ﻟﻸﺳﺘﺎﺫ ﺍﻟﻘﺪﻳﺮ /ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺪﻳﻦ ﻳﺤﻴﻰ ٠١١١٩٦٦٠٦١٦
ﺍﻟﺠﺒﺮ ﻭﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﺮﺍﻏﻴﺔ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
· إذا ن ﻥ ﻕ ﺱ = ﻥ ﻕ ﺹ ﻓﺈن ﺱ = ﺹ أ ،ﺱ +ﺹ = ﻥ
––
· إذا ن ﻋﺪد أﺿﻼع ﺷ
ً أوﻻ :ﻣﺒﺪأ اﻟﻌﺪ :
· ﻗﺎﻋﺪة ا
ﻋﺪد أﻗﻄﺎره = ﻥ ﻕ – ٢ﻥ
ب:
إذا ن ﻋﺪد ﻃﺮق إﺟﺮاء ﻋﻤﻞ ﻣﺎ ﻫﻮ ) ﻡ ( ﻃﺮ ﻘﺔ ،وﻋﺪد ﻃﺮق إﺟﺮاء ) (١
ﺴﺎوى ) ﻡ × ﻥ ( ﻃﺮ ﻘﺔ .
إذا ن ﻋﺪد ﻃﺮق إﺟﺮاء ﻋﻤﻞ ﻣﺎ ﻫﻮ ) ﻡ ( ﻃﺮ ﻘﺔ ،وﻋﺪد ﻃﺮق إﺟﺮاء ﻋﻤﻞ آﺧﺮ ﻫﻮ ) ﻥ ( ﻃﺮ ﻘﺔ ،ﻓﺈن ﻋﺪد ﻃﺮق إﺟﺮاء اﻟﻌﻤﻞ اﻷول أو.
ا ﻞ
ً )أوﻻ( ﻋﺪد ﻃﺮق ﺗ ﻮ ﻦ رﻗﻢ اﻵﺣﺎد = ، ٥ﻋﺪد ﻃﺮق ﺗ ﻮ ﻦ رﻗﻢ اﻟﻌ ات =
.اﻟﻌﻤﻞ ا ﺎ ﺴﺎوى ) ﻡ +ﻥ ( ﻃﺮ ﻘﺔ .
، ٤ﻋﺪد ﻃﺮق ﺗ ﻮ ﻦ رﻗﻢ ا ﺌﺎت = ٣ﺉ ﻋﺪد ﻃﺮق ﺗ ﻮ ﻦ ﻋﺪد ﻣﻦ ﺛﻼﺛﺔ
· ﻋﺪد ﻃﺮق إﺧﺘﻴﺎر ﻋﻴﻨﺔ : ﻣﻊ اﻹﺣﻼل ﺑﺪون إﺣﻼل
ﻥ+ﺭ–١ ﻥ
لﺭ
· ﻋﻨﺪ وﻗﻮف ﻋﺪد ﻣﻦ ا ﺴﻴﺎرات ا ﺘﺠﺎورة )ﺭ( ﻋﺪدﻫﺎ )ﻥ(
ﺷ
ﻋﺪدﻫﺎ )ﻥ(
أو :ﻋﺪد اﻟﻄﺮق = ٥ل ٦٠ = ٣ﻃﺮ ﻘﺔ
ﻕﺭ
ﺛﺎﻧﻴﺎ( ﻋﺪد ﻃﺮق ﺗ ﻮ ﻦ ﻋﺪد ﻣﻦ ﺛﻼﺛﺔ أرﻗﺎم ﻣﻦ ا ﺠﻤﻮﻋﺔ ا ﻌﻄﺎة = ٥ × ٥ × ٥ ) ً = ١٢٥ﻃﺮ ﻘﺔ أو :ﻋﺪد اﻟﻄﺮق = ﻥﺭ = ١٢٥ = ٣٥ﻃﺮ ﻘﺔ
ﻕﺭ
)(٢
أﻣﺎ ﻦ وﻗﻮف
داﺋﺮة ﻓﺈن ﻋﺪد ﻃﺮق ا ﻮﻗﻮف = ﻥ ﺲﲟ ﺭ ﲦﺲ
· ﻋﻨﺪ وﻗﻮف ﻋﺪد ﻣﻦ ا ﺴﻴﺎرات ا ﺘﺠﺎورة )ﺭ( ﺷ
أرﻗﺎم ﺘﻠﻔﺔ ﻣﻦ ا ﺠﻤﻮﻋﺔ ا ﻌﻄﺎة = ٦٠ = ٣ × ٤ × ٥ﻃﺮ ﻘﺔ
ﺑﺪون ﺮا ة اﻟ ﺗﻴﺐ
ﻥﺭ ﻥ
٤ﻓﺘﻴﺎت أوﺟﺪ :ﺑ ﻢ ﻃﺮ ﻘﺔ ﻳﻤ ﻦ ﺑﻬﺎ اﺧﺘﻴﺎر اﻷﺷﺨﺎص
أﻣﺎ ﻦ وﻗﻮف
ﺲ.
