προς τη βέλτιστη λύση πρωτεύοντος προβλήματος. Η ενασχόληση του αναγνώστη με τη λύση και κατανόηση των ασκήσεων στο μεγαλύτερο δυνατό βαθμό προϋποθέτει βασικές μαθηματικές και οικονομικές γνώσεις, γι’ αυτό και συνιστάται, για διευκόλυνση, η παράλληλη χρησιμοποίηση του συγγράμματος «Μαθηματική Οικονομική Ανάλυση», που θα απαντήσει σε ερωτήματα που θα ανακύψουν. Στο παρόν πόνημα οι περισσότερες από τις λύσεις των ασκήσεων συνοδεύονται από διαγράμματα τα οποία βοηθούν στην πληρέστερη κατανόηση της προτεινόμενης λύσης. Τα αλγεβρικά σύμβολα καθώς και τα σύμβολα που αφορούν οικονομικές έννοιες και μεγέθη επεξηγούνται στο τέλος του βιβλίου των ασκήσεων και ταυτίζονται με τους συμβολισμούς που χρησιμοποιήθηκαν στο σύγγραμμα που προαναφέρθηκε. Τέλος, παρατίθεται, ενδεικτικά, σημαντικός αριθμός βιβλιογραφικών αναφορών και ιδιαίτερα ξενόγλωσσης βιβλιογραφίας, που έχουν χρησιμοποιηθεί κατά τη συγγραφή του παρόντος πονήματος. Η εμφάνιση ατελειών σε ένα βιβλίο ασκήσεων είναι αναπόφευκτη, γι’ αυτό και επικαλούμαι την επιείκεια του αναγνώστη και τον παρακαλώ για επικοινωνία μαζί μου. Η διατύπωση από μέρους του επικρίσεων, σχολίων, επισήμανσης σφαλμάτων, ατελώς κατασκευασμένων σχημάτων, ασαφών διατυπώσεων και κάθε παρέμβασης
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[11]
για βελτίωση θα μου ήταν χρήσιμα και θα βοηθούσαν στην άρση των αδυναμιών του παρόντος έργου κατά την επόμενη έκδοση. Επιθυμώ να εκφράσω τις ευχαριστίες μου σε όλους όσοι συνετέλεσαν με οποιονδήποτε τρόπο στην αρτιότερη έκδοση του παρόντος, με ιδιαίτερη αναφορά στις Εκδόσεις Σαΐτα. Εξυπακούεται ότι για σφάλματα, παραλείψεις και ατέλειες μόνος υπεύθυνος είναι ο συγγραφέας.
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[12]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[13]
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ
ΜΟΝΟΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ..............................................................................15
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΕΥΤΕΡΟ
ΠΑΡΑΓΩΓΙΣH.....................................................................................................................41
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΤΟ
ΠΟΛΥΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ............................................................................. 107
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΕΤΑΡΤΟ
ΜΕΡΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ................................................................................................... 123
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΕΜΠΤΟ
ΔΙΑΦΟΡΙΣΗ...................................................................................................................... 171
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΚΤΟ
ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ................................................................................................................. 193
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΒΔΟΜΟ
ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ........................................................................................................ 207
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΓΔΟΟ
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ................................................................................................... 249
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΝΑΤΟ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ............................................................................. 275
ΕΠΕΞΗΓΗΣΗ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΩΝ................................................................................ 307 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ............................................................................................................. 311
[14]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[15]
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ ΜΟΝΟΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1. Να γραφούν ως σαφείς συναρτήσεις ως προς x και ως προς y οι ακόλουθες ασαφείς συναρτήσεις: 2y α) 3x-8y=0, β) x2-6y+4=0, γ) 3x-2y3=10, δ) x2-y2+3=0, ε) x 3 10 , στ) 5x+2xy-3y=0 5 Λύση 3 8y α) 3x-8y=0 8y=3x y= x και x= 8 3 2 x 4 β) x 2 -6y+4=0 6y=x 2 +4 y και 6 x 2 =6y-4 x= 6 y 4 γ) 3x-2y 3 =10 2y 3 =3x-10 y 3 =
x=
3 x 10 3x 10 και 3x= 10+2y 3 y= 3 2 2
10 2 y 3 3
δ) x 2 -y 2 +3 = 0 y 2 = x 2 +3 y= x 2 3 και x 2 = y 2 -3 x = 2y ) x3 10 5 x 3 2 y 50 2 y 5 x 3 50 5 5( x 3 10) 50 2 y 50 2 y y x 3 x3 . 2 5 5 στ) 5x+2xy-3y = 0 5x+y(2x-3) = 0 y(3-2x) = 5x 5x 3 y= (όπου x ) και x(5+2y)-3y =0 3 2x 2 3y 5 (όπου y ). x(5+2y)=3y x= 5 2y 2 2. Να γραφούν ως ασαφείς οι ακόλουθες σαφείς συναρτήσεις: 100 α) y=3x-1, β) y x 2 2 x , γ) y , δ) y x 2 5 x 8 , x 1 ε) y x 3 4 , στ) y x 2 5. x Λύση α) y-3x+1=0, β) x2+2x-y=0, γ) xy=100, δ) x2-5x+8-y=0, ε) y-x3=4, στ) x3-5x-xy= -1. 3. Να εκφραστεί η y ως σαφής συνάρτηση της z, όταν:
y2 3
[16]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
α) y=x2+3x-2, όπου x=1+z , β) y=1-x2 , όπου x= γ) y=
z 1 και 2z 1
1 x2 , όπου x=z(z-1). 1 x2
Λύση α) y=x2+3x-2 y=(1+z)2+3(1+z) -2 y=1+z2+2z+3+3z-2 και y=z2+5z+2 z 1 2 z2 2z 1 β) y=1-x2 y=1- ( και ) y 1 2 2z 1 4z 4z 1 y=
3z 2 6 z 4 z2 4z 1
γ) y=
1 z 2 ( z 1) 2 1 x2 1 z 4 2z3 z 2 y y 1 x2 1 z 2 ( z 1) 2 1 z 4 2z 3 z 2
4. Να απεικονιστούν σε σύστημα ορθογώνιων συντεταγμένων τα ακόλουθα διατεταγμένα ζεύγη τιμών των μεταβλητών x και y: x: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y: 108 81 63 50 40 32 26 21 16,5 13 Να χαραχτεί ελεύθερα με το χέρι η γραμμή εκτίμησης των παρατηρήσεων και να προσδιοριστεί η τιμή της y όταν x=3,6. Λύση
Η γραμμή εκτίμησης είναι καμπύλη με το κυρτό μέρος προς το 0. Όπως διαπιστώνεται από το σχήμα, για x=3,6 αντιστοιχεί y=55.
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[17]
5. Να απεικονιστεί γραφικά η εξίσωση y=α+bx, για καθεμία από τις ακόλουθες περιπτώσεις: 1 α) α=10, b=2, β) α= -5, b= , γ) α=4, b=-3 , δ) α=-3, b= -6 , ε) α=0, b=4, στ) α=8, b=0. 4 Λύση
6. Να απεικονιστούν γραφικά, για ακέραιες τιμές του x και μόνο για 4 x 4 , οι ακόλουθες συναρτήσεις: α) y=x2-4x+2, β) y=5x2+9x-2, γ) y=x3, δ) x2+y2=16, ε) y x 2 1 , στ) x3+y3-3xy=0, ζ) y=x3-3x2-2x+1, η) y=20+5x, θ) y=51οg10x. Λύση
[18]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[19]
7. Να απεικονιστεί γραφικά η συνάρτηση y=8x-2x2 και να προσδιοριστεί η τιμή της x για την οποία η τιμή της y είναι η μέγιστη. Μεταξύ ποιων τιμών της μεταβλητής x η μεταβλητή y έχει θετικές τιμές; Λύση
Η y έχει τιμή (y=8) για x=2 (σημείο Μ). Όπως διαπιστώνεται από το σχήμα, η μεταβλητή y έχει θετικές τιμές για το διάστημα 0 < x <4. 8. Με τη χρησιμοποίηση του ίδιου συστήματος αξόνων ορθογώνιων συντεταγμένων 2x 6 να απεικονιστούν γραφικά οι συναρτήσεις y=10-2x και y= . Να προσδιοριστεί, 3 με τη χρησιμοποίηση του σχήματος, το ζεύγος των τιμών των y και x που ικανοποιούν και τις δύο συναρτήσεις.
[20]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
Λύση
Το ζεύγος των τιμών που ικανοποιούν τις δύο συναρτήσεις είναι x=3, y=4 (σημείο Μ).
9. Να απεικονιστούν σε σχήμα ορθογώνιων συντεταγμένων οι συναρτήσεις xy=12 και y=5x-17 (για ακέραιες τιμές των x και για το διάστημα 3<x<8). Να προσδιοριστούν, με τη χρησιμοποίηση του σχήματος, οι κοινές λύσεις των δύο συναρτήσεων. Λύση
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[21]
Οι κοινές λύσεις των δύο συναρτήσεων είναι x1=4, y1=3 (σημείο M) και x2= -0,6, y2= 20 (σημείο Ν). 10. Να απεικονιστούν γραφικά οι συναρτήσεις 5x-13y=2 , 2x+y=7 και x-2y=1, στο ίδιο σύστημα ορθογώνιων συντεταγμένων. Τι παρατηρείτε στο σχήμα που προκύπτει; Λύση
Οι τρεις ευθείες διέρχονται από το ίδιο σημείο (σημείο Α). Οι εξισώσεις των ευθειών είναι γνωστές ως «συμβιβαστές εξισώσεις». 11. Να υπολογιστούν αλγεβρικά οι κοινές λύσεις των εξισώσεων των συστημάτων των ασκήσεων 8, 9 και 10. Λύσεις Άσκηση 8 y 10 2 x 2x 6 y 3 2x 6 10 2 x 30 6 x 2 x 6 8 x 24 3 x=3 και y=10-2 3 y=4.
Άσκηση 9 xy 12 Θέτουμε την τιμή του y στην α΄ εξίσωση του συστήματος και y 5 x 17 έχουμε x(5x-17)=12 5x2-17x-12=0, εξίσωση η οποία έχει λύσεις τις x1=4 και x2= 0,6. Τις τιμές αυτές θέτοντας στη β΄ εξίσωση του συστήματος βρίσκουμε τις αντίστοιχες τιμές του y, δηλαδή y1=3 και y2= -20.
[22]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
Άσκηση 10 5 x 13 y 2 2 x y 7 Επιλύοντας τη β΄ εξίσωση ως προς y, έχουμε: x 2 y 1 2x+y=7 y=7-2x. Θέτοντας την τιμή αυτή στην α΄ εξίσωση έχουμε 5x-13(7-2x)=2 5x-91+26x=2 31x=93 x=3 και y=7-2x y=7-2 3 y=1. Οι τιμές x=3 και y=1 επαληθεύουν και την τρίτη εξίσωση του συστήματος.
12. Να επιλυθούν αλγεβρικά τα ακόλουθα συστήματα: α) qD=100-p2 , β) qD=15-10p , γ) qD=100-4ρ2, qS= 10+5p qS=5p2 qS= 4+2ρ2 και να προσδιοριστούν γραφικά η τιμή και η ποσότητα ισορροπίας για κάθε ένα από αυτά. Λύση qD 100 4 p 2 α) Στην κατάσταση ισορροπίας θα είναι qD qS qS 4 2 p 2
100- 4p2 =4+2p2 6p2= 96 p2= 16 η οποία έχει λύσεις τις p1=4 και p2= -4 (απορρίπτεται ως αρνητική). Θέτοντας την τιμή p=4 στην α΄ εξίσωση του συστήματος βρίσκουμε qD=qS=36. qD 15 10 p β) Στην κατάσταση ισορροπίας θα είναι qS 5 p 2 qD = qS 15 10 p 5 p 2 5 p 2 10 p 15 0 p2 2p 3 0 η οποία έχει λύσεις τις p1=1 και p2= -3 (απορρίπτεται ως αρνητική). Θέτοντας την τιμή p1=1 στην α΄ ή τη β΄ εξίσωση του συστήματος βρίσκουμε qD = qS =5. qD 100 p 2 2 γ) q 10 5 p Στην κατάσταση ισορροπίας θα είναι qD = qS 100- p =10+5p S 2 p +5p-90=0 η οποία έχει λύσεις τις p1=7,31 και p2= -12,31 (απορρίπτεται ως αρνητική. Θέτοντας την τιμή p=7,31 στην α΄ ή τη β΄ εξίσωση βρίσκουμε qD=qS=46,55.
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[23]
13. Δίνονται τα ακόλουθα στοιχεία: Μονάδες χρησιμοποιούμενου λιπάσματος 1 2 3 4 5 6 7 8 Ολικό παραγόμενο προϊόν 60 130 180 200 200 180 140 80 Να υπολογιστεί το μέσο και το οριακό προϊόν ανά μονάδα χρησιμοποιούμενου λιπάσματος και να γίνει η γραφική απεικόνισή τους. Λύση Μονάδες λιπάσματος (z)
Ολικό Προϊόν (q)
Μέσο προϊόν (AP=q/z)
Οριακό προϊόν (MP=Δq/Δz)
0 1 2 3
0 60 130 180
60 65 60
60 70 50 20
[24]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
4 5 6 7 8
200 200 180 140 80
50 40 30 20 10
0 -20 -40 -60
1 14. Εάν η συνάρτηση παραγωγής προϊόντος είναι q=6L- L2 (όπου L=μονάδες του 2 συντελεστή εργασία), να απεικονιστούν γραφικά οι καμπύλες ολικού, μέσου και οριακού προϊόντος και να προσδιοριστεί από το σχήμα η ποσότητα της εργασίας στην οποία μηδενίζεται το οριακό προϊόν. Τι παρατηρείτε για την αντίστοιχη παραγόμενη ποσότητα του προϊόντος;
Λύση Σε ποσότητα 6 μονάδων εργασίας το οριακό προϊόν μηδενίζεται (σημείο Μ). Στην ποσότητα αυτή η ολική παραγόμενη ποσότητα του προϊόντος είναι η μέγιστη και ίση με 18 μονάδες (σημείο Ν).
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[25]
15. Εάν γεωργική επιχείρηση έχει συνάρτηση παραγωγής προϊόντος της την q=50L0,4K0,6 (όπου L=μονάδες του συντελεστή εργασία και Κ=μονάδες του συντελεστή κεφάλαιο) και παράγει σταθερή ποσότητα του προϊόντος ίση με 200 μονάδες, να προσδιοριστεί η συνάρτηση ισοπαραγωγής η οποία εκφράζει τη σχέση των συντελεστών παραγωγής εργασίας και κεφαλαίου και να απεικονιστεί γραφικά. Ποια θα είναι η ποσότητα της χρησιμοποιούμενης εργασίας, όταν χρησιμοποιηθούν 9 μονάδες κεφαλαίου για την παραγωγή των 200 μονάδων του προϊόντος και ποια όταν η επιχείρηση μετακινηθεί στην παραγωγή των 250 μονάδων του προϊόντος; Λύση q 50 L0, 4 K 0, 6 200 50 L0, 4 K 0,6 L0, 4 K 0,6 4 4 32 L0, 4 0, 6 L . K K3 Για Κ=9 θα είναι L
32 93
1,185 (σημείο Μ).
q 50 L0, 4 K 0,6 250 50 L0, 4 K 0,6 L0, 4 K 0, 6 5 5 55,9 L0, 4 0, 6 L . K K3 Για Κ=9 θα είναι L
55,9 93
2, 07 (σημείο Ν).
[26]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
16. Επιχείρηση παράγει δύο προϊόντα με τη χρησιμοποίηση σταθερής ποσότητας των 5y2 διαθέσιμων συντελεστών παραγωγής, κατά τη σχέση y1 200 2 . Να 4 απεικονιστεί γραφικά η καμπύλη μετασχηματισμού και να υπολογιστεί η παραγόμενη ποσότητα του προϊόντος y2 όταν παράγεται ποσότητα 75 μονάδων του y1 . Λύση 5 y 22 5y2 75 200 2 5 y 22 500 4 4 2 y 2 100 y 2 10 (ί ύ y1 200
ύ).
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[27]
17. Εάν, για την παραγωγή ορισμένης ποσότητας προϊόντος, γεωργική επιχείρηση χρησιμοποιεί τους συντελεστές εργασίας και εδάφους με τις ακόλουθες αναλογίες: Μονάδες εργασίας: 1 2 3 4 5 6 7 8 Μονάδες εδάφους : 20 12 8 6 4 5 9 14 Να υπολογιστεί η οριακή σχέση τεχνικής υποκατάστασης του εδάφους για καθεμία επιπλέον μονάδα χρησιμοποιούμενης εργασίας και να χαραχτεί η καμπύλη αυτής. Λύση Μονάδες εργασίας (L)
Μονάδες εδάφους (La)
MRTS La από L
1 2 3 4 5 6 7 8
20 12 8 6 4 5 9 14
-8 -4 -2 -2 1 4 5
18. Το μέσο μεταβλητό κόστος (AVC) επιχείρησης εκφράζεται από τη συνάρτηση AVC=q2-20q+100 (όπου q=μονάδες παραγόμενου προϊόντος). Εάν το σταθερό κόστος
[28]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
είναι 30 χρηματικές μονάδες, να προσδιοριστεί η συνάρτηση ολικού κόστους και να απεικονιστεί αυτή σχηματικά. Ποια θα είναι η ποσότητα του παραγόμενου προϊόντος στην οποία το κόστος είναι μέγιστο και ποια η ποσότητα στην οποία είναι ελάχιστο; Λύση AVC
VC VC q AVC q(q 2 20q 100) q
q 3 20q 2 100q. FC=30. Επομένως, FC+VC=C=30+q3-20q2+100q. Το κόστος γίνεται μέγιστο (C1=178,15) στο σημείο Μ και ελάχιστο (C2=30) στο σημείο Ν. Στα σημεία αυτά το παραγόμενο προϊόν είναι, αντίστοιχα, q1=3,33 και q2=10 μονάδες.
1 2 (όπου L= μονάδες L 2 εργασίας). Αν η τιμή ανά μονάδα εργασίας είναι 300 χρηματικές μονάδες, να υπολογιστεί το μέσο μεταβλητό κόστος με τη χρησιμοποίηση 8 μονάδων εργασίας.
19. Επιχείρηση έχει συνάρτηση παραγωγής q 6 L
Λύση Με τη χρησιμοποίηση 8 μονάδων εργασίας, θα είναι: q 6L
L2 82 6 8 16 και 2 2
VC pz z 300 8 2400. Επομένως, AVC
VC 2400 150 χρηματικές μονάδες. q 16
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[29]
20. Δίνεται η συνάρτηση κόστους C=2q3-q2+10q+15 (όπου q=μονάδες παραγόμενου προϊόντος). Να υπολογιστεί το μέσο κόστος για 1 ώς 6 μονάδες προϊόντος και να απεικονιστούν γραφικά οι καμπύλες ολικού, μέσου, μεταβλητού και σταθερού κόστους. Ποιο είναι το οριακό κόστος της 5ης μονάδας του προϊόντος; Λύση (q)
(C)
(AC)
(MC)
1 2 3 4 5 6
26 47 90 167 290 471
26,00 23,50 30,00 41,75 58,00 78,50
21 43 77 123 181
Το οριακό κόσρος (MC) της 5ης μονάδας του παραγόμενου προϊόντος είναι 181 μονάδες.
21. Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση του ολικού κόστους της προηγούμενης άσκησης (20), να προσδιοριστούν οι συναρτήσεις και να απεικονιστούν γραφικά οι καμπύλες μέσου ολικού, μέσου σταθερού και μέσου μεταβλητού κόστους. Με ποια ποσότητα προϊόντος το μέσο μεταβλητό κόστος γίνεται ελάχιστο;
[30]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
Λύση
C 2q 3 q 2 10q 15 15 FC 15 AC 2q 2 q 10 . AFC . q q q q q 3 2 VC 2q q 10q AVC 2q 2 q 10. Το μέσο μεταβλητό κόστος γίνεται q q ελάχιστο (AVC=9,875) σε ποσότητα προϊόντος q=0,25 μονάδες (σημείο Μ).
22.Εάν με την καταβολή κάθε μονάδας εισροής δαπανώνται 5 χρηματικές μονάδες, με σταθερό κόστος παραγωγής προϊόντος 21 χρηματικές μονάδες, χρησιμοποιούνται δε 3 μονάδες εισροής για την παραγωγή 6 μονάδων προϊόντος, ζητείται να υπολογιστούν: α) το ολικό κόστος, β) το ολικό μεταβλητό κόστος, γ) το μέσο ολικό κόστος, δ) το μέσο μεταβλητό κόστος, ε) το μέσο σταθερό κόστος και στ) το οριακό κόστος όταν για την παραγωγή 10 μονάδων του προϊόντος απαιτούνται 4 μονάδες εισροής. Λύση α) C FC VC FC pz z 21 5 3 36 β) VC p z z 5 3 15 C 36 γ) AC 6 q 6 VC 15 δ) AVC 2,5 q 6 FC 21 ε) AFC 3, 5 q 6 C pz z 5 (4 3) 5 στ) MC 1, 25. q q (10 6) 4
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[31]
23. Μια μονοπωλιακή επιχείρηση έχει συνάρτηση κόστους παραγωγής προϊόντος της την C=20+10q+q2, η δε εξίσωση ζήτησης για το προϊόν είναι 3q=60-p. Να υπολογιστεί το κέρδος της επιχείρησης από την παραγωγή και πώληση 10 μονάδων του προϊόντος. Λύση 3q 60 p p 60 3q και
R pq (60 3q) q 60q 3q 2 . Επομένως, R C (60q 3q 2 ) (20 10q q 2 ) 60q 3q 2 20 10q q 2 50q 4q 2 20.
Για παραγωγή και πώληση 10 μονάδων του προϊόντος, το κέρδος θα είναι: 50 10 4 10 2 20 500 400 20 80 χρηματικές μονάδες. 24.Εάν η τιμή ανά μονάδα, παραγόμενου από την επιχείρηση της άσκησης 23, προϊόντος είναι σταθερή στην αγορά και ίση με 6 χρηματικές μονάδες, να υπολογιστούν τα έσοδα που επιτυγχάνει η επιχείρηση με την πώληση των μονάδων του προϊόντος που παράγονται, με τη χρησιμοποίηση 2 μονάδων του συντελεστή εργασία. Λύση L2 22 62 10. Επομένως, 2 2 R p q 6 10 60 χρηματικές μονάδες.
q 6L
120 p 2 , να 8 απεικονιστούν γραφικά οι γραμμές ολικών και μέσων εσόδων και να προσδιοριστεί η ποσότητα του πωλούμενου αγαθού στην οποία πραγματοποιούνται τα περισσότερα έσοδα. Ποια είναι η τιμή πώλησης του αγαθού στην ποσότητα αυτή και ποιο το ύψος των εσόδων που επιτυγχάνονται;
25. Αν η εξίσωση ζήτησης αγαθού βραχυχρονίως είναι q
Λύση q
120 p 2 8q 120 p 2 p 2 120 8q p 120 8q 2 30 2q . 8
Επομένως, R p q 2q 30 2q και R AR p = 2 30 2q. Τα περισσότερα έσοδα (R=63,2), πραγματοποιούνται σε q
[32]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
ποσότητα πωλούμενου αγαθού 10 μονάδων (σημείο Μ). Η τιμή ανά μονάδα πώλησης της ποσότητας αυτής του αγαθού θα είναι p = 63,2:10 = 6,32 χρηματικές μονάδες.
60 3 p , να υπολογιστούν τα οριακά 8 έσοδα της επιχείρησης η οποία παράγει το προϊόν αυτό, όταν η παραγωγή αυξηθεί από 5 σε 6 μονάδες.
26. Αν η εξίσωση ζήτησης προϊόντος είναι q
Λύση
q
60 3 p 8q 60 3 p 3 p 60 8q 8
p
60 8q 8 20 q . Επομένως, 3 3
8 8 R pq (20 q ) q 20q q 2 . 3 3 8 Για q=5 θα είναι R 20 5 52 33,33 3 8 Για q=6 θα είναι R 20 6 62 24, 00 3 Επομένως, τα οριακά έσοδα της 6ης μονάδας του προϊόντος θα είναι: MR 24, 00 33, 33 9, 33.
27. Μια επιχείρηση που παράγει δύο προϊόντα Α και Β, αντιμετωπίζει συναρτήσεις
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[33]
ζήτησης αυτών q1=80-0,6p1 και q2=30-p2 , αντιστοίχως. Εάν το κόστος παραγωγής του κάθε προϊόντος δίνεται, αντίστοιχα, από τις συναρτήσεις C1=20+12q1+ 3q12 και q 22 C2=30+5q2+ , να υπολογιστεί το συνολικό κέρδος που πραγματοποιεί η επιχείρηση 4 από την παραγωγή και πώληση 5 μονάδων του Α και 20 μονάδων του Β προϊόντος.
Λύση Προϊόν Α q1 80 0, 6 p1 0, 6 p1 80 q1 και 80 q1 p1 . Επομένως, 0, 6 80 q1 80q1 q12 R1 p1q1 ( ) q1 και 0, 6 0, 6 80q1 q12 1 R1 C1 ( ) (20 12q1 3q12 ) 0, 6 2 80q1 q1 12 7, 2q1 1,8q12 72,8q1 2,8q12 12 = . 0,6 0, 6 Για πώληση 5 μονάδων του Α προϊόντος, θα είναι: 72,8 5 2,8 52 12 364 70 12 1 470. 0, 6 0, 6 Προϊόν Β q2 30 p2 p2 30 q2 . Επομένως, R2 p2 q2 (30 q2 ) q2 30q2 q22 και
q22 2 R2 C 2 (30q2 q ) (30 5q 2 ) 4 2 q = 300q 2 q 22 30 5q 2 2 4 2 120 q2 4q2 120 20 q2 q22 100 q2 5q22 120 . Για πώληση 20 μονάδων του Β 4 4 προϊόντος, θα είναι: 100 20 5 20 2 120 2 30 ( ί ). 4 Συμπερασματικά, το συνολικό κέρδος που πραγματοποιεί η επιχείρηση είναι 1 2 470 30 440 χρηματικές μονάδες. 2 2
28. Εάν η ικανοποίηση που αποκτά ένας καταναλωτής από την κατανάλωση δύο 100 x 2 αγαθών Α και Β δίνεται από τη συνάρτηση x1 (όπου x1 και x2 είναι οι x2 ποσότητες των αγαθών Α και Β αντιστοίχως), οι δε τιμές, ανά μονάδα των αγαθών
[34]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
αυτών είναι, αντίστοιχα, 6 και 20 χρηματικές μονάδες και ο προϋπολογισμός του καταναλωτή για την αγορά τους 500 χρηματικές μονάδες, πόσες μονάδες από τα αγαθά Α και Β θα αγοραστούν; Να δείξετε αυτό και γραφικώς. Λύση Η συνάρτηση καταναλωτικής δυνατότητας είναι: p1 x1 p2 x2 C 6 x1 20 x2 500, μαζί δε με τη συνάρτηση σχετικής χρησιμότητας x1
100 x2 , x2
δημιουργούν σύστημα το οποίο επιλύεται ως: Εκκινώντας από την τελευταία εξίσωση έχουμε: x1 x 2 100 x 2 x1 x 2 x 2 100 100 x 2 ( x1 1) 100 x 2 x1 1 την οποία θέτοντας στην πρώτη εξίσωση έχουμε 100 6 x1 20 ( ) 500 x1 1 6 x1 ( x1 1) 2000 500( x1 1) 6 x12 6 x1 2000 500 x1 500 6 x12 494 x1 1500 0. Mε την επίλυση της εξίσωσης αυτής βρίσκουμε τιμές x1΄ 79,18 και x1΄΄ 3,16. Θέτοντας τις τιμές x1΄ και x1΄΄ στη δεύτερη εξίσωση, βρίσκουμε τις αντίστοιχες τιμές της x2, δηλαδή x2΄ 1, 25 και x2΄΄ 24,04. Συνεπώς, θα αγοραστούν 79,28 μονάδες του αγαθού Α και 1,25 μονάδες του αγαθού Β (σημείο Μ) ή 3,16 μονάδες του Α και 24,04 μονάδες του Β (σημείο Ν).
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[35]
29. Καταναλωτής έχει συνάρτηση χρησιμότητας U=50x0,8 (όπου x=ποσότητα αγαθού). Ποια θα είναι η οριακή χρησιμότητα που αποκτά ο καταναλωτής με την κατανάλωση 32 μονάδων του αγαθού; Λύση U 50 x 0,8 U1 50 310,8 779, 94 και U 2 50 32 0,8 800. Επομένως, η οριακή
χρησιμότητα της 32ης μονάδας του αγαθού είναι: MU U 2 U1 800 779,94 20 μονάδες χρησιμότητας. 30. Ο χάρτης αδιαφορίας καταναλωτή για δύο αγαθά Α και Β εκφράζεται από τη συνάρτηση
20 x1 5 x2 2
c (c=σταθερά). Να χαραχτούν οι καμπύλες αδιαφορίας
για τιμές του c = 2, 3, 4, 5 και 6 μονάδες. Λύση
31. Να απεικονιστούν γραφικά στο ίδιο σύστημα ορθογώνιων συντεταγμένων οι συναρτήσεις ζήτησης και προσφοράς αγαθού, qD=3(20-p) και qS=5+2p και να προσδιοριστούν η τιμή και η ποσότητα στην κατάσταση ισορροπίας του συστήματος. Ποια θα είναι η τιμή της ζητούμενης και ποια της προσφερόμενης ποσότητας αγαθού 15 μονάδων; Λύση Στην κατάσταση ισορροπίας θα είναι
[36]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
q D q S 3(20 p ) 5 2 p 60 3 p 5 2 p 5 p 55 p 11 . Επομένως, qD qS =27 (σημείο Μ). Για qD=15 θα είναι pD=15 (σημείο Λ) και για qS=15 θα είναι pS=5 (σημείο Ν).
32. Οι τιμές ανά μονάδα των αγαθών Α και Β είναι p1 και p2 αντιστοίχως. Εάν η ζήτηση των αγαθών αυτών δίνεται, αντίστοιχα, από τις εξισώσεις q1D 5 6 p1 5 p 2 και q 2D 8 13 p1 7 p 2 και η προσφερόμενη ποσότητα από τις εξισώσεις q1S 6 4 p1 2 p 2 και q2S 17 10 p1 9 p 2 , να υπολογιστεί το ζεύγος των τιμών p1 και p2 που εξισώνουν τη ζήτηση και την προσφορά των δύο αγαθών. Λύση Στην κατάσταση ισορροπίας των δύο συστημάτων θα έχουμε: q1D q1S και q2D q2S . Δηλαδή, 5 6 p1 5 p2 6 4 p1 2 p2 10 p1 7 p2 1 8 13 p1 7 p2 17 10 p1 9 p2 23 p1 16 p2 9 Με την επίλυση του συστήματος των δύο εξισώσεων, βρίσκουμε p1=79 και p2=113, τιμές οι οποίες, πράγματι, εξισώνουν τη ζήτηση και την προσφορά των αγαθών A και B.
33. Εάν οι εξισώσεις ζήτησης και προσφοράς αγαθού είναι, αντίστοιχα, qD=60-2ρ+Υ (όπου p=τιμή του αγαθού και Υ=εισόδημα του καταναλωτή) και qS=3p+5, να προσδιοριστούν γραφικά η τιμή και η ποσότητα ισορροπίας του αγαθού, όταν Υ=20 και όταν Υ=50 χρηματικές μονάδες.
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[37]
Λύση Στην κατάσταση ισορροπίας θα είναι: Για Υ=20, p1=15 και q1=50 (σημείο Μ1). Για Υ=50, p2=21 και q2=68 (σημείο Μ2).
34 . Εάν οι εξισώσεις ζήτησης και προσφοράς αγαθού είναι, αντιστοίχως, qD=35-p (όπου p=τιμή του αγαθού) και qS= -10+2p και επιβληθεί φόρος 3 χρηματικών μονάδων ανά μονάδα του προσφερόμενου αγαθού, να υπολογιστούν η τιμή και η ποσότητα του αγαθού σε κατάσταση ισορροπίας πριν από και μετά την επιβολή του φόρου. Δείξτε τις σχετικές μεταβολές και γραφικώς. Λύση Πριν από την επιβολή του φόρου qD1 qS1 , δηλαδή
35 p1 10 2 p1 3 p1 45 p1 15 και qD1 qS1 20. Μετά την επιβολή του φόρου (t=3) qD2 qS2 , δηλαδή 35 p2 10 2( p2 t )
35 p2 10 2 p2 2 3 3 p2 51 p2 17 και qD2 qS2 18. Όπως διαπιστώνεται από το σχήμα, η επιβολή του φόρου t=3 μετατοπίζει τη γραμμή προσφοράς από τη θέση qS1 στη θέση qS2 , έτσι που η τιμή p1=15 (σημείο ισορροπίας Α) αυξάνεται στην p2=17 (σημείο ισορροπίας B). Το ποσόν του φόρου αντιστοιχεί στο τμήμα ΒΓ. Μέρος του τμήματος αυτού και συγκεκριμένα το τμήμα ΒΔ αντιστοιχεί στη διαφορά p2 – p1 η οποία θα καλυφθεί από τους καταναλωτές, ενώ το υπόλοιπο τμήμα ΓΔ θα βαρύνει τους παραγωγούς του αγαθού.
[38]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
35. Χρησιμοποιώντας το παράδειγμα της άσκησης 32, υποθέτουμε ότι επιβάλλεται φόρος t1=0,5 ανά μονάδα του αγαθού Α και t2=0,2 ανά μονάδα του αγαθού Β στους παραγωγούς των αγαθών αυτών. Να υπολογιστούν οι νέες τιμές που εξισώνουν τη ζήτηση και την προσφορά των αγαθών. Δείξτε, επίσης, ότι ο φόρος επί του ενός αγαθού μειώνει και τις δύο τιμές των αγαθών, ενώ ο φόρος επί του άλλου αυξάνει και τις δύο. Λύση Με την επιβολή του φόρου t1=0,5 ανά μονάδα προσφερόμενου αγαθού Α και t2=0,2 ανά μονάδα προσφερόμενου αγαθού Β, τα συστήματα εξισώσεων ζήτησης και προσφοράς για τα δύο αγαθά γίνονται: q1D 5 6 p1 5 p2 και q1S 6 4( p1 0,5) 2( p2 0, 2) q2D 8 13 p1 7 p2 q2S 17 10( p1 0,5) 9( p2 0, 2) Στην κατάσταση ισορροπίας των δύο συστημάτων θα έχουμε: q1D q1S , δηλαδή 5 6 p1 5 p2 6 4( p1 0,5) 2( p2 0, 2)
5 6 p1 5 p 2 6 4 p1 2 2 p 2 0,4 10 p1 7 p 2 0,6 q2D q2S , δηλαδή 8 13 p1 7 p2 17 10( p1 0,5) 9( p2 0, 2)
8 13 p1 7 p 2 17 10 p1 5 9 p 2 1,8 23 p1 16 p 2 12,2.
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[39]
Οι τιμές p1 και p2 οι οποίες εξισώνουν τη ζήτηση και την προσφορά των αγαθών Α 10 p1 7 p2 0, 6 και Β προκύπτουν ως λύσεις του συστήματος των εξισώσεων 23 p1 16 p2 12, 2 Πραγματικά, με την επίλυση του συστήματος βρίσκουμε p1=75,8 και p2=108,2. Εάν επιβληθεί ο φόρος t2=0,2 μόνο επί του αγαθού Β, τα συστήματα των εξισώσεων λαμβάνουν τις ακόλουθες μορφές: q1D 5 6 p1 5 p2 και q1S 6 4 p1 2( p2 0, 2) q2D 8 12 p1 7 p2 q2S 17 10 p1 9( p2 0, 2)
Στην κατάσταση ισορροπίας των δύο συστημάτων θα έχουμε: 5 6 p1 5 p2 6 4 p1 2( p2 0, 2) 8 13 p1 7 p2 17 10 p1 9( p2 0, 2) 5 6 p1 5 p2 6 4 p1 2 p2 0, 4 10 p1 7 p2 1, 4 . Το σύστημα αυτό έχει 8 13 p1 7 p2 17 10 p1 9 p2 1,8 23 p1 16 p2 7, 2 λύσεις τις p1=72,8 και p2=104,2. Οι τιμές αυτές, συγκρινόμενες με τις αντίστοιχες p1=79 και p2=113 (άσκηση 32), πριν από την επιβολή του φόρου, διαπιστώνεται ότι είναι μικρότερες. Εάν επιβληθεί ο φόρος t1=0,5 μόνο επί του αγαθού Α, τα συστήματα των εξισώσεων γίνονται: q1D 5 6 p1 5 p2 q2D 8 13 p1 7 p2 και q1S 6 4( p1 0,5) 2 p2 q2S 17 10( p1 0,5) 9 p2 . Στην κατάσταση ισορροπίας των δύο συστημάτων θα έχουμε: 5 6 p1 5 p2 6 4( p1 0,5) 2 p2 8 13 p1 7 p2 17 10( p1 0,5) 9 p2 10 p1 7 p2 1 . Το σύστημα αυτό έχει 8 13 p1 7 p2 17 10 p1 5 9 p2 23 p1 16 p2 14 λύσεις τις p1=82 και p2=117. Όπως διαπιστώνεται σε αυτή την περίπτωση, η επιβολή του φόρου μόνο επί του αγαθού Α αύξησε τις τιμές και των δύο αγαθών. 5 6 p1 5 p2 6 4 p1 2 2 p2
36. Εάν οι συναρτήσεις αποταμίευσης και επένδυσης είναι, αντίστοιχα, S=0,4Υ-50 και Ι=500 (όπου Υ=εθνικό εισόδημα) και η ισορροπία επέρχεται όταν S=I, να υπολογιστεί αλγεβρικώς και γραφικώς το επίπεδο ισορροπίας του εισοδήματος. Ποια είναι η επίδραση επί του εθνικού εισοδήματος της αύξησης κατά 30 ή της μείωσης κατά 20 χρηματικές μονάδες της δαπάνης επένδυσης και ποια η αριθμητική τιμή του πολλαπλασιαστή; Να επαληθευτούν τα ευρήματα και σχηματικά.
[40]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
Λύση S I 0, 4Y 50 500 0, 4Y 550 Y 1375. Εάν Ι=530 (δηλαδή ΔΙ=+30), θα
είναι 0,4Υ-50=530 0,4Y=580 Υ=1450 (δηλ. ΔΙ= = -20) θα είναι 0,4Υ-50=480 1450 1375 75 0,4Υ=530 Υ=1325 (δηλ. ΔΥ= -50) και 2, 5. 530 500 30
37. Εάν η αυτόνομη κατανάλωση ανέρχεται σε 10 χρηματικές μονάδες, η οριακή ροπή προς κατανάλωση είναι 0,9 και το ύψος της αυτόνομης δαπάνης επένδυσης 300 χρηματικές μονάδες, ζητούνται να υπολογιστούν το επίπεδο ισορροπίας του εθνικού εισοδήματος και η συνολική δαπάνη κατανάλωσης. Ποια είναι η αριθμητική τιμή του πολλαπλασιαστή; Λύση C bY . Αντικαθιστώντας την καταναλωτική δαπάνη (C) της α΄ εξίσωσης στη β΄ Y CI εξίσωση (εξίσωση εισοδήματος) έχουμε: Υ= α+bY+I Υ- bY=α+Ι Υ(1-b)=α+Ι
1 b
10 300 Y 3100. Επομένως, C=α+bY 1 0, 9 C 10 0, 9 3100 C 2800 και 1 1 1 10. 1 MPC 1 0,9 0,1 Y
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[41]
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΕΥΤΕΡΟ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣH 1. Να προσδιοριστούν οι εξισώσεις των ευθειών γραμμών που διέρχονται από το σημείο (3, 5): α) με κλίση 2, β) με κλίση -3 και γ) όταν η γωνία με τον άξονα x είναι 60 . Λύση α)
y y y1 y5 2 y 5 2( x 3) x x x1 x3
y 5 2 x 6 y 1 2 x y y y1 y 5 β) 3 y 5 3( x 3) x x x1 x3 y 5 3 x 9 y 14 3 x y γ) Επειδή (όπου ω=γωνία που σχηματίζεται από τη γραμμή της εξίσωσης x και τον άξονα x), θα είναι: y y1 y 5 60 0 3 y 5 3( x 3) x x1 x 3
y 5 x 3 3 3 y 53 3 x 3
y 0,196 1,732 x
2. Ποια είναι η κλίση της γραμμής της εξίσωσης 2x-3y+6=0 και ποιες οι συντεταγμένες των σημείων τομής της γραμμής με τους άξονες x και y; Λύση 2x . Επομένως, 3 2 3y b1 ή 2 x 3 y 6 x 3 . Επομένως, 3 2 3 b2 . Από την εξίσωση 2 x 3 y 6 0, για y=0, βρίσκουμε x= -3 και για x=0 2
2x 3 y 6 0 3 y 6 2 x y 2 y x x y
βρίσκουμε y=2. Δηλαδή, οι συντεταγμένες των σημείων τομής της ευθείας γραμμής με τους άξονες x και y είναι, αντίστοιχα, (-3,0) και (0,2). 3. Εάν το σημείο (4, 14) είναι σημείο της καμπύλης y=3x2-6x-10, να υπολογιστεί η κλίση της καμπύλης όταν η τιμή της μεταβλητής x αυξηθεί από 4 σε 6 μονάδες.
[42]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
Λύση y 3x 2 6 x 10 y 3 6 2 6 6 10 62. Επομένως, y y2 y1 62 14 48 24. x x2 x1 64 2 4. Να υπολογιστούν οι παράγωγοι (πρώτες) των ακόλουθων συναρτήσεων: 3 5
α) y= x , β) y= 3 x 4 , γ) y=15 x 8 , δ) y= ε) y=100x, στ) y
2
5 , x2
, ζ) y 3 x 5 8 x 3 4 ,
x5 η) y ax abx 2a 2 bx 4 c , 1 θ) y , ι) y (5 2 x )( x 2 1) , x x 1 ια) y (5 x 3 2 x 3)(6 x 2 2)(3x 7) , 6
5
x3 2 x3 2 , ιγ) y ( ) , x4 x5 ( x 2)( x 3 5 x 2 6) 5 ιδ) y , ( x 4) 3 1 ιε) y , ιστ) y ( x 7 3 x 5 x) 3 , ( x 2)( x 4)
ιβ) y
ιζ) y 20( x 2 4 x 5) 3 ,ιη) y ln( 5 x 2 2 x 6) ,
ιθ) y ln(5 x 2 ) 3 , κ) y ln( x 3)( x 2 4 x 5) , κα) y ln
2 1 x2 , κβ) y 3 6 x 5 , κγ) y= e 2 x 5 x 6 . 2 1 x
Λύση
dy 3 35 1 3 25 3 3 α) dx 5 x 5 x 2 5 2 5x 5 5 x dy 4 43 1 4 13 4 3 x x x β) dx 3 3 3 dy 120 15( 8) x 81 120 x 9 9 γ) dx x dy 10 10 x 3 3 δ) dx x dy 100 x11 100 x 0 100 ε) dx 1 3 1 dy 1 1 2 2 2( x 5) ( x 5) στ) dx 2 ( x 5)3 dy ζ) 15 x 4 24 x 2 dx
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[43]
dy 6ax5 5abx 4 8a 2bx 3 dx dy d θ) ( x x 1) 2 ( x x 1 dx dx 1 1 d 2 ( x ( x 1) 2 1 dx 2 ( x x 1) 2 x x 1( x x 1) 1 = 2( x x 1 ( x 1) x dy d d ι) (5 2 x) ( x 2 1) ( x 2 1) (5 2 x) dx dx dx (5 2 x ) 2 x ( x 2 1)(2) 10 x 4 x 2 2 x 2 2 6 x 2 10 x 2
η)
ια) Για την παραγώγιση της συνάρτησης, προσφεύγουμε στη χρησιμοποίηση τύπου που προκύπτει από την παραγώγιση της συνάρτησης γενικής μορφής y=uvw (όπου u, v και w είναι συναρτήσεις της x). Για την παραγώγιση της συνάρτησης y=uvw σκεφτόμαστε ως εξής: Έστω ότι το y αυξάνεται κατά την ελάχιστη ποσότητα Δy, ως αποτέλεσμα της αύξησης των u, v και w, αντιστοίχως. Επομένως, η συνάρτηση θα γίνει: y+Δy=(u+Δu)(v+Dv)(w+Δw)=uvw+wΔuΔv+vwΔu+uwΔv+uvΔw+ΔuΔvΔw+vΔuΔw+uΔvΔ w. Αλλά, επειδή y=uvw, θα έχουμε: y wuv vwu uwv uvw uvw vuw uvw. Εάν τα μέλη της ισότητας αυτής διαιρεθούν δια Δx, αποκτούμε: y uv u v w uvw uw vw w vw uw uv v u . x x x x x x x x Επειδή Δu, Δv, Δw και Δx είναι πολύ μικρές ποσότητες, πολλαπλασιαζόμενες μεταξύ τους γίνονται ακόμη μικρότερες, που ακόμη και αν διαιρεθούν με το Δx θεωρούνται αμελητέες. Έτσι, η παραπάνω ισότητα γίνεται: y u v w . Επειδή δε x 0 θα είναι: vw uw uv x x x x dy du dv dw και η οποία είναι η τελική μορφή της παραγώγου της vw uw uv dx dx dx dx συνάρτησης γενικής μορφής y = uvw. Επομένως, για τη λύση της άσκησης y (5 x3 2 x 3)(6 x 2 2)(3x 7) , προσφεύγουμε στον παραπάνω τύπο θεωρώντας ότι u 5 x 3 2 x 3 , v 6 x 2 2 και w 3x 7 . Έτσι, dy d (6 x 2 2)(3 x 7) (5 x3 2 x 3) (5 x 3 2 x 3)(3 x 7) dx dx d (6 x 2 2) (5 x 3 2 x 3)(6 x 2 2) dx
[44]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
d (3 x 7)(6 x 2 2)(3 x 7) (15 x 2 2) (5 x 3 2 x 3) dx (3x 7)(12 x ) (5 x 3 2 x 3)(6 x 2 2) 3
= 540 x 5 1050 x 4 264 x 3 624 x 2 228 x 46. d d ( x 4) ( x3 2) ( x3 2) ( x 4) dy dx dx 2 ( x 4) ιβ) dx
ιγ)
( x 4) 3 x 2 ( x3 2) 3x 3 12 x 2 x 3 2 2( x3 6 x 2 1) ( x 4) 2 ( x 4) 2 ( x 4) 2 d d ( x 5) 2 ( x 3) 2 ( x 3) 2 ( x 5) 2 dy dx dx 4 dx ( x 5)
( x 5)2 2( x 3) ( x 3)2 2( x 5) 2( x 5)( x 3) 2( x 3) 2 ( x 5) 4 ( x 5)3 2( x 3)( x 5 x 3) 16( x 3) = . 3 ( x 5) ( x 5) 3 =
d ( x 2)( x3 5 x 2 6)5 dx d ( x 2)( x 3 5 x 2 6)5 ( x 4)3 dy dx dx ( x 4) 6 ( x 4)3
)
d d ( x 4)3 ( x 2) ( x 3 5 x 2 6)5 ( x3 5 x 2 6) 5 ( x 2) dx dx = 6 ( x 4) d ( x 2)( x3 5 x 2 6) 5 ( x 4) 3 dx 6 ( x 4)
=
( x 4)3 ( x 2) 5( x 3 5 x 2 6) 4 (3 x 2 10 x) ( x3 5 x 2 6)5
( x 4)6 ( x 2)( x3 5 x 2 6)5 3( x 4) 2 ( x 4)6
5( x 4)( x 2)(3x 2 10 x ) ( x 4) ( x 5 x 6) 3 2 3 2 ( x 4)( x 5 x 6) 3( x 2)( x 5 x 6) ( x 4)6 2
3
2
4
( x3 5 x 2 6)4 (13 x 4 80 x3 30 x 2 388 x 60) = . ( x 4) 4 dy d d ιε) ( x 2) 1 ( x 4) 1 ( x 4) 1 ( x 2) 1 dx dx dx 1 2 1 = ( x 2) ( x 4) ( x 4) ( x 2)2
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[45]
1 1 ( x 2) ( x 4) 2 2 ( x 2)( x 4) ( x 4)( x 2) ( x 2) 2 ( x 4) 2 2( x 1) = . ( x 2) 2 ( x 4) 2 dy d ιστ) 3( x 7 3 x5 x) 2 ( x 7 3x 5 x) dx dx 7 5 2 6 = 3( x 3x x) (7 x 15 x 4 1). dy d 2 ιζ) 60( x 2 4 x 5) 2 ( x 4 x 5) 60( x 2 4 x 5) 2 (2 x 4). dx dx dy 10 x 2 ιη) . dx 5 x 2 2 x 6 dy 3(5 x 2 ) 2 2 x 6x ιθ) . 2 3 dx (5 x ) 5 x2 dy d d 1 2x 4 κ) ln( x 3) ln( x 2 4 x 5) 2 . dx dx dx x 3 x 4x 5 dy d d 2x (1 x 2 )2 (2 x ) 2 2 1 κα) ln(1 x ) ln(1 x ) dx dx dx 1 x2 (1 x 2 )1 2x 2x = . 2 1 x 1 x2 dy κβ) 36 x 5 6 ln 3 6,5917 36 x5. dx 2 dy κγ) (4 x 5) e 2 x 5 x 6 . dx
=
5. Να υπολογιστούν οι παράγωγοι (πρώτες) των ακόλουθων εκθετικών συναρτήσεων: 3 2 x 2 1 b α) y 2 x , β) y a 2 x 2 , γ) y 253 x 6 , δ) y x e , ε) y e x , στ) a y e( x
2
x 2)
1
2
, ζ) y e ( x
x2
ι) y e x , ια) y e e
ex
5
2
x 2 ) 2
, η) y x ( 2 x
3
x)
x2
, θ) y a e ,
.
Λύση 1 dy d d ln 2 x x ln 2 y dx dx dx 1 dy dy dy ln 2 y ln 2 2 x ln 2. y dx dx dx
α) y 2 x ln y x ln 2
1 b 2 b a x 2 y (a 2 x 2 ) 2 a a 1 1 dy 1 b b ( 2 x ) ( a 2 x 2 ) 2 x ( a 2 x 2 ) 2 . dx 2 a
β)
y
γ) y 253x
3
6
3
ln y ln(253 x 6 ) ln y (3x 3 6) ln 25
[46]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
1 dy d d (3 x3 6) ln 25 ln 25 (3 x3 6) y dx dx dx 1 dy dy (3 x3 6) 0 ln 25 9 x 2 y (9 x 2 ln 25) y dx dx 3 dy 253 x 6 9 x 2 ln 25 . dx x 2 1 2 2 1 dy d d 2 δ) y x e ln y e x 1 ln x e x 1 ln x ln x e x 1 y dx dx dx 2 2 2 1 dy 1 1 dy 1 e x 1 ln x 2 xe x 1 e x 1 ( 2 x ln x) y dx x y dx x 2 x 2 1 2 dy 1 dy 1 ye x 1 ( 2 x ln x ) x e e x 1 ( 2 x ln x ) . dx x dx x 2 2 1 dy dy dy ε) y e x ln y x 2 ln e ln y x 2 2x 2 xy 2 xe x . y dx dx dx
1
1
στ) y e( x
2
x 2) 2
1
ln y ( x 2 x 2) 2 ln e ln y ( x 2 x 2) 2
1 1 dy 1 2 ( x x 2) 2 (2 x 1) y dx 2 1 1 dy y ( x 2 x 2) 2 (2 x 1) dx 2 1 1 2 2 dy 1 ( x x 2) 2 ( x x 2) 2 (2 x 1) e . dx 2 2 2 2 ζ) y e( x x ) ln y ( x 2 x 2 ) ln e ln y ( x 2 x 2 )2 1 dy dy 2( x 2 x 2 )(2 x 2 x 3 ) 2 y ( x 2 x 2 )(2 x 2 x 3 ) y dx dx 2 2 2 dy 2e( x x ) ( x 2 x 2 )(2 x 2 x 3 ) dx 2 2 2 dy 4e( x x ) ( x 2 x 2 )( x x 3 ). dx 1 dy d (2 x 3 x ) ln y (2 x 3 x ) ln x (2 x 3 x) ln x η) y x y dx dx d 1 dy 1 ln x (2 x3 x) (2 x 3 x) ln x(6 x 2 1) dx y dx x dy y (2 x 2 1) ln x(6 x 2 1) dx 3 dy x (2 x x ) (2 x 2 1) ln x(6 x 2 1) . dx 2 2 2 d 1 dy d 2 ex y a ln y e x ln a ex ln a ln a e x θ) y dx dx dx 2 2 2 x 2 1 dy dy dy 2 xe x ln a y 2 xe x ln a a e 2 xe x ln a. y dx dx dx x2
ι) y e x ln y x x ln e ln y x x . Θέτω z=lny και έχω 2
2
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[47]
1 dz d d x 2 ln x ln x x 2 z dx dx dx 1 dz 1 1 dz x 2 2 x ln x x 2 x ln x. Επειδή όμως z dx x z dx dz 1 dy θα έχουμε dz dy y y dy 1 dz 1 y x 2 x ln x x 2 x ln x z dx ln y dx 1 1 dy x 2 x ln x ln y y dx x2 2 dy dy y ln y ( x 2 x ln x ) e x x x ( x 2 x ln x ). dx dx 2
z x x ln z x 2 ln x
ια) y ee
5 ex
x5
x5
ln y ee ln e ln y ee . Θέτω z=lny και έχω x5
5
5
z ln y z ee ln z e x ln e ln x e x .
Θέτω w ln z 1 dw 5 x 4 . Επειδή, w dx dz 1 dw 1 dy όμως, θα είναι dw . Επομένως, dy y dz z yz dy 5 ex x5 5 1 yz dy dy 5 x4 yzw5 x 4 ee e e e x 5 x 4 . w dx dx dx 5
w e x ln w x5 ln e ln w x5
6. Εάν η τιμή της μεταβλητής x αυξηθεί από 4 σε 7 μονάδες στη συνάρτηση y=x3+2x215x+4 , να υπολογιστεί η ελαστικότητα του τόξου μεταξύ των αντίστοιχων σημείων και να συγκριθεί αυτή με το μέσο όρο των ελαστικοτήτων στα σημεία αυτά. Λύση Από τη συνάρτηση y x3 2 x 2 15 x 4 , για x1=4 και x2=7, υπολογίζουμε , αντίστοιχα, τιμές y1=40 και y2=340. Επομένως, η ελαστικότητα τόξου μεταξύ των σημείων (4, 40) και (7, 340) είναι: y y x x 340 40 4 7 n 2 1 1 2 2,895. Η ελαστικότητα τόξου μπορεί να x2 x1 y1 y2 7 4 40 340 υπολογιστεί ως ο μέσος όρος των στιγμικών ελαστικοτήτων των ακραίων σημείων του τόξου. Η στιγμική ελαστικότητα σε αυτά (όπως και σε οποιοδήποτε σημείο του τόξου) είναι: dy x x n (3 x 2 4 x 15) Έτσι, το σημείο (4, 40) είναι: dx y y. 4 n1 (3 42 4 4 15) 4,9 και στο σημείο (7, 340) είναι 40
[48]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
7 3, 294. Επομένως, η ελαστικότητα τόξου μεταξύ των 340 σημείων (4,40) και (7, 340) είναι n n 4,9 3, 294 n 1 2 4, 097 , η οποία, όπως διαπιστώνεται, διαφέρει της τιμής 2 2 2,895 που υπολογίστηκε προηγουμένως. n2 (3 7 2 4 7 15)
7. Να προσδιοριστεί η ελαστικότητα των ακόλουθων συναρτήσεων: 3x 2 1 α) y 3 , β) y ( x 2 1) 3 ( x 3 2) 4 , γ) y ae x , x 1 δ) y a e ε) y z
z
1 x 2
3
θ) y a a ι) y e x
2
4
,
, στ) y e
( x 1 ) 3
2 x
k
, ζ) y ae , η) y z t
1
ex
2
,
,
, ια) y ax k , ιβ) y
a . xk
Λύση α) y
3x 2 1 dy ( x 3 1)6 x (3 x 2 1)3 x 2 x3 1 dx ( x 3 1)2
3 2 dy 3 x 2( x 1) x(3x 1) dy 3 x(2 x 3 2 3x 3 x ) dx ( x 3 1) 2 dx ( x 3 1)2
dy 3x( x3 2 x ) . Άρα, dx ( x 3 1)2 n
dy x 3x ( x 3 2 x ) x n 3x 2 1 dx y ( x 3 1) 2 x3 1
3x ( x 3 2 x ) x( x3 1) 3 x 2 ( x3 2 x) n n . (3 x 2 1)( x 3 1) 2 (3 x 2 1)( x3 1) β) y ( x 2 1)( x3 2) 4
dy 3( x 2 1) 2 x ( x 3 2) 4 dx
4( x 3 2) 5 3 x 2 ( x 2 1) 3
dy 6 x( x 2 1) 2 ( x 3 2) 4 dx
12 x 2 ( x 2 1)3 ( x3 2) 5 6 x ( x 2 1)( x3 2) 5 ( x3 2) 2 x( x 2 1)
6 x( x 2 1) 2 ( x 3 2) 5 ( x3 2 2 x 3 2 x) 6 x( x 2 1) 2 ( x 3 2) 5 ( x3 2 x 2).
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
Επομένως, n
[49]
dy x x 6 x( x 2 1) 2 ( x 3 2) 5 ( x 3 2 x 2) dx y y
n 6 x( x 2 1)( x 3 2) 5 ( x 3 2 x 2)
x ( x 1) ( x 3 2) 4 2
3
6 x 2 ( x 3 2 x 2) . ( x 3 2)( x 2 1)2
n
γ) y ae x ln y ln a ln e x ln y ln e ln y x 1 dy dy dy y ae x . Επομένως, y dx dx dx n
dy x x ae x x n x. dx y ae
) y a
ex
1 2
1
1
1 dy d 2 1 dy ln y e ln a ln a e x y dx dx y dx x2
1
2 1 12 x 2 dy 1 12 x 2 dy 1 12 x 2 ex ln a x e x ln a x e a ln a x e . 2 dx 2 dx 2 1
Άρα, n a
ex
1 2
1
1 1 1 2 x 1 2 ln a x 2 e x 1 ln ax 2 e x . 2 2 x2 ae 1
1
1 1 1 dy dy 3 z 4 14 4 3 z z z 4 ln z z 4 z z ln z z 4 . Άρα, dz 4 dx 4 3
3
3 1 1 3 4 1 z 3 z4 n ( z z z 4 ln z z 4 ) 3 n z z 4 ln z 3 4 4 4 4 zz zz 3
3
3
3 3 3 ( z4 ) 3 z4 3 n ln z z 4 3 n ln z z 4 z 4 . 4 4 4 zz
στ) y ekw ln y ln(ekw ) ln y kw ln e ln y kw 1 dy dy dy k yk e kw k . Άρα, y dw dw dw
n ekw k
w n kw. ekw
ζ) y ae t ln y ln a ln e t ln y ln a t ln e ln y ln a t n
1 dy dy x. Άρα, y dt dt
dy t t n y n t. dt y y
1
[50]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
) y z
ex
1 2
ln y ln( z
ex
1 2
1 2
) ln y e x ln z
1 1 dy 1 12 x 2 dy 1 2 x e ln z y ( ln zx 2 e x ). ΄ , y dx 2 dx 2 1
1
1 1 dy x 1 x 1 2 2 n n y ( ln zx 2 e x ) n ( ln zx 2 e x ) x dx y 2 y 2 1
1
1 1 2 ln zx 2 e x . 2 1
n
θ) y a a
( x 1)3
ln y ( x 1) 3 ln a a ln y ( x 1) 3 a ln a
1 dy dy 3( x 1) 4 a ln a 3a ln a y ( x 1) 4 . y dx dx
Επομένως, n
dy x x 3a ln a y ( x 1) 4 n 3a ln a x ( x 1) 4 . dx y y
ι)
y ex
2
2 x
ln y ln(e x
2 x
) ln y 2 x 2
1 dy dy 2x 2 y (2 x 2) . y dx dx
Επομένως, n
dy x x n y (2 x 2) n 2 x ( x 1). dx y y
dy kax k 1. Επομένως, dx dy x x x kax k n kax k 1 n kax k 1 k n n k. dx y y ax ax k a dy ka ιβ) y k k 1 . Επομένως, x dx x dy x ka x ka x x k 1 ka n n ( k 1 ) n ( k 1 ) n n k . a dx y x y x a x k 1 xk
ια) y ax k
8. Να υπολογιστεί για x=3, η στιγμική ελαστικότητα των ακόλουθων συναρτήσεων: α) y=5x+8 , β) y=3x5, γ) y=2x3-6x2+4x+5 και δ) y=xeΧ. Λύση α) y=5x+8. Για x=3 θα είναι y=23. Επομένως, n
dy x 3 5 0, 652. dx y 23
β) y 3x 5 . Για x=3 θα είναι y=729. Επομένως,
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
n
[51]
dy x x 15 x5 15 35 15 x 4 5. dx y y y 729
γ) y 2 x3 6 x 2 4 x 5. Για x=3 θα είναι y=17. Επομένως, n
dy x x 3 (6 x 2 12 x 4) (6 32 12 3 4) 3,882. dx y y 17
δ) y xe x . Για x=3 θα είναι y=60,256. Επομένως, n
dy x x 3 e x ( x 1) 2, 718283 (3 1) 4. dx y y 60, 256
(ή n
dy x x e x ( x 1) x x 1 3 1 4). dx y xe
9. Να υπολογιστούν η στιγμική ελαστικότητα για p=10 και η ελαστικότητα τόξου για τιμές μεταξύ p=5 και p=8, της συνάρτησης ζήτησης q 100 2 p 0,3 p 2 . Λύση Για p=10, η συνάρτηση q 100 2 p 0, 3 p 2 δίνει q=50. Επομένως, η στιγμική ελαστικότητα ζήτησης στο σημείο (10, 50) είναι: dq p p 10 nD p ( 2 0, 6 p) (2 0, 6 10) 1, 6 (ζήτηση ελαστική). Για τιμές dp q q 50 p1=5 και p2=8 οι ζητούμενες ποσότητες θα είναι, αντίστοιχα, q1=82,5 και q2=64,8. Επομένως, η ελαστικότητα τόξου μεταξύ των σημείων (5, 82,5) και (8, 64,8) είναι: q q1 p1 p2 64,8 82, 5 58 nD 2 0, 52 (ζήτηση ανελαστική). p2 p1 q1 q2 85 82, 5 64, 8 p
1 3
10.Εάν η εξίσωση ζήτησης αγαθού είναι η p ( 2 q ) (όπου (0 q 2) ), να υπολογιστεί η εξίσωση της ελαστικότητας ζήτησης του αγαθού ως προς την τιμή αυτού. Λύση 1
p (2 q ) 3 p 3 2 q q 2 p 3 . Επομένως, nD p
dq p p 3 p3 3 p3 3 p 2 . dp q q q 2 p3
11.Εάν η τιμή ανά μονάδα προϊόντος είναι 50 χρηματικές μονάδες, η επιχείρηση η οποία παράγει το προϊόν αυτό πωλεί 500 μονάδες σε ορισμένη χρονική περίοδο. Εάν η τιμή του προϊόντος μειωθεί στις 45 χρηματικές μονάδες, η επιχείρηση πωλεί 600
[52]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
μονάδες αυτού. Ποια είναι η ελαστικότητα ζήτησης του προϊόντος στην τιμή των 50 χρηματικών μονάδων; Λύση nD p
q p 600 500 50 2 (ζήτηση ελαστική). p q 45 50 500
12. Αγαθό έχει συνάρτηση ζήτησης την p
k . Να υπολογιστεί η ελαστικότητα q
ζήτησης για οποιαδήποτε τιμή του k. Λύση p
k k dq p k p k k q . Επομένως, nD p 1 . q p dp q p 2 q pq k
Η ελαστικότητα ζήτησης του αγαθού για οποιαδήποτε τιμή του k είναι σταθερή και ίση με την αρνητική μονάδα. 13. Εάν η συνάρτηση προσφοράς αγαθού είναι q 10 2 p 0 ,5 p 0 ,02 , να υπολογιστεί η ελαστικότητα προσφοράς για το διάστημα τιμών μεταξύ 2 και 5 χρηματικών μονάδων και για τιμή 10 χρηματικών μονάδων. Λύση Από τη συνάρτηση q 10 2 p 0,5 p 0,02 , για p1=2 και p2=5, οι προσφερόμενες ποσότητες του αγαθού θα είναι, αντίστοιχα, q1 13,842 και q2 15, 505 . Επομένως, η ελαστικότητα (τόξου) προσφοράς μεταξύ των σημείων (2, 13,842) και (5, 15,505) είναι: q q1 p1 p2 15, 505 13,842 25 nS 2 0,132 p2 p1 q1 q2 52 13,842 15, 505 (προσφορά ανελαστική). Για p=10 η προσφερόμενη ποσότητα του αγαθού υπολογίζεται από τη συνάρτηση σε q=17,372 και επομένως η στιγμική ελαστικότητα προσφοράς του αγαθού στο σημείο (10, 17,372) είναι: dq p p 1 0, 02 p nS ( p 0,5 0, 02 p 0,98 ) ( 0,5 0,98 ) dp q q p p q 1 0, 02 10 ( 0,5 0,98 ) 0,183 (προσφορά ανελαστική). 10 10 17,372 14. Η προσφορά ενός αγαθού δίνεται από την εξίσωση q 5 p 8 (όπου p> 8). Να υπολογιστεί η εξίσωση της ελαστικότητας προσφοράς και να αποδειχθεί ότι η
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[53]
ελαστικότητα ελαττώνεται με την αύξηση της τιμής του αγαθού και γίνεται μοναδιαία στην τιμή p=16. Λύση 1 p dq p 1 5 1 p 5p 5 ( p 8) 2 dp q 2 q 2 p 8 q 2 p 8 5 p 8 5p p 1 = . Πράγματι, όπως διαπιστώνεται από τη σχέση αυτή, 10( p 8) 2( p 8) 2(1 8 ) p
nS
όσο η τιμή p του αγαθού αυξάνεται, τόσο η ελαστικότητα nS ελαττώνεται, τείνουσα (όταν p ) στο 0,5 και γίνεται μοναδιαία στην τιμή p=16. 15. Να υπολογιστούν οι ελαστικότητες ζήτησης και προσφοράς αγαθού στην κατάσταση ισορροπίας του συστήματος των συναρτήσεων q D 100 p 2 και q S 10 5 p . Λύση Στην κατάσταση ισορροπίας του συστήματος θα είναι qD = qS, δηλαδή 100 p 2 10 5 p p 2 5 p 90 0. Επιλύοντας την εξίσωση βρίσκουμε p=7,31 (η αρνητική τιμή της p απορρίπτεται), στην οποία αντιστοιχεί ποσότητα qD = qS =46,56 μονάδες του αγαθού. Επομένως, dq p p 2 p2 2 7,312 nD p 2 p 2, 295 (ζήτηση ελαστική) και dp q q q 46, 56 dq p p 7,31 nS 5 5 0, 785 (προσφορά ανελαστική). dp q q 46,56 16.Εάν nD και ηS είναι, αντίστοιχα, οι συντελεστές ελαστικότητας ζήτησης και προσφοράς αγαθού, να υπολογιστεί η σχετική μεταβολή της τιμής η προκαλούμενη από τη μεταβολή της προσφερόμενης ποσότητας του αγαθού κατά ποσοστό α. Να dp υπολογιστεί η όταν ηD = -3 , ηS =2 και α=20%. p Λύση Οι ελαστικότητες ζήτησης και προσφοράς του αγαθού είναι, αντίστοιχα, dq p dq p και nS S . nD D dp q D dp qS dq dq dp Η πρώτη, επιλυόμενη ως προς D δίνει D nD . qD qD p
[54]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
Η δεύτερη, με τη μεταβολή της προσφερόμενης ποσότητας του αγαθού κατά ποσοστό dq dp α, δίνει S nS a . Επομένως, qS p dp dp dp dp a . Συγκεκριμένα, εάν nD= -3, nS= nD nS a ( nD nS ) a p p p p n D nS dp 0, 20 2 και α=20%, τότε 0, 04 . Η τιμή 0, 04 σημαίνει ότι αύξηση (ή p 3 2 ελάττωση) της προσφερόμενης ποσότητας του αγαθού κατά 20% θα επιφέρει ελάττωση (ή αύξηση) της τιμής αυτού κατά 4%. 17.Δίνεται ο ακόλουθος πίνακας με υποθετικά δεδομένα, που αφορούν ορισμένο καταναλωτή, για συγκεκριμένο αγαθό. Αγοραία Αγοραζόμενη Εισόδημα του Χρονική τιμή του ποσότητα του καταναλωτή περίοδος αγαθού x αγαθού x 1 2 3 4 5 6 7 8
5 5 4 3 3 6 5 3
50 60 50 70 60 60 70 50
10 12 15 10 15 12 12 10
Αγοραία τιμή του αγαθού Υ 2 2 3 1 2 2 3 4
Να υπολογιστούν οι συντελεστές ελαστικότητας ως προς την τιμή, ως προς το εισόδημα και η σταυροειδής ελαστικότητα (υπενθυμίζεται ότι το εισόδημα πρέπει να είναι σταθερό όταν υπολογίζονται οι ελαστικότητες ως προς την τιμή και σταθερές οι τιμές όταν υπολογίζεται η εισοδηματική ελαστικότητα).
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[55]
Λύση Υπολογισμός συντελεστών ελαστικότητας ως προς την τιμή του αγαθού Χ:
18. Εάν η τιμή ενός αγαθού αυξηθεί κατά 5% και η ζήτηση μειωθεί κατά 8%, να υπολογιστεί η ελαστικότητα ζήτησης και το ποσοστό μεταβολής των ολικών εσόδων. Λύση y x . Έτσι, για την x y q p 8 ελαστικότητα ζήτησης στη συγκεκριμένη άσκηση θα είναι n 1 (ζήτηση p q 5 ελαστική). Τα έσοδα πριν από τις μεταβολές, θα είναι R pq και μετά τις μεταβολές
Η ελαστικότητα συνάρτησης δίνεται από τη σχέση n
διαμορφώνονται ως R΄ p΄q΄ . Αλλά p΄ p 0, 05 p q΄ q 0, 08q. Συνεπώς, R΄ p΄q΄
= ( p 0, 05 p )(q 0, 05q ) p (1 0, 05)(1 0, 08) q = pq (1, 05)(0, 92) =0,966pq=0,966R. δηλαδή υπάρχει μείωση των εσόδων κατά 3,4% (0,034=1-0,966). 19. Η συνάρτηση η οποία συνδέει τη ζητούμενη ποσότητα ενός αγαθού με το εισόδημα του καταναλωτή είναι q 50 3Y 0, 3 . Ποια είναι η ελαστικότητα ζήτησης του αγαθού εάν το εισόδημα του καταναλωτή αυξηθεί από 20 σε 30 χρηματικές μονάδες;
[56]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
Λύση Από τη συνάρτηση q 50 3Y 0,3 , για Υ1=20 και Υ2=30 οι ζητούμενες ποσότητες του αγαθού θα είναι, αντίστοιχα, q1 57, 37 και q2 58, 33 . Επομένως, η εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης (ελαστικότητα τόξου) μεταξύ των σημείων (20, 57,37) και (30, 58,33) είναι: q q Y Y 58, 33 57, 37 20 30 nD 2 1 1 2 0, 041. Y2 Y1 q1 q2 30 20 57, 37 58, 33 Y
20. Εάν η συνάρτηση παραγωγής προϊόντος είναι q 100 5 z 0,5 z 2 (όπου z=μονάδες εισροής και q=μονάδες παραγόμενου προϊόντος), να υπολογιστεί η ελαστικότητα του προϊόντος για z=8 μονάδες. Για ποια τιμή του z η παραγωγή είναι πλήρως ελαστική, πλήρως ανελαστική ή ίση με -1; Λύση Για z=8 μονάδες εισροής, η συνάρτηση q 100 5 z 0, 5 z 2 δίνει q=108 μονάδες προϊόντος. Επομένως, η ελαστικότητα παραγωγής θα είναι: dq z z 8 nq (5 z ) (5 8) 0, 222 . Η παραγωγή είναι πλήρως ελαστική dz q q 108 dq z z (είναι, δηλαδή, ) όσο ο λόγος , δηλαδή όσο q 0. Έτσι, dz q q 2 100 5 z 0, 5 z 0 0, 5( z 20)( z 10) 0, εξίσωση η οποία δίνει πραγματική τιμή z = 20. z Η παραγωγή είναι πλήρως ανελαστική, όταν nq (5 z ) 0 , δηλαδή όταν q (5 z ) z 0, εξίσωση η οποία δίνει z1=0 και z2=5. Τέλος, (5 z ) z 5z z 2 1 1 q 100 5 z 0,5 z 2 5 z z 2 100 5 z 0, 5 z 2 1, 5 z 2 10 z 100 0, η οποία έχει λύση την z=12,152 (η nq 1
αρνητική ρίζα απορρίπτεται). 21.Επιχείρηση η οποία παράγει το προϊόν x1 έχει συνάρτηση κόστους παραγωγής C1 ax12 bx1 . Να υπολογιστεί η ελαστικότητα κόστους και να αποδειχθεί ότι αυτή τείνει στο 2 όσο η παραγωγή του x1 επεκτείνεται. Μια άλλη επιχείρηση, που παράγει το προϊόν x2, έχει συνάρτηση κόστους C 2 cx2 d . Να υπολογιστεί η ελαστικότητα κόστους και να αποδειχθεί ότι αυτή αυξάνεται, τείνουσα στο 0,5 με την απεριόριστη (θεωρητικά) αύξηση της παραγωγής του προϊόντος x2.
