LA GE,OME,TRIA DEL
COMPASSO DI
LORE.b{ZOMASCHERONI.
P A V I A anno V della RepubblicaFrancese. Pressogli Eredi di Pietro Galeqzzi
( r z ? z)
F' x G
a
P
PROBLEMA. Dirrid.r. S!/oo*t 9,_ú. AE ( Oll I Saràil
ru
un qualunquearco BC in due parti egualiin G.
Col.raggio AB, col quale è stato descritto I'arco BC, che si deve dividere, e coi centri B, e s_o1or due punti estremi dell'arco, si descrivano gli archi AD, AE Si faccia a BC = AD: . 10.). Poi coi centri . E, e col raggto DC: BÈ si descrivano due archi, che si taglino in P, col raggio AF, e cogli stessi centri D,ed E si descrivano due altri archi, che si ta$inlo in G. punto G nella circonferenz4 e saràI'arco BG = ff"
D
PROBIEMA. D"ti
i due punti A, e B; trovare un punto D in guisa,chela DA siaperpendicolarealla AB.
Soluzione. Presoun raggio arbitrario (per esempiola stessaAB); con esso,e coi due centri A, e B si descrivanodue archi,che si taglino in C Con questostessoraggio e col centro C si descrivala semicirconferenzaBAD ( .64. ). SarĂ D il punto cercato.
PROBLEMA. Di.rd.r. in due parti eguali la distanzaAB, ossiatrovare il punto M che è sulla retta AB alla suametà Solryione L Descrittala semicirconfercnza BCDE ( .64.); col centro E raggioEB si descrivaun arco indefinitg Inp.Col-centro_!,Iggt" BA si descrivala semicirconfere?apApn.Col centro P, raggioPB si descrival'arcoBl\{- si làcciaapm =BM saràM il punto ..r."rol
PROBLEMA. D,.pli.^r.,
triplicarg quadruplicareec ì"lnangolodato BAC ( .113.).
Col centro A, e coi raggi AB, AC si descrivanodue archi indefiniti BDF, CE. Si facciaa Solazione. = CB CD. Saràl'angolo BAD duplo di BAC Si facciaa CD = DE SaràI'angoloBAE triplo di BAC Si facciaa DE = EF. Sar.BAF quadruplodi BAC ec. Per quadruplicadosi poteva ^ncoî^fare a BD = DF.
a
PROBLEMA, Drrrid.r.
la circonferenza delcerchioBD / in quatrro parti eguali
Soluzione. Nella stessacirconferenza sifaccra aJragglo AB = Br= BC = CD : DE :El colprimo compasso( . 10.8. ). Saràdc= cB = BA ( 15.lih 4. ).Si faccia a BD = Ba=Fz col 2* comPassoad Aa=BF = B/col 3."compasso.Si avrà divisa lactrconfercnza
in quattroparti egualiBF,FE, ry,J&.
-
M
K
z E
B
K
PROBLEMA. Dirrid.r.la
circonfer enzaBDd rncinqueparti eguali
le cosecomenel Problema . 31;si facciaaùA4= N&= Oft,compasso3.' SotuZione.Stanti Si facciaa Bú=BQ. Saràfarco BQ la quinta parte'della ctrconferenza"
PROBLEMA. rì òopt^ un lato dato AB costruire un poligono regolare qualunque tra quelli, che si possono inscrivere al cerchio ( .128.). Solnztone' Col raggio AB si descriva un cerchio BD/.In esso si iscriva un poligono regolare simile quello, che si vuole costruire sul lato AB, cioè di un egual nurnero di lati ( . nA.); I . .i^ B/ un lat^o-dique^s!. A questo lato.Bl, e al ríggjoAB si trovi la ì.o^própdronale P"lig.:"^-scritto. ( ' 87" 89--90.,9L,92 ). Con essapresà per raggio, e coi ceilri A, e B si segnino due archi, che si taglino in V. Collo stessoraggio VA, centro VJ descriv" o.r....hio agri,rN, ec, e si facciaad AB = BL = LM = M\ ec I punti A, B, L, M, N, ec. saranno i vertici del poligono..r."ro.
U
t .
I
c :,. a
|l a I
I
l .
I | .
a
| a . a a r
".