ا ﻞ )ﺍ(
ﻋﺪد ﻃﺮق اﺧﺘﻴﺎر ا ﻼﺛﺔ رﺟﺎل = ٥ﻕ ٣
،ﻋﺪد ﻃﺮق اﺧﺘﻴﺎر ا ﻼﺛﺔ ﻓﺘﻴﺎت = ٤ﻕ
= 5 Shift ÷ 3 = 4 Shift ÷ 3
٣
ﺇ ﻋﺪد ﻃﺮق اﺧﺘﻴﺎر ا ﻼﺛﺔ أﺷﺨﺎص ﻣﻦ ﻧﻔﺲ ا ﺲ ) ٣رﺟﺎل أو ٣ﻓﺘﻴﺎت (
· ﻥ ل ﻥ = ﺲﲟ ﻥ ﲦﺲ= ﻥ ) ﻥ – ) ١ﻥ – ١ × ٢ × ٣ × ....... × ( ٢
٥
٤
= ﻕ + ٣ﻕ ١٤ = ٣ﻃﺮ ﻘﺔ
ﺭ ﻣﻦ اﻟﻌﻮا ﻞ
)ﺏ( ﻋﺪد ﻃﺮق اﺧﺘﻴﺎر ا ﻼﺛﺔ أﺷﺨﺎص ﻓﻴﻬﻢ أﺛﻨﺎن ﻓﻘﻂ ﻣﻦ ﻧﻔﺲ ا ﺲ
ﻥ · ﻥلﺭ= ﻥ-ﺭ
) رﺟﻠ وﻓﺘﺎة أو رﺟﻞ وﻓﺘﺎﺗ ( = ٥ﻕ ٤ × ٢ﻕ ٥ + ١ﻕ ٤ × ١ﻕ ٧٠ = ٢ﻃﺮ ﻘﺔ
) (٣ﻳﺪرس ﻃﺎﻟﺐ ﺑﺈﺣﺪى ا ﺎﻣﻌﺎت ٨ﻮاد دراﺳﻴﺔ ،وﻻ ﻖ
· ﻥل ، ١= 1 = 0 =٠ﻥل=١ﻥ
اﻻﻧﺘﻘﺎل إ ا ﺴﻨﺔ ا ﺎ ﺔ إﻻ إذا ﺢ
· ﺲﲟ ﻥ ﲦﺲ= ﻥ ﻥ = 1-ﻥ ) ﻥ – ( ١ﻥ -ﺫ
ا ﻞ
· ﻥﻕﻥ=ﻥﻕ ، ١=٠ﻥﻕ=١ﻥ ﻥﻕ ﻥ -ﺭ 1+ ﻥ ﺭ = ﺭ ﻕ ﺭ1-
ﻥ١+
ﻕﺭ
ﻳ ﺘﻘﻞ اﻟﻄﺎﻟﺐ ﻠﺴﻨﺔ ا ﺎ ﺔ ﺐ أن ﻳﻨﺠﺢ
اﻟﻌﻠﻢ – ا ﻞ اﻷ ا ﻞ اﻷ
٦ﻮاد أو ٧ﻮاد أو ٨ﻮاد
ﺉ ﻋﺪد اﻟﻄﺮق = ٨ﻕ ٨ + ٦ﻕ ٨ + ٧ﻕ ٣٧ = ٨ﻃﺮ ﻘﺔ
١+
) (٤ﺣﻘﻴﺒﺔ ﺑﻬﺎ ١٢ﻛﺮة ﺮاء ٨ ،ﻛﺮات ﺑﻴﻀﺎء ،أوﺟﺪ : ً )أوﻻ( ﻋﺪد ﻃﺮق ﺳﺤﺐ ٣ﻛﺮات ﺮاء ،و ﺮﺗ ﺑﻴﻀﺎو ﻦ . ً )ﺛﺎﻧﻴﺎ( ﻋﺪد ﻃﺮق ﺳﺤﺐ ٥ﻛﺮات ﻣﻦ ﻧﻔﺲ ا ﻠﻮن .
اﻟﻌﻠﻢ ١ + ا
٦ﻣﻨﻬﺎ
اﻷﻗﻞ ،
ﻓ ﻢ ﻃﺮ ﻘﺔ ﻳﻤ ﻦ ﻠﻄﺎﻟﺐ أن ﻳ ﺘﻘﻞ ﻠﺴﻨﺔ ا ﺎ ﺔ ؟
ﻥ ﻥÐ · ﻥﻕﺭ= ﺭ = ¢ﻥ¢- ﺭ
· ﻥﻕﺭ+ﻥﻕﺭ–=١
أﺧﺘ ﺛﻼﺛﺔ أﺷﺨﺎص ﻣﻌﺎ ﻣﻦ ﻤﻮﻋﺔ ﻜﻮﻧﺔ ﻣﻦ ٥رﺟﺎل ،
)ﺏ( ﻓﻴﻬﻢ أﺛﻨﺎن ﻓﻘﻂ ﻣﻦ ﻧﻔﺲ ا
ﺻﻒ ﻓﺈن :
· ﻥ ل ﺭ = ﻥ ) ﻥ – ) ( ١ﻥ – ........ × ( ٢إ
ً
ا ﻼﺛﺔ إذا ن ) :ﺍ( اﻷﺷﺨﺎص ا ﻼﺛﺔ ﻣﻦ ﻧﻔﺲ ا ﺲ .
ﻋﺪد ﻃﺮق ا ﻮﻗﻮف = ) ﻥ – ﺭ ( ١ +ﺲﲟ ﺭ ﲦﺲ
·
ﻢ ﻋﺪد ﻳﻤ ﻦ ﺗ ﻮ ﻨﻪ ﻣﻦ ﺛﻼﺛﺔ أرﻗﺎم ﻣﻦ ﻋﻨﺎ ا ﺠﻤﻮﻋﺔ } : { ٥ ، ٤ ، ٣ ، ٢ ، ١ ً ً )أوﻻ( إذا ن ﻏ ﺴﻤﻮﺣﺎ ﺑﺎ ﻜﺮار . ً ً )ﺛﺎﻧﻴﺎ ( إذا ن ﺴﻤﻮﺣﺎ ﺑﺎ ﻜﺮار .
· ﻗﺎﻋﺪة ا ﻤﻊ :
ﻣﻊ اﻟ ﺗﻴﺐ
ﻫﻨﺪ
ﻋﻤﻞ آﺧﺮ ﻫﻮ ) ﻥ ( ﻃﺮ ﻘﺔ ،ﻓﺈن ﻋﺪد ﻃﺮق إﺟﺮاء اﻟﻌﻤﻞ اﻷول و اﻟﻌﻤﻞ ا ﺎ
= ﻥ ﻓﺈن :
ﻞ اﻷ
ﻥ ﻥ · ﻕﺭ= ﻕﻥ-ﺭ
ﻣﻦ ا ﺎﻻت اﻵﺗﻴﺔ :
١
ﻟﻸﺳﺘﺎﺫ ﺍﻟﻘﺪﻳﺮ /ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺪﻳﻦ ﻳﺤﻴﻰ ٠١١١٩٦٦٠٦١٦
ﺍﻟﺠﺒﺮ ﻭﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﺮﺍﻏﻴﺔ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
) (٨إذا ن :ﻥ – ٤ل = ٩ﻥ – ٤ل ٩ﻓﺄوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﻥ .
)ﺍ( إذا ن ا ﺴﺤﺐ ﻣﻊ اﻹﺣﻼل واﻟ ﺗﻴﺐ .
)ﺏ( إذا ن ا ﺴﺤﺐ ﺑﺪون إﺣﻼل ﻣﻊ اﻟ ﺗﻴﺐ .
ا ﻞ
)ﺝ( إذا ن ا ﺴﺤﺐ ﺑﺪون إﺣﻼل ودون ﺗﺮﺗﻴﺐ .
ﲨ ١٣ﺉ ﻥ ﻱ } { ........ ، ١٥ ، ١٤ ، ١٣ ﻥ – ٤ﲨﺲ ٩ﺇ ﻥ ﺲ
ا ﻞ
) (٩إذا ن ٢ :ﻥ ١ +ل ﻥ – ٢ : ١ﻥ – ١ل ﻥ = ٥ : ٣
ً )أوﻻ( )ﺍ( ﻋﺪد ﻃﺮق ا ﺴﺤﺐ = ١١٠٥٩٢ = ٢٨ × ٣١٢
ﻓﺄوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﻥ .
)ﺏ( ﻋﺪد ﻃﺮق ا ﺴﺤﺐ = ١٢ل ٨ × ٣ل ٧٣٩٢٠ = ٢
)ﺝ( ﻋﺪد ﻃﺮق ا ﺴﺤﺐ = ١٢ﻕ ٨ × ٣ﻕ ٦١٦٠ = ٢ ً )ﺛﺎﻧﻴﺎ( )ﺍ( ﻋﺪد ﻃﺮق ا ﺴﺤﺐ = ٢٨١٦٠٠ = ٥٨ + ٥١٢
ﺫ; 1+ ÷ ; +ﺫ
)ﺏ( ﻋﺪد ﻃﺮق ا ﺴﺤﺐ = ١٢ل ٨ + ٥ل ١٠١٧٦٠ = ٥
) ; +ﺫ() ; 1- ; ; (1+
) (١٠أوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ
،
)ﻩ( ﻣﺎ ﻋﺪد ﻃﺮق وﻗﻮف ٣ﺳﻴﺎرات
ﻧﻘﻄﺘ ﻣﻦ
+ ١٢ﺭ
٥ﺻﻨﺎدﻳﻖ ؟
١٠أﻣﺎ ﻦ ؟
أى ٧ :ل
)ﺏ( إﻣﺎ ٩ل ﺭ – ٩ = ٤ل
ﻣﻦ ﻥ ،ﺭ ا ﻤﻜﻨﺔ .
١ × ٢١٠ = ١٤ × ١٥ = ٥ × ٦ × ٧ ١
ﺇ ﻥلﺭ =٧ل
٣
ﺉ ﻥ = ، ٧ﺭ = ٣أ،
ﺎ ﻳﺄ :
)ﺏ( ٢٥ﻕ
ﻥ – ٦٦ = ١
ﻥ 1+ = ٦٦ﺉ 1 -°ﺫ
)ﺍ(
ا ﻞ )1-° °(1+° 1-°
٢ﻥ – ١٤
= ٢٥ﻕ
= ١٣٢
ﺇ ) ﻥ × ( ١ +ﻥ = ١١ × ١٢ﺉ ﻥ = ١١
)ﺏ( ٩ل ﺭ – = ٤ﲟﺲ ٩ﲦﺲ
)ﺏ( إﻣﺎ ٢ﻥ – = ١٤ﻥ – ١ﺉ ﻥ = ١٣أ ٢ ،ﻥ – + ١٤ﻥ – ٢٥ = ١
ا ﻞ
ﺇ ٣ﻥ – ٢٥ = ١٥ﺉ ﻥ = ) 40ﺮﻓﻮض ( 3
=1 ) (١٣أﺣﺴﺐ ﻗﻴﻤﺔ ﺭ إذا ن ٧ :ﻕ ﻥ ٧ :ﻕ ﻥ –3 ١
٥
٩
ﺇ ﺭ – ٩ = ٤ﺉ ﺭ = ١٣أ ٩ ،ل ﺭ – ٩ = ٤ل
٦
أ ١٥ ،ل
٦
ﺉ ﻥ=٩
ا ﻞ
أ ٢١٠ ،ل
٢
)ﺍ( ﻥ ١ +ﻕ
)ﻩ( ﻋﺪد اﻟﻄﺮق = ١٠ل ٧٢٠ = ٣ﻃﺮ ﻘﺔ
ﺇ ٣ﺭ – ٥=١ﺉ ﺭ =٢
ﺇ + ١٢ﺭ = ٢٠ﺉ ﺭ = ٨
) (١٢أوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﻥ
) (ﻋﺪد اﻟﻄﺮق = ١ – ٤ + ٥ﻕ ٨ = ٤ﻕ ٧٠ = ٤ﻃﺮ ﻘﺔ
)ﺍ( ٨ل ٣ﺭ – ٨ = ٦٧٢٠ = ١ل
٢
ﺇ ﻥ – ١٠ = ٢ﺉ ﻥ = ١٢
ﻥ ل ﺭ = ١٥ل ٢ﺉ ﻥ = ، ١٥ﺭ = ٢أ ،ﻥ ل ﺭ = ٢١٠ل ١ﺉ ﻥ = ، ٢١٠ﺭ = ١
)ﺏ( ﻋﺪد اﻟﻘﻄﻊ = ٤ﻕ ٦ = ٢ﻗﻄﻊ ) ،ﺝ( ﻋﺪد اﻷﻗﻄﺎر = ٩ﻕ ٢٧ = ٩ – ٢ﻗﻄﺮ
)ﺍ( ٨ل ٣ﺭ – ٦٧٢٠ = ١
ل = ٣٨٠ = ٢ل
٢
ا ﺒﺎدﻳﻞ ا ﻤﻜﻨﺔ ﻟـ ٢١٠
)ﺍ( ﻋﺪد ا ﺜﻠﺜﺎت ا ﻄﻠﻮ ﺔ = ٥ﻕ ١٠ = ٣ﻣﺜﻠﺜﺎت