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[57]
Λύση nC1
dC1 x1 x (2ax1 b) x1 (2ax1 b) x1 2ax1 b (2 ax1 b ) 1 . dx1 C1 C1 ax12 bx1 ( ax1 b ) x1 ax1 b
Διαιρώντας δια x1 τους όρους του κλάσματος, έχουμε: b 2a 2ax1 b x1 2a 2. b ax1 b a a x1 nC2
1 1 dC2 x2 1 x 1 ( cx2 d ) 2 c 2 ( cx2 d ) 2 dx2 C2 2 C2 2
του όρους του κλάσματος δια x2, έχουμε:
cx2 (cx2 d )
1 2
cx2 . Διαιρώντας 2( cx2 d )
cx2 c c 0,5. 2 d 2(cx2 d ) 2c 2c x2
22. Εάν y=f(x) είναι η συνάρτηση ενός ολικού οικονομικού μεγέθους, να προσδιοριστεί η ελαστικότητα του αντίστοιχου μέσου μεγέθους. Λύση Η ελαστικότητα του αντίστοιχου μέσου μεγέθους (ΜΜ) δίνεται από τη σχέση: d x f ( x) f ( x) d ( MM ) x d f ( x) x x2 dx n dx ( MM ) dx x f ( x ) x2 f ( x) x d x f ( x) f ( x) dx . f ( x) 23. Να απαντηθούν, με τη χρησιμοποίηση παραγώγων, τα ακόλουθα: α) Έστω ΑR(x) η συνάρτηση μέσων εσόδων. Να αποδειχθεί ότι η ελαστικότητα της συνάρτησης ολικών εσόδων ισούται με την ελαστικότητα των μέσων εσόδων +1. β) Έστω C(x) η συνάρτηση του ολικού κόστους. Να δειχθεί ότι η ελαστικότητα του μέσου κόστους ισούται με την ελαστικότητα του ολικού κόστους -1. γ) Έστω AP(x) η συνάρτηση του μέσου προϊόντος. Να αποδειχθούν: α) όταν το οριακό μέσο προϊόν είναι αρνητικό, τότε ΜP<AP, β) όταν το οριακό μέσο προϊόν είναι θετικό, τότε MP>AP και γ) όταν το οριακό μέσο προϊόν είναι ίσο με 0, τότε MP=AP.
[58]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
Λύση α) Έστω nR η ελαστικότητα των ολικών εσόδων και nAR η ελαστικότητα των μέσων εσόδων. Θα είναι d x nR ( R ) και dx R d x d R x d R x2 nAR ( AR ) nAR ( ) n AR ( ) dx AR dx x R dx x R x dR dR x R 2 x R x x dR nAR dx 2 nAR dx nAR 1. Αλλά, x R R R dx x dR nR . Επομένως, n AR nR 1 nR n AR 1. R dx β) Έστω n1 η ελαστικότητα του ολικού κόστους και n2 η ελαστικότητα του μέσου κόστους. Θα είναι: nC
dC x και dx C
d x d C x d C x2 nAC ( AC ) nAC ( ) nAC ( ) dx AC dx x C dx x C x dC dC x C 2 x C x x dC x dC dx dx nAC nAC nAC 1. Αλλά, nC . 2 x C C C dx C dx Επομένως, n AC nC 1. Q η συνάρτηση του μέσου προϊόντος (όπου Q=f(x) η συνάρτηση x προϊόντος) και Μ(AP) η συνάρτηση του οριακού μέσου προϊόντος. Από τη δεύτερη έχουμε
γ) έστω AP
d d Q M ( AP) ( AP) M ( AP) ( ) M ( AP) dx dx x
x
dQ Q dx . Εάν x2
M ( AP ) 0, δηλαδή
x
dQ Q dQ dQ dQ Q dx 0 x Q 0 x Q P P. 2 x dx dx dx x
γ) Ομοίως, αν Μ(ΑP)=0, θα είναι dQ dQ Q x Q MP AP. dx dx x
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[59]
24.Εάν η παραγωγή δύο προϊόντων, παραγομένων από επιχείρηση, δίνεται από τη συνάρτηση y1 y 22 20 y 2 50 , να υπολογιστεί η ελαστικότητα μετασχηματισμού για το διάστημα των τιμών του y2=15 και y2=20 μονάδες. Πότε η ελαστικότητα μετασχηματισμού είναι ίση με -1; Λύση Από τη συνάρτηση y1 y 22 20 y 2 50 , για y2=15 και y2=20 υπολογίζονται, αντίστοιχα, y1=125 και y1=50. Επομένως, η ελαστικότητα μετασχηματισμού μεταξύ των σημείων (15, 125) και (20, 50) είναι: y y11 y21 y22 50 125 15 20 Η στιγμική ελαστικότητα nT 12 3. y22 y 21 y11 y12 20 15 125 50 μετασχηματισμού είναι: dy y y nT 1 2 ( 2 y 2 20) 2 . dy2 y1 y1 Επομένως, ( 2 y 2 20)
y2 1 2 y 22 20 y 2 y 22 20 y 2 50 y 20 y 2 50 2 2
3 y 22 40 y 2 50 0 , η οποία έχει λύση την y2=14,484 (η αρνητική ρίζα απορρίπτεται).
Από την αρχική συνάρτηση υπολογίζεται y1=129,894. Συνεπώς, η ελαστικότητα μετασχηματισμού είναι ίση με -1 στο σημείο (14,484, 129,894). 25. Εάν η συνάρτηση η οποία συνδέει την παραγωγή δύο προϊόντων είναι η 5y2 y12 2 200 , να υπολογιστεί η οριακή σχέση και η ελαστικότητα 4 μετασχηματισμού στην παραγωγή 10 μονάδων του προϊόντος y2. Λύση 5 y22 5y2 5 y2 1 200 y12 200 2 y1 (200 2 ) 2 . Επομένως, 4 4 4 1 2 dy 1 5y 10 y2 5 y2 MRTY1 y 1 (200 2 ) 2 ( ) 2 dy2 2 4 4 4 5 y22 200 4 5 y2 5 10 5 10 = 1, 44. Για y2=10, από τη συνάρτηση y12 200 2 4 4 4 8, 66 5 10 2 200 4 dy y 10 υπολογίζεται y1=8,66. Επομένως, nT 1 2 1, 44 1, 663. dy 2 y1 8, 66 y12
[60]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
26. Γεωργική επιχείρηση έχει συνάρτηση παραγωγής ενός προϊόντος q 50 L0 , 4 K 0, 6 (όπου L=μονάδες εργασίας και Κ=μονάδες κεφαλαίου) και παράγει σταθερή ποσότητα του προϊόντος ίση με 200 μονάδες. Ποια είναι η οριακή σχέση και η ελαστικότητα τεχνικής υποκατάστασης της εργασίας από το κεφάλαιο της γεωργικής επιχείρησης, όταν χρησιμοποιούνται 9 μονάδες κεφαλαίου; πόσες μονάδες του συντελεστή εργασία πρέπει να «θυσιαστούν» εάν το κεφάλαιο αυξηθεί από 9 σε 16 μονάδες; Λύση q 50 L0,4 K 0,6 200 50 L0,4 K 0,6 L0,4 K 0,6 4 L0,4
4 K 0,6
10 3 4 10 4 4 32 L ( 0,6 ) 4 6 3 32 K 2 . Επομένως, K K4 K2 dL 3 32 52 48 48 48 MRTS L ό K 0,1975 και 5 5 d 2 243 K 9
dL K 48 K dK L
5 2
K
3 2
48 K 1,5 (Σημείωση: Η τιμή nTsb 32 32 32 K K υπολογίζεται, επίσης, αφού προηγουμένως υπολογιστεί η τιμή L για Κ=9, η οποία nTsb
3 2
είναι L=1,185. Πράγματι, 9 nTsb 0,1975 1,5). 1,185 Για Κ=16 υπολογίζεται τιμή L 32 16
3 2
32 163
0, 5.
x2 x (3 ) (όπου x=μονάδες 25 12 εισροής), να υπολογιστεί το οριακό προϊόν στην τιμή x=20. Ποια είναι η παραγόμενη ποσότητα του προϊόντος στην οποία το οριακό προϊόν γίνεται ίσο με το μέσο προϊόν; Επαληθεύστε αυτό γραφικώς.
27. Εάν η συνάρτηση παραγωγής προϊόντος είναι y
Λύση dy x 2 d x x d x2 x2 1 x 2x MP (3 (3 ( ) ( ) (3 ) dx 25 dx 12) 12) dx 25 25 12 12 25 6 x 3 x 2 3x x (2 ). Επομένως, για x=20 έχουμε: 25 300 25 12 3 20 20 1 MP (2 ) 2, 4 0,8. 25 12 3 Η συνάρτηση του μέσου προϊόντος είναι
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[61]
y x x x 3x 2x (3 ) 3 6 3 x 18 , στην τιμή δε αυτή η x 25 12 12 12 12 παραγόμενη ποσότητα του προϊόντος είναι: x2 x 182 18 182 18 y (3 ) (3 ) 19, 44. Πράγματι, στο σημείο Μ (18, 19,44) 25 12 25 12 25 12 έχουμε MP =AP, κατάσταση στην οποία το μέσο προϊόν μεγιστοποιείται (σημείο Ν). AP
2 L2 10 L 30 9 (όπου L=μονάδες εργασίας). Να υπολογιστεί το οριακό προϊόν της επιχείρησης για 21
28. Η συνάρτηση του μέσου προϊόντος επιχείρησης είναι AP
μονάδες εργασίας. Ποιο θα είναι το οριακό κόστος εάν η τιμή ανά μονάδα εργασίας είναι 300 χρηματικές μονάδες; Λύση Η συνάρτηση ολικού προϊόντος της επιχείρησης είναι: q L ( AP ) L ( MP
2 L2 2 L3 10 L 30) 10 L2 30 L. Επομένως, 9 9
dq 6 2 L 20 L 30. Για L=21, είναι dL 9
6 MP 212 20 21 30 156 και 9
[62]
MC
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
dC pL dL p 300 L 1,923. dq dq MP 156
29. Η συνάρτηση κόστους παραγωγής ενός προϊόντος είναι C 2 q 3 q 2 10q 15 (όπου q=μονάδες παραγόμενου προϊόντος). Σε πόσες μονάδες του προϊόντος το οριακό κόστος γίνεται ίσο με το μέσο κόστος; Δείξτε αυτό γραφικώς. Ποιο συμπέρασμα συνάγετε; Λύση Από
τη συνάρτηση κόστους υπολογίζονται C 2 q 3 q 2 10q 15 dC C 15 MC 6q 2 2q 10 και AC 2q 2 q 10 . Επομένως, εξισώνοντας dq q q MC και AC έχουμε: 15 15 6q 2 2q 10 2q 2 q 10 4 q 2 q 0 4 q 3 q 2 15 0. Η q q τριτοβάθμια αυτή εξίσωση έχει μόνο μία ρίζα πραγματική και θετική, την q 1,64. Όπως διαπιστώνεται, από το σχήμα, στο επίπεδο αυτό της παραγωγής το μέσο κόστος είναι το ελάχιστο (σημείο Μ) και ίσο με 22,89 χρηματικές μονάδες 15 15 ( AC 2q 2 q 10 ) 2 1,64 2 1, 64 10 22,89). 9 1, 64
30. Με πόσες μονάδες παραγόμενου προϊόντος το οριακό κόστος είναι ίσο με το μέσο μεταβλητό κόστος, όταν επιχείρηση έχει συνάρτηση ολικού κόστους παραγωγής του προϊόντος C q 3 20 q 2 200 q 10 ; δείξτε αυτό γραφικώς. Ποιο συμπέρασμα συνάγετε;
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[63]
Λύση Από τη συνάρτηση κόστους C q 3 20 q 2 200 q 10 υπολογίζονται dC MC 3q 2 40q 200 και dq VC q 3 20q 2 200q AVC q 2 20q 200. q q Επομένως, εξισώνοντας MC και AVC έχουμε: 3q 2 40 q 200 q 2 20 q 200 2q 2 20 q 0 2 q ( q 10) 0, εξίσωση η οποία έχει λύσεις την q1=0 και q2=10, τιμές όπου MC=AVC (σημεία Μ και Ν, αντιστοίχως). Ακόμη, όπως διαπιστώνεται από το σχήμα, στο επίπεδο της παραγωγής q=10 μονάδων προϊόντος το μέσο μεταβλητό κόστος (AVC) είναι το ελάχιστο και ίσο με 100 χρηματικές μονάδες ( AVC q 2 20 q 200 10 2 20 10 200 100).
31. Εάν η συνάρτηση ζήτησης αγαθού, παραγόμενου από επιχείρηση, είναι p q 25 , να υπολογιστούν τα οριακά έσοδα της επιχείρησης από την πώληση 8 q μονάδων του προϊόντος. Σε ποια ποσότητα του πωλούμενου αγαθού τα οριακά έσοδα μηδενίζονται; Λύση p 200 p p 200 8q . Επομένως, η συνάρτηση εσόδων θα είναι: 8 8 R pq (200 8q ) q 200 q 8q 2 και συνεπώς
q 25
[64]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
MR
dR 200 16q. Για q=8 μονάδες προϊόντος, έχουμε dq
χρηματικές μονάδες. Στην κατάσταση μηδενισμού των οριακών εσόδων, έχουμε: MR 200 16 q 0 16 q 200 q 12, 5 μονάδες του πωλούμενου αγαθού. MR 200 16 8 72
1 3
32. Η εξίσωση ζήτησης αγαθού είναι p (15 q ) . Να υπολογιστούν τα οριακά έσοδα που πραγματοποιεί η επιχείρηση από την παραγωγή και πώληση 10 μονάδων του αγαθού. Να διατυπωθεί η συνάρτηση οριακών εσόδων ως προς την τιμή και την ελαστικότητα ζήτησης ( n D p ) του αγαθού. Λύση Τα έσοδα που πραγματοποιεί η επιχείρηση από την παραγωγή και πώληση 10 μονάδων του αγαθού είναι: 1
1
1
1
1
R pq (15 q ) 3 q (15 q ) 3 ( q 3 ) 3 (15 q ) q 3 3 (15q 3 q 4 ) 3 . Επομένως, 2 dR 1 45q 2 4q 3 MR (15q 3 q 4 ) 3 (45q 2 4q 3 ) dq 3 3 3 (15q 3 q 4 ) 2
=
q 2 (45 4q)
45 4q
. Για q=10, θα είναι 3q 2 3 (15 q) 2 3 3 (15 q ) 2 45 4 10 MR 0,57. Από την εξίσωση ζήτησης 3 3 (15 10) 2
1 3
p (15 q) προκύπτει: p 3 15 q q 15 p 3 και dq 3 p 2 . Επομένως, dp nDp
dq p p 3 p3 3 p3 3 p 2 και q . Συνεπώς, dp q q q nD p 45 4
MR
45 4q 3 3 (15 q ) 2
33
(15nDp 3 p 3 ) 2
15nDp 4 p 3
τελικά, MR 3
( 3 p 3 ) nD p
9(5nDp p3 )2
3(15nDp 4 p 3 ) 3 3 (15nDp 3 p3 ) 2
και
nD2 p
.
33. Επιχείρηση έχει συνάρτηση παραγωγής προϊόντος q 100 5 z 0,5 z 2 (όπου z=μονάδες εισροής). Εάν η αγοραία τιμή του προϊόντος είναι σταθερή και ίση με 6 χρηματικές μονάδες, να υπολογιστεί η ποσότητα του προϊόντος στην οποία τα
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[65]
οριακά έσοδα της επιχείρησης μηδενίζονται. Να απεικονιστούν τα ευρήματα γραφικώς. Λύση Τα έσοδα που πραγματοποιεί η επιχείρηση με τιμή προϊόντος p=6 χρηματικές μονάδες, είναι: R pq p (100 5 z 0, 5 z 2 ) 6(100 5 z 0, 5 z 2 ) 600 30 z 3 z 2 . Επομένως, dR MR 30 6 z. Εάν MR=0, τότε 30-6z = 0 z 5. Στην ποσότητα αυτή της dz εισροής θα παραχθούν q 100 5 5 0, 5 52 112, 5 μονάδες προϊόντος.
34.Εάν η συνάρτηση κόστους κατανάλωσης είναι C 0,08Y 0, 6 , να υπολογιστεί η οριακή ροπή προς κατανάλωση για μέγεθος εισοδήματος 20 χρηματικές μονάδες. Ποια είναι η οριακή ροπή προς επένδυση; Λύση dC 0, 048 0, 048 0, 08 0, 6Y 0,4 0,4 0, 014. Επομένως, dY Y 200,4 MPS 1 MPC 1 0, 014 0, 986. MPC
35. Η ικανοποίηση που απολαμβάνει 3ο καταναλωτής με την απόκτηση αγαθού εκφράζεται από τη συνάρτηση U 20 x 4 . Να υπολογιστεί η οριακή χρησιμότητα με την απόκτηση 16 μονάδων του αγαθού και να επιβεβαιωθεί ο νόμος της φθίνουσας οριακής χρησιμότητας.
[66]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
Λύση
dU 3 14 15 15 MU 20 x 1 1 7,5. Από τη σχέση της οριακής χρησιμότητας dx 4 x 4 16 4 15 MU 1 διαπιστώνεται ότι με την αύξηση της κατανάλωσης (αύξηση του x) του x4 αγαθού επέρχεται βαθμιαία ελάττωση της οριακής χρησιμότητας αυτού. 36. Να υπολογιστεί η οριακή σχέση και η ελαστικότητα υποκατάστασης του αγαθού x1 από το αγαθό x2, όταν o καταναλωτής, του οποίου η καμπύλη αδιαφορίας εκφράζεται από τη συνάρτηση
x 22 5 2 2 , καταναλώνει 5 μονάδες του x2. x1 10
200 8 3
Ποια θα είναι η μεταβολή στην καταναλώμενη ποσότητα του αγαθού x1 εάν o καταναλωτής αυξήσει την κατανάλωση του x2 από 5 σε 9 μονάδες; Λύση x22 5 x2 x2 2 2 2 x1 20 200 8 3 2 5 x1 90 4 3 2 5 x1 10 2 2
200 8 3
1 x22 x1 90 4( 5) 3 . Επομένως, 2 2 dx1 4 x22 MRS x1 ό x2 ( 5) 3 x2 dx2 3 2 4 x2 4 5 = 0,989. Για κατανάλωση 5 μονάδων του αγαθού 2 2 3 x2 3 5 2 2 3 ( 3 ( 5) 5) 2 2 x2 η συνάρτηση αδιαφορίας δίνει x1=79,62 μονάδες. Συνεπώς, dx x 5 nSb 1 2 0, 989 0, 062. dx2 x1 79, 62
Με κατανάλωση 9 μονάδων του αγαθού x2 , από τη συνάρτηση υπολογίζεται ότι καταναλώνονται 75,72 μονάδες του αγαθού x1 , δηλαδή ο καταναλωτής μειώνει την ποσότητα του x1 κατά 3,9 μονάδες προκειμένου να διατηρήσει σταθερό το επίπεδο της ολικής χρησιμότητάς του. 37. Να προσδιοριστούν μέγιστα και ελάχιστα σημεία ή σημεία καμπής και να υπολογιστούν οι συντεταγμένες των σημείων αυτών για τις ακόλουθες συναρτήσεις: 18 α) y 8 4 x x 2 , β) y=x2-6x+10 , γ) y=x3-12x+5, δ) y=2x+ x
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[67] 2 3
ε) y=2x (x+9), στ) y x (1 x ) , ζ) y 80 5 x 3x 2 2
x3 , 3
2x , θ) y x 2 e x , ι) y ln (3 x 3 x ) . 2 1 x Να επαληθευτούν τα προκύπτοντα αποτελέσματα με τη χρησιμοποίηση γραφικών απεικονίσεων.
η) y
Λύση α) y 8 4 x x 2 .
dy d2y 4 2 x, 2. Από την εξίσωση dx dx 2
dy 4 2 x 0 προκύπτει x=2. Για x=2 θα είναι y 8 4 2 2 2 12. dx d2y Επειδή 0, η συνάρτηση έχει μέγιστο σημείο (σημείο Μ) για dx 2 τιμές x=2 και y=12. dy d2y β) y x 2 6 x 10. 2 x 6, 2. Από την εξίσωση dx dx 2 dy 2 x 6 προκύπτει x=3. Για x=3 θα είναι dx y 32 6 3 10 1.
Επειδή και y=1.
d2y 2 0, η συνάρτηση έχει ελάχιστο σημείο (σημείο Ν) για τιμές x=3 dx 2
[68]
γ)
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
y x 3 12 x 5.
dy d2y d3y 3x 2 12, 6 x , 6. dx dx 2 dx 3
Από
την
εξίσωση
dy 3 x 2 12 προκύπτουν οι λύσεις x1=2 και x2= -2. Για x1=2 προκύπτει dx y1 2 3 12 2 5 11. Επειδή
d2y 6 x 6 2 12 0, η συνάρτηση έχει ελάχιστο σημείο (σημείο Μ) για τιμές x1, dx 2 y1. Για x2= -2 προκύπτει y 2 ( 2) 3 12( 2) 5 21, και d2y 6 x 6 ( 2) 12 0 , η συνάρτηση έχει μέγιστο σημείο (σημείο Ν) για τις dx 2 τιμές x2 , y2. d2y Από την εξίσωση 6 x 0 προκύπτει x=0, στο οποίο αντιστοιχεί y=5. Το σημείο dx 2 d3y Λ (0,5) είναι σημείο καμπής, γιατί 2 0. dx 3 108 18 dy 18 d 2 y 36 d 3 y δ) y 2 x . 2 2 , 3, 4 . 2 3 x dx x dx x dx x
Από την εξίσωση
dy 18 2 2 0 προκύπτουν οι λύσεις x1=3 και dx x
x2=-3. Για x1=3 θα είναι y1 2 3
18 12. Επειδή 3
d 2 y 36 36 4 0, η συνάρτηση έχει ελάχιστο σημείο (σημείο Ν) για τις τιμές x2 dx 2 x3 33 3 , y2.
Επειδή δε για οποιαδήποτε τιμή του x, οι παράγωγοι διάφορες του μηδενός, δεν υπάρχει σημείο καμπής.
d2y d3y και ανώτερες είναι , dx 2 dx3
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[69]
d2y d3y dy ε) y 2 x ( x 9). 6 x ( x 6), 12( x 3), 12. dx dx 2 dx3 2
dy 6 x( x 6) 0 προκύπτουν οι λύσεις x1=0 και x2= = -6. Για x1=0 dx d2y θα είναι y1=0. Επειδή 12( x 3) 12 3 36 0, η συνάρτηση έχει ελάχιστο dx 2 σημείο (σημείο 0) για τις τιμές x1 , y1.
Από την εξίσωση
Για x2= -6 προκύπτει y 2 2( 6) 2 ( 6 9) 216. Επειδή d2y 12( x 3) 12(6 3) 12( 3) 36 0, η συνάρτηση έχει μέγιστο σημείο dx 2 d2y (σημείο Μ) για τις τιμές x2 , y2. Από την εξίσωση 12( x 3) 0 προκύπτει x= -3, dx 2 στην τιμή δε αυτή αντιστοιχεί y 2(3) 2 ( 3 9) 108. To σημείο Ν(-3, 108) είναι
σημείο καμπής, γιατί
d3y 12 0. dx3
2
στ) y x 3 (1 x) . dy 2 5 x d 2 y 10 x 2 d 3 y 10 x 8 3 , , . dx 3 x dx 2 dx3 27 x 2 3 x 9x 3 x
Από την εξίσωση
dy 2 5 x 0 (για x 0 ) προκύπτει η λύση x=0,4. Για x=0,4 θα dx 3 3 x
2 3
είναι y 0, 4 (1 0, 4) 0,33. Επειδή d2y 10 x 2 10 0, 4 2 2, 26 0, η συνάρτηση έχει μέγιστο σημείο 2 dx 9x 3 x 9 0, 4 3 0, 4
(σημείο Μ) για τις τιμές x, y. Από την εξίσωση d2y 10 x 2 0 προκύπτει η λύση x= -0,2, στην τιμή δε αυτή αντιστοιχεί 2 dx 9x 3 x 2
y ( 0, 2) 3 1 ( 0, 2) 0, 41 είναι σημείο καμπής, γιατί
d3y 10 ( 0, 2) 8 9,5 0. 3 dx 27( 0, 2) 2 3 0, 2
[70]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
ζ) y 80 5 x 3 x 2
x3 . 3
d2y d3y dy x 2 6 x 5, 2( x 3), 2. Από την dx dx 2 dx3
dy x 2 6 x 5 0 προκύπτουν οι λύσεις x1=5 και x2=1. Για x1=5 προκύπτει dx 53 y1 80 5 5 3 52 71, 67. Επειδή 3
εξίσωση
d2y 2( x 3) 2(5 3) 4 0, η συνάρτηση έχει ελάχιστο σημείο (σημείο Μ) για dx 2 13 2 τις τιμές x1 5, y1 71, 67. Για x2=1 προκύπτει y2 80 5 1 3 1 82,33. 3 Επειδή δε d2y 2( x 3) 2(1 3) -4<0 η συνάρτηση έχει μέγιστο σημείο (σημείο Ν) για τις dx 2 d2y τιμές x2 , y2. Τέλος, από την εξίσωση 2( x 3) 0 προκύπτει τιμή x=3, στην dx 2 33 οποία αντιστοιχεί τιμή της y 80 5 3 3 32 77. Το σημείο Λ (3, 77) είναι 3 3 d y σημείο καμπής, γιατί 3 2 0. dx
η) y
dy 2(1 x 2 ) d 2 y 4 x( x 2 3) 2x , , . 1 x 2 dx (1 x 2 ) 2 dx 2 (1 x 2 )3
d 3 y 12 x( x 1)( x 2 4 x 5) , dx 3 (1 x 2 ) 4 d 4 y 48 x5 180 x 4 24 x 3 528 x 2 24 x 60 . dy 4 1 x2 dy 2(1 x 2 ) Από την εξίσωση 0 προκύπτουν οι λύσεις x1= -1 και x2=1. Για x1= -1 dx (1 x 2 ) 2 2( 1) προκύπτει y1 1. Επειδή 1 ( 1) 2
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[71]
2 d 2 y 4 x( x 2 3) 4(1) (1) 3 1 0, η συνάρτηση έχει 3 dx 2 (1 x 2 )3 1 (1)2 ελάχιστο σημείο (σημείο Μ) για τις τιμές x1 1, y1 1. 2 1 Για x2=1 προκύπτει y2 1. Επειδή δε 1 12 d 2 y 4 x( x 2 3) d 2 y 4 x ( x 2 3) 1 0, η συνάρτηση έχει μέγιστο 1 0, dx 2 (1 x 2 )3 dx 2 (1 x 2 ) 3 σημείο (σημείο Ν) για τις τιμές x2=1, y2=1. d 2 y 4 x ( x 2 3) Από την εξίσωση 0 προκύπτουν οι λύσεις dx 2 (1 x 2 ) 3 Για x1=1,73 προκύπτει τιμή x1 3 1,73, x2 3 1, 73 x3 0. 2 1, 73 y1 0,84. Το σημείο Λ (1,73, 0,84) είναι σημείο καμπής, γιατί 1 1, 732 d3y 2 ( 1, 73) 0, 24 0. Για x2=-1,73 προκύπτει τιμή y1 0,84. Το σημείο Κ (3 dx 1 ( 1, 73) 2 d3y 1,73, -0,84) είναι, επίσης σημείο καμπής, γιατί 3 0,89 0. dx 3 d y d4y Για x3=0, όμως, προκύπτει 3 0, γι’ αυτό και πρέπει να διερευνηθεί η . Από dx dx4 την εξίσωση d 3 y 12 x( x 1)( x 2 4 x 5) 0 προκύπτουν οι λύσεις x1=0 και x2= -1 (οι λύσεις dx3 (1 x 2 ) 4
x3=2+ 1 και x4 2 1 απορρίπτονται ως μιγαδικές). Για x1=0 προκύπτει y1=0. d4y 60 0, συμπεραίνεται ότι το σημείο (0, 0) είναι το τρίτο dx 4 σημείο καμπής της συνάρτησης. Τέλος, στο x= -1 αντιστοιχεί το ελάχιστο σημείο Μ της συνάρτησης, όπως τούτο
Επειδή όμως,
διαπιστώθηκε προηγουμένως.
θ) y x 2 e x .
d2y dy xe x ( x 2), e x ( x 2 4 x 2), dx dx 2
[72]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
d3y e x ( x 2 6 x 6). 3 dx dy Από την εξίσωση xe x ( x 2) 0 προκύπτουν οι λύσεις x1=0 και x2= -2. Για dx d2y x1=0 προκύπτει y1=0, επειδή δε 2 0, η συνάρτηση έχει ελάχιστο σημείο, το (0, dx 2 0). Για x2= -2 προκύπτει επειδή δε y 2 ( 2) 2 e 2 0, 54, d2y 2 e 2 ( 2) 2 4( 2) 2 0, η συνάρτηση έχει μέγιστο σημείο (σημείο Μ) 2 dx e για τις τιμές x2= -2, y2=0,54. Για τη διερεύνηση ύπαρξης σημείου καμπής λαμβάνουμε την 2 d y e x ( x 2 4 x 2) 0, της οποίας οι λύσεις είναι οι x1=0, x2= -0,586 και x3= -3,414. dx 2 Από αυτές, όπως εύκολα μπορεί να διαπιστωθεί, μόνον οι x2 και x3 καθιστούν την d3y 0, και συνεπώς, για τις αντίστοιχες τιμές y2=0,191 και y3=0,384 η συνάρτηση dx 3 βρίσκεται σε σημεία καμπής, τα Λ (-0,586, 0,191) και Ν (-3,414, 0,384).
27 x 4 1 dy (3x 1)(3 x 1) d 2 y ι) y ln(3 x x). 2 2 . , dx x(3x 2 1) dx 2 x (3 x 1) 2 dy (3x 1)(3x 1) Από την εξίσωση 0 προκύπτουν οι λύσεις x1=0,333 και x2= dx x(3x 2 1) 3
0,333. Για x1=0,333 η συνάρτηση γίνεται αρνητική και έτσι η αρχική συνάρτηση y ln(3 x 3 x ) δεν έχει έννοια. Για x2= -0,333 προκύπτει y2 = -1,50, επειδή δε 2
d2y 27(0,333)4 1 27 0, η συνάρτηση έχει μέγιστο σημείο dx 2 (0,333)2 3(0, 333)2 1 (σημείο Μ) για τις τιμές x2= -0,333, y2= -1,50. Τέλος, η συνάρτηση δεν παρουσιάζει d2y 27 x 4 1 σημεία καμπής, γιατί η έχει ρίζες φανταστικές. dx 2 x 2 (3 x 2 1) 2
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[73]
1 έχει μία μέγιστη και μία ελάχιστη τιμή, με τη x δεύτερη μεγαλύτερη της πρώτης. Επαληθεύστε αυτό γραφικώς.
38. Δείξτε ότι η συνάρτηση y x
Λύση dy x 2 1 d 2 y 2 2 , . dx x dx 2 x 3 dy x 2 1 Από την εξίσωση 2 0 προκύπτουν οι λύσεις x1= -1 κα x2=1. Στις τιμές dx x αυτές αντιστοιχούν τιμές της συνάρτησης y1= -2 και y2=2. Στα ζεύγη των τιμών (x1, y1) και (x2, y2) διαπιστώνονται, αντίστοιχα, το μέγιστο (σημείο M) και το ελάχιστο d2y 2 1 (σημείο Ν) της συνάρτησης. y x , γιατί 2 0 και 2 x dx ( 1)3 d2y 2 2 0. dx 2 13 1 y x . x
39. Να υπολογιστούν οι δεύτερες παράγωγοι των ακόλουθων συναρτήσεων: 3 5 α) y= x 5 , β) y= 3 x 4 , γ) y=15 x 8 , δ) y= 2 , ε) y=100x, x 2 στ) y , ζ) y 3 x 5 8 x 3 4 , x5 6 η) y ax abx 5 2a 2 bx 4 c , θ) y (5 2 x )( x 2 1) , ι) y (5 x 3 2 x 3)(6 x 2 2)(3 x 7) , ια) y ιβ) y
x3 2 , x4
1 ( x 2)( x 3 5 x 2 6) 5 , ιγ) y , 3 ( x 2)( x 4) ( x 4)
ιδ) y ( x 7 3 x 5 x ) 3 , ιε) y 20( x 2 4 x 5)3 , ιστ) y ln( 5 x 2 2 x 6) , ιζ) y ln( 5 x 2 ) 3 ,
[74]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
ιη) y ln( x 3)( x 2 4 x 5) , ιθ) y ln κα) y e2 x
2
5 x 6
1 x2 , κ) y 3 6 x 5 , 2 1 x
.
Λύση
d 2 y d 3 25 6 75 6 ( x ) x . 7 2 dx dx 5 25 5 25 x
α)
d 2 y d 4 13 4 23 4 β) ( x ) x 2. 2 dx dx 3 9 9x3 γ)
d2y d 1080 (120 x 9 ) 1080 x 10 10 . 2 dx dx x
δ)
d2y d 30 ( 10 x 3 ) 30 x 4 4 . 2 dx dx x
d2y d ε) (100) 0. dx 2 dx
στ)
ζ) η)
3 5 d2y d 3 3 2 2 ( x 5) ( x 5) . 5 2 dx dx 2 2( x 5) 2
d2y d (15 x 4 24 x 2 ) 60 x3 48 x. 2 dx dx d2y d (6 x 5 5abx 4 8a 2bx 3 ) 30 ax 4 20 abx3 24 a 2 bx 2 . dx 2 dx
d2y d (6 x 2 10 x 2) 12 x 10. 2 dx dx 2 d y d ι) (540 x5 1050 x 4 264 x 3 624 x 2 228 x 46) 2 dx dx
θ)
= 2700 x 4 4200 x 3 792 x 2 1248 x 228. d ( x 4) 2 (2 x 3 12 x 2 2) d 2 y d 2( x 3 6 x 2 1) dx ια) dx 2 dx ( x 4) 2 ( x 4) 4 d (2 x 3 12 x 2 2) ( x 4) 2 dx ( x 4) 4 ( x 4)(6 x 2 24 x) (2 x 3 12 x 2 2) 2( x 4) = ( x 4) 4 2( x 4) ( x 4)(3 x 2 12 x) (2 x 3 12 x 2 2) 2( x3 12 x 2 48 x 2) . ( x 4) 4 ( x 4)3
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[75]
d 2 y d ( x 3 5 x 2 6) 4 (13 x 4 80 x 3 30 x 2 388 x 60 dx 2 dx ( x 4) 4 d ( x 4) 4 ( x 3 5 x 2 6) 4 (13 x 4 80 x 3 30 x 2 388 x 60 dx d ( x 3 5 x 2 6)4 (13x 4 80 x3 30 x 2 388 x 60) ( x 4) 4 dx ( x 4)8
ιβ)
d 3 ( x 5 x 2 6) 4 (13 x 4 80 x 3 30 x 2 388 x 60) dx = ( x 4) 4 (13 x 4 80 x3 30 x 2 388 x 60) d ( x 3 5 x 2 6) 4 dx d ( x 3 5 x 2 6) 4 (13 x 4 80 x 3 30 x 2 388 x 60) ( x 4) 4 dx ( x 4)8
( x 4) 4 ( x 3 5 x 2 6) 4 (52 x3 240 x 2 60 x 388) (13x 4 80 x 3 30 x 2 388 x 60) 4( x 3 5 x 2 6)3 (3 x 2 5 x)
= ιγ)
( x3 5 x 2 6) 4 (13 x 4 80 x 3 388 x 60) 4( x 4)3 ( x 4)8
.
d2y d 2( x 1) = 2 2 2 dx dx ( x 2) ( x 4)
( x 2) 2 ( x 4) 2
d d ( 2 x 2) ( 2 x 2) ( x 2)( x 4) 2 dx dx ( x 2) 4 ( x 4) 4
2 ( x 2) 2 2 ( x 2) ( x 4) ( 2) (2 x 2) ( x 4) 2 = 4 ( x 2) ( x 4) 4
d ( x 4) 2 dx d ( x 2) dx
=
( x 2)2 2( x 4) ( x 2) 2 ( x 4)2 (2) (2 x 2) ( x 4)2 2( x 2) = ( x 2)4 ( x 4)4 =
2( x 2) 2 ( x 4) 2 4( x 1)( x 4)( x 2) 2 4( x 1)( x 2)( x 4) 2 = ( x 2) 4 ( x 4) 4
2( x 2)( x 4) ( x 2)( x 4) 2( x 1)( x 2) 2( x 1)( x 4) ( x 2) 4 ( x 4) 4
ιδ)
d2y d 3( x 7 3 x5 x) 2 (7 x 6 15 x 4 1) 2 dx dx
= 3( x 7 3 x 5 x ) 2
d (7 x 6 15 x 4 1) (7 x 6 15 x 4 1) dx
=
6( x 2 2 x 4) . ( x 2) 3 ( x 4)3
[76]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
d 3( x 7 3 x 5 x ) 2 3( x 7 3 x 5 x ) 2 (42 x 5 60 x 3 ) + dx (7 x 6 15 x 4 1) 6( x 7 3 x 5 x )(7 x 6 15 x 4 1) 18 x 5 ( x 6 3 x 4 1) 2 (7 x 2 10) 6 x (7 x 6 15 x 4 1) 2 ( x 6 3 x 4 1)
6 x( x 6 3x 4 1) 3 x 4 (7 x 2 10)( x 6 3 x 4 1) (7 x 6 15 x 4 1) 2 .
ιε)
d2y d 60( x 2 4 x 5) 2 (2 x 4) 2 dx dx
= 60( x 2 4 x 5) 2
d d (2 x 4) (2 x 4) 60( x 2 4 x 5) 2 dx dx
= 60( x 2 4 x 5) 2 2 (2 x 4) 120( x 2 4 x 5)(2 x 4) = 120( x 2 4 x 5) 2 120(2 x 4) 2 ( x 2 4 x 5) = 120( x 2 4 x 5) x 2 4 x 5 (2 x 4) 2 = 120( x 2 4 x 5)(5 x 2 20 x 21). ιστ)
=
d2y d 10 x 2 ( 2 ) 2 dx dx 5 x 2 x 6
(5 x 2 2 x 6)
d d (10 x 2) (10 x 2) (5 x 2 2 x 6) dx dx (5 x 2 2 x 6) 2
(5 x 2 2 x 6) 10 (10 x 2)(1 x 2) 2(25 x 2 10 x 32) . (5 x 2 2 x 6) 2 (5 x 2 2 x 6) 2
d2y d 6x ιζ) ( ) 2 dx dx 5 x 2
(5 x 2 )
d d 6 x 6 x (5 x 2 ) dx dx (5 x 2 ) 2
6(5 x 2 ) 12 x 2 6(5 x 2 ) . (5 x 2 ) 2 (5 x 2 ) 2 d2y d 1 2x 4 d 1 d 2x 4 ιη) ( 2 ) ( ) ( 2 ) 2 dx dx x 3 x 4 x 5 dx x 3 dx x 4 x 5
=
d d d ( x 3) ( x 2 4 x 5) (2 x 4) (2 x 4) ( x 2 4 x 5) dx dx dx ( x 3) 2 ( x 2 4 x 5) 2
=
1 ( x 2 4 x 5) 2 (2 x 4)(2 x 4) ( x 3) 2 ( x 2 4 x 5)2
1 2( x 2 4 x 5) (2 x 4) 2 = ( x 3)2 ( x 2 4 x 5)2
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[77]
( x 2 4 x 5) 2 2( x 2 4 x 5)( x 3) 2 ( x 3) 2 (2 x 4) 2 ( x 3) 2 ( x 2 4 x 5) 2
=
3 x 4 4 x 3 2 x 2 76 x 79 . ( x 3) 2 ( x 2 4 x 5) 2
ιθ)
d 2 y d 2x 2x d 2x d 2x ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 dx dx 1 x 1 x dx 1 x dx 1 x 2 (1 x 2 )
d d d d (2 x ) 2 x (1 x 2 ) (1 x 2 ) (2 x ) 2 x (1 x 2 ) dx dx dx dx 2 2 2 2 (1 x ) (1 x )
(2 2 x 2 )(1 x 2 ) 2 (2 2 x 2 )(1 x 2 ) 2 4(3 x 4 1) . (1 x 2 ) 2 (1 x 2 ) 2 (1 x 4 ) 2
=
d2y d (6,5917 36 x5 ) 6, 5917 36 x 5 6ln 3 2 dx dx = 6, 5917 6 1, 099 36 x 5 43, 46 36 5.
κ)
κα)
2 2 2 d2y d d (4 x 5) e 2 x 5 x 6 (4 x 5) e 2 x 5 x 6 e 2 x 5 x 6 2 dx dx dx
2 2 d (4 x 5) (4 x 5)(4 x 5) e 2 x 5 x 6 e 2 x 5 x 6 4 dx
= (4 x 5) 2 4 e 2 x
2
5 x 6
(16 x 2 40 x 29) e 2 x
2
5 x 6
.
d2y 2 d 2x dx 1 40. Να αποδειχθεί ότι οι αλγεβρικοί τύποι και dx 2 dy dy dy dy ( )3 dx dx 2 2 ισχύουν για τις ακόλουθες συναρτήσεις: α) y=x +3, β y=x -5, γ) y x 1 , δ) y ( x 3) 3 .
Λύση 1 . 2
α) y x 3 x ( y 3) Επομένως, 2
1 dy dx 1 1 1 1 2 x, ( y 3) 2 dx dy 2 2 y 3 2 x2 3 3 2 x 3 d2y d 2x 1 1 1 2 2, ( y 3) 2 2 dx dy 4 4 ( y 3)3 4 ( x 2 3 3) 3
=
d 2 y / dx 2 2 2 1 1 . Πράγματι, 3 3. 3 3 3 4x ( dy / dx) (2 x ) 8x 4x 1 . 2
β) y x 5 x ( y 5) . Επομένως, 2
[78]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
1 dy dx 1 1 1 1 2 x, ( y 5) 2 2 dx dy 2 2 y 5 2 x 5 5 2x 3 d2y d 2x 1 1 1 2 2, ( y 5) 2 2 dx dy 4 4 ( y 5)3 4 ( x 2 5 5) 3
d 2 y / dx 2 2 2 1 1 = 3 . Πράγματι, 3 3. 3 3 4x ( dy / dx) (2 x ) 8x 4x 1
γ) y x 1 y ( x 1) 2 x ( y 2 1). Επομένως, 1 dy 1 1 dx ( x 1) 2 , 2 y 2 x 1, dx 2 2 x 1 dy 3 d2y 1 1 d 2x 2 ( x 1) , 2. Πράγματι, 2 dx 2 4 4 ( x 1)3 dy
1 ( x 1) 3 d 2 y / dx 2 1/ 4 4 2. 3 1 (dy / dx ) 1/ 8 3 ( x 1) 2
δ) y ( x 3)3 x
3
1 3
y 3 x y 3. Επομένως, 2
dy dx 1 3 1 1 1 3( x 3) 2 , y ( x 3) 2 , 2 6 dx dy 3 3 33 y 3 3 ( x 3) 5
d2y d 2x 2 2 2 2 6( x 3), y 3 . Πράγματι, 2 2 dx dy 9 9( x 3)5 9 3 y5 9 3 ( x 3)15
d 2 y / dx 2 6( x 3) 6( x 3) 2 . 3 3 6 ( dy / dx) 27( x 3) 9( x 3)5 3( x 3) 2
41. Εάν η συνάρτηση παραγωγής προϊόντος επιχείρησης είναι q 0,02 z 3 z 2 5 (όπου z=μονάδες εισροής), να υπολογιστεί το ποσόν του z στο οποίο το προϊόν γίνεται μέγιστο, καθώς και η μέγιστη τιμή του q. Λύση Η
συνάρτηση
παραγωγής
q 0, 02 z 3 z 2 z 5
μεγιστοποιείται
όταν
d 2q dq 0,06 z 2 2 z 1 0 0,12 z 2 0. Πράγματι, από την εξίσωση dz dz 2 0, 06 z 2 2 z 1 0 προκύπτει η λύση z=33,83 (η δεύτερη λύση, ως αρνητική,
απορρίπτεται γιατί δεν έχει έννοια). Για την τιμή z=33,83 είναι d 2q 0,12 33,83 2 2, 06 0. Η παραγωγή γίνεται μέγιστη και ίση με dz 2 q 0, 02 33,833 33,832 33,83 5 409 μονάδες.
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[79]
x2 x (3 ) (όπου 25 12 x=μονάδες εισροής), δείξτε ότι η καμπύλη οριακού προϊόντος διέρχεται από το σημείο στο οποίο η καμπύλη μέσου προϊόντος έχει τη μέγιστη τιμή. Επαληθεύστε αυτό γραφικώς.
42. Εάν η συνάρτηση παραγωγής προϊόντος επιχείρησης είναι y
Λύση Οι συναρτήσεις παραγωγής μέσου (AP) και οριακού προϊόντος (MP) είναι, αντίστοιχα: y x x x(36 x) και AP (3 ) x 25 12 300 d x2 x 2x x x2 1 MP ( (3 (3 ) ( ) dx 25 12) 25 12 25 12 6 x 2 x2 x 2 6 x 3x 2 3x (24 x) . Εξισώνοντας AP και MP, έχουμε: 25 300 300 25 300 300 x(36 x) 3 x(24 x) , εξίσωση η οποία έχει λύση x=18. Πράγματι, το μέσο προϊόν 300 300 d γίνεται μέγιστο (σημείο Μ) όταν ( AP) 0, δηλαδή dx d d x(36 x ) x 1 =0, εξίσωση η οποία δίνει την ίδια ( AP ) ( ) ( 1) (36 x) dx dx 300 300 300 λύση, x=18. Για την τιμή x=18 το μέσο προϊόν γίνεται μέγιστο και ίσο με 18(36 18) AP 1, 08 μονάδες. Το ότι το AP γίνεται μέγιστο στην τιμή x=18, 300 d2 1 επιβεβαιώνεται από την 2 ( AP ) 0. dx 150
[80]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
43.
Επιχείρηση έχει συνάρτηση ολικού κόστους παραγωγής προϊόντος q3 C 12q 2 225q (όπου q=μονάδες παραγόμενου προϊόντος). Να υπολογιστεί το 5 επίπεδο της παραγωγής στο οποίο το κόστος είναι ελάχιστο. Ποιο είναι το ελάχιστο κόστος; Δείξτε ότι η καμπύλη οριακού κόστους τέμνει την καμπύλη μέσου κόστους σε σημείο όπου το δεύτερο έχει την ελάχιστη τιμή. Ποιο είναι το μέσο κόστος στο σημείο αυτό; τέλος, σε ποιο επίπεδο παραγωγής το οριακό κόστος γίνεται ελάχιστο; Λύση q3 12q 2 225q γίνεται ελάχιστο στην ποσότητα του 5 προϊόντος η οποία μηδενίζει το οριακό κόστος (πρώτη παράγραφο του ολικού dC 3q 2 κόστους). Έτσι, MC 24q 225 0, η οποία έχει λύσεις τις q1=15 και dq 5 d 6 6 q2=25. Για q1=15 προκύπτει ( MC ) q 24 15 24 6 0, που υποδηλώνει dq 5 5
Το ολικό κόστος C
ότι το κόστος μεγιστοποιείται στην τιμή q1=15 (που δεν είναι το ζητούμενο στην d 6 άσκηση), ενώ για q2=25, όπως προκύπτει, είναι ( MC ) q 24 dq 5 6 25 24 6 0, ένδειξη ότι το κόστος γίνεται ελάχιστο με την παραγωγή 25 5 253 μονάδων του προϊόντος. Το ελάχιστο κόστος είναι C 12 25 2 225 25 1250 5 χρηματικές μονάδες (σημείο Μ). q2 Η συνάρτηση μέσου κόστους είναι AC 12q 225, που εξισωμένη με τη 5 συνάρτηση οριακού κόστους, έχει ως q2 3q 2 12q 225 24 q 225, εξίσωση η οποία έχει λύση q=30. Στην τιμή αυτή 5 5 της παραγωγής είναι AC=MC. Πράγματι, στην τιμή αυτή το AC γίνεται ελάχιστο, όπως αποδεικνύεται εξισώνοντας την πρώτη παράγωγο του AC με μηδέν , ως d 2q ( AC ) 12 0, η οποία έχει λύση την q=30. Στην τιμή q=30 είναι dq 5 302 AC 12 30 225 45 χρηματικές μονάδες (σημείο Ν). 5 Τέλος, το οριακό κόστος γίνεται ελάχιστο στην ποσότητα του προϊόντος η οποία μηδενίζει την παράγωγο (πρώτη) αυτού. Έτσι,
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[81]
d d 3q 2 6q ( MC ) ( 24q 225) 24 0, η οποία έχει λύση την q=20. Στο dq dq 5 5 επίπεδο αυτό της παραγωγής το ελάχιστο οριακό κόστος είναι 3 20 2 MC 24 20 225 15 (σημείο Λ). 5
44. Η συνάρτηση ζήτησης προϊόντος που παράγεται από μονοπωλιακή επιχείρηση 1 2
είναι p (12 q) (όπου q 12). Να υπολογιστεί η ποσότητα που πρέπει να πωλήσει η επιχείρηση, ώστε να μεγιστοποιήσει τα έσοδά της.
[82]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
Λύση 1 2
R pq (12 q) q . Tα έσοδα μεγιστοποιούνται εκεί όπου τα οριακά έσοδα
μηδενίζονται, δηλαδή όπου 1 1 1 1 dR d d 1 MR (12 q ) 2 q q(12 q ) 2 (12 q) 2 q ( 1) (12 q ) 2 = dq dq dq 2 1 1 q q 24 2q (12 q ) 2 ( 12 q) (12 q) 2 ( ) 2 2 1 1 24 3q 3 3(8 q ) η οποία έχει λύση (για (12 q ) 2 ( ) (12 q ) 2 (8 q ) 1 0 2 2 2 2(12 q ) q 12) q=8. Πράγματι, με q=8 τα έσοδα μεγιστοποιούνται, 1 1 d 3 d 2R d 3 2 2 ί (12 q ) (8 q ) (12 q ) (8 q) dq 2 dq 2 dq 2 1 d (8 q)(12 q) 2 dq 3 1 3 1 3 3 3 3 = (12 q) 2 ( 1) ( 1) (12 q) 2 (12 q) 2 (12 q) 2 η οποία, για q=8, 4 2 4 2 γίνεται 3 1 5 3 3 3 3 32 3 12 2 2 2 (12 8) (12 8) 4 4 3 4 6 4 2 4 2 4 2 3 2 3 3 = 4 2 (3 4 2 6) 4 2 ( 6) 0. 4
45. Η συνάρτηση ολικών εσόδων μονοπωλιακής επιχείρησης από την πώληση προϊόντος είναι R=50q-2q2 και ολικού κόστος C=3q2+5q+15. Ζητούνται: α) η τιμή της φορολογίας t που θα πρέπει να επιβάλλεται σε κάθε πωλούμενη μονάδα προϊόντος, ώστε να μεγιστοποιούνται τα ολικά έσοδα (εισπράξεις) από τη φορολογία, β) τα μέγιστα έσοδα από τη φορολογία, γ) η ποσότητα και η τιμή στην οποία η επιχείρηση θα πωλεί το προϊόν τη και δ) τα μέγιστα κέρδη της επιχείρησης μετά την επιβολή της φορολογίας. Λύση R C tq (50q 2 q 2 ) (3q 2 5q 15) tq 50 q 2 q 2 3q 2 5q 15 tq 5q 2 45q tq 15. d Επομένως, 10q 45 t 0 t 45 10 q. dq T tq (45 10 q ) q 45q 10 q 2 και dT MT 45 20q 0 20q 45 q 2, 25. Συνεπώς, dq
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[83]
α) t 45 10 q t 45 10 2, 25 t 22, 5, β) T 45 2, 25 10 2, 252 T 101, 25 50, 625 T 50, 625 και p 50 2 q t p 50 2 2, 25 22, 5 p 68 και γ) 5 2, 252 45 2, 25 22, 5 2, 25 15 p 10, 3125. 46. Η συνάρτηση ζήτησης προϊόντος που παράγεται από επιχείρηση είναι p=14-3q και η συνάρτηση κόστους παραγωγής του προϊόντος C=q2+5q, επιβάλλεται δε φόρος t χρηματικών μονάδων για κάθε πωλούμενη μονάδα προϊόντος. Να προσδιοριστούν: α) η συνάρτηση των μέγιστων κερδών β) Η συνάρτηση ζήτησης γ) Η συνάρτηση των συνολικών φόρων που θα εισπράξει το κράτος δ) Ποιο φόρο κατά μονάδα προϊόντος πρέπει να επιβάλει το κράτος, ώστε να μεγιστοποιεί τα συνολικά έσοδα (εισπράξεις) από τη φορολογία. Λύση α) R C pq C (14 3q )q q 2 5q tq 14 q 3q 2 q 2 5q tq 9 q 4 q 2 tq (9 t ) q 4 q 2 . Τα κέρδη μεγιστοποιούνται όταν Μπ=0, δηλαδή όταν Μπ=9-t-8q, από την οποία προκύπτει 9t q . Επομένως, η συνάρτηση μέγιστων κερδών θα είναι 8 9t 9t 2 (9 t ) q 4 q 2 (9 t )( ) 4( ) . 8 8 9t β) Η συνάρτηση ζήτησης θα είναι p 14 3q 14 3( ). 8 γ) Η συνάρτηση συνολικών φόρων θα είναι 9t 9t t 2 T tq t ( ) . 8 8 δ) Τα ολικά έσοδα από τη φορολογία μεγιστοποιούνται εκεί όπου τα οριακά έσοδα 9 2t της φορολογίας μηδενίζονται, δηλ. ΜΤ=0, δηλ. 0 t=4,5 νομισματικές 8 8 μονάδες, τιμή φόρου όπου μεγιστοποιούνται τα συνολικά έσοδα από τη φορολογία.. 47. Η συνάρτηση ζήτησης προϊόντος που παράγεται από επιχείρηση είναι p=30-0,75q 30 και η συνάρτηση μέσου κόστους AC 0,3q 9 . Ζητούνται να προσδιοριστούν: q α) Η ποσότητα του προϊόντος που μεγιστοποιεί τα ολικά έσοδα. β) Η ποσότητα που ελαχιστοποιεί το μέσο κόστος παραγωγής του προϊόντος. γ) Η ποσότητα που μεγιστοποιεί τα κέρδη της επιχείρησης. δ) Η ποσότητα που μεγιστοποιεί τα κέρδη στις ακόλουθες τρεις περιπτώσεις: (i) όταν η κυβέρνηση επιβάλλει συνολικό φόρο 200 χρηματικών μονάδων, ανεξαρτήτως των
[84]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
εισπράξεων της επιχείρησης, β) όταν η κυβέρνηση επιβάλλει φόρο 8,4 χρηματικών μονάδων για κάθε μονάδα που πωλείται και (iii) όταν η κυβέρνηση επιδοτεί με 4,2 χρηματικές μονάδες κάθε μονάδα που πωλείται. Λύση α) Η συνάρτηση εσόδων είναι R pq (30 0, 75q ) q 30 q 0, 75 q 2 , dR dq 30 1, 5 q 0, εξίσωση η οποία έχει λύση την x=20. Πράγματι, για x=20 τα έσοδα d μεγιστοποιούνται γιατί ( MR ) 1,5 0. Τα μέγιστα έσοδα θα είναι dq R 30 q 0, 75q 2 30 20 0, 75 20 2 300 χρηματικές μονάδες.
η οποία μεγιστοποιείται όταν MR=0, δηλαδή όταν MR
β) Το μέσο κόστος ελαχιστοποιείται στην ποσότητα όπου το οριακό μέσο κόστος μηδενίζεται, δηλαδή όταν d 30 ( AC ) 2 0,3 0, εξίσωση η οποία δίνει q=10 (η τιμή q=-10 απορρίπτεται ω; dq q d 60 αρνητική). Η τιμή q=10 είναι πράγματι ελάχιστη, γιατί ( AC ) 3 η οποία για dq q q=10 δίνει d 60 ( AC ) 3 0. dq 10 Το ελάχιστο μέσο κόστος θα είναι 30 30 AC 0, 3q 9 0,3 10 9 15 χρηματικές μονάδες. q 10 γ) Τα κέρδη της επιχείρησης είναι 30 R C (30q 0, 75q 2 ) ( 0,3q 9) q q 2 2 = 30 q 0, 75q 30 0, 3q 9 q 21q 1, 05q 2 30 τα οποία μεγιστοποιούνται στην ποσότητα όπου τα οριακά κέρδη μηδενίζονται, δηλαδή όταν 21 2,1q 0, d εξίσωση η οποία δίνει q=10. Πράγματι, είναι μέγιστη τιμή γιατί, ( ) 2,1 0. dq Τα μέγιστα κέρδη είναι 21q 1, 05q 2 30 21 10 1, 05 10 2 30 75 χρηματικές μονάδες. δ) (i) Όταν η κυβέρνηση επιβάλλει συνολικό φόρο 200 χρηματικές μονάδες ανεξαρτήτως των εισπράξεων, τότε το κέρδος της επιχείρησης θα είναι 21q 1, 05q 2 30 200 και το οριακό κέρδος 21 2,1q , το οποίο εξισούμενο με το 0 δίνει λύση q=10, ποσότητα η οποία μεγιστοποιεί τα κέρδη.
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[85]
(ii) Όταν η κυβέρνηση επιβάλλει φόρο 8,4 χρηματικές μονάδες για κάθε μονάδα πωλούμενου προϊόντος, για q μονάδες ο φόρος θα είναι 8,4q και επομένως τα κέρδη θα είναι και τα οριακά κέρδη 21q 1, 05q 2 30 8, 4q 12, 6q 1, 05q 2 30 M 12, 6 2,1q 0 q 6 , ποσότητα η οποία μεγιστοποιεί τα κέρδη. Τα μέγιστα κέρδη θα είναι 12, 6 6 1, 05 6 2 30 7,8 χρηματικές μονάδες. (iii) Όταν η κυβέρνηση επιδοτεί με 4,2 χρηματικές μονάδες για κάθε μονάδα του πωλούμενου προϊόντος, για q= μονάδες προϊόντος η επιδότηση θα είναι 4,2q και επομένως τα κέρδη 21q 1, 05q 2 30 4, 2 q 25, 2 q 1, 05q 2 30 και τα οριακά κέρδη θα είναι 25, 2 2,10 0 q 12 και τα μέγιστα κέρδη 25, 2q 1, 05q 2 30 25, 2 12 1, 05 12 2 30 121, 2 χρηματικές μονάδες. 48. Σε μια αγορά που λειτουργεί σε συνθήκες πλήρους ανταγωνισμού, η συνάρτηση προσφοράς είναι qS=-5+6p και η συνάρτηση ζήτησης qD=35--3p. Εάν η κυβέρνηση επιβάλλει φορολογία t χρηματικών μονάδων σε κάθε μονάδα προϊόντος που πωλείται, ζητούνται: α) η τιμή της t που μεγιστοποιεί τα συνολικά έσοδα από τη φορολογία, β) τα μέγιστα έσοδα από τη φορολογία, γ) η ποσότητα και η τιμή στην οποία θα πωλεί η επιχείρηση το προϊόν της και δ) πόσο θα μειωθεί η προσφερόμενη ποσότητα από την επιβολή της φορολογίας. Λύση α) Η συνάρτηση προσφοράς και η συνάρτηση ζήτησης γράφονται ως: q 5 q S 5 6 p 6 p q S 5 p S 6 35 q D qD 35 3 p 3 p 35 q D p . 3 Η συνάρτηση προσφοράς μετά την επιβολή της φορολογίας t θα είναι: p t
q5 . 6
Επομένως, στο σημείο ισορροπίας της αγοράς θα είναι 35 q q 5 t 2(35 q ) q 5 6t 70 2 q q 5 6t 3 6 3q 65 6t 3q 65 t . Έτσι, τα συνολικά έσοδα από τη φορολογία θα είναι: 6 3q 65 3q 2 65q T t q q , τα οποία μεγιστοποιούνται στο σημείο όπου 6 6 65 ΜΤ=0 6q 65 0 q= q=10,833. Επομένως, η τιμή της φορολογίας t θα 6 65 3 65 3q 65 32,5 6 είναι t 5, 41. 6 6 6
[86]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
β) Τα μέγιστα έσοδα από τη φορολογία θα είναι T t q 5, 41 10,833 58, 61.
γ) Η ποσότητα είναι q=10,833 και επομένως η τιμή στην οποία η επιχείρηση θα πωλεί το προϊόν της q5 10,833 5 p t 5, 41 8, 05. 6 6 δ) Χωρίς την επιβολή της φορολογίας, θα είναι q 5 35 q q 5 70 2 q 3q 65 q 21, 67. 6 3 Επομένως, εξαιτίας της επιβολής της φορολογίας, η προσφερόμενη ποσότητα ελαττώνεται κατά 21,67-10,833=10,84 μονάδες. 49. Η συνάρτηση ολικών εσόδων (R) και ολικού κόστους (C) μιας μονοπωλιακής επιχείρησης είναι, αντίστοιχα, R 20 q 0, 5q 2 και C 0, 04 q 3 1, 94 q 2 32, 96q 10 . Ζητούνται να προσδιοριστούν: α) Το ύψος του
φορολογικού συντελεστή που θα πρέπει να επιβάλλεται σε κάθε πωλούμενη μονάδα προϊόντος, ώστε το κράτος να μεγιστοποιεί τα φορολογικά έσοδά (εισπράξεις) του, β) ποια είναι τα μέγιστα έσοδα από τη φορολογία και γ) να συγκριθούν οι ποσότητες και οι τιμές ισορροπίας, καθώς και τα μέγιστα κέρδη της επιχείρησης, πριν από και μετά την επιβολή της φορολογίας. Λύση TR TC T
(20 q 0, 5q 2 ) (0, 04q 3 1, 94q 2 32, 96q 10) tq 20 q 0, 5q 2 0, 04q 3 1, 94 q 2 32, 96 q 10 tq 0, 04 q 3 1, 44 q 2 12, 96q 10 tp. Επομένως, d 0,12 q 2 2,88q 12,96 t τα οποία μεγιστοποιούνται εκεί όπου Mπ=0, dq δηλαδή 0,12 q 2 2, 88q 12, 96 t 0 t 0,12q 2 2,88q 12, 96.
Τα έσοδα από τη φορολογία είναι T tq T ( 0,12 q 2 2,88q 12, 96) q T 0,12q 3 2,88q 2 12, 96 q τα οποία dT μεγιστοποιούνται εκεί όπου ΜΤ=0, δηλαδή MT 0,36q 2 5, 76 q 12,96 0, dq εξίσωση η οποία δίνει λύσεις q1=13,29 και q2 =2,71. d 2T 0,72q 5,76. Για q1=13,29 είναι dq 2 d 2T d 2T 0, 72 13, 29 5, 76 3,81 0 (μέγιστα έσοδα από τη φορολογία). dq 2 dq 2
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[87]
d 2T d 2T 0, 72 2, 71 5, 76 3,81 0 (ελάχιστα έσοδα από dq 2 dq 2 τη φορολογία). Επομένως, α) t 0,12 q 2 2,88q 12, 96 t ( 0,12) 13, 29 2 2,88 13, 29 12, 96 t 21,19 38, 28 12, 96 t 4,13. β) Συνεπώς, T tq T 4,13 13, 29 T 54, 89.
Για q2=2,71 είναι
γ) Τα κέρδη μετά την επιβολή της φορολογίας θα είναι 0, 04 q 3 1, 44q 2 12, 96 q 10 0, 04 13, 293 1, 44 13, 29 2 12, 96 13, 29 10 54,89 93, 89 254, 34 172, 24 10 54,89 21, 75 (μέγιστη ζημία). Πριν από την επιβολή της φορολογίας, τα κέρδη είναι 0, 04q 3 1, 44 q 2 12, 96 q 10 τα οποία μεγιστοποιούνται εκεί όπου d 0,12q 2 2,88q 12, 96 0 q 2 24 q 108 0, dq από την οποία προκύπτουν οι λύσεις q1=18 και q2=6. d 2 0, 24q 2,88. Για q1=18 θα είναι dq 2 d 2 d 2 ( 0, 24) 18 2,88 1, 44 0 (μέγιστα κέρδη), ενώ για q2=6 θα είναι dq 2 dq 2 d 2 d 2 ( 0, 24) 6 2,88 2 1, 44 0 (ελάχιστα κέρδη). Άρα, για q=18 τα κέρδη dq 2 dq μεγιστοποιούνται πριν από τη φορολογία, είναι δε 0, 04 q 3 1, 44 q 2 12, 96 q 10 0, 04 183 1, 44 18 2 12, 96 18 10 10 (μέγιστη ζημία). Τέλος, πριν από την επιβολή της φορολογίας, επειδή 20q 0,5q 2 TR p 20 0, 5q TR pq p p q q p 20 0, 5 18 p 11.
Μετά την επιβολή της φορολογίας, θα είναι TR ( p t ) q TR pq tq pq TR tq p
TR tq q
20q 0,5q 2 tq p p 20 0, 5q t p 20 0,5 13, 29 4,13 p 17, 49. q
50. Η συνάρτηση ζήτησης προϊόντος που παράγεται από επιχείρηση είναι p=50-6q και η συνάρτηση μέσου κόστους AC=q+9, και επιβάλλεται φόρος t ίσος με το 1/6 της τιμής επί των πωλήσεων. Να προσδιοριστεί η ποσότητα που μεγιστοποιεί το κέρδος της επιχείρησης. Λύση
[88]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
Η συνάρτηση κέρδους είναι R C pq ( q 9) q. Επειδή όμως επιβάλλεται φόρος στο 1/6 της τιμής, για την επιχείρηση, με τα 5/6 υπέρ αυτής, το κέρδος θα είναι
5 5 250 pq ( q 9) q (50 6 q ) q ( q 9)q q 5q 2 q 2 9 q 6 6 6
= 6 q 2
196 q. Αυτό μεγιστοποιείται όταν Μπ=0, δηλαδή 6
12 q
196 196 0 q q 2, 72. 6 72
51. Η τιμή πώλησης ανά μονάδα προϊόντος επιχείρησης που λειτουργεί σε αγορά πλήρους ανταγωνισμού είναι 74 χρηματικές μονάδες και η συνάρτηση του μέσου 10 κόστους y 2q 2 10q 80 . Ζητούνται να προσδιοριστούν: α) η ποσότητα που q ελαχιστοποιεί και η ποσότητα που μεγιστοποιεί τη συνάρτηση των ολικών κερδών και β) τα μέγιστα και τα ελάχιστα κέρδη. Λύση p R C pq ( AC ) q 749 (2q 2 10q 80
10 )q q
749 2 q 3 10 q 2 80q 10 2q 3 10 q 2 6q 10. Επομένως, d 20 400 144 20 256 της 6 q 2 20q 6 0 q1,2 dq 12 12 1 λύσεις είναι οι q1 και q2 3. 3 2 d 1 12q 20 12 20 16 0 (ελάχιστο) 2 q 3
οποίας
d 2 12q 20 12 3 20 16 0 (μέγιστο). q2 α) Επομένως, η ποσότητα που ελαχιστοποιεί τη συνάρτηση των ολικών κερδών είναι 1 q1 και η ποσότητα που τη μεγιστοποιεί είναι q2 3. 3 1 1 1 β) 2 q 3 10q 2 6q 10 2( )3 10( ) 2 6( ) 10 3 3 3 2 10 = 2 10 10,96 (είναι τα ελάχιστα κέρδη, δηλ. η μέγιστη ζημία) και 27 9 2 33 10 32 6 3 10 54 90 18 10 8 (είναι τα μέγιστα κέρδη).
52. Μια επιχείρηση πωλεί το προϊόν της σε δύο αγορές, Α και B. Ζητείται να προσδιοριστούν: α) οι τιμές που θα καθορίζει η επιχείρηση σε καθεμία από τις
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[89]
αγορές, έτσι ώστε να μεγιστοποιεί τα κέρδη σε καθεμία από αυτές ξεχωριστά και β) τα μέγιστα κέρδη με και χωρίς διάκριση τιμών. Δίνονται τα ακόλουθα στοιχεία; xA=16-0,2pA, xB=9-0,05pB και C=20+20x. Λύση α) Αγορά Α q A 16 0, 2 p A p A 80 5q A . ΄Ετσι, τα έσοδα θα είναι: R A p A q A (80 5 q A ) q A 80 q A 5 q A2 και το κέρδος θα είναι
R A C (80 q A 5 q A2 ) (20 20 q A ) 80 q A 5 q A2 20 20 q A 60 q A 5q A2 20. Το μέγιστο κέρδος θα είναι εκεί όπου
Μπ=0, 60 10 q A 0 q A 6. Για qA=6 υπάρχει, πράγματι, μέγιστο κέρδος γιατί (ΜπΑ)΄= -10<0. Το μέγιστο κέρδος θα είναι
60 q 5 q 2 20 60 6 5 6 2 20 160 χρηματικές μονάδες. Επομένως, η
τιμή πώλησης του προϊόντος στην αγορά Α θα είναι pA=80-5qA=80-5 6=50 χρηματικές μονάδες. Αγορά Β q 9 0, 05 p p 180 20 q . Έτσι, τα έσοδα θα είναι: R p q (180 20 q ) q 180 q 20 q 2 και το κέρδος θα είναι
R C (180q 20q2 ) (20 20 q ) 180 q 20 q2 20 20 q 160 q 20 q2 20. Το μέγιστο κέρδος θα είναι εκεί όπου
Μπ=0, 160 40q 0 q 4. Για XΒ=4 υπάρχει, πράγματι, μέγιστο κέρδος γιατί (ΜπΒ)΄= -40 < 0. Το μέγιστο κέρδος θα είναι
160 q 20 q2 20 160 4 20 4 2 20 300 χρηματικές μονάδες και η τιμή
πώλησης του προϊόντος στην αγορά Β θα είναι PΒ=180-20qΒ=180-20 4=100 χρηματικές μονάδες. β) Το μέγιστο κέρδος με διάκριση τιμών (δηλ. p A pB ) R A RB C p A q A p B q B C (80 5 6) 6 (180 20 4) 4 20 20(6 4) 50 6 100 4 20 200 480 χρηματικές μονάδες. Το μέγιστο κέρδος χωρίς διάκριση τιμών (δηλ. p A pB ) q q A q B (16 0, 2 p A ) (9 0, 05 p B ). Επειδή δε
p = p A p B , θα είναι q (16 0, 2 p ) (9 0, 05 p ) q 25 0, 25 p p 100 4 q. Επομένως, η
συνάρτηση κέρδους θα είναι R C pq C (100 4q ) q (20 20q )
[90]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
100q 4 q 2 20 20q 80 q 4q 2 20
και
επομένως
το
κέρδος
θα
μεγιστοποιείται εκεί όπου Μπ=0, δηλαδή όπου 80 8q 0 q 10, (το οποίο, πράγματι, είναι μέγιστο, γιατί
d 2 8 0). Επομένως, το κέρδος θα είναι: dq 2
80 q 4q 2 20
= 80 10 4 10 2 20 380 χρηματικές μονάδες. Διαπιστώνεται, δηλαδή, ότι είναι καλύτερα να υπάρχουν διαφορετικές τιμές πώλησης στις δύο αγορές παρά μία ενιαία, γιατί στην πρώτη περίπτωση το κέρδος είναι 480, ενώ στη δεύτερη 380 χρηματικές μονάδες. 53. Επιχείρηση έχει συνάρτηση παραγωγής προϊόντος της y L3 6 L2 15 L (όπου L=μονάδες εργασίας). Ζητούνται: α) ο αριθμός των
μονάδων εργασίας για τη μεγιστοποίηση του προϊόντος, β) η ολική παραγωγή στο επίπεδο αυτό της απασχόλησης, γ) το μέσο προϊόν στο επίπεδο αυτό της απασχόλησης και δ) ο αριθμός των μονάδων εργασίας και το επίπεδο της παραγωγής πέραν του οποίου αρχίζει να λειτουργεί ο νόμος των φθινουσών οριακών αποδόσεων. Επαληθεύστε τα ζητούμενα γραφικώς. Λύση α) Το προϊόν μεγιστοποιείται στην ποσότητα της εργασίας η οποία μηδενίζει το οριακό προϊόν (πρώτη παράγωγο) της συνάρτησης παραγωγής Έτσι, dy MP 3L2 12 L 15 0, η οποία έχει λύση την L=5. dL β) Για L=5 μονάδες, η ολική παραγωγή είναι y 53 6 52 15 5 100 μονάδες προϊόντος (σημείο Μ).