,'
t . a
!
a - - . -
I
I
PP\OBI,EMA. D"ti
i vertici d'un qualunquepoligono regolareiscritto al cerchio;trovare i
d'un
poligono regolare circoscritto. Sieno i punti B, C, D, E vertici del poligono iscritto al cerchio. Con uno di essi C preso Soluzione. BDP I>ercentro, e colla distarza di due d'essiCB presa per raggjo si descriva la semicirconferenza (Nel in caso del V ( .64. ). Coi centri B, e C, e col raggio BD si segnino due archi, che si taglino pentagono Fig. 61.il punto V coincide col punto E). Con questo stessor^gglo BD, e col centro V si tagli la circonferenza BDP in1. Col raggio Pp; e coi centri B, C, D, E ec vertici dell'inscritto si descrivano degli archi, che si taglino nei punti b, c,d, e,ec. Questi saranno i vertici del poligono regolare circoscritto.
torenzo Mascheronl e eetageometrla d,etcompassort
Lorenzo Mascheroni nacque a castagneta in provincia di Bergamo neI1750. Nel lz?g comp^iuti gfi stud.iuniveréi-tariio troviamo stro di etoquenza e oi fitosolia prima, di fGió;; marcmatica mae_ poi, nel seminario di Bergamo che Èscera nerizàé u cattedra di ler pavia. d.i *g-.Plqg geometria presso I'università, Nef t?85 pubblica iI trattato ,,Nuove ricerche sull,equilibrio d.e1le volte".e pegu anni l?go-ge lavora al calcoto aeu;inìegrale di Eulero di cui determina ta trentaduesima cifrà O*i-ni"f". pubblica "Adnotationes le ad calculum integrale Eu1eri,,. Nel r79? da arre stampe la sua"opera piu nota: ,,La geometria d,el comp-asso",dedicanlgB. N_aporeone r di cui é fèrrrioo-ammir-Jtorà. Membro derla Repybbuca ci-satpina clriamato a pa_ <ri-e?t G;; {€1 per far parte deu.acommisiione napoióonicà per Ia revisione delle unità di misura e di conto, ove rimase finó ar1a morte nel 1800. vincenzo in suo onore r.'ode encomiastica "Mascheroniana" lvloqti _compose e carro po-rta in una srra poesi" iofÀ-ùGffi;i; colloca in un improbabile parad.iso popolato ai iitùministi, liberali e massoni. Evidentemente il nostro, nonostante Ia forma,zione ecclesiastica, non era conosciuto come conformista. Figfure di scienziati-artisti o artisti-scienziati non sono rare nel1a gtgria; basti pensare a pitagora, a Lucrerió,àigrand.i .,eclettici,, del B,inascimento, a Goethelo_,_qq" Iimitarói-Jiìàpporto poesia*^algqatica, alf indiano ARyaBH4JTA ""r pe*si"rrì orvran KIrAy_ YAM che noi conosciamo quasi esclusiva-"t t" "óme autore delle famose "Quartine". d3i _co_mpressi e affascinanti connorati si colroca Taql"rt",n4Tg clegnamente, fatte Ie debitè proporzioni, il oórt* rvrascnÀroni-cnè fir si, come abbiamo visto, iniigne scienziato, Àà ancne apprezzato poeta e letterato. Notevole il suo poemetto i.rnvito a Lesbia cido_ li?"r elegante modello di poesia aròadica. Dobbiamo proprio credeie_che questo connubio fra poesia e mate_ matica sia un fatto casuale e rion piuttosto ii sèsno d.i naturali quanto disconosciute affinità.
NeI 1938 in una libreria di Copenhagen venne alla luce per casoun libro pubblicato neL 1672 con il titolo "Euclid-es Dartictls" ne). quale il matematico danese Georg Mohr d.imostrava, esattamente come il Mascheroni I35 anni piu tardi, I'inutilitĂ , della ri$a nella costruzione di qualsiasi figfurapiana. NeI 1823 Ponoelet, traendo ispiraaione dalle ricerche del Mascheroni, suggeriva I'ipotesi cl.e tutte Ie costruzioni del1a geometria piana euclidea potessero venire effettuate con I'uso della sola ri$a d.atauna circonfererTza,ed il suo centro. Questo teorema fu successivamente dimostrato da claJrobSteiner (1796-1865) uno dei piu gla;ndi studiosi di $eometria di tutti i tempi.