) (٧أوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺭ
٢٠
ا ﻞ
) (١١إذا ن ﻥ ل ﺭ = ٢١٠ﻓﺄوﺟﺪ ﻗﻴﻢ
ا ﻞ
ﺎ ﻳﺄ :
ﺎ ﻳﺄ :
)ﺏ( ﰈ | ﺭ = ٦ | = ٧٢٠ﺇ ﺭ = ، ٦ﻥ ل ٩ = ٦ل
)ﺝ( ﻣﺎ ﻋﺪد اﻷﻗﻄﺎر ﻀﻠﻊ ﻋﺪد أﺿﻼﻋﻪ ٩أﺿﻼع ؟
) (ﻣﺎ ﻋﺪد ﻃﺮق ﺗﻮز ﻊ ٤ﻛﺮات ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺔ
ﻣﻦ ﻥ ،ﺭ
)ﺍ( ﻥ – ٢ل ١٠ = ٩٠ = ٢ل
)) (٦ﺍ( ﻣﺎ ﻋﺪد ا ﺜﻠﺜﺎت ا ﺎ ﺔ ﻣﻦ ﺗﻮﺻﻴﻞ ٣رؤوس ﻀﻠﻊ ﻋﺪد
رؤوس ﺷ
3
ﲦ= ٧٢٠ )ﺏ( ﻥ ل ﺭ = ، ٦٠٤٨٠ﺲﲟ ﺭ ﺲ
ً )أوﻻ( ﻋﺪد اﻟﻄﺮق = ٢٤٠ = ٤ | ١٠ﻃﺮ ﻘﺔ ً )ﺛﺎﻧﻴﺎ( ﻋﺪد اﻟﻄﺮق = ) ١٦٨ = ٤ | ٧ = ٤ | ( ١ + ٤ – ١٠ﻃﺮ ﻘﺔ
رﺎ
5
)ﺍ( ﻥ – ﺭ ل ، ٩٠ = ٢ﻥ +ﺭ ل ٣٨٠ = ٢
ا ﻞ
؟
ﺫ; 1-
+ ;4ﺫ =3 ;ﺫ + ; 3 +ﺫ 5
ﺇ ) ٣ﻥ ) ( ١ +ﻥ – ٠ = ( ٤ﺇ ﻥ = ) 1 -ﺮﻓﻮض ( أ ،ﻥ = ٤
ﻓﻨﺎء ا ﺪرﺳﺔ ١٠أﻣﺎ ﻦ وﻗﻮف إذا ﻧﺖ اﻷﻣﺎ ﻦ : ً ً ﺷ ﺻﻒ . )ﺛﺎﻧﻴﺎ( ﺷ داﺋﺮة . )أوﻻ(
)ﺏ( ﻣﺎ ﻋﺪد اﻟﻘﻄﻊ ا ﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ا ﻮاﺻﻠﺔ ﺑ
ﺇ
ﺇ ٣ﻥ ٩ + ٢ﻥ ٢٠ = ٦ +ﻥ ١٠ +ﺇ ٣ﻥ ١١ – ٢ﻥ – ٠ = ٤
) (٥أوﺟﺪ ﻋﺪد اﻟﻄﺮق اﻟ ﻳﻤ ﻦ ﺑﻬﺎ وﻗﻮف ٤ﺗﻼﻣﻴﺬ ﻣﺘﺠﺎورة
أﺿﻼﻋﻪ ٥أﺿﻼع ؟
ﺫ; 3 = 1- 5 ; 1-
ﺫ; 3 = 1- ; × 1+ 5 ﺫ; 1- ; +ﺫ
; 1- ) ﺫ; )(1+ﺫ;( ` ; 1 - = 3ﺇ ×
ﺇ
)ﺝ( ﻋﺪد ﻃﺮق ا ﺴﺤﺐ = ١٢ق ٨ + ٥ق ٨٤٨ = ٥
ا ﻞ
- 7ﻥ 1 = 1+ﺇ ﻥ = ٣ – ٢٤ﻥ ﻥ
٨
3
ﺇ ٤ﻥ = ٢٤ﺉ ﻥ = ٦
ﺇ ﺭ – ٨ = ٤ﺉ ﺭ = ١٢ﺇ ﺭ ﻱ } { ١٣ ، ١٢
٢
ا ﻞ
ﻥ –١
ﻟﻸﺳﺘﺎﺫ ﺍﻟﻘﺪﻳﺮ /ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺪﻳﻦ ﻳﺤﻴﻰ ٠١١١٩٦٦٠٦١٦
ﺍﻟﺠﺒﺮ ﻭﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﺮﺍﻏﻴﺔ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ ) (١٤إذا ن ١٣ :ﻕ ﺭ ١٣ :ﻕ ﺭ ، ٥ : ٩ = ١ +
ﻥ ﻕ ﺭ – + ٢ﻥ ﻕ ﺭ – ٣٤٣٢ = ١أوﺟﺪ
١٤ﺭ = ١١٢ﺉ ﺭ = ، ٨ﰈ
ﺭ 1+
ﻥ
)(٢
9
)(٣
ﻥ
ﻕ + ٦ﻕ ٣٤٣٢ = ٧
17 17 5 + 6 18 5
٢ +ﻕ ١٠ = ١٢٠ = ٣ﻕ
٣
ﻕ+٣
ﻥ ١+
ﻕ=٢
ﻥ ٢+
ﻕ
٣
ﺉ
) (٤أوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﻥ
ﻥ
ﺇ ﻥ ١٠ = ٢ +ﺉ ﻥ = ٨
،ا ﻘﺪار =
+1
3ﺫ ﻕﺫ 4ﺫ ﻕ3