γ) Το μέσο προϊόν είναι AP L2 6 L 15
100 20 μονάδες (σημείο Ν). 5
δ) Ο νόμος των φθινουσών αποδόσεων αρχίζει και λειτουργεί στην κατάσταση όπου το οριακό προϊόν έχει τη μέγιστη τιμή, δηλαδή στο σημείο καμπής της συνάρτησης παραγωγής. Έτσι, από την d2y d d ( MP ) ( 3 L2 12 L 15) 6 L 12 0 προκύπτει τιμή L=2. Στην 2 dL dL dL ποσότητα αυτής της εργασίας η παραγόμενη ποσότητα του προϊόντος είναι y 2 3 6 2 2 15 2 46 μονάδες (σημείο Λ).
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[91]
54. Να υπολογιστούν οι ποσότητες των αγαθών που πρέπει να πωληθούν, ώστε να επιτευχθούν μέγιστα ολικά έσοδα, όταν οι εξισώσεις ζήτησης των αγαθών αυτών είναι: 50 p2 60 3 p 100 p 2 α) q , β) q , δ) q ( 10 , γ) q 20 ) . 8 p2 100 20 Ποια είναι η τιμή και ποια τα έσοδα στις πωλούμενες ποσότητες των αγαθών; Λύση 60 3 p 8 p 20 q. Επομένως, η συνάρτηση των εσόδων θα είναι 8 3 8 8 R pq (20 q )q 20 q q 2 . Επομένως, η συνάρτηση των εσόδων θα είναι 3 3
α)
q
8 8 R pq (20 q )q 20 q q 2 . Τα έσοδα μεγιστοποιούνται στην ποσότητα του 3 3 πωλούμενου προϊόντος η οποία μηδενίζει τα οριακά έσοδα (πρώτη παράγωγο των dR d 8 16 εσόδων). Έτσι, MR (20q q 2 ) 20 q 0, εξίσωση η οποία έχει dq dq 3 3
λύση την q=3,75. Στην ποσότητα αυτή είναι p 20
β) q
80 3, 75 10 και R=pq= 10 3, 75 37,5 χρηματικές μονάδες. 3
50 30 2 q . Επομένως, 10 p p2 q 10
30 2q 30q 2q 2 R pq ( )q . q 10 q 10 dR d 30q 2q 2 ( q 10)(30 4q ) (30q 2q 2 ) MR ( ) dq dq q 10 (q 10) 2
[92]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
2q 2 40q 300 =0, εξίσωση η οποία έχει λύση (θετικό αριθμό) την q=5,81. Στην ( q 10) 2 30 2 5,81 ποσότητα αυτή είναι p 1,16 και, τέλος, R pq 1,16 5,81 6, 74 5,81 10 χρηματικές μονάδες.
=
p2 p 10 20 q . Επομένως, 100 R pq 10 q 20 q.
γ) q 20
MR
1 1 1 dR d 1 2 2 2 10 q (20 q ) 10 q (20 q ) ( 1) 10 (20 q ) dq dq 2
5q 10 20 q 0, εξίσωση η οποία έχει λύση την q=13,33. Στην ποσότητα 20 q
αυτή
θα
είναι
p 10 20 13, 33 25, 83
και
R=pq= 25, 83 13, 33 344, 31
χρηματικές μονάδες. 100 p 2 δ) q ( ) p 100 20 q . Επομένως, 20 3
R pq (100 20 q ) q 100 q 20 q q 100 q 20 q 2 . 3 1 dR d (100q 20q 2 ) 100 30q 2 0, εξίσωση η οποία έχει λύση την dq dq q=11,11.Στην ποσότητα αυτή θα είναι
MR
p 100 20 11,11 33, 34 και, τέλος,
R pq 33, 34 11,11 370, 41 χρηματικές μονάδες.
55. Εάν η συνάρτηση κόστους παραγωγής προϊόντος επιχείρησης είναι 3q 3 C 10q 2 100q 200 (όπου q=μονάδες παραγό-μενου προϊόντος) και η 4 αγοραία τιμή του προϊόντος είναι σταθερή και ίση με 100 χρηματικές μονάδες, ζητείται να υπολογιστεί η ποσότητα του προϊόντος που θα παραχθεί για να μεγιστοποιηθεί το κέρδος της επιχείρησης. Με ποια ποσότητα προϊόντος η επιχείρηση έχει μέγιστη ζημία; θα μεταβληθεί η παραγωγή αν το σταθερό κόστος αυξηθεί ή ελαττωθεί κατά 100 μονάδες; Να επαληθευτούν τα σχετικά ευρήματα γραφικώς. Λύση Οι συναρτήσεις εσόδων και κόστους παραγωγής προϊόντος της επιχείρησης θα είναι, 3 p3 αντίστοιχα, R=pq=100q και C 10q 2 100q 200. Επομένως, η συνάρτηση 4 κέρδους θα είναι
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[93]
3q 3 10q 2 100q 200) 4 3 3q 3q 3 = 100q 10 q 2 100 q 200 10 q 2 200. Το κέρδος μεγιστοποιείται 4 4 στην ποσότητα του πωλούμενου προϊόντος η οποία μηδενίζει τη συνάρτηση του οριακού κέρδους (πρώτη παράγωγο της συνάρτησης του κέρδους). Έτσι, dp d 3q3 9q 2 2 ( 10q 200) 20q 0, εξίσωση η οποία έχει λύσεις dq dq 4 4
R C 100q (
τις q1=8,89 και q2=0. Οι τιμές q1=8,89 και q2=0 επαληθεύονται αν εξισωθούν τα οριακά έσοδα (ΜR) με το οριακό κόστος (MC) της επιχείρησης (σημεία Κ και Λ). Πράγματι, d επειδή MR (100q ) dq d 3q 3 9q 2 =100 και MC ( 10q 2 100q 200) 20q 100, θα είναι dq 4 4 9q 2 100 20q 100, εξίσωση η οποία δίνει λύσεις τις q1=8,89 και q2=0. 4 d d 2 18q Για q1=8,89 προκύπτει ότι (M ) 2 20 dq dq 4 18 8,89 = 20 =-20<0, δηλαδή το κέρδος μεγιστοποιείται (σημείο Μ), ενώ για q2=0 4 d d 2 18q προκύπτει ότι (M ) 2 20 20 0, δηλαδή το κέρδος γίνεται dq dq 4 ελάχιστο (σημείο Ν). Εάν το σταθερό κόστος μεταβληθεί κατά 100 (ή οσεσδήποτε μονάδες) η παραγωγή δεν θα μεταβληθεί, γιατί, όπως είδαμε προηγουμένως, η μεγιστοποίηση του κέρδους σχετίζεται με το οριακό κόστος, το οποίο είναι ανεξάρτητο του σταθερού κόστους παραγωγής του προϊόντος.
[94]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
56. Εάν το ολικό κόστος επιχείρησης που λειτουργεί σε αγορά πλήρους q2 ανταγωνισμού είναι C 10q 20 (όπου q=μονάδες παραγόμενου προϊόντος) 4 και η σταθερή τιμή του προϊόντος είναι p χρηματικές μονάδες, να υπολογιστούν: α) η συνάρτηση προσφοράς της επιχείρησης και β) η ελάχιστη ποσότητα του πωλούμενου προϊόντος, ώστε να καλυφθεί το ολικό κόστος παραγωγής του. Λύση α) Σε αγορά πλήρους ανταγωνισμού ισχύει MR = p = MC. Από τη συνάρτηση ολικού q2 dC q q κόστους C 10q 20 προκύπτει ότι MC 10. Επομένως, 10 p 4 dq 2 2 και τελικά q 2( p 10).
β) Το ολικό κόστος καλύπτεται με την ποσότητα του πωλούμενου προϊόντος η οποία εξισώνει αυτό με τα έσοδα που πραγματοποιούνται, είναι δηλαδή C R pq. Αλλά, q 20 από τη συνάρτηση προσφοράς προκύπτει p . Έτσι, έχουμε 2 q2 q 20 10q 20 ( ) q, εξίσωση η οποία δίνει λύση q=8,94. Στην ποσότητα αυτή 4 2 του πωλούμενου προϊόντος είναι C R 129, 38 χρηματικές μονάδες. 57. Η συνάρτηση ολικού κόστους παραγωγής προϊόντος επιχείρησης είναι C 0,5q 2 20 q 20 (όπου q=μονάδες παραγόμενου προϊόντος) και η συνάρτηση ζήτησης αυτού είναι q=20-0,4p. Να υπολογιστούν: α) η ποσότητα του πωλούμενου προϊόντος, ώστε η επιχείρηση να πραγματοποιήσει μέγιστο κέρδος, β) η τιμή του προϊόντος στο επίπεδο αυτό της παραγωγής, γ) τα ολικά έσοδα που θα πραγματοποιήσει η επιχείρηση, δ) το ολικό κόστος παραγωγής και ε) το κέρδος της επιχείρησης. Να επαληθευθούν τα ευρήματα γραφικώς. Λύση α) Από τη συνάρτηση ζήτησης q 20 0, 4 p προκύπτει ότι p 50 2, 5q. Έτσι, η συνάρτηση εσόδων είναι R pq (50 2, 5q ) q 50 q 2, 5q 2
και
η
συνάρτηση
R C (50 q 2, 5q 2 ) (0, 5q 2 20 q 20) 3q 2 30q 20.
κέρδους Το
είναι κέρδος
μεγιστοποιείται (ή ελαχιστοποιείται) στην ποσότητα του πωλούμενου προϊόντος η οποία μηδενίζει το οριακό κέρδος. Συνεπώς,
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[95]
d ( 3q 2 30 q 20) 6 q 30 0, εξίσωση η οποία έχει λύση την q=5. Στην dq d τιμή αυτή επιτυγχάνεται το μέγιστο κέρδος (σημείο Μ), γιατί ( ) 6 0. Η dq
λύση αυτή προκύπτει, επίσης, εάν εξισωθούν τα οριακά έσοδα με το οριακό κόστος (σημείο Ν). Πράγματι, dR d MR (50q 2,5q 2 ) 50 5q και dq dq dC MC (0,5q 2 20q 20) q 20. Έτσι, από την εξίσωση 50 5q q 20 dq προκύπτει η λύση q=5. β) p 50 2, 5q 50 2, 5 5 37, 5 χρηματικές μονάδες (σημείο Λ). γ) R pq 37, 5 5 187, 5 χρηματικές μονάδες (σημείο Κ). δ) C 0, 5q 2 20q 20 0, 5 52 20 5 20 123, 5 χρηματικές μονάδες (σημείο Ρ). ε) R C 187, 5 132, 5 55 χρηματικές μονάδες (σημείο Σ).
58 Επιχείρηση, που λειτουργεί σε αγορά πλήρους ανταγωνισμού, έχει συνάρτηση z2 z παραγωγής προϊόντος q (5 ) (όπου z=μονάδες εισροής), οι δε τιμές ανά 20 10 μονάδα του παραγόμενου προϊόντος και της χρησιμοποιούμενης εισροής είναι, αντίστοιχα, 20 και 50 χρηματικές μονάδες. Να υπολογιστεί η ποσότητα της
[96]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
χρησιμοποιούμενης εισροής, ώστε να επιτευχτεί το μέγιστο κέρδος. Πόσες μονάδες του προϊόντος θα παραχθούν και ποιο θα είναι το μέγιστο κέρδος στο επίπεδο αυτό της εισροής; Να επαληθευθούν τα σχετικά ευρήματα γραφικώς. Λύση Το κέρδος μεγιστοποιείται (και ελαχιστοποιείται) στα σημεία Μ και Ν όπου η αξία του οριακού προϊόντος (VMP) είναι ίση με την τιμή ανά μονάδα της χρησιμοποιούμενης εισροής, δηλαδή VMP=pz. Αλλά z 3 2 z 3 2 VMP pq ( MP ) pq ( z ). Έτσι, 20( z ) 50, εξίσωση η οποία δίνει 2 200 2 200 λύσεις τις z1 27, 21 και z2 6,13. Διατυπώνοντας κατ’ άλλο τρόπο, οι τιμές αυτές προκύπτουν εξισώνοντας τα οριακά έσοδα (MR) με το οριακό κόστος (MC). Τα MR προκύπτουν από τη συνάρτηση των εσόδων ( R ) ως: z2 z z z3 και R pq q 20 (5 ) z 2 (5 ) 5 z 2 10 10 10 20 d z3 3z 2 MR (5 z 2 ) 10 z , ενώ το MC ισούται με την τιμή ανά μονάδα της dz 10 10 χρησιμοποιούμενης εισροής, δηλαδή είναι Συνεπώς, MC p z 50.
3z 2 50, που δίνει τις λύσεις z1 27, 21 και z2 6,13, στις οποίες το κέρδος 10 βρίσκεται σε ακρότατο σημείο. Για τη διερεύνηση του μέγιστου του κέρδους, από τη 3z 2 συνάρτηση του οριακού κέρδους Μπ=MR-MC 10 z 50 , για z1=27,21 10 προκύπτει 10 z
d d 3z2 6z 6 27, 21 ( M ) (10 z 50) 10 10 6,32 0, συνθήκη που dz dz 10 10 10 υποδηλώνει ότι για z1 27, 21 η συνάρτηση κέρδους μεγιστοποιείται (σημείο Λ). d d 6z 6 6,13 Αντιθέτως, για z2 6,13 προκύπτει ( M ) (10 ) 10 6,32 0, dz dz 10 10 συνθήκη που υποδηλώνει την ελαχιστοποίηση του κέρδους στην τιμή αυτή του z
(σημείο Κ). 3z 2 50 , ακολουθώντας 10 η συνάρτηση κέρδους
Τέλος, από τη συνάρτηση του οριακού κέρδους 10 z
αντίστροφη πορεία (ολοκλήρωση), προκύπτει z3 5 z 2 50 z. Έτσι, για z1 27, 21 μονάδες εισροής θα παραχθούν 10 27, 212 27, 21 q (5 ) 84,37 μονάδες του προϊόντος (σημείο Ρ), ενώ το μέγιστο 20 10 κέρδος θα είναι
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[97]
27, 213 5 27, 21 50 27, 21 326,83 χρηματικές μονάδες (σημείο Λ). 10 2
p 2 (όπου p=τιμή ανά μονάδα του αγαθού), και η συνάρτηση του ολικού μεταβλητού
59. Η συνάρτηση ζήτησης αγαθού, παραγόμενου από επιχείρηση, είναι q 24,5
q2 κόστους παραγωγής του είναι VC 2q q . Αν το σταθερό κόστος είναι α) 150 2 και β) 10 χρηματικές μονάδες, ζητούνται να υπολογιστούν: α) το επίπεδο παραγωγής και η τιμή για κάθε περίπτωση, ώστε να μεγιστοποιείται το κέρδος, β) το κέρδος για κάθε περίπτωση. Ποια συμπεράσματα προκύπτουν από τη σύγκριση των αποτελεσμάτων των δύο περιπτώσεων; 3
Λύση p προκύπτει ότι p 49 2q. Έτσι, η 2 συνάρτηση εσόδων είναι R pq 49 2q 2 . Το ολικό κόστος παραγωγής, με σταθερό
α) Από τη συνάρτηση ζήτησης q 24,5
κόστος FC1 150 και FC2 10 , είναι, αντίστοιχα, q2 q και 2 q2 3 C2 FC2 VC 10 2q q. Έτσι, οι συναρτήσεις κέρδους θα είναι, αντίστοιχα 2 C1 FC1 VC 150 2q 3
[98]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
1 R C1 (49q 2q 2 ) (150 2 q 3 2 R C 2 (49 q 2 q 2 ) (10 2 q 3
q2 5q 2 q ) 2 q 3 50q 150 και 2 2
q2 5q 2 q ) 2q 3 50 q 10. 2 2
Επομένως, το κέρδος μεγιστοποιείται (ή ελαχιστοποιείται) στην ποσότητα του πωλούμενου προϊόντος η οποία μηδενίζει το οριακό προϊόν της αντίστοιχης συνάρτησης κέρδους. Έτσι, προκύπτουν οι εξισώσεις: d1 d 5q 2 3 1 (2q 50q 150) 6q 2 5q 50 0 και dq dq 2 d d 5q 2 2 2 ( 2q 3 50q 10) 6q 2 5q 50 0 οι οποίες έχουν την dq dq 2 ίδια λύση q=2,5 στην οποία αντιστοιχεί p=44. β) Το κέρδος στις αντίστοιχες περιπτώσεις είναι: 5 2,52 1 2 2,53 50 2, 5 150 71,87 (ζημία) και 2 5 2,52 2 2 2,53 50 2,5 10 68,13 χρηματικές μονάδες. 2 Τα συμπεράσματα που προκύπτουν είναι ότι η παραγωγή και η τιμή δεν επηρεάζονται από το σταθερό κόστος παραγωγής του αγαθού, καθόσον το οριακό κόστος είναι συνάρτηση μόνο του μεταβλητού κόστους. Το σταθερό κόστος επηρεάζει, ωστόσο, το κέρδος της επιχείρησης. Πράγματι, η διαφορά στο σταθερό κόστος των 140 (150-10) χρηματικών μονάδων είναι η διαφορά στα πραγματοποιούμενα κέρδη 68,13 ( 71,87) . 60. Η συνάρτηση χρησιμότητας καταναλωτή είναι U x 2 20 x 50 (όπου x=μονάδες αγαθού, καταναλώμενες σε ορισμένο χρονικό διάστημα). Ποια θα είναι η ποσότητα κατανάλωσης του αγαθού με την οποία θα μεγιστοποιηθεί η ικανοποίηση του καταναλωτή και ποια η συνολική χρησιμότητα που επιτυγχάνεται; Λύση Η χρησιμότητα (ικανοποίηση του καταναλωτή) μεγιστοποιείται στην ποσότητα του αγαθού η οποία μηδενίζει την οριακή χρησιμότητα αυτού. Έτσι, dU d ( x 2 20 x 50) 2 x 20 0 , εξίσωση η οποία έχει λύση την x=10. dx dx Στην ποσότητα αυτή η μέγιστη συνολική χρησιμότητα είναι MU
U 10 2 20 10 50 150 μονάδες χρησιμότητας.
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[99]
61. Επιχείρηση έχει συνάρτηση παραγωγής προϊόντος την q 25 x1 x 2 (όπου x1 και x2 είναι μονάδες εισροής). Εάν η παραγόμενη ποσότητα του προϊόντος είναι 200 μονάδες και οι τιμές αγοράς, ανά μονάδα των εισροών, x1 και x2, αντίστοιχα, 2 και 8 χρηματικές μονάδες, να υπολογιστούν: α) οι ποσότητες των χρησιμοποιούμενων εισροών, ώστε να επιτευχθεί η παραγωγή των 200 μονάδων με το μικρότερο κόστος και β) το ελάχιστο πραγματοποιούμενο κόστος στο επίπεδο αυτό της παραγωγής. Να επαληθευτούν τα σχετικά ευρήματα γραφικώς. Λύση Η συνάρτηση ισοπαραγωγής της επιχείρησης είναι 200 25 x1 x2 από την οποία 64 προκύπτει x1 , και η συνάρτηση ισοκόστους C p x x1 p x x 2 2 x1 8 x2 , από x2 C την οποία προκύπτει x1 4 x2 . Η παραγωγή των 200 μονάδων του προϊόντος με 2 το μικρότερο κόστος επιτυγχάνεται στη σημείο όπου οι παράγωγοι των συναρτήσεων ισοπαραγωγής και ισοκόστους είναι ίσες (σημείο Μ), με άλλα λόγια εκεί όπου η οριακή σχέση τεχνικής υποκατάστασης του x1 από x2 ( MRTS x ό x ) 1
2
1
εξισώνεται με το αντίστροφο του λόγου των τιμών (
p x2 p x1
2
) των εισροών. Έτσι,
dx1 64 2 4, εξίσωση η οποία δίνει λύση x2=4. Αντίστοιχα, από τη συνάρτηση dx2 x2 64 ισοπαραγωγής προκύπτει x1 16. Οι τιμές αυτές, με αντικατάστασή τους στη 4 συνάρτηση ισοκόστους, δίνουν C 2 16 8 4 64 χρηματικές μονάδες.
[100]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
62. Η συνάρτηση ισοπαραγωγής η οποία συνδέει δύο συντελεστές παραγωγής για την 40 παραγωγή ενός προϊόντος, είναι x1 · Εάν η τιμή ανά μονάδα των ( x 2 1) 2 συντελεστών αυτών είναι, αντίστοιχα, p x 50 και p x 4 χρηματικές μονάδες, 1
2
χρησιμοποιούνται δε 3 μονάδες του συντελεστή x2, υπολογίστε πόσες μονάδες από κάθε συντελεστή πρέπει να μετακινηθούν, ώστε να ελαχιστοποιηθεί το κόστος παραγωγής του προϊόντος. Να επαληθευτούν τα σχετικά ευρήματα γραφικώς. Λύση Η παραγωγή ορισμένης ποσότητας προϊόντος (εκφρασμένης με τη συνάρτηση ισοπαραγωγής) με το μικρότερο κόστος, επιτυγχάνεται στο σημείο όπου η οριακή σχέση τεχνικής υποκατάστασης του συντελεστή x1 από τον x2 ισούται με το αντίστροφο του λόγου των τιμών αυτών. Έτσι, dx1 80 4 , εξίσωση η οποία δίνει x2=9, στην οποία 3 dx2 ( x2 1) 50 40 αντιστοιχεί τιμή x1 0, 40. Έτσι, αν χρησιμοποιούνται 3 μονάδες του x2 (9 1) 2 MRTS x1 ό x2
(και αντίστοιχα 2,5 μονάδες του x1), προκειμένου να ελαχιστοποιηθεί το κόστος θα πρέπει ο συντελεστής x2 να αυξηθεί κατά 6 μονάδες και, αντίστοιχα, να ελαττωθεί ο συντελεστής x1 κατά 2,1 μονάδες. Δηλαδή, η παραγωγή να μετακινηθεί επί της καμπύλης ισοπαραγωγής από το σημείο Μ στο σημείο Ν.
200 p 4 (όπου p=τιμή του αγαθού). Το σταθερό κόστος παραγωγής του αγαθού είναι 60
63.Η συνάρτηση ζήτησης αγαθού μονοπωλιακής επιχείρησης είναι q
χρηματικές μονάδες, ενώ το μεταβλητό κόστος εκφράζεται από τη συνάρτηση
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[101]
VC 11q 2 50 q . Εάν υποτεθεί ότι η καμπύλη ζήτησης του αγαθού μετατοπίζεται
μακροχρονίως παράλληλα προς την αρχική της θέση και το κόστος παραγωγής παραμένει σταθερό, ζητούνται να υπολογιστούν, τόσο για τη βραχυχρόνια όσο και για τη μακροχρόνια περίοδο: α) η ποσότητα του αγαθού με την οποία επιτυγχάνεται το μέγιστο κέρδος, β) το επιτυγχανόμενο μέγιστο κέρδος και γ) η τιμή του αγαθού. Να επαληθευτούν τα σχετικά ευρήματα γραφικώς. Λύση Βραχυχρονίως, το σημείο ισορροπίας της επιχείρησης είναι το σημείο όπου τα οριακά έσοδα (MR) εξισώνονται με το οριακό κόστος (σημείο Μ). Από τη συνάρτηση ζήτησης 200 p προκύπτει p=200-4q και επομένως R pq (200 4q ) q 200 4q 2 , q 4 ενώ MR=200-8q. Η συνάρτηση κόστους είναι C FC VC 60 11q 2 50 q και MC=22q+50. Έτσι, 200-8q=22q+50, εξίσωση η οποία δίνει λύση q=5 μονάδες, ποσότητα με την οποία επιτυγχάνεται το μέγιστο κέρδος της επιχείρησης, ίσο με R C (200 q 4q 2 ) (60 11q 2 50 q ) = 15q 2 150q 60 15 52 150 5 60 315 χρηματικές μονάδες. Η τιμή του αγαθού για p=5 μονάδες είναι p 200 4 5 180 χρηματικές μονάδες (σημείο Ν). Μακροχρονίως, εφόσον υποτίθεται ότι η συνάρτηση ζήτησης μεταβάλλεται, και κατά συνέπεια τα μέσα έσοδα (η νέα τιμή του αγαθού) και δεδομένου ότι το κόστος παραγωγής παραμένει σταθερό, το σημείο ισορροπίας επιτυγχάνεται στο σημείο όπου εξισώνονται οι κλίσεις των συναρτήσεων μέσων εσόδων-ζήτησης) και μέσου d d κόστους (σημείο Λ). Συγκεκριμένα, ( AR ) ( AC ), δηλαδή dq dq d d 60 60 (200 4 q ) (11q 50 ) 4 11 2 , από την οποία προκύπτει η λύση dq dq q q q=2 μονάδες. Για q=2 θα είναι 60 p΄= AC 11 2 50 102 χρηματικές μονάδες, έτσι που η νέα συνάρτηση 2 ζήτησης προκύπτει ως p΄= 4q 102 a 4 2 a 110 και, τελικά, p΄=110-4q (η κλίση ίση με -4 παραμένει η ίδια, γιατί η γραμμή ζήτησης μετατοπίζεται, σύμφωνα με την υπόθεση, παράλληλη προς την αρχική). Τέλος, το μέγιστο κέρδος στη νέα διαμορφωθείσα κατάσταση θα είναι R C (110 4q 2 ) (60 11q 2 50 q ) 2 2 = 15q 60q 60 15 2 60 2 60 0. Για παραγωγή αγαθού μεγαλύτερη ή μικρότερη από 2 μονάδες, η επιχείρηση διατηρώντας στα ίδια επίπεδα το κόστος παραγωγής του αγαθού, θα υφίσταται ζημία και τούτο γιατί διαταράσσεται η ισορροπία πουν εκφράζεται από τη συνθήκη p΄=AR=AC.
[102]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
64.Επιχείρηση παράγει δύο προϊόντα Α και Β, τα οποία πωλεί με τις επικρατούσες αγοραίες τιμές, αντίστοιχα, 5 και 15 χρηματικές μονάδες. Η συνάρτηση μετασχηματισμού των προϊόντων είναι y 23 y1 y 22 4 y 2 50 (όπου y1 και y2 είναι, αντίστοιχα, οι μονάδες των 5 παραγόμενων προϊόντων Α και Β). Να υπολογιστούν: α) Μεταξύ ποιων ορίων παραγωγής τα παραγόμενα προϊόντα είναι «συμπληρωματικά», δηλαδή η αύξηση της παραγωγής του ενός σχετίζεται με την αύξηση της παραγωγής του άλλου και β) πώς πρέπει να συνδυαστεί η παραγωγή των Α και Β προϊόντων, ώστε να μεγιστοποιηθεί το κέρδος της επιχείρησης. Να επαληθευτούν τα σχετικά ευρήματα γραφικώς. Λύση α) Η συνάρτηση μετασχηματισμού (δυνατοτήτων παραγωγής) μεγιστοποιείται στο σημείο όπου η οριακή σχέση μετασχηματισμού ( MRT y y ) μηδενίζεται (σημείο Μ0. 1
2
Έτσι, MRTy1 y2
dy1 3 y22 2 y2 4 0 , εξίσωση η οποία δίνει λύσεις τις y 2 1, 41 dy 2 5
και y2 4, 74. Η τιμή y2 4, 74 πράγματι μεγιστοποιεί τη συνάρτηση (σημείο Μ), γιατί d 2 y1 6y 6 4, 74 2 2 2 3, 7 0, ενώ η την ελαχιστοποιεί. Επομένως, τα 2 dy 2 5 5
όρια παραγωγής του προϊόντος Β είναι μεταξύ μηδενικής παραγωγής (η αρνητική
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[103]
τιμή του y2 δεν έχει έννοια και παραγωγής 4,74 μονάδων. Αντίστοιχα, τα όρια παραγωγής του προϊόντος Α θα είναι μεταξύ 0 και 70,13 μονάδες. β) Με την υπόθεση ότι η επιχείρηση λειτουργεί σε αγορά πλήρους ανταγωνισμού, η τιμή ανά μονάδα των συντελεστών παραγωγής είναι σταθερή. Επειδή δε και η ποσότητα των χρησιμοποιούμενων συντελεστών για την παραγωγή των προϊόντων Α και Β είναι σταθερή, το ολικό κόστος είναι σταθερό. Συνεπώς, για τη μεγιστοποίηση του κέρδους, η επιχείρηση δεν έχει παρά να μεγιστοποιήσει τα έσοδα. , τα οποία μεγιστοποιούνται στο σημείο όπου η οριακή σχέση μετασχηματισμού ( MRT y y ) είναι ίση με την παράγωγο (πρώτη) της συνάρτησης ισοεσόδων. Η 1
2
συνάρτηση ισοεσόδων προκύπτει ως R p A y1 pB y2 5 y1 15 y2 y1 Επομένως, MRTy1 y2
R 3 y2 5
dy1 3 y2 2 2 y2 4 3, εξίσωση η οποία δίνει y2=5,47 (η dy 2 5
αρνητική λύση y2= -2,13 απορρίπτεται), στην οποία αντιστοιχεί λύση y1=69,07. To σημείο N (5,47, 69,07), ως σημείο επαφής των γραμμών της συνάρτησης μετασχηματισμού και ισοεσόδων, είναι το σημείο μέγιστου κέρδους της επιχείρησης.
65. Καταναλωτής επιτυγχάνει ορισμένο επίπεδο ικανοποίησης με την κατανάλωση ποσοτήτων x1 και x2 των αγαθών Α και Β αντιστοίχως, συναρτωμένων ως 100 x 2 2
. Εάν η τιμή του αγαθού Α είναι 48 χρηματικές μονάδες και του 4 αγαθού Β 3 χρηματικές μονάδες, να υπολογιστούν: α) Πόση ποσότητα από κάθε αγαθό πρέπει να καταναλωθεί, ώστε να επιτευχθεί το δοθέν επίπεδο ικανοποίησης με την ελάχιστη οικονομική επιβάρυνση, β) ποια θα είναι η δαπάνη κατανάλωσης στο επίπεδο αυτό των αγαθών και γ) ποιος θα είναι ο συνδυασμός των ποσοτήτων των αγαθών Α και Β εάν διπλασιαστούν οι τιμές τους; Να επαληθευτούν τα ευρήματα γραφικώς. x1
[104]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
Λύση α) Η συνάρτηση καταναλωτικής δυνατότητας είναι C p A x1 p B x2 C 1 = 48 x1 3 x2 , από την οποία προκύπτει x1 x2 . Το δοθέν και ορισμένο επίπεδο 48 16 ικανοποίησης, με την ελάχιστη οικονομική επιβάρυνση, επιτυγχάνεται στο σημείο όπου οι παράγωγοι των συναρτήσεων ίσης χρησιμότητας (καμπύλης αδιαφορίας) και καταναλωτικής δυνατότητας είναι ίσες (σημείο Μ). Με άλλα λόγια, εκεί όπου η οριακή σχέση υποκατάστασης του αγαθού Α από το Β MRS A ό ) εξισώνεται με το p αντίστροφο του λόγου των τιμών ( B ) των αγαθών αυτών. Έτσι, pA MRS A ό
dx1 1 1 , εξίσωση που επαληθεύεται για x2=6 μονάδες. dx2 16 8 x2 2
Αντίστοιχα, από τη συνάρτηση 100 6 2 x1 24, 5 μονάδες. 4
ίσης
χρησιμότητας
προκύπτει
β) Η δαπάνη κατανάλωσης για x1=24,5 και x2=6 θα είναι C 48 24, 5 3 6 1194 χρηματικές μονάδες. γ)
Εφόσον η συνθήκη για την επίτευξη του επιπέδου ικανοποίησης είναι p MRS A ό B , ο διπλασιασμός και των δύο τιμών δίνει πάλι το σταθερό λόγο pA 1 Έτσι, ο συνδυασμός x1=24,5 και x2=6 των αγαθών Α και Β, αντίστοιχα, 16. παραμένει αμετάβλητος.
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[105]
66. Εάν η συνάρτηση ίσης χρησιμότητας (καμπύλη αδιαφορίας), η οποία συνδέει δύο 1 αγαθά Α και Β, είναι 50 x1 x 2 (όπου x1 και x2 είναι οι ποσότητες, αντιστοίχως, των 3 αγαθών Α και Β) και οι τιμές αγοράς των αγαθών είναι 2 και 12 χρηματικές μονάδες αντιστοίχως, να υπολογιστεί η επίδραση επί της ισορροπίας του καταναλωτή της αύξησης της τιμής του αγαθού Α από 2 σε 5 χρηματικές μονάδες (όταν η ολική δαπάνη C της καταναλωτικής δυνατότητας και η p2 παραμένουν σταθερές). Θα είναι ίδια η επίδραση, αν η δαπάνη καταναλωτικής δυνατότητας αυξηθεί κατά το ίδιο με το προηγούμενο (150%) ποσοστό, ενώ οι τιμές p1 και p2 διατηρηθούν σταθερές; Λύση Η συνάρτηση καταναλωτικής δυνατότητας είναι C 6 x2 . Η ισορροπία του 2 καταναλωτή (επίτευξη επιπέδου ικανοποίησης με την ελάχιστη οικονομική C p A x1 p B x2 2 x1 12 x2 , από την οποία προκύπτει x1
επιβάρυνση) επιτυγχάνεται στο σημείο όπου οι παράγωγοι των συναρτήσεων ίσης χρησιμότητας (καμπύλης αδιαφορίας) και καταναλωτικής δυνατότητας είναι ίσες, με άλλα λόγια η οριακή σχέση υποκατάστασης του αγαθού Α από το Β ( MRS A ό ) p εξισώνεται με το αντίστοιχο του λόγου των τιμών ( B ) των αγαθών αυτών. Από pA 1 150 τη συνάρτηση ίσης χρησιμότητας 50 x1 x2 προκύπτει x1 και 3 x2 dx 150 MRS A ό 1 2 , ενώ από τη συνάρτηση καταναλωτικής δυνατότητας dx2 x2 dx1 p x2 150 6. Επομένως, 2 6, εξίσωση η οποία έχει λύση την x2=5 μονάδες. dx2 p x1 x2 150 30 μονάδες. 5 Εάν η τιμή του αγαθού Α αυξηθεί από 2 σε 5 μονάδες, ενώ θα διατηρηθούν σταθερές η δαπάνη καταναλωτικής δυνατότητας και η τιμή του αγαθού Β, η νέα ισορροπία 150 12 του καταναλωτή θα εκφράζεται από τη σχέση 2 , η οποία δίνει λύση x2 5
Αντίστοιχα, από τη συνάρτηση ίσης χρησιμότητας προκύπτει x1
x2=7,91 μονάδες, στην οποία αντιστοιχεί x1=18,96 μονάδες. Όπως διαπιστώνεται, η αύξηση της τιμής του αγαθού Α από 2 σε 5 χρηματικές μονάδες οδηγεί τον καταναλωτή στη μείωση της κατανάλωσης του αγαθού αυτού από 30 σε 18,96 μονάδες και αύξηση της κατανάλωσης του αγαθού Β από 5 σε 7,91 μονάδες. Το αποτέλεσμα αυτό εκδηλώνεται ως αποτέλεσμα υποκατάστασης, ενώ η πραγματική ισορροπία του καταναλωτή θα διαμορφωθεί σε νέο συνδυασμό των ποσοτήτων των αγαθών Α και Β επί νέας διαμορφούμενης συνάρτησης ίσης χρησιμότητας, ως εκδήλωση του εισοδηματικού αποτελέσματος.
[106]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
Τέλος, εφόσον η δαπάνη καταναλωτικής δυνατότητας αυξάνεται ενώ παραμένουν σταθερές οι τιμές των αγαθών Α και Β, θα αυξηθούν οι καταναλώμενες ποσότητες των αγαθών και επομένως, για τη διατήρηση πάλι της ισορροπίας, ο καταναλωτής θα μεταβάλει το επίπεδο ολικής χρησιμότητάς του (θα μεταβεί σε υψηλότερη καμπύλη αδιαφορίας). Η μετακίνησή του θα γίνει κατά μήκος της καμπύλης κατανάλωσης Engel, ώστε να διατηρήσει σταθερή τη συνθήκη της MRS A ό της νέας συνάρτησης ίσης χρησιμότητας, ίση με
p x2 p x1
6.
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[107]
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΤΟ ΠΟΛΥΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1. Απεικονίστε σε τρισδιάστατο χώρο τμήμα της επιφάνειας που εκφράζει η συνάρτηση x+2y+3z=5 και σε σύστημα ορθογώνιων συντεταγμένων γραμμές που παριστάνουν τη σχέση μεταξύ των x και z μεταβλητών, για διάφορα επίπεδα τιμών της μεταβλητής y. Λύση
2. Να υπολογιστούν οι κοινές λύσεις των x, y και z των συναρτήσεων x-2y+z=4, 2x+y-5z=9, -x+3y+z=3 με τη γεωμετρική απεικόνιση των αντίστοιχων επιπέδων των συναρτήσεων. Λύση Οι κοινές λύσεις των συναρτήσεων είναι x=8, z=2 και y=3.
[108]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
3. Να απεικονιστούν σε σχήμα ορθογώνιων συντεταγμένων και για το διάστημα τιμών της y= -2, -1, 0, 1, 2, 3 οι ακόλουθες συναρτήσεις: α) y=5x-3z, β) y=x2z, γ) y=x2+z2-1, δ) y=x2-z2, ε) y xz , στ) y=x2+xz+z2, ζ) x2+y2+z2-2xz-2yz=0. Λύσεις Απεικονίζονται οι μονομεταβλητές συναρτήσεις (όπου y* είναι οι δοσμένες τιμές της y): y * 3 z 5 y* β) x z
α) x
γ) x y * z 2 1 δ) x y * z 2 ε) x
y *2 z
στ) x 0,5 z 0,5 4 y * 3z 2 ζ) x z y *(2 z y*)
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[109]
4. Δείξτε ότι για τις ακόλουθες συναρτήσεις: x2 z2 α) y x z , β) y x z και γ) y η επιφάνεια που τέμνεται σε xz δεδομένο σημείο της από κατακόρυφο επίπεδο διερχόμενο από το 0, αποτελεί τομή 3
2
2
2
ευθείας γραμμής. Λύση Τμήμα της επιφάνειας που ορίζουν οι συναρτήσεις και για τιμές π.χ. y=5 και y=10, εάν προβληθεί στο επίπεδο που ορίζουν οι ορθογώνιες συντεταγμένες x και z, παρουσιάζει τις αντίστοιχες καμπύλες (ισοϋψείς) των διαγραμμάτων α, β και γ. Το κατακόρυφο επίπεδο που τέμνει την επιφάνεια σε ένα σημείο και το οποίο διέρχεται από το 0, αποτελεί τομή η οποία στα επίπεδα σχήματα αντιστοιχεί προς την ευθεία γραμμή ΟΜ και αυτό γιατί, όπως μπορεί να διαπιστωθεί αλγεβρικά, μεταβολή των x και z κατά ποσοστό λ προκαλεί, επίσης, μεταβολή της y κατά το ίδιο ποσοστό. Έτσι, π.χ στο σχήμα, εάν από το σημείο Α (2, 7,90) μετακινηθούμε στη θέση Β (4, 15,80) το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ αποτελεί τμήμα της ευθείας ΟΜ.
[110]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
Το ίδιο συμβαίνει και για τις άλλες συναρτήσεις (σχήματα (β) και (γ)) όταν από τα σημεία Α (, 5,39) και Ζ (2, 6) μετακινηθούμε στο σημείο Β (4, 10,78) και Β (4, 12), αντίστοιχα (βλ. και άσκηση 13).
5. Εάν η σχέση η οποία συνδέει την προσφερόμενη ποσότητα q προϊόντος y με την τιμή αυτού py και την τιμή px προϊόντος x, υποκατάστατου του πρώτου, είναι q 3 0, 2 p y 0,1 p x , να απεικονιστεί η σχετική επιφάνεια για το διάστημα 2 py 5 και 6 px 10 χρηματικές μονάδες. Αν οι τιμές py και px διατηρηθούν, εναλλάξ, σταθερές στις 10 και 15 χρηματικές μονάδες, να απεικονιστούν σε σχήμα ορθογώνιων συντεταγμένων οι καμπύλες των συναρτήσεων προσφοράς για τα παραπάνω διαστήματα των τιμών px και py.
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[111]
Λύση
6. Οι εξισώσεις ζήτησης των αγαθών Α και Β είναι, αντίστοιχα, q1 20 q2 5
p x1 p x2
p x2 p x1
και
(όπου p x και p x είναι οι τιμές των αγαθών). Για ποιες τιμές των αγαθών 1
2
Α και Β η ζήτηση αυτών είναι η ίδια; Να απεικονιστεί γραφικά η μεταβολή της γραμμής ζήτησης του αγαθού Α, όταν η τιμή του αγαθού Β αυξάνεται διαδοχικά από 5 σε 8 και 10 χρηματικές μονάδες. Λύση Με την ίδια ζήτηση θα είναι q1=q2, δηλαδή px px 20 2 5 1 p x21 4 p x22 p x1 2 p x2 . p x1 p x2
[112]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
7. Επιχείρηση, η οποία παράγει τρία προϊόντα, έχει συνάρτηση ι-σοεσόδων 3x+y+4z=R (όπου x, y, z είναι οι ποσότητες των παραγόμενων προϊόντων και R=έσοδα). Εάν από την πώληση των προϊόντων επιτυγχάνονται έσοδα R=20 χρηματικές μονάδες, να απεικονιστεί γραφικά το επίπεδο που σχηματίζουν οι σαφείς συναρτήσεις που προκύπτουν. Δείξτε αλγεβρικά και γεωμετρικά το αποτέλεσμα, εάν το y διατηρηθεί σταθερό και ίσο με 5 μονάδες. Λύση Από την ασαφή μορφή της συνάρτησης 3x+y+4z=20 σχηματίζονται τρεις σαφείς συναρτήσεις, θεωρώντας κάθε φορά δύο από τις μεταβλητές ως ανεξάρτητες. Έτσι, 20 4 z y 20 3 x y έχουμε x και y 20 3 x 4 z , καθεμία από τις οποίες , z 3 4 σχηματίζει το επίπεδο του σχήματος (α), του οποίου κάθε σημείο παριστάνει το συνδυασμό παραγωγής των τριών προϊόντων για την απόκτηση της σταθερής ποσότητας εσόδων ίσης με 20 χρηματικές μονάδες. Εάν το y διατηρηθεί σταθερό και ίσο με 5 μονάδες, τομή του επιπέδου στο επίπεδο αυτό της παραγωγής εκφράζεται από την εξίσωση 3x+4z=15, με γραφική απεικόνιση αυτή του σχήματος β).
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[113]
8. Η συνάρτηση παραγωγής γεωργικού προϊόντος είναι y 18,8 7,6 N 2,5 P 0,7 N 2 0,4 P 2 0,21NP (όπου y=μονάδες παραγόμενου προϊόντος ανά μονάδα εδάφους, Ν=μονάδες νιτρικού λιπάσματος και Ρ=μονάδες φωσφορικού λιπάσματος). Να απεικονιστεί γραφικά η επιφάνεια της συνάρτησης παραγωγής για το διάστημα των τιμών 0 N 7 και 0 P 5 . Να απεικονιστούν σε σύστημα ορθογώνιων συντεταγμένων οι μονομεταβλητές συναρτήσεις παραγωγής για Ν=2 και Ρ=5 μονάδες των λιπασμάτων και να απεικονιστούν οι καμπύλες ισοπαραγωγής για τα επίπεδα παραγωγής y=20, 30, 40 και 45 μονάδες. Λύση Η επιφάνεια της συνάρτησης y 18,8 7, 6 N 2, 5 P 0, 7 N 2 0, 4 P 2 0, 21NP εμφανίζεται στο σχήμα (α), όπου κάθε καμπύλη αντιστοιχεί σε ορισμένο επίπεδο παραγωγής για τιμές των Ν και P στο διάστημα 0 7 και 0 P 5. Για Ν=2 και Ρ=5 μονάδες των λιπασμάτων (σχήματα (β) και (γ) αντίστοιχα), από την παραπάνω διμεταβλητή συνάρτηση προκύπτουν οι μονομεταβλητές συναρτήσεις y 31, 2 2, 92 P 0, 4 P 2 και y 21, 3 8, 65 N 0, 7 N 2 . Τέλος, στο σχήμα (δ) απεικονίζονται οι καμπύλες
ισοπαραγωγής για y=20, 30, 40 και 45 μονάδες παραγωγής, καμπύλες που εκφράζονται από τη συνάρτηση γενικής μορφής 2
N 5, 4286 0,15P (56,3265 5, 2 P 0,5489 P 1, 4286 y*)
παραπάνω ορισμένες μονάδες παραγωγής).
1 2
(όπου y* είναι οι
[114]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
9. Επιχείρηση έχει συνάρτηση παραγωγής προϊόντος την y 5 L0,5 K 0 ,5
(όπου
L=μονάδες εργασίας και Κ=μονάδες κεφαλαίου). Χρησιμοποιώντας αυθαίρετες τιμές για L και Κ, να κατασκευαστεί πίνακας τιμών του παραγόμενου προϊόντος και ακολούθως να απεικονιστεί σχηματικά η αντίστοιχη επιφάνεια της συνάρτησης. Λύση L
K 2 4 6 8 10 12
100
200
300
400
500
600
70,7 100,0 122,5 141,4 158,1 173,2
100,0 141,4 173,2 200,0 223,6 244,9
122,5 173,2 212,1 244,9 273,9 300,0
141,4 200,0 244,9 282,8 316,2 346,4
158,1 223,6 273,9 316,2 353,6 387,3
173,2 244,9 300,0 346,4 387,3 424,3
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[115]
10. Για τη συνάρτηση Cobb-Douglas της προηγούμενης άσκησης, να κατασκευαστεί ο χάρτης των καμπυλών ισοπαραγωγής για επίπεδα παραγωγής του προϊόντος y=100, 200, 300 και 400 μονάδες. Εάν το κεφάλαιο παραμένει σταθερό στις 9 μονάδες, ποια θα είναι η συνάρτηση παραγωγής που συνδέει το προϊόν με την εργασία; βεβαιωθείτε, με την κατασκευή του σχήματος, ότι λειτουργεί ο νόμος των φθινουσών αποδόσεων με την αύξηση της εργασίας. Λύση Οι καμπύλες ισοπαραγωγής αποτελούν γραφική απεικόνιση των συναρτήσεων y *2 ισοπαραγωγής K (όπου y* είναι τα δοσμένα επίπεδα παραγωγής). Εάν το 25L κεφάλαιο παραμένει σταθερό στις 9 μονάδες, η συνάρτηση παραγωγής θα είναι y 5 L0,5 9 0,5 y 15 L0,5 . Χαράσσουμε γραμμή παράλληλη προς τον άξονα L και στο ύψος των 9 μονάδων του Κ. Οι καμπύλες ισοπαραγωγής τέμνονται στα σημεία Α, Β, Γ και Δ, έτσι ώστε ΑΒ< ΒΓ< ΓΔ, που σημαίνει ότι, για την επίτευξη σταθερής αύξησης της παραγωγής (δηλούμενης από τις διαδοχικές καμπύλες ισοπαραγωγής) με την ποσότητα του κεφαλαίου σταθερή στο ύψος των 9 μονάδων, απαιτούνται ολοένα μεγαλύτερες αυξήσεις της ποσότητας της εργασίας ή, αντίστροφα, σταθερή αύξηση της ποσότητας της εργασίας με σταθερή την ποσότητα του κεφαλαίου προκαλεί φθίνουσα παραγωγή.
[116]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
11. Δίνονται οι ακόλουθες συναρτήσεις παραγωγής Cobb-Douglas: α) y 2 L0, 7 K 0, 3 , β) y 5 L0, 4 K 0 , 2 , γ) y 4 L0, 6 K 1, 2 , δ) y 3L0 ,8 K 0 ,5 (όπου y=μονάδες παραγόμενου προϊόντος, L=μονάδες εργασίας και Κ=μονάδες κεφαλαίου). Να εκφραστούν αλγεβρικά και να απεικονιστούν σχηματικά οι συναρτήσεις ισοπαραγωγής για παραγόμενες ποσότητες προϊόντος y=100, 200, 300, 400 και 500 μονάδες. Δείξτε, με τη χρησιμοποίηση του σχήματος, την αρχή των φθινουσών οριακών αποδόσεων για κάθε συντελεστή της παραγωγής, όταν o άλλος συντελεστής διατηρείται σταθερός. Λύση Εάν y* είναι το δοσμένο επίπεδο παραγωγής, οι συναρτήσεις ισοπαραγωγής εκφράζονται αλγεβρικά ως: y* y * 107 1 α) y* 2 L0,7 K 0,3 L0,7 L ( ) ( 3 ). Επομένως, για y=100, 200, 300 2 K 0,3 2 K7 400 και 500 μονάδες, θα είναι αντίστοιχα (σχήμα (α)), L
267, 4 K
3 7
, L
719, 7 K
3 7
, L
1284, 4 K
3 7
, L
1937,3 K
3 7
και L
2664, 6 K
3 7
.
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[117]
y* y* 1 L ( ) 2,5 ( 2,5 ). Επομένως, για y=100, 200, 300 0,2 4K 5 K 400 και 500 μονάδες, θα είναι αντίστοιχα (σχήμα (β)),
β) y* 5 L0,4 K 0,2 L0,4
1788,9 10119 27885,5 57243,3 και , L 0,5 , L , L 0,5 0,5 K K K K 0,5 100000 L . K 0,5 L
y* y * 53 1 L ( ) ( 2 ). Επομένως, για y=100, 200, 300 400 4 K 1,2 4 K και 500 μονάδες, θα είναι αντίστοιχα (σχήμα (γ)),
γ) y* 4 L0,6 K 1,2 L0,6
L
213, 7 678, 6 1333,8 2154, 4 3125 και L 2 . , L , L , L 2 2 2 2 K K K K K
[118]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
y* y * 54 1 δ) y* 3L K L L ( ) ( 5 ). Επομένως, για y=100, 200, 300 400 3K 0,5 3 K8 και 500 μονάδες, θα είναι αντίστοιχα (σχήμα (δ)), 0,8
L
80,1 K
5 8
, L
0,5
0,8
190,5 K
5 8
,L
316, 2 K
5 8
, L
453,1 K
5 8
και L
598,8 K
5 8
.
Στα παραπάνω σχήματα, με τη χάραξη παράλληλων προς τους άξονες Κ και L γραμμών, που αντιστοιχούν σε δεδομένα (σταθερά) επίπεδα κεφαλαίου και εργασίας, διαπιστώνεται ότι οι καμπύλες ισοπαραγωγής τέμνονται σε σημεία των οποίων οι αποστάσεις βαίνουν συνεχώς αυξανόμενες. Τούτο δηλώνει ότι, για την επίτευξη σταθερής αύξησης της παραγωγής (από 100 σε 200, κ.λπ. μονάδες) απαιτούνται ολοένα και μεγαλύτερες αυξήσεις του ενός συντελεστή, όταν ο άλλος διατηρείται σταθερός σε ορισμένο επίπεδο. 12. Να προσδιοριστούν αλγεβρικά και γεωμετρικά (με τη χρησιμοποίηση καμπυλών ισοπαραγωγής) οι αποδόσεις κατά κλίμακα για τις συναρτήσεις της άσκησης 11. Λύση Αν χαρακτηρίσουμε ως L0 και Κ0 τις ποσότητες των συντελεστών πριν από την αύξησή τους και y0 το αντίστοιχο επίπεδο της παραγωγής, οι συναρτήσεις θα έχουν τη μορφή: 0 ,3 α) y 0 2 L0,7 0 K0 0,2 β) y 0 5 L0,4 0 K0 1,2 γ) y0 4 L0,6 0 K0 0,5 δ) y0 3L0,8 0 K0
Αν, τώρα, η ποσότητα και των δύο συντελεστών αυξηθεί κατά ποσοστό λ, έτσι που τα
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[119]
L0 και Κ0 γίνουν, αντίστοιχα, λL0 και λΚ0, οι συναρτήσεις θα λάβουν τη μορφή α) y1 2( L0 ) 0 ,7 ( K 0 ) 0 ,3 β) y1 5( L0 ) 0,4 ( K 0 ) 0,2 γ) y1 4( L0 ) 0,6 ( K 0 )1,2 δ) y1 3( L0 ) 0 ,8 ( K 0 ) 0,5 από τις οποίες αποκτώνται: 0 ,3 α) y1 2 0,7 L0,7 K 00 ,3 2 L00,7 K 00 ,3 2 y 0 (σταθερές αποδόσεις κλίμακας) 0 β) y1 5 0 ,4 L00,4 0,2 K 00 ,2 5 0 ,6 L00,4 K 00,2 y 0 (φθίνουσες αποδόσεις κλίμακας) γ) y1 4 0 ,6 L0 ,6 1,2 K 1,2 4 1,8 L00,6 K 01,2 y 0 (αύξουσες αποδόσεις κλίμακας) 0 ,5 δ) y1 3 0 ,8 L0,8 K 00 ,5 3 1,3 L00,8 K 00 ,5 y 0 (αύξουσες αποδόσεις κλίμακας). 0
Οι αποδόσεις κλίμακας δείχνονται στα σχήματα, με τις αποστάσεις των καμπυλών ισοπαραγωγής μετρούμενες επί της ακτίνας που ξεκινά από την αρχή των συντεταγμένων 0 (κάθε ακτίνα αντιπροσωπεύει αύξηση και των δύο συντελεστών παραγωγής κατά τη σταθερή αναλογία λ). Στο σχήμα (α) είναι ΑΒ=ΒΓ=ΓΔ=ΔΕ (σταθερές αποδόσεις κλίμακας), στο σχήμα (β) είναι ΑΒ <ΒΓ <ΓΔ <ΔΕ (φθίνουσες αποδόσεις κλίμακας), ενώ στα σχήματα (γ) και (δ) είναι ΑΒ< ΒΓ< ΓΔ< ΔΕ (αύξουσες αποδόσεις κλίμακας).
13. Δείξτε, αλγεβρικά, ότι καθεμία από τις συναρτήσεις της άσκησης 4 εμφανίζει σταθερές αποδόσεις κλίμακας.
[120]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
Λύση Αν χαρακτηρίσουμε ως x0 και z0 τις τιμές των x και z πριν από την αύξησή τους και y0 την τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής, θεωρήσουμε δε ότι οι x και z μεταβληθούν κατά σταθερό ποσοστό, έστω λ, η τιμή της y θα μεταβληθεί κατά το ίδιο ποσοστό. Πράγματι, α) Αν y0 3 x02 z0 , θα είναι y1 3 ( x0 ) 2 z0 3 3 x02 z 0 3 x02 z 0 y0
β) Αν y0 x02 z02 , θα είναι ( x0 ) 2 ( z 0 ) 2 2 ( x02 z 02 ) x02 z 02 y0
y1
γ) Αν y0 y1
x02 z02 , θα είναι x0 z0
( x0 ) 2 ( z0 ) 2 2 ( x02 z02 ) ( x02 z02 ) y0 . x0 z0 ( x0 z0 ) x0 z0
Από τα παραπάνω, συμπεραίνεται ότι και οι τρεις συναρτήσεις εμφανίζουν σταθερές αποδόσεις κλίμακας. 14. Καταναλωτής ικανοποιεί ορισμένο επίπεδο κατανάλωσης με την απόκτηση δύο αγαθών Α και Β, έχοντας συνάρτηση χρησιμότητας U 103 x1 x2 (όπου U=ολική χρησιμότητα σε μονάδες χρησιμότητας και x1, x2 οι ποσότητες, αντιστοίχως, των αγαθών Α και Β). Να προσδιοριστούν οι συναρτήσεις ίσης χρησιμότητας και να χαραχτούν οι κα-μπύλες αδιαφορίας για επίπεδα χρησιμότητας U1=10, U2=20, U3= 30 και U4=40 μονάδες χρησιμότητας. Να επαληθευτεί, με τη χρησιμοποίηση των καμπυλών αδιαφορίας, η ισχύς του νόμου της φθίνουσας οριακής χρησιμότητας. Λύση Εάν U* είναι το δοσμένο επίπεδο χρησιμότητας, οι συναρτήσεις ίσης χρησιμότητας U* 1 (καμπύλες αδιαφορίας) εκφράζονται αλγεβρικά ως x1 ( )( ). Επομένως, για U= 10 x2 10, 20, 30 και 40 μονάδες χρησιμότητας οι αντίστοιχες συναρτήσεις θα είναι: 1 8 27 64 και x1 , οι οποίες απεικονίζονται στο σχήμα. Στο ίδιο x1 , x1 , x1 x2 x2 x2 x2 σχήμα, με τη χάραξη παράλληλων προς τους άξονες x1 και x2 γραμμών, που αντιστοιχούν σε δεδομένες (σταθερές) ποσότητες κατανάλωσης αυτών, διαπιστώνεται ότι οι καμπύλες αδιαφορίας τέμνονται στα σημεία Α, Β και Γ (για x1=5) και στα Δ, Ε, Ζ και Η (για x2=3), έτσι που είναι ΑΒ< ΒΓ και ΔΕ < ΕΖ < ΖΗ. Τούτο δηλώνει, ότι για την επίτευξη σταθερής αύξησης της ολικής χρησιμότητας (από U=10, 20 κ.λπ. μονάδες) απαιτούνται ολοένα και μεγαλύτερες αυξήσεις του ενός αγαθού, όταν το άλλο διατηρείται σταθερό σε ορισμένο επίπεδο.
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[121]
[122]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[123]
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΕΡΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ 1. Να υπολογιστούν οι μερικές παράγωγοι πρώτης τάξης των συναρτήσεων: 1 α) y 3 x 2 x 3 z 2 , β) y x 5 2 z 6 3w 4 , γ) y=x3+2z3-5xz, 2 2 δ) y 4 x 2 z 2 6 x , ε) y 2 x 7 xz 3 2 z , z x2 z2 στ) y 2 , x z2 ζ) y=3x5(1-z2), η) y=(x2-z2)(x+3z3), θ) y (2 x 3 3 z 4 ) 5 , ι) y 3 x 2 z 3 , ια) y e x z , ιβ) y e x ιγ) y log( x 2 z 3 ), ιδ) y 3 x 4 e z . Λύση 1 α) y 3 x 2 x3 z 2 . Θα είναι: 2 y 1 (3 x 2 x3 z 2 ) 3 6 x 2 x x 2 y 1 (3 x 2 x3 z 2 ) z z z 2 5 6 4 β) y x 2 z 3w . Θα είναι: y 5 ( x 2 z 6 3w 4 ) 5 x 4 x x y 5 ( x 2 z 6 3w4 ) 12 z 5 z z y 5 ( x 2 z 6 3w4 ) 12 w3 w w γ) y x 3 2 z 3 5 xz. Θα είναι: y 3 ( x 2 z 3 5 xz ) 3 x 2 5 z x x y 3 ( x 2 z 3 5 xz ) 6 z 2 5 x z z 2 δ) y 4 x 2 z 2 6 x. Θα είναι: z y 2 (4 x 2 z 2 6 x) 8 xz 6 x x z y 2 4 (4 x 2 z 2 6 x) 4 x 2 3 z z z z 3 ε) y 2 x 7 xz 2 z . Θα είναι:
2
2 z2
,
[124]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
y 1 (2 x 7 xz 3 2 z 7z x x x
y 1 2 (2 x 7 xz 3 2 z ) 7 x 3 2 z z 3 z 2 2 x z στ) y 2 2 . Θα είναι: x z 2 2 2 2 ( x z ) x ( x z ) y x 2 z 2 1 ( ) 2 2 x x x 2 z 2 ( x z 2 )2 2 2 2 (x z ) (x z ) x 1 1 ( x 2 z 2 ) 2 x ( x 2 z 2 ) 2 x 2 2 x( 2 z 2 ) 2 2 2 2 2 (x z ) (x z ) 2 4 xz = 2 2 2 . (x z ) 2 2 ( x z ) (x2 z2 ) 2 2 y x z 1 z ( ) 2 z z x 2 z 2 ( x z 2 )2 2 2 2 2 (x z ) (x z ) z 2 1 4 zx = 2 2 2 ( x 2 z 2 ) 2 z ( x 2 z 2 )( 2 z ) 2 . (x z ) ( x z 2 )2 ζ) y 3 x 5 (1 z 2 ). Θα είναι: y (3 x5 (1 z 2 ) 3 x 5 (1 z 2 ) (1 z 2 ) 3 x 5 x x x x 4 2 = 15 x (1 z ) y (3 x5 (1 z 2 ) 3 x 5 (1 z 2 ) (1 z 2 ) 3 x 5 6 zx5 . z z z z 2 2 3 η) y ( x z )( x 3 z ). Θα είναι: y ( x 2 z 2 )( x 3z 3 ) ( x 2 z 2 ) ( x 3 z 3 ) x x x ( x 3 z 3 ) ( x 2 z 2 ) ( x 2 z 2 ) ( x 3 z 3 )(2 x) 3 x 2 z 2 6 xz 3 . x y ( x 2 z 2 )( x 3 z 3 ) ( x 2 z 2 ) ( x 3 z 3 ) z z z ( x 3 z 3 ) ( x 2 z 2 ) ( x 2 z 2 ) 9 z 2 ( x 3 z 3 )( 2 z ) z 2 = z (9 x z 15 z 3 2 x ).
θ) y (2 x 3 3 z 4 )5 . Θα είναι: y (2 x 3 3 z 4 ) 5 5(2 x 3 3 z 4 ) (2 x3 3 z 4 ) 30 x 2 (2 x 3 3 z 4 ) x x x y (2 x 3 3 z 4 ) 5 5(2 x3 3 z 4 ) (2 x3 3 z 4 ) 60 z 3 (2 x 3 3 z 4 ) . z z z
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[125]
ι) y 3 x 2 z 3 . Θα είναι: 1 2 y 2 3 3 1 2 3 3 2 3 2x (x z ) (x z ) (x z ) x x 3 x 3 3 ( x2 z 3 )2 1
2
y 2 3 3 1 2 3 3 2 3 z2 (x z ) (x z ) (x z ) . 3 z z 3 z ( x 2 z 3 )2
ια) y x ιβ) y x ιγ) y x y z ιδ) y x
y e x z . Θα είναι: y x z e x z e x z και e e x z x z z 2 2 y e x 2 z . Θα είναι: 2 2 2 2 x2 2 z 2 y x 2 2 z 2 e 2 xe x 2 z και e 4 ze x 2 z . x z z 2 3 y ln( x z ). Θα είναι: 2x και ln( x 2 z 3 ) 2 x x z3 3z 2 2 3 ln( x z ) 2 . z x z3 y 3 x 4e z . Θα είναι: y 4 z 3 x 4 e z 12 x 3e z και 3 x e 3x 4 e z . x z z
2. Να υπολογιστούν οι μερικές ελαστικότητες ζήτησης ως προς p1 και p2 των αγαθών p a Α και Β σε καθεμία από τις εξισώσεις ζήτησης q1 και q 2 2 (όπου α και p1 p1 p 2 β σταθερές και p1, p2 οι τιμές των αγαθών Α και Β αντιστοίχως). Να δείξετε αλγεβρικά και σχηματικά σε σύστημα ορθογώνιων συντεταγμένων ότι τα αγαθά είναι στην πρώτη εξίσωση συμπληρωματικά και στη δεύτερη ανταγωνιστικά. Λύση q1
a . Θα είναι: p1 p2
nD p 1
q1 p1 p ap p2 p a ( ) 1 2 2 2 1 2 1 και a p1 q1 p1 p1 p2 p1 p2 a p1 p2
q1 p2 p ap p p2 a ( ) 2 2 1 2 1 2 1. 2 a p2 q1 p2 p1 p2 p1 p2 a p1 p2 p q1 2 . Θα είναι: p1 nD p
[126]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
q1 p1 p p p p2 (b 2 ) 1 2 2 1 1 και p1 q1 p1 p1 p2 p1 p2 p1 q p p p p p p 1 2 ( 2 ) 2 21 1 2 1. p p2 q1 p2 p1 p1 p2 2 p1
nD p 1
nD p
2
Από τις παραπάνω τιμές των μερικών ελαστικοτήτων ζήτησης συμπεραίνεται ότι στην πρώτη εξίσωση ζήτησης τα αγαθά είναι συμπληρωματικά και στη δεύτερη ανταγωνιστικά, όπως αυτό διαπιστώνεται από τις καμπύλες ζήτησης στα σχήματα (α) και (β), αντίστοιχα. Στην πρώτη, αν α=500, μεταβολή της τιμής ενός αγαθού (του άλλου διατηρούμενου σταθερού) προκαλεί μεταβολή της ζήτησης προς την αντίθετη κατεύθυνση. Στη δεύτερη, αν β=5, μεταβολή της τιμής του αγαθού Α (του Β διατηρούμενου σταθερού στις 20 μονάδες) προκαλεί μεταβολή της ζήτησης προς την αντίθετη κατεύθυνση, ενώ μεταβολή της τιμής του αγαθού Β (του Α διατηρούμενου σταθερού στις 10 μονάδες) προκαλεί μεταβολή της ζήτησης προς την αυτή κατεύθυνση
(α)
(β) 3. Εάν η συνάρτηση ζήτησης αγαθού είναι η q 5Y 3 p
Y3 (όπου q=ποσότητα 2p2
ζητούμενου αγαθού, p= τιμή του αγαθού και Υ=εισόδημα του καταναλωτή), δείξτε ότι οι ελαστικότητες ζήτησης αυτού ως προς την τιμή και ως προς το εισόδημα
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[127]
εξαρτώνται από το επίπεδο τόσο της p όσο και του Υ, έστω και αν μόνο η μία από τις δύο μεταβλητές μεταβάλλεται σε κάθε περίπτωση, ενώ η άλλη διατηρείται σταθερή. Ποιες είναι οι τιμές των ελαστικοτήτων ζήτησης, όταν p=2 και Υ=10 χρηματικές μονάδες; Λύση nD p
q p Y3 (5Y 3 p ) p q p 2 p2
= ( 3 n D
= (5
p
3 2
5Y 3 p Y p
2
Y3 2 p3 6 p3 2Y 3 ) και p3 10Yp 2 6 p3 Y 3 10Yp 2 6 p 3 Y 3
q Y3 (5Y 3 p ) q 2 p2
3 2
5Y 3 p Y p
2
6 p 2Y 2 2Yp 2 10Yp 2 3Y 3 ) . 4 p 4 10Yp 2 6 p3 Y 3 10Yp 2 6 p 3 Y 3
Όπως διαπιστώνεται από τις αλγεβρικές παραστάσεις των μερικών ελαστικοτήτων ζήτησης ως προς την τιμή p και το εισόδημα Υ, οι τιμές και των δύο αποτελούν συναρτήσεις τόσο της τιμής του αγαθού, όσο και του εισοδήματος του καταναλωτή, άσχετα αν μόνο η μία μεταβλητή μεταβάλλεται και η άλλη παραμένει σταθερή. Αν p=2 και Υ=10 χρηματικές μονάδες, θα είναι, αντίστοιχα: nD p
6 2 3 2 103 1,515 και 10 10 2 2 6 2 3 103
nDY
10 10 2 2 3 103 2, 515. 10 10 2 2 6 23 103
4. Να υπολογιστούν το οριακό προϊόν του κεφαλαίου και της εργασίας της συνάρτησης παραγωγής q 40 5 L2 4 L 2 K 2 10 LK (όπου L=μονάδες εργασίας και Κ=μονάδες κεφαλαίου). Ποια συμπεράσματα συνάγετε από την επισκόπηση των συναρτήσεων των οριακών προϊόντων; επαληθεύστε αυτά σχηματικά. Λύση q (40 5 L2 4 L 2 L2 10 LK 4 K 10 L και K K q MPL (40 5 L2 4 L 2 L2 10 LK 10 L 4 10 K . L L MPK
[128]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
Όπως διαπιστώνεται και από τις δύο συναρτήσεις, τα δύο οριακά προϊόντα συναρτώνται από το επίπεδο των ποσοτήτων και των δύο συντελεστών της παραγωγής. Επίσης, βεβαιώνεται η φθίνουσα απόδοση καθενός των συντελεστών, γιατί αύξηση τοε ενός (με σταθερή την ποσότητα του άλλου) προκαλεί ελάττωση του οριακού προϊόντος αυτού και αντιστρόφως. Τα παραπάνω γίνονται αντιληπτά στα σχήματα (α) και (β).
5. Ποιες είναι οι εξισώσεις ελαστικότητας παραγωγής ως προς την εργασία και ως προς το κεφάλαιο της συνάρτησης παραγωγής της προηγούμενης άσκησης; τι συμπεραίνετε; Λύση nqk
q K K ( 4 K 10 L ) 2 K q 40 5L 4 L 2 K 2 10 LK
4 K 2 10 LK και 40 5 L2 4 L 2 K 2 10 LK q L L nqL ( 10 L 10 K ) 2 L q 40 5L 4 L 2 K 2 10 LK
=
10 L2 4 L 10 LK . 40 5 L2 4 L 2 K 2 10 LK Οι συντελεστές μερικής ελαστικότητας συναρτώνται από τις ποσότητες των
=
συντελεστών παραγωγής κεφαλαίου και εργασίας που θα χρησιμοποιηθούν. 6. Γεωργική επιχείρηση έχει συνάρτηση παραγωγής προϊόντος την y 10 x10 ,6 x 20 , 4 (όπου x1 και x2 είναι οι χρησιμοποιούμενες για την παραγωγή εισροές). Να βρεθούν οι συναρτήσεις οριακού προϊόντος καθεμιάς των εισροών. Ποιο θα είναι το οριακό προϊόν της x1 όταν x1=4 και x2=8 μονάδες και ποιο όταν x1=5 και x2=8; Τι συμπεραίνετε από τα αποτελέσματα αυτά; επαληθεύστε σχηματικά τα συμπεράσματά σας.
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[129]
Λύση y x 6 x10,4 x20,4 6( 2 ) 0,4 x1 x1 y x MPx2 4 x10,6 x20,6 4( 1 )0,6 . x2 x2 MPx1
8 Εάν x1=4 και x2=8, θα είναι: MPx1 6 ( ) 0,4 7, 917 (σημείο Μ) και εάν είναι x1=5 και 4 8 0,4 x2=8 θα είναι MPx1 6 ( ) 7, 241 (σημείο Ν). 5 Το συμπέρασμα που προκύπτει είναι ότι, εάν το x1 αυξηθεί από 4 σε 5 μονάδες, ενώ το x2 παραμένει σταθερό στις 8 μονάδες, το οριακό προϊόν ελαττώνεται κατά 0,676 μονάδες (φθίνουσα οριακή απόδοση της εισροής x1.
7. Να υπολογιστούν οι τιμές των συντελεστών μερικής ελαστικότητας παραγωγής ως προς x1 και ως προς x2, της συνάρτησης Cobb-Douglas της προηγούμενης άσκησης. Τι συμπεραίνετε από αυτές όσον αφορά τις αποδόσεις καθεμιάς των εισροών και τι όσον αφορά τις αποδόσεις κλίμακας; Λύση n y x1
x x1 y x1 6 x 20, 4 x1 6( 2 ) 0 , 4 0, 6 x1 y x1 10 x10 ,6 x 20, 4 10 x1 x 20 , 4
n yx 2
x x2 y x 2 4 x10 , 6 x 2 4( 1 ) 0 , 6 0, 4 x 2 y x2 10 x10 , 6 x 20 , 4 10 x 2 x10 , 6
Οι συντελεστές μερικής ελαστικότητας δείχνουν ότι επικρατούν φθίνουσες αποδόσεις, γιατί αύξηση (ή ελάττωση) της ποσότητας της μιας των εισροών κατά ποσοστό 1%, όταν η άλλη εισροή διατηρείται σταθερή, προκαλεί αύξηση (ή ελάττωση) κατά 0,6% (ό,τι αφορά το x1) ή 0,4% (ό,τι αφορά το x2) της παραγωγής.
[130]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
Τέλος, επειδή ny x1 n yx2 1, συμπεραίνεται ότι επικρατούν σταθερές αποδόσεις κλίμακας. 8. Εάν σε γεωργική επιχείρηση απασχολούνται L μονάδες εργασίας για την καλλιέργεια La μονάδων εδάφους, το παραγόμενο προϊόν y μετά t έτη δίνεται από τη y συνάρτηση y f ( L, La , t ) . Ποια είναι η έννοια των ΜΡL, ΜΡLa και ; Εάν η t συνάρτηση παραγωγής της επιχείρησης είναι y 5 L0 ,3 La 0 , 7 t 0 , 4 , δείξτε ότι επικρατούν σταθερές αποδόσεις κλίμακας όσον αφορά την εργασία και το έδαφος σε σταθερό χρόνο t και ότι, για ορισμένες ποσότητες των συντελεστών παραγωγής, το παραγόμενο προϊόν αυξάνεται διαχρονικά με φθίνοντα βαθμό. Λύση y . Εκφράζει το βαθμό της μεταβολής του παραγόμενου προϊόντος σε σχέση L με τη μεταβολή του συντελεστή εργασία, όταν ο συντελεστής έδαφος θεωρηθεί σταθερός σε δεδομένη χρονική στιγμή. y . Εκφράζει το βαθμό της μεταβολής του παραγόμενου προϊόντος σε MPLa La σχέση με τη μεταβολή του συντελεστή έδαφος, όταν ο συντελεστής εργασία θεωρηθεί σταθερός σε δεδομένη χρονική στιγμή. y . Εκφράζει το βαθμό της μεταβολής του παραγόμενου προϊόντος διαχρονικά, t όταν οι συντελεστές εργασία και έδαφος θεωρηθούν σταθεροί. Επειδή το άθροισμα των ελαστικοτήτων παραγωγής των συντελεστών εργασίας και MPL
εδάφους ισούται με τη μονάδα ( n y n y 0,3 0, 7 1) συμπεραίνεται ότι L
La
επικρατούν σταθερές αποδόσεις κλίμακας σε ό,τι αφορά τους συντελεστές αυτούς σε σταθερό χρόνο t. Επιδή δε n y 0, 4 1, συμπεραίνεται ότι το παραγόμενο προϊόν t
αυξάνεται διαχρονικά με φθίνοντα βαθμό, όταν οι ποσότητες των συντελεστών παραγωγής εργασίας και εδάφους διατηρούνται σταθερές. 9. Καταναλωτής έχει, για είδη διατροφής x1 και ένδυσης x2, συνάρτηση 2 1 χρησιμότητας την U log x1 log x2 (γνωστή ως λογαριθμική συνάρτηση των 3 3 Weber-Fechner and Bernoulli). Ποια είναι η μεταβολή της οριακής χρησιμότητας κάθε αγαθού που καταναλώνεται με τη μεταβολή της ποσότητας αυτού, όταν η καταναλώμενη ποσότητα του άλλου αγαθού διατηρείται σταθερή;
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[131]
Λύση U 2 1 2 1 ( log x1 log x 2 ) ( ) x1 x1 3 3 3 x1 U 2 1 1 1 ( log x1 log x 2 ) ( ) x 2 x 2 3 3 3 x2
MU x1 MU x2
Οι σχέσεις των οριακών χρησιμοτήτων των αγαθών δείχνουν ότι όταν αυξάνεται η ποσότητα του ενός αγαθού κατά λ, του άλλου διατηρούμενου σταθερού, η οριακή 1 χρησιμότητα αυτού ελαττώνεται κατά (και αντιστρόφως). 10.Καταναλωτής έχει συνάρτηση χρησιμότητας U 15 x10 ,6 x 20 , 4 (όπου x1, x2 είναι οι ποσότητες των καταναλώμενων αγαθών). Δείξτε την ισχύ του νόμου της φθίνουσας οριακής χρησιμότητας κάθε αγαθού και απεικονίστε σχηματικά σε χάρτη αδιαφορίας την τιμή της οριακής χρησιμότητας του x1 για x1=5, όταν το x2 παραμένει σταθερό MU x1 b1 b2 στις 78 μονάδες. Βεβαιωθείτε για την ισχύ της σχέσης . MU x2 x1 x 2 Λύση x U (15 x10 , 6 x 20 , 4 ) 9 x10 , 4 x 20 , 4 9( 2 ) 0, 4 και x1 x1 x1 x U (15 x10 , 6 x 20 , 4 ) 6 x10, 6 x 20 , 6 6( 1 ) 0 , 6 . x 2 x 2 x2
MU x1 MU x2
Από τις παραπάνω σχέσεις βεβαιώνεται η ισχύς του νόμου της φθίνουσας οριακής χρησιμότητας των αγαθών, γιατί όσο το x1 στην πρώτη σχέση ή το x2 στη δεύτερη αυξάνονται, τόσο η οριακή χρησιμότητα αυτών ελαττώνεται. 78 Εφόσον x1=5 και x2=78 (σταθερό), θα είναι MU x1 9( ) 0 , 4 27 μονάδες 5 x 2 0, 4 9( ) MU x1 x1 3 x2 χρησιμότητας (σημείο Α του σχήματος). Τέλος, και x1 0 , 6 2 x1 MU x2 6( ) x2 b1 b2 0,6 0,4 0,6 x 2 3 x 2 , που, πράγματι, επιβεβαιώνουν την ισχύ της x1 x 2 x1 x 2 0,4 x1 2 x1 MU x1 b1 b2 σχέσης . MU x2 x1 x 2
[132]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
11.Να υπολογιστούν οι αμιγείς και οι σταυροειδείς μερικές παράγωγοι δεύτερης τάξης των συναρτήσεων της άσκησης 1. Λύση α)
2 y y ( ) (3 6 x 2 ) 12 x 2 x x x x
2 y y ( ) ( z ) 1 2 z z z z 2 y y ( ) (3 6 x 2 ) 0 zx z x z 2 y y ( ) ( z) 0 xz x z x
β)
2 y y ( ) (5 x 4 ) 20 x 3 2 x x x x
2 y y ( ) (12 z 5 ) 60 z 4 2 z z z z 2 y y ( ) ( 12 w 3 ) 36 w 2 2 w w w w 2 y y ( ) (5 x 4 ) 0 zx z x z 2 y y ( ) (12 z 5 ) 0 xz x z x 2 y y ( ) (5 x 4 ) 0 wx w x w 2 y y ( ) ( 12 w 3 ) 0 xw x w x 2 y y ( ) (12 z 5 ) 0 wz w z w 2 y y ( ) ( 12 w 3 ) 0 zw z w z
γ)
2 y y ( ) (3x 2 5 z ) 6 x 2 x x x x
2 y y ( ) (6 z 2 5 x ) 12 x 2 z z z z 2 y y ( ) ( 3 x 2 5 z ) 5 zx z x z
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[133]
2 y y ( ) ( 6 z 2 5 x ) 5 xz x z x
δ)
2 y y ( ) (8 xz 6) 8 z 2 x x x x
2 y y 4 12 ( ) (4 x 2 3 ) 4 2 z z z z z z 2 y y ( ) (8 xz 6) 8 x zx z x z 2 y y 4 ( ) (4 x 2 3 ) 8 x xz x z x z
2 y y 1 1 ε) ( ) ( 7 z) 2 x x x x x 2 x3 2 y y 1 2 2 2 ( ) ( 7 x 3 2 ) 3 5 2 z z z 3 z 9 z z 2 y y 1 ( ) ( 7 z ) 7 zx z x z x 2 y y 1 2 ( ) ( 7 x 3 5 ) 7 xz x z x 3 z
στ)
2 y y 4 xz 2 4 z 2 ( z 2 3x 2 ) ( ) ( ) x 2 x x x ( x 2 z 2 ) 2 ( x 2 z 2 )3
2 y y 4 zx 2 4 x 2 ( x 2 3 z 2 ) ( ) z ( x 2 z 2 ) 2 z 2 z z ( x 2 z 2 )3 2 y y 4 xz 2 8 xz ( x 2 z 2 ) ( ) z x z x z ( x 2 z 2 ) 2 ( x 2 z 2 )3 2 y y 4 zx 2 8 xz ( x 2 z 2 ) ( ) x z x z x ( x 2 z 2 ) 2 ( x 2 z 2 )3
ζ)
2 y y ( ) 15 x 4 (1 z 2 ) 60 x 3 (1 z 2 ) 2 x x x x
2 y y ( ) (6 zx 5 ) 6 x 5 2 z z z z 2 y y ( ) 15 x 4 (1 z 2 ) 30 x 4 z zx z x z
2 y y ( ) ( 6 zx 5 ) 30 x 4 z xz x z x
[134]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
2 y y η) ( ) (3 x 2 z 2 6 xz 3 ) 6( x z 3 ) 2 x x x x 2 y y ( ) z (9 x 2 z 15 z 3 2 x) 2(9 x 2 z 30 z 3 x) 2 z z z z
2 y y ( ) (3x 2 z 2 6 xz 3 ) 2 z (9 xz 1) zx z x z 2 y y ( ) z (9 x 2 z 15 z 3 2 z ) 2 z (9 xz 1) xz x z x
θ)
2 y y ( ) 30 x 2 ( 2 x 3 3 z 4 ) 60 x(5 x 3 3 z 4 ) 2 x x x x
2 y y ( ) 60 z 3 ( 2 x 3 3z 4 ) 180 z 2 ( 7 z 4 2 x 3 ) 2 z z z z
2 y y ( ) 30 x 2 ( 2 x 3 3z 4 ) 360 x 2 z 3 zx z x z
2 y y ( ) 60 z 3 ( 2 x 3 3z 4 ) 360 x 2 z 3 xz x z x
ι)
2 y y 2x 2(3 z 3 x 2 ) ( ) ) x 2 x x x 3 3 ( x 2 z 3 ) 2 9( x 2 z 3) 3 ( x 2 z 3 ) 2
2 y y z2 2 zx 2 ( ) ) z 2 z z z 3 ( x 2 z 3 ) 2 ( x 2 z 2 ) 3 ( x 2 z 3 ) 2 2 y y 2x ( ) zx z x z 3 3 ( x 2 z 3 ) 2 2 y y z2 ( ) xz x z x 3 ( x 2 z 3 ) 2
4 xz 2 3( x 2 z 3 ) 3 ( x 2 z 3 ) 2
4 xz 2 3( x 2 z 3 ) 3 ( x 2 z 3 ) 2
2 y y ια) ( ) (e x z ) e x z 2 x x x x 2 y y ( ) ( e x z ) e x z 2 z z z z 2 y y ( ) (e x z ) e x z zx z x z 2 y y ( ) ( e x z ) e x z xz x z x
ιβ)
2 2 2 2 2 y y ( ) (2 xe x 2 z ) 2e x 2 z (2 x 2 1) 2 x x x x
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[135]
2 2 2 2 2 y y ( ) (4 ze x 2 z ) 4e x 2 z (4 z 2 1) 2 z z z z 2 2 2 2 2 y y ( ) (2 xe x 2 z ) 8 xze x 2 z zx z x z 2 2 2 2 2 y y ( ) (4 ze x 2 z ) 8 xze x 2 z xz x z x
ιγ)
2 y y 2x 2( z 3 x 2 ) ( ) ( ) x 2 x x x x 2 z 3 ( x 2 z 3 )2
2 y y 3z 2 3z (2 x 2 z 3 ) ( ) ( 2 ) z 2 z z z x z 3 ( x 2 z 3 )2 2 y y 2x 6 xz 2 ( ) ( 2 ) zx z x z x z 3 ( x 2 z 3 )2 2 y y 3z 2 6 xz 2 ( ) ( ) xz x z x x 2 z 3 ( x 2 z 3 )2
ιδ)
2 y y ( ) (12 x 3e z ) 36 x 2 e z 2 x x x x
2 y y ( ) (3 x 4 e z ) 3x 4 e z 2 z z z z 2 y y ( ) (12 x 3e z ) 12 x 3e z zx z x z 2 y y ( ) (3 x 4 e z ) 12 x3e z xz x z x
12.Δείξτε, με τη χρησιμοποίηση των αμιγών μερικών παραγώγων δεύτερης τάξης, την ισχύ του νόμου της φθίνουσας οριακής χρησιμότητας των x1 και x2 αγαθών στις συναρτήσεις των ασκήσεων 9 και 10 και επαληθεύστε με τις σταυροειδείς παραγώγους, το θεώρημα του Young. Λύση Άσκηση 9 2U U 2 1 2 ( ) ( ) 2 2 x1 x1 x1 x1 3 x1 3 x1 2 U U 1 1 1 ( ) ( ) 2 2 x2 x2 x2 x2 3 x2 3 x2 2U U 2 1 ( ) ( ) 0 x2 x1 x2 x1 x2 3 x1
[136]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
2U U 1 1 ( ) ( ) 0 x1x2 x1 x2 x1 3 x2
Άσκηση 10 2U U x2 0,4 3, 6 x20,4 ( ) 9 ( ) x12 x1 x1 x1 x1 x10,4 2U U x1 0,6 3, 6 x10,6 ( ) 6 ( ) x22 x2 x2 x2 x2 x21,6 2U U x2 0,4 3, 6 ( ) 9 ( ) 0,4 0,6 x2 x1 x2 x1 x 2 x1 x1 x2 2 U U x1 0,6 3, 6 ( ) 6 ( ) 0,4 0,6 x1x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2
Οι αρνητικές τιμές των αμιγών παραγώγων δεύτερης τάξης επιβεβαιώνουν την ισχύ του νόμου της φθίνουσας οριακής χρησιμότητας των x1 και x2 αγαθών. Από τις 2U 2U σταυροειδείς παραγώγους επαληθεύεται η σχέση = (θεώρημα Young). x1x2 x2 x1 13.Εάν ή συνάρτηση ζήτησης αγαθού είναι q 5Y 3 p
Y3 (όπου q=ποσότητα 2p2
ζητούμενου αγαθού, p=τιμή του αγαθού και Υ=εισόδημα του καταναλωτή) δείξτε, με τη χρησιμοποίηση των αμιγών μερικών παραγώγων δεύτερης τάξης, τη μεταβολή της οριακής ζήτησης ως προς την τιμή και τη μεταβολή της οριακής ζήτησης ως προς το εισόδημα, όταν, αντιστοίχως, το εισόδημα και η τιμή διατηρούνται σταθερά. Ποια είναι η μεταβολή της οριακής ζήτησης ως προς την τιμή όταν το εισόδημα μεταβάλλεται και ποια ως προς το εισόδημα όταν μεταβάλλεται η τιμή; Λύση q Y3 Y3 (5Y 3 p 2 ) 3 3 και p p 2p p 2 q q Y3 Y3 ( ) ( 3 ) 3 0 p 2 p p p p3 p4 q Y3 3Y 2 (5Y 3 p 2 ) 5 2 και Y 2p 2p 2 2 q q 3Y Y ( ) (5 2 ) 3 2 0 2 2p p Από τις αμιγείς παραγώγους δεύτερης τάξης συμπεραίνεται ότι όταν η τιμή μεταβάλλεται, με το εισόδημα να παραμένει σταθερό, η οριακή ζήτηση ως προς την τιμή μεταβάλλεται προς την ίδια κατεύθυνση και όταν το εισόδημα μεταβάλλεται,
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[137]
με την τιμή να παραμένει σταθερή, η οριακή ζήτηση ως προς το εισόδημα μεταβάλλεται προς την ίδια κατεύθυνση. 2q 2q Y2 Τέλος, επειδή 3 3 0, συμπεραίνεται ότι η οριακή ζήτηση ως pY Y p p προς την τιμή και η οριακή ζήτηση ως προς το εισόδημα μεταβάλλονται ορος την αντίθετη κατεύθυνση, με τα μεταβολή, αντίστοιχα, του εισοδήματος και της τιμής. 14.Ποιες από τις ακόλουθες συναρτήσεις είναι ομογενείς και ποιος είναι ο βαθμός της ομογένειας; α) y=20+3x, β) y=3x2, γ) y=x2+3xz+z2+5, δ) y 5 x 0 , 2 z 0, 6 , 2 3x 5 x 2 2 3 2 ε) y x z , στ) y x z , ζ) y 2 , z z 2 x η) y 9 x z , θ) y x 2 2 xz 5 z 2 , 2z ι) y 3 x 3 2 z 3 w 3 , ια) y
x 5x 2 x3 x2 2 6 , ιβ) y 2 2 4 . z z z z
Λύση α) y 20 3 x . Θα είναι: y΄ 20 3 x (η y είναι μη ομογενής) β) y=3x2. Θα είναι: y΄ 3( x ) 2 3 2 x 2 2 y (η y είναι ομογενής, βαθμού 2) γ) y=x2+3xz+z2+5. Θα είναι: y΄ ( x ) 2 3( x )( z ) ( z ) 2 5 2 ( x 2 3 xz z 2 ) 5 (η y είναι μη ομογενής) δ) y 5 x 0,2 z 0,6 . Θα είναι: y΄ 5( x ) 0,2 ( z ) 0,6 5 0,8 x 0,2 z 0,6 0,8 y (η y είναι ομογενής, βαθμού 0,8) ε) y x 2 z 2 . Θα είναι: y΄ ( x ) 2 ( z ) 2 2 ( x 2 z 2 ) y (η y είναι ομογενής, πρώτου βαθμού)
στ) y 3 x 2 z . Θα είναι: y΄ 3 ( x) 2 ( z ) 3 3 x 2 z y (η y είναι ομογενής, πρώτου βαθμού) 3x 5 x2 2 . Θα είναι: z z 3 5( x ) 2 3x 5 x 2 y΄ 2 0 y (η y είναι ομογενής, βαθμού 0) 2 z ( z ) z z
ζ) y
x2 9 x z. Θα είναι: 2z ( x )2 x2 y΄ 9 x z ( 9 x z ) y (η y είναι ομογενής, πρώτου βαθμού) 2 z 2z
η) y
[138]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
θ) y x 2 2 xz 5 z 2 . Θα είναι: y΄ ( x ) 2 2( x )( z ) 5( z ) 2 2 ( x 2 2 xz 5 z 2 ) 2 y
(η y είναι ομογενής,
βαθμού 2) ι) y 3 x 3 2 z 3 w3 . Θα είναι: y΄ 3( x )3 2( z )3 ( w) 3 3 (3 x 3 2 z 3 w3 ) 3 y (η y είναι ομογενής, βαθμoύ
3) ια) y
x 5( x) 2 x 5x 2 x 5 x2 6 ( 2 6) 0 y (η y είναι 2 6. Θα είναι: y΄ 2 z z z ( z ) z z
ομογενής, βαθμού 0) x3 x2 ιβ) y 2 2 4 . Θα είναι: z z 3 ( x ) ( x ) 2 x3 x2 y΄ 4 2 4 (η y είναι μη ομογενής). ( z ) 2 ( z ) 2 z2 z 15. Να απεικονιστούν σε σχήμα οι καμπύλες της συνάρτησης y xz , για y=2, y=4 και y=6 και να δείξετε ότι η τρίτη και η δεύτερη των καμπυλών βρίσκονται, αντίστοιχα, σε ακτίνα τριπλάσια και διπλάσια από την πρώτη. Λύση Η συνάρτηση y xz είναι ομογενής πρώτου βαθμού, γιατί y΄ ( x )( z ) 2 xz xz y . Έτσι, εφόσον η y διπλασιάζεται και
τριπλασιάζεται (από y1=2 σε y2=4 και y3=6), οι μεταβολές της z (και της x) θα μεταβάλλονται κατά το ίδιο πολλαπλάσιο, θα είναι δηλαδή (ΟΖ)=3(ΟΔ) και (ΟΕ)=2(ΟΔ) –βλέπε σχήμα, και τελικά, σύμφωνα με το θεώρημα του Θαλή, θα είναι (ΟΓ)=3(ΟΑ) και (ΟΒ)=3(ΟΑ).
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[139]
16. Δείξτε ότι η συνάρτηση χρησιμότητας U 3 L0 , 5Y 0 ,5 (όπου L=μονάδες εργασίας και Υ=εισόδημα) μπορεί να εκφραστεί και ως U 3L
Y . L
Λύση Πολλαπλασιάζοντας τα μέλη της συνάρτησης χρησιμότητας επί
1 έχουμε: L
1 1 1 1 1 1 1 Y U 3 L0,5Y 0,5 3 L0,5Y 0,5 0,5 0,5 3( L ) 0,5 ( ) 0,5 L L L L L L L L 1 Y Y Y . U 3( ) 0,5 U 3L( ) 0,5 U 3L L L L L
17. Η συνάρτηση παραγωγής προϊόντος είναι η y ax1b x 2b (όπου x1, x2 είναι οι 1
2
ποσότητες των χρησιμοποιούμενων για την παραγωγή συντελεστών παραγωγής). Δείξτε, με τη χρησιμοποίηση της έννοιας της ομογένειας, ότι επικρατούν σταθερές κατά κλίμακα αποδόσεις όταν b1 b2 1 , φθίνουσες όταν b1 b2 <1 και αύξουσες όταν b1 b2 >1. Λύση y ax1b1 x2b2 . Θα είναι: y΄ ( x1 ) b1 ( x 2 ) b2 a b1 b2 x1b1 x2b2 b1 b2 y. Εάν b1 b2 1, τότε y΄ y , η y είναι
ομογενής πρώτου βαθμού. Εάν b1 b2 1, τότε y΄ y , η y είναι μη ομογενής μικρότερη του πρώτου βαθμού. Εάν b1 b2 1, τότε y΄ y , η y είναι μη ομογενής μεγαλύτερη του πρώτου βαθμού. Έτσι, στην πρώτη περίπτωση, θα επικρατούν σταθερές αποδόσεις κλίμακας, στη δεύτερη περίπτωση φθίνουσες και στην τρίτη περίπτωση αύξουσες αποδόσεις κλίμακας. 18. Επαληθεύστε την ισχύ του θεωρήματος του Euler για τις ομογενείς συναρτήσεις της άσκησης 14. Λύση β) y 3 x 2 (ομογενής, βαθμού 2). Θα είναι y 6 x. Συνεπώς, 6 x x 6 x 2 2(3 x 2 ) 2 y. x δ) y 5 x 0,2 z 0,6 (ομογενής, βαθμού 0,8). Θα είναι: y z 0,6 y 3x 0,2 0,8 και 0,4 . Συνεπώς, x x z z
[140]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
z 0,6 3 x 0,2 x z x 0,2 z 0,6 3x 0,2 z 0,6 4 x 0,2 z 0,6 0,8(5 x 0,2 z 0,6 ) 0,8 y. 0,8 0,4 x z 2 ε) y x z 2 (ομογενής, πρώτου βαθμού). Θα είναι: y x y z και . Συνεπώς, x z x2 z2 x2 z2 x 2
x z
2
z
x
2
x z
z
2
x2 z2 2
x z
2
x2 z2 y
στ) y 3 x 2 z (ομογενής, πρώτου βαθμού). Θα είναι: y 2 xz y x2 και . Συνεπώς, x 3 3 ( x 2 z ) 2 z 3 3 ( x 2 z )2 2 xz 3
2
3 ( x z)
2
x2
x 3
2
3 ( x z)
2
3x 2 z
z 3
2
3 ( x z)
2
3 x 2 z y.
3x 5 x 2 2 (ομογενής, βαθμού 0). Θα είναι: z z y 3x 10 x 2 y 3 10 x 2 και 2 3 . Συνεπώς, x z z z z z 2 3 10 x 3 x 10 x 3 xz 10 x 2 3 xz 10 x 2 ( 2 ) x ( 2 3 ) z 0 0 y. z z z z z2 z2 x2 η) y 9 x z (ομογενής, πρώτου βαθμού). Θα είναι: 2z y x2 y x 9 και 2 1. Συνεπώς, x z z 2z 2 x x x2 x2 x2 ( 9) x ( 2 1) z 9x z 9 x z y. z 2z z 2z 2z θ) y x 2 2 xz 5 z 2 (ομογενής, βαθμού 2). Θα είναι: y y 2 x 2 z και 2 x 10 z. Συνεπώς, x z (2 x 2 z ) x (2 x 10 z ) z 2 x 2 2 xz 2 xz 10 z 2 2( x 2 2 xz 5 z 2 ) 2 y.
ζ) y
ι) y 3 x 3 2 z 3 w3 (ομογενής, βαθμού 3). Θα είναι: y y y 9 x2 , 6 z 2 και 3w2 Συνεπώς, x z w 2 2 2 (9 x ) x (6 z ) z (3w ) w 9 x 3 6 z 3 3w3 3(3 x 3 2 z 3 w3 ) 3 y. x 5x2 ια) y 2 6 (ομογενής, βαθμού 0). Θα είναι: z z y x 10 x 2 y 1 10 x 2 και 2 3 . Συνεπώς, x z z z z z 2 1 10 x x 10 x xz 10 x 2 xz 10 x 2 ( 2 ) x ( 2 3 ) z 0 0 y. z z z z z2 z2
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[141]
19. Επαληθεύστε, για τις ομογενείς συναρτήσεις της άσκησης 14, την ισχύ των z x σχέσεων y x k ( ) και y z k ( ) (όπου k είναι ο βαθμός ομογένειας κατά x z συνάρτηση). Λύση β) y 3 x 2 (ομογενής, βαθμού 2). Αυτή μπορεί να γραφεί ως y 3 x 2 0 z 2 ή y x 2 (3 0
z2 z ) x 2 ( ) και ως 2 x x
x x y z 2 3( ) 2 z 2 ( ). z z 0,2 0,6 δ) y 5 x z (ομογενής, βαθμού 0,8). Αυτή μπορεί να γραφεί ως z z y x 0,8 (5 x 0,6 z 0,6 ) x 0,8 5( ) 0,6 x 0,8 ( ) και ως x x x x y z 0,8 (5 x 0,2 z 0,2 ) z 0,8 5( ) 0,2 z 0,8 ( ). z z
ε)
y
x2 z2
(ομογενής, πρώτου βαθμού). Αυτή μπορεί να γραφεί
ως
x2 z2 z z ) x 1 ( ) 2 x ( ) και ως x x x
y x(
y z(
στ)
y 3
y x(
x2 z 2 x x ) z 1 ( ) 2 z ( ). z z z 3
x2z
(ομογενής, πρώτου βαθμού). Αυτή μπορεί να γραφεί ως
x2 z z z ) x 3 x ( ) και ως x x x
3
x2 z x2 x ) z 3 2 z ( ). z z z 2 3x 5 x ζ) y 2 (ομογενής, βαθμού 0). Αυτή μπορεί να γραφεί ως z z z z z y x 0 ( 3( ) 1 5( ) 2 x 0 ( ) και ως x x x x x x y z 0 3( ) 5( ) 2 z 0 ( ). z z z y z(
η) y y
θ) y
x2 9 x z (ομογενής, πρώτου βαθμού). Αυτή μπορεί να γραφεί ως 2z z z 1 z x ( ) 1 9 ( ) x ( ) και ως x x 2 x x x 1 x z ( ) 2 9( ) 1 z ( ). z z 2 z y x 2 2 xz 5 z 2 (ομογενής, βαθμού 2). Αυτή μπορεί να γραφεί ως z z z x 2 1 2( ) 5( ) 2 x 2 ( ) και ως x x x y
[142]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
x x x y z 2 ( ) 2 2( ) 5 z 2 ( ). z z z 3 3 3 ι) y 3 x 2 z w (ομογενής, βαθμού 3). Αυτή μπορεί να γραφεί ως z w z w y x 3 3 2( )3 ( ) 3 x 3 ( , ) , ως x x x x w x w x y z 3 3( ) 3 2( )3 z 3 ( , ) και ως z z z z z x z x y w3 3( )3 2( )3 1 w3 p ( , ). w w w w 2 x 5x ια) y 2 6 (ομογενής, βαθμού 0). Αυτή μπορεί να γραφεί ως z z z z z y x 0 ( ) 1 5( ) 2 6 x 0 ( ) και ως x x x x x x y z 0 ( ) 5( ) 2 6 z 0 ( ). z z z
20. Δείξτε ότι, για τις ομογενείς συναρτήσεις της άσκησης 14, οι μερικές παράγωγοι πρώτης τάξης είναι, επίσης, ομογενείς βαθμού ελαττωμένου κατά μονάδα και οι παράγωγοι δεύτερης τάξης είναι ομογενείς βαθμού ελαττωμένου κατά δύο μονάδες του βαθμού ομογένειας των αρχικών συναρτήσεων. Λύση β) y 3 x 2 (ομογενής, βαθμού 2). Θα είναι: 2 y y 6 x και 2 6 6 x 0 . x x Εάν η μεταβλητή x μεταβληθεί κατά λ φορές, τότε θα είναι: y y ( )΄ 6 x ( ) (ομογενής πρώτου βαθμού) και x x 2 y 2 y ( 2 )΄ 6( x) 0 0 ( 2 ). (ομογενής, βαθμού 0). x x 0,2 0,6 δ) y 5 x z (ομογενής, βαθμού 0,8). Θα είναι: y z 0,6 y 3x 0,2 2 y z 0,6 2 y x0,2 και . 0,8 , 0,4 , 0,8 1, 2 x x z z x 2 x1,8 z 2 z1,4 Εάν οι μεταβλητές x και z μεταβληθούν κατά λ φορές, τότε θα είναι: 0,6 y ( z ) 0,6 y 0,2 z ( )΄ 0,2 ( ) (ομογενής βαθμού -0,2) και 0,8 0,8 x ( x ) x x 0,2 y 3( x) 0,2 y 0,2 3 x ( )΄ 0,2 ( ) (ομογενής βαθμού -0,2) 0,4 0,4 z ( z ) z z 2 0,6 0,6 2 y ( z ) 1,2 0,8 z 1,2 y ( 2 )΄ 0,8 ( ) (ομογενής, βαθμού -1,2) x ( x)1,8 x1,8 x 2
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
(
[143]
0,26 2 2 y ( x ) 0,2 1,2 1, 2 z 1,2 y ) ΄ 1, 2 ( ) (ομογενής, βαθμού -1,2) z 2 ( z )1,4 x1,4 z 2
ε) y x 2 z 2 (ομογενής, πρώτου βαθμού). Θα είναι: y x y z 2 y z2 , , 2 x x 2 z 2 z x 2 z 2 x ( x 2 z 2 )3 2 y x2 . z 2 ( x 2 z 2 )3
Εάν οι μεταβλητές x και z μεταβληθούν κατά λ φορές, τότε θα είναι: y x 0x y ( )΄ 0 ( ) (ομογενής, βαθμού 0) x x ( x ) 2 ( z ) 2 x2 z 2 (
y z )΄ z ( x ) 2 ( z ) 2 2
0z 2
x z
2
0(
y ) (ομογενής, βαθμού 0) z
2
y ( z ) 2 z2 z2 1 ( 2 )΄ 3 x 3 ( x 2 z 2 )3 ( x 2 z 2 )3 ( x) 2 ( z) 2 2 y = 1 ( 2 ) (ομογενής βαθμού -1) x 2 y ( x ) 2 2 x2 x2 1 ( 2 )΄ 3 3 2 2 3 2 2 3 z 2 2 ( x z ) ( x z ) ( x) ( z) 2 y = 1 ( 2 ) (ομογενής βαθμού -1). z στ) y 3 x 2 z (ομογενής, πρώτου βαθμού). Θα είναι: y 2 xz y x2 2 y 2 , , 2 2 2 2 2 3 3 x 3 ( x z ) z 3 ( x z ) x 9
3
z x4
2 y 2 x . 2 z 9 z 3 xz 2 Εάν οι μεταβλητές x και z μεταβληθούν κατά λ φορές, τότε θα είναι: y 2( x )( z ) 2 xz y ( )΄ 0 0 ( ) (ομογενής, 2 2 2 3 x x 3 (x z) 3 3 ( x ) 2 ( z ) βαθμού 0)
(
y ( x ) 2 x2 y 0 )΄ 0 ( ) (ομογενής, βαθμού 0) 2 2 2 z z 3 3 ( x z) 3 3 ( x)2 ( z )2
(
2 y 2 z 2 3 ) ΄ 1 2 4 x 9 ( x ) 9
(
2 2 y 2 x x 1 2 1 y ) ΄ ( ) (ομογενής, βαθμού -1). z 2 9 3 ( x)( z )2 9 z 3 xz 2 z 2
3
2 z 1 y ( ) (ομογενής, βαθμού -1) x4 x 2
[144]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
3x 5 x 2 2 (ομογενής, βαθμού 0). Θα είναι: z z 3 x 10 x 2 2 y 10 y 3 10 x y και 2 , 2 3 , x z z z z z x 2 z 2 2 y 3 20 x 2 3 . 2 z z z Εάν οι μεταβλητές x και z μεταβληθούν κατά λ φορές, τότε θα είναι: y 3 10 x 3 10 x y ( )΄ 1 ( 2 ) 1 ( ) (ομογενής, βαθμού -1) 2 x z ( z ) 2 z x
ζ) y
y 3 x 10( x) 2 3 x 10 x 2 y 1 )΄ ( 3 ) 1 ( ) (ομογενής, βαθμού -1) 2 3 2 z ( z ) ( z ) z z z 2 2 y 10 10 y ( 2 )΄ 2 2 2 ( 2 ) (ομογενής, βαθμού -2) 2 x ( z ) z x 2 2 y 3 20 x 3 20 x 2 2 y ( 2 )΄ ( ) ( ) (ομογενής, βαθμού -2). z ( z ) 2 ( z )3 z2 z3 z 2 x2 η) y 9 x z . (ομογενής, πρώτου βαθμού). Θα είναι: 2z y x2 2 y 1 2 y x2 y x και 9, 2 1, . x z z 2z x2 z z 2 z 3 Εάν οι μεταβλητές x και z μεταβληθούν κατά λ φορές, τότε θα είναι: y x x y ( )΄ 9 0 ( 9) 0 ( ) (ομογενής, βαθμού 0) x z z x 2 2 y ( x) x y ( )΄ 1 0 ( 2 1) 0 ( ) (ομογενής, βαθμού 0) 2 z 2( z ) 2z z 2 2 y 1 1 y ( 2 )΄ 1 1 ( 2 ) (ομογενής, βαθμού -1) x z z x 2 2 2 2 y ( x ) 1 x 1 y ( 2 )΄ ( ) ( ) (ομογενής, βαθμού -1). z ( z ) 3 z3 z 2 θ) y x 2 2 xz 5 z 2 (ομογενής, βαθμού 2). Θα είναι: (
2 y y y 2 x 2z, 2 x 10 z , 2 2 x 0 και 2 x z x 2 y 10 10 z .0 . 2 x Εάν οι μεταβλητές x και z μεταβληθούν κατά λ φορές, τότε θα είναι y y ( )΄ 2 x 2 z (2 x 2 z ) ( ) (ομογενής, πρώτου βαθμού) x x y y ( )΄ 2 x 10 z (2 x 10 z ) ( ) (ομογενής, πρώτου βαθμού) z z 2 2 y y ( 2 )΄ 2( x) 0 0 2 x 0 0 ( 2 ) (ομογενής, βαθμού 0) x x 2 y 2 y ( 2 )΄ 10( z ) 0 0 10 z 0 0 ( 2 ) (ομογενής, βαθμού 0). z z
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[145]
ι) y 3 x 3 2 z 3 w3 (ομογενής, βαθμού 3). Θα είναι: 2 y 2 y y y y 9x2 , 6z 2 , 3 w2 , 18 x , 12 z και x z w x 2 z 2 2 y 6w. w2 Εάν οι μεταβλητές x και z μεταβληθούν κατά λ φορές, τότε θα είναι: y y ( )΄ 9( x ) 2 2 9 x 2 2 ( ) (ομογενής, βαθμού 2) x x y y ( )΄ 6( z ) 2 2 6 z 2 2 ( ) (ομογενής, βαθμού 2) z z y y ( )΄ 3( w) 2 2 3w 2 2 ( ) (ομογενής, βαθμού 2) w w 2 2 y y ( 2 )΄ 18 x ( 2 ) (ομογενής, πρώτου βαθμού) x x 2 y 2 y ( 2 )΄ 12 z ( 2 ) (ομογενής, πρώτου βαθμού) z z 2 y 2 y ( 2 )΄ 6 w ( 2 ) (ομογενής, πρώτου βαθμού). w w 2 x 5x ια) y 2 6 (ομογενής, βαθμού 0). Θα είναι: z z x 10 x 2 2 y 10 2 y 2 x 30 x 2 y 1 10 x y και 2 , 2 3 , 4 . x z z z z z x 2 z 2 z 2 z 3 z Εάν οι μεταβλητές x και z μεταβληθούν κατά λ φορές, τότε θα είναι: y 1 10 x 1 10 x y ( )΄ 1 ( 2 ) 1 ( ) (ομογενής, βαθμού -1) 2 x z ( z ) z z x
y x 10( x) 2 x 10 x 2 y 1 )΄ ( 3 ) 1 ( ) (ομογενής, βαθμού -1) 2 3 2 z ( z ) ( z ) z z z 2 2 y 10 10 y ( 2 )΄ 2 2 2 ( 2 ) (ομογενής, βαθμού -2) 2 x ( z ) z x 2 2 y 2 x 30( x ) 2 30 x 2 2 2 x 2 y ( 2 )΄ ( ) ( ) z ( z )3 ( z ) 4 z3 z4 z 2 (ομογενής, βαθμού -2). (
21. Δείξτε ότι, για την ομογενή συνάρτηση y ax1b x 2b , ισχύουν οι σχέσεις: y y x1 x 2 (b1 b2 ) y και x1 x 2 1
x12
2
2 2 y 2 y 2 y 2 x x x (b1 b2 )(b1 b2 1) y . 1 2 2 x12 x1 x 2 x 22
Λύση y ax1b1 x 2b2 . Θα είναι:
[146]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
y b b b1ax1b1 1 x2b2 1 ax1b1 x2b2 1 y x1 x1 x1 y b b b2 ax1b1 x2b2 1 2 ax1b1 x2b2 2 y x2 x1 x2
2 y b (b 1) b1 b2 b1 (b1 1) b1a (b1 1) x2b2 x1b1 2 1 12 ax1 x2 y 2 x1 x1 x12 2 y b (b 1) b1 b2 b2 (b2 1) b2 a (b2 1) x2b1 x2b2 2 2 22 ax1 x2 y και 2 x 2 x2 x22 2 y bb bb b1b2 ax1b1 1 x2b2 1 1 2 ax1b1 x2b2 1 2 y Συνεπώς, x1x2 x1 x2 x1 x2 y y b b x1 x2 ( 1 y ) x1 ( 2 y ) x2 b1 y b2 y (b1 b2 ) y και x1 x 2 x1 x2 2 2 y 2 y b (b 1) b b 2 y 2 x x x x12 1 12 y 2 x1 x2 1 2 y 1 2 2 2 2 x1 x1x2 x2 x1 x1 x2 b (b 1) + x22 2 22 y b1 (b1 1) y 2b1b2 y b2 (b2 1) y x2
x12
= (b12 b22 2b1b2 b1 b2 ) y (b1 b2 )(b1 b2 1) y.
22.Επιχείρηση έχει συνάρτηση παραγωγής προϊόντος την y L2 2 K 2 30 LK (όπου L=μονάδες εργασίας και Κ=μονάδες κεφαλαίου) . Εάν χρησιμοποιηθούν 4 μονάδες κεφαλαίου, πόσες μονάδες εργασίας πρέπει να χρησιμοποιηθούν, ώστε το οριακό προϊόν του κεφαλαίου να είναι ίσο με το διπλάσιο του μέσου προϊόντος αυτού; Λύση α΄τρόπος y MPK ( L2 2 K 2 30 LK ) 4 K 30 L και K K y L2 APK 2 K 30 L. Συνεπώς, εάν χρησιμοποιηθούν 4 μονάδες κεφαλαίου, K K θα είναι L2 L2 4 4 30 L 2( 2 4 30 L) 16 30 L 16 60 L 4 2 2 L 30L 0, εξίσωση η οποία δίνει λύση την L=60. 2 β΄τρόπος Y MPL ( L2 2 K 2 30 LK ) και L L
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[147]
y ( L2 2 K 2 30 LK ) 4 K 30 L. Συνεπώς, K K θεώρημα του Euler θα είναι: MPL L MPK K ( 2 L 30 K ) L ( 4 K 30 L ) K
σύμφωνα
MPK
με
το
= 2 L2 30 LK 4 K 2 30 LK 2 L2 60 LK 4 K 2 = Y πρέπει να είναι K MPL L 0, δηλαδή (-2L+30Κ)L=0, η οποία γίνεται μηδέν όταν -2L+30K=0. Έτσι, εάν 2( L2 30 LK 2 K 2 ) 2 y. Για να είναι, όμως, MPK 2 APK 2
K=4, θα πρέπει να είναι L=60 μονάδες. Στις ποσότητες αυτές Κ και L είναι MPL 0. 23.Εάν η συνάρτηση προσφοράς αγαθού είναι q 2 p x21
5 p x31 p x2
3 p x22 (όπου p x =τιμή 1
του προσφερόμενου αγαθού x1 και p x =τιμή άλλου αγαθού x2, συμπληρωματικού 2
του πρώτου), δείξτε, με τη χρησιμοποίηση του θεωρήματος του Euler, ότι το άθροισμα των ελαστικοτήτων προσφοράς του αγαθού x1 ως προς τις τιμές p x και 1
p x2 είναι ίσο με 2.
Λύση 2 x1
q 2p
5 p 3x1 px2
3 px22 . Ελέγχοντας την ομογένεια της συνάρτησης αυτής, έχουμε:
2
q΄ 2( p x1 )
= 2 (2 p x21
5 p x31 p x2
5( p x1 ) 3
p x2
2
2 x1
3( p x2 ) 2 p
5 3 p x31
p x2
3 2 p x22
3 p x22 ) 2 q (ομογενής, βαθμού 2). Συνεπώς, από το θεώρημα του
Euler έχουμε: px1 αυτής έχουμε
2
q q p x2 2q και διαιρώντας δια q τα μέλη της εξίσωσης p x1 p x 2
px1 q p x q 2 2 ή n p x1 n p x2 2. Πραγματικά, όπως μπορεί να q px1 q p x 2
διαπιστωθεί, είναι n px n px (4 p x1 1
2
15 p x21 p x1 5 p x3 px ) ( 2 1 6 p x2 ) 2 2. p x2 q p x2 q
24. Ποια είναι η συμμετοχή των συντελεστών εργασίας και κεφαλαίου στα έσοδα επιχείρησης, της οποίας η συνάρτηση παραγωγής είναι y 50 L0 , 2 K 0,8 (όπου L=μονάδες εργασίας και Κ=μονάδες κεφαλαίου);
[148]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
Λύση Ελέγχοντας
την 0,2
y΄ 50( L) ( K )
ομογένεια 0,8
0,2
L K
0,8
της
συνάρτησης
y 50 L0,2 K 0,8
έχουμε
y . Επομένως, η συνάρτηση y είναι γραμμική
ομογενής. Εάν p y , p L p K είναι οι τιμές ανά μονάδα του παραγόμενου προϊόντος και των συντελεστών της παραγωγής εργασίας και κεφαλαίου, σύμφωνα με τη θεωρία της οριακής παραγωγικότητας, σε κατάσταση ισορροπίας της επιχείρησης, θα ισχύουν: pL Y K p L 10( ) 0,8 και K 40( ) 0,2 . p y L L p y K K Η συμμετοχή των συντελεστών παραγωγής στο παραγόμενο προϊόν εκφράζεται από p L p K τις σχέσεις L και K . Επομένως, εάν τα μέλη των προηγούμενων ισοτήτων py y py y 1 K πολλαπλασιαστούν, της πρώτης επί και της δεύτερης επί θα έχουμε αντίστοιχα y y pL 1 K 1 10 K 0,8 L0,2 50 K 0,8 L0,2 y 10( ) 0,8 0, 2 0, 2 0, 2 και py y L y y y y pK K L K 40 L0,2 K 0,8 50 L0,2 K 0,8 y 40( ) 0,2 0,8 0,8 0,8 δηλαδή η εργασία py y K y y y y
συμμετέχει κατά 0,2 (20%) και το κεφάλαιο κατά 0,8 (80%) στα έσοδα της επιχείρησης. 25. Γεωργική επιχείρηση που έχει συνάρτηση παραγωγής προϊόντος y 40 La 0, 6 L0 ,3 K 0 ,1 (όπου La=μονάδες εδάφους, L=μονάδες εργασίας και Κ=μονάδες κεφαλαίου), επιτυγχάνει ατό την παραγωγή και πώληση του προϊόντος 180 χρηματικές μονάδες. Πόσα έσοδα αντιστοιχούν σε κάθε συντελεστή παραγωγής; Λύση Η συνάρτηση y 40 La 0, 6 L0 ,3 K 0 ,1 είναι γραμμική ομογενής, γιατί το άθροισμα των συντελεστών ελαστικότητας ισούται με τη μονάδα. Συνεπώς, το έδαφος θα συμμετέχει κατά 60% στα έσοδα, η εργασία κατά 30% και το κεφάλαιο κατά 10%, δηλαδή στους συντελεστές αυτούς θα αντιστοιχούν 108 (60% Χ 180), 54 (30 Χ180) και 18 (10 Χ180) χρηματικές μονάδες. (Βλ. και άσκηση 24). 26. Επιχείρηση που λειτουργεί υπό συνθήκες πλήρους ανταγωνισμού για το προϊόν και τους συντελεστές παραγωγής εργασίας και κεφαλαίου, έχει συνάρτηση παραγωγής προϊόντος y 10 L0,3 K 0,5 (όπου L=μονάδες εργασίας και Κ=μονάδες κεφαλαίου). Εάν η τιμή ανά μονάδα εργασίας είναι w=300, η τιμή ανά μονάδα κεφαλαίου i=10 και η τιμή ανά μονάδα προϊόντος p=20 χρηματικές μονάδες, να
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[149]
υπολογιστούν οι ποσότητες των συντελεστών εργασίας και κεφαλαίου που χρησιμοποιεί η επιχείρηση για την παραγωγή του προϊόντος σε κατάσταση ισορροπίας. Λύση Σύμφωνα με τη θεωρία της οριακής παραγωγικότητας, σε κατάσταση ισορροπίας της επιχείρησης και υπό συνθήκες πλήρους ανταγωνισμού θα ισχύουν: y w y y i y . w p i p L p L K p K Από τη συνάρτηση y 10 L0,3 K 0,5 προκύπτουν: y 3K 0,5 y 5 L0,3 0,3 0,5 0,3 0,5 (10 L K ) 0,7 και (10 L K ) 0,5 . L L L K K K Κατά συνέπεια, θα είναι 300 3 K 0,5 10 5 L0,3 , από τις οποίες προκύπτουν 0,7 και 20 L 20 K 0,5 K 0,5 K 0,5 και 5 10 . Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις δύο αυτές ισότητες L0,7 L0,3 K λαμβάνουμε 50 K 50 L. Θέτοντας την τιμή αυτή στη δεύτερη των L (50 L) 0,5 εξισώσεων, έχουμε 10 7, 071L0,2 10 L0,3 μονάδες. Επομένως, θα είναι L0,2 1, 41422 και, τελικά, L 5, 657 K 50 5, 657 282,85 μονάδες.
27.Επιχείρηση, που λειτουργεί υπό συνθήκες πλήρους ανταγωνισμού, έχει συνάρτηση παραγωγής προϊόντος y 3, 7 L2 K 2 10 LK (όπου L=μονάδες εργασίας και Κ=μονάδες κεφαλαίου). Εάν η τιμή του προϊόντος είναι p=10, το κόστος ανά μονάδα εργασίας w=600 και το κόστος ανά μονάδα κεφαλαίου i=8 χρηματικές μονάδες, να υπολογιστούν οι ποσότητες των συντελεστών που θα χρησιμοποιήσει η επιχείρηση ώστε να μεγιστοποιηθεί το κέρδος. Λύση Για τη μεγιστοποίηση του κέρδους της επιχείρησης, σε κατάσταση ισορροπίας και υπό συνθήκες πλήρους ανταγωνισμού, θα ισχύουν w y i y και . Από τη συνάρτηση p L p K
[150]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
y y 7, 4 L 10 K και 2 K 10 L . L K 600 8 Συνεπώς, θα είναι 7, 4 L 10 K και 2 K 10 L , εξισώσεων που δίνουν 10 10 λύσεις τις L=1,5 και Κ=7,1 μονάδες. y 3, 7 L2 K 2 10 LK
προκύπτουν
28.Να υπολογιστούν τα σημεία στασιμότητας (μέγιστα, ελάχιστα, σαγματικά) των ακόλουθων συναρτήσεων και να απεικονιστούν επί συστήματος ορθογώνιων συντεταγμένων ισοϋψείς καμπύλες και τα σημεία στασιμότητας, ως σημεία τομής των εξισώσεων μερικών παραγώγων πρώτης τάξης: α) y=x2+z2-1 , β) y=x2-z2+1 , γ) y=1-x2-z2 , δ) y=x3+z3-3xz , ε) y=x3-5x2-2xz+z2+10x-z . Λύση α) y x 2 z 2 1. Θα είναι: 2 y 2 y 2 y y y και 2 x, 2 z, 2, 2 0. x z x 2 z 2 xz Η συνάρτηση θα έχει ένα σημείο στασιμότητας, όταν 2x=0 και 2z=0, δηλαδή όταν x=0 2 y 2 y και z=0, για τις οποίες τιμές θα είναι y= -1. Επειδή 2 2 >0 και 2 2 >0, καθώς z z επίσης και 2 y 2 y 2 y 2 4 ( ) 0, το σημείο 0 (0, 0, -1) θα είναι το ελάχιστο (διάγραμμα (α)). x 2 z 2 xz
β) y x 2 z 2 1. Θα είναι: 2 y 2 y 2 y y y και 2 x, 2 z , 2, 2 0. x z x 2 z 2 xz Η συνάρτηση θα έχει ένα σημείο στασιμότητας, όταν 2x=0 και -2z=0, δηλαδή όταν 2 y x=0 και z=0, για τις οποίες τιμές αντιστοιχεί y=1. Επειδή δε 2 >0 και x 2 2 y 2 0, αλλά z 2 2 y 2 y 2 y 2 4( ) =0, x 2 z 2 xz το σημείο 0 (0, 0, 1) θα είναι σαγματικό σημείο (διάγραμμα (β)).
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[151]
γ) y=1-x2-z2. Θα είναι: 2 y 2 y 2 y y y και 2 x, 2 z , 2, 2 0. x z x 2 z 2 xz Η συνάρτηση θα έχει ένα σημείο στασιμότητας, όταν -2x=0 και -2z=0, δηλαδή όταν x=0 και z=0, για τις οποίες τιμές αντιστοιχεί y=1. Επειδή δε 2 y 2 y <0 και 2 2 0, καθώς επίσης και x 2 z 2 2 y 2 y 2 y 2 4( ) 0, το σημείο 0 (0, 0, 1) είναι το μέγιστο (διάγραμμα (γ)). x 2 z 2 xz 2 y 2 y y y 3 3 2 2 δ) y=x +z -3xz , Θα είναι: 3x 3z, 3z 3x, 6 x, 6 z και x z x 2 z 2 2 y 3. xz Η συνάρτηση θα έχει ένα σημείο στασιμότητας, όταν 3 x 2 3 z 0 και 3 z 2 3 x 0, εξισώσεις που έχουν πραγματικές λύσεις τις x1=0, z1=0 και x2=1, z2 =1. Συνεπώς, η συνάρτηση έχει δύο σημεία στασιμότητας στα οποία αντιστοιχούν y1=0 και y2= -1. 2 y 2 y Επειδή δε, για x1=0 και z1=0, έχουμε, αντίστοιχα, και 0 0, αλλά x 2 z 2 2 y 2 y 2 y 2 0 ( ) 9, η τιμή y1=0 αντιστοιχεί σε σαγματικό σημείο (σημείο 0). x 2 z 2 xz 2 y 2 y Αντίθετα, για x2=1 και z2=1 θα είναι 6>0 και 6 1 6 1 6 0, καθώς x 2 z 2 επίσης και 2 y 2 y 2 y 2 36 ( ) 9, η τιμή y2= -1 είναι η ελάχιστη (σημείο Μ) (διάγραμμα x 2 z 2 xz (δ)).
[152]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
ε) y=x3-5x2-2xz+z2+10x-z . Θα είναι: y y 3 x 2 10 x 2 z 10, 2 x 2 z 1, x z 2 y 2 y 2 y και 6 x 10, 2 2. x 2 z 2 xz Η συνάρτηση θα έχει ένα σημείo στασιμότητας όταν 3 x 2 10 x 2 z 10 0 και 2 x 2 z 1 0, εξισώσεις που έχουν λύσεις τις x1=3, z1=3,5 και x2=1, z2 =1,5. Συνεπώς, η συνάρτηση έχει δύο σημεία στασιμότητας στα οποία αντιστοιχούν y1= -0,25 και y2=3,75. Επειδή δε, για x1=3 και z1=3,5, έχουμε, 2 y 2 y αντίστοιχα, 2 6 3 10 8 0 και 2 2 0, καθώς επίσης και x z 2 2 2 y y y 2 16 ( ) ( 2) 2 4, η τιμή y1= -0,25 είναι η ελάχιστη (σημείο Σ, 2 2 x z xz διάγραμμα (ε)). Αντιθέτως, για x2=1 και z2=1,5 θα 2 y 2 y είναι και 6 1 10 4 0 2 0, αλλά x 2 z 2 2 y 2 y 2 y 2 8 ( ) ( 2) 2 4, η y2= 3,75 αντιστοιχεί σε σαγματικό σημείο x 2 z 2 xz (σημείο Β, διάγραμμα (ε)).
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[153]
29. Εάν y είναι συνάρτηση των x και z, αποδιδόμενη από την x2+z2+3y2-2x+2y=0, 1 δείξτε ότι η ελάχιστη τιμή αυτής είναι η y= -1 και η μέγιστη η y . Βεβαιωθείτε σε 3 σύστημα ορθογώνιων συντεταγμένων, ότι οι ισοϋψείς καμπύλες είναι κύκλοι με κέντρο (1, 0). Λύση Η συνάρτηση x2+z2+3y2-2x+2y=0 όταν μετατραπεί σε συνάρτηση σαφούς μορφής ως 1 3x 2 3 z 2 6 x 1 προς y γίνεται y . Επομένως, θα είναι: 3 y x 1 x 1 y z z , x 3 y 1 z 3y 1 3 x 2 3 z 2 6 x 1 3 x 2 3 z 2 6 x 1
2 y 1 3( x 1) 2 x 2 3x 2 3z 2 6 x 1 (3x 2 3z 2 6 x 1)3 1 3( x 1) 2 = 3 y 1 (3 y 1) 3 2 y 1 1 και 2 z 3 x 2 3 z 2 6 x 1 3 y 1
2 y 6 z ( x 1) xz (3x 2 3z 2 6 x 1)3 6 z ( x 1) = . (3 y 1)3 Η συνάρτηση θα έχει δύο σημεία στασιμότητας, όταν x-1=0, δηλαδή x=1 και όταν z=0, 1 στις οποίες τιμές αντιστοιχούν οι τιμές y1= -1 και y2= . Επειδή δε, για x=1, z=0 και y1= 3 2 2 y y -1 είναι 2 0,5 0 και 2 0, 5 0, καθώς επίσης και x z 2 2 2 y y y 2 1 ( ) 0, η τιμή y1= -1 είναι η ελάχιστη. Αντίθετα, για x=1, z=0 και 2 2 x z xz ) 2 y 2 y 1 y2 είναι 2 5 0 και 5 0, καθώς επίσης και 3 x z 2 2 y 2 y 2 y 2 1 1 ( ) 0, η τιμή y2 είναι η μέγιστη. 2 2 x z xz 3 Όπως διαπιστώνεται από το σχήμα, οι προβαλλόμενες στο επίπεδο καμπύλες είναι κύκλοι με κέντρο x=1, z=0, οι οποίοι εκτείνονται καθώς το y αυξάνεται 1 (1 y ) και κατόπιν συμπτύσσονται με την παραπέρα αύξηση του 3 1 1 y ( y ). Το σημείο Μ του σχήματος είναι σημείο προβολής τόσο του 3 3 1 ελάχιστου σημείου (1, 0, -1) όσο και του μέγιστου (1, 0, ). 3
[154]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
30. Γεωργική επιχείρηση έχει, για ορισμένη έκταση εδάφους, συνάρτηση παραγωγής προϊόντος την q 2 L2 7, 5 K 2 4 L 18 K 6 KL (όπου q=μονάδες παραγόμενου προϊόντος, L=μονάδες εργασίας και Κ=μονάδες κεφαλαίου), χωρίς να δεσμεύεται από το κόστος προμήθειας των συντελεστών παραγωγής. Να υπολογιστούν οι ποσότητες εργασίας και κεφαλαίου που θα χρησιμοποιήσει η επιχείρηση, ώστε να μεγιστοποιήσει το προϊόν της. Πόση είναι η μέγιστη ποσότητα του παραγόμενου προϊόντος; Επαληθεύστε τα αποτελέσματα σχηματικά, χαράσσοντας τις γραμμές των οριακών προϊόντων των συντελεστών παραγωγής σε συνδυασμό με τις καμπύλες ισοπαραγωγής. Λύση Το προϊόν μεγιστοποιείται εκεί όπου το οριακό προϊόν των συντελεστών παραγωγής εργασίας (L) και κεφαλαίου (Κ) μηδενίζεται, δηλαδή όπου q MPL 4 L 4 6 K 0 και L q MPK 15 K 18 6 L 0 , σύστημα εξισώσεων που δίνει λύσεις τις L=7 και K K=4 μονάδες. Στις ποσότητες αυτές των συντελεστών το παραγόμενο προϊόν είναι 2q 2q q=50 μονάδες, το οποίο πράγματι είναι μέγιστο, γιατί 4 0, 15 0 L2 2 2q 2q 2q 2 και 2 60 ( ) 36. L K 2 LK Το μέγιστο σημείο (7, 4, 50) έχει σημείο ορθής προβολής το σημείο Μ του σχήματος στο οποίο τέμνονται οι ευθείες των συναρτήσεων των οριακών προϊόντων εργασίας και κεφαλαίου, γύρω από το οποίο φέρονται οι καμπύλες ισοπαραγωγής.
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[155]
31. Γεωργική επιχείρηση, που παράγει δύο προϊόντα, έχει συνάρτηση μέσου κόστους q13 q 23 AC 6q12 5q 22 11q1 6q 2 300 (όπου q1, q2 είναι οι ποσότητες των 3 2 παραγόμενων προϊόντων). Να υπολογιστούν οι ποσότητες των προϊόντων που πρέπει να παραχθούν, ώστε το μέσο κόστος παραγωγής τους να είναι το ελάχιστο. Πόσο είναι το ελάχιστο μέσο κόστος; Λύση Το ελάχιστο μέσο κόστος επιτυγχάνεται εκεί όπου οι μερικές παράγωγοι πρώτης AC τάξης μηδενίζονται, δηλαδή όπου q12 12 q1 11 0 και q1 AC 3q22 10 q2 6 0 , εξισώσεις οι οποίες δίνουν λύσεις q1=11, q1=1 και q2=6, q 2 2
2 2 AC q2 . Επειδή, όμως, 2q1 12 και 3 q12
2 AC 3q2 10 , μόνο οι ποσότητες q22
q1=11 και q2=6 καθιστούν θετικές τις τιμές των παραγώγων δεύτερης τάξης. Στις ποσότητες αυτές των προϊόντων το μέσο κόστος παραγωγής τους είναι ελάχιστο και 113 63 ίσο με AC 6 112 5 6 2 11 11 6 6 300 102, 67 χρηματικές μονάδες. 3 2 32. Μονοψωνική επιχείρηση (ο μόνος αγοραστής των συντελεστών παραγωγής που χρησιμοποιεί) έχει συνάρτηση παραγωγής προϊόντος την q 200 L 4 L2 100 K 2 K 2 (όπου L=μονάδες εργασίας και Κ=μονάδες κεφαλαίου), του οποίου προϊόντος η τιμή πώλησης είναι 2 χρηματικές μονάδες. Αν οι συναρτήσεις προσφοράς των συντελεστών εργασίας και κεφαλαίου είναι, αντίστοιχα, p L 0, 2 L2 10 L 205 και p K 0,1K 2 2 K 2 (όπου pL, pK είναι,
[156]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
αντιστοίχως, η τιμή ανά μονάδα των συντελεστών), να υπολογιστούν οι ποσότητες εργασίας και κεφαλαίου που θα χρησιμοποιήσει η επιχείρηση για να μεγιστοποιήσει το κέρδος της. Πόσο είναι το μέγιστο κέρδος, πόσο το παραγόμενο προϊόν και ποια η τιμή καθενός των συντελεστών της παραγωγής; Λύση Τα έσοδα από την παραγωγή και πώληση του προϊόντος εκφράζονται ως R pq q 2(200 4 L2 100 K 2 K 2 ) και το ολικό κόστος παραγωγής του προϊόντος ως C p L L p K K L (0, 2 L2 10 L 205) K (0,1K 2 2 K 2).
Επομένως, το κέρδος θα αποδίδεται ως L (0, 2 L2 10 L 205) R C 2(200 L 4 L 100 K 2 K ) 2 K (0,1 2 2) 3 2 3 2 = 0, 2 L 18 L 195 L 0,1K 6 K 198 K . 2
3
Το κέρδος μεγιστοποιείται εκεί όπου οι μερικές παράγωγοι πρώτης τάξης ως προς τους συντελεστές εργασίας και κεφαλαίου μηδενίζονται, δηλαδή όπου 0, 6 L2 36 L 195 0 και 0,3K 2 12 K 198 0, εξισώσεις οι οποίες L K επαληθεύονται με τις τιμές L=5 και Κ=12,56 μονάδες. Στις ποσότητες αυτές των συντελεστών της παραγωγής το κέρδος είναι, πράγματι, μέγιστο γιατί 2 1, 2 L 36 42 0, L2 2 0, 6 12 19, 5 0, καθώς και 2 2 2 2 2 819 ( ) 0. L2 K 2 LK Το μέγιστο κέρδος είναι 0, 2 53 18 52 195 5 0,1 12, 56 6 12, 56 2 198 12, 56 = 1842,22 χρηματικές μονάδες, η παραγόμενη (και πωλούμενη) ποσότητα του προϊόντος θα είναι q 200 5 4 52 100 12, 56 12, 56 2 =1840,50 μονάδες, ενώ οι τιμές πώλησης των συντελεστών παραγωγής θα είναι, αντίστοιχα, p L 0, 2 5 2 10 5 205 260 και p K 0,1 12, 56 2 2 12, 56 2 43 χρηματικές μονάδες.
33. Μονοπωλιακή επιχείρηση έχει το μονοπώλιο δύο ανταγωνιστικών προϊόντων, με ολικό κόστος παραγωγής αυτών που δίδεται από τη συνάρτηση C 20 q1 3q 2 0,01q12 0,2 q1 q 2 0,02 q 22 (όπου q1, q2 είναι οι παραγόμενες ποσότητες των προϊόντων), ενώ η ζήτησή τους στην αγορά δίνεται, αντίστοιχα, από
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[157]
τις συναρτήσεις q1 150 3 p1 p2 και q2 200 10 p2 p1 (όπου p1, p2 είναι, αντιστοίχως, η τιμή ανά μονάδα των προϊόντων). Να υπολογιστούν οι ποσότητες των προϊόντων που πρέπει να παράγει (και πωλήσει) η επιχείρηση, ώστε να επιτύχει το μέγιστο κέρδος. Πόσο είναι το μέγιστο κέρδος και ποιες οι τιμές πώλησης των παραγόμενων προϊόντων; Λύση Επιλύοντας ως προς p1 και p2 το σύστημα των συναρτήσεων ζήτησης των δύο προϊόντων, βρίσκουμε, αντίστοιχα 1700 10 q1 q2 750 q1 3q2 και p2 . Τα ολικά έσοδα από την παραγωγή p1 29 29 (και πώληση) των δύο προϊόντων είναι 1700 10q1 q2 750 q1 3q2 R p1q1 p2 q2 ( ) q1 ( ) q2 29 29 1700 q1 10 q12 2 q1q2 750q2 3q22 = . 29 Επομένως, το κέρδος θα αποδίδεται από τη σχέση 1700 q1 10 q12 2 q1q2 750 q2 3q22 R C (20q1 3q2 0, 01q12 29 1120q1 9, 71q12 7,8q1q2 663q2 2, 42q22 0, 2q1q2 0, 02 q22 ) . 29 Το κέρδος μεγιστοποιείται εκεί όπου 1 (1120 19, 42 q1 7, 8q2 ) =0 και q1 29 1 (663 4,84 q2 7,8 q1 ) 0, εξισώσεις οι οποίες έχουν λύσεις τις q1 7, 5 και q2 29 q2 125 μονάδες. Στις ποσότητες αυτές παραγωγής το κέρδος είναι, πράγματι,
μέγιστο γιατί 2 2 2 2 2 2 καθώς και 0, 67 0, 0,17 0, 0,11 ( ) 0, 07 . q12 q22 q12 q22 q1q2 Τέλος, το μέγιστο κέρδος είναι 1120 7,5 9,71 7, 52 7,8 7,5 125 663 125 2, 42 1252 29 =1572,5 χρηματικές μονάδες, ενώ οι τιμές πώλησης των προϊόντων είναι, αντίστοιχα, 1700 10 7,5 125 p1 51,72 και 29 750 7,5 3 125 p2 12, 67 χρηματικές μονάδες. 29 34. Μονοπωλιακή επιχείρηση παράγει δύο ανταγωνιστικά προϊόντα q1 και q2 με μέσο κόστος του πρώτου 3 και του δεύτερου 8 χρηματικές μονάδες. Η ζήτηση των
[158]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
προϊόντων αυτών δίδεται, αντίστοιχα, από τις συναρτήσεις q1
800 1200 και q2 p1 p2 p1 p2
(όπου p1, p2 είναι, αντίστοιχα, η τιμή πώλησης, ανά μονάδα, των προϊόντων). Ποια πρέπει να είναι η τιμή πώλησης καθενός των προϊόντων, ώστε η επιχείρηση να μεγιστοποιήσει το κέρδος της, πόσα είναι τα έσοδα της επιχείρησης από την πώληση των προϊόντων και πόσο το μέγιστο κέρδος; Λύση Τα ολικά έσοδα από την παραγωγή (και πώληση) των δύο προϊόντων είναι R p1q1 p2 q2 και το κόστος παραγωγής C ( AC1 ) q1 ( AC 2 ) q2 3q1 8q2 . Επομένως, το κέρδος θα δίνεται από τη σχέση
R C p1q1 p2 q2 (3q1 3q2 ). Από τις συναρτήσεις ζήτησης προκύπτει ότι 800 1200 και p2 q2 p1q1 . Επομένως, το κέρδος θα είναι p2 p1 800 1200 800 1200 800 1200 12000 . 3 8 p2 p1 p1 p2 p1 p2 p2 p1 p1 p2 1200 12000 Το κέρδος μεγιστοποιείται εκεί όπου και 2 2 0 p1 p1 p1 p2 800 12000 2 2 0 . Η πρώτη εξίσωση έχει λύση p2=10 και η δεύτερη p1=15. Οι p2 p2 p2 p1 800 παραγόμενες ποσότητες των προϊόντων θα είναι q1 5,33 και 15 10 1200 q2 8 μονάδες, τα έσοδα R 15 5, 33 10 8 160 χρηματικές μονάδες, το 15 10 κόστος C 3 5, 33 8 8 80 χρηματικές μονάδες και, τέλος, το κέρδος θα είναι R C 160 80 80 χρηματικές μονάδες.
35. Καταναλωτής έχει συνάρτηση χρησιμότητας U 25 x10 ,6 x20,4 (όπου x1, x2 είναι οι ποσότητες των καταναλώμενων αγαθών). Ποια σχέση πρέπει να συνδέει τις ποσότητες των αγαθών, ώστε να μεγιστοποιείται η χρησιμότητα του καταναλωτή; Λύση Η χρησιμότητα του καταναλωτή μεγιστοποιείται εκεί όπου η οριακή χρησιμότητα κάθε αγαθού μηδενίζεται, δηλαδή όπου U x 0,4 U x 0,6 MU x1 15 20,4 0 , MU x2 10 10,6 0 , οπότε x1 x1 x2 x2 15
x20,4 x10,6 x 10 1 1, 5 . 0,4 0,6 x1 x2 x2
36. Καταναλωτής έχει συνάρτηση χρησιμότητας
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[159]
U 2 x12 3 x22 3 x1 x2 15 x2 (όπου x1, x2 είναι οι ποσότητες των καταναλώμενων
αγαθών). Να υπολογιστούν οι ποσότητες των αγαθών, ώστε ο καταναλωτής να μεγιστοποιεί τη χρησιμότητά του. Δείξτε σε χάρτη αδιαφορίας το σημείο μέγιστης χρησιμότητας. Λύση Η χρησιμότητα του καταναλωτή μεγιστοποιείται εκεί όπου η οριακή χρησιμότητα κάθε αγαθού μηδενίζεται, δηλαδή όπου U MU x 4 x1 3 x2 0 και x1 U MU x 6 x2 3 x1 15 0 , εξισώσεις οι οποίες έχουν λύσεις τις x1=3 και x2=4 x 2 1
2
μονάδες. Στις ποσότητες αυτές αντιστοιχούν U=30 μονάδες χρησιμότητας, οι οποίες 2U 2U είναι, πράγματι, οι μέγιστες, γιατί 4 0, 6 0, καθώς επίσης και x12 x22 2U 2U 2U 2 24 ( ) 9. x12 x22 x1x2
Στο σχήμα, το σημείο Μ είναι η ορθή προβολή του σημείου μέγιστης χρησιμότητας και το οποίο συμπίπτει με το σημείο τομής των ευθειών των οριακών χρησιμοτήτων, γύρω από το οποίο φέρονται οι καμπύλες αδιαφορίας που αντιστοιχούν σε μικρότερα του ευρεθέντος επίπεδα χρησιμότητας.
37. Να υπολογιστούν τα σημεία στασιμότητας των συναρτήσεων υποκειμένων στους αντίστοιχους (μέσα στις παρενθέσεις) περιορισμούς. α) y=5xz (4x+6z=15), β) y 15 x10 ,4 x 20,6 (2x1+5x2=20), γ) y=x2+3z2 (x+2z-7=0), δ) y=8x+3z (2x2+3z2=16) , ε) y=3xz-x2+z2+w2
[160]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
(x-2z=10 και w-3x=12). Λύση α) y 5 xz (4 x 6 z 15) . 4 x 6 z 15 4 x 6 z 15 0 (4 x 6 z 15) 0 και Lg 5 xz (4 x 6 z 15) Lg 5 z 4 0 x Lg 5 z 6 0 z Lg 4 x 6 z 15 0 Με την επίλυση του συστήματος των παραπάνω τριών εξισώσεων προκύπτουν οι λύσεις x=1,875 και z=1,25. Επομένως y 5 1,875 1, 25 11, 719.