9ﺫ 5ﺫ 1+ = 4 = 4 9 3 +1 8 4ﺫ
) (٨ﻥ ﻕ :ﻥ ﻕ = 1 ٦ 3 ٥
) (٥أوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ
ا ﻮﻓﻴﻘﺔ ا ﺸ ﺔ ﺑ اﻟ ﺴﻂ وا ﻘﺎم
ﻥ ﻥ
ﻕ8 ﻕ7
ﲨﺲ
ﻥ
ا ﻞ
ﻥﻕ
6
ﺎ ﻳﺄ :
) (٢ﻥ ل ٨ ، ٨٤٠ = ٤ل ﺭ = ٣٣٦
) (٤ﻥ ﻕ ﺭ = ، ١٠ﻥ -ﺭ = ٦ )(٥
ﻕ٥
) (٧ﻥ ل ﺭ = ١٢٠
= ﻥ ٢+ ﻥ ﻥ ﻥ ﻕﺭ ) (٦إذا ن :ﻕ ﺭ × ٢ +ﻕ ﺭ + ١ +ﻕ ﺭ ٢ +
ﺇ ) ﻥ – ) ( ٧ﻥ – ( ٥ﲨﺲ ٤٨
ﺇ ﻥ ١٢ – ٢ﻥ ٤٨ – ٣٥ +ﲨﺲ ٠ ﺇ ﻥ ١٢ – ٢ﻥ – ١٣ﲨﺲ ٠
+++
ﻥ +ﺭ = ٣٨٠ﻥ +ﺭ -ﺫ
ﻥ ﻥ ﻥ ) (٦ﻕ ، ١٢٠ = ٣ﻕ ﺭ ٢ + ٢ﺭ = ﻕ ٢ﺭ ٥ +
6 ﲨ ﻥ 1+ 8 -ﺲ ﻥ 1+ 6 - 8
ﺇ ) ﻥ – ) ( ١٣ﻥ ( ١ +ﲨﺲ ٠
ﻣﻦ ﻥ ،ﺭ
ﺲﻥ ﻥ ﲨ ل٧ ل٨
) (٣ﻥ ﻕ ، ٢١ = ٢ﻥ +ﺭ ل ٩٩٠ = ٣
ﻥ ﻕ × ٨ﻥ ﻕ ٦ﲨﺲ ﻥ ﻕ × ٧ ﻥ
)(٩
) (١ﻥ ل ، ٢ = ٢ﻥ +ﺭ ل ٩٠ = ٢
) (١٧أوﺟﺪ ﻗﻴﻢ ﻥ ا ﻤﻜﻨﺔ إذا ن :
ﻕ5
٨ ٨ ) (٦ل ﻥ – = ٣ل ﻥ – ٣
) ٢ (٧ﻥ ١ +ل ﻥ – ٢ : ١ﻥ – ١ل ﻥ = ٥ : ٣
= 58 9
ﺇ
) ٨ (٢ل ٣ﻥ – ٦٧٢٠ = ١ ) (٤ﻥ ﻕ ﻥ ١٢٠ = ٣ -
) (٥ﻥ ١ +ﻕ ﻥ – ٦٦ = ١
ﻥ ﻥﻕ × ﻥ ° = 1- Ì Ì-ﻥ = 1 - Ì × 1-ﻥ ﻥ 1-ﺭ = ﻥ Ì 1- ﻥÌ Ì- 1 -Ì Ì ﻥ 1- ﻕ ﺭ1-
وذ ﻚ ﺑﺎﻟﻘﺴﻤﺔ
ﺎ ﻳﺄ :
) ٩ (٣ل ﻥ – 9 = ٤
ا ﻞ
5ﺫﻕ 4ﺫ ﻕ3
) ٦ (٢أﺿﻼع .
) ٣ (١ﻥ – ٥ل ٢٥٢٠ = ٥
) (١٦أﺛﺒﺖ أن ﻥ ﻕ ﺭ :ﻥ – ١ﻕ ﺭ – = ١ﻥ ،وﻣﻦ ذ ﻚ أﺛﺒﺖ أن : ﺭ 4ﺫ 5ﺫ ﻕ 58 = 3 + 4 3ﺫ 4ﺫ 9 ﻕ + 3ﺫ
1+ 4
ﻢ ﻨﺔ ﺘﻮى
أﺿﻼﻋﻪ ٤ (١) :أﺿﻼع .
13 1 + 6 - 18 618 517 + 617 = = = 18 18 6 6 5 5
،
إ ﺮأة واﺣﺪة
اﻷﻗﻞ ؟
) (٣أوﺟﺪ ﻋﺪد ا ﺜﻠﺜﺎت ا ﺎ ﺔ ﻣﻦ ﺗﻮﺻﻴﻞ ٣رؤوس ﻀﻠﻊ ﻋﺪد
ا ﻞ
) ﻥ ﻕ + ٣ﻥ ﻕ ) + (٢ﻥ ﻕ + ٢ﻥ ﻕ = (١
ﻢ ﻨﺔ ﺘﻮى
ﺳﺎﺣﺔ اﻧﺘﻈﺎر ﺑﻬﺎ ٨أﻣﺎ ﻦ وﻗﻮف إذا ن ا ﻮﻗﻒ : ً ً ﺷ ﺻﻒ . )ﺛﺎﻧﻴﺎ( ﺷ داﺋﺮة . )أوﻻ(
ﻘﻖ :ﻥ ﻕ ٢ + ٣ﻥ ﻕ + ٢ﻥ ﻕ ١٢٠ = ١
ﻥ ١+
إ ﺮأة واﺣﺪة ﻓﻘﻂ ؟
) (٢أوﺟﺪ ﻋﺪد اﻟﻄﺮق اﻟ ﻳﻤ ﻦ ﺑﻬﺎ وﻗﻮف ٥ﺳﻴﺎرات ﻣﺘﺠﺎورة
ﺇ ﻥ ١٤ = ١ +ﺉ ﻥ = ١٣
٧
) (١٥أوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﻥ اﻟ ﺛﻢ أوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ :
) (١أوﺟﺪ ﻋﺪد اﻟﻄﺮق ا ﺨﺘﻠﻔﺔ ﻜﻮ ﻦ ﻫﺬه ا ﻠﺠﻨﺔ .