β) y 15 x10,4 x 20 ,6 (2 x1 5 x 2 20) 2 x1 5 x2 20 2 x1 5 x2 20 0 (2 x1 5 x2 20) 0 και Lg 15 x10 ,4 x20,6 (2 x1 5 x 2 20)
Lg 6 x20,6 0,6 2 0 x1 x1 Lg 9 x10,4 0,4 5 0 x2 x2 Lg 2 x1 5 x2 20 0 Με την επίλυση του συστήματος των παραπάνω τριών εξισώσεων
προκύπτουν οι λύσεις x1=4 και x2 =2,4. Επομένως y 15 40,4 2, 4 0,6 44,161. γ) y x 2 3 z 2 ( x 2 z 7 0) x 2 z 7 0 ( x 2 z 7) 0 και Lg x 2 3 z 2 ( x 2 z 7) Lg 2x 0 x Lg 6 z 2 0 z Lg x 2z 7 0 Με την επίλυση του συστήματος των παραπάνω τριών εξισώσεων προκύπτουν οι λύσεις x=3 και z =2. Επομένως y 32 3 2 2 21. δ) y 8 x 3 z (2 x 2 3 z 2 16) 2 x 2 3 z 2 16 2 x 2 3 z 2 16 0 (2 x 2 3 z 2 16) 0 και
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[161]
Lg 8 x 3 z (2 x 2 3 z 2 16) Lg 8 4 x 0 x Lg 3 6 z 0 z Lg 2 x 2 3 z 2 16 0 Με την επίλυση του συστήματος των παραπάνω τριών εξισώσεων
προκύπτουν δύο ομάδες λύσεων, οι: x1=2,704, z1=0,676 και x2= - 2,704, z2= -0,676. Επομένως, y1 8 2, 704 3 0, 676 23, 66 και y2 8 ( 2, 704) 3 ( 0, 676) 23, 66 ε) y 3 xz x 2 z 2 w 2 ( x 2 z 10 και w 3 x 12) x 2 z 10 x 2 z 10 0 1 ( x 2 z 10) 0 και w 3 x 12 w 3 x 12 0 2 ( w 3 x 12) 0 .
Έτσι, Lg 3 xz x 2 z 2 w 2 1 ( x 2 z 10) 2 ( w 3 x 12)
Lg x Lg z Lg w Lg 1 Lg 2
3 z 2 x 1 32 0 3 x 2 z 21 0 2 w 2 0 x 2 z 10 0 w 3 x 12 0
Με την επίλυση του συστήματος των τεσσάρων εξισώσεων προκύπτουν οι λύσεις 8 19 και w 4. Επομένως, x , z 3 3 8 19 8 19 y 3 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2 4 2 99, 667. 3 3 3 3 38. Εάν η γεωργική επιχείρηση με συνάρτηση παραγωγής προϊόντος την q 2 L2 7, 5 K 2 4 L 18 K 6 KL (όπου q=μονάδες παραγόμενου προϊόντος, L=μονάδες εργασίας και Κ=μονάδες κεφαλαίου) δεσμεύεται από το κόστος των 51 χρηματικών μονάδων για την απόκτηση της εργασίας και του κεφαλαίου, των οποίων η τιμή ανά μονάδα είναι, αντίστοιχα, pL=10 και pΚ=2 χρηματικές μονάδες, να υπολογιστούν οι ποσότητες των συντελεστών αυτών που θα χρησιμοποιήσει η επιχείρηση για να μεγιστοποιήσει το προϊόν της. Πόσο είναι το μέγιστο επιτυγχανόμενο
[162]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
προϊόν; δείξτε σχηματικά, σε σχήμα καμπυλών ισοπαραγωγής, το σημείο μέγιστου προϊόντος. Λύση Η συνάρτηση παραγωγής είναι η q 2 L2 7, 5 K 2 4 L 18 K 6 KL με τον περιορισμό της 10 L 2 K 51. Εφαρμόζοντας τη μέθοδο των πολλαπλασιαστων του Lagrange, έχουμε: 10L+2K-51=0 και λ(10L+2Κ-51)=0. Επομένως, Lg 2 L2 7, 5 K 2 4 L 18 K 6 KL (10 L 2 K 51). Έτσι, Lg 4 L 4 6 K 10 0 , L Lg 15 K 18 6 L 2 0 K Lg 10 L 2 K 51 0. Με την επίλυση του συστήματος των τριών εξισώσεων προκύπτουν οι λύσεις L 4, 5 kai K 3 μονάδες. Με τις ποσότητες αυτές των συντελεστών παραγωγής επιτυγχάνεται μέγιστο προϊόν q 2 4, 52 7, 5 32 4 4, 5 18 3 6 3 4, 5 45 μονάδες. Στο σχήμα, το μέγιστο σημείο αντιστοιχεί με το σημείο Μ (3, 4,5) στο οποίο η ευθεία γραμμή της εξίσωσης 10 L 2 K 51 εφάπτεται της καμπύλης ισοπαραγωγής q=45.
39. Επιχείρηση παράγει ένα προϊόν με τη χρησιμοποίηση των συντελεστών παραγωγής x και z. Το κόστος του συντελεστή x είναι τριπλάσιο από εκείνο του συντελεστή z, ενώ η συνάρτηση παραγωγής του προϊόντος είναι y 10 xz 3 z 2 x 2 , διατίθενται δε 40 χρηματικές μονάδες για την αγορά των x και z. Ζητείται να
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[163]
προσδιοριστούν οι ποσότητες των συντελεστών x και z που πρέπει να αγοραστούν, ώστε να μεγιστοποιείται η παραγωγή από τη διάθεση των 40 χρηματικών μονάδων. Λύση Η συνάρτηση παραγωγής είναι η
y 10 xz 3 z 2 x 2
με τον περιορισμό της
p1 x p2 z 40. Επειδή, όμως, p1 3 p2 , θέτοντας p2 p θα έχω p1 3 p και επομένως ο
περιορισμός γίνεται 3 px pz 40. Έτσι, ακολουθώντας τα στάδια εφαρμογής της μεθόδου των πολλαπλασιαστών του Lagrange, έχουμε: α. 3 px pz 40 0 β. (3 px pz 40) 0 γ. Lg (10 xz 3 z 2 x 2 ) (3 px pz 40) Lg δ. 10 z 2 x 3 p =0 x Lg 10 x 6 z p =0 z Lg 3 px pz 40 =0 ε. Με την επίλυση του συστήματος των παραπάνω τριών εξισώσεων βρίσκουμε λύσεις τις 280 280 320 320 και z και το μέγιστο προϊόν θα είναι x x z 29 p 29 p1 29 p 29 p2 280 320 320 2 280 2 y 10 xz 3 z 2 x 2 10 3( ) ( ) 29 p 29 p 29 p 29 p 896000 307200 78400 510400 606,9 = . 841 p 2 841 p 2 841 p 2 841 p 2 p2 280 Πράγματι, επιτυγχάνεται μεγιστοποίηση της παραγωγής με τις τιμές x και 29 p 320 , καθόσον η oριοθετημένη Εσσιανή ορίζουσα είναι z 29 p 0 g g x z 2 g f 2 f H x x 2 xz g 2 f 2 f z zx z 2 0 3p p 3p
p
2 10 116 p 2 0 . 10 6
[164]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
40. Επιχείρηση έχει συνάρτηση παραγωγής προϊόντος την q L2 3 K 2 30 LK (όπου L=μονάδες εργασίας και Κ=μονάδες κεφαλαίου). Εάν η τιμή ανά μονάδα εργασίας και ανά μονάδα κεφαλαίου είναι, αντίστοιχα, pL=2 και pK=7 χρηματικές μονάδες, πόση ποσότητα από κάθε συντελεστή πρέπει να χρησιμοποιηθεί, ώστε η επιχείρηση να παράγει 702 μονάδες του προϊόντος με το ελάχιστο κόστος και πόσο θα είναι το ελάχιστο κόστος; Απεικονίστε σε σχήμα γραμμών ισοκόστους το σημείο του ελάχιστου κόστους. Λύση Η συνάρτηση κόστους της επιχείρησης είναι C p L L p K K 2 L 7 K , υπό τον περιορισμό της παραγωγής 702 L2 3K 2 30 LK . Ακολουθώντας τα στάδια εφαρμογής της μεθόδου των πολλαπλασιαστών του Lagrange, έχουμε: α. L2 3 K 2 30 LK 702 0 =0 β. ( L2 3K 2 30 LK 702) 0 γ. Lg 2 L 7 K ( L2 3 K 2 30 LK 702). Lg δ. 2 2 L 30 K 0 L Lg 7 6 K 30 L 0 K Lg L2 3 K 2 30 K 702 0 . Με την επίλυση του συστήματος των παραπάνω τριών εξισώσεων προκύπτουν οι λύσεις L=9 και Κ=3 μονάδες. Στις ποσότητες αυτές των συντελεστών της παραγωγής το κόστος είναι ελάχιστο και ίσο με C 2 9 7 3 39 χρηματικές μονάδες. Στο σχήμα, το ελάχιστο σημείο κόστους αντιστοιχεί με το σημείο Μ (3,9) στο οποίο η καμπύλη παραγωγής των 702 μονάδων προϊόντος εφάπτεται της γραμμής ισοκόστους C=39.
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[165]
41. Επιχείρηση επιθυμεί να παράγει 500 μονάδες ενός προϊόντος, χρησιμοποιώντας τους συντελεστές εργασία (L) και έδαφος (La), των οποίων η τιμή ανά μονάδα είναι pL=300 και pLa=600 χρηματικές μονάδες. Εάν η συνάρτηση παραγωγής του προϊόντος είναι y 50 L0,6 La 0,8 δείξτε, με τη χρησιμοποίηση των πολλαπλασιαστών του p MPL Lagrange, ότι η συνθήκη αριστοποίησης είναι L . pLa MPLa Λύση Το ολικό κόστος παραγωγής του προϊόντος C p L L p La La C 300 L 600 La επιδιώκεται να ελαχιστοποιηθεί υπό τον περιορισμό που θέτει η
συνάρτηση 500 50 L0,6 La 0,8 10 L0,6 La 0,8 . Ακολουθώντας τα στάδια εφαρμογής της μεθόδου των πολλαπλασιαστών του Lagrange, έχουμε: α. 10 L0,6 La 0,8 L0,6 La 0,8 10 0 β. ( L0,6 L 0,8 10) 0 γ. Lg 300 L 600 La ( L0,6 La 0,8 10). Lg δ. 300 0, 6 L0,4 La 0,8 0 L Lg 600 0,8 La 0,2 L0,6 0 La Lg L0,6 La 0,8 0 . Από τις δύο πρώτες εξισώσεις του παραπάνω συστήματος, με διαίρεση κατά μέλη, 0,6 La 300 2 αποκτούμε La L. Με αντικατάστασή της στην τρίτη των 0,8 L 600 3 εξισώσεων έχουμε 2 L0,6 ( L ) 0,8 10 L 6,53 και, στη συνέχεια, Κ=4,35 μονάδες. 3 p MPL Οι ποσότητες αυτίς, πράγματι, επαληθεύουν τη σχέση L γιατί pLa MPLa y 30 La 0,8 30 4,350,8 MPL 46 και L L0,4 6,530,4 y 40 L0,6 40 6,530,6 MPLa 92. La La 0,2 4,350,2 p MPL 46 300 1 Πράγματι, είναι L = . pLa MPLa 92 600 2
42. Επιχείρηση παράγει δύο προϊόντα, των οποίων η σχέση παραγωγής δίδεται από q2 τη συνάρτηση μετασχηματισμού q1 100 2 όπου q1, q2 είναι οι ποσότητες των 3
[166]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
παραγόμενων προϊόντων). Εάν η τιμή πώλησης, ανά μονάδα των προϊόντων αυτών, είναι αντίστοιχα, p1=10 και p2=80 χρηματικές μονάδες, να υπολογιστούν οι ποσότητες των προϊόντων που πρέπει να παραχθούν, ώστε να μεγιστοποιηθούν τα έσοδα της επιχείρησης. Λύση Τα ολικά έσοδα από την παραγωγή και πώληση των προϊόντων είναι R p1q1 p2 q2 10 q1 80 q2 , που επιδιώκεται να μεγιστοποιηθούν υπό τον περιορισμό που θέτει η συνάρτηση μετασχηματισμού q1 100
q22 . Από την 3
q22 100 0 3 3q1 q 22 300 0 (3q1 q22 300) 0. Έτσι, η συνάρτηση Lagrange γίνεται
τελευταία συνάρτηση προκύπτει q1
Lg 10 q1 80 q 2 (3q1 q22 300) και
οι
μερικές
(πρώτες)
παράγωγοι
της
συνάρτησης αυτής είναι οι Lg 10 3 0 q1 Lg 80 2 q2 0 q2 Lg 3q1 q22 300 0. Με την επίλυση του συστήματος των τριών εξισώσεων αποκτούμε τις λύσεις q1 52 και q2 12 μονάδες. Στις ποσότητες αυτές παραγωγής των προϊόντων, τα έσοδα της επιχείρησης γίνονται μέγιστα και ίσα με R 10 52 80 12 1480 χρηματικές μονάδες. 43. Καταναλωτής διαθέτει 100 χρηματικές μονάδες εβδομαδιαίως για την απόκτηση δύο αγαθών x1 και x2. Αν η τιμή ανά μονάδα του ενός αγαθού είναι p x 4 1
χρηματικές
μονάδες
η συνάρτηση χρησιμότητας του καταναλωτή U 2 x1 3 x x 2 4 x 500 , εκφράστε τη ζήτηση του αγαθού x2 σε σχέση με την 2 1
και
2 2
τιμή του. Λύση Η ολική χρησιμότητα U 2 x1 3 x12 x 2 4 x22 500 επιδιώκεται να μεγιστοποιηθεί υπό
τον
περιορισμό
της
συνάρτησης
καταναλωτικής
δυνατότητας
p x1 x1 p x2 x 2 C 4 x1 p x2 100.
Ακολουθώντας τα στάδια εφαρμογής της μεθόδου των πολλαπλασιαστών του Lagrange, έχουμε:
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[167]
α. 4 x1 p x x 2 100 0 2
β. (4 x1 p x x2 100) 0 2
γ. Lg 2 x1 3 x12 x2 4 x22 500 (4 x1 p x2 x2 100) Lg δ. 2 6 x1 4 0 x1 Lg 1 8 x2 p x 0 x 2 Lg 4 x1 p x2 x2 100 0 . 2
Από την πρώτη και τρίτη των εξισώσεων υπολογίζεται 37 θέτοντας στη δεύτερη των εξισώσεων έχουμε, τελικά, x2
3 px x2 την οποία 8 2
296 p x2 64 3 px22
.
44.Κάποιος κατανέμει το χρόνο του εργαζόμενος και μη εργαζόμενος, έτσι που η συνάρτηση χρησιμότητάς του ως προς τη σχόλη και το εισόδημα από την εργασία είναι U 3Y 0,5 L0,5 (όπου Υ=μονάδες εισοδήματος και L=ώρες σχόλης). Εάν επιθυμεί να μεγιστοποιήσει τη χρησιμότητά του, πώς πρέπει να κατανείμει τις ώρες του στο 24ωρο μεταξύ εργασίας και σχόλης, όταν μπορεί να κερδίζει για κάθε ώρα εργασίας 2 χρηματικές μονάδες; Δείξτε σχηματικά σε χάρτη αδιαφορίας το σημείο μέγιστης χρησιμότητας. Λύση Η συνάρτηση χρησιμότητας U 3Y 0,5 L0,5 τελεί υπό περιορισμό ως προς το διαθέσιμο χρόνο του που εκφράζεται από τη σχέση Χ+L=24 (όπου Χ=ώρες εργασίας και L=ώρες Y σχόλης). Αλλά, Υ=2Χ και συνεπώς X , έτσι που η συνάρτηση περιορισμού γίνεται 2 Y L 24 και τελικά Y 2 L 48. 2 Ακολουθώντας τα στάδια εφαρμογής της μεθόδου των πολλαπλασιαστών του Lagrange, έχουμε: α. Y 2 L 48 0 β. (2 L Y 48) 0 γ. Lg 3 0,5 L0,5 (Y 2 L 48) Lg δ. 1,5 0,5 L0,5 0 Lg 1,5 L0,5Y 0,5 2 0 L Lg 2 L 48 0 .
[168]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
Με την επίλυση του παραπάνω συστήματος των τριών εξισώσεων υπολογόζονται L=12 ώρες και Y=24 χρηματικές μονάδες και, αντίστοιχα, μέγιστη χρησιμότητα U=50,9 μονάδες. Κατά συνέπεια, το άτομο, για να μεγιστοποιήσει τη χρησιμότητά του, πρέπει να εργάζεται 12 ώρες στο 24ωρο. Στο σχήμα, το σημείο μέγιστης χρησιμότητας αντιστοιχεί με το σημείο Μ (12, 24) στο οποίο η εξίσωση Υ+2L=48 εφάπτεται της καμπύλης αδιαφορίας U=50,9.
45. Καταναλωτής έχει για είδη διατροφής (x1) και ένδυσης (x2) συνάρτηση 2 1 χρησιμότητας την U log x1 log x2 (γνωστή ως λογαριθμική συνάρτηση των 3 3 Weber-Fechner and Bernoulli). Ποια σχέση πρέπει να συνδέει τη δαπάνη διατροφής με τη δαπάνη ένδυσης σε συνθήκες ισορροπίας του καταναλωτή; Εάν ο προϋπολογισμός (δαπάνη καταναλωτικής δυνατότητας) του καταναλωτή είναι, εβδομαδιαίως, C=81 χρηματικές μονάδες και η τιμή ανά μονάδα διατροφής p x 2 1
και ένδυσης p x 5 χρηματικές μονάδες, πόση ποσότητα από κάθε αγαθό πρέπει να 2
αποκτήσει ο καταναλωτής στο χρονικό αυτό διάστημα, ώστε να μεγιστοποιήσει τη χρησιμότητά του; Λύση Οι μερικές παράγωγοι της παραπάνω συνάρτησης είναι οι 2 1 1 1 MU x ( ) και MU x ( ) . Σε συνθήκες ισορροπίας του καταναλωτή ισχύει 3 x1 3 x2 MU x1 px 1 . Επομένως θα είναι MU x2 p x2 1
2
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
2 1 ( ) px 3 x1 2 x2 p x1 1 1 1 p x p x2 x 1 2 ( ) 3 x2
[169]
και τελικά
p x1 x1 2 p x2 x2 , δηλαδή η δαπάνη για
διατροφή πρέπει να είναι διπλάσια της δαπάνης για ένδυση ή ότι ο καταναλωτής δαπανά τα δύο τρίτα του προϊπολογισμού του για είδη διατροφής και το ένα τρίτο 2 1 για είδη ένδυσης, κατά τις σχέσεις px1 x1 C και p x2 x2 C. Έτσι, με τα 3 3 αριθμητικά δεδομένα της άσκησης, θα είναι 2 C 2 81 1 C 1 81 x1 27 και x2 5, 4, ποσότητες που πρέπει να 3 p x1 3 2 3 p x2 3 5 αποκτήσει ο καταναλωτής για να μεγιστοποιήσει τη χρησιμότητά του.
[170]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[171]
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΕΜΠΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΣΗ 1. Αν h και k είναι αυξήσεις των x και z αντιστοίχως, να υπολογιστεί η αύξηση Δy ως προς x, z, h και k στη συνάρτηση y=x2+2xz+z2. Ποια είναι η διαφορά της Δy με την dy; Λύση Εάν οι x και z αυξηθούν, αντίστοιχα, κατά h και k, η y θα αυξηθεί κατά Δy, έτσι ώστε θα ισχύει η σχέση y y ( x h) 2 2( x h )( z k ) ( z k ) 2 y y x 2 2 xh h 2 2 xz 2 xk 2 hz 2 hk z 2 2 zk k 2 y z ( x 2 2 xz z 2 ) (2 x 2 z )( h k ) ( h k ) 2 και τελικά y 2( x z )(( h k ) ( h k ) 2 . Το ολικό διαφορικό της y είναι dy d ( x 2 ) d (2 xz ) d ( z 2 ) 2 xdx 2 xdz 2 zdx 2 zdz = 2( x z ) dx 2( x z ) dz 2( x z )( dx dz ). Όπως διαπιστώνεται, οι Δy και dy διαφέρουν κατά το ποσό ( h k ) 2 , τείνουν δε να ταυτιστούν όσο οι αυξήσεις h και k είναι πολύ μικρές, έτσι που ο όρος ( h k ) 2 γίνεται αμελητέος. 2. Δίνονται οι συναρτήσεις y=5x2-6xz-2z2 και y=4x2-2xz2+5x2w---4z2w2 +z2-w2. α) Να υπολογιστεί το ολικό διαφορικό αυτών και β) να διαπιστωθεί η διαφορά αυτού και της πραγματικής μεταβολής της y, όταν το x αυξάνεται από 2 σε 2,1, το z ελαττώνεται από 4 σε 3,9 και το w αυξάνεται από 1 σε 1,2 μονάδες. Λύση α) y 5 x 2 6 xz 2 z 2 . y y y x z (10 x 6 z ) x ( 6 x 4 z ) z. x z Εφόσον x=2, z=4, Δx=0,1 και Δz= -0,1, θα είναι:
y (10 2 6 4) 0,1 ( 6 2 4 4) ( 0,1) 2, 4 είναι η κατά προσέγγιση μεταβολή
της y. Αντιθέτως, αν x=2 και z=3, θα είναι y 5 2 2 6 2 4 2 4 2 60 και εάν x=2,1 και z=3,9, θα είναι y 5 2,12 6 2,1 3, 9 2 3, 9 2 = 57, 51 και η πραγματική μεταβολή της y θα είναι y 57, 51 ( 60) 2, 49.
β) y 4 x 2 2 xz 2 5 x 2 w 4 z 2 w 2 z 2 w 2 .
[172]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
y y y x z w x z w (8 x 2 z 2 10 xw) x ( 4 xz 8 zw 2 2 z ) z (5 x 2 8 z 2 w 2 w) w. y
Εφόσον x=2, z=4, w=1, Δx=0, Δz= -0,1 και Δw=0,2, θα είναι: y (8 2 2 4 2 10 2 1) 0,1 ( 4 2 8 4 12 2 4) ( 0,1) + (5 2 2 8 42 1 2 1) 0, 2 16 είναι η κατά προσέγγιση μεταβολή της y. Αντίθετα, εάν x=2, z=4 και w=1, θα είναι y 4 2 2 2 2 4 2 5 2 2 1 4 4 2 12 4 2 12 77 και Εάν x=2,1, z=3,9 και w=1,2, θα είναι: y 93, 6216 ( 77) 16, 6216.
y 4 2,12 2 2,1 3, 9 2 5 2,12 1, 2 4 3, 9 2 1, 2 2 3, 9 2 1, 2 2
= -93,6216 και η πραγματική μεταβολή της y θα είναι 3. Να υπολογιστεί το διαφορικό των ακόλουθων συναρτήσεων: x α) y=3x2+4xz-7z2 , β) y=2x3+4x2z+3z3 , γ) y , xz 3x 2 δ) y , ε) y (2 x 3z )3 , στ) y x 2 z 2 , x z 5 ζ) y ( x 2 z 2 )(3 x 2 z ) , η) y ( x z ) x z , θ) y ln(2 x 2 3 z 5 ) , ι) y x ln z z ln x , x ια) y ln( ) , ιβ) y e x z , ιγ) y x 3e z . xz Λύση α) y 3 x 2 4 xz 7 z 2 . dy d (3 x 2 ) d (4 xz ) d (7 z 2 ) 6 xdx 4 xdz 4 zdx 14 zdz 2(3 x 2 z ) dx 2(2 x 7 z ) dz .
β) y 2 x 3 4 x 2 z 3 z 3 . dy d (2 x 3 ) d (4 x 2 z ) d (3 z 3 ) 6 x 2 dx 4 x 2 dz 8 xzdx 9 z 2 dz 2 x (3 x 4 z ) dx (4 x 2 9 z 2 ) dz. x . x z ( x z ) dx xd ( x z ) xdx zdx xdx xdz zdx xdz dy . ( x z )2 ( x z)2 ( x z)2
γ) y
3x 2 . xz5 ( x z 5) d (3 x 2 ) 3x 2 d ( x z 5) dy ( x z 5) 2
δ) y
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[173]
( x z 5)6 xdx 3x 2 dx 3 x 2 dz 3 xdx 2( x z 5) 3 3 x 2 dz = ( x z 5) 2 ( x z 5) 2 3 xdx 2( x z 5) 3 3 x 2 dz 3 x ( x 2 z 10) dx xdz .= ( x z 5) 2 ( x z 5) 2 3x ( x 2 z 10) dx xdz = . ( x z 5) 2
ε) y (2 x 3 z ) 3 . dy d (2 x 3 z )3 3(2 x 3 z ) 2 d (2 x 3 z ) 3(2 x 3 z ) 2 (2 dx 3dz ) 6(2 x 3 z ) 2 dx 9(2 x 3 z 2 ) dz. στ) y x 2 z 2 . 1 1 2 2 dy d ( x z ) ( x z ) 2 d ( x 2 z 2 ) 2 1 1 xdx zdz = ( x 2 z 2 ) 2 (2 xdx 2 zdz ) 2 2 . 2 x z 2
1 2 2
ζ) y ( x 2 z 2 )(3 x 2 z ). dy ( x 2 z 2 ) d (3 x 2 z ) (3 x 2 z ) d ( x 2 z 2 ) = ( x 2 z 2 )(3dx 2 dz ) (3 x 2 z )(2 xdx 2 zdz ) = 3( x 2 z 2 ) dx 2( x 2 z 2 ) dz 6 x 2 dx 6 xzdz 4 xzdx 4 z 2 dz = (3 x 2 3 z 2 6 x 2 4 xz ) dx (2 x 2 2 z 2 6 xz 4 z 2 ) = (9 x 2 3 z 2 4 xz ) dx (2 x 2 6 z 2 6 xz ) dz. η) y ( x z ) x z . 1 2
1 2
dy ( x z )d ( x z ) ( x z ) d ( x z ) 1 1 1 = ( x z ) ( x z ) 2 d ( x z ) ( x z ) 2 ( dx dz ) 2 ( x z )( dx dz ) = x z ( dx dz ) 2 x z 3xdx xdz zdx 3 zdz (3x z ) dx ( x 3 z ) dz = . 2 xz 2 x z
θ) y ln(2 x 2 3 z 5 ). d (2 x 2 3z 5 ) 4 xdx 15 z 4 dz dy . 2 x 2 3z5 2 x 2 3z 5 ι) y x ln z z ln x. dy d ( x ln z ) d ( z ln x ) ln zdx xd (ln z ) ln xdz zd (ln x ) 1 1 z x = ln zdx x dz ln xdz z dx (ln z ) dx (ln x )dz. z x x z
ια) y ln(
x ). xz
[174]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
1 d (x z) dx x xz ( x z ) dx x( dx dz ) xdz zdx = . x( x z ) x( x z ) dy d ln x d (ln( x z )
ιβ) y e x z . dy d (e x z ) e x z ( xdx zdz ). ιγ) y x 3 e z . dy d ( x 3e z ) 3 x 2 e z dx x 3e z dz x 2 e z (3dx xdz ). dy , dw όταν x=1+w και z=1-w. Ελέγξτε το αποτέλεσμα αυτό, υπολογίζοντας την παράγωγο από τη συνάρτηση y=f(w), αφού αντικαταστήσετε σε αυτή τα x και z.
4. Να υπολογιστεί, από το διαφορικό dy της συνάρτησης y=x2+z2, η παράγωγος
Λύση Το ολικό διαφορικό της συνάρτησης y f ( x , z ) δίνεται από τη σχέση y y dy dx dz . Διαιρώντας τα μέλη της ισότητας αυτής δια dw, έχουμε: x z dy y dx y dz y y dx dz . Αλλά, 2 x, 2 z, 1 και 1. Επομένως, dw x dw z dw x z dw dw dy 2 x 1 2 z ( 1) 2( x z ). Πραγματικά, εάν στην y x 2 z 2 αντικαταστήσουμε dw τις τιμές x και y σε συνάρτηση με τις τιμές w, θα έχουμε y (1 w) 2 (1 w) 2 2(1 w) 2 και dy 4 w 2 2 w 2( x z ). dw 5.Να υπολογιστεί, από το διαφορικό της συνάρτησης y
1 dy , η παράγωγος , xz dw
όταν x=ew και z=e-w. Λύση Το ολικό διαφορικό της συνάρτησης y f ( x , z ) δίνεται από τη σχέση y y dy dx dz και με διαίρεση δια dw των μελών της ισότητας αποκτούμε τη x z dy σχέση της ολικής παραγώγου , την dw dy y dx y dz . Αλλά, dw x dw z dw y 1 y 1 dx dz , , e w και e w . 2 1 x ( x z ) z ( x z ) dw dw
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[175]
Επομένως, dy 1 1 ew e w w w e e . dw ( x z )2 ( x z )2 ( x z) 2 6. Να υπολογιστεί, από το διαφορικό της συνάρτησης y=x2+z3, η παράγωγος
dy , όταν dx
z 1 x2 . Λύση Το ολικό διαφορικό της συνάρτησης y f ( x , z ) δίνεται από τη σχέση y y dy dx dz . Διαιρώντας τα μέλη της ισότητας αυτής δια dx, έχουμε: x z dy y y dz y y dz x . Αλλά, 2 x, 3 z 2 και . dx x z dx x z dx 1 x2 Επομένως,
dy x 3 xz 2 2 x 3z 2 ( ) 2x . dx 1 x2 1 x2
7. Δείξτε,
χρησιμοποιώντας το ολικό διαφορικό των συναρτήσεων 5 x x 2 x12 8 x22 μετασχηματισμού y 1 2 και y 6 x1 x2 7 x12 x22 (όπου x1, x2 είναι οι 3x1 4 x2 συντελεστές παραγωγής)
ότι η οριακή σχέση τεχνικής υποκατάστασης των x συντελεστών αυτών εξαρτάται μόνον από το λόγο 2 . x1 Λύση Για κάθε καμπύλη ισοπαραγωγής το dy=0. Επομένως, το ολικό διαφορικό y y y y dy dx1 dx2 γίνεται dx1 dx2 0 και τελικά x1 x 2 x1 x2 y y dx x dx x 1 2 2 1 . Για τη συνάρτηση y y dx2 dx1 x1 x2 y
5 x1 x2 2 x12 8 x22 y 23 x12 48 x1 x2 32 x22 θα είναι και 3 x1 4 x2 x2 (3 x1 4 x2 ) 2
y 6 x12 16 x1 x2 44 x22 . Επομένως, x1 (3 x1 4 x2 ) 2
MRTS x1 ό x2
x2 x ) 32( 2 ) 2 dx 23 x 48 x1 x2 32 x x1 x1 x 1 = f ( 2 ). και x x dx2 6 x 16 x1 x2 44 x x1 6 16( 2 ) 44( 2 ) 2 x1 x1 2 1 2 1
2 2 2 2
23 48(
[176]
MRTS x2 ό x1
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
x2 x ) 44( 2 ) 2 dx 6 x 16 x1 x2 44 x x1 x1 x 2 f ( 2 ). x x dx1 23x 48 x1 x2 32 x x1 23 38( 2 ) 32( 2 ) 2 x1 x1 2 1 2 1
2 2 2 2
6 16(
Για τη συνάρτηση y 6 x1 x2 7 x12 x22 , θα είναι y y 6 x1 2 x2 και 6 x2 14 x1 . Επομένως, x2 x1 x 6 2( 2 ) dx 6 x 2 x2 x1 x MRTS x1 ό x2 1 1 f ( 2 ). και x dx2 6 x2 14 x1 6( 2 ) 14 x1 x1 x 6( 2 ) 14 dx 6 x 14 x1 x1 x MRTS x2 ό x1 2 2 f ( 2 ). x dx1 6 x1 2 x2 x1 6 2( 2 ) x1 8. Δείξτε την ισχύ της σχέσης MRTS x1 x2 f (
x1 ) στις συναρτήσεις y 25 x10,3 x20,7 x2
και y 10 x10,6 x20,8 . Λύση Γνωρίζουμε ότι MRTS x1 ό x2
y dx x 1 2 . y dx2 x1
Για τη συνάρτηση y 25 x10,3 x20,7 θα είναι y x y x 7, 5( 2 ) 0,7 και 17, 5( 1 ) 0,3 . Επομένως, x1 x1 x2 x2 x 10,5( 1 ) 0,3 dx x2 x MRTS x1 ό x2 1 2,333( 1 ). dx2 7,5( x2 ) 0,7 x2 x1 Για τη συνάρτηση y 10 x10,6 x 20 ,8 θα είναι
y x 0,8 y x 0,6 6 20,4 και 8 10,6 . Επομένως, x1 x1 x2 x2
x10,6 ) dx1 x20,2 x 1,333( 1 ). 0,8 x dx2 x2 6 ( 20,4 ) x1 8(
MRTS x1 ό x2
9 Εάν ax12 bx22 c (όπου c=σταθερά) είναι η συνάρτηση μετασχηματισμού δύο προϊόντων x1 και x2 , υπολογίστε, με τη μέθοδο της διαφόρισης, την οριακή σχέση μετασχηματισμού από την παραγωγή του x1 στην παραγωγή του x2.
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[177]
Λύση dy d ( ax12 ) d (bx 22 ) 2 ax1 dx1 2bx2 dx 2 .
2ax1dx1 2bx2 dx2 και τελικά
Επειδή,
dx1 MRTS x1 ό x2 dx2
όμως, bx 2. ax1
dy=0,
θα
είναι
10. Καταναλωτής έχει συνάρτηση χρησιμότητας U ln( x1 a )b1 ( x2 )b2 (όπου α και β είναι σταθερές και x1, x2 οι ποσότητες των καταναλώμενων αγαθών). Να υπολογιστεί η οριακή σχέση υποκατάστασης του x1 από το x2 και να επαληθευτεί αυτή για τη συνάρτηση U ln( x1 5)3 ( x2 4) 6 . Λύση Για κάθε καμπύλη αδιαφορίας, επειδή dU=0, θα είναι
dx1 MRS x1 ό x2 dx2
U x 2. U x1
Αλλά, για τη συνάρτηση
U ln( x1 a ) b1 ( x2 b ) b2 ισχύουν:
U b b1 ln( x1 a ) b2 ln( x2 b) 1 και x1 x1 x1 a U b b1 ln( x1 a ) b2 ln( x2 b) 2 . Επομένως, x 2 x 2 x2 b b2 x b b2 x1 a MRS x1 ό x2 2 . Πράγματι, για τη συνάρτηση b1 b1 x2 b x1 a U ln( x1 5) 3 ( x2 4) 6 ισχύει
MRS x1 ό x2
6 x1 5 x 5 2 1 . 3 x2 4 x2 4
11. Εάν οι εξισώσεις ζήτησης και προσφοράς δύο προϊόντων x1 και x2 είναι: qD1 40 1,5 p1 6Y qS1 5 2,5 p1 qD2 50 5 p2 0,5Y qS2 8 3 p2
(όπου
q D1 ,
q D2 είναι
οι ζητούμενες ποσότητες των προϊόντων,
qS1 , qS2 οι
προσφερόμενες ποσότητες αυτών και p1, p2 οι τιμές τους, να υπολογιστούν, με τη dp dp μέθοδο της διαφόρισης, οι 1 και 2 . Τι συμπεραίνετε από τις τιμές αυτών; dY dY Λύση
[178]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
Σε κατάσταση ισορροπίας είναι, ως γνωστό, qD qS , δηλαδή για τα δεδομένα της άσκησης, q1D q1S και q 2D q2S και συνεπώς, 40 1, 5 p1 6Y 5 2, 5 p1 για το προϊόν x1 και 50 5 p2 0, 5Y 8 3 p2 για το προϊόν x2.
Διαφορίζοντας τα μέλη κάθε ισότητας από τις παραπάνω, έχουμε dp1 6 1,5dp1 6 dY 2,5dp1 4dp1 6 dY 0, που σημαίνει ότι το προϊόν dY 4 x1 είναι «φυσιολογικό» και dp2 1 5dp2 0,5dY 3dp2 8dp2 0,5dY 0, που σημαίνει ότι το dY 16 προϊόν x2 είναι «κατώτερο». 12. Εάν οι εξισώσεις ζήτησης και προσφοράς δύο αγαθών x1 και x2 είναι: qD1 f ( p1 , p2 ) , qS1 g ( p1 , t ) και qD2 h ( p1 , p2 ) , qS2 j ( p2 ) , (όπου qD1 , q D2 είναι οι ζητούμενες ποσότητες των αγαθών x1, x2 αντιστοίχως, qS1 , qS2 οι προσφερόμενες ποσότητες αυτών, p1, p2 οι τιμές τους και t o
επιβαλλόμενος φόρος), να εκφράσετε, χρησιμοποιώντας τα διαφορικά ως προς p1, p2 dp dp2 και t τις παραγώγους 1 και . dt dt Επαληθεύστε τις σχέσεις όταν: qD1 p12 2 p2 3 p1 p2 , qS1 50 3(2 p1 t ) και
p22 qD2 p 3 p 100 , qS1 300 4 p2 . 2 2 2
2 1
Λύση Σε κατάσταση ισορροπίας είναι, ως γνωστό, qD qS , δηλαδή q1D q1S και q 2D q2S . ΄Ετσι, σε ό,τι αφορά το αγαθό x1, διαφορίζοντας τις δύο εξισώσεις και εξισώνοντας τα διαφορικά, έχουμε q1D q D q S q S dp1 1 dp2 1 dp1 1 dt. p1 p 2 p1 t
Σε ό,τι αφορά το αγαθό x2, ομοίως,
διαφορίζοντας τις δύο εξισώσεις και εξισώνοντας τα διαφορικά, έχουμε q2D q D q S dp1 2 dp2 2 dp2 την οποία επιλύοντας ως προς dp2 βρίσκουμε p1 p2 p 2 (
q2S q2D q D ) dp2 2 dp1 και τελικά p2 p2 p1
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[179]
q2D p dp2 S 1 D dp1 . Την τιμή dp2 αντικαθιστούμε στην πρώτη ισότητα και έχουμε q2 q2 p2 p2 q2D p1 q1D q D dp1 = dp1 1 S p1 p2 q2 q2D p2 p2 q1S q S dp1 1 dt p1 t
q2D q D q D p q S q S ( 1 1 S 1 D 1 ) dp1 1 dt p1 p2 q2 q2 p1 t p2 p2
dp1 dt
q1S t q2D q1D q1S q1D p1 ( ) S p1 p1 p2 q2 q2D ( ) p2 p2
q1S q2D q2S ( ) dp1 t p2 p2 . q1D q1S q2D q2S q1D q2D dt ( )( ) p1 p1 p2 p2 p2 p2
Κατ’ ανάλογο τρόπο, εάν στην ισότητα q1D q D q S q S dp1 1 dp2 1 dp1 1 dt αντικαταστήσουμε την dp1 με την ισοδύναμη p1 p 2 p1 t S D q q ( 2 2 ) p2 p2 dp2, βρίσκουμε q2D p1 q2S q2D q2S q2D ) ( ) q1D p2 p2 q1D q1S p2 p2 q1S dp dp dp dt 2 2 2 q2D q2D p1 p2 p1 t p1 p1 (
q2S q2D q D q S p p D S ( 1 1 )( 2 D 2 ) q1 dp2 q1 dt q2 p2 t p1 p1 p1
[180]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
dp2 q D dt ( 1 p1 dp2 q D dt ( 1 p1
q1S t q1S q2D q2D q1D )( ) p1 p2 p2 p2 q1S q2D t p1 . q1S q2D q2S q1D q2D )( ) p1 p2 p2 p2 p2
Θεωρώντας τα αριθμητικά δεδομένα της άσκησης, θα έχουμε: p12 2 p 2 3 p1 p 2 50 6 p1 3t και p22 . Διαφορίζοντας τα μέλη, έχουμε 2 2 p1dp1 2 dp2 3 p1dp2 3 p2 dp1 6dp1 3dt και
p22 3 p12 100 300 4 p2
Από τη δεύτερη των ισοτήτων αποκτούμε 6 p1 6 p1dp1 (3 p2 4)dp2 dp2 dp1 . Την τιμή του dp2 αντικαθιστούμε στην 3 p2 4 2 p2 dp2 6 p1dp1 4 dp2 p2 dp2 .
πρώτη από τις ισότητες και έχουμε 6 p1 6 p1 2 p1dp1 2 dp1 3 p1 dp1 3 p2 dp1 6dp1 3dt 3 p2 4 3 p2 4 2 p1dp1 ( 2 p1
12 p1 18 p12 dp1 dp1 3 p2 dp1 6 dp1 3dt 3 p2 4 3 p2 4
12 p1 18 p12 3 p2 6) dp1 3dt 3 p 2 4 3 p2 4
2 p1 (3 p2 4) 12 p1 18 p12 3 p2 (3 p2 4) 6(3 p2 4) 3dt 3 p2 4 dp1 3(3 p2 4) το οποίο πράγματι ταυτίζεται με το 2 dt 18 p1 6 p1 p2 9 p22 4 p1 6 p2 24 dp1 3(3 p2 4) το οποίο θα προέκυπτε με την dt (3 p2 2 p1 6)(3 p2 4) 6 p1 (2 3 p1 )
εφαρμογή των προηγουμένως.
δεδομένων
Ανάλογα, εάν την τιμή
στον
dp1
πρώτο
3 p2 4 dp2 6 p1
γενικό
τύπο
που
διατυπώθηκε
αντικαταστήσουμε στην ισότητα
2 p1dp1 2 dp2 3 p1dp2 3 p2 dp1 6 dp1 3dt , έχουμε: 3p 4 3p 4 2 p1 2 dp2 2 dp2 3 p1dp2 3 p2 2 dp 2 6 p1 6 p1 3p 4 = 6 2 dp2 3dt 6 p1 3p 4 p (3 p2 4) 3p 4 2 dp2 2dp2 3 p1d 2 2 dp2 2 dp2 3dt 3 2 p1 p1
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[181]
( 3 p2 4) 2 p1 12 p1 18 p12 9 p22 12 p2 18 p2 24 3dt 6 p1 dp2 18 p1 το οποίο ταυτίζεται με το 2 dt 18 p1 6 p1 p2 9 p22 4 p1 6 p2 24 dp2 18 p1 που θα προέκυπτε με την εφαρμογή dt (3 p2 2 p1 6)(3 p2 4) 6 p1 (2 3 p1 )
των δεδομένων στο δεύτερο γενικό τύπο που διατυπώθηκε προηγουμένως. 13. Εάν η συνάρτηση ολικής δαπάνης κατανάλωσης μιας χώρας είναι C=C(Y) (όπου Υ=εθνικό εισόδημα) και η συνάρτηση εισοδήματος η Υ=C+Ι (όπου Ι=δαπάνη dY επένδυσης), δείξτε με τη μέθοδο της διαφόρισης ότι (όπου dI Π=πολλαπλασιαστής Keynes). Λύση Εφόσον Υ=C+I και C=C(Y) θα είναι Y=C(Y)+I. Διαφορίζοντας, κατά μέλη, την ισότητα, έχουμε; C C dY d C (Y ) dI dY dY dI dY (1 ) dI Y Y dY 1 dY 1 dY . dI 1 C dI 1 MRC dI Y 14.Να υπολογιστεί το διαφορικό δεύτερης τάξης των ακόλουθων συναρτήσεων, θεωρώντας τις μεταβλητές x και z αφενός ανεξάρτητες μεταξύ τους και αφετέρου όχι ανεξάρτητες. x α) y=3x2+4xz-7z2, β) y , γ) y (2 x 3z )3 , xz δ) y x 2 z 2 , ε) y ( x 2 z 2 )(3 x 2 z ) , στ) y x ln z z ln x , ζ) y e x z . Λύση α) d 2 y d ( dy ) d 2(3 x 2 z )dx 2(2 x 7 z )dz = 6dx 2 8dxdz 14 dz 2 (x και z ανεξάρτητες) και d 2 y d ( dy ) 6dx 2 6 xd ( dx ) 4dzdx 4 zd ( dx ) 4dxdz + 4 xd ( dz ) 14dz 2 14 zd ( dz ) 6 dx 2 6 xd 2 x 8dxdz+4zd2x+ + 4 xd 2 z 14dz 2 14 zd 2 z 6 dx 2 (6 x 4 z ) d 2 x 8dxdz + (4 x 14 z ) d 2 z 14dz 2 (x και z συναρτώμενες). zdx xdz β) d 2 y d ( dy ) d 2 (x z)
[182]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
d ( zdx xdz )( x z ) 2 ( zdx xdz )d ( x z ) 2 ( x z )4 ( dxdz dxdz )( x z ) 2 ( zdx xdz ) 2( x z ) d ( x z ) = = ( x z )4 2( zdx xdz )(dx dz ) 2 xdz 2 2( x z )dxdz 2 zdx 2 = ( x z )3 ( x z )3 (x και z ανεξάρτητες) και zdx xdz d 2 y d ( dy ) d 2 (x z)
=
d ( zdx xdz )( x z ) 2 ( zdx xdz )d ( x z ) 2 = ( x z )4 d ( zdx d ( xdz ) ( x z ) 2 ( zdx xdz ) 2( x z )d ( x z ) = ( x z) 4 ( dxdz zd 2 x dxdz xd 2 z )( x z ) 2 2( zdx xdz )( x z )( dx dz ) = = ( x z) 4 ( zd 2 x xd 2 z )( x z ) 2( zdx xdz )(dx dz ) = ( x z)3 2 xdz 2 2( x z ) dxdz z ( x z ) d 2 x x ( x z )d 2 z 2 zdx 2 = ( x z)3 (x και z συναρτώμενες).
γ) d 2 y d ( dy ) d 6(2 x 3 z ) 2 dx 9(2 x 3z ) 2 dz = 12(2 x 3 z ) d (2 x 3 z ) dx 18(2 x 3 z ) d (2 x 3 z dz = 12(2 x 3 z )(2dx 2 3dxdz ) 18(2 x 3 z )(2 dxdz 3dz 2 ) = 24(2 x 3 z ) dx 2 36(2 x 3 z ) dxdz 36(2 x 3 z ) dxdz + 54(2 x 3 z ) dz 2 24(2 x 3 z ) dx 2 72(2 x 3 z ) dxdz + 54(2 x 3 z ) dz 2 (x και z ανεξάρτητες) και d 2 y d ( dy ) d 6(2 x 3z ) 2 dx 6(2 x 3 z ) 2 d 2 x
- d 9(2 x 3 z ) 2 dz 9(2 x 3z ) 2 d 2 z = 12(2 x 3 z ) d (2 x 3 z dx 6(2 x 3 z ) 2 d 2 x - 18(2 x 3 z ) d (2 x 3 z ) dz 9(2 x 3 z ) 2 d 2 z = 12(2 x 3 z )(2 dx 2 3dxdz ) 6(2 x 3 z ) 2 d 2 x - 18(2 x 3 z )(2dxdz 3dz 2 ) 9(2 x 3 z ) 2 d 2 z = 24(2 x 3 z )dx 2 36(2 x 3 z ) dxdz 6(2 x 3 z ) 2 d 2 x - 36(2 x 3 z ) dxdz 54(2 x 3 z ) dz 2 9(2 x 3 z ) 2 d 2 z = 24(2 x 3 z ) dx 2 72(2 x 3 z ) dxdz 6(2 x 3 z ) 2 d 2 x - 9(2 x 3 z ) 2 d 2 z 54(2 x 3 z ) dz 2 (x και z συναρτώμενες).
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
δ) d 2 y d ( dy ) d ( =
[183]
xdx zdz x2 z2
)
( x 2 z 2 ) d ( xdx zdz ) ( xdx zdz ) d ( x 2 z 2 ) ( x 2 z 2 )2
( x 2 z 2 )(dx 2 dz 2 ) ( xdx zdz ) 1
1 ( x2 z 2 ) 2 d ( x 2 z 2 ) = 2 ( x 2 z 2 )2
=
( x 2 z 2 )(dx 2 dz 2 ) ( xdx zdz )2 ( x2 z 2 ) x2 z 2
=
x 2 dz 2 2 xzdxdz z 2 dx 2
( xdz zdx ) 2
( x2 z 2 ) x 2 z 2 ( x2 z 2 ) x 2 z 2 xdx zdz d 2 y d ( dy ) d ( ) x2 z2
=
(x και z ανεξάρτητες) και
( x 2 z 2 ) d ( xdx zdz ) ( xdx zdz ) d ( x 2 z 2 ) ( x 2 z 2 )2
( x 2 z 2 )(dx 2 xd 2 x dz 2 zd 2 z ) 1
1 ( xdx zdz ) ( x 2 z 2 ) 2 d ( x 2 z 2 ) 2 = ( x 2 z 2 )2
=
x ( x 2 z 2 ) d 2 x ( xdz zdx ) 2 z ( x 2 z 2 ) d 2 z ( x2 z 2 ) x2 z2
(x και z συναρτώμενες).
ε) d 2 y d ( dy ) d (9 x 2 3z 2 4 xz ) dx (2 x 2 6 z 2 6 xz )dz = d (9 x 2 dx 3 z 2 dx 4 xzdx 2 x 2 dz 6 z 2 dz 6 xzdz = 18 xdx 2 6 zdxdz 4 xdxdz 4 xdxdz 12 zdz 2 6 zdxdz = 18 xdx 2 12 zdxdz 8 xdxdz 12 zdz 2 = 18 xdx 2 4(3 z 2 x ) dxdz 12 zdz 2 (x και z ανεξάρτητες) και d 2 y d ( dy ) d (9 x 2 dx 3z 2 dx 4 xzdx 2 x 2 dz 6 z 2 dz 6 xzdz = 18 xdx 2 9 x 2 d 2 x 6 zdxdz 3 z 2 d 2 x 4 xdxdz 4 xzd 2 z + 4 xdxdz 2 x 2 d 2 z 12 zdz 2 6 z 2 d 2 z 6 zdxdz 6 xzd 2 z
= 18 xdx 2 3(3 x 2 z 2 ) d 2 x 4(3 x 2 z ) dxdz 2(3 z 2 xz x 2 ) d 2 z 12 zdz 2 συναρτώμενες). z x στ) d 2 y d ( dy ) d (ln z ) dx (ln x ) dz x z 1 xdz zdx 1 zdx xdz = ( dz ) dx ( dx ) dz 2 z x x z2 dxdz xdxdz zdx 2 dxdz zdxdz xdz 2 = z x2 x z2
(x και z
[184]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
2 x 2 zdxdz 2 xz 2 dxdz z 3 dx 2 x3 dz 2 x2 z 2 z 3 dx 2 2 xz ( x z ) dxdz x 3 dz 2 = (x και z ανεξάρτητες) και x2 z2 =
z x d 2 y d ( dy ) d (ln z ) dx (ln x ) dz x z 1 xdz zdx z 1 zdx xdz = ( dz )dx (ln z ) d 2 x ( dx ) dz 2 z x x x z2 z 3dx 2 2 xz ( x z ) dxdz x 3 dz 2 x 2 (ln x )d z z x2 z 2 z x + (ln z ) d 2 x (ln x ) d 2 z (x και z συναρτώμενες). x z
ζ) d 2 y d ( dy ) d e x z ( xdx zdz ) = e x z d ( xdx zdz ) ( xdx zdz ) d (e x z ) = e x z ( dx 2 dz 2 ) ( xdx zdz )e x z ( xdx zdz ) = (e x z x 2 e x z ) dx 2 2 xze x z dxdz ( z 2 e x z e x z ) dz 2 = ( x 2 1)e x z dx 2 2 xze x z dxdz ( z 2 1)e x z dz 2 (x και z ανεξάρτητες) και d 2 y d ( dy ) d e x z ( xdx zdz ) = e x z d ( xdx zdz ) ( xdx zdz ) d (e x z ) = e x z ( dx 2 xd 2 x dz 2 zd 2 z ) ( xdx zdz )e x z ( xdx zdz ) = e x z dx 2 xe x z d 2 x e x z dz 2 ze x z d 2 z x 2 e x z dx 2 - 2 xze x z dxdz z 2 e x z dz 2 ( x 2 1)e x z dx 2 2 xze x z dxdz + xe x z d 2 x ze x z d 2 z ( z 2 1)e x z dz 2 (x και z συναρτώμενες). 15.Αν y=f(x,z) , όπου x=5+2w και z=8+3w, δείξτε ότι d2y 2 y 2 y 2 y dy y y 2 3 και 4 12 9 . dw x z dw2 x 2 xz z 2 Λύση Το ολικό διαφορικό πρώτης τάξης της συνάρτησης y f ( x , z ) δίνεται από τη σχέση y y dy dx dz. Διαιρώντας τα μέλη της ισότητας δια dw λαμβάνουμε x z dy y dx y dz . Επίσης, από το ολικό διαφορικό δεύτερης τάξης της dw x dw z dw συνάρτησης y f ( x , z ) λαμβάνουμε 2 y 2 2 y 2 y 2 dx 2 dxdz dz και με διαίρεση των μελών της ισότητας δια x 2 xz z 2 dw 2 αποκτούμε d2y
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[185]
d 2 y 2 y dx 2 2 y xz 2 y dz 2 2 dw2 x 2 dw2 xz dw2 z 2 dw2 d 2 y 2 y dx 2 2 y dx dz 2 y dz 2 ( ) 2 ( )( ) ( ). dw2 x 2 dw xz dw dw z 2 dw
Από τις συναρτήσεις x 5 2 w και z 8 3w υπολογίζουμε
dx dz 2 και 3 και, dw dw
συνεπώς, αποκτούμε d2y 2 y 2 y 2 y dy y y και 2 3 4 12 9 . dx x z dw2 x 2 xz z 2 16. Να υπολογιστούν τα σημεία στασιμότητας (μέγιστα, ελάχιστα, σαγματικά) των συναρτήσεων: α) y=x2+z2-1 , β) y=x2-z2+1 , γ) y=1-x2-z2 , δ) y=x3+z3-3xz , ε) y=x3-5x2-2xz+z2+10x-z. Λύση α) y=x2+z2-1. Η συνάρτηση θα έχει σημείο (ή σημεία) στασιμότητας όταν dy 2 xdx 2 zdz 0 , δηλαδή όταν 2x=0 κσι 2z=0 ή, τελικά, x=0 και z=0. Επειδή δε d 2 y d ( dy ) d (2 xdx 2 zdz ) 2 dx 2 2 dz 2 0 για οποιεσδήποτε τιμές των dx και dz, η συνάρτηση θα έχει ελάχιστο σημείο όταν x=z=0. Η τιμή της στο σημείο αυτό θα είναι y= -1. β) y=x2-z2+1. Η συνάρτηση θα έχει σημείο (ή σημεία) στασιμότητας όταν dy 2 xdx 2 zdz 0 , δηλαδή όταν 2x=0 κσι -2z=0 ή, τελικά, x=0 και z=0. Επειδή δε d 2 y d (dy ) d (2 xdx 2 zdz ) 2 dx 2 2dz 2 , το πρόσημο της οποίας εξαρτάται από το μέγεθος των dx και dz, που γίνεται άλλοτε θετικό και άλλοτε αρνητικό σε μεταβολές από τις σταθερές τιμές x=0 κα z=0, η συνάρτηση βρίσκεται σε σαγματικό σημείο στις τιμές αυτές. Η τιμή της στο σημείο αυτό θα είναι y=-1. γ) y=1-x2-z2. Η συνάρτηση θα έχει σημείο (ή σημεία) στασιμότητας όταν dy 2 xdx 2 zdz 0 , δηλαδή όταν -2x=0 κσι -2z=0 ή, τελικά, x=0 και z=0. Επειδή δε d 2 y d ( dy ) d ( 2 xdx 2 zdz ) = (2dx 2 2 dz 2 ) 0 για οποιεσδήποτε τιμές των dx και dz, η συνάρτηση θα έχει μέγιστο σημείο όταν x=z=0. Η τιμή της στο σημείο αυτό θα είναι y= 1.
[186]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
δ) y=x3+z3-3xz , Η συνάρτηση θα έχει σημείο (ή σημεία) στασιμότητας όταν dy 3 x 2 dx 3 z 2 dz 3 xdz 3 zdx (3 x 2 3 z ) dx (3 z 2 3 x ) dz 0 δηλαδή όταν 3 x 2 3 z 0 κσι 3 z 2 3 x 0, εξισώσεις που έχο υν πραγματικές λύσεις τις x1 =0, z1=0 και x2=1, z2=1. Επίσης, είναι d 2 y d ( dy ) d (3 x 2 dx 3 z 2 dz 3 xdz ) 6 xdx 2 6 zdz 2 6 dxdz . Για x1 =0 και z1=0 θα είναι
2 y 2 y και 6 x 0 6 z 0 και x 2 z 2 2 y 2 2 y 2 y ( ) 9 2 2 0. Έτσι, για x1 =0, z1=0 θα είναι y1=0, xz x z τιμή που αντιστοιχεί σε σαγματικό σημείο. 2 y Για x2=1, z2=1 θα είναι 2 6 x 6 0 και x 2 y 2 y 2 2 y 2 y και 6 z 6 0 ( ) 9 36. Επομένως, z 2 xz x 2 z 2 για x2=1 και z2=1 θα είναι y2= -1 το οποίο αντιστοιχεί σε ελάχιστο σημείο. ε) y=x3-5x2-2xz+z2+10x-z. Η συνάρτηση θα έχει σημείο (ή σημεία) στασιμότητας όταν dy 3 x 2 dx 10 xdx 2 xdz 2 zdx 2 zdz 10dx dz
= 3 x 2 10 x 2 z 10 0, δηλαδή όταν 3 x 2 3 z 0 και 2 x 2 z 1 0, εξισώσεις που έχουν λύσεις τις x1=3, z1=3,5 και x2=1, z2=1,5. Συνεπώς, η συνάρτηση έχει δύο σημεία στασιμότητας, στα οποία αντιστοιχούν y1= -0,25 και y2=3,75. Επίσης, είναι d 2 y d (dy ) 6 xdx 2 10dx 2 4dxdz 2dz 2 = (6 x 10) dx 2 4 dxdz 2 dz 2 . Για x1=3 και z1=3,5 θα είναι 2 y 2 y 6 x 10 8 0, 2 0 και x 2 z 2 2 y 2 2 y 2 y ( ) 4 2 2 16 xz x z η τιμή y1= -0,25 είναι η ελάχιστη. Αντιθέτως, για x2=1 και 2 y 2 y z2=1,5 θα είναι 2 6 x 10 4 0, 2 0 , αλλά x z 2 2 y 2 2 y 2 y ( ) 4 2 2 8, η τιμή y2=3,75 αντιστοιχεί σε xz x z σαγματικό σημείο.
17. Λύστε, με την τεχνική της διαφόρισης, τις ασκήσεις 30, 31, 33 και 35 του τέταρτου κεφαλαίου.
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[187]
Λύση Άσκηση 30 q 2 L2 7, 5 K 2 4 L 18 K 6 KL.
Το προϊόν μεγιστοποιείται όταν dq 4 LdL 15 KdK 4 dL 18dK 6 KdL 6 LdK
= ( 4 L 4 6 K ) dL ( 15 K 18 6 L )dK 0, δηλαδή όταν 4 L 4 6 K 0 και 15 K 18 6 L 0, εξισώσεις που έχουν λύσεις τις L=7 και Κ=4 μονάδες. Στις ποσότητες αυτές των συντελεστών το παραγόμενο προϊόν είναι q=50 μονάδες. Επίσης, είναι d 2 q d ( 4 LdL 15 KdK 4dL 18dK 6 KdL 6 LdK ) = 4 dL2 15dK 2 12 dKdL. Για L=7 και Κ=4 θα είναι 2q 2q 4 0, 15 0 και L2 K 2 2q 2 2q 2q ) 36 2 60, συνθήκες που υποδηλώνουν ότι το q=50 είναι το LK L K 2 μέγιστο παραγόμενο προϊόν. (
Άσκηση 31 q13 q23 6q12 5q22 11q1 6q2 300. 3 2 Το ελάχιστο μέσο κόστος επιτυγχάνεται όταν AC
d ( AC ) q12 dq1 1, 5 q 22 dq 2 12 q1dq1 10 q 2 dq 2 11dq1 6 dq 2
= ( q12 12 q1 11) dq1 (1, 5 q 22 10 q2 6) dq 2 0, δηλαδή όταν και 1, 5 q 22 10 q 2 6 0, εξισώσεις οι οποίες έχουν λύσεις 2 q1 11, q2 6 και q1 1, q2 . Επίσης, είναι 3 2 2 2 d ( AC ) 2 q1dq1 3q2 dq2 12dq12 10dq22
q12 12 q1 11 0
= (2 q1 12) dq12 (3q 2 10) dq 22 , το οποίο γίνεται θετικό μόνο για το ζεύγος των τιμών q1=11 και q2=6. Στις ποσότητες αυτές των προϊόντων το μέσο κόστος παραγωγής τους είναι ελάχιστο και ίσο με AC=102,67 χρηματικές μονάδες. Άσκηση 33 C 20 q1 3q 2 0, 01q12 0, 2 q1 q 2 0, 02 q22 , q1 150 3 p1 p 2 ,
και q2 200 10 p2 p1 . Από τις συναρτήσεις ζήτησης, λύνοντας το σύστημα ως προς p1 και p2, βρίσκουμε, 1700 10 q1 q2 750 q1 3q2 αντίστοιχα, p1 και p2 . 29 29 Τα ολικά έσοδα από την παραγωγή (και πώληση) των δύο προϊόντων είναι
[188]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
1700 10q1 q2 750 q1 3q2 R p1q1 p2 q2 ( ) q1 ( ) q2 29 29 1700 q1 10 q12 2 q1q2 750q2 3q22 = . 29 Επομένως, το κέρδος θα αποδίδεται από τη σχέση
R C
1700q1 10q12 2q1q2 750q2 3q22 29
- (20 q1 3q 2 0, 01q12 0, 2 q1q 2 0, 02 q 22 )
1120q1 9, 71q12 7,8q1q2 663q2 2, 42 q22 . Το κέρδος μεγιστοποιείται όταν 29 1 d (1120 dq1 19, 42 q1dq1 7,8q1dq2 7,8q2 dq1 663dq2 4,84q2 dq2 ) 29 1 (1120 19, 42q1 7,8q2 )dq1 (7,8q1 663 4,84q2 dq2 ) 0, δηλαδή 29 1120 19, 42 q1 7,8q2 0 και
=
όταν
7,8q1 663 4,84 q2 0, εξισώσεις που έχουν λύσεις τις q1 7, 5 και q2 125
μονάδες. Επίσης, είναι d 2 d (1120 dq1 19, 42 q1dq1 7, 8 q1dq 2 7, 8 q 2 dq1 663 dq 2 4,84q2 dq2 ) 19, 42 dq12 15, 6 dq1dq 2 4, 84 dq 22
= (19, 42 dq12 15, 6 dq1dq 2 4, 84 dq22 )
το οποίο είναι πάντοτε αρνητικό για
οποιεσδήποτε τιμές των dq1 και dq2. Έτσι, στις ποσότητες q1 7, 5 και q2 125 το κέρδος είναι μέγιστο και ίσο με 1572, 5 χρηματικές μονάδες. Τέλος, οι τιμές πώλησης των προϊόντων είναι, αντίστοιχα, p1=51,72 μονάδες.
και p2=12,67 χρηματικές
Άσκηση 35 U 25 x10 ,6 x20,4 .
Η χρησιμότητα του καταναλωτή μεγιστοποιείται όταν x x όταν dU 15 x10,4 x20,4 dx1 10 x10,6 x20,6 dx2 15( 1 ) 0,4 dx1 10( 2 ) 0,6 dx2 0 δηλαδή x2 x1 x x 15( 1 )0,4 0 και 10( 2 )0,6 0, εξισώσεις οι οποίες διαιρούμενες κατά μέλη δίνουν x2 x1 x1 1, 5. x2 18. Να υπολογιστούν, με τη χρησιμοποίηση των διαφορικών των αντικειμενικών συναρτήσεων και των διαφορικών των συναρτήσεων περιορισμού (μέσα σε παρενθέσεις), τα μέγιστα, ελάχιστα ή σαγματικά σημεία των συναρτήσεων: α) y=5xz (4x+6z=15), β) y 15 x10 ,4 x 20,6 (2x1+5x2=20), γ) y=x2+3z2 (x+2z- -7=0), δ) y=8x+3z (2x2+3z2=16) , ε) y=3xz-x2+z2+w2 (x-2z=10 και w-3x= =12).
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[189]
Λύση α) y=5xz (4x+6z=15). Η αναγκαία συνθήκη είναι dy 5 zdx 5 xdz 0, υποκείμενη στον περιορισμό 5z 5 x 4dx+6dz=0. Έτσι, θα είναι x 1,5 z. Θέτοντας την τιμή αυτή στην 4 6 4x+6z=15 βρίσκουμε z=1,25 και, στη συνέχεια, x=1,875. Επομένως, θα είναι y 5 1,875 1, 25 11, 719.
β) y 15 x10 ,4 x 20,6 (2x1+5x2=20). Η αναγκαία συνθήκη είναι dy 6 x10,6 x20,6 dx1 9 x10,4 x20,4 dx2 6(
x2 0,6 x ) dx1 9( 1 ) 0,4 dx2 0, x1 x2
υποκείμενη στον περιορισμό 2 dx1 5dx2 0. Έτσι, θα είναι x x 6( 2 )0,6 9( 1 ) 0,4 x1 x2 x2 0, 6 x1. Θέτοντας την τιμή αυτή στην 2 x1 5 x2 20 , 2 5 βρίσκουμε x1 4 και, στη συνέχεια, x2 2, 4. Επομένως, θα είναι y 15 40,4 2, 4 0,6 44,161.
γ) y=x2+3z2 (x+2z-7=0). Η αναγκαία συνθήκη είναι dy 2 xdx 6 zdz 0, υποκείμενη στον περιορισμό 2x 6z dx+2dz=0. Έτσι, θα είναι x 1,5 z. Θέτοντας την τιμή αυτή στην x+2z1 2 7=0 βρίσκουμε z=2 και, στη συνέχεια, x=3. Επομένως, θα είναι y 32 3 2 2 21. δ) y=8x+3z (2x2+3z2=16) . Η αναγκαία συνθήκη είναι dy 8dx 3dz 0 , υποκείμενη στον περιορισμό 4xdx+6zdz=0. Έτσι, θα είναι 8 3 x 4 z. Θέτοντας την τιμή αυτή στην 4x 6z 2 x 2 3 z 2 16 βρίσκουμε z 0, 676 και, στη συνέχεια, x 2, 704. Επομένως, θα είναι
y1 8 2, 704 3 0, 676 23, 66 και y2 23, 66.
ε) y=3xz-x2+z2+w2 (x-2z=10 και w-3x=12). Η αναγκαία συνθήκη είναι dy 3 xdz 3 zdx 2 xdx 2 zdz 2 wdw = (3 z 2 x ) dx (3 x 2 z ) dz 2 wdw 0, υποκείμενη στους περιορισμούς dx-2dz=0 και dw-3dx=0, ή στον περιορισμό εκφρασμένο από μία εξίσωση, την 4dx-2dz-dw=0, η οποία προκύπτει ως σύνθεση των δύο εξισώσεων. Έτσι, θα είναι
[190]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
3z 2 x 3x 2 z 2w , από τις οποίες προκύπτει ότι 4x+7z=0. Η εξίσωση αυτή μαζί 4 2 1 με την x-2z=10 8 19 δίνουν τιμές x και z και, τελικά, από την w-3x=12 προκύπτει w=4. 3 3 Επομένως, θα είναι 8 19 8 19 y 3( )( ) ( ) 2 ( ) 2 4 2 99,967. 3 3 3 3
19. Να επιλυθούν, με τη χρησιμοποίηση των διαφορικών των αντικειμενικών συναρτήσεων και των συναρτήσεων περιορισμού, οι ασκήσεις 38, 40, 41, 42, 43, 44 και 45 του τέταρτου κεφαλαίου. Λύση Άσκηση 38 q 2 L2 7, 5 K 2 4 L 18 K 6 KL
(10 L 2 K 51)
Η αναγκαία συνθήκη είναι dq 4 LdL 15 KdK 4 dL 18dK 6 KdL 6 LdK
= ( 4 L 4 6 K ) dL ( 15 K 18 6 L )dK 0,
υποκείμενη στον περιορισμό της
10 dL 2 dK 0. Έτσι, θα είναι
4 L 4 6 K 15 K 18 6 L 34 L 81K 86. Η εξίσωση αυτη μαζί με την 10 2 εξίσωση 10L+2K=51, έχουν λύσεις τις L 4, 5 και K 3 μονάδες. Με τις ποσότητες
αυτές των συντελεστών παραγωγής επιτυγχάνεται μέγιστο προϊόν q 2 4, 52 7, 5 32 4 4, 5 18 3 6 3 4, 5 45 μονάδες. Άσκηση 40 C 2L 7K
( L2 3 K 2 30 LK 702).
Η αναγκαία συνθήκη είναι dC 2 dL 7 dK 0 υποκείμενη στον περιορισμό της
2 LdL 6 KdK 30 LdK 30 KdL = ( 2 L 30 K ) dL ( 6 K 30 L ) dK 0. Έτσι, θα είναι 2 7 Θέτοντας την τιμή αυτή στην L 3K . 2 L 30 K 6 K 30 L L2 3K 2 30 LK 702 βρίσκουμε Κ=3 και, στη συνέχεια, L=9. Στις ποσότητες αυτές των συντελεστών παραγωγής το κόστος είναι ελάχιστο και ίσο με C 2 9 7 3 39 χρηματικές μονάδες. Άσκηση 41 C 300 L 600 La
(50 L0,6 La 0,8 500).
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[191]
Η αναγκαία συνθήκη είναι dC 300 dL 600 dLa 0 υποκείμενη στον περιορισμό της 30 L0,4 La 0,8 dL 40 L0,6 La 0,2 dLa 0. Έτσι, θα είναι 300 600 L 1,5 La. Αντικαθιστώντας την τιμή αυτή στην 0,8 0,6 30 L 0, 4 La 40 L La 0,2
εξίσωση 50 L0,6 La 0,8 500 βρίσκουμε La=4,35 και, στη συνέχεια, L=6,53 μονάδες. Οι ποσότητες αυτές των συντελεστών, όπως έχουμε δει, επαληθεύουν τη σχέση pL MPL . pLa MPLa Άσκηση 42 q22 ). 3 Η αναγκαία συνθήκη είναι dR 10 dq1 80 dq2 0 υποκείμενη στον περιορισμό της 2 dq1 q2 dq2 0. Έτσι, θα είναι 3 10 80 q2 q2 12 και, στη συνέχεια, από την q1 100 2 προκύπτει τιμή 2 1 3 3q2 R 10q1 80q2
( q1 100
q1=52 μονάδες. Στις ποσότητες αυτές παραγωγής των προϊόντων τα έσοδα της επιχείρησης γίνονται μέγιατς και ίσα με R=1480 χρηματικές μονάδες. Άσκηση 43 U 2 x1 3 x12 x2 4 x22 500
(4 x1 p x2 x2 100).
Η αναγκαία συνθήκη είναι dU 2 dx1 6 x1dx1 dx2 8 x2 dx2 = (2 6 x1 ) dx1 (1 8 x2 ) dx2 0. Έτσι, θα είναι p x 16 x2 2 2 6 x1 1 8 x2 x1 2 . Αντικαθιστώντας την τιμή αυτή της x1 στην 4 p x2 3 p x2 4 x1 p x2 x2 100 , βρίσκουμε τελικά x2
296 p x2 8 64 3 p x22
.
[192]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
Άσκηση 44 U 3Y 0,5 L0,5
(Y 2 L 48).
L Y Η αναγκαία συνθήκη είναι dU 1,5( ) 0,5 dY 1,5( ) 0,5 dL 0, υποκείμενη στον Y L περιορισμό dY+2dL=0. Έτσι, θα είναι 1,5( L )0,5 1,5(Y )0,5 Y L Y 2 L. Αντικαθιστώντας την τιμή αυτή στην Y+2L=48, 1 2 βρίσκουμε L=12 και, στη συνέχεια, Υ=24, έτσι που η μέγιστη χρησιμότητα είναι U=50,9 μονάδες.
Άσκηση 45 U
2 1 ln x1 ln x2 3 3
(2 x1 5 x2 81).
Η αναγκαία συνθήκη είναι dU
2 1 1 1 dx1 dx2 0, υποκείμενη στον περιορισμό 3 x1 3 x2
2 1 x1 x2 x1 5 x2 η οποία όταν αντικατασταθεί 2 dx1 5dx2 0. Έτσι, θα είναι 3 3 2 5 στην 2 x1 5 x2 81 δίνει x2 5, 4 και στη συνέχεια x1 27 , στις οποίες ποσότητες ο καταναλωτής μεγιστοποιεί τη χρησιμότητά του. Επειδή δε p x 2 και p x 5 1
χρηματικές μονάδες, θα ισχύει p x x1 2 p x x2 . Πράγματι, 2 27 2 5 5, 4. 1
2
2
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[193]
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΚΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ 1. Να παραγωγιθούν οι ακόλουθες συναρτήσεις και να εκφραστούν τα αντίστοιχα αόριστα ολοκληρώματα: (5 x 3) 4 2 3 ax b 7 α) y=25cx -10, β) y x 4 , γ) y , δ) y , 3 28 cx d 3 1 ε) y=ln(x+1), στ) y ln(8 x 7) 2 , ζ) y ln( x 6 a) c , 8 6 5 x 1 x η) y 2 e 8 , θ) y 2 20 , ι) y a 2bx cx 2 , 1 1 ια) y , ιβ) y ( x 2 3 x 3)e x . 2 2 1 x 1 x Λύση dy 175cx 6 . Επομένως, y 175cx6 dx dx dy x2 x2 β) . Επομένως, y dx dx x3 4 x3 4 dy 5 5 γ) (5 x 3)3 . Επομένως, y (5 x 3)3 dx dx 7 7 d bc dy d bc δ) . Επομένως, y dx 2 dx (cx d ) (cx d ) 2
α)
dx dy 1 . Επομένως, y dx x 1 x 1 3 dy 3 στ) . Επομένως, y dx dx 8 x 7 8x 7 dy x5 x5 ζ) 6 . Επομένως, y 6 dx x a x a dy η) 10e5 x 1. Επομένως, y 10 e5 x1dx dx dy θ) 2 20 x ln 20 6 20 x. Επομένως, y 6 20 x dx dx dy ι) 2b 2cx. Επομένως, y 2 (b cx) dx dx dy 4 x(1 x 4 ) x(1 x 4 ) ια) . Επομένως, y 4 (1 x 4 )2 dx dx (1 x 4 ) 2 dy ιβ) x( x 1)e x . Επομένως, y x( x 1)e x dx. dx
ε)
2. Να υπολογιστούν τα ακόλουθα αόριστα ολοκληρώματα:
[194]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
α) 12 x 3 dx , β)
1 x dx , γ)
4x
dx 3 dx , δ) , 7 2x 1
2
3x dx , στ) e 3 x dx , ζ) (a b) x dx , η) 10 x 5 ln xdx , 1 9 x 4 2x3 3 8 6 4 2 θ) (9 x 7 x 5 x 3 x 1) dx , ι) dx , 3x 2 2 1 1 1 ια) ( 4 3 2 ) dx , ιβ) xe x dx , ιγ) x 2 e x dx . x x x
ε)
x
2
Λύση α) β)
3
4
12 x dx 3x c 2 1 x dx 3 (1 x)
3
c
3 3 dx ln(4 x 2 7) c 7 8x dx δ) 2x 1 c 2x 1 3x 3 ε) 2 dx ln( x 2 1) c x 1 2 1 στ) e3 x dx e3 x c 3 ( a b) x x ζ) (a b) dx c ln(a b) 1 η) 10 x5 ln x dx 2 x5 (ln x ) c 5 8 6 4 2 θ) (9 x 7 x 5 x 3 x 1) dx x9 x 7 x 5 x 3 x c
γ)
4x
2
9 x 4 2 x3 3 1 x2 3 dx x c 3x 2 x 3 1 1 1 1 1 1 ια) ( 4 3 2 ) dx ( 3 2 ) c x x x 3x 2x x 2 2 1 ιβ) xe x dx e x c 2 2 x ιγ) x e dx ( x 2 2 x 2)e x c
ι)
3. Εάν το οριακό προϊόν γεωργικής επιχείρησης δίνεται από τη συνάρτηση MP z 2 20 z 75 (όπου z=ποσότητα του χρησιμοποιούμενου για την παραγωγή συντελεστή), να εκφραστεί η συνάρτηση του ολικού προϊόντος της επιχείρησης. Λύση z (15 z ) 2 q ( z 20 z 75)dz c. 3 2
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[195]
4. Η οριακή σχέση μετασχηματισμού δύο προϊόντων παραγομένων από επιχείρηση 5y δίνεται από τη συνάρτηση MRTy1 y2 2 (όπου y1, y2 είναι οι ποσότητες των 4 y1 προϊόντων). Να εκφραστεί η συνάρτηση δυνατοτήτων παραγωγής των προϊόντων, όταν για y2=0, τo y1=200. Λύση MRT y1
y2
dy1 5 y 2 5 y1dy1 y 2 dy2 dy2 4 y1 4
και, τελικά, y12
y1dy1
y2 5 y22 5 y 2 dy2 1 2 4 2 4
5 y22 40000. 4
5. Εάν η οριακή σχέση τεχνικής υποκατάστασης των συντελεστών παραγωγής 80 εργασίας και κεφαλαίου δίνεται από τη συνάρτηση MRTS L (όπου ( 1)3 L=μονάδες εργασίας και Κ=μονάδες κεφαλαίου), να εκφραστεί η συνάρτηση ισοπαραγωγής. Λύση L
80 40 dK c. 3 ( K 1) ( K 1) 2
6. Πόσο είναι το ολικό κόστος παραγωγής 50 μονάδων προϊόντος επιχείρησης αν το σταθερό κόστος είναι 20 χρηματικές μονάδες και το οριακό κόστος εκφράζεται 50 από τη συνάρτηση MC (όπου q=ποσότητα παραγόμενου προϊόντος). 10q 4 Λύση C
1 1 50 dq c 10(10q 4) 2 20 10(10 50 4) 2 20 244,5 χρηματικές 10q 4
μονάδες. 7. Επιχείρηση έχει συνάρτηση οριακών εσόδων MR
100 20 (όπου q=μονάδες ( q 5) 2
πωλούμενου προϊόντος). Ποια είναι η συνάρτηση ζήτησης του προϊόντος της επιχείρησης;
[196]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
Λύση 100 100 100 20q και, R 20 dq 20 q. Αλλά R=pq, έτσι pq 2 ( q 5) ( q 5) ( q 5) 100 τελικά, p 20. q (q 5)
8. Η συνάρτηση οριακής χρησιμότητας καταναλωτή από την κατανάλωση ενός 10 αγαθού είναι η MU 3 (όπου x=μονάδες του αγαθού). Ποια είναι η συνάρτηση 3 x ολικής χρησιμότητας του καταναλωτή; Λύση U
2 10 3 dx 5 x . 3 3 x
b d 9. Δείξτε ότι f ( x ) dx f ( x ) . dx x
Λύση b d x d f ( x ) dx f ( x ) dx df ( x ) f ( x ). dx x dx b
10. Να υπολογιστούν τα εμβαδά των περιοχών υπό τις αντίστοιχες καμπύλες των συναρτήσεων και του άξονα 0x, μεταξύ των δεδομένων τιμών της x: α) ως αλγεβρικό άθροισμα επιφανειών και β) ως πραγματικό (όπου είναι δυνατόν): α) y=x-5 μεταξύ των x=1 και x=4 β) y=2x-1 μεταξύ των x= -2 και x=5 3 x γ) y= μεταξύ των x= -2 και x=4 3 x3 1 δ) y μεταξύ των x= -2 και x= -0,2 x2 ε) y 9 x 2 5 x 2 μεταξύ των x=2 και x=7 στ) y (3 x 1)e x μεταξύ των x=0 και x=3 ζ) y x 3 x 2 μεταξύ x= -2 και x=2 η) y 3 x 2 θ) y 6x 5
μεταξύ των x=4 και x=9 μεταξύ των x= -5 και x=3.
Δείξτε τις περιοχές αυτές σχηματικά.
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[197]
Λύση 4
α) ( x 5) dx ( 1
x2 42 12 5 x )14 ( 5 4) ( 5 1) 7, 5 είναι το εμβα2 2 2
δόν της γραμμοσκιασμένης επιφάνειας ΑΒΓΔ μεταξύ της καμπύλης της συνάρτησης y=x-5 και κάτω από τον άξονα x και στο διάστημα x=1 και x=4 (σχήμα (α)). β)
5
(2 x 1)dx ( x
2
x ) 52 (5 2 5) ( 2) 2 ( 2) 14 είναι το αλ-
2
γεβρικό άθροισμα (ΓΔΕ-ΑΒΓ) των εμβαδών των γραμμοσκιασμένων επιφανειών ΓΔΕ και ΑΒΓ μεταξύ της καμπύλης της συνάρτησης y=2x-1 και του άξονα x και στο διάστημα x= -2 kai χ=5 (σχήμα (β)). Αντιθέτως, το πραγματικό άθροισμα των εμβαδών των επιφανειών 5
αυτών είναι ( ) ( AB ) (2 x 1) dx 2
=
0,5
5
(2 x 1)dx (2 x 1)dx ( x
2
2
2 x x) 0,5 2 ( x x ) 0,5
0,5
= (0,5) 0,5 ( 2) 2 ( 2) ( 5) 2 5 (0,5) 2 0,5 = (6, 25) (20, 25). Αγνοώντας το αρνητικό πρόσημο του εμβαδού
2
ΑΒΓ, το συνολικό πραγματικό εμβαδόν είναι 26,5 4 x3 x4 4 4 ( 2) 4 γ) dx ( ) 42 ( ) 20 είναι το αλγεβρικό άθροισμα 3 14 12 12 2 (ΟΔΕ-ΑΒΟ) των γραμμοσκιασμένων επιφανειών ΟΔΕ και ΑΒΟ μεx3 ταξύ της καμπύλης της συνάρτησης y και του άξονα x και στο 3 διάστημα x= -2 και x=4 (σχήμα (γ)). Αντιθέτως, το πραγματικό άθροισμα των εμβαδών των επιφανειών αυτών είναι 0 4 3 4 x3 x x 4 0 x4 4 x3 dx dx ( ) 2 ( ) 0 ( ) ( ) dx 3 3 12 12 3 2 0 2 04 ( 2) 4 4 4 04 = ( ) ( ) ( ) ( 1, 3333) (21, 3333). Αγνοώ 12 12 12 12 ντας το αρνητικό πρόσημο του εμβαδού ΑΒΟ, το συνολικό πραγματικό εμβαδόν είναι 22,6667. 0,2 3 x 1 x 3 2 0,2 ( 0, 2) 3 2 ( 2)3 2 δ) dx ( ) 2 2( 2) 6, 48 είναι 2 x 2 x 2 ( 0, 2) 2
το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης επιφάνειας ΑΒΓΔ μεταξή της καx3 1 μπύλης της συνάρτησης y 2 και κάτω από τον άξονα x και στο x διάστημα x= -2 και x= -0,2 (σχήμα (δ)).
[198]
ε)
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
7
(9 x
2
5 x 2) dx (3 x 3 2, 5 x 2 2 x ) 72 (3 7 3 2, 5 7 2 2 7)
2
- (3 23 2, 5 2 2 2 2) 882, 5 είναι το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης επιφάνειας ΑΒΓΔ μεταξύ της καμπύλης y 9 x 2 5 x 2 και πάνω από τον άξονα x και στο διάστημα x=2 και x=7 (σχήμα (ε)). 3
στ) (3x 1)e x dx (3 x 2)e x (3 3 2) e3 (3 0 2)e 0 0 3
0
=142,6 είναι το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης επιφάνειας ΑΒΓΟ μεταξύ της καμπύλης της συνάρτησης y (3 x 1)e x και πάνω από τον άξονα x και στο διάστημα x=0 και x=3 σχήμα (στ)). 2
2
3x4 4 x3 3 2 4 4 23 ζ) ( x x ) dx ( ) ( ) 12 12 2 2 3( 2) 4 4( 2) 3 - -5,333 είναι το αλγεβρικό άθροισμα (ΑΒΟ+ 12 3
2
+ΟΓΔ-ΔΕΖ) των εμβαδών των γραμμοσκιασμένων επιφανειών ΑΒΟ, ΟΓΔ και ΔΕΖ μεταξύ της καμπύλης της συνάρτησης y x 3 x 2 και του άξονα x και στο διάστημα x= -2 και x=2 (σχήμα (ζ)). Αντιθέτως, το πραγματικό άθροισμα των εμβαδών των επιφανειών αυτών είναι (ΑΒΟ)+(ΟΓΔ)+(ΔΕΖ)=
2
0
2 4
2
+
3 2 ( x x )dx ( 1
1
3 2 3 2 3 2 ( x x )dx ( x x )dx ( x x )dx 2
3
4
0
3
4
3x 4 x 0 3x 4 x 1 3 x 4 x3 2 ) 2 ( )0 ( )1 12 12 12
3 0 4 4 03 3 ( 2) 4 4( 2)3 = ( )( 12 12 4 3 4 3 3 1 4 1 3 0 4 0 3 2 4 4 23 3 14 4 13 + ( )( ) ( )( ) 12 12 12 12
= (6, 667) (0, 0833) (1, 4167). Αγνοώντας τα αρνητικά πρόσημα των εμβαδών ΑΒΟ και ΟΓΔ, το συνολικό πραγματικό εμβαδόν είναι 8,167. η)
9
3
x 2 dx (
4
3 3 x5 9 3 3 95 3 3 45 )4 ( )( ) 17, 317 είναι το εμβαδόν 5 5 5
της γραμμοσκιασμένης επιφάνειας ΑΒΓΔ μεταξύ της καμπύλης της συνάρτησης y 3 x 2 και πάνω από τον άξονα x και στο διάστημα x=4 και x=9 σχήμα (η)). θ)
3 5
6 3 5
6 x dx ( x )
(36 ) ( 5) 6 14896 είναι το αλγεβρικό άθροι-
5
σμα (ΑΒΟ-ΟΔΕ) των εμβαδών των γραμμοσκιασμένων επιφανειών ΑΒΟ και ΟΔΕ μεταξύ της καμπήλης της συνάρτησης y 6 x 5 και του
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[199]
άξονα x και στο διάστημα x= -5 και x=3 (σχήμα (θ)). Αντιθέτως, το πραγματικό άθροισμα των εμβαδών των επιφανειών αυτών είναι 3
0
3
5
0
(ΑΒΟ)+(OΔΕ)= 6 x5 dx 6 x 5 dx 6 x5 dx ( x 6 ) 05 ( x 6 )30 5
0 ( 5) (3 0 ) = ( 15625) (729). Αγνοώντας το αρνητικό πρόσημο του εμβαδού ΑΒΟ, το συνολικό πραγματικό εμβαδόν είναι 16354. 6
6
6
6
[200]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
11. Δείξτε ότι: 1
1 α) x dx , β) 4 0 3
δ)
0,5 5 3x dx 0
4
xdx
1
1 , ε) 128
e 1
0
4 14 , γ) (3x 2 2)dx 60 , 3 2
dx 1. x 1
Λύση α)
1 3 x dx ( 0
β) γ)
4
1 4
x4 1 14 04 1 )0 ( ) ( ) 4 4 4 4
2 x3 4 2 43 2 13 14 xdx ( )1 ( )( ) 3 3 3 3
2 (3 x 2)dx 3( 2
x3 4 43 23 ) 2 2( x ) 42 3( ) 2(4 2) 60 3 3 3
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
δ) ε)
0,5 5 3 x dx 3(
0 e 1
0
[201]
x 6 0,5 0, 56 0 6 1 ) 0 3( ) 6 6 6 128
dx e 1 ln( x 1) 0 ln(e 1 1) ln(0 1) ln e 1. x 1
12. Να υπολογιστεί το εμβαδόν επιφάνειας υπό την ευθεία γραμμή y=x+2 και του άξονα 0x, μεταξύ των τιμών x=1 και x=5. Δείξτε αυτό σχηματικά και συγκρίνετέ το με το εμβαδόν που υπολογίζεται γεωμετρικά από το τραπέζιο του σχήματος. Λύση 5
( x 2)dx ( 1
x 2 4 x 5 52 4 5 12 4 1 )1 ( )( ) 20 2 2 2
είναι
το
εμβαδόν
της
γραμμοσκιασμένης επιφάνειας ΑΒΓΔ μεταξύ της γραμμής της συνάρτησης y x 2 και του άξονα x και μεταξύ των τιμών x=1 και x=5. Από το σχηματισμένο τραπέζιο του σχήματος και με βάση τη συνάρτηση y x 2 7 3 διαπιστώνεται ότι ΑΔ=3, ΒΓ=7 και ΓΔ=4. Επομένως, E 4 20, όπως 2 προηγουμένως.
z2 z (3 ) (όπου 25 12 z=ποσότητα του χρησιμοποιούμενου για την παραγωγή συντελεστή). Ποια είναι η επιπλέον παραγόμενη ποσότητα του προϊόντος, όταν η ποσότητα του συντελεστή μετακινηθεί από 4 σε 10 μονάδες; Δείξτε αυτή ως εμβαδόν επιφάνειας ορθογωνίων υπό την καμπύλη του μέσου προϊόντος και ως εμβαδόν επιφάνειας υπό την καμπύλη του οριακού προϊόντος. 13. Επιχείρηση έχει συνάρτηση οριακού προϊόντος
MP
[202]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
Λύση 10
z2 z z3 z 4 10 103 10 4 43 44 q (3 dz ( )4 ( )( ) 25 12) 25 1200 25 1200 25 1200 4
=29,33 είναι η επί πλέον παραγόμενη ποσότητα του προϊόντος, όταν η ποσότητα του z2 z3 συντελεστή z μετακινηθεί από 4 σε 10 μονάδες. Πράγματι, εφόσον AP , 25 1200 θα είναι q ( AP z1 ) ( AP z2 ) =(
z12 z3 z2 z3 10 2 103 42 43 1 ) z1 ( 2 2 ) z 2 ( ) 10 ( ) 4 29,33. 25 1200 25 1200 25 1200 25 1200
Σχηματικά, η ποσότητα των 29,33 μονάδων τουπροϊόντος ςμφανίζεται ως εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης επιφάνειας ΒΓΕΛ, μεταξύ της καμπύλης του οριακού z2 z προϊόντος MP (3 ) και του άξονα x και στο διάστημα x=4 και x=10, η οποία 25 12 αντιστοιχεί στη διαφορά του εμβαδού του ορθογωνίου ΟΗΚΛ από το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΔΕΟ.
14. Επιχείρηση έχει συνάρτηση ολικού κόστους παραγωγής προϊόντος την q 2 (q 10) C 1 (όπου q=μονάδες παραγόμενου προϊόντος). Δείξτε σχηματικά, 50(q 30) υπό τις καμπύλες μέσου και οριακού κόστους, τις επιφάνειες πού αντιστοιχούν σε ολικό κόστος παραγωγής 10 μονάδων του προϊόντος.
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[203]
Λύση q 2 (q 10) 100(q 3 50q 2 300q) Εφόσον C 1, θα είναι MC και 50( q 30) (50q 1500) 2 q( q 10) 1 AC . Επομένως, σε παραγωγή 10 μονάδων του προϊόντος θα είναι 50( q 30) q C=2, AC=0,2. Σχηματικά, το κόστος C=2 αντιστοιχεί με το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΓΟ, ενώ το ολικό μεταβλητό κόστος VC= 1 αντιστοιχεί με το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης επιφάνειας ΟΔΒΓ, μεταξύ της καμπύλης του οριακού κόστους και του άξονα q.
15. Επιχείρηση έχει συνάρτηση οριακών εσόδων MR
66 15q (όπου q=μονάδες 66 10q
πωλούμενου προϊόντος). Δείξτε σχηματικά, υπό τις καμπύλες μέσων και οριακών εσόδων, τις επιφάνειες που αντιστοιχούν στα έσοδα της επιχείρησης από την πώληση 3 μονάδων του προϊόντος. Λύση Εφόσον MR 3
R 0
66 15q θα είναι 66 10q
66 15q dq (q 66 10q )30 (3 66 10 3) 18 χρηματικές μονάδες, που 66 10q
αντιστοιχεί στο εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης επιφάνειας ΟΔΖΓ υπό την καμπύλη των οριακών εσόδων ή στο εμβαδόν του ορθογωνίου ΟΑΒΓ, υπό την καμπύλη των μέσων εσόδων.
[204]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
16. Τα έσοδα πού πραγματοποιεί επιχείρηση από τη χρησιμοποίηση αγορασθέντος μηχανήματος, είναι σταθερά ετησίως και ίσα με 2000 χρηματικές μονάδες, επί 20 έτη. Αν το επιτόκιο κεφαλαιοποίησης είναι 9% ετησίως, ποια είναι η αξία αγοράς του μηχανήματος και ποια θα είναι η αξία αγοράς αυτού αν η ροή των εσόδων συνεχίζεται η ίδια επί άπειρο αριθμό ετών; Λύση Η αξία V αγοράς του μηχανήματος, με έσοδα σταθερά α επί Τ έτη και επιτόκιο a κεφαλαιοποίησης i προκύπτει από τη σχέση V (1 e iT ). Έτσι, για τα δεδομένα i της άσκησης έχουμε 2000 V (1 2, 718280,0920 ) 22222, 222 (1 0,16530) 18549 χρηματικές 0, 09 μονάδες. Εάν η ροή των εσόδων είναι η ίδια επί άπειρο (θεωρητικά) αριθμό ετών, η παραπάνω σχέση γίνεται a a a V (1 e ) (1 0) . Έτσι, για τα δεδομένα της άσκησης θα έχουμε i i i 2000 V 22222 χρηματικές μονάδες. 0, 09 17. Επιχείρηση επενδύει κεφάλαιο 6.000 χρηματικών μονάδων στην αγορά ενός ακινήτου. Ποια θα είναι η αξία του ακινήτου σε 10 έτη, αν το επενδυόμενο κεφάλαιο ανατοκίζεται με 6% ετησίως;
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[205]
Λύση Η αξία του ακινήτου σε Τ έτη αρχικής αγοράς α και με επιτόκιο ανατοκισμού i a (1 i )T 1 . Έτσι, για τα δεδομένα ετησίως, αποδίδεται από τη σχέση I ln(1 i) της άσκησης έχουμε 6000 (1 0, 06)10 1 81434 χρηματικές μονάδες. I ln(1 0, 06) 18. Να υπολογιστεί η συνολική αξία απόσβεσης μηχανήματος σε 9 έτη, εάν ο ρυθμός φθοράς του εκφράζεται από τη συνάρτηση y t 3 e
t
(όπου t= έτη λειτουργίας του
μηχανήματος). Λύση Η συνολική αξία απόσβεσης του μηχανήματος σε 9 χρόνια, όταν ο ρυθμός φθοράς του εκφράζεται από τη συνάρτηση y t 3e t , αποδίδεται με το ορισμένο ολοκλήρωμα 9
t e dt. Για την επίλυσή του, θέτουμε καταρχήν, 3 t
t w , έτσι που θα είναι t 3 w6
0
dt dw 2 t dt 2 wdw. Συνεπώς, έχουμε t 3e t dt w 6 e w 2 wdw 2 w 7 e w dw.
και d t dw
Αλλά, w7 e w dw w7 e w 7 w6 e w dw w7 e w 7( w6 e w 6 w6 e w dw) = w7 e w 7 w6 e w 6( w5 e w w4 e w dw) w7 e w -7 w 6 e w 6 w 5 e w 5 w 4 e w w 3 e w dw
= w 7 e w 7 w 6 e w 6 w 5 e w 5 w 4 e w 4( w 3e w w 2 e w dw )
5 w 6 w w e = w e 7 w e 6 4 w 3 3 2 w w w 5 w e 4 w e 3w e 2(we e ) 7 w 6 w 5 w 4 w 3 w = w e 7 w e 7 6 w e 7 6 5w e 7 6 5 4 w e - 7 6 5 4 3 w2 e w 7 6 5 4 3 2 we w 7 6 5 4 3 2 e w και, τελικά, 2 w7 e w dw 2w7 e w 14w6 e w 84 w5e w 420 w4 e w 1680w3e w 7 w
- 504 w 2 e w 10080 we w 10080e w e w (2 w7 14 w 6 84 w5 420 w 4 + 168w3 504 w 2 10080 w 10080). Συνεπώς, 2( t ) 14( t ) 6 84( t )5 420( t ) 4 t e dt e 3 2 1680( t ) 5040( t ) 10080( t ) 10080 3
t
t
και, τελικά, η αξία της συνολικής απόσβεσης θα είναι
[206]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
D 2, 71828 9 (2 2187 14 729 84 243 420 81 1680 27
- 5040 9 10080 3 10080) 2, 71828 0 ( 10080) = 20, 0858 720 10080 14462 10080 24542 χρηματικές μονάδες.
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[207]
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΒΔΟΜΟ ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ 1. Να υπολογιστούν οι τιμές των ακόλουθων οριζουσών: 7 3 4 1 0 2 1 0 3 6 1 α) , β) 6 1 2 , γ) 0 3 6 , δ) 0 2 1 3 2 3 4 5 4 5 1 0 0 7 12 36 ε) 50 14
3 2 1 4
2 6 8 2
8 3 0 0 1 1 0 6 2 2 0 1 2 1 , στ) , ζ) 3 0 0 2 1 3 2 8 1 0 0 1 1 1
1 2 1 2
1 1 . 2 1
Λύση α)
6 1 = 6 ( 2) 3( 1) 12 3 9 3 2 7
3 4
β) 6 1 2 = 3 4 5 = 7( 1)( 5) 3 2 3 6( 4)( 4) ( 4)( 1) 3 7 2( 4) = 3 6( 5) 35 18 96 12 56 90 283 1 0 2
γ)
0 3 6 = 4 5
1
1 0
3
3 6 0 2 5 1 4
3 (3 30) 2(0 12) 51 5
2 1 δ) 0 2 1 14 0 7 0 0 7
12 36 ε) 50 14 0 1 50 = 3 50 14
3 2 1 4
2 6 8 2 7 6 1 4
8 6 3 8 0 8 8 2
=
36
9
6 24
0
7
0 18
1 36 3 50 14 18
2 1 4 0
6 8 2 7
6 1 36 3 3 50 8 14 0 18
2 1 4
6 8 2
14 1 0 3 3 50 8 14
5 1 4
0 11 8 3 2 8
6 3 8
[208]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
0 0 11 0 5 0 1 = 7 50 8 3 18 50 1 8 3 14 4 2 14 2 8 1 = 7 11(100 112) 18 5(100 112) 3 1 1 = 7( 132) 18 60 ( 156) 52. 3 3
3 2 στ) 0 1
0 0 1 2 0 1 = 0 2 1 0 0 1
2
0
4
0
2 0 1
2 0 0 2 0 0
0
2 = 4 0 2 1 42 0 0 0 1
1 2 ζ) 3 1
0 1 2 1
0
0
4
1 3 1 0 1 1
0
0
2 0 0 2 0 0
0 0 1 1
1 4 2 2 16 1
1 2 1 2
1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 0 2 1 = 3 1 2 2 3 0 1 2 1 2 1 1 1 0 2 1 1 2 3 2 3 1 = 2 2 2(1 4) 2(3 2) (6 1) 2 1 1 1 1 2 = 6 2 5 3
2. Τρέψτε σε γινόμενο παραγόντων τις ακόλουθες ορίζουσες: 1 1 1 1 a bc a a bc α) a b c , β) 1 b ca , γ) a c b b , 2 2 2 a b c 1 c ab c a b c a
b
δ) a 2 a3
b2 b3
x x c 2 , ε) x c3 x c
a b x d x x x x
c e f x
Λύση 1
1
1
α) a a2
b
b c 2 b c2
-a
1 b
b
2
1 2
c
2
2
1 1 b c
c c2
a
bc
1
1
b2
c2
1 1 b c
a2
a (c b )
1 1 b c 1 1 b c
bc
a2
1 1 b c 1 1 b c
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[209]
= bc a (c b) a 2 =
1 1 1 1 (b a )(c a ) b c b c
1 1 1 1 1 1 . a b a c b c
1 a bc
b β) 1 b ca = c 1 c ab =
b c c
a2
b
= a (b c )
1 1
1
ca 1 a ab 1 c
bc
1 b c 1 a2 b 1
= a(b c ) a 2 bc =
1 1
b
1
ca 1 bc ab 1 a
1 c c 1 bc b 1
b c c b c b
a2
b c 1
c
1
b
c 1 (b a)(a c ) b 1
bc
1
c
1
b
c b
1 1 1 1 1 1 . a b c a c b
a
a
bc
γ) a c b c a b +c
a b
b b =a ab c
bc 1 ab b b
b c
1 c
(a c)
(a c)
1
a ab
ab a b
bc 1 1 ab (a c ) 1 ab c a bc bc 1 1 = ab (c a b) ( a c )( a b c ) bc ( a b c ) bc
bc c abc abc abc 0
= b a (c a b) ( a c )( a b c ) c ( a b c ) b ( ac a 2 ab a 2 ab ac ac bc c 2 ac bc c 2 ) 4abc.
a
b
δ) a a3
b
2
b
3
2
c c2 = a c
3
b2
c2
3
3
b
c
a2
b
c
3
3
b
c
a3
b
c
2
c2
b
= a (b 2 c 3 b 3c 2 ) a 2 (bc 3 b 3 c ) 3 (bc 2 b 2 c ) ab 2 c 2 (c b ) a 2 bc(b c )(c b ) a 3bc(c b ) abc (c b ) bc a (b c ) a 2
= abc (c b )(bc ab ac a 2 ) abc (c b ) c (b a ) a (b a ) = abc ( c b)(c a )(b a ) abc (a b )( a c )(c b ).
[210]
x x ε) x x xa 0 0 0
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
a b x d x x x x a x x x
= ( x a)
c e = f x b d x x
c
x ( x a) x x
e f x
xd
d
e
0 0
x x
f x
= x ( x a )( x d )
1
f
1
x
d x x
( x a )( x d )
e f x
x x
f x
x ( x a )( x d )( x f ).
3. Να επιλυθούν με τη χρησιμοποίηση οριζουσών τα ακόλουθα συστήματα εξισώσεων: x y z 2 x 2 y 3z 0 2 x 3 y 57 α) , β) x 2 y 3z 1 , γ) 3x 3 y z 5 , 4 x y 37 3x y 5 z 4 x 2 y 2z 1 x1 3x2 3x3 1 5 x 2 y 3z 36 δ) 2 x 3 y z 10 , ε) x1 3x2 4 x3 0 4 x 4 y 5 z 31 x1 4 x2 3x3 1 Λύση Εφαρμόζοντας τον κανόνα του Cramer, έχουμε: α) 57 3 x 37 1 ( 57 111) 168 x 12 2 3 (2 12) 14 4 1 2 57 4 37 (74 228) 154 y y 11 2 3 (2 12) 14 4 1
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
β) 2 1 1 1 2 3 2 3 1 3 1 2 2 4 1 5 1 5 4 5 4 1 x x 1 1 1 2 3 1 3 1 2 1 2 3 1 5 3 5 3 1 3 1 5 2( 10 3) ( 5 12) (1 8) 26 17 7 16 4 ( 10 3) ( 5 9) (1 6) 13 14 5 4 1 2 1 1 1 3 1 3 1 3 1 1 2 3 4 5 4 5 3 5 3 4 y y 1 1 1 2 3 1 3 1 2 1 2 3 1 5 3 5 3 1 3 1 5 (5 12) 2( 5 9) (4 3) 17 28 1 12 3 ( 10 3) (5 9) (1 6) 13 14 5 4 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 3 1 4 1 4 3 4 3 1 z z 1 1 1 2 3 1 3 1 2 1 2 3 1 5 3 5 3 1 3 1 5 (8 1) (4 3) 2(1 6) 7 1 10 4 1 ( 10 3) ( 5 9) (1 6) 13 14 5 4 γ) 0
2 3
5 3 1 5 1 5 3 2 3 1 2 2 1 2 1 2 x x 1 2 3 3 1 3 1 3 3 2 3 3 3 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2(10 1) 3( 10 3) 22 39 17 = 1 (6 2) 2(6 1) 3( 6 3) 4 14 27 17
[211]
[212]
1 0 3 3 5 1 1 1 2 y y 1 2 3 3 3 3 1 2 1 2 2 (10 1) 3(3 5) = (6 2) 2(6 1) 3( 6 3) 1 2 0 3 3 5 1 2 1 z z 1 2 3 3 3 3 1 2 1 2 2 (3 10) 2(3 5) = (6 2) 2(6 1) 3( 6 3)
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
5 1 3 5 3 1 2 1 1 1 3 1 3 3 2 2 1 2 1 2 11 6 17 1 και 4 14 27 17
3 2 1 2 2
5 3 5 2 1 1 1 3 1 3 3 1 2 1 2
13 4 17 1. 4 14 27 17
δ) 36 2 3 10 3 1 3 1 10 1 10 36 2 3 4 5 31 5 31 x 31 4 5 x 5 2 3 3 1 2 1 2 5 2 3 2 3 1 4 5 4 5 4 4 4 5 36( 15 4) 2(50 31) 3(40 93) 165 5 5( 15 4) 2(10 4) 3(8 12) 33 5 36 3 2 10 1 10 1 2 1 2 5 36 3 4 31 5 31 5 4 5 4 y y 5 2 3 3 1 2 1 2 5 2 3 2 3 1 4 5 4 5 4 4 4 5
3 4 3 4
10 31 3 4
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[213]
5(50 31) 36(10 4) 3(62 40) 33 1 5( 15 4) 2(10 4) 3(8 12) 33 5 2 36
2 3 10 3 10 2 10 5 2 36 4 4 31 4 31 4 31 z z 5 2 3 3 1 2 1 5 2 3 2 3 1 4 5 4 5 4 4 5 5( 93 40) 2(62 40) 36(8 12) 99 3. 5( 15 4) 2(10 4) 3(8 12) 33
ε) 1 3 3 0 3 4 3 4 0 4 0 3 3 1 4 3 4 3 1 3 1 x x1 1 1 3 3 3 4 1 4 1 3 3 1 3 4 4 3 1 3 1 1 4 3 (9 16) 3( 4) 3( 3) 4 4 (9 16) 3(3 4) 3(4 3) 1 1 1 3 1 0 4 0 4 1 4 1 3 1 1 3 1 3 1 3 1 x x2 2 1 3 3 3 4 1 4 1 3 3 1 3 4 4 3 1 3 1 1 4 3 (0 4) (3 4) 3(1 0) 0 = 0 (9 16) 3(3 4) 3(4 3) 1 1 3 1 1 3 0 3 0 1 0 1 3 4 1 1 1 1 x3 1 4 1 x3 1 3 3 3 4 1 4 1 3 3 1 3 4 4 3 1 3 1 1 4 3 (3 0) 3(1 0) (4 3) 1 1. (9 16) 3(3 4) 3(4 3) 1
3 4 3 4
0 1 3 4
3 4 3 4
2 3 4 4 2 3 4 4
[214]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
4. Δείξτε ότι οι ακόλουθες μήτρες είναι ιδιάζουσες: 5 2 1 20 5 5 3 1 2 6 3 α) , β) 6 1 4 , γ) 15 10 5 , δ) 2 3 1 , 8 4 6 3 0 5 0 1 5 4 3 5 2 1 ε) 6 1 4 . 6 3 0 Λύση α)
6 3 6 4 8 3 24 24 0 8 4
5 2 1
1 4 6 4 6 1 β) 6 1 4 5 2 5(0 12) 2(0 24) 3 0 6 0 6 3 6 3 0 + (18 6) 60 48 12 0 20 5 5 4 5 5 γ) 15 10 5 0
5 5 3 1 1
10 0
4 1 5
1 5 4 1 5 5 5 3 2 5 25 2 5 3 2 1 1 0 1
= 25( 5 5) 0
3 1 2
3 1 2
δ) 2 3 1 5 4 3 0 5 4 3 5 4 3
5 2 1
2 1 5 1 ε) 6 1 4 6 3 6(8 1) 3(20 6) 42 42 0 1 4 6 4 6 3 0 5. Δώστε το βαθμό των παρακάτω μητρών: 1 2 3 2 3 1 1 1 5 4 2 α) 0 3 4 , β) 2 3 1 2 , γ) 0 3 1 2 3 5 7 4 6 2 3 3 5 0 1 δ) 1 0 4 3 2 5 4 x
για τις διάφορες τιμές της x.
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[215]
Λύση α) Η μήτρα είναι 3ου βαθμού, αφού 1 2 3 3 4 0 4 0 3 0 3 4 2 3 5 7 3 7 3 5 3 5 7 (21 20) 2(0 12) 3(0 9) 2 0.
β) Η μήτρα είναι 2ου βαθμού, αφού η υπομήτρα 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 6 3 4 3 4 6 4 6 3 2( 3 12) ( 6 8) (12 4) 8 0.
γ) Η μήτρα είναι 2ου βαθμού, αφού, τουλάχιστον, μία υπομήτρα 1 5 , 3 0 3 0. 0 3 δ) Από τις τέσσερις υπομήτρες διαστάσεων 3Χ3 μια, η
3 5 1
0 3 1 3 1 0 1 0 3 3 5 3(0 15) 5( x 6) 5 5 x 2 x 2 5 2 5 x 45 5 x 30 5 5 x 10 , η τιμή της οποίας θα είναι διάφορη του μηδενός αν x 2 , για να είναι η αρχική μήτρα 3ου βαθμού. Εάν, όμως, είναι x= -2, τότε η η
αρχική μήτρα είναι 2ου βαθμού, σφού από τις έξη ορίζουσες 2ης τάξης μόνο μία 2 μηδενίζεται με κάποια από τις τιμές 3, , 1 και 6, 3 6. Δίνονται οι μήτρες: 3 1 1 7 8 4 0 3 5 A 2 3 4 , B 3 2 4 και C 2 1 3 1 2 0 5 6 7 2 3 4 Να υπολογιστούν τα: α) Α+Β, β) Α-C, γ) Β+C, δ) A-C, ε) C-B, στ) A+B+C, ζ) A-B-C.
[216]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
Λύση
7 8 ) 2 3 1 2
4 4 0
0 3 1 7 5 3 3 2 4 5 5 8 5 6 7 4 8 7
7 8 ) A C 2 3 1 2
4 3 5 1 4 3 4 2 1 3 0 2 0 2 3 4 3 1
3 1 3 5 1 0 ) B C 3 2 4 2 1 3 5 6 7 2 3 4 7 8 ) A C 2 3 1 2
3 5 7
3 1 4 2
0 3 7 9 11
4 3 5 1 4 3 4 2 1 3 0 2 0 2 3 4 3 1
3 1 4
1 0 3 1 3 8 2 3 5 ) C B 2 1 3 3 2 4 1 1 1 2 3 4 5 6 7 3 3 3 7 8 ) A B C 2 3 1 2
4 0 3 1 3 5 1 4 3 2 4 2 1 3 0 5 6 7 2 3 4
4 10 10 = 7 6 11 6 11 11 7 8 ) A B C 2 3 1 2
4 0 3 1 3 5 1 4 3 2 4 2 1 3 0 5 6 7 2 3 4
4 6 4 = 3 0 3 8 7 11 7. Δίνονται οι μήτρες: 0 1 2 1 3 2 1 1 2 A 3 0 1 , B 2 0 1 0 , C 2 , D 1 και 4 2 3 1 1 2 3 3 0
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[217]
1 2 0 3 E 4 2 0 2 . 1 2 3 1 Να εκτελεστούν οι πράξεις: α) Β+Ε, β) C+D, γ) A΄ , δ) Β΄ Ε, ε) Α C, στ) C΄ Β, ζ ) C΄ D και η) D C΄ .
Λύση
)
)
)
)
1 3 2 1 2 B E 2 0 1 0 4 1 1 2 3 1 1 2 1 C D 2 1 3 3 0 3 0 3 4 1 3 2 ΄ 1 0 2 2 0 1 2 1 3 1 1 2 1 2 1 2 0 3 0 1 4 2 B΄ E 2 1 2 1 2 1 0 3
0
3
1 3 2 0 2 6 2 3 1 0
1 0 3
10 3 7
3
5
2 2 1 2 3 1 4
4 11 12 5 6 7 9 11 11 9 6 0 2 3 1 5 2 6 4 0 2 6 6 0 2 3 1 1 6 6 4
0 1 2 1 8 ) AC 3 0 1 2 6 4 2 3 3 17 1 3 2 1 ) C΄ B 1 2 3 2 0 1 0 8 1 1 2 3 2 ) C΄ D 1 2 3 1 0 0 0
6
10 10
2 2 4 6 ) D C΄ 1 1 2 3 1 2 3 0 0 0 0 8. Δίνεται η μήτρα Α διαστάσεων t Χ m. Ποιες πρέπει να είναι οι διαστάσεις των μητρών V, W, X, Y και Z, ώστε να είναι δυνατοί οι πολλαπλασιασμοί: α) V A΄ A V , β) A΄ W A, γ) A X A΄ , δ) ΄ Y A Z A .
[218]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
Λύση α) V ΄ V V ( mXt ) (tXm ) V V ( mXm ) ( m m ) V = ( mXm ) ( mXm ) ( mXm ) mXm. Συνεπώς, η μήτρα V είναι διαστάσεων mXm. β) ΄ W A ( mXt ) W (tXm ) ( mXt ) (tXt ) (tXm ) mXm. Συνεπώς, η μήτρα W είναι διαστάσεων mXm. γ) A X ΄ (tXm ) X ( mXt ) (tXm ) ( mXm ) ( mXt ) tXt. Συνεπώς, η μήτρα Χ είναι διαστάσεων tXt. δ) A΄ Y A Z A ( mXt ) Y (tXm ) Z (tXm ) = ( m t ) (tXt ) (tXm ) ( mXt ) (tXm ) mXm. Συνεπώς, η μήτρα Υ είναι διαστάσεων tXt και η μήτρα Z διαστάσεων mXt. 9. Να υπολογιστούν τα γινόμενα: 2 5 1 3 5 3 2 5 4 α) , β) 3 4 , 2 4 0 4 2 2 3 0 1 2 1 γ) 1 3 2 5 , 3 0
Λύση 3 2 5 α) 4 2 2 2 1 3 5 β) 3 2 4 0 0
4 19 6 = 3 24 10
5 11 22 4 = 16 26 1 2 1 γ) 1 3 2 5 = 1 1 3 0
10. Δίνονται οι μήτρες: 2 3 3 0 3 1 1 , B και C A . 1 0 1 2 2 4 3 Να υπολογιστούν τα γινόμενα α) A B, β) B A, γ) A C , δ) B C , ε) A B C , στ) B A C , ζ) ( A B ) C , η) ( A B ) C , θ) Α2, ι) Α3, ια) Α2-Β2.
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[219]
Λύση 2 α) B 1 3 β) B A 1 2 γ) A C 1 3 δ) B C 1
3 3 0 3 6 0 1 2 3 0 0 2 3 6 9 2 1 0 0 3 3 3 1 1 12 10 7 0 2 4 3 3 1 1 0 3 1 1 9 3 3 2 2 4 3 1 9 7
1 21 3 6 3 1 ε) A B C ( A B ) C 4 3 9 3 0 2 9 3 1 1 6 στ) B A C ( B A) C 4 3 0 3 2 30 21 36 = 9 6 12
2 3 3 ζ) ( A B ) C 1 0 1 1 21 5 3 3 1 = 4 3 4 0 2 2 2 3 3 η) ( A B ) C 1 0 1
21 15 3 3
0 3 1 1 2 2 4 3 7 4 8 6
0 3 1 1 2 2 4 3 13 8 1 3 3 1 1 3 = 4 2 2 2 4 3 2 10 2 3 2 3 7 6 7 6 61 60 θ) A 2 A A 1 0 1 0 2 3 2 3 20 21 61 60 2 3 182 183 ι) A3 A 2 A 20 21 1 0 61 60 61 ια) A2 B 2 20 61 60 9 = 20 21 5
60 3 0 3 0 21 1 2 1 2 0 249 240 . 4 75 84 1 0 0 11. Δείξτε ότι η μήτρα A 2 1 0 αληθεύει τη σχέση A3 3 A2 3 A I 0 . 3 2 1
[220]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
Λύση 1 0 0 A 2 1 0 3 2 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 2 A 2 1 0 2 1 0 4 1 0 και 3 2 1 3 2 1 10 4 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 3 2 A A A 4 1 0 2 2 0 6 1 0 . Επομένως, 10 4 1 3 2 1 21 6 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 3 2 A 3A 3A I 6 1 0 3 4 1 0 3 2 1 0 21 6 1 10 4 1 3 2 1 1 0 0 1 0 0 3 0 0 3 0 0 1 0 0 - 0 1 0 6 1 0 12 3 0 6 3 0 0 1 0 0 0 1 21 6 1 30 12 3 9 6 3 0 0 1 0 0 0 =0 0 0 0 0 0 0
2 1 12. Να υπολογιστούν τα α και b, ώστε η μήτρα A να αληθεύει τη σχέση 1 2 A2 aA bI 0 . Λύση 2 1 2 1 5 4 A2 A A . Επομένως, 1 2 1 2 4 5 5 4 2 1 1 0 2 aA bI b 4 5 1 2 0 1 b 0 5 2a b 4 a 5 4 2 = . Για να είναι η μήτρα αυτή 5 2a b 4 5 2 0 b 4 a
ίση με μηδέν, πρέπει 5 2 a b 0 4 a 0 , από το οποίο σύστημα προκύπτει ότι 4 b 3. 13. Να υπολογιστεί η μήτρα των προσημασμένων ελασσόνων των μητρών:
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[221]
2 2 3 0 1 2 3 α) β) 1 1 2 , γ) , 2 1 4 0 3 1 3 Λύση
3 5 4 2 3 0 . 0 1 2 1 0 1
4 1 4 3 α) C . Επομένως, Adj ( A) C΄ 3 2 1 2 1 2 1 2 1 1 0 1 0 3 3 1 7 1 3 3 0 2 0 2 3 3 2 6 . β) C 0 1 0 3 3 1 6 4 5 3 0 2 0 2 3 1 2 1 2 1 1 Επομένως, 7 3 6 Adj ( A) C΄ 1 2 4 3 6 5 2 3 0 1 3 0 1 2 0 1 0 1 2 2 1 2 2 0 2 2 1 0 1 3 0 1 3 1 1 3 2 5 4 2 3 4 2 3 5 4 0 1 2 2 1 2 2 0 2 2 1 0 1 3 0 1 3 1 1 3 γ) C 2 5 4 2 3 4 2 3 5 4 2 3 0 1 3 0 1 2 0 1 3 0 1 3 1 1 3 1 0 1 2 5 4 2 3 4 2 3 5 4 2 3 0 1 3 0 1 2 0 1 0 1 2 2 1 2 2 0 2 2
7 25 14 17 54 12 = 11 37 21 10 26 14 7 25 Adj ( A) C΄ 14 1
1 3 . Επομένως, 4 3 17 11 10 54 37 26 . 12 21 14 3 4 3
2 0 1 3 0 1 3 2 1 3 2 0
3 1 0 5 1 0 5 3 0 5 3 1
[222]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
14. Να υπολογιστούν οι αντίστροφες μήτρες των: 2 9 6 20 5 5 6 4 α) , β) 1 7 1 , γ) 15 10 5 , 3 1 3 8 8 5 0 1 1 1 2 3 0 δ) 1 3 4 , ε) 0 1 4 3 1
0 1 0 0
0 0 0 1
1 0 . 1 0
Λύση 6 4 α) A . 3 1 6 4 1 3 6 12 6 0 και C . Συνεπώς, 3 1 4 6 1 4 1 2 Adj ( A) 3 6 6 3 1 A . A 6 1 1 2 1 2 6 4 6 3 1 0 1 Πράγματι, A A . 3 1 1 1 0 1 2 2 9 6 β) A 1 7 1 3 8 8
6
2
9
7 1 1 1 1 7 1 7 1 6 2 9 181 0 και 8 8 3 8 3 8 3 8 8 7 8 2 C 8 2 7
1 8 9 8 9 1
1
1
3 8 6
9
3 8
6 9 1 1
1 7 3 8 6 2 3 8 6 2 1 7
5 13 48 88 21 54 . 65 3 44
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[223]
Επομένως, 88 65 48 48 88 65 5 21 3 181 181 181 Adj ( A) 13 54 44 5 21 3 1 A . 181 A 181 181 181 13 54 44 181 181 181 88 65 48 181 181 181 6 2 9 21 3 5 1 Πράγματι, A A 1 7 1 = 181 181 3 8 8 181 13 54 44 181 181 181 1 0 0 = 0 1 0 . 0 0 1
20 5 5 γ) A 15 10 5 . 5 0 1 20 5 5 A 15 10 5 0 , συνεπώς δεν υπάρχει αντίστροφη μήτρα της μήτρας Α. 5 0 1 1 2 3 δ) A 1 3 4 1 4 3 1 2 3 3 4 1 4 1 3 1 3 4 2 3 2 0 4 3 1 3 1 4 1 4 3 3 4 2 C 4 2 3
4 3
1 4 1 3
3
1 3
3
1 3
3 4
1 3 1 4
1 3 1 4 1 1 7 1 2 6 0 2 . Επομένως, 1 4 1 1 1 1 2 1 3
[224]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
6 1 7 7 1 3 1 0 1 2 2 Adj ( A) 1 2 1 1 1 1 A 0 . Πράγματι, 2 A 2 2 1 1 1 2 2 1 7 2 3 2 1 0 0 1 2 3 1 1 1 A A 1 3 4 0 0 1 0 . 2 2 1 4 3 0 0 1 1 1 1 2 2 1 0 0 1 0 1 0 0 ) 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0
1 0 0 0 0 0 C 0 1 0 0 1 0
0 0
0 0 0
0 1 0
0 1
0 0 1
0 0 1
1 0
1 1 0
1 0 0
0 1
1 0 1
1 0 1
0 1
0 0 1
0 0 1
1 0
1 1 0
1 0 0
0 1
1 0 1
1 0 1
0 0 1 0
0 0 0 1 1 0
0 1 0 1 0 0
0 1
1 0 1
1 0 1
0 0 0 1
0 0 0 0 0 1
0 1 0 0 0 1
1 0 1 0 0 1 0 0 = . Επομένως, 1 0 1 1 0 0 1 0
0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 Adj ( A) 0 0 1 0 0 1 A 1 A 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 Πράγματι, A A 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0
[225]
0 1 0 1 0 0 . 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0
0 0 0 1 0 0 . 0 1 0 0 0 1
15. Αποδείξτε ότι ( ) 1 1 1 και επαληθεύστε τη σχέση αυτή για 2 4 4 3 και B A . 3 5 3 1 Λύση ( A ) ( B 1 1 ) 1 1 ( 1 ) 1 1
= 1 , που σημαίνει ότι το B 1 A 1 είναι αντίστροφο του ( ) , είναι δηλαδή ίσο με το ( A B ) 1. 2 4 4 3 20 10 ( ) και 3 5 3 1 27 14 14 1 14 10 1 10 ( ) 1 . 20 27 10 27 2 10 3 1 1 1 3 5 5 1 4 5 3 4 3 5 5 5 2 5 4 1 2 1 . Έτσι, 2 3 2 3 1 2 3 5 1 14 2 1 5 5 10 2 1 1 ) 1 . 3 4 3 27 1 2 5 2 10 5
[226]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
2 1 2 16. Αν A 1 2 1 και 1 1 2 γινόμενο A B δοθέντος ότι A2 B C .
3 2 1 C 4 3 2 , 1 5 0
να
υπολογιστεί
το
Λύση A 2 B C A 1 A 2 B A 1C AB A 1 C . Αλλά,
1 0 1 3 0 3 2 1 2 3 1 1 1 2 1 1 1 . 1 2 0 0 A 1 2 1 0 2 1 2 1 2 3 1 1 2 3 1 1 3 3 3 0 3 1 2 1 1 1 1 3 3 1 1 2 1
Επομένως, 1 2 3 1 0 1 3 2 1 1 2 8 5 5 1 A B A C 0 4 3 2 . 3 3 3 3 3 1 1 5 0 4 10 1 1 1 3 3 3 3 3
3 2 5 4 17. Αν A και C , ποια είναι η μήτρα Β ώστε να είναι: α) 4 2 2 3 A B C και β) B A C ; Λύση α) A B C . Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη της ισότητας αυτής επί 1 έχουμε A 1 A B A1 C B A 1C . Αλλά, 1 1 2 2 1 2 2 1 1 A 3 . Έτσι, 3 2 4 3 2 4 3 2 2 4 2 1 1 7 1 5 4 . C 2 3 2 3 13 7 2 2 Κατ’ ανάλογο τρόπο, B A C . Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη της ισότητας αυτής επί 1 έχουμε B A A1 C A1 B C A 1. ΄Ετσι, 1
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[227]
1 1 13 11 5 4 B C A1 3 5 . 4 2 3 2 2 2
18. Να επιλυθούν, με τη χρήση αντίστροφης μήτρας, τα ακόλουθα συστήματα εξισώσεων: x y z 2 x 2 y 3z 0 2 x 3 y 57 α) , β) x 2 y 3z 1 , γ) 3x 3 y z 5 , 4 x y 37 3x y 5 z 4 x 2 y 2z 1 x1 3x2 3x3 1 5 x 2 y 3z 36 δ) 2 x 3 y z 10 , ε) x1 3x2 4 x3 0 4 x 4 y 5 z 31 x1 4 x2 3x3 1 Λύση 2 x 3 y 57 2 3 x 57 . 4 x y 37 4 1 y 37 2 3 (i). 2 12 14 4 1 1 4 (ii). C 2 3 1 3 (iiii). Adj ( A) C΄ 4 2 3 1 1 3 Adj ( A ) 1 14 14 (iv). 1 2 14 4 2 4 14 14 3 1 14 2 3 1 0 ) (Πράγματι, 1 A 14 4 2 4 1 0 1 14 14 Έτσι, 3 1 x 14 57 x 12 . (v). 14 y 4 2 37 y 11 14 14
α)
x y z 2 1 1 1 x 2 β) x 2 y 3z 1 1 2 3 y 1 3 x y 5 z 4 3 1 5 z 4
[228]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
1 1
1
2 3 1 3 1 2 (i). 1 2 3 4 1 5 3 5 3 1 3 1 5 2 3 1 5 1 1 (ii). C 1 5 1 1 2 3
1 2 3 5 3 1 13 14 5 1 1 1 1 6 8 2 3 5 3 1 1 1 2 1 1 1 1 1 3 1 2 1 13 6 (iii). Adj ( A) C΄ 14 8 2 5 2 1 6 1 13 4 4 4 1 13 6 Adj ( A) 1 2 14 1 (iv). 14 8 2 2 . 4 4 4 1 5 2 5 2 1 4 4 4 6 1 13 4 4 4 1 1 1 1 0 0 14 2 1 2 (Πράγματι, 1 A 2 3 0 1 0 ). 4 4 3 1 5 0 0 1 5 2 1 4 4 4
1
3
Έτσι, 6 1 13 4 4 4 x x 4 2 14 2 (v). y 2 1 y 3 . 4 4 z z 1 4 5 2 1 4 4 4
x 2 y 3 z 0 1 2 3 x 0 γ) 3x 3 y z 5 3 3 1 y 5 x 2 y 2 z 1 1 2 2 z 1 1 2 3 3 1 3 1 3 3 (i). 3 3 1 2 3 17 2 2 1 2 1 2 1 2 2
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
(ii). C
[229]
3 1 2
2
2 3 2
3 1
3
1
1
2
1 3
2
2 3
3 1
1
2
1 1
1 3
1
3 1
3
3 2 4 7 9 2 2 5 4 2 7 8 3 2 3
4 2 7 (iii). Adj ( A) C΄ 7 5 8 9 4 3 2 4 17 17 4 2 7 Adj ( A) 1 7 5 1 (iv). 7 5 8 17 17 17 9 4 3 9 4 17 17 Πράγματι, είναι 2 7 4 17 17 17 1 1 3 1 0 7 5 8 1 ( A 3 3 1 0 1 17 17 17 1 2 2 0 0 9 4 3 17 17 17 Έτσι, 7 4 2 17 17 17 0 x x 1 7 5 8 (v). y 5 y 1 . 17 17 17 z z 1 1 9 4 3 17 17 17
7 17 8 17 3 17
0 0 ) 1
5 x 2 y 3 z 36 5 2 3 x 36 δ) 2 x 3 y z 10 2 3 1 y 10 4 x 4 y 5 z 31 4 4 5 z 31 5 2 3 3 1 2 1 2 3 (i). 2 3 1 5 2 3 33 4 5 4 5 4 4 4 4 5
[230]
3 4 2 (ii). C 4 2 3
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
1
2 3 5 4 5 4 4 11 14 20 3 5 3 5 2 22 13 28 5 4 5 4 4 11 11 11 3 5 3 5 2 1 2 1 2 3 11 22 11 (iii). Adj ( A) C΄ 14 13 11 20 28 11 2 1 1 3 3 3 11 22 11 Adj ( A) 1 14 13 1 1 (iv). 14 13 11 33 33 3 33 20 28 11 20 28 1 33 3 33 (Πράγματι, 2 1 1 3 3 3 5 2 3 1 0 0 14 13 1 1 A 2 3 1 0 1 0 33 33 3 4 4 5 0 0 1 20 28 1 33 3 33 Έτσι, 2 1 1 3 3 3 36 x x 5 14 13 1 10 y 1 . (v). y 33 33 3 z z 3 31 20 28 1 33 3 33
2 1
x1 3x2 3 x3 1 1 ε) x1 3x2 4 x3 0 1 1 x1 4 x2 3 x3 1 1 3 3 3 4 3 (i). 1 3 4 4 3 4 1 4 3
3 3 x1 1 3 4 x2 0 4 3 x3 1 3 3 3 1 3 3 4
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
3 4 3 (ii). C 4 3 3
4
[231]
1 3 3 1 3 1 4 1 1 7 3 1 3 1 3 3 0 1 3 1 3 1 4 3 1 0 3 1 3 1 3 4 1 4 1 3 7 3 3 (iii). Adj ( A) C΄ 1 0 1 1 1 0 7 3 3 7 3 3 Adj ( A) 1 1 (iv). 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 Πράγματι, είναι 7 3 3 1 3 3 1 0 0 1 A 1 0 1 1 3 4 0 1 0 1 1 0 1 4 3 0 0 1 Έτσι, x1 7 3 3 1 x1 4 (v). x2 1 0 1 0 x2 0 . x 1 1 0 1 x 1 3 3
1 4
19. Αν οι συναρτήσεις αποταμίευσης και επένδυσης είναι, αντίστοιχα, S=0,4Y-50 και I=500 (όπου Y=εθνικό εισόδημα) και η ισορροπία επέρχεται όταν S=I, να υπολογιστεί, με τη χρήση της αντίστροφης μήτρας, το επίπεδο ισορροπίας του εισοδήματος. Λύση S 0, 4Y 50 S 0, 4Y 50 I 500 I 500
Επειδή η ισορροπία θα επέρχεται ότνα είναι S=I, θα είναι: S 0, 4Y 50 1 0, 4 S 50 . Έτσι, επιλύοντας το σύστημα αυτό με S 0 Y 500 0 Y 500 1 τη χρήση αντίστροφής μήτρας, έχουμε: 1 0, 4 (i). 0, 4 1 0 0 1 (ii). C 1 0, 4 0 0, 4 (iii). Adj ( A) C΄ 1 1
[232]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
0 1 Adj ( ) 1 0 0, 4 1 2,5 2,5 A 0, 4 1 0 1 1 0, 4 1 0 (Πράγματι, είναι A 1 A ) 0 0 1 2, 5 2, 5 1 Έτσι, 0 1 50 S S 500 (v). , δηλαδή το επίπεδο ισορροπίας του Y 2, 5 2, 5 500 Y 1375
(iv). 1
εισοδήματος είναι 1375 χρηματικές μονάδες. 20. Οι τιμές ανά μονάδα των αγαθών Α και Β είναι p1 και p2 αντίστοιχα. Εάν η ζήτηση των αγαθών αυτών δίνεται από τις εξισώσεις q1D 5 6 p1 5 p2 και q2D 8 13 p1 7 p2 και η προσφερόμενη ποσότητα, αντίστοιχα, από τις εξισώσεις q1S 6 4 p1 2 p2 και q2S 17 10 p1 9 p2 , να υπολογιστεί το ζεύγος των τιμών p1
και p2 που εξισώνουν τη ζήτηση και την προσφορά και των δύο αγαθών. Να επιλυθεί με τη χρησιμοποίηση μητρών. Λύση Στην κατάσταση ισορροπίας των δύο συστημάτων θα είναι
q1D q1S
και
q 2D q 2S , δηλαδή
5 6 p1 5 p2 6 4 p1 2 p2 10 p1 7 p2 1 8 13 p1 7 p2 17 10 p1 9 p2 23 p1 16 p2 9 10 7 p1 1 . Έτσι, επιλύοντας το σύστημα αυτό με τη χρήση 23 16 p2 9
αντίστροφης μήτρας, έχουμε: 10 7 (i). A 1 23 16 16 23 (ii). C 7 10 16 7 (iii). Adj ( A) C΄ 23 10 Adj ( A) 16 7 (iv). A1 A 23 10 7 1 0 16 7 10 (Πράγματι, είναι A 1 A ) 23 10 23 16 0 1 Έτσι, p1 16 7 1 p1 79 p p είναι οι τιμές που εξισώνουν τη ζήτηση 2 23 10 9 2 113
και την προσφορά των αγαθών Α και Β.
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[233]
21. Αν η αυτόνομη κατανάλωση ανέρχεται σε 10 χρηματικές μονάδες, η οριακή ροπή προς κατανάλωση είναι 0,9 και το ύψος της αυτόνομης δαπάνης επένδυσης 300 χρηματικές μονάδες, να υπολογιστούν, με τη χρησιμοποίηση μητρών, το επίπεδο ισορροπίας του εθνικού εισοδήματος και η συνολική δαπάνη κατανάλωσης. Λύση Οι σχέσεις που συνδέουν, υπό τη μορφή εξισώσεων, τα παραπάνω οικονομικά μεγέθη είναι C 10 0, 9Y C 0, 9Y 10 1 0, 9 C 10 . Y C 300 C Y 300 1 Y 300 1 Έτσι, επιλύοντας το σύστημα αυτό με τη χρήση αντίστροφης μήτρας, έχουμε: 1 0,9 (i). A 0,1 1 1 1 1 (ii). C 0, 9 1 1 0, 9 (iii). Adj ( A) C΄ 1 1 Adj ( A) 1 1 0, 9 10 9 (iv). A1 1 10 10 A 0,1 1 10 9 1 0, 9 1 0 (Πράγματι, είναι A 1 A ) 1 0 1 10 10 1 Έτσι, C 10 9 10 C 2800 Y 10 10 300 Y 3100 .
22. Αν οι εξισώσεις ζήτησης και προσφοράς δύο αγαθών Α και Β είναι, για το αγαθό Α οι q D 5 6 p1 5 p2 και q AS 6 4 p1 2 p 2 και για το αγαθό Β οι qBD 8 13 p1 7 p2 και q BS 17 10 p1 9 p 2
και επιβληθεί φόρος t=0,5 χρηματικών μονάδων ανά
μονάδα του προσφερόμενου αγαθού A και t=0,2 ανά μονάδα του προσφερόμενου αγαθού Β, να υπολογιστούν η τιμή και η ποσότητα των αγαθών σε κατάσταση ισορροπίας του συστήματος πριν από και μετά την επιβολή του φόρου. Η επίλυση να γίνει με τη χρησιμοποίηση μητρών. Λύση Πριν από την επιβολή του φόρου Στην κατάσταση ισορροπίας των δύο συστημάτων θα έχουμε q D q S , δηλαδή 5 6 p1 5 p2 6 4 p1 2 p2 10 p1 7 p2 1 q 2D q 2S ,
[234]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
δηλαδή 8 13 p1 7 p2 17 10 p1 9 p2 23 p1 16 p2 9 . Οι τιμές p1 και p2 οι οποίες εξισώνουν τη ζήτηση και την προσφορά των αγαθών Α και Β, πριν από την επιβολή του φόρου, προκύπτουν ως λύσεις του συστήματος των εξισώσεων 10 p1 7 p2 1 10 7 p1 1 . Η επίλυση του συστήματος έχει ως: 23 p1 16 p2 9 23 16 p2 9 (i). A
10
7
1 23 16 16 23 (ii). C 7 10 16 7 (iii). Adj ( A) C΄ 23 10
Adj ( A) 1 16 7 16 7 A 1 23 10 23 10 7 1 0 16 7 10 (Πράγματι, είναι A 1 A ) 23 10 23 16 0 1 p1 16 7 1 p1 79 5. Για τις p p . 2 23 10 9 2 113
(iv). A1
τιμές p1 79
και
p2 113 χρηματικές μονάδες, η ζητούμενη ποσότητα των αγαθών Α και Β
αντιστοίχως, είναι q D q S 96 και qD qS 244 μονάδες. Μετά την επιβολή του φόρου. Με την επιβολή του φόρου t1=0,5 ανά μονάδα προσφερόμενου αγαθού Α και t2=0,2 ανά μονάδα προσφερόμενου αγαθού Β, τα συστήματα εξισώσεων ζήτησης και προσφοράς για τα δύο αγαθά γίνονται: q AD 5 6 p1 5 p2 qD 8 13 p1 7 p2 και S q AS 6 4( p1 0, 5) 2( p2 0, 2) q 17 10( p1 0, 5) 9( p2 0, 2). Στην κατάσταση ισορροπίας των δύο συστημάτων θα έχουμε q D q S , δηλαδή 5 6 p1 5 p2 6 4( p1 0, 5) 2( p2 0, 2) 5 6 p1 5 p2 6 4 p1 2 2 p2 0, 4 10 p1 7 p2 0, 6 και qD qS , δηλαδή 8 13 p1 7 p2 17 10( p1 0, 5) 9( p2 0, 2) 8 13 p1 7 p2 17 10 p1 5 9 p1 1,8 23 p1 16 p2 12, 2. Οι τιμές p1 και p2 οι
οποίες εξισώνουν τη ζήτηση και την προσφορά των αγαθών Α και Β προκύπτουν ως λύσεις του συστήματος των εξισώσεων 10 p1 7 p2 0, 6 10 7 p1 0, 6 . Η επίλυση του συστήματος έχει 23 p1 16 p2 12, 2 23 16 p2 12, 2 ως: (i). A
10 7 1 23 16
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
16 23 (ii). C 7 10 16 7 (iii). Adj ( A) C΄ 23 10 Adj ( A) 1 16 7 16 7 (iv). A1 A 1 23 10 23 10 7 1 0 16 7 10 (Πράγματι, είναι A 1 A ) 23 10 23 16 0 1 Έτσι, p 16 7 0, 6 p 75,8 (v). 1 1 . Για τις τιμές p1 75,8 p2 23 10 12, 2 p2 108, 2
[235]
και
p2 108, 2 χρηματικές μονάδες, η ζητούμενη ποσότητα των αγαθών Α και Β
αντιστοίχως, είναι q D q S 91, 2 και qD qS 236 μονάδες. 23. Να γραφούν ως τετραγωνικές μορφές διανύσματος οι αλγεβρικές παραστάσεις: α) x12 x1 x2 3 x22 β) 3 x12 5 x1 x2 4 x22 6 x1 x3 x32 x2 x3 γ) 4x12 x1 x2 x22 x32 Λύση α) Το διάνυσμα σειρά θα είναι x1
x2 επειδή οι άγνωστοι είναι οι x1 και x2. a Z , διαστάσεων 2Χ2 Έστω ότι η συμμετρική άγνωστη μήτρα είναι η
(καθόσον το διάνυσμα Χ είναι διαστάσεων 1Χ2). Επομένως, σύμφωνα με τον ορισμό της τετραγωνικής μήτρας, θα έχουμε: x1 x2 x1 x1 x2 x x1 x2 x x 2 1 2 = ax12 x1 x 2 x1 x 2 x22 ax12 2 x1 x 2 x22 . Επειδή θέλουμε η παράσταση αυτή να είναι ίση με τη δοθείσα x12 x1 x 2 3 x22 , θα πρέπει να έχουν τους ομοιοβάθμιους 1 όρους τους ίσους, δηλαδή α=1, και γ=3, δηλαδή να είναι 2 1 1 a 2 , ώ , z 1 3 2 η ζητούμενη τετραγωνική μοφή του διανύσματος να είναι η
[236]
x1
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
1 1 2 x1 x2 . x 1 3 2 2
β) Το διάνυσμα σειρά θα είναι x1
x3 επειδή οι άγνωστοι είναι οι x1, x2 και a x3. Έστω ότι η συμμετρική άγνωστη μήτρα είναι η , διαστάσεων 3Χ3 (καθόσον το διάνυσμα Χ είναι διαστάσεων 1Χ3). Επομένως, σύμφωνα με τον ορισμό x2
της τετραγωνικής μήτρας, θα έχουμε: a x1 x1 x2 x3 x2 x 3 ax1 x2 x3 = x1 x2 x3 x1 x2 x3 x x x 1 2 3
= ax12 x1 x 2 x1 x3 x1 x 2 x 22 x 2 x3 x1 x3 x 2 x3 x32 = x12 x 22 x32 2 x1 x 2 2 x1 x3 2 x 2 x3 . Επειδή θέλουμε η παράσταση αυτή να είναι ίση με τη δοθείσα 3 x12 5 x1 x 2 4 x22 6 x1 x3 x32 x2 x3 , 5 θα πρέπει να έχουν τους ομοιοβάθμιους όρους τους ίσους, δηλαδή α=3, δ=4, ζ= -1, β= , 2 1 γ=3 και , δηλαδή να είναι 2 5 3 3 2 a 1 5 και, συνεπώς, η ζητούμενη τετραγωνική μορφή z 4 2 2 3 1 1 2 του διανύσματος να είναι η 5 3 3 2 x1 5 1 4 x2 . x1 x2 x3 2 2 x3 3 1 1 2
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
γ) Το διάνυσμα σειρά θα είναι x1
[237]
x3 επειδή οι άγνωστοι είναι οι x1, x2 και a , διαστάσεων 3Χ3 x3. Έστω ότι η συμμετρική άγνωστη μήτρα είναι η (καθόσον το διάνυσμα Χ είναι διαστάσεων 1Χ3). Επομένως, σύμφωνα με τον ορισμό x2
της τετραγωνικής μήτρας, θα έχουμε: a x1 x1 x2 x3 x2 x 3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x x x 1 2 3
ax12 x1 x 2 x1 x3 x1 x 2 x 22 x 2 x3 x1 x3 x 2 x3 x32
= x12 x 22 x32 2 x1 x 2 2 x1 x3 2 x 2 x3 . Επειδή θέλουμε η παράσταση αυτή να είναι ίση με τη δοθείσα 4 x12 x1 x2 x 22 x32 , θα πρέπει να έχουν τους ομοιοβάθμιους 1 όρους τους ίσους, δηλαδή α=4, β= , γ=0, δ= -1, 0 και ζ= -1, δηλαδή να είναι 2 1 4 2 0 a 1 z 1 0 και, συνεπώς, η ζητούμενη τετραγωνική μορφή του 2 0 0 1 διανύσματος να είναι η 1 4 2 0 x1 1 x1 x2 x3 1 0 x2 . 2 x3 0 0 1 24. Να υπολογιστούν τα ακόλουθα γινόμενα κατά Kronecker: 2 0 3 2 5 3 3 2 5 4 α) , β) 3 1 2 , 3 1 4 4 2 2 3 2 1 0 2 2 5 1 1 3 5 γ) 3 4 , δ) 1 3 2 5 3 2 4 0 0 1 0
[238]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
Λύση 5 3 3 2 5 4 2 α) A B 4 2 2 3 5 4 2 15 12 10 6 9 4 = 20 16 10 4 8 12
4 5 4 2 3 2 3 4 5 4 2 3 2 3
8 6 8 6
2 0 3 2 5 3 β) A B 3 1 2 2 1 0 3 1 4 2 2 3 2 = 3 3 2 2 3
5 3 2 5 3 2 0 3 1 4 3 1 4 3 5 3 2 5 3 2 2 1 4 3 1 4 3 5 3 2 5 3 2 0 1 4 3 1 4 3
4 10 6 0 0 6 2 8 0 0 6 15 9 2 5 = 9 3 12 3 1 4 10 6 2 5 6 2 8 3 1
0 0 3 4 3 4
5 3 1 4 5 3 1 4 5 3 1 4
6 15 9 9 3 12 4 10 6 . 6 2 8 0 0 0 0 0 0
2 3 2 5 1 3 5 0 γ) A B 3 4 2 4 0 0 1 2 2 3 0
5 2 5 2 4 3 3 4 5 3 0 1 0 1 5 2 5 2 4 4 3 4 0 3 0 1 0 1
5 4 1 5 4 1
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
2 5 6 3 4 9 0 1 0 = 4 10 8 6 8 12 0 2 0
[239]
15 10 25 12 15 20 3 0 5 20 0 0 16 0 0 4 0 0
2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 δ) 1 3 2 5 3 2 5 3 3 3 3 3 0 0 0 0 0 2 1 = 3 0
6 4 10 3 2 5 . 9 6 15 0 0 0
0 7 0 1 2 25. Δίνονται οι μήτρες A και B 1 2 3 . Χρησιμοποιώντας τις δύο 3 4 2 4 1 αυτές μήτρες, να δείξετε ότι ισχύει η σχέση tr ( A B ) tr ( A) tr ( B ) .