-13ﺭ = 5ﺇ ٥ﺭ ٩ – ١١٧ = ٥ +ﺭ ﺇ
9
ﺉ ﻥ ١ +ﻕ ١٤ = ٣٤٣٢ = ٧ﻕ
ﻣﻦ ﻥ ،ﺭ
ا ﻞ
) -13ﺭ 1 + (1+ = 5ﺇ ﺭ 1+
ُ ) (١ﻳﺮاد ﺗ ﻮ ﻦ ﻨﺔ ﻣﻦ ٤اﺷﺨﺎص ﻣﻦ ﺑ
٩رﺟﺎل ٣ ،ﺴﺎء
١٣
١-
٠
٠
---
وﻣﻦ ذ ﻚ أوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ١٠ :ﻕ ١٠ × ٢ + ٥ﻕ + ٦
+++
ﻥ ) (٧إذا ن :ﻕ ﺭ ٢ +
ﲪ – ) ١ﺮﻓﻮض ( ﲨ ١٣أ ،ﻥ ﺲ ﺇ ﻥ ﺲ
) (٨ﺣﻞ
ﺇ ﻥ ﻱ } { .......... ، ١٥ ، ١٤ ، ١٣
ﲨﺲ ﻥ ﻕ
ﲨ٢ﺭ٣+ ﺭ ١ +ﻓﺄﺛﺒﺖ أن :ﻥ ﺲ
ﻣﻦ ا ﻌﺎدﻻت اﻵﺗﻴﺔ :
-°3 ° = 4 -°3ﺫ
)ﺍ(
+°ﺫ
)ﺝ(
ﺫ7 -°3 ٧٢ = 3 -° °
)ﺏ( ٢ﺫ ) = °ﻥ ٣ + ٢ﻥ ٢( ° ) ( ٢ +
٣
١٠
ﻕ٧
ﻟﻸﺳﺘﺎﺫ ﺍﻟﻘﺪﻳﺮ /ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺪﻳﻦ ﻳﺤﻴﻰ ٠١١١٩٦٦٠٦١٦
ﺍﻟﺠﺒﺮ ﻭﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﺮﺍﻏﻴﺔ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
· ﻣﺜﻠﺚ ﺑﺎﺳ ل :
ا ﻘﺪار ذى ا ﺪﻳﻦ ............
١
)ﺍ +ﺏ( )ﺍ +ﺏ( ٣ )ﺍ +ﺏ( ٤ )ﺍ +ﺏ( ٥ )ﺍ +ﺏ( ٦ )ﺍ +ﺏ( ٢
ﻣﻌﺎ ﻼت ﺣﺪود ا ﻔﻜﻮك
ا ﺼﻒ اﻷول ا ﺼﻒ ا ﺎ ا ﺼﻒ ا ﺎﻟﺚ ا ﺼﻒ ا ﺮاﺑﻊ ا ﺼﻒ ا ﺎ ﺲ ا ﺼﻒ ا ﺴﺎدس
١
١ ١ ١ ٢ ١ ١ ٣ ٣ ١ ١ ٤ ٦ ٤ ١ ١ ٥ ١٠ ١٠ ٥ ١ ١ ٦ ١٥ ٢٠ ١٥ ٦ ١
) (١ﺑﺎﻻﺳﺘﻌﺎﻧﺔ ﺑﻤﺜﻠﺚ ﺑﺎﺳ ل :
)ﺍ( أوﺟﺪ ﻣﻌﺎ ﻼت ) ﺍ +ﺏ (٦
............
)ﺏ( أوﺟﺪ ﻋﺪد ا ﺠﻤﻮ ت ا ﺰﺋﻴﺔ اﻟ ﻳﻤ ﻦ ﺗ ﻮ ﻨﻬﺎ ﻣﻦ
١
٢ ٢ ٣ ٢ ٤ ٢ ٥ ٢ ٦ ٢ ٢
ﻤﻮﻋﺔ ﺘﻮى ٥ﻋﻨﺎ
)ﺍ( ﻣﻌﺎ ﻼت ) ﺍ +ﺏ (١ ، ٦ ، ١٥ ، ٢٠ ، ١٥ ، ٦ ، ١ = ٦ =٦ﻕ٦،٠ﻕ٦،١ﻕ٦،٢ﻕ٦،٣ﻕ٦،٤ﻕ٦،٥ﻕ ٥
) (٢اﻛﺘﺐ ﻣﻔﻜﻮك :
ﻣﻔﻜﻮك ) ﺱ _ ﺍ ( ﻥ :
)ﺍ( ) ٣ﺱ +ﺹ (٥
· ا ﻔﻜﻮك ﺮﺗﺐ ﺣﺴﺐ ﻗﻮى ﺱ ا ﻨﺎز ﺔ وﻗﻮى ﺍ ا ﺼﺎﻋﺪﻳﺔ
)ﺍ( ) ٣ﺱ +ﺹ ( ٣ ) = ٥ﺱ ( ٥ + ٥ﻕ ) ١ﺹ ( ) ٣ﺱ ( ٥ + ٤ﻕ ) ٢ﺹ (
) ٣ﺱ ( ٥ + ٣ﻕ ) ٣ﺹ ( ٣ ) ٣ﺱ ( ٥ + ٢ﻕ ) ٤ﺹ ( ٣ ) ٤ﺱ ( ٥ +ﻕ ) ٥ﺹ (
= ٢٤٣ﺱ ٨١ × ٥ + ٥ﺱ ٤ﺹ ٢٧ × ١٠ +ﺱ ٣ﺹ ٩ × ١٠ + ٢ﺱ ٢ﺹ ٣ × ٥ + ٣ﺱ ٥
ﺹ + ٤ﺹ
= ٢٤٣ﺱ ٤٠٥ + ٥ﺱ ٤ﺹ ٢٧٠ +ﺱ ٣ﺹ ٩٠ + ٢ﺱ ٢ﺹ ١٥ + ٣ﺱ ﺹ + ٤ﺹ
ً
٦ﻕ ) ٣(١ –) ٣ﺱ ٦ + ٣(٢ﻕ ) ٤(١ –) ٤ﺱ ٦ + ٢(٢ﻕ ) ٥(١ –) ٥ﺱ+ (٢
٦ﻕ = ٦(١ –) ٦ﺱ ٦ – ١٢ﺱ ١٥ + ١٠ﺱ ٢٠ – ٨ﺱ ١٥ + ٦ﺱ ٦ – ٤ﺱ١ + ٢
ﺫ
· إذا ﻧﺖ ﻥ ﻓﺮدﻳﺔ :ﻳﻮﺟﺪ ﺣﺪان أوﺳﻄﺎن رﺗ ﺘﺎﻫﻤﺎ :
) (٣أ ﺘﺐ ﻣﻔﻜﻮك ) – ١ﺱ ( ٨ﺛﻢ اﺳﺘﺨﺪم ذ ﻚ
ً ﻮن ﻋﺪد ا ﺪود ) ﻥ ( ١ +زوﺟﻴﺎ .
) + ١ ) (١ﺱ ( ﻥ = + ١ﻥ ﻕ ١ﺱ +ﻥ ﻕ ٢ﺱ + ............. + ٢ﺱ
٥
)ﺏ( ) ﺱ) = ٦( ١ – ٢ﺱ ٦ + ٦(٢ﻕ ) (١ –) ١ﺱ ٦ + ٥(٢ﻕ ) ٢(١ –) ٢ﺱ+ ٤(٢
· إذا ﻧﺖ ﻥ زوﺟﻴﺔ :ﻳﻮﺟﺪ ﻠﻤﻔﻜﻮك ﺣﺪ أوﺳﻂ وﺣﻴﺪ رﺗ ﺘﻪ ً ﻥ ١ +و ﻮن ﻋﺪد ا ﺪود ) ﻥ ( ١ +ﻓﺮدﻳﺎ .
· ا ﻔﻜﻮك اﻟ ﺴﻴﻂ :
٢ ٥
ﻤﻮع ﻣﻌﺎ ﻼت ﺣﺪود ا ﻔﻜﻮك ) ﺍ ﺱ _ ﺏ ﺹ ( ﻥ =)ﺍ_ﺏ(ﻥ
ﺫ
)ﺏ( ) ﺱ٦( ١ – ٢
ا ﻞ
= ﻥ ﻕ ) ا ﺪ ا ﺎ (ﺭ × ) ا ﺪ اﻷول ( ﻥ – ﺭ ﺭ · òﺭ١+ · ﻣﻌﺎ ﻞ òﺭ = ١ +ﻥ ﻕ ﺭ ) ﻣﻌﺎ ﻞ ا ﺪ ا ﺎ (ﺭ × ) ﻣﻌﺎ ﻞ ا ﺪ اﻷول ( ﻥ – ﺭ
ﻥ ، 1+وﻣﺎﻳﻠﻴﻪ و
٦
)ﺏ( ﻋﺪد ا ﺠﻤﻮ ت ا ﺰﺋﻴﺔ = ٣٢ = ٢ﻤﻮﻋﺔ
ﻋﺪد ﻋﻨﺎ ﻫﺎ ﻥ = ٢ﻥ .
· ﻋﺪد ﺣﺪود ا ﻔﻜﻮك = ﻥ ١ +ﺣﺪا
.
ا ﻞ
ﻋﺪد ا ﺠﻤﻮ ت ا ﺰﺋﻴﺔ اﻟ ﻳﻤ ﻦ ا ﺼﻮل ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻣﻦ ﻤﻮﻋﺔ
·
ﺻﻮرة ﺗﻮاﻓﻴﻖ
٨ ٨ ٨ ٨ – ١ﻕ + ١ﻕ – ٢ﻕ + ........... + ٣ﻕ ٨
إ ﺎد ﻗﻴﻤﺔ :
ا ﻞ
ﻥ
) – ١ﺱ ( ٨ – ١ = ٨ﻕ ١ﺱ ٨ +ﻕ ٢ﺱ ٨ – ٢ﻕ ٣ﺱ ٨ + ٣ﻕ ٤ﺱ ٨ – ٤ﻕ ٥ﺱ+ ٥
) - ١ ) (٢ﺱ ( ﻥ = - ١ﻥ ﻕ ﺱ +ﻥ ﻕ ﺱ - ) + ....... - ٢ﺱ ( ﻥ ٢ ١
٦
٨
٧
٨
٨
ﻕ ٦ﺱ – ﻕ ٧ﺱ +ﻕ ٨ﺱ ،ﺑﻮﺿﻊ ﺱ = ١
· إذا ﻋﻠﻢ رﺗﺒﺔ ا ﺪ ﻣﻦ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻣﻔﻜﻮك ذات ا ﺪﻳﻦ ﻓﺈن :
) ٨ – ١ = ٨( ١ – ١ﻕ ٨ + ١ﻕ ٨ – ٢ﻕ ٨ + ٣ﻕ ٨ + ............... – ٤ﻕ = ٨ﺻﻔﺮ
رﺗﺒﺔ ا ﺪ ﻣﻦ ا ﺪاﻳﺔ = ﻋﺪد ﺣﺪود ا ﻔﻜﻮك – ﺗﺮﺗﻴﺐ ا ﺪ ﻣﻦ
) (٣أوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ) ١٠( ٠٩٨ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﻧﻈﺮ ﺔ ذات ا ﺪﻳﻦ ﻣﻘﺮ ﺎ
ا ﻬﺎﻳﺔ ١ +
ا ﻮاب ﻷﻗﺮب ﺛﻼﺛﺔ أرﻗﺎم ﻋ
· ) ﺱ +ﺍ ( ﻥ ) +ﺱ – ﺍ ( ﻥ = ( .......... + ٥ ò + ٣ ò + ١ ò) ٢
ﺔ.
ا ﻞ
= ﺿﻌﻒ ﻤﻮع ا ﺪود اﻟﻔﺮدﻳﺔ ا ﺮﺗﺒﺔ
ً
) ١٠ = ١٠( ٠٠٢ – ١ ) = ١٠( ٠٩٨ﻕ ١٠ – ٠( ٠٠٢ ) ٠ﻕ ١٠ + ( ٠٠٢ ) ١ﻕ ( ٠٠٢ ) ٢
· ) ﺱ +ﺍ ( ﻥ – ) ﺱ – ﺍ ( ﻥ = ( .......... + ٦ ò + ٤ ò + ٢ ò) ٢
– ١٠ﻕ ٠٨١٧ = ....... + ٠٠٠٠٩٦ – ٠٠١٨ + ٠٢ – ١ = .......... + ٣( ٠٠٢ ) ٣
= ﺿﻌﻒ ﻤﻮع ا ﺪود ا ﺰوﺟﻴﺔ ا ﺮﺗﺒﺔ
)(٤
ﻣﻔﻜﻮك ) ٢ﺱ : ٧( 1 +أوﺟﺪ ﺫ
ﻣﻦ ٦ò ، ٣òﺣﺴﺐ
ﻗﻮى ﺱ ا ﻨﺎز ﺔ ،و ذا ن ، ٦ò = ٣òأوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺱ . ا ﻞ
٤
٢
٨
ﻟﻸﺳﺘﺎﺫ ﺍﻟﻘﺪﻳﺮ /ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺪﻳﻦ ﻳﺤﻴﻰ ٠١١١٩٦٦٠٦١٦
ﺍﻟﺠﺒﺮ ﻭﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﺮﺍﻏﻴﺔ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ 1 ٢ﺫ ٧= ٣òﻕ ٢) ٢( 1 ) ٢ﺱ( ١٦٨ = ٥ﺱ٧= ٦ò ، ٥ﻕ ٢) ٥( 1 ) ٥ﺱ( = 8 ﺫ ﺫ 1ﺫ 1ﺫ × 1 = 1ﺉ ﺱ=1 ٦ò = ٣ò ،ﺉ ١٦٨ﺱ= ٣ ﺇ ﺱ= ٣ 4 64 168 8 8
ﺱ
) (٥ﻣﻦ ﻣﻔﻜﻮك ) ٢ﺱ 1 -
3ﺱﺫ
ﻣﻔﻜﻮك ] + ١ﺱ ) + ١ﺱ ( [: ٥
٢
òﺭ ٥ = ١ +ﻕ ﺭ × ] ﺱ ) + ١ﺱ ( [ﺭ = ٥ﻕ ﺭ × ﺱﺭ × ) + ١ﺱ ( ﻧﻔﺮض أن ح
( ١١أوﺟﺪ ا ﺪ ا ﺮاﺑﻊ ﻣﻦ ا ﻬﺎﻳﺔ
ا ﻞ
3ﺱ
)) (٦ﺍ( أوﺟﺪ
Ìﺫ 1 ﻡ 1 0
٩
ﰈ ) +١ﺱ( ﺇ ٢ﻥﻕ + ٠
ﺔ ) ٨( ٠٩٧ ) + ٨( ١٠٣
)ﺏ( أوﺟﺪ ﻷﻗﺮب ﺛﻼﺛﺔ أرﻗﺎم ﻋ
٢ﻥ
٢ﻥ
ا ﻞ
ﻥ
ﻥ
=)+١ﺱ( ) +١ﺱ(
ﻕ ١ﺱ +
٢ﻥ
٢
ﻕ ٢ﺱ + ........ +
٢ﻥ
ﻥ
ﻥ
ﻥ
ﻕﻥ ﺱ = ) ﻕ + ٠ﻕ ١ﺱ +
ﻥﻕ ٢ﺱ + ........ + ٢ﻥﻕﻥ ﺱ ﻥ ( ) ﻥﻕ + ٠ﻥﻕ ١ﺱ +ﻥﻕ ٢ﺱ + ........ + ٢ﻥﻕﻥ ﺱ ﻥ (
ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﻧﻈﺮ ﺔ ذات ا ﺪﻳﻦ .
ﻥ
ﺑﻤﺴﺎواة ﻣﻌﺎ ﻼت ﺱ
ا ﻞ
اﻟﻄﺮﻓ
ﺉ
٢ﻥﻕﻥ = ﻥﻕ × ٠ﻥﻕ ﻥ +ﻥﻕ × ١ﻥﻕ ﻥ – + ١ﻥﻕ × ٢ﻥﻕ ﻥ – + ..... + ٢ﻥﻕ ﻥ × ﻥﻕ
= ﻥﻕ × ٠ﻥﻕ + ٠ﻥﻕ × ١ﻥﻕ + ١ﻥﻕ × ٢ﻥﻕ + ......... + ٢ﻥﻕ ﻥ × ﻥﻕ ﻥ
= ٥ ] ٢ﻕ ] ) ١ﺱ ( ٥ +ﻕ ] ) ٣ﺱ ( ٥ + ٣ﻕ ] ) ٥ﺱ ([ ٥
= ) ﻥﻕ ) + ٢( ٠ﻥﻕ ) + ٢( ١ﻥﻕ ) + ......... + ٢( ٢ﻥﻕ ﻥ (
= ] ٥ ] ٢ﺱ ١٠ +ﺱ ]ﺱ +ﺱ] ٢ﺱ [ = ] ١٠ﺱ ٢٠ +ﺱ ]ﺱ ٢ +ﺱ] ٢ﺱ