Λύση 0 1 0 7 0 1 2 2 A B 1 2 3 3 4 2 4 1 0 3 1 2
7 0 0 7 0 2 3 2 1 2 3 2 4 1 4 1 7 0 0 7 0 2 3 4 1 2 3 2 4 1 4 1
0 7 0 0 14 0 1 2 3 2 4 6 2 4 1 4 8 2 = . Επομένως, 0 21 0 0 28 0 3 6 9 4 8 12 6 12 3 8 16 4 tr ( A B ) 0 2 1 0 8 4 15.
Αλλά tr ( A) 1 4 5 και tr ( B ) 2 1 3 . Πράγματι, ισχύει ότι tr ( A B ) tr ( A) tr ( B ) 15.
[240]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
2 1 26. Δίνεται η μήτρα A 3 1 0
3 2 4 0 3
5 0 2 . Δαχωρίζοντας αυτην σε δύο υπομήτρες 3 1
2 3 5 A1 1 0 3 A όπου A1 1 2 0 και A2 , να υπολογιστούν τα γινόμενα 0 3 1 A2 3 4 2 α) A΄ A και β) A A΄ , χρησιμοποιώντας μόνο τις υπομήτρες Α1 και Α2 .
Λύση 1 ΄2 ΄1 1 ΄2 2 2 2 1 3 2 3 5 1 0 1 0 3 = 3 2 4 1 2 0 0 3 5 0 2 3 4 2 3 1 0 3 1 14 20 16 1 0 3 15 20 19 = 20 29 23 0 9 3 20 38 26 16 23 29 3 3 10 19 26 39
α) ΄ ΄1
΄ 1 ΄2 β) ΄ 1 ΄1 ΄2 1 1΄ . Αλλά, ΄ 2 2 1 2 2 2 3 5 2 1 3 38 8 28 ΄ 1 1 1 2 0 3 2 4 8 5 11 3 4 2 5 0 2 28 11 29 2 3 5 1 0 17 14 ΄ 1 2 1 2 0 0 3 1 6 3 4 2 3 1 9 14 2 1 3 1 0 3 17 1 9 ΄ 2 1 3 2 4 και 0 3 1 5 0 2 14 6 14
1 0 1 0 3 10 3 2 0 3 . Έτσι, 0 3 1 3 1 3 10 ΄ 2
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
΄ ΄ 1 ΄1 2 1
[241]
38 8 28 17 14 8 5 11 1 6 ΄ 1 2 28 11 29 9 14 . 2 ΄2 17 1 9 10 3 14 6 14 3 10
27. Να υπολογιστούν οι ιδιοτιμές και τα χαρακτηριστικά διανύσματα (στην 9 3 4 2 κανονική τους μορφή) των μητρών α) A , β) B και γ) 3 1 2 1 3 0 4 C 1 1 2 και να γράψετε τις μήτρες σύμφωνα με την παραγοντοποίηση 1 2 2 τετραγωνικής μορφής. Λύση 3 9 α) . Έτσι, 1 3 9 3 0 (9 )(1 ) 9 0 3 1 9 9 2 9 0 2 10 0 ( 10) 0 10 0 1 10 2 0 . Επομένως, . Άρα, 0 0
9 3 v11 v12 v11 v12 10 0 V V 3 1 v21 v22 v21 v22 0 0 9v11 3v21 9v12 3v22 10v11 0 . Έτσι, 3v v 3v12 v22 10v21 0 11 21
1 9v11 3v21 10v11 3v21 v11 v21 v11 3 1 3v12 v22 0 3v12 v22 v12 v22 . Για να αποκτήσουμε κάποια λύση, 3 1 1 θέτοντας v11 v22 1 . Έτσι προκύπτει ότι v11 1, v12 , v21 v22 1 και η 3 3 1 1 3 ενιαία μήτρα θα είναι η V η οποία πράγματι επαληθεύει τη σχέση 1 1 3 C V V ,
[242]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
1 1 10 0 9 3 3 και αφού C V 10 0 3 1 1 1 3 3 1 1 3 10 0 10 0 . Επειδή δε V 10 0 0 0 1 1 3 3 1 10 1 10 ΄ , θα είναι V1 V1 1 || V1 || 1 3 3 9 3 1 1 3 1 10 3 10 3 10 3 10 V . 1 1 3 1 10 3 10 10 10 3 3 2 4 β) C C . Έτσι, 1 2 4 2 C 0 (4 )(1 ) 4 0 2 1 4 4 2 4 0 2 5 0 ( 5) 0 5 0 1 5 2 0 . Επομένως, . Άρα, 0 0
4 2 v11 v12 v11 v12 5 0 C V V 2 1 v21 v22 v21 v22 0 0 4v11 2v21 4v12 2v22 5v11 0 . Έτσι, 2v v 2v12 v22 5v21 0 11 21
1 v11 2 1 2v12 v22 0 2v12 v22 v12 v22 . Για να αποκτήσουμε κάποια λύση, 2 1 1 2 θέτοντας v11 v22 1 , θα έχουμε την ενιαία μήτρα V η οποία πράγματι 1 1 2 1 1 5 0 4 2 2 και επαληθεύει τη σχέση C V V , αφού 5 2 1 1 0 1 2 2 4v11 2v21 5v11 2v21 v11 v21
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[243]
1 1 2 5 0 5 0 . 5 0 0 0 1 1 2 2 1 5 1 5 ΄ Επειδή δε V1 V1 1 , θα είναι 1 || V1 || 4 2 2 2 1 1 2 5 2 1 5 2 5 2 5 V . 1 1 2 1 5 2 5 5 5 2 2
28. Να γίνει παραγοντοποίηση κατά Cholesky των ακόλουθων μητρών: 2 1 1 4 α) A 1 2 1 , β) A 2 1 1 2 6 1 2 1 4 γ) A 2 5 1 , δ) A 2 1 1 10 6
2 6 10 9 , 9 26 2 6 10 9 , 9 14
25 15 5 ε) A 15 18 0 . 5 0 11
Λύση α) Αν L είναι μια κάτω τριγωνική και θετικά ορισμένη μήτρα L, έτσι που l11 0 0 L l21 l22 0 , σύμφωνα με τη σχέση L L ΄ θα έχουμε: l 31 l32 l33 l11 0 0 l11 l21 l31 2 1 1 L L΄ l21 l22 0 0 l22 l32 1 2 1 l 31 l32 l33 0 0 l33 1 1 2 l112 l11l21 l11l31
l l l l
11 21 2 2 21 22
l21l31 l22l32
2 1 1 l11l31 l21l31 l22 l32 1 2 1 , οπότε l312 l322 l332 1 1 2
[244]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
2 2 l112 2 , l11l21 1 , l11l31 1 , l21 l22 2 , l21l31 l22l33 1 και
l312 l322 l332 2 . Χρησιμοποιώντας, για απλουστευτικούς μόνο λόγους, τις θετικές
1 3 , l32 και 2 6 2 0 0 3 2 1 . Αντικαθιστώντας τις τιμές αυτές στη μήτρα L βρίσκουμε 0 , l33 3 2 2 1 2 1 6 3 2 η οποία, πράγματι, ικανοποιεί τη σχέση 1 2 1 2 0 0 2 2 2 1 1 3 3 1 1 L L΄ , γιατί 0 0 1 2 1 . 2 2 6 2 1 1 2 1 2 2 1 0 0 6 3 3 2 β) Αν L είναι μια κάτω τριγωνική και θετικά ορισμένη μήτρα L, έτσι που l11 0 0 L l21 l22 0 , σύμφωνα με τη σχέση L L ΄ θα έχουμε: l 31 l32 l33 l11 0 0 l11 l21 l31 4 2 6 L L΄ l21 l22 0 0 l22 l32 2 10 9 l 31 l32 l33 0 0 l33 6 9 26 l112 4 2 6 l11l21 l11l31 2 2 l21 l22 l21l31 l22l32 2 10 9 , οπότε l11l21 l11l31 l21l31 l22l32 l312 l322 l332 6 9 26
ρίζες των εξισώσεων, έχουμε l11 2 , l21
1 1 , l31 , l22 2 2
2 2 l112 4 , l11l21 2 , l11l31 6 , l21 l22 10 , l21l31 l22l32 9 και
l312 l322 l332 26 . Χρησιμοποιώντας, για απλουστευτικούς μόνο λόγους, τις θετικές
ρίζες των εξισώσεων, έχουμε l11 2 , l21 1 , l31 3 , l22 3 , l32 4 και l33 1 .
2 0 0 Αντικαθιστώντας τις τιμές αυτές στη μήτρα L βρίσκουμε 1 3 0 , η οποία, 3 4 1 πράγματι, ικανοποιεί τη σχέση L L΄ , γιατί 2 0 0 2 1 3 4 2 6 1 3 0 0 3 4 2 10 9 . 3 4 1 0 0 1 6 9 26
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[245]
γ) Αν L είναι μια κάτω τριγωνική και θετικά ορισμένη μήτρα L, έτσι που l11 0 0 L l21 l22 0 , σύμφωνα με τη σχέση L L ΄ θα έχουμε: l 31 l32 l33 l11 0 0 l11 l21 l31 1 2 1 L L΄ l21 l22 0 0 l22 l32 2 5 1 l 31 l32 l33 0 0 l33 1 1 10 l112 l11l21 l11l31
l l l l
11 21 2 2 21 22
l21l31 l22 l32
1 2 1 l11l31 l21l31 l22l32 2 5 1 , οπότε l312 l322 l332 1 1 10
2 2 l112 1 , l11l21 2 , l11l31 1 , l21 l22 5 , l21l31 l22l32 1 και
l312 l322 l332 10 . Χρησιμοποιώντας, για απλουστευτικούς μόνο λόγους, τις θετικές
ρίζες των εξισώσεων, έχουμε l11 1 , l21 2 , l31 1 , l22 1 , l32 3 και l33 0 .
1 0 0 Αντικαθιστώντας τις τιμές αυτές στη μήτρα L βρίσκουμε 2 1 0 , η οποία, 1 3 0 πράγματι, ικανοποιεί τη σχέση L L΄ , γιατί 1 0 0 1 2 1 1 2 1 2 1 0 0 1 3 2 5 1 . 1 3 0 0 0 0 1 1 10 δ) Αν L είναι μια κάτω τριγωνική και θετικά ορισμένη μήτρα L, έτσι που l11 0 0 L l21 l22 0 , σύμφωνα με τη σχέση L L ΄ θα έχουμε: l 31 l32 l33 l11 0 0 l11 l21 l31 4 2 6 L L΄ l21 l22 0 0 l22 l32 2 10 9 l 31 l32 l33 0 0 l33 6 9 14 l112 l11l21 2 l21 l222 l11l21 l11l31 l21l31 l22 l32
4 2 6 l11l31 l21l31 l22l32 2 10 9 , οπότε l312 l322 l332 6 9 14
2 2 l112 4 , l11l21 2 , l11l31 6 , l21 l22 10 , l21l31 l22l32 9 και
l312 l322 l332 14 . Χρησιμοποιώντας, για απλουστευτικούς μόνο λόγους, τις θετικές
ρίζες των εξισώσεων, έχουμε l11 2 , l21 1 , l31 3 , l22 3 , l32 2 και l33 1 .
[246]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
2 0 0 Αντικαθιστώντας τις τιμές αυτές στη μήτρα L βρίσκουμε 1 3 0 , η οποία, 3 2 1 πράγματι, ικανοποιεί τη σχέση L L΄ , γιατί 2 0 1 3 3 2 ε) Αν L l11 L l21 l 31
0 2 1 3 4 2 6 0 0 3 2 2 10 9 . 1 0 0 1 6 9 14 είναι μια κάτω τριγωνική και θετικά ορισμένη μήτρα L, έτσι που 0 0 l22 0 , σύμφωνα με τη σχέση L L ΄ θα έχουμε: l32 l33 l11 0 0 l11 l21 l31 4 2 6 L L΄ l21 l22 0 0 l22 l32 2 10 9 l 31 l32 l33 0 0 l33 6 9 14
l112 l11l21 2 l21 l222 l11l21 l11l31 l21l31 l22 l32
4 2 6 l11l31 l21l31 l22l32 2 10 9 , οπότε l312 l322 l332 6 9 14
2 2 l112 4 , l11l21 2 , l11l31 6 , l21 l22 10 , l21l31 l22l32 9 και
l312 l322 l332 14 . Χρησιμοποιώντας, για απλουστευτικούς μόνο λόγους, τις θετικές
ρίζες των εξισώσεων, έχουμε l11 2 , l21 1 , l31 3 , l22 3 , l32 2 και l33 1 . Αντικαθιστώντας τις τιμές αυτές στη μήτρα L
2 βρίσκουμε 1 3 2 0 0 2 1 3 0 0 3 2 1 0
0 0 3 0 , η οποία, πράγματι, ικανοποιεί τη σχέση L L΄ , γιατί 2 1 1 3 4 2 6 3 2 2 10 9 . 0 1 6 9 14
δ) Αν L l11 L l21 l 31
είναι μια κάτω τριγωνική και θετικά ορισμένη μήτρα L, έτσι που 0 0 l22 0 , σύμφωνα με τη σχέση L L ΄ θα έχουμε: l32 l33 l11 0 0 l11 l21 l31 4 2 6 L L΄ l21 l22 0 0 l22 l32 2 10 9 l 31 l32 l33 0 0 l33 6 9 14
l112 l11l21 2 l21 l222 l11l21 l11l31 l21l31 l22 l32
4 2 6 l11l31 l21l31 l22l32 2 10 9 , οπότε l312 l322 l332 6 9 14
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[247]
2 2 l112 4 , l11l21 2 , l11l31 6 , l21 l22 10 , l21l31 l22l32 9 και
l312 l322 l332 14 . Χρησιμοποιώντας, για απλουστευτικούς μόνο λόγους, τις θετικές
ρίζες των εξισώσεων, έχουμε l11 2 , l21 1 , l31 3 , l22 3 , l32 2 και l33 1 . Αντικαθιστώντας τις τιμές αυτές στη μήτρα L
2 0 0 βρίσκουμε 1 3 0 , η οποία, πράγματι, ικανοποιεί τη σχέση L L΄ , γιατί 3 2 1 2 0 0 2 1 3 4 2 6 1 3 0 0 3 2 2 10 9 . 3 2 1 0 0 1 6 9 14 ε) Αν L είναι μια κάτω τριγωνική και θετικά ορισμένη μήτρα L, έτσι που l11 0 0 L l21 l22 0 , σύμφωνα με τη σχέση L L ΄ θα έχουμε: l 31 l32 l33 l11 0 0 l11 l21 l31 25 15 5 L L΄ l21 l22 0 0 l22 l32 15 18 0 l 31 l32 l33 0 0 l33 5 0 11 l112 l11l21 2 l21 l222 l11l21 l11l31 l21l31 l22l32
25 15 5 l11l31 l21l31 l22l32 15 18 0 , οπότε l312 l322 l332 5 0 11 2 2 l112 25 , l11l21 15 , l11l31 5 , l21 l22 18 , l21l31 l22l32 0 και l312 l322 l332 11 . Χρησιμοποιώντας, για απλουστευτικούς μόνο λόγους τις θετικές
ρίζες των εξισώσεων, έχουμε l11 5 , l21 3 , l31 1, l22 3 , l32 1 και l33 3 .
5 0 0 Αντικαθιστώντας τις τιμές αυτές στη μήτρα L βρίσκουμε 3 3 0 , η οποία, 1 1 3 πράγματι, ικανοποιεί τη σχέση L L΄ , γιατί 5 0 0 5 3 1 25 15 5 3 3 0 0 3 1 15 18 0 . 1 1 3 0 0 3 5 0 11
[248]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[249]
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΓΔΟΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ 1. Ποιας τάξης είναι οι ακόλουθες εξισώσεις διαφορών και ποιος ο αριθμός των αρχικών συνθηκών που απαιτείται, σε κάθε περίπτωση, για τη συμπλήρωση δυναμικού συστήματος εξισώσεων: α) y t 3 y t 1 18 yt 2 40 , β) y t 4 y t 2 90 , γ) y t 8 yt 1 33 y t 3 5 , δ) y t y t 1 3 , ε) y t 8 y t 1 , στ) y t 5 y t 1 16 y t 2 33 y t 3 5 , ζ) y t 9 y t 1 20 y t 2 4 , η) y t 2 y t 2 y t 5 3 . Λύση α) yt 3 yt 1 18 yt 2 40 (δεύτερης τάξης) β) yt 4 yt 2 90 (δεύτερης τάξης) γ) yt 8 yt 1 33 yt 3 5 (τρίτης τάξης) δ) yt yt 1 3 (πρώτης τάξης) ε) yt 8 yt 1 (πρώτης τάξης) στ) yt 5 yt 1 16 yt 2 33 yt 3 5 (τρίτης τάξης) ζ) yt 9 yt 1 20 yt 2 4 (δεύτερης τάξης) η) yt 2 yt 2 yt 5 3 (πέμπτης τάξης) Ο αριθμός των αρχικών συνθηκών που απαιτείται για τη συμπλήρωση καθεμιάς των εξισώσεων διαφορών είναι ο ίδιος με το βαθμό της τάξης της αντίστοιχης εξίσωσης. 2. Δοσμένων των αρχικών συνθηκών, να υπολογιστούν διαδοχικά οι τιμές του y στις πέντε πρώτες περιόδους: α) y t 2 y t 1 5 (y0=2), β) y t 3 y t 1 (y0=4), γ) y t 3 yt 1 y t 2 (y0=2, y1=3), δ) y t 5 y t 1 7 y t 2 15 y t 3 (y0=1, y1=6, y2=15), ε) y t 3 yt 1 4 y t 3 (y0=3, y1=5, y2=8). Λύση α) yt 2 yt 1 5 ( y0 2). ΄Ετσι, y1 2 y11 5 y1 2 y0 5 y 2 2 y2 1 5 y 2 2 y1 5 y3 2 y31 5 y3 2 y2 5 y 4 2 y4 1 5 y4 2 y3 5 y5 2 y51 5 y5 2 y4 5
y1 2 2 5 9 y 2 2 9 5 23 y3 2 23 5 51 y 4 2 51 5 107 y5 2 107 5 219
[250]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
β) yt 3 yt 1 ( y0 4). ΄Ετσι, y1 3 y11 y1 3 y0 y1 3 4 12 y 2 3 y 2 1 y 2 3 y1 y2 3 12 36 y3 3 y31 y3 3 y 2 y3 3 36 108 y 4 3 y 4 1 y 4 3 y3 y4 3 108 324 y5 3 y51 y5 3 y 4 y5 3 324 5 972 γ) yt 3 yt 1 yt 2 ( y0 2, y1 3). ΄Ετσι, y 2 3 y 21 y 2 2 y2 3 y1 y0 y 2 3 3 2 7 y3 3 y31 y3 2 y3 3 y2 y1 y3 3 7 3 18 y 4 3 y4 1 y 4 2 y4 3 y3 y2 y 4 3 18 7 47 y5 3 y51 y5 2 y5 3 y 4 y3 y5 3 47 18 123 y6 3 y61 y6 2 y6 3 y5 y 4 y6 3 123 47 322 δ) yt 3 yt 1 yt 2 ( y0 1, y1 6, y2 15). ΄Ετσι, y3 5 y31 7 y3 2 15 y33 y3 5 y2 7 y1 15 y0 y3 5 15 7 6 15 1 102 y4 5 y4 1 7 y4 2 15 y4 3 y 4 5 y3 7 y2 15 y1 y 4 5 102 7 15 15 6 525 y5 5 y51 7 y5 2 15 y5 3 y5 5 y 4 7 y3 15 y 2 y5 5 525 7 102 15 15 3114 y6 5 y6 1 7 y6 2 156 3 y6 5 y5 7 y4 15 y3 y6 5 3114 7 525 15 102 17715 y7 5 y7 1 7 y7 2 157 3 y7 5 y6 7 y5 15 y 4 y7 5 17715 7 3314 15 525 102498 ε) yt 3 yt 1 4 yt 3 ( y0 3, y1 5, y2 8). Έτσι, y3 3 y31 4 y33 y3 3 y 2 4 y0 y3 3 8 4 3 12 y4 3 y4 1 4 y 4 3 y4 3 y3 4 y1 y4 3 12 4 5 16 y5 3 y51 4 y5 3 y5 3 y4 4 y 2 y5 3 16 4 8 16 y6 3 y61 4 y6 3 y6 3 y5 4 y3 y6 3 16 4 12 0 y7 3 y7 1 4 7 3 y7 3 y6 4 y 4 y7 3 0 4 16 64 3. Δοσμένων των αρχικών συνθηκών, να επιλυθούν οι ομογενείς εξισώσεις διαφορών πρώτης τάξης και να περιγραφεί η χρονική διαδρομή της μεταβλητής y με τη χρησιμοποίηση του αντίστοιχου σχήματος: α) y t 2 y t 1 (y0 =5), β) y t 5 y t 1 (y0= -2), γ) y t 6 y t 1 (y0=3),
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[251]
δ) y t 0,2 y t 1 (y0 = 10), ε) y t 0,2 y t 1 (y0 =-15), στ) y t 2,5 y t 1 , (y0= -20), ζ) y t y t 1 (y0=12), η) y t y t 1 (y0= -10), θ) y t y t 1 (y0=4), ι) y t 0,9 y t 1 (y0= -3), ια) y t 0,2 y t 1 (y0=20), ιβ) y t y t 1 (y0= -9). Λύση Με την εφαρμοφή του γενικού τύπου λύσης ομογενούς εξίσωσης διαφορών πρώτης τάξης, yt b t C 0 , έχουμε: α) yt 5 ( 2) t (ταλάντωση του yt διευρυνόμενη συνεχώς, επειδή C0 0 και b< -1, σχήμα (α)) β) yt ( 2) 5t (τιμή του yt αυξανόμενη με ρυθμό αύξοντα, αρνητική, επειδή C0 0 και b>1, σχήμα (β)) γ) y t 3 6 t (τιμή του yt αυξανόμενη με ρυθμό αύξοντα, θετική, επειδή C0 0 και b>1, σχήμα (γ)) δ) y t 10 0, 2 t
(τιμή του yt ελαττούμενη με ρυθμό αύξοντα, θετική, επειδή
C0 0 και 0<b<1, σχήμα (δ))
ε) yt ( 15)( 0, 2) t (ταλάντωση του yt συνεχώς συμπτυσσόμενη, επειδή C0 0 και 1<b< 0, σχήμα (ε)) στ) yt ( 20)( 2, 5) t (ταλάντωση του yt συνεχώς διευρυνόμενη, επειδή C0 0 και b< -1, σχήμα (στ)) ζ) y t 12 1t 12 (τιμή του yt σταθερή, θετική, επειδή C0 0 και b=1, σχήμα (ζ)) η) y t ( 10) 1t 10 (τιμή του yt σταθερή, αρνητική, επειδή C0 0 και b=1, σχήμα (η)) θ) yt 4 ( 1) t (σταθερή ταλάντωση του yt επειδή C0 0 και b= -1, σχήμα (θ)) ι) yt ( 3) 0, 9 t (τιμή του yt ελαττούμενη βαθμιαία, αρνητική, επειδή C0 0 και 0<b<1, σχήμα (ι)) ια) yt 20 ( 0, 2) t (ταλάντωση του yt συνεχώς συμπτυσσόμενη, επειδή C0 0 και 1<b<0, σχήμα (ια)) ιβ) yt ( 9) ( 1) t (ταλάντωση του yt σταθερή, επειδή C0 0 και <b< -1, σχήμα (ιβ))
[252]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[253]
4. Δοσμένων των αρχικών συνθηκών, να επιλυθούν οι μη ομογενείς εξισώσεις διαφορών πρώτης τάξης και να περιγραφεί η χρονική διαδρομή της μεταβλητής y με τη χρησιμοποίηση του αντίστοιχου σχήματος: α) y t 5 y t 1 8 (y0=5), β) y t 4 y t 1 9 y0= -5), γ) y t 3 y t 1 20 (y0= -8), δ) y t 8 y t 1 5 (y0=2), ε) y t 10 y t 1 6 (y0=3), στ) y t 2 y t 1 6 (y0 = -3), ζ) y t y t 1 6 (y0=2), η) y t y t 1 10 (y0= -5).
[254]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
Λύση Με την εφαρμογή του γενικού τύπου λύσης μη ομογενούς εξίσωσης διαφορών (1 bt ) πρώτης τάξης, yt bt C0 a , στις έξι πρώτες εξισώσεις έχουμε: 1 b α) y t 3 5t 2 (τιμή του yt αυξανόμενη με ρυθμό αύξοντα, θετική, επειδή C0 0 και b<1, σχήμα (α ))
β) y t ( 8) 4 t 3 (τιμή του yt αυξανόμενη με ρυθμό αύξοντα, αρνητική, επειδή C0 0 και b>1, σχήμα (β))
γ) y t ( 13) ( 3) t 5 (ταλάντωση του yt συνεχώς διευρυνόμενη, επειδή C0 0 και b< -1, σχήμα (γ)) 23 5 δ) y ( 8) t (ταλάντωση του yt συνεχώς διευρυνόμενη, επειδή C0 0 και b< 9 9 1, σχήμα (δ)) 11 2 (10)t (τιμή του yt αυξανόμενη με ρυθμό αύξοντα, επειδή C0 0 και b>1, 3 3 σχήμα (ε))
ε) y
στ) y ( 2)t 2 (ταλάντωση του yt συνεχώς διευρυνόμενη, επειδή C0 0 και b< -1, σχήμα (στ)) ζ) Η συμπληρωματική συνάρτηση είναι η y t 1t x x. Η ειδική λύση υπολογίζεται θέτοντας στην εξίσωση διαφορών yt zt , που γίνεται zt z (t 1) 6 , από την οποία προκύπτει τιμή z= -6 και, συνεπώς, η ειδική λύση -6t. Επομένως, η γενική λύση είναι yt x 6t . Η λύση αυτή, για να ικανοποιεί την αρχική συνθήκη y0 2, πρέπει να έχει τιμή x=2. Συνεπώς, η πλήρης λύση της εξίσωσης διαφορών είναι η yt 2 6t . Στη λύση αυτή, η τιμή του yt βαίνει συνεχώς ελαττούμενη και αρνητική (σχήμα ζ) η) Η συμπληρωματική συνάρτηση είναι η y t 1t x x. Η ειδική λύση, θέτοντας yt zt zt z (t 1) 10 z 10, γίνεται 10t. Επομένως, η γενική λύση είναι yt x 10t , η οποία για να ικανοποιεί την y0 5 πρέπει να έχει τιμή x= -5.
Συνεπώς, η πλήρης λύση της εξίσωσης διαφορών είναι η yt 5 10t . Στη λύση αυτή, η τιμή του yt βαίνει συνεχώς αυξανόμενη και θετική (σχήμα η)
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[255]
[256]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
5. H επένδυση για ένα δημόσιο έργο σε ορισμένη χρονική περίοδο (t=0) είναι 500 χρηματικές μονάδες. Εάν η οριακή ροπή προς κατανάλωση του εισοδήματος που προκύπτει ως συνέπεια της επένδυσης είναι σταθερή διαχρονικά και ίση με c=0,6 , ποια θα είναι η εξίσωση της δαπάνης κατανάλωσης (C) μετά πάροδο t ετών, όταν η εξίσωση διαφορών είναι η Ct cCt 1 (όπου C t 1 =δαπάνη κατανάλωσης στην περίοδο t-1). Παραστήστε γραφικά τη διαχρονική πορεία της δαπάνης κατανάλωσης. Λύση Η λύση της εξίσωσης διαφορών Ct c Ct 1 είναι η C t c t C 0 . Έτσι, για C0 I 500 χρηματικές μονάδες επένδυση και οριακή ροπή προς κατανάλωση
c=0,6, η εξίσωση της δαπάνης κατανάλωσης μετά πάροδο t ετών θα είναι C t 0, 6 t 500. Η πορεία της δαπάνης κατανάλωσης διαχρονικά είναι φθίνουσα, όπως δείχνεται στο σχήμα.
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[257]
6. Αν η επενδυτική επιθυμία στο χρόνο t είναι συνάρτηση του πραγματοποιηθέντος εισοδήματος στα δύο τελευταία έτη, κατά τη σχέση I t 0,4(Yt Yt 1 ) και η αποταμιευτική επιθυμία, στον ίδιο χρόνο, είναι συνάρτηση του εισοδήματος, κατά τη σχέση S t 6 0,3Yt , ποια είναι η εξίσωση του εισοδήματος των επενδυτών διαχρονικά, ώστε να επικρατεί ισορροπία στο σύστημα( S t I t ) , όταν το εισόδημα αυτών στο έτος 0 είναι 30 χρηματικές μονάδες; παραστήστε γραφικά τη διαχρονική πορεία του εισοδήματος. Λύση Για να επικρατεί ισορροπία στο σύστημα πρέπει να είναι S t I t , δηλαδή 6 0, 3Yt 0, 4(Yt Yt 1 ) 0,1Yt 0, 4Yt 1 6 Yt 4Yt 1 60,
εξίσωση
μη
ομογενής πρώτης τάξης η οποία συνδέει το εισόδημα στην περίοδο t με το εισόδημα στην περίοδο t-1. Με αρχική συνθήκη Y0=30 χρηματικές μονάδες, η λύση της (1 bt ) εξίσωσης διαφορών είναι Yt b tY0 1 b (1 4t ) = 4t 30 60 50 4t 20. Η πορεία του εισοδήματος διαχρονικά είναι 1 4 αύξουσα, όπως δείχνεται από τη γραμμή yt 50 4 t 20 στο ακόλουθο σχήμα.
7. Αν η αποταμιευτική επιθυμία κατά το χρόνο t, βασισμένη στην πείρα του πρόσφατου παρελθόντος, είναι συνάρτηση του εισοδήματος της προηγούμενης περιόδου t-1, κατά τη σχέση S t 5 0,5Yt 1 , δοσμένων των υπόλοιπων συνθηκών της άσκησης 6, να υπολογιστεί η εξίσωση του εισοδήματος των επενδυτών διαχρονικά και να παρασταθεί αυτή γραφικά.
[258]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
Λύση Για να επικρατεί ισορροπία στο σύστημα πρέπει να είναι S t I t , δηλαδή και,
5 0, 5Yt 1 0, 4(Yt Yt 1 ) 0, 4Yt 0, 9Yt 1 5
τελικά,
Yt 2, 25Yt 1 12, 5,
εξίσωση μη ομογενούς πρώτης τάξης η οποία συνδέει το εισόδημα στην περίοδο t με το εισόδημα στην περίοδο t-1. Με αρχική συνθήκη Y0=30 χρηματικές μονάδες, η λύση της εξίσωσης διαφορών είναι (1 bt ) (1 2, 25t ) Yt btY0 2, 25t 30 12,5 και, τελικά, 1 b 1 2, 25 Yt 40 2, 25 t 10. Όπως και στην προηγούμενη άσκηση, η πορεία του εισοδήματος διαχρονικά είναι αύξουσα, περισσότερο όμως ομαλή, όπως δείχνεται από τη γραμμή Yt 40 2, 25 t 10 στο προηγούμενο σχήμα. 8. Οι εξισώσεις ζήτησης και προσφοράς ενός αγαθού είναι, αντίστοιχα, 135 pt qtD και q tS 20 0,3 p t 1 (όπου pt=τιμή ζήτησης του αγαθού στη χρονική 4 περίοδο t και pt 1 =τιμή προσφοράς αυτού στην περίοδο t-1). Αν η τιμή του αγαθού στην περίοδο t=0 είναι p0=30 χρηματικές μονάδες, να υπολογιστεί η συνάρτηση η οποία εκφράζει την τιμή του αγαθού διαχρονικά, σε κατάσταση ισορροπίας του συστήματος ( q tD q tS ) και να απεικονιστεί αυτή σχηματικά. Βεβαιωθείτε, επίσης, σχηματικά, ότι η πορεία της τιμής εμφανίζει μορφή «ιστού αράχνης». Λύση Σε κατάσταση ισορροπίας του συστήματος θα είναι qtD qtS , δηλαδή 135 pt 20 0,3 pt 1 pt 1, 2 pt 1 55. Εφόσον, p0 30 χρηματικές μονάδες, 4 η λύση της μη ομογενούς εξίσωσης διαφορών πρώτης τάξης θα είναι t
1 ( 1, 2) (1 b t ) και, τελικά, pt b p0 a 1, 2 30 55 1 b 1 ( 1, 2) t
pt 5 ( 1, 2) t 25. Όμως,
διαπιστώνεται στο σχήμα (α), η γραμμή λύσης
απομακρύνεται συνεχώς από την οριζόντια γραμμή pR της τιμής ισορροπίας, έτσι που η πορεία της τιμής να εμφανίζει τη μορφή «ιστού αράχνης», όπως φαίνεται στο σχήμα (β).
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[259]
9. Αν, ως συνέπεια μεταστροφής των προτιμήσεων του καταναλωτή, η εξίσωση 200 2 p t ζήτησης της άσκησης 8 γίνει qtD , ενώ η εξίσωση προσφοράς και η τιμή 4 του αγαθού στην περίοδο t0 διατηρηθούν οι ίδιες, να υπολογιστεί η συνάρτηση της τιμής διαχρονικά και να ελεγχθεί σχηματικά (με σχήμα «ιστού αράχνης») αν η τιμή συγκλίνει σε σημείο ισορροπίας. Ποια είναι η τιμή ισορροπίας του συστήματος και σε ποιο έτος, περίπου, αυτή πραγματοποιείται; Λύση Σε κατάσταση ισορροπίας του συστήματος θα είναι qtD qtS , δηλαδή 200 2 pt 20 0,3 pt 1 pt 0, 6 pt 1 60. Εφόσον p0 30 χρηματικές μονάδες, 4 η λύση της μη ομογενούς εξίσωσης διαφορών πρώτης τάξης θα είναι t
1 ( 0, 6) (1 b t ) και, τελικά, pt b p0 a ( 0, 6) 30 60 1 b 1 ( 0, 6) t
pt 7, 5 ( 0, 6) t 37, 5. Όμως, διαπιστώνεται στο σχήμα (α), η γραμμή λύσης
πλησιάζει την οριζόντια γραμμή pR της τιμής ισορροπίας, έτσι που η πορεία της τιμής να εμφανίζει τη μορφή «ιστού αράχνης», συγκλίνουσα στην τιμή ισορροπίας p0 37, 5 , όπως φαίνεται στο σχήμα (β). Η τιμή ισορροπίας του συστήματος πραγματοποιείται περίπου στο 20ό έτος, γιατί pt 7, 5 ( 0, 6) 20 37, 5 37, 49997 37, 5.
[260]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
10. Δοσμένων των αρχικών συνθηκών, να επιλυθούν οι ομογενείς εξισώσεις διαφορών δεύτερης τάξης και να επαληθευτούν: α) y t 3 y t 1 10 yt 2 (y0=8, y1= -2), β) y t 5 yt 1 6 y t 2 (y0= -3, y1= -4), γ) y t 4 y t 1 60 y t 2 (y0= 6, y1=28), δ) y t 9 y t 2 (y0=8, y1=18), ε) y t 24 y t 1 144 yt 2 (y0= 15, y1=72), στ) yt 14 yt 1 49 yt 2 (y0= -6, y1=14). Παραστήστε γραφικά τη λύση τους. Λύση α) y t 3 y t 1 10 yt 2 (y0=8, y1= -2). Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι η x 2 3 x 10 0, με ρίζες τις x1=5 και x2= -2. Η εξίσωση διαφορών y t k1 x1t k 2 x 2t , με x1=5 και x2= -2, γίνεται y t k1 (5) t k 2 ( 2) t . Για t=0 και t=1 στην εξίσωση αυτή αποκτούμε το σύστημα των εξισώσεων y0 k1 k 2 8 και y1 5k1 2k 2 -2, από το οποίο υπολογίζονται τιμές k1 2 και k2 6. Συνεπώς, η εξίσωση yt k1 (5) t k 2 ( 2) t γίνεται y t 2 5t 6( 2) t , η οποία είναι η πλήρης λύση της
ομογενούς εξίσωσης διαφορών. Η λύση αυτή ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες, γιατί y 0 2 50 6( 2) 0 8 και y1 2 51 6( 2)1 2, καθώς και την εξίσωση διαφορών. Πράγματι, θέτοντας στη
λύση και t=2, έχουμε y 2 2 5 2 6( 2) 2 74, ενώ για t=2 η εξίσωση διαφορών γίνεται y 2 3 y1 10 y0 , δηλαδή 74 3( 2) 10(8) 74. Η λύση y t 2 5t 6( 2) t απεικονίζεται στο σχήμα (α).
β) y t 5 yt 1 6 y t 2 (y0= -3, y1= -4).
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[261]
Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι η x 2 5 x 6 0, με ρίζες τις x1=3 και x2=2. Η εξίσωση διαφορών y t k1 x1t k 2 x 2t , με x1=3 και x2=2, γίνεται yt k1 (3) t k 2 (2) t . Για t=0 και t=1 στην εξίσωση αυτή αποκτούμε το σύστημα των εξισώσεων y0 k1 k 2 3 και y1 3k1 2k 2 4 , από το οποίο υπολογίζονται τιμές k1 2 και k 2 5. Συνεπώς, η εξίσωση y t k1 (3) t k 2 (2) t γίνεται yt 2 3t 5 2 t , η οποία
είναι και η πλήρης λύση της ομογενούς εξίσωσης διαφορών. Η λύση αυτή ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες, γιατί y 0 2 30 5 2 0 3 και y1 2 31 5 21 4, καθώς και την εξίσωση διαφορών. Πράγματι, θέτοντας στη λύση και t=2, έχουμε y 2 2 32 5 2 2 2, ενώ για t=2 η εξίσωση διαφορών γίνεται y2 5 y1 6 y0 , δηλαδή 2 5( 4) 6( 3) 2. Η λύση yt 2 3t 5 2 t απεικονίζεται στο σχήμα (β). γ) y t 4 y t 1 60 y t 2 (y0= 6, y1=28). Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι η x 2 4 x 60 0, με ρίζες τις x1=6 και x2= -10. Η εξίσωση διαφορών y t k1 x1t k 2 x 2t , με x1=6 και x2=-10, γίνεται y t k1 6 t k 2 ( 10) t . Για t=0 και t=1 στην εξίσωση αυτή αποκτούμε το σύστημα των εξισώσεων y0 k1 k 2 6 και y1 6k1 10 k2 28 , από το οποίο υπολογίζονται τιμές k1 5, 5 και
k 2 0, 5.
Συνεπώς,
η
εξίσωση
yt k1 6 t k 2 ( 10) t
γίνεται
y t 5, 5 6 0, 5( 10) , η οποία είναι και η πλήρης λύση της ομογενούς εξίσωσης t
t
διαφορών. Η λύση αυτή ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες, γιατί y 0 5, 5 6 0 0, 5( 10) 0 6 και y1 5, 5 61 0, 5( 10)1 =28 καθώς και την εξίσωση διαφορών. Πράγματι, θέτοντας στη λύση και t=2, έχουμε y 2 5, 5 6 2 0, 5( 10) 2 248, ενώ για t=2 η εξίσωση διαφορών γίνεται y 2 4 y1 60 y0 , δηλαδή 248 4 28 60 6 =
=248. Η λύση yt 5, 5 6 t 0, 5( 10) t απεικονίζεται συο σχήμα (γ). δ) y t 9 y t 2 (y0=8, y1=18). Υποθέτοντας ότι η λύση θα είναι της μορφής yt x t και αντικαθιστώντας στην εξίσωση, έχουμε x t 9 x t 2 . Η εξίσωση αυτή, εφόσον θα αληθεύει για όλες τις τιμές του t, θα αληθεύει και για t=2. Έτσι, η χαρακτηριστική εξίσωση θα είναι x 2 9 x 0 ή x 2 9 0, η οποία έχει ρίζες τις x1 3 x2 3. Η εξίσωση διαφορών y t k1 x1t k 2 x 2t , με x1 3 x2 3, γίνεται yt k1 3t k 2 ( 3) t . Για t=0 και t=1 στην εξίσωση αυτή
αποκτούμε το σύστημα των εξισώσεων y0 k1 k 2 8 και y1 3k1 3k 2 18, από το οποίο υπολογίζονται τιμές k1 7 και k 2 1. Συνεπώς, η εξίσωση yt k1 3t k 2 ( 3) t γίνεται yt 7 3t ( 3) t , η οποία είναι και η πλήρης λύση της ομογενούς εξίσωσης διαφορών. Η λύση αυτή ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες , γιατί y 0 7 3 0 ( 3) 0 8 και y1 7 31 ( 3)1 18, καθώς και την εξίσωση διαφορών. Πράγματι, θέτοντας στη λύση και t=2 έχουμε y 2 7 32 ( 3) 2 72, ενώ για t=2 η εξίσωση διαφορών γίνεται
[262]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
y2 9 y0 , δηλαδή 72 9 8 72. Η λύση y t 7 3t ( 3) t απεικονίζεται στο σχήμα
(δ). ε) y t 24 y t 1 144 yt 2 (y0= 15, y1=72). Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι η x 2 24 x 144 0, η οποία έχει δύο όμοιες ρίζες (εξίσωση πολλαπλότητας δύο), τις x1=12 και x2= 12. Η εξίσωση διαφορών yt ( k1 k 2 t ) x t , με x1=x2=12, γίνεται yt ( k1 k 2 t ) 12 t . Για t=0 και t=1 στην εξίσωση αυτή αποκτούμε το σύστημα των
εξισώσεων y 0 ( k1 k 2 0) 12 0 k1 15 και y1 ( k1 k 2 1) 121 12( k1 k 2 ) 72.
Από τη δεύτερη εξίσωση, για k1 15,
υπολογίζεται k 2 9. Έτσι, η πλήρης λύση της ομογενούς εξίσωσης διαφορών είναι η
yt (15 9t ) 12 t , η οποία ικανοποιεί αφενός τις αρχικές συνθήκες, γιατί
y 0 (15 9 0) 12 0 15
και
y1 (15 9 1) 121 72,
αφετέρου
την
εξίσωση
διαφορών. Πράγματι, θέτοντας στη λύση και t=2, έχουμε y 2 (15 9 2) 12 2 432, ενώ για t=2 η εξίσωση διαφορών γίνεται y 2 24 y1 144 y0 , δηλαδή 432 24 72 144 15 432. Η λύση yt (15 9t ) 12 t απεικονίζεται στο σχήμα (ε).
στ) yt 14 yt 1 49 yt 2 (y0= -6, y1=14). Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι η x 2 14 x 49 0, η οποία έχει δύο όμοιες ρίζες (εξίσωση πολλαπλότητας δύο), τις x1= -7 και x2= -7. Η yt ( k1 k 2 t ) x t , με x1=x2= -7, γίνεται
εξίσωση διαφορών
yt ( k1 k 2 t ) ( 7) t . Για t=0 και t=1 στην εξίσωση αυτή αποκτούμε το σύύστημα των
εξισώσεων
y 0 ( k1 k 2 0) ( 7) 0 k1 6 και y1 ( k1 k 2 1) ( 7)1 7( k1 k 2 ) 14. Από τη δεύτερη εξίσωση, για k1 6,
υπολογίζεται k 2 4. Έτσι, η πλήρης λύση της ομογενούς εξίσωσης διαφορών είναι η yt ( 6 4t ) ( 7) t , η οποία ικανοποιεί αφενός τις αρχικές συνθήκες, γιατί y 0 ( 6 4 0) ( 7) 0 6 και y1 ( 6 4 1) ( 7)1 14, αφετέρου την εξίσωση
διαφορών.
Πράγματι,
θέτοντας στη λύση και t=2, για t=2 η εξίσωση διαφορών y 2 ( 6 4 2)( 7) 2 98, ενώ
έχουμε γίνεται
y 2 14 y1 49 y0 , δηλαδή 98 14 14 49 ( 6) 98. Η λύση y t ( 6 4t )( 7) t απεικονίζεται στο σχήμα (στ).
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[263]
11. Δοσμένων των αρχικών συνθηκών, να επιλυθούν και να επαληθευτούν οι μη ομογενείς εξισώσεις διαφορών δεύτερης τάξης:
[264]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
α) y t 3 y t 1 10 y t 2 12 (y0= 9, y1= -1) β) y t 6 y t 1 8 yt 2 9 (y0= 5, y1= 19) γ) y t 4 y t 1 3 y t 2 6 (y0=10, y1= 17) δ) y t 5 y t 1 6 y t 2 7 (y0= 5, y1= 13) ε) y t 9 y t 2 16 (y0=12, y1= -4) στ) y t y t 2 8 (y0= 20, y1= 6) ζ) y t 2 y t 1 y t 2 12 (y0= 5, y1= 9). Λύση α) y t 3 y t 1 10 y t 2 12 (y0= 9, y1= -1). Η απλοποιημένη ομογενής εξίσωση είναι η yt 3 yt 1 10 yt 2 και η χαρακτηριστική εξίσωση η x 2 3 x 10 0, με ρίζες τις x1=5 και x2= -2. Επομένως, η συμπληρωματική συνάρτηση θα είναι η y t k1 5t k 2 ( 2) t . Θέτοντας yt z, και για όλες τις τιμές t, στην αρχική εξίσωση διαφορών έχουμε z 3 z 10 z 12, η οποία δίνει την ειδική λύση z=1. Έτσι, η γενική λύση είναι η yt k1 5t k 2 ( 2) t 1. Με αρχικές συνθήκες y0=9 και y1= -1, η γενική λύση γίνεται αντιστοίχως : y 0 k1 5 0 k 2 ( 2) 0 1 k1 k 2 8 και y1 k1 51 k 2 ( 2)1 1 5 k1 2 k 2 2 από το οποίο σύστημα προκύπτουν τιμές
k1 2 και k2 6. Επομένως, η πλήρης λύση της μη ομογενούς εξίσωσης διαφορών yt 3 yt 1 10 yt 2 12 είναι η yt 2 5t 6( 2) t 1 , η οποία ικανοποιεί αφενός τις
αρχικές συνθήκες, γιατί y 0 2 5 0 6( 2) 0 1 9 και y1 2 51 6( 2)1 1 1, αφετέρου την εξίσωση διαφορών. Πράγματι, θέτοντας στη
λύση και t=2, έχουμε
y 2 2 5 2 6( 2) 2 1 75, ενώ για t=2 η εξίσωση διαφορών
γίνεται y 2 3 y1 10 y0 12, που επαληθεύεται αφού 75 3 ( 1) 10 9 12.
β) y t 6 y t 1 8 yt 2 9 (y0= 5, y1= 19). Η απλοποιημένη ομογενής εξίσωση είναι η yt 6 yt 1 8 yt 2 και η χαρακτηριστική εξίσωση η x 2 6 x 8 0, με ρίζες τις x1=4 και x2= 2. Επομένως, η συμπληρωματική συνάρτηση θα είναι η yt k1 4t k 2 2 t . Θέτοντας yt z, και για όλες τις τιμές t, στην αρχική εξίσωση διαφορών έχουμε z 6 z 8 z 9, η οποία δίνει την ειδική λύση z= -3. Έτσι, η γενική λύση είναι η yt k1 4 t k 2 2t 3. Με αρχικές συνθήκες y0=5 και y1=-19, η γενική λύση γίνεται
αντιστοίχως :
y 0 k1 4 0 k 2 2 0 3 k1 k 2 8 και
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[265]
y1 k1 41 k 2 21 3 4 k1 2 k 2 22 από το οποίο σύστημα προ-
κύπτουν τιμές k1 3 και k2 5 . Επομένως, η πλήρης λύση της μη ομογενούς εξίσωσης διαφορών yt 6 yt 1 8 yt 2 9 είναι η yt 3 4 t 5 2 t 3 ,
η οποία ικανοποιεί αφενός τις αρχικές συνθήκες,γιατί
y 0 3 4 0 5 2 0 3 5 και y1 3 41 5 21 3 19, αφετέρου την εξίσωση διαφορών.
Πράγματι, θέτοντας στη λύση και t=2, έχουμε y 2 3 4 2 5 2 2 3 65, ενώ για t=2 η εξίσωση διαφορών γίνεται y 2 6 y1 8 y0 9, που επαληθεύεται αφού 65 6 19 8 5 9.
γ) y t 4 y t 1 3 y t 2 6 (y0=10, y1= 17), Η απλοποιημένη ομογενής εξίσωση είναι η yt 4 yt 1 3 yt 2 και η χαρακτηριστική εξίσωση η x 2 4 x 3 0, με ρίζες τις x1=3 και x2=1. Επομένως, η συμπληρωματική συνάρτηση θα είναι η y t k1 3t k 2 1t . Θέτοντας yt z, στην αρχική εξίσωση διαφορών έχουμε zt 4 z (t 1) 3 z (t 2) 6, η οποία δίνει z= -3 και, συνεπώς, η ειδική
λύση είναι η yt zt 3t. Έτσι η γενική λύση είναι η yt k1 3t k 2 3t . Με αρχικές συνθήκες y0=10 και y1=-17, η γενική
λύση γίνεται αντιστοίχως :
y 0 k1 30 k 2 3 0 k1 k 2 10 και y1 k1 31 k 2 3 1 3k1 k 2 20 από το οποίο σύστημα προκύπτουν τιμές k1 5
και k2 5 . Επομένως, η πλήρης λύση της μη ομογενούς εξίσωσης διαφορών yt 4 yt 1 3 yt 2 6 είναι η yt 5 3t 3t 5 , η οποία ικανοποιεί αφενός τις αρχικές συνθήκες, γιατί y 0 5 30 3 0 5 10
και
την
εξίσωση
λύση και t=2, εξίσωση διαφορών
έχουμε γίνεται
y1 5 31 3 1 5 17,
διαφορών. Πράγματι, θέτοντας στη και y 2 5 3 2 3 2 5 14, ενώ για t=2 η
αφετέρου
y2 4 y1 3 y0 6, που επαληθεύεται αφού 44 4 17 3 10 6.
δ) y t 5 y t 1 6 y t 2 7 (y0= 5, y1= 13). Η απλοποιημένη ομογενής εξίσωση είναι η yt 5 yt 1 6 yt 2 και η χαρακτηριστική εξίσωση η x 2 5 x 6 0, με ρίζες τις x1= -6 και x2=1. Επομένως, η συμπληρωματική συνάρτηση θα είναι η yt k1 ( 6) t k 2 1t . Θέτοντας yt zt στην αρχική εξίσωση διαφορών, έχουμε zt 5 z (t 1) 6 z (t 2) 7, η οποία δίνει z=1 και, συνεπώς, η ειδική λύση είναι η
yt zt t. Έτσι η γενική λύση είναι η yt k1 ( 6) t k 2 t . Με αρχικές συνθήκες y0=5
και y1=-13, η γενική λύση γίνεται αντιστοίχως: y 0 k1 ( 6) 0 k 2 0 k1 k 2 5 και
[266]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
y1 k1 ( 6)1 k 2 1 6 k1 k 2 12 από το οποίο σύστημα προκύπτουν τιμές
k1 1 και k2 6 . Επομένως, η πλήρης λύση της μη ομογενούς εξίσωσης διαφορών yt 5 yt 1 6 yt 2 7 είναι η yt ( 6) t t 6 , η οποία ικανοποιεί αφενός τις
αρχικές συνθήκες, γιατί y 0 ( 6) 0 0 6 5 και y1 ( 6)1 1 6 13, αφετέρου την εξίσωση διαφορών. Πράγματι, θέτοντας στη λύση και t=2, έχουμε ενώ για t=2 η εξίσωση διαφορών γίνεται y 2 ( 6) 2 2 6 28, y2 5 y1 6 y0 7, που επαληθεύεται αφού 28 5 13 6 5 7.
ε) y t 9 y t 2 16 (y0=12, y1= -4). Η απλοποιημένη ομογενής εξίσωση είναι η yt 9 yt 2 και η χαρακτηριστική εξίσωση η x 2 9 0, με ρίζες τις x1=3 και x2= -3. Επομένως, η συμπληρωματική συνάρτηση θα είναι η yt k1 3t k 2 ( 3) t . Θέτοντας yt z, και για όλες τις τιμές του t, στην αρχική εξίσωση διαφορών, έχουμε z 9 z 16, η οποία δίνει z=2 που είναι και η ειδική λύση. Έτσι, η γενική λύση είναι η yt k1 3t k 2 ( 3) t 2. Με αρχικές συνθήκες y0=12 και y1= -4, η γενική λύση γίνεται αντιστοίχως : y 0 k1 3 0 k 2 ( 3) 0 2 k1 k 2 10 και y1 k1 31 k 2 ( 3)1 2 3 k1 3k 2 6 από το οποίο σύστημα
προκύπτουν τιμές k1 4 και k2 6 . Επομένως, η πλήρης λύση της μη ομογενούς εξίσωσης διαφορών yt 9 yt 2 16 είναι η yt 4 3t 6( 3) t 2 , η οποία ικανοποιεί αφενός τις αρχικές συνθήκες γιατί y 0 4 30 6( 3) 0 2 12 και y1 4 31 6( 3)1 2 4, αφετέρου την εξίσωση διαφορών. Πράγματι, θέτοντας
στη λύση t=2, έχουμε
y 2 4 3 2 6( 3) 2 2 92, ενώ για t=2 η εξίσωση διαφορών
γίνεται y2 9 y0 16, που επαληθεύεται αφού 92 9 12 16. στ) y t y t 2 8 (y0= 20, y1= 6). Η απλοποιημένη ομογενής εξίσωση είναι η yt yt 2 και η χαρακτηριστική εξίσωση η x 2 1 0, με ρίζες τις x1=1 και x2= -1. Επομένως, η συμπληρωματική συνάρτηση θα
είναι η
yt k1 1t k 2 ( 1) t . Θέτοντας yt zt
στην αρχική εξίσωση διαφορών, έχουμε
zt z (t 2) 8, η οποία δίνει z= -4 και, συνεπώς, η ειδική λύση είναι η yt zt 4t.
Έτσι, η γενική λύση είναι η y t k1 k 2 ( 1) t 4t . Με αρχικές συνθήκες y0=20 και y1=6, η γενική λύση γίνεται αντιστοίχως: y 0 k1 k 2 ( 1) 0 4 0 k1 k 2 20 και y1 k1 k 2 ( 1)1 4 1 k1 k 2 10 από το οποίο σύστημα προκύπτουν τιμές
k1 15 και k2 5 . Επομένως, η πλήρης λύση της μη ομογενούς εξίσωσης διαφορών
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[267]
yt yt 2 8 είναι η yt 5( 1) t 4t 15 , η οποία ικανοποιεί αφενός τις αρχικές
συνθήκες γιατί y 0 5( 1) 0 4 0 15 20 και y1 5( 1)1 4 1 15 6, αφετέρου την εξίσωση διαφορών. Πράγματι, θέτοντας στη
λύση και t=2, έχουμε
y 2 5( 1) 2 4 2 15 12, ενώ για t=2 η εξίσωση διαφορών γίνεται y2 y0 8, που
επαληθεύεται αφού 12 20 8. ζ) y t 2 y t 1 y t 2 12 (y0= 5, y1= 9). Η απλοποιημένη ομογενής εξίσωση είναι η yt 2 yt 1 yt 2 και η χαρακτηριστική εξίσωση η x 2 2 x 1 0, με δύο όμοιες ρίζες τις x1=1 και x2= 1. Επομένως, η συμπληρωματική συνάρτηση θα είναι η yt ( k1 k 2 t ) 1t . Θέτοντας y t zt 2 στην αρχική εξίσωση διαφορών, έχουμε zt 2 2 z (t 1) 2 z (t 2) 2 12, η οποία δίνει z=6 και, συνεπώς, η ειδική λύση είναι η yt zt 2 6t 2 . Έτσι, η γενική λύση είναι η yt ( k1 k 2 t ) 6t 2 . Με αρχικές συνθήκες y0=5 και
y1=9, η γενική λύση γίνεται
αντιστοίχως :
y 0 ( k1 k 2 0) 6 0 2 k1 5 και y1 ( k1 k 2 1) 6 12 k1 k 2 3. Θέτοντας στη δεύτερη εξίσωση όπου k1 5 ,
υπολογίζεται τιμή k 2 2. Επομένως, η πλήρης λύση της μη ομογενούς εξίσωσης διαφορών yt 2 yt 1 yt 2 12 είναι η y t 6t 2 2t 5, η οποία ικανοποιεί αφενός τις αρχικές συνθήκες, γιατί
y0 6 0 2 2 0 5 5
και
y1 6 12 2 1 5 9,
αφετέρου την εξίσωση διαφορών. Πράγματι, θέτοντας στη λύση και t=2, έχουμε y 2 6 2 2 2 2 5 25, ενώ για t=2 η εξίσωση διαφορών γίνεται y 2 2 y1 y0 12, που επαληθεύεται αφού 25 2 9 5 12. 12. Αν υποτεθεί ότι η πωλούμενη ποσότητα καταναλωτικών αγαθών στο χρόνο t είναι συνάρτηση, σύμφωνα με την «αρχή του πολλαπλασιαστή», του πραγματοποιηθέντος στην προηγούμενη περίοδο εισοδήματος, κατά τη σχέση C t 50 0,5Yt 1 και η επένδυση είναι συνάρτηση, σύμφωνα με την «αρχή της επιτάχυνσης», της αύξησης του εισοδήματος στις δύο προηγούμενες περιόδους, κατά τη σχέση I t 5(Yt 1 Yt 2 ) , δείξτε ότι, αν Y0 Y1 100 , το εισόδημα παραμένει στο 100, αν, όμως, Υ1=164, δείξτε ότι το εισόδημα διακυμαίνεται περιοδικά. Επαληθεύστε με τη χρησιμοποίηση σχήματος. Λύση Η εξίσωση του εισοδήματος κατά την περίοδο t είναι Yt Ct I t , δηλαδή Yt 50 0, 5Yt 1 5(Yt 1 Yt 2 ) και, τελικά, Yt 5, 5Yt 1 5Yt 2 50.
Με την επίλυση της μη ομογενούς αυτής εξίσωσης καταλήγουμε στη γενική λύση Yt k1 4, 35 t k 2 1,15 t 100. Με αρχικές συνθήκες Y0=100 και Υ1=100, η παραπάνω
[268]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
γενική λύση δίνει τιμές k1 0 και k 2 0, οπότε η πλήρης λύση είναι η Υt=100, που σημαίνει ότι το εισόδημα παραμένει διαχρονικά σταθερό και ίσο με 100 χρηματικές μονάδες. Με αρχικές συνθήκες Υ0=100 και Υ1=164, η γενική λύση δίνει τιμές k1=20 και k2= -20, οπότε η πλήρης λύση είναι η Yt 20 4, 35t 20 1,15 t 100, που σημαίνει ότι το εισόδημα διακυμαίνεται στις διάφορες χρονικές περιόδους t. Τα παραπάνω επιβεβαιώνονται στο ακόλουθο σχήμα.
13. Δοσμένων των αρχικών συνθηκών, να επιλυθούν και να επαληθευτούν οι εξισώσεις διαφορών: α) y t 8 yt 1 3 y t 2 90 y t 3 (y0=20, y1=12, y2=18), β) y t 13 y t 1 56 y t 2 80 y t 3 36 (y0=8, y1=30, y2=14), γ) y t 11 y t 1 35 y t 2 25 y t 3 48 (y0=24, y1=19, y2= -18), δ) y t y t 1 y t 2 y t 3 20 (y0=9, y1=4, y2=1), ε) y t 9 y t 1 27 y t 2 27 y t 3 32 (y0=9, y1=14, y2=55), στ) y t 7 yt 2 6 y t 3 20 (y0=20, y1=11, y2=3), ζ) y t 8 yt 1 9 y t 2 38 y t 3 40 yt 4 180 (y0=20, y1=55, y2=100, y3=150). η) yt 6 yt 1 13 yt 2 12 yt 3 4 yt 4 ( y0 100, y1 50, y2 200, y3 300 . Λύση α) y t 8 yt 1 3 y t 2 90 y t 3 (y0=20, y1=12, y2=18). Η
χαρακτηριστική
εξίσωση
είναι
η
x 3 8 x 2 3 x 90 0, με
ρίζες
τις x1 6, x2 3 x3 5. Επομένως, η εξίσωση διαφορών y t k1 x1t k 2 x 2t k 3 x3t γίνεται y t k1 6 t k 2 ( 3) t k 3 5t . Για t=0, t=1 και t=2 στην
εξίσωση αυτή, έχουμε: y 0 k1 6 0 k 2 ( 3) 0 k 3 5 0 20 k1 k 2 k 3 20
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[269]
y1 k1 61 k 2 ( 3)1 k 3 51 12 6 k1 3k 2 5 k 3 12 και y 2 k1 6 2 k 2 ( 3) 2 k 3 5 2 18 36 k1 9 k 2 25 k 3 18
από το οποίο σύστημα υπολογίζονται τιμές k1 34, k2 6, 75 k 3 47, 25. Συνεπώς, η εξίσωση y t k1 6 t k 2 ( 3) t k 3 5 t γίνεται y t 34 6 t 6, 75( 3) t 47, 25 5 t , η οποία είναι και η πλήρης λύση της ομογενούς
εξίσωσης διαφορών τρίτης τάξης. Η λύση αυτή ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες, γιατί y 0 34 6 0 6, 75( 3) 0 47, 25 5 0 20 y1 34 61 6, 75( 3)1 47, 25 51 12 και y 2 34 6 2 6, 75( 3) 2 47, 25 5 2 18,
καθώς και την εξίσωση διαφορών.
Πράγματι, θέτοντας στη λύση t=3 έχουμε
y 3 34 6 3 6, 75( 3) 3 47, 25 5 32 1620, ενώ για t=3 η εξίσωση διαφορών
γίνεται y3 8 y2 3 y1 90 y0 , που επαληθεύεται αφού 1620 8 18 3 12 90 20. β) y t 13 y t 1 56 y t 2 80 y t 3 36 (y0=8, y1=30, y2=14). Η απλοποιημένη ομογενής εξίσωση είναι η yt 13 yt 1 56 yt 2 80 yt 3 και η χαρακτηριστική εξίσωση x 3 13 x 2 56 x 80 0,
με
ρίζες
τις
x1 4, x2 4 x3 5.
Έτσι,
η
συμπληρωματική συνάρτηση είναι η y t ( k1 k 2 t ) 4 t k 3 5 t .
Υποθέτοντας, τώρα, ότι yt z για όλες τις τιμές του t, η αρχική εξίσωση διαφορών γίνεται z 13 z 56 z 80 z 36 , από την οποία προκύπτει η ειδική λύση z=1. Έτσι, η γενική λύση είναι η yt ( k1 k 2 t ) 4 t k 3 5t 1. Με αρχικές συνθήκες y0 8, y1 30 και y 2 14, η γενική λύση γίνεται, αντιστοίχως: y 0 ( k1 k 2 0) 4 0 k 3 5 0 1 8 k1 k 3 7 y1 ( k1 k 2 1) 41 k 3 51 1 30 4 k1 4 k 2 5 k 3 29 και y 2 ( k1 k 2 2) 4 2 k 3 5 2 1 14 16 k1 32 k 2 25 k 3 13
από το οποίο σύστημα υπολογίζονται τιμές k1 114, k 2 27 και k3 107. Επομένως, η πλήρης λύση της μη ομογενούς εξίσωσης διαφορών τρίτης
τάξης yt 13 yt 1 56 yt 2 80 yt 3 είναι η y t (114 27 t ) 4 t 107 5 t 1, η οποία ικανοποιεί αφενός τις αρχικές συνθήκες,
γιατί y 0 (114 27 0) 4 0 107 5 0 1 8, y 0 (114 27 1) 41 107 51 1 30 και y 2 (114 27 2) 4 2 107 5 2 1 14, αφετέρου την εξίσωση διαφορών. Πράγματι,
θέτοντας στη λύση t=3 έχουμε
y 3 (114 27 3) 4 3 107 5 3 1 894, ενώ για t=3 η εξίσωση
[270]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
διαφορών
γίνεται
που
y3 13 y2 56 y1 80 y0 36,
επαληθεύεται
αφού
894 13 14 56 30 80 8 36.
γ) y t 11 y t 1 35 y t 2 25 y t 3 48 (y0=24, y1=19, y2= -18). Η απλοποιημένη ομογενής εξίσωση είναι η yt 11 yt 1 35 yt 2 25 yt 3 και η χαρακτηριστική εξίσωση η με
x 3 11x 2 35 x 25 0,
ρίζες
τις
x1 5, x2 5 x3 1.
Έτσι,
η
συμπληρωματική συνάρτηση είναι η y t ( k1 k 2 t ) 5t k 3 1t .
Θέτοντας όπου yt zt στην αρχική εξίσωση διαφορών, έχουμε zt 11z (t 1) 35 z (t 2) 25 z (t 3) 48 , η οποία δίνει λύση z=3 και, συνεπώς, η
ειδική
λύση
είναι
η
yt zt 3t.
Έτσι,
η
γενική
λύση
είναι
η
y t ( k1 k 2 t ) 5t k 3 3t . Με αρχικές συνθήκες y0 24 και y1 19 η γενική λύση
γίνεται, αντιστοίχως: y 0 ( k1 k 2 0) 5 0 k 3 3 0 24 k1 k 3 24 y1 ( k1 k 2 1) 51 k 3 3 1 19 5 k1 5 k 2 k 3 16 και y 2 ( k1 k 2 2) 5 2 k 3 3 2 18 25 k1 50 k 2 k 3 24
από το οποίο σύστημα υπολογίζονται τιμές k1 2, k2 0 και k3 26. Επομένως, η πλήρης λύση της μη ομογενούς εξίσωσης διαφορών τρίτης
τάξης yt 11 yt 1 35 yt 2 25 yt 3 48 είναι η y t ( 2 0 t ) 5 t 26 3t ή y t 2 5 t 3t 26, η οποία ικανοποιεί αφενός τις
αρχικές συνθήκες, γιατί
y 0 2 5 0 3 0 26 24 y1 2 51 3 1 26 19 και
,
2
y 2 2 5 3 2 26 18,
αφετέρου την εξίσωση διαφορών. Πράγματι, θέτοντας στη λύση t=3, έχουμε y 3 2 53 3 3 26 215, ενώ για t=3 η εξίσωση διαφορών γίνεται y3 11 y 2 35 y1 25 y0 48, που επαληθεύεται αφού 215 11 ( 18) 35 19 25 24 48.
δ) y t y t 1 y t 2 y t 3 20 (y0=9, y1=4, y2=1). Η απλοποιημένη ομογενής εξίσωση είναι η yt yt 1 yt 2 yt 3 και η χαρακτηριστική εξίσωση η x 3 x 2 x 1 0, με ρίζες τις x1 1, x2 1 x3 1. Έτσι,
η συμπληρωματική συνάρτηση είναι η yt ( k1 k 2 t ) 1t k 3 ( 1) t . Θέτοντας όπου y t zt 2 στην αρχική εξίσωση διαφορών, έχουμε zt 2 z (t 1) 2 z (t 2) 2 z (t 3) 2 20, η οποία δίνει λύση z=5 και, συνεπώς, η ειδική
λύση είναι η yt zt 2 5t 2 . Έτσι, η γενική λύση είναι η y t ( k1 k 2 t ) k 3 ( 1) 5t 2 . Με αρχικές συνθήκες y0 9, y1 4 και y2 1, η γενική λύση γίνεται, αντιστοίχως:
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[271]
y 0 ( k1 k 2 0) k 3 ( 1) 0 5 0 2 9 k1 k 3 9 y1 ( k1 k 2 1) k 3 ( 1)1 5 12 4 k1 k 2 k 3 1 και y 2 ( k1 k 2 2) k 3 ( 1) 2 5 2 2 1 k1 2 k 2 k 3 19
από το οποίο σύστημα υπολογίζονται τιμές k1 11, k 2 14 και k3 2. Επομένως, η πλήρης λύση της μη ομογενούς εξίσωσης διαφορών τρίτης
τάξης yt yt 1 yt 2 yt 3 20 είναι η yt (11 14 t ) 2( 1) t 5t 2 , η οποία ικανοποιεί αφενός τις αρχικές συνθήκες, γιατί y 0 (11 14 0) 2( 1) 0 5 0 2 9 y1 (11 14 1) 2( 1)1 5 12 4 και y 2 (11 14 2) 2( 1) 2 5 2 2 1
αφετέρου την εξίσωση διαφορών. Πράγματι, θέτοντας στη λύση t=3, έχουμε y 3 (11 14 3) 2( 1) 3 5 3 2 16, ενώ για t=3 η εξίσωση διαφορών γίνεται y3 y2 y1 y0 20, που επαληθεύεται αφού 16 1 4 9 20.
ε) y t 9 y t 1 27 y t 2 27 y t 3 32 (y0=9, y1=14, y2=55). Η απλοποιημένη ομογενής εξίσωση είναι η yt 9 yt 1 27 yt 2 27 yt 3 και η χαρακτηριστική εξίσωση η x 3 9 x 2 27 x 27 0,
με τρεις όμοιες ρίζες (ρίζες πολλαπλότητας 3), τις
x1 x2 x3 3. Έτσι, η συμπληρωματική συνάρτηση είναι η yt ( k1 k 2 t k 3t 2 ) 3t .
Θέτοντας όπου yt z για όλες τις τιμές του t στην αρχική εξίσωση διαφορών, έχουμε z 9 z 27 z 27 z 32, η οποία δίνει λύση z=4, η οποία είναι και η ειδική λύση. Συνεπώς, η γενική λύση θα είναι η y t ( k1 k 2 t k 3t 2 ) 3t 4. Με αρχικές συνθήκες y0 9, y1 14 και y2 55, η γενική λύση γίνεται, αντιστοίχως: y 0 ( k1 k 2 0 k 3 0 2 ) 30 4 9 k1 5 y1 ( k1 k 2 1 k 3 12 ) 31 4 14 3 k1 3 k 2 3 k 3 10 και y 2 ( k1 k 2 2 k 3 2 2 ) 32 4 55 9 k1 18 k 2 36 k 3 51
Θέτοντας την τιμή k1 5 στη δεύτερη και τρίτη των εξισώσεων του συστήματος και επιλύοντας τούτο ως προς k2 και k3 αποκτούμε 11 k2 k3 2. Επομένως, η πλήρης λύση της μη ομογενούς εξίσωσης 3 διαφορών τρίτης τάξης yt 9 yt 1 27 yt 2 27 yt 3 32 είναι η 11 yt (5 t 2t 2 ) 3t 4, η οποία ικανοποιεί αφενός τις αρχι3 11 κές συνθήκες, γιατί y0 (5 0 2 0 2 ) 30 4 9 3 11 y1 (5 1 2 12 ) 31 4 14 και 3 11 y2 (5 2 2 2 2 ) 32 4 55 3
[272]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
αφετέρου την εξίσωση διαφορών. Πράγματι, θέτοντας στη λύση t=3, έχουμε 11 y2 (5 3 2 32 ) 33 4 328, ενώ για t=3 η εξίσωση διαφορών γίνεται 3 y3 9 y2 27 y1 27 y0 32, που επαληθεύεται αφού 328 9 55 27 14 27 9 32. στ) y t 7 yt 2 6 y t 3 20 (y0=20, y1=11, y2=3). Η απλοποιημένη ομογενής εξίσωση είναι η yt 7 yt 2 6 yt 3 και η χαρακτηριστική εξίσωση η x 3 7 x 6 0, με ρίζες τις x1 1, x2 2 x3 3.
Έτσι,
η
συμπληρωματική
συνάρτηση
είναι
η
y t k1 1t k 2 2 t k 3 ( 3) t . Θέτοντας όπου yt zt στην αρχική εξίσωση διαφορών,
έχουμε
zt 7 z (t 2) 6 z (t 3) 20, η οποία δίνει λύση z= -5 και, συνεπώς, η ειδική είναι η
yt zt 5t . Έτσι, η γενική λύση είναι η y t k1 k 2 2 k 3 ( 3) 5t . Με αρχικές συνθήκες y 0 20, y1 11 και y2 3, η
γενική λύση γίνεται, αντιστοίχως: y 0 k1 k 2 2 0 k 3 ( 3) 0 5 0 20 k1 k 2 k 3 20 y1 k1 k 2 21 k 3 ( 3)1 5 1 11 k1 2 k 2 3 k 3 16 και y 2 k1 k 2 212 k 3 ( 3) 2 5 2 3 k1 4 k 2 9 k 3 13
σύστημα που δίνει τιμές k1 22, 75, k 2 3 και k3 0, 25. Επομένως, η πλήρης λύση της μη ομογενούς εξίσωσης διαφορών τρίτης τάξης yt 7 yt 2 6 yt 3 20 είναι η y t 22, 75 3 2 0, 25( 3) 5t , η οποία ικανοποιεί αφενός τις αρχικές συνθήκες,
γιατί y 0 22, 75 3 2 0 0, 25( 3) 0 5 0 20 y1 22, 75 3 21 0, 25( 3)1 5 1 11 και y 2 22, 75 3 2 2 0, 25( 3) 2 5 2 3
αφετέρου την εξίσωση διαφορών. Πράγματι, θέτοντας στη λύση t=3, έχουμε y 3 22, 75 3 2 3 0, 25( 3) 3 5 3 23, ενώ για t=3 η εξίσωση διαφορών γίνεται y3 7 y1 6 y0 20, που επαληθεύεται αφού 23 7 11 6 20 20.
ζ) y t 8 yt 1 9 y t 2 38 y t 3 40 yt 4 180 (y0=20, y1=55, y2=100, y3=150). Η απλοποιημένη ομογενής εξίσωση είναι η και η yt 8 yt 1 9 yt 2 38 yt 3 40 yt 4
χαρακτηριστική
εξίσωση
η
x 8 x 9 x 38 x 40 0, με ρίζες τις x1 4, x2 5, x3 2 και x4 1. Έτσι, η 4
3
2
συμπληρωματική συνάρτηση είναι η y t k1 4 t k 2 5t k 3 ( 2) t k 4 1t . Θέτοντας όπου yt zt στην αρχική εξίσωση διαφορών, έχουμε
zt 8 z (t 1) 9 z (t 2) 38 z (t 3) 40 z (t 4) 180, η οποία δίνει λύση z= 5 και,
συνεπώς, η ειδική είναι η
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
yt k1 4 t k 2 5t k 3 ( 2) t k 4 5t.
[273]
Με
αρχικές
συνθήκες
y0 20, y1 55,
y2 100 y3 150, η γενική λύση γίνεται, αντιστοίχως: y 0 k1 4 0 k 2 5 0 k 3 ( 2) 0 k 4 5 0 20 k1 k 2 k 3 k 4 =20 y1 k1 41 k 2 51 k 3 ( 2)1 k 4 5 1 55 y 2 k1 4 2 k 2 5 2 k 3 ( 2) 2 k 4 5 2 100
16k1 25k 2 4 k3 k 4 =90 και y 3 k1 4 3 k 2 53 k 3 ( 2) 3 k 4 5 3 150
64 k1 125k 2 8k3 k 4 135, σύστημα το οποίο δίνει τιμές
k1=20,833, k2= -9,821, k3= -2,265 και k4=11,253. Επομένως, η πλήρης λύση της μη ομογενούς εξίσωσης διαφορών τέταρτης τάξης yt 8 yt 2 9 yt 2 38 yt 3 40 yt 4 180 είναι η y t 20, 833 4 t 9, 821 5 t 2, 265( 2) t 5t 11, 253 η οποία ικανοποιεί αφενός τις
αρχικές συνθήκες, γιατί y 0 20, 833 4 0 9, 821 5 0 2, 265( 2) 0 5 0 11, 253 20 y1 20, 833 41 9, 821 51 2, 265( 2) 1 5 1 11, 253 55 y 2 20, 833 4 2 9, 821 5 2 2, 265( 2) 2 5 2 11, 253 100 y 3 20, 833 4 3 9, 821 5 3 2, 265( 2) 3 5 3 11, 253 150
αφετέρου την εξίσωση διαφορών. Πράγματι, θέτοντας στη λύση t=4, έχουμε y 4 20, 833 4 4 9, 821 5 4 2, 265( 2) 4 5 4 11, 253
810, ενώ για t=4 η εξίσωση διαφορών γίνεται
y 4 8 y3 9 y 2 38 y1 40 y0 180 η οποία επαληθεύεται αφού 810 8 150 9 100 38 55 40 20 180.
η) yt 6 yt 1 13 yt 2 12 yt 3 4 yt 4 ( y0 100, y1 50, y2 200, y3 300 . Η χαρακτηριστική εξίσωση της ομογενούς αυτής εξίσωσης είναι η x 4 6 x 3 13 x 2 12 x 4 0, με ρίζες x1 x2 2 και x3 x4 1. Επομένως, η γενική λύση θα είναι η y t ( k1 k 2 t ) 2 t ( k 3 k 4 t ) 1t .
Με αρχικές συνθήκες y0 100, y1 50, y 2 200 y3 300, η γενική λύση γίνεται αντιστοίχως: y 0 ( k1 k 2 0) 2 0 k 3 k 4 0 100 k1 k 3 100 y1 ( k1 k 2 1) 21 k 3 k 4 1 50 2 k1 2 k 2 k 3 k 4 50 y 2 ( k1 k 2 2) 2 2 k 3 k 4 2 200 4 k1 8 k 2 k 3 2 k 4 200 y 3 ( k1 k 2 3) 2 3 k 3 k 4 3 300 8 k1 24 k 2 k 3 3 k 4 300,
σύστημα το οποίο δίνει τιμές k1=100, k2= -25, k3= -200 και k4=100. Επομένως, η λύση (πλήρης) της ομογενούς εξίσωσης διαφορών τέταρτης τάξης yt 6 yt 1 13 yt 2 12 yt 3 4 yt 4 είναι η y t (100 25 t ) 2 t100 t 200, η οποία ικανοποιεί αφενός τις αρχικές συνθήκες, γιατί
[274]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
y 0 (100 25 0) 2 0 100 0 200 100 y1 (100 25 1) 21 100 1 200 50 y 2 (100 25 2) 2 2 100 2 200 200 y 3 (100 25 3) 2 3 100 3 200 300
Αφετέρου την εξίσωση διαφορών.
Πράγματι, θέτοντας στη λύση t=4 έχουμε y 4 (100 25 4) 2 4 100 4 200 200, ενώ για t=4 η εξίσωση διαφορών γίνεται y 4 6 y3 13 y 2 12 y1 4 y0 , η οποία επαληθεύεται αφού
200 6 300 13 200 12 50 4 ( 100).
14. Αν η τιμή ενός προϊόντος που αναμένει ο γεωργός να ισχύσει στο χρόνο t είναι συνάρτηση των πραγματικών τιμών αυτού που επικράτησαν στο παρελθόν, ο δε συντελεστής προσδοκίας είναι β=0,319, να διατυπωθεί, κατά το γραμμικό υπόδειγμα του Nerlove, η εξίσωση διαφορών, ώστε να λαμβάνεται υπόψη το 90% των επιδράσεων των παρελθόντων τιμών επί της προσδοκώμενης τιμής. Λύση Το άθροισμα των επιδράσεων των παρελθουσών τιμών επί της προσδοκώμενης τιμής δίνεται από τη σχέση SW 1 (1 ) . Έτσι, θα είναι 0, 90 1 (1 0, 319) 0, 681 0,10 6. Επομένως, η εξίσωση διαφορών
η οποία συνδέει την προσδοκώμενη από το γεωργό τιμή pt* με τις έξι παρελθούσες τιμές είναι pt* 0, 319 pt 1 (1 0, 319) 0, 319 pt 2 (1 0, 319) 2 0, 319 pt 3
(1 0,319) 3 0,319 p t 4 (1 0,319) 4 0,319 p t 5 (1 0,319) 5 0,319 pt 6 , δηλαδή pt* 0,319 pt 1 0,217 p t 2 0,148 p t 3 0,101 p t 4 0,069 p t 5 0,047 pt 6 .
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[275]
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΝΑΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ 1. Να απεικονιστεί γραφικά η περιοχή των εφικτών λύσεων των παρακάτω προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού με τους ακόλουθους περιορισμούς: α) 4 x1 2 x2 12, x1 x2 1 x1 2 x2 4, x1 0 x2 0 β) 3 x1 x2 4500 , 2 x1 2 x2 4000 , x1 3 x2 4500 , x1 0 x2 0 γ) 3 x1 x2 6 , 4 x1 3 x2 12 , x1 3 x2 6 , x1 0 x2 0 Λύση Οι περιοχές των εφικτών λύσεων των προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού είναι οι περιοχές των γραμμοσκιασμένων επιφανειών.
α)
β)
[276]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
γ) 2. Να επιλυθούν γραφικώς τα: α) max z=3x1+2x2 με περιορισμούς 2x1+x2≤4, 2x1+5x2≤10, x1≥0 και x2≥0 β) min z=x1+2x2 με περιορισμούς 5x1+2x2≥10, x1+x2≥4, 3x1+7x2 ≥21, x1≥0 και x2≥0 γ) max z 0, 4 x1 3, 2 x2 min z 0, 4 x1 3, 2 x2 με περιορισμούς x1 x2 7, x1 2 x2 4, x1 x2 5, x1 0 και x2 0
Λύση
α)
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[277]
β)
γ)
3. Δίνονται οι ακόλουθες συναρτήσεις: α) z=3x1+2x2 με περιορισμούς 2 x1 x2 4 , 2 x1 5 x2 10 , x1 0 και x2 0 β) z 3 x1 4 x2 με περιορισμούς x1 2 x2 14, 3 x1 x2 0, x1 x2 2, x1 0 και x2 0
γ) z 0, 4 x1 3, 2 x2 με περιορισμούς x1 x2 7, x1 2 x2 4 , x1 x2 5 , x1 5, x1 0 και x2 0.
Να υπολογιστούν, αλγεβρικά, οι τιμές των x1 και x2 που μεγιστοποιούν την τιμή του z. Ποια είναι η μέγιστη τιμή της z στην άριστη λύση; Λύση α) Επιλύοντας το σύστημα των εξισώσεων των ανισοϊσοτήτων περιορισμού 2 x1 x2 4 και 2 x1 5 x2 10 , έχουμε:
[278]
2 x1 x2 4 2 x1 5 x2 10
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
2 x1 4 x2 2 x1 10 5 x2
4 x2 10 5 x2
4 x2 6 x2 1, 5 . Επομένως, 2 x1 x2 4 2 x1 1,5 4 x1 1, 25 .
Θέτοντας τις τιμές x1=1,25 και x2=1,5 στην αντικειμενική συνάρτηση z=3x1+2x2 βρίσκουμε z= 6,75. β) Επιλύοντας τα συστήματα των εξισώσεων των ανισοϊσοτήτων περιορισμού, ανά δύο, x1 2 x2 14, 3 x1 x2 0 και x1 x2 2, έχουμε: Από την α΄και β΄των εξισώσεων: x1 14 2 x2 x1 2 x2 14 x 14 2 x2 2 42 6 x2 x2 7 x2 42 x2 6 . x2 3 3 x1 x2 0 x1 3 Επομένως, x1 2 . Από την α΄και γ΄των εξισώσεων: x1 2 x2 14 x 14 2 x2 1 14 2 x2 2 x2 x1 x2 2 x1 2 x2 3 x2 12 x2 4 . Επομένως, x1 6 .
Από τη β΄και γ΄των εξισώσεων: x2 3 x1 x2 2 x1 x2 2 x1 x2 2 x2 x2 2 x2 6 3 x2 x2 3 . Επομένως, x1 1 . 3 Θέτοντας τα ζεύγη των παραπάνω τιμών στην αντικειμενική συνάρτηση z 3 x1 4 x2 βρίσκουμε: Για x1=2 και x2=6, z=30, για x1=6 και x2=4, z=34 και για x1= -1
3 x1 x2 0
3x1 x2
x1
και x2= -3, z= -15. Συνεπώς, η μέγιστη τιμή της z είναι z= 34 και η ελάχιστη z= -15. γ) Χρησιμοποιώντας τη γραφική παράσταση του προβλήματος (βλ. άσκηση 2γ), παρατηρούμε τις διασταυρούμενες ευθείες γραμμές οι οποίες σχηματίζουν το πολύγωνο (περιοχή εφικτών λύσεων), με κορυφές τις Α, Β, Γ, Δ, Ε και Ζ, τις συντεταγμένες των οποίων αποκτούμε με τη χρησιμοποίηση ανά δύο των εξισώσεων των ακόλουθων ανισοϊσοτικών συναρτήσεων περιορισμών. Από τις εξισώσεις α΄και γ΄ (για το σημείο Α) έχουμε: x1 x2 7 2 x2 12 x2 6. Επομένως, x1 1 . x1 x2 5 Από τις εξισώσεις α΄και δ΄ (για το σημείο Β) έχουμε: x1 x2 7 x1=5 και x2=2. x1 5 Από τις εξισώσεις δ΄και στ΄ (σημείο Γ) έχουμε:
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[279]
x1=5 και x2=0. Από τις εξισώσεις β΄και στ΄ (σημείο Δ) έχουμε: x1 2 x2 4 x1=4 και x2=0. x2 0 Από τις εξισώσεις β΄και ε΄ (σημείο Ε) έχουμε: x1 2 x2 4 x1=0 και x2=2. x1 0 Από τις εξισώσεις γ΄και στ΄(σημείο Ζ) έχουμε: x1 x2 5 x1=0 και x2=5. x1 0 Θέτοντας τα παραπάνω ζεύγη z 0, 4 x1 3, 2 x2 λαμβάνουμε:
τιμών
στην
αντικειμενική
συνάρτηση
Για x1 1 και x2=6 είναι z=18,8 (σημείο Α) Για x1 5 και x2=2 είναι z=4,4 (σημείο Β) Για x1=5 και x2=0 είναι z= -2,0 (σημείο Γ) Για x1=4 και x2=0 είναι z= -1,6 (σημείο Δ) Για x1=0 και x2=2 είναι z= 6,4 (σημείο Ε) Για x1=0 και x2=5 είναι z=16,0 (σημείο Ζ) Συμπερασματικά, η μέγιστη τιμή είναι z=18,8 στο σημείο Α και η ελάχιστη z= -2 στο σημείο Γ. 4. Να επιλυθούν με τη χρήση μητρών οι συναρτήσεις: α) Μεγιστοποίηση της z 5 x1 12 x2 με περιορισμούς 20 x1 10 x2 200, 10 x1 20 x2 120, 10 x1 30 x2 150, x1 0 και x2 0 β) Μεγιστοποίηση της z=4x1-x2 με περιορισμούς 2x1+x2 ≤ 8, x2 ≤ 5, x1- x2 ≤4, x1 ≥ 0 και x2 ≥ 0 γ) Μεγιστοποίηση της z=4x1+6x2 με περιορισμούς x1 x2 11, x1 x2 27, 2 x1 5 x2 90, x1 ≥ 0 και x2 ≥ 0 Λύση α) 20 x1 10 x2 200
20 x1 10 x2 1s1 0 s2 0s3 200
10 x1 20 x2 120 10 x1 20 x2 0s1 1s2 0 s3 120 . 10 x1 30 x2 150
10 x1 30 x2 0 s1 0 s2 1s3 150
Λαμβάνοντας ως βασικές μεταβλητές τις y1 x1 , y2 x2 y3 s1 δημιουργούμε τη μήτρα
[280]
20 10 10 20 10 10
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
10 20 30 10 20 30
1 0 η οποία, συμμετέχοντας στη σχέση 0 1 y1 200 0 y2 120 , δίνει με τον πολλαπλασιασμό της επί την αντίστροφη 0 y3 150 1
y1 20 10 1 200 1 μήτρα , y2 10 20 0 120 . y 10 30 0 150 3 Με τιμή ορίζουσας =100 0 υπολογίζεται 1
30
20
100 . Επομένως, η παραπάνω σχέση γίνεται 10 0 100 1 5 3 30 0 20 100 100 200 y1 y1 6 120 y 3 . Συνεπώς, η λύση που 10 10 y2 0 2 100 100 y y 50 150 3 1 3 5 3 περιλαμβάνει τις μεταβλητές y1, y2 και y3 είναι η x1=6, x2=3 και s1=50. Οι τιμές x1=6, x2=3 και z=66 (η οποία προκύπτει από τη λύση της z=5x1+12x2) συνιστούν τη μέγιστη λύση του συγκεκριμένου προβλήματος του γραμμικού προγραμματισμού. 0
2 x1 x2 8 β)
100 10 100
2 x1 1x2 1s1 0s2 0 s3 8
x2 5 0 x1 1x2 0 s1 1s2 0s3 5 x1 x2 4
1x1 1x2 0 s1 0 s2 1s3 4
Λαμβάνοντας ως βασικές μεταβλητές τις y1 x1 , y 2 x2 y4 s2 δημιουργούμε τη μήτρα
2 1 0 2 1 0 y1 8 0 1 1 η οποία, συμμετέχοντας στη σχέση 0 1 1 y2 5 , δίνει 1 1 0 1 1 0 y 4 4 με τον πολλαπλασιασμό της επί την αντίστροφη μήτρα 1 , 1 y1 2 1 0 8 y2 0 1 1 5 . y 1 1 0 4 4 Με τιμή ορίζουσας =3 0 υπολογίζεται
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[281]
1 1 0 3 3 1 Επομένως, η παραπάνω σχέση γίνεται 1 0 2 . 3 3 1 2 1 3 3 1 1 0 3 8 y1 3 y1 4 1 0 2 5 y2 0 . y2 3 3 y y 5 4 1 4 2 4 1 3 3 Συνεπώς, η βασική λύση που περιλαμβάνει τις μεταβλητές y1, y2 και y4 είναι η x1=4, x2=0 και s2=5, έχοντας τις μη βασικές s1=0 και s3=0. Οι τιμές x1=4, x2=0 και z=16 (η οποία προκύπτει από τη λύση της z=4x1-x2) συνιστούν τη μέγιστη λύση του συγκεκριμένου προβλήματος του γραμμικού προγραμματισμού.
x1 x2 11 γ)
1x1 1x2 1s1 0 s2 0 s3 11
x1 x2 27 1x1 1x2 0 s1 1s2 0s3 27 2 x1 5 x2 90
2 x1 5 x2 0s1 0s2 1s3 90
Λαμβάνοντας ως βασικές μεταβλητές τις y1 x1 , y2 x2 y3 s1 δημιουργούμε τη μήτρα
1 1 2 1 1 2
1 1 5 1 1 5
1 0 η οποία, συμμετέχοντας στη σχέση 0 1 y1 11 0 y2 27 , δίνει με τον πολλαπλασιασμό της επί την αντίστροφη 0 y3 90
y1 1 1 μήτρα 1 , y2 1 1 y 2 5 3 Με τιμή ορίζουσας =3 0
1
1 11 0 27 . 0 90 υπολογίζεται
1 1 0 3 3 1 1 2 Επομένως, η παραπάνω σχέση γίνεται 0 . 3 3 1 2 1 3 3 5 0 1 3 3 11 y1 y1 15 1 27 y2 12 . 2 y2 0 3 3 y y 14 90 3 1 3 7 2 3 3 Συνεπώς, η βασική λύση που περιλαμβάνει τις μεταβλητές y1, y2 και y3 είναι η x1=15, x2=12 και s1=14, έχοντας τις μη βασικές s2=0 και s3=0. Οι τιμές x1=15, x2=12 και z=132
[282]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
(η οποία προκύπτει από τη λύση της z=4x1+6x2) συνιστούν τη μέγιστη λύση του συγκεκριμένου προβλήματος του γραμμικού προγραμματισμού. 5. Μια βιοτεχνία παράγει γυναικεία υποδήματα και τσάντες με τη χρησιμοποίηση δύο συντελεστών παραγωγής, πρώτης ύλης (δέρμα) και ανδρικής εργασίας. Κάθε ζεύγος υποδημάτων πωλείται προς 3€ και κάθε τσάντα προς 20€. Για την κατασκευή ενός ζεύγους υποδημάτων χρειάζονται 4 μονάδες ανδρικής εργασίας και για την κατασκευή μιας τσάντας 2 μονάδες αυτής, ενώ για την κατασκευή ενός ζεύγους υποδημάτων απαιτούνται 2 μονάδες πρώτης ύλης και για την κατασκευή μιας τσάντας 8 μονάδες αυτής. Η επιχείρηση έχει στη διάθεσή της ημερησίως 40 μονάδες πρώτης ύλης και 38 μονάδες εργασίας. Η βιοτεχνία επιθυμεί να μεγιστοποιήσει τα έσοδα από τις πωλήσεις. Να λυθεί το πρόβλημα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Simplex του γραμμικού προγραμματισμού. Λύση Εάν x είναι ο αριθμός των υποδημάτων και y ο αριθμός των τσαντών, η προς μεγιστοποίηση συνάρτηση είναι η z 3 x1 20 x2 υποκείμενη στους περιορισμούς των συντελεστών εργασίας και κεφαλαίου που ορίζονται, αντιστοίχως, από τις συναρτήσεις 4 x1 2 x2 38 και 2 x1 8 x2 40 . Η επίλυση του προβλήματος του γραμμικού προγραμματισμού με τη μέθοδο Simplex έχει ως: Οι ανισοτικοί περιορισμοί μετατρέπονται σε ισοτικούς με την εισαγωγή ισάριθμων αδρανών μεταβλητών, οπότε το πρόβλημα θα συνίσταται στη μεγιστοποίηση της z= 3x1+20x2 ή αλλιώς της max z-3x1-20x2+0y1+0y2=0 με τους περιορισμούς 4 x1 2 x2 38 4 x1 2 x2 1s1 0 s2 38 2 x1 8 x2 40 2 x1 8 x2 0 s1 1s2 40
Μήτρα Simplex 1 (αρχική) x1 x2 s1 s2 b ------------------------y1 4 2 1 0 38 y2 2 8 0 1 40 z 3 20 0 0 0
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[283]
Ενδιάμεση μήτρα Simplex 1 x1 x2 s1 s2 b ---------------------------y1 4 2 1 0 38 R1 r1 2r2 y2 2 8 1 0 1 8 5 z 3 20 0 0 0 R4 r4 20r2 Μήτρα Simplex 2 x1 x2 s1 s2 b ----------------------------y1 28 8 0 1 0 28 x2 2 8 1 0 1 8 5 z 2 0 0 20 8 100 Επομένως, η μέγιστη παραγωγή ημερησίως είναι 5 τσάντες και μηδενική παραγωγή παπουτσιών, με μέγιστα έσοδα 100 χρηματικές μονάδες. 6. Να επιλυθούν με τη μέθοδο Simplex τα παρακάτω προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού: α) Μεγιστοποίηση της z=3x1+2x2 με περιορισμούς 2x1+x2 ≤ 4, 2x1+5x2 ≤10, x1 ≥0 και x2 ≥ 0 β) Μεγιστοποίηση της z=5x1+3x2 με περιορισμούς 2x1+x2 ≤ 6, x1+x2 ≤ 4, x2 ≥ 1, x1 ≥0 και x2 ≥ 0 γ) Μεγιστοποίηση της z=2x1+x2 με περιορισμούς x1+x2 ≤ 5, x1 ≤ 3, x2 ≤ 4, x1 ≥0 και x2 ≥ 0 δ) Μεγιστοποίηση της z=x1+x2 με περιορισμούς 3x1+x2≥6, 4x1+3x2 ≤12, x1+3x2 ≥6, x1 ≥0 και x2 ≥ 0 ε) Μεγιστοποίηση της z= x1+2x2+3x3 με περιορισμούς 7x1+x3≤6, x1+2x2≤20, 3x2+4x3≤30, x1≥0, x2≥0 και x3≥0 Λύση α) Οι ανισοτικοί περιορισμοί μετατρέπονται σε ισοτικούς με την εισαγωγή ισάριθμων αδρανών μεταβλητών, οπότε το πρόβλημα θα συνίσταται στη μεγιστοποίηση της z=3x1+2x2 ή αλλιώς της max z-3x1-2x2+0y1+0y2=0, με τους περιορισμούς 2 x1 x2 4 2 x1 1x2 1s1 0 s2 4 2 x1 5 x2 10 2 x1 5 x2 0 s1 1s2 10
[284]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
Μήτρα Simplex 1 (Αρχική) x1 x2 s1 s2 b -------------------------y1 2 1 1 0 4 y2 2 5 0 1 10 z 3 2 0 0 0 Ενδιάμεση μήτρα Simplex 1 x1 x2 s1 s2 b ------------------------------1 1 1 0 2 2 2 x1 y2 2 5 0 1 10 R2 r2 2r1 z R r 3r1 3 2 0 0 0 3 3 Μήτρα Simplex 2 x1 x2 s1 s2 b -------------------------1 1 1 0 2 2 2 x1 y2 0 4 1 1 6 z 3 0 1 0 6 2 2 Ενδιάμεση μήτρα Simplex 2 x1 x2 s1 s2 b ------------------------------1 1 1 2 2 x1 y2 0 1 1 4 z 3 0 1 2 2
0 1
4
0
r 2 R1 r1 2 2 3 2 6 R r r2 3 3 2
Μήτρα Simplex 3 (Τελική) x1 x2 s1 s2 b ------------------------------5 1 0 5 1 8 8 4 x1 3 1 x2 0 1 1 4 4 2 z 1 0 0 11 6, 75 8 8
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[285]
Καταλήγοντας, η λύση του προβλήματος είναι x1= 5 , x2= 3 , τιμές οι οποίες δίνουν 4 2 μέγιστη τιμή z=6,75. β) Οι ανισοτικοί περιορισμοί μετατρέπονται σε ισοτικούς με την εισαγωγή ισάριθμων αδρανών μεταβλητών, οπότε το πρόβλημα θα συνίσταται στη μεγιστοποίηση της z=5x1+3x2 ή αλλιώς της max z-5x1-3x2+0y1+0y2+0y3 = =0, με τους περιορισμούς 2 x1 x2 6 2 x1 1x2 1s1 0s2 0 s3 6 x1 x2 4 1x1 1x2 0 s1 1s2 0 s3 4 x2 1 0 x1 1x2 0 s1 0 s2 1s3 1 Μήτρα Simplex 1 (Αρχική)
y1 y2 y3 z
x1 x2 s1 s2 s3 b ---------------------------1 1 0 0 6 2 1 1 0 1 0 4 0 1 0 0 1 1 5 3 0 0 0 0
Ενδιάμεση μήτρα Simplex 1 x1 x2 s1 s2 s3 b -----------------------------1 y1 1 1 0 0 3 2 2 y2 1 1 0 1 0 4 R2 r2 r1 y3 0 1 0 0 1 1 z 5 3 0 0 0 0 R4 r4 5r1 Μήτρα Simplex 2 x1 x2 s1 s2 s3 b -------------------------------1 1 1 0 0 3 2 2 x1 1 1 y2 0 1 0 1 2 2 y3 0 1 0 0 1 1 z 5 0 1 0 0 15 2 2
[286]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
Ενδιάμεση μήτρα Simplex 2 x1 x2 s1 s2 s3 b --------------------------------x1 y2 x2 z
r3 1 1 1 0 0 3 R1 r1 2 2 2 r 0 1 1 1 0 1 R2 r2 3 2 2 2 0 1 0 0 1 1 5 0 1 0 0 15 R r r3 2 2 4 4 2
Μήτρα Simplex 3 (Τελική) x1 x2 s1 s2 s3 b ----------------------------------5 1 1 1 0 0 2 2 2 x1 1 1 1 1 y2 0 0 2 2 2 x2 0 1 0 0 1 1 z 5 0 0 0 1 15,5 2 2 Καταλήγοντας, η λύση του προβλήματος είναι x1= 5 , x2=1, τιμές οι οποίες δίνουν 2 μέγιστη τιμή z=15,5. γ) Οι ανισοτικοί περιορισμοί μετατρέπονται σε ισοτικούς με την εισαγωγή ισάριθμων αδρανών μεταβλητών, οπότε το πρόβλημα θα συνίσταται στη μεγιστοποίηση της z=2x1+x2 ή αλλιώς της max z-2x1-1x2+0y1+0y2+0y3=0, με τους περιορισμούς x1 x2 5 1x1 1x2 1s1 0 s2 0 s3 5 x1 3 1x1 0 x2 0s1 1s2 0s3 3 x2 4 0 x1 1x2 0s1 0 s2 1s3 4 Μήτρα Simplex 1 (Αρχική)
y1 y2 y3 z
x1 x2 s1 s2 s3 b ------------------------- 1 1 1 0 0 5 1 0 0 1 0 3 0 1 0 0 1 4 2 1 0 0 0 0
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[287]
Ενδιάμεση μήτρα Simplex 1 x1 x2 s1 s2 s3 b -------------------------- 1 1 1 0 0 5 R1 r1 r2 1 0 0 1 0 3 0 1 0 0 1 4 2 1 0 0 0 0 R4 r4 2r2
y1 x1 y3 z
Μήτρα Simplex 2
y1 x1 y3 z
x1 x2 s1 s2 s3 b ------------------------- 0 1 1 1 0 2 1 0 0 1 0 3 0 1 0 0 1 4 0 1 0 2 0 6
Ενδιάμεση μήτρα Simplex 2
x2 x1 y3 z
x1 x2 s1 s2 s3 b -------------------------- 0 1 1 1 0 2 1 0 3 1 0 0 0 1 0 0 1 4 R3 r3 r1 0 1 0 2 0 6 R4 r4 r1 Μήτρα Simplex 3 (Τελική)
x2 x1 y3 z
x1 x2 s1 s2 s3 b -------------------------- 0 1 1 1 0 2 1 0 0 1 0 3 0 0 1 1 1 2 0 0 1 1 0 8
Καταλήγοντας, η λύση του προβλήματος είναι x1=3, x2=2, τιμές οι οποίες δίνουν μέγιστη τιμή z==8. δ) Οι ανισοτικοί περιορισμοί μετατρέπονται σε ισοτικούς με την εισαγωγή ισάριθμων αδρανών μεταβλητών, οπότε το πρόβλημα θα συνίσταται στη μεγιστοποίηση της z=x1+x2=0 ή αλλιώς της max z-1x1-1x2+0y1+0y2+0y3=0, με τους περιορισμούς
[288]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
3x1 x2 6 3 x1 x2 6 4 x1 3x2 `12 4 x1 3 x2 12 x1 3 x2 6 x1 3 x2 6
3x1 1x2 1s1 0s2 0 s3 6 4 x1 3x2 0 s1 1s2 0 s3 12
1x1 3 x2 0s1 0s2 1s3 6 Μήτρα Simplex 1 (Αρχική) x1 x2 s1 s2 s3 b ---------------------------y1 3 1 1 0 0 6 y2 4 3 0 1 0 12 y3 1 3 0 0 1 6 z 1 1 0 0 0 0 Ενδιάμεση μήτρα Simplex 1
x1 y2 y3 z
x1 x2 s1 s2 s3 b ------------------------------ 1 1 1 0 0 2 3 3 4 3 0 1 0 12 R2 r2 4r1 3 0 0 1 6 R3 r3 r1 1 1 1 0 0 0 0 R4 r4 r1
x1 y2 y3 z
Μήτρα Simplex 2 x1 x2 s1 s2 s3 b -----------------------------1 1 1 0 0 2 3 3 0 5 4 1 0 4 3 3 8 1 0 1 4 0 3 3 0 2 1 0 0 2 3 3
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[289]
Ενδιάμεση μήτρα Simplex 2 x1 x2 s1 s2 s3 b ------------------------------------
x1 x2 y3 z
1 1 1 3 3 0 4 1 5 8 1 0 3 3 0 2 1 3 3
r 2 R1 r1 2 3 3 12 0 5 5 0 1 4 R3 r3 8r2 3 0 0 2 R r 2r2 4 4 3 0 0
Μήτρα Simplex 3 (Τελική)
x1 x2 y3 z
x1 x2 s1 s2 s3 b -----------------------------------1 0 3 1 0 1, 2 5 5 0 1 3 4 0 2, 4 5 5 9 8 0 0 5 5 1 2, 4 1 2 0 0 0 3, 6 5 5
Καταλήγοντας, η λύση του προβλήματος είναι x1=1,2, x2=2,4, τιμές οι οποίες δίνουν μέγιστη τιμή z=3,6. ε) Οι ανισοτικοί περιορισμοί μετατρέπονται σε ισοτικούς με την εισαγωγή ισάριθμων αδρανών μεταβλητών, οπότε το πρόβλημα θα συνίσταται στη μεγιστοποίηση της z=x1+2x2+3x3 ή αλλιώς της max z-x1-2x2-3x3+ 0y1+ +0y2+0y3=0 με τους περιορισμούς 7 x1 x3 6 7 x1 0 x2 1x3 1s1 0 s2 0 s3 6 x1 2 x2 20 1x1 2 x2 0 x3 0 s1 1s2 0 s3 20 3 x2 4 x3 30 0 x1 3 x2 4 x3 0 s1 0s2 1s3 30 Μήτρα Simplex 1 (Aρχική) x1 x2 x3 s1 s2 s3 b -------------------------------y1 7 0 1 1 0 0 6 y2 1 2 0 0 1 0 20 y3 0 3 4 0 0 1 30 z 1 2 3 0 0 0 0
[290]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
Ενδιάμεση μήτρα Simplex 1 x1 x2 x3 s1 s2 s3 b ---------------------------------x3 7 0 1 1 0 0 6 y2 1 2 0 0 1 0 20 y3 0 3 4 0 0 1 30 R3 r3 4r1 z 1 2 3 0 0 0 0 R4 r4 3r1 Μήτρα Simplex 2 x1 x2 x3 s1 s2 s3 b -----------------------------------x3 7 0 1 1 0 0 6 y2 1 2 0 0 1 0 20 y3 28 3 0 4 0 1 6 z 20 2 0 3 0 0 18 Ενδιάμεση μήτρα Simplex 2 x1
x2
x3
s1
s2
s3
b
-------------------------------------------------------------------
7 x3 1 y2 x2 28 3 z 20
0
1
1
0
0
2
0
0
1
0
1
0
4
0
1
2
0
3
3
0
3 0
6
20 R2 r2 2r3 2 R r 2r3 18 4 4
Μήτρα Simplex 3 x1 x2 x3 s1 s2 s3 b -------------------------------------------7 0 1 1 0 0 6 x3 59 8 0 0 1 2 16 3 3 3 y2 1 x2 28 1 0 4 0 2 3 3 3 z 4 1 2 0 0 0 22 3 3 3 Συμπερασματικά, οι λύσεις του προβλήματος είναι x1=0, x2=2 και x3=6, ενώ η μέγιστη τιμή της συνάρτησης είναι το z=22.
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[291]
7. Να επιλυθούν με τη μέθοδο Simplex τα παρακάτω προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού: α) Ελαχιστοποίηση της z=x1+x2 με περιορισμούς 5x1+3x2 ≥ 15, 2x1+7x2≥14, x1 ≥0 και x2 ≥ 0 β) Ελαχιστοποίηση της z= -2x1+x2 με περιορισμούς x1+2x2 ≤ 6, 3x1+2x2 ≤12, x1 ≥0 και x2 ≥ 0 γ) Ελαχιστοποίηση της z=5x1+2x2 με περιορισμούς 3x1+x2 ≥6, 4x1+3x2 ≤ 12, x1+3x2 ≥6, x1 ≥0 και x2 ≥ 0 δ) Ελαχιστοποίηση της z=x1+2x2+3x3 με περιορισμούς x1+x2+x3 ≥500, x1+2x2+3x3 ≥700, -x2+3x3 ≤ 0, x1 ≥0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0 Λύση α) Οι ανισοτικοί περιορισμοί μετατρέπονται σε ισοτικούς με την εισαγωγή ισάριθμων αδρανών μεταβλητών, οπότε το πρόβλημα συνίσταται στην ελαχιστοποίηση της z=x1+x2 ή της –z= -x1-x2, ή αλλιώς της max (-z)+ x1+x2+0s1+0s2=0 με τους περιορισμούς 5 x1 3 x2 15 5 x1 3 x2 15 2 x1 7 x2 14 2 x1 7 x2 14 5 x1 3 x2 1s1 0 s2 15 2 x1 7 x2 0 s1 1s2 14 Έτσι, η αρχική μήτρα Simplex 1 είναι: Μήτρα Simplex 1 (Αρχική) x1 x2 s1 s2 b ----------------------------------y1 5 3 1 0 15 y2 2 5 0 1 14 z 1 1 0 0 0 Ενδιάμεση μήτρα Simplex 1 x1
x2
s1
s2
b
---------------------------------------- 5 3 1 0 15 y1 R1 r1 3r2 2 x2 1 0 1 2 7 7 z R r r 1 1 0 0 0 3 3 2
[292]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
Μήτρα Simplex 2 x1 x2 s1 s2 b ------------------------------------------------ 29 0 1 3 9 7 7 y1 2 x2 1 0 1 2 7 7 z 5 1 0 0 2 7 7 Ενδιάμεση μήτρα Simplex 2 x1 x2 s1 s2 b -----------------------------------------------0 3 63 1 7 29 29 29 x1 1 0 2 R r 2 r x2 2 1 7 7 1 7 2 2 z 5 0 0 1 2 R r 5 r 7 7 1 7 3 3 Μήτρα Simplex 3 x1 x2 s1 s2 b -------------------------------------------------------------
x1 x2 z
1
0
7 29
0
1
2
0
0
5
29 29
3 29 5 2
29
29
29 40 29 103 29 63
Καταλήγοντας, αφού πλέον στη μήτρα Simplex 3 και στη στήλη b δεν περιέχεται αρνητικό στοιχείο (πλην του στοιχείου της 3ης σειράς), ο έλεγχος μέγιστης τιμής οδηγεί στο συμπέρασμα ότι η λύση είναι x1 63 και x2 40 , με μέγιστη τιμή 29 29 την z 103 και συνεπώς ελάχιστη την z 103 . 29 29 β) Το παρόν πρόβλημα δεν είναι ένα τυπικό πρόβλημα ελαχιστοποίησης, καθόσον οι περιορισμοί αφορούν γραμμικές συναρτήσεις με τιμές μικρότερες ή ίσες προς κάποια σταθερά. Έτσι, η ελαχιστοποίηση της z = -2x1+x2 θα αντιστοιχεί με τη μεγιστοποίηση της -z=2x1-x2 ή αλλιώς της max (-z) -2x1+x2+0s1+0s2=0
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[293]
με τους περιορισμούς
x1 2 x2 6 3 x1 2 x2 12
και με την εισαγωγή σ’ αυτούς ισάριθμων
αδρανών μεταβλητών, έτσι που αυτοί μετατρέπονται σε ισοτικούς, ως 1x1 2 x2 1s1 0 s2 6 . Συνεπώς, η αρχική μήτρα Simplex 1 είναι η 3 x1 2 x2 0 s1 1s2 12 Μήτρα Simplex 1 (Αρχική) x1 x2 s1 s2 b ---------------------------y1 1 2 1 0 6 y2 3 2 0 1 12 z 2 1 0 0 0
Ενδιάμεση μήτρα Simplex 1 x1 x2 s1 s2 b ------------------------------ 1 2 1 0 6 y1 R1 r1 r2 x1 1 2 0 1 4 3 3 z R r 2r2 2 1 0 0 0 3 3 Μήτρα Simplex 2 x1 x2 s1 s2 b ----------------------------------------4 0 1 1 2 3 3 y1 2 1 x1 1 0 4 3 3 z 7 2 0 0 8 3 3 Αφού η τελευταία σειρά έχει όλα τα στοιχεία της θετικά προς τα αριστερά της κάθετης γραμμής, η λύση του προβλήματος έχει περατωθεί. Έτσι, η μέγιστη τιμή z*=8 επιτυγχάνεται με τιμές x1=4 και x2=0. Συνεπώς, αφού –z=8, η ελάχιστη τιμή θα είναι η z= -8. γ) Το παρόν πρόβλημα δεν είναι ένα τυπικό πρόβλημα ελαχιστοποίησης, καθόσον δύο από τους περιορισμούς αφορούν γραμμικές συναρτήσεις με τιμές μεγαλύτερες ή ίσες προς κάποια σταθερά. Έτσι, η ελαχιστοποίηση της z = 5x1+2x2 θα αντιστοιχεί με
[294]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
τη μεγιστοποίηση της -z= -5x1- 2x2 ή της max ( z ) 5 x1 2 x2 0 ή αλλιώς της max( z ) 5 x1 2 x2 0 s1 0 s2 0 s3 0 με τους περιορισμούς
3x1 x2
6
3x1 x2 6
4 x1 3x2 12 4 x1 3 x2 12 x1 3x2
6
x1 3 x2 6
3 x1 1x2 1s1 0s2 0s3 6 4 x1 3x2 0s1 1s2 0s3 12
1 x1 3 x2 0 s1 0s2 1s3 6 Έτσι, η αρχική μήτρα Simple 1 είναι η Μήτρα Simplex 1 (Aρχική) x1 x2 s1 s2 s3 b -----------------------------y1 3 1 1 0 0 6 y2 4 3 0 1 0 12 y3 1 3 0 0 1 6 z 5 2 0 0 0 0 Ενδιάμεση μήτρα Simplex 1 x1 x2 s1 s2 s3 b ---------------------------------1 0 0 2 x1 1 1 3 3 y2 4 3 0 1 0 12 R2 r2 4r1 y3 1 3 0 0 1 6 R3 r3 r1 z 5 2 0 0 0 0 R4 r4 5r1 Μήτρα Simplex 2 x1 x2 s1 s2 s3 b -------------------------------------1 1 1 0 0 2 3 3 x1 0 5 4 1 0 4 y2 3 3 y3 0 8 1 0 1 4 3 3 z 1 5 0 0 0 10 3 3
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[295]
Ενδιάμεση μήτρα Simplex 2 x1 x2 s1 s2 s3 b -------------------------------------1 1 1 0 0 2 r 3 3 R1 r1 3 3 x1 5 4 1 0 4 R r 5r y2 0 3 3 3 2 2 x2 0 3 1 1 0 3 8 8 2 z r3 5 0 1 0 0 10 R4 r4 3 3 3 Μήτρα Simplex 3
x1 y2 x2 z
x1 x2 s1 s2 s3 b --------------------------------------1 3 1 0 3 0 8 8 2 0 0 9 5 3 1 8 8 2 3 1 0 3 0 1 8 8 2 1 0 0 13 0 10,5 8 8
Αφού η τελευταία σειρά έχει όλα τα στοιχεία της προς τα αριστερά της κάθετης γραμμής θετικά, η λύση του προβλήματος έχει περατωθεί. Έτσι, η μέγιστη τιμή -z= 10,5 επιτυγχάνεται με τιμές x1 3 και x2 3 . Συνεπώς, η ελάχιστη τιμή θα είναι 2 2 η z= 10,5. δ) Το παρόν πρόβλημα δεν είναι ένα τυπικό πρόβλημα ελαχιστοποίησης, καθόσον δύο από τους περιορισμούς αφορούν γραμμικές συναρτήσεις με τιμές μεγαλύτερες ή ίσες προς κάποια σταθερά. Έτσι, η ελαχιστοποίηση της z = x1+2x2+3x3 θα αντιστοιχεί με τη μεγιστοποίηση της -z= -x1- 2x2-3x3 ή της ( z ) x1 2 x2 3 x3 0 ή αλλιώς της ( z ) 1x1 2 x2 3 x3 0 s1 0 s2 0 s3 0 με τους περιορισμούς
x1 x2 x3 500
x1 x2 x3 500
x1 2 x2 3x3 700 x1 2 x2 3x3 700 x2 3x3 0 x2 3x3 1x1 1x2 1x3 1s1 0 s2 0s3 500 1x1 2 x2 3 x3 0s1 1s2 0s3 700
0 x1 1x2 3x3 0s1 0 s2 1s3
0
0
[296]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
Έτσι, η αρχική μήτρα Simplex 1 είναι η Μήτρα Simplex 1 (Αρχική) x1 x2 x3 s1 s2 s3 b -------------------------------------------------------------y1 1 1 1 1 0 0 500 y2 1 2 3 0 1 0 700 y3 0 1 3 0 0 1 0 z 1 2 3 0 0 0 0 Ενδιάμεση μήτρα Simplex 1 x1 x2 x3 s1 s2 s3 b -----------------------------------------------------------x1 1 1 1 1 0 0 500 y2 1 2 3 0 1 0 700 R2 r2 r1 y3 0 1 3 0 0 1 0 z 1 2 3 0 0 0 0 R4 r4 r1
Μήτρα Simplex 2 x1 x2 x3 s1 s2 s3 b -------------------------------------------------------------x1 1 1 1 1 0 0 500 y2 0 1 2 1 1 0 200 y3 0 1 3 0 0 1 0 z 0 1 2 1 0 0 500 Ενδιάμεση μήτρα Simplex 2 x1 x2 x3 s1 s2 s3 b -------------------------------------------------------------1 1 1 1 0 0 500 R r r x1 3 2 1 0 1 2 1 1 0 200 y2 R2 r2 2r3 1 1 0 1 0 0 0 x3 3 3 R4 r4 3r3 z 1 2 3 0 0 0 0
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[297]
Μήτρα Simplex 3 x1 x2 x3 s1 s2 s3 b --------------------------------------------------------------4 1 0 1 0 1 500 3 3 x1 2 0 5 0 1 1 200 y2 3 3 x3 1 0 1 1 0 0 0 3 3 z 5 0 0 1 0 2 500 3 3 Ενδιάμεση μήτρα Simplex 3 x1 x2 x3 s1 s2 s3 b ---------------------------------------------------------- x1 x2 x3 z
1
4
0 0 1 1
3 1 3 3
0
1
0
3
5
0 1 3
5
1
0
0
0
0
0
2
3 5
1
3 1
4 500 R1 r1 3 r2 120 0 0
Μήτρα Simplex 4 x1 x2 x3 s1 s2 s3 b ------------------------------------------------------------4 1 1 0 0 9 340 5 5 5 x1 3 x2 0 1 0 3 2 120 5 5 5 x3 1 1 0 0 1 1 40 5 5 5 z 0 0 0 0 1 0 700 Αφού η τελευταία σειρά έχει όλα τα στοιχεία της προς τα αριστερά της κάθετης γραμμής θετικά, η λύση του προβλήματος έχει περατωθεί. Έτσι, η μέγιστη τιμή –z = 700 επιτυγχάνεται με τιμές x1=340, x2=120 και x3=40. Συνεπώς, η ελάχιστη τιμή θα είναι η z=700. 8. Ένας κτηνοτρόφος βρίσκει στην αγορά δύο είδη τροφής για τα ζώα που εκτρέφει στη γεωργική εκμετάλλευσή του. Γνωρίζοντας ότι αυτά χρειάζονται ημερησίως τουλάχιστον 5, 8 και 6 μονάδες από τα θρεπτικά συστατικά Α, Β και Γ αντίστοιχα, επιθυμεί να εκτιμήσει τις καθημερινές ποσότητες από κάθε είδος τροφής που ελαχιστοποιούν το ημερήσιο κόστος τροφής, ενώ συγχρόνως εξασφαλίζουν ότι τα
[298]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
ζώα λαμβάνουν τις απαιτούμενες ποσότητες θρεπτικών συστατικών (ο πίνακας που ακολουθεί συνοψίζει την περιεκτικότητα σε θρεπτικά συστατικά και το κόστος της κάθε τροφής).
Τροφή 1 Τροφή 2
Θρεπτικά συστατικά (Μονάδες/χλγρ.) Α Β Γ 1 2 2 2
2
Κόστος (€/χλγρ.) 9
1
6
Να λυθεί το πρόβλημα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Simplex του γραμμικού προγραμματισμού. Λύση Το πρόβλημα συνίσταται στην ελαχιστοποίηση της συνάρτησης z 9 x1 6 x2 με τους περιορισμούς x1 2 x2 5 2 x1 2 x2 8 2 x1 x2 6 x1 0, x2 0 Το πρόβλημα, με τη χρησιμοποίηση αδρανών επαναδιατυπωθεί ως η ελαχιστοποίηση της z 9 x1 6 x2 0 s1 0 s2 0 s3 ή η μεγιστοποίηση της
μεταβλητών,
μπορεί
z 9 x1 6 x2 0 s1 0 s2 0 s3 ή αλλιώς της max( z ) 9 x1 6 x2 0 s1 0 s2 0 s3 0 , με τους περιορισμούς 1x1 2 x2 1s1 0s2 0s3 5
2 x1 2 x2 0s1 1s2 0s3 8 2 x1 1x2 0 s1 0s2 1s3 6 x1 0, x2 0 Με τη χρησιμοποίηση της μεθόδου Simplex αυτό επιλύεται ως ακολούθως: Μήτρα Simplex 1 (αρχική) x1 x2 s1 s2 s3 b ----------------------------y1 1 2 1 0 0 5 y2 2 2 0 1 0 8 y3 2 1 0 0 1 6 z 9 6 0 0 0 0
να
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
y1 y2 y3 z
[299]
Ενδιάμεση μήτρα Simplex 1 x1 x2 s1 s2 s3 b ----------------------------------0 5 R1 r1 r3 1 2 1 0 0 8 R2 r2 2r3 2 2 0 1 1 1 2 0 0 1 2 3 6 0 0 0 0 R4 r4 9r3 9
y1 y2 x1 z
y1 y2 x1 z
Μήτρα Simplex 2 x1 x2 s1 s2 s3 b ----------------------------------- 0 3 2 1 0 1 2 2 1 0 1 1 2 0 1 1 2 0 0 1 2 3 3 2 0 0 9 2 27 0
Ενδιάμεση μήτρα Simplex 2 x1 x2 s1 s2 s3 b --------------------------------------1 2 3 0 1 3 4 3 0 r2 r1 0 1 1 2 R2 0 1 1 1 2 0 0 1 2 3 R3 r3 r1 2 0 0 9 2 27 R4 r4 3 r1 2 0 3 2
x2 y2 x1 z
Μήτρα Simplex 3 x1 x2 s1 s2 s3 b -------------------------------------13 4 3 0 1 2 3 0 0 0 2 3 1 2 3 2 3 1 0 1 3 0 2 3 7 3 1 0 4 29 0 0
[300]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
x2 y2 x1 z
Ενδιάμεση μήτρα Simplex 3 x1 x2 s1 s2 s3 b ----------------------------------------0 1 3 4 3 R1 r1 2 r2 3 0 1 2 3 1 3 2 1 1 0 0 1 0 13 0 2 3 7 3 R3 r3 r2 3 1 0 4 29 R4 r4 r2 0 0
x2 y2 x1 z
Μήτρα Simplex 4 (Τελική) x1 x2 s1 s2 s3 b --------------------------------1 1 2 0 1 0 1 0 0 1 3 2 1 1 0 0 1 2 1 2 3 2 3 30 0 0 0
Αφού η τελευταία σειρά έχει όλα τα στοιχεία της προς τα αριστερά της κάθετης γραμμής θετικά, η λύση του προβλήματος έχει περατωθεί. Έτσι, η μέγιστη τιμή –z= 30 επιτυγχάνεται με τιμές x1 = x 2= 2. Συμπερασματικά, οι καθημερινές ποσότητες από κάθε είδος τροφής είναι x1 x2 2 , προκειμένου ο κτηνοτρόφος να ελαχιστοποιεί το ημερήσιο κόστος διατροφής των ζώων του, το οποίο ανέρχεται σε 30 €/χλγρ. 9. Να υπολογιστούν τα δυικά για τα ακόλουθα πρωτεύοντα προβλήματα: α) Ελαχιστοποίησης της z=3x1+2x2 με περιορισμούς 2x1+x2≥6, x1+x2≥ 4, x1 ≥0 και x2 ≥ 0 β) Ελαχιστοποίησης της z=9x1+6x2 με περιορισμούς x1+2x2 ≥5, 2x1+2x2≥8, 2x1+x2≥6, x1 ≥0 και x2 ≥ 0 γ) Ελαχιστοποίησης της z=x1+x2 με περιορισμούς 3x1+x2≥6, 4x1+3x2≤12, x1+3x2≥6, x1 ≥0 και x2 ≥ 0 δ) Ελαχιστοποίησης της z=2x1+10x2+8x3 με περιορισμούς x1+x2+x3 ≥6, x2+2x3≥8, -x1+2x2+2x3 ≥4 , x2 ≥ 0 και x3≥0. Λύση α) Με βάση τους συντελεστές των ανισοτήτων των περιορισμών
2 x1 x2 6 x1 x2 4
και της
2 1 6 αντικειμενικής συνάρτησης z 3 x1 2 x2 η αρχική μήτρα Τ είναι T 1 1 4 και 3 2 0
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[301]
2 1 3 η ανάστροφή της Τ΄ είναι T΄ 1 1 2 . Συνεπώς, το πρόβλημα συνίσταται στη 6 4 0 2 w1 w2 3 μεγιστοποίηση της συνάρτησης u 6 w1 4 w2 με περιορισμούς και η w1 w2 2 αρχική μήτρα Simplex 1 του δυικού προβλήματος, με τη χρησιμοποίηση αδρανών μεταβλητών είναι Μήτρα Simplex 1 (Αρχική) y1 y2 s1 s2 b ----------------------------1 1 0 3 2 1 2 1 1 0 6 4 0 0 0 η οποία, με τη διαδικασία της επίλυσης με την τεχνική Simplex δίνει Μήτρα Simplex 2 y1 y2 s1 s2 b ---------------------------------------3 1 1 1 0 2 2 2 1 1 1 0 1 2 2 2 0 1 3 0 9 και τελικά Μήτρα Simplex 3 (Τελική) y1 y2 s1 s2 b --------------------------- 1 0 1 1 1 0 1 1 2 1 0 0 2 2 10 Από την τελική μήτρα Simplex 3 παρατηρούμε ότι η μέγιστη τιμή της u είναι η u=10. Συνεπώς, η αρχική λύση του αρχικού προβλήματος ελαχιστοποίησης είναι η z=10 η οποία επιτυγχάνεται με τιμές x1=x2=2.
[302]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
x1 2 x2 5 β) Με βάση τους συντελεστές των ανισοτήτων των περιορισμών 2 x1 2 x2 8 και 2 x1 x2 6 1 2 2 2 της αντικειμενικής συνάρτησης z 9 x1 6 x2 η αρχική μήτρα Τ είναι T 2 1 9 6
5 8 6 0
1 2 2 9 και η ανάστροφή της Τ΄ είναι T΄ 2 2 1 6 . Συνεπώς, το πρόβλημα συνίσταται 5 8 6 0 στη μεγιστοποίηση της συνάρτησης u 5 w1 8w2 6 w3 με περιορισμούς w1 2 w2 2 w3 9 και η αρχική μήτρα Simplex 1 του δυικού προβλήματος, με τη 2 w1 2 w2 w3 6 χρησιμοποίηση αδρανών μεταβλητών, είναι Μήτρα Simplex 1 (Αρχική) y1 y2 y3 s1 s2 b ---------------------------------1 0 9 1 2 2 1 0 1 6 2 2 5 8 6 0 0 0 Μήτρα Simplex 2 y1 y2 y3 s1 s2 b ------------------------------------0 1 1 1 3 1 1 1 0 1 3 1 2 2 0 2 0 4 24 3 Μήτρα Simplex 3 y1 y2 y3 s1 s2 b ------------------------------------------------0 1 1 1 3 1 3 1 0 1 1 32 2 2 1 0 0 2 2 30
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[303]
Aπό τη μήτρα Simplex 3 παρατηρούμε ότι η μέγιστη τιμή της u είναι η u= 30. Συνεπώς, η αρχική λύση του προβλήματος ελαχιστοποίησης είναι η z=30 η οποία επιτυγχάνεται με τιμές x1=x2=30. γ) Αντιστρέφοντας τα πρόσημα των όρων του δεύτερου των περιορισμών, οι τρεις περιορισμοί γίνονται 3 x1 x2 6 3x1 x2 6 4 x1 3 x2 12 4 x1 3x2 12 x1 3x2 6
x1 3x2
. Με βάση τους συντελεστές των παραπάνω
6
ανισοτήτων και της αντικειμενικής συνάρτησης z x1 x2 , η αρχική μήτρα Τ είναι 1 6 3 1 1 3 4 4 3 12 και η ανάστροφή της Τ΄ είναι T΄ 1 3 3 1 . T 1 3 6 6 12 6 0 1 1 0 Συνεπώς, το πρόβλημα συνίσταται στη μεγιστοποίηση της συνάρτησης 3w 4 w2 w3 1 και η αρχική μήτρα Simplex u 6 w1 12 w2 6 w3 με περιορισμούς 1 w1 3w2 3w3 1 1 του δυικού προβλήματος, με τη χρησιμοποίηση αδρανών μεταβλητών, είναι η Μήτρα Simplex 1 (Αρχική) y1 y2 y3 s1 s2 b ----------------------------------1 1 0 1 3 4 1 1 1 3 3 0 6 12 6 0 0 0 Μήτρα Simplex 2 y1 y2 y3 s1 s2 b ------------------------------------------------1 1 1 1 4 0 3 3 3 3 8 2 0 5 1 1 3 3 3 3 0 4 4 2 0 2
[304]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
Μήτρα Simplex 3 y1 y2 y3 s1 s2 b ------------------------------------------------3 1 1 9 0 1 8 8 8 8 3 2 0 5 1 1 8 8 8 8 0 1, 5 0 1,5 1,5 3 Από την τελική μήτρα Simplex 3 παρατηρούμε ότι η μέγιστη τιμή της u είναι η u=3. Συνεπώς, η αρχική λύση του αρχικού προβλήματος ελαχιστοποίησης είναι η z=3 η οποία επιτυγχάνεται με τιμές x1=x2=1,5.
x1 x2 x3 6 δ) Με βάση τους συντελεστές των ανισοτήτων των περιορισμών
x2 2 x3 8 x1 2 x2 2 x3 4
και της αντικειμενικής συνάρτησης z 2 x1 10 x2 8 x3 , η αρχική μήτρα Τ είναι
1 1 1 6 0 1 2 8 και η ανάστροφή της είναι η T 1 2 2 4 2 10 8 0 1 0 1 2 1 1 2 10 . Συνεπώς, το πρόβλημα συνίσταται στη μεγιστοποίηση της T΄ 1 1 2 8 6 8 4 0 w1 w3 2
συνάρτησης u 6 w1 8 w2 4 w3 με περιορισμούς
w1 w2 2w3 10 και η αρχική w1 2w2 2 w3 8
μήτρα Simplex 1 του δυικού προβλήματος, με τη χρησιμοποίηση αδρανών μεταβλητών είναι η Μήτρα Simplex 1 (Αρχική) y1 y2 y3 s1 s2 s3 b --------------------------------------- 1 0 1 1 0 0 2 1 0 10 1 1 2 0 1 2 2 0 0 1 8 6 8 4 0 0 0 0
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[305]
Μήτρα Simplex 2 y1 y2 y3 s1 s2 s3 b ---------------------------------------------------------0 1 1 0 0 2 1 1 0 1 0 1 1 6 2 2 1 1 1 0 0 1 4 2 2 2 0 4 0 0 4 32 Μήτρα Simplex 3 y1 y2 y3 s1 s2 s3 b ----------------------------------------------------------0 1 1 0 0 2 1 0 0 3 1 1 1 5 2 2 2 0 1 3 0 1 3 1 2 2 2 0 0 2 2 0 4 36 Από την τελική μήτρα Simplex 3 παρατηρούμε ότι η μέγιστη τιμή της είναι η u=36. Συνεπώς, η λύση του αρχικού προβλήματος ελαχιστοποίησης είναι η z=36 η οποία επιτυγχάνεται με τιμές x1=2, x2=0 και x3=4.
[306]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[307]
ΕΠΕΞΗΓΗΣΗ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΜΒΟΛΑ
A
μήτρα Α
|Α|
ορίζουσα της μήτρας Α
_
Α΄ Α-1 Adj(A) Cof ij
L U LU r(A) tr(A) α, c, k b C0 y x dy ή f΄(x) dx d2y ή f΄΄(x) dx 2 d n y (n) ή f (x) dx n dny
Οριοθετημένη Εσσιανή ορίζουσα ανάστροφη μήτρα της μήτρας Α αντίστροφη μήτρα της μήτρας Α προσαρτημένη μήτρα Α προσημασμένη ελάσσονα μήτρα ως προς το στοιχείο ij κάτω τριγωνική μήτρα άνω τριγωνική μήτρα τριγωνική ή LU παραγοντοποίηση βαθμός (τάξη) της μήτρας Α ίχνος μήτρας Α σταθερά συντελεστής γωνιώδους διεύθυνσης αρχική συνθήκη σε εξίσωση διαφορών κλίση μονομεταβλητής συνάρτησης παράγωγος (πρώτη) μονομεταβλητής συνάρτησης y ως προς x δεύτερη παράγωγος μονομεταβλητής συνάρτησης y ως προς x n-στή παράγωγος μονομεταβλητής συνάρτησης y ως προς x ολικό διαφορικό νιοστής τάξης
e βάση του φυσικού λογάριθμου, ίση με 2,71828 y μερική παράγωγος της y ως προς το xi xi y f x΄ ( x, z ) μερική (πρώτη) παράγωγος της συνάρτησης y ως προς x x 2 y f xx΄΄ ( x, z ) μερική παράγωγος δεύτερης τάξης της y ως προς x 2 x 2 y f xz΄΄ ( x, z ) σταυροειδής μερική παράγωγος δεύτερης τάξης της συνάρτησης y xz ως προς z αόριστο ολοκλήρωμα της y ως προς x f ( x)dx
[308] b
f ( x)dx
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
ορισμένο ολοκλήρωμα της y ως προς x, για το διάστημα τιμών από
a
x=α στο x=b lim f ( x ) x
όριο της f(x) όταν το x τείνει στο άπειρο
λ πολλαπλασιαστής Lagrange, ιδιοτιμή Lg συνάρτηση Lagrange logbx λογάριθμος του x με βάση το b loge x ή ln x φυσικός λογάριθμος του x t χρόνος y=f(x) μονομεταβλητή συνάρτηση της y ως προς x y=f(x1,x2,…xn) πολυμεταβλητή συνάρτηση της y ως προς x1, x2, x3, …xn y=f(x1|x2,x3,…,xn) συνάρτηση της y ως προς x1 όταν οι λοιπές μεταβλητές διατηρούνται σταθερές y0 αρχική συνθήκη σε εξίσωση διαφορών yt
μεταβλητή y στο χρόνο t
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[309]
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ Γενικά AC AFC AP AR AVC β C Ct
μέσο κόστος μέσο σταθερό κόστος μέσο προϊόν μέσα έσοδα μέσο μεταβλητό κόστος
D d FC Ι i K L La m p p* Π π q, y qD qS q tD
ζήτηση αγαθού, αξία απόσβεσης συντελεστής επιτάχυνσης σταθερό κόστος δαπάνη επένδυσης τιμή μονάδας κεφαλαίου (επιτόκιο) συντελεστής παραγωγής κεφάλαιο συντελεστής παραγωγής εργασία συντελεστής παραγωγής έδαφος αυτόνομη δαπάνη επένδυσης τιμή μονάδας αγαθού ή υπηρεσίας προσδοκώμενη τιμή αγαθού πολλαπλασιαστής κέρδος ποσότητα παραγόμενου ή πωλούμενου προϊόντος ποσότητα ζητούμενου αγαθού ποσότητα προσφερόμενου αγαθού ποσότητα ζητούμενου αγαθού στην περίοδο t
q tS
ποσότητα προσφερόμενου αγαθού στην περίοδο t
R r S SW t U V VAP VC w
έσοδα (ολικά) τιμή μονάδας εδάφους (ενοίκιο) προσφορά αγαθού, αποταμίευση
συντελεστής προσδοκίας επί της μέλλουσας να διαμορφωθεί τιμής αγαθού
κόστος (ολικό), δαπάνες παραγωγής, καταναλωτική δαπάνη δαπάνη κατανάλωσης στην περίοδο t
άθροισμα επίδρασης παρελθόντων τιμών επί της προσδοκώμενης τιμής
φόρος ολική χρησιμότητα παρούσα αξία οικονομικού πόρου αξία μέσου προϊόντος μεταβλητό κόστος τιμή μονάδας εργασίας (μισθός)
[310]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
Υ z, x
εισόδημα ποσότητα εισρεόμενου στην παραγωγή αγαθού (συντελεστής παραγωγής)
Ελαστικότητες bi
συντελεστής μερικής ελαστικότητας στη συνάρτηση παραγωγής Cobb-Douglas
n nC
συντελεστής ελαστικότητας ελαστικότητα (ολικού) κόστους
nAC
ελαστικότητα μέσου κόστους
nD p
ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή
n DY
εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης
nS
ελαστικότητα προσφοράς
nR
ελαστικότητα εσόδων
nAR
ελαστικότητα μέσων εσόδων
nsb
ελαστικότητα υποκατάστασης
nT
ελαστικότητα μετασχηματισμού
nTsb
ελαστικότητα τεχνικής υποκατάστασης
ny
ελαστικότητα παραγωγής
b
i
άθροισμα μερικών ελαστικοτήτων
Οριακά μεγέθη MC MP Mπ MPC, c MPI, i MPS MR MRS MRT MRTS MU VMP
οριακό κόστος οριακό προϊόν οριακό κέρδος οριακή ροπή προς κατανάλωση οριακή ροπή προς επένδυση οριακή ροπή προς αποταμίευση οριακά έσοδα οριακή σχέση υποκατάστασης οριακή σχέση μετασχηματισμού οριακή σχέση τεχνικής υποκατάστασης οριακή χρησιμότητα αξία οριακού προϊόντος
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[311]
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Allen. R.G.D., 1966. Mathematical Analysis for Economists, McMillan and Co. Ltd., London. Bushaw, D.W. and R.W. Clower. 1957. Introduction to Mathematical Economics, Richard D. Irwin, Homewood, Ill. Chiang, A.C. 2001. Μαθηματικές Μέθοδοι Οικονομικής Ανάλυσης, τόμος Β΄, Εκδόσεις Κριτική. Dinwiddy, Caroline. 1967. Elementary Mathematics for Economists. 1967. Oxford University Press, London. Ferguson, C.E. 1973. Μικροοικονομική θεωρία. Μετάφραση Δ. Ζαχαριάδη-Σούρα, Ε. Ζερβουδάκη, τόμοι 1 και 2, Εκδόσεις Παπαζήση, Αθήνα. Frisch, R., 1966. Maxima and Minima: Theory and Economic Applications, Rand McNally and Co., Chicago, Ill. Haines, B. 1978. Introduction to Quantitative Economics, George Allen, and Union Ltd, London. Henry, S.G.B. 1970. Elementary Mathematical Economics, Routledge and Kegan Paul, London. Holden, K. and A. Pearson, 1983. Introductory Mathematics for Economists, McMillan Press, London. James, D.E. and C.D. Throsby, 1973. Introduction to Quantitative Methods in Economics, John Wiley and Sons, Australia Pty Ltd., Sydney. Λουκάκης Μ. 1988. Μαθηματικά Οικονομικών Επιστημών, τόμος Α΄, Εκδόσεις Σοφία Α.Ε., Θεσσαλονίκη. McCormick, B.J. et al., 1974. Introducing Economics, Penguin Education, England. Peston, M.H. 1969. Elementary Matrices for Economics, Routledge & Kegan Paul Ltd, London. Yamane, T., 1968. Mathematics for Economists, an Elementary Survey, Prentice-Hall, Inc., Englewood, Cliffs, N.J.
[312]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
Γεώργιος Κ. Σιάρδος
[313]
Η ιδέα για τις Εκδόσεις Σαΐτα ξεπήδησε τον Ιούλιο του 2012 με πρωταρχικό σκοπό τη δημιουργία ενός χώρου όπου τα έργα συγγραφέων θα συνομιλούν άμεσα, δωρεάν και ελεύθερα με το αναγνωστικό κοινό. Μακριά από το κέρδος, την εκμετάλλευση και την εμπορευματοποίηση της πνευματικής ιδιοκτησίας, οι Εκδόσεις Σαΐτα επιδιώκουν να επαναπροσδιορίσουν τις σχέσεις Εκδότη-Συγγραφέα-Αναγνώστη, καλλιεργώντας τον πραγματικό διάλογο, την αλληλεπίδραση και την ουσιαστική επικοινωνία του έργου με τον αναγνώστη δίχως προϋποθέσεις και περιορισμούς. Ο ισχυρός άνεμος της αγάπης για το βιβλίο, το γλυκό αεράκι της δημιουργικότητας, ο ζέφυρος της καινοτομίας, ο σιρόκος της φαντασίας, ο λεβάντες της επιμονής, ο γραίγος του οράματος, καθοδηγούν τη σαΐτα των Εκδόσεών μας. Σας καλούμε λοιπόν να αφήσετε τα βιβλία να πετάξουν ελεύθερα!
[314]
Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης
To έργο απευθύνεται σε προπτυχιακούς και μεταπτυχιακούς φοιτητές των Οικονομικών Επιστημών και της Διοίκησης Επιχειρήσεων, σε αποφοίτους των παραπάνω Σχολών, καθώς και σε προπτυχιακούς και μεταπτυχιακούς σπουδαστές όλων των οικονομικών κατευθύνσεων. Ενδιαφέρει, ακόμη, τους σπουδαστές και αποφοίτους της μαθηματικής επιστήμης που θα επιθυμούσαν να κατανοήσουν, με βάση τη μαθηματική λογική, τον τρόπο οργάνωσης, λειτουργίας και αλληλεπίδρασης των οικονομικών μονάδων ενός μικροοικονομικού συστήματος. Σίγουρα, αποτελεί αναγκαίο βοήθημα για τους υποψηφίους των πανελλαδικών εξετάσεων θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης του μαθήματος των αρχών της Οικονομικής Θεωρίας, του πεδίου των επιστημών Οικονομίας και Διοίκησης. Περιέχει τις λύσεις 250 ασκήσεων, των οποίων οι εκφωνήσεις δίνονται στο τέλος του καθενός από τα εννέα ομώνυμα κεφάλαια του προηγηθέντος σε έκδοση έντυπου έργου με τον τίτλο «Μαθηματική Οικονομική Ανάλυση». Η αρίθμηση και η εκφώνηση των ασκήσεων στο παρόν σύγγραμμα είναι η ίδια με αυτή που ακολουθείται στο προαναφερόμενο πόνημα και με σειρά αντίστοιχη της θεωρίας που αυτό περιλαμβάνει. Επισημαίνεται ότι χρησιμοποιούνται οι ίδιοι συμβολισμοί όρων με αυτούς του προαναφερόμενου έντυπου έργου, προκειμένου να διευκολυνθεί ο αναγνώστης στην κατανόηση των οικονομικών εννοιών και σχέσεων με βάση τη μαθηματική ορολογία. Τέλος, παρατίθεται σημαντικός αριθμός βιβλιογραφικών αναφορών ελληνικής και ξενόγλωσσης βιβλιογραφίας που έχουν χρησιμοποιηθεί κατά τη συγγραφή του παρόντος πονήματος.
ISBN: 978-618-5147-11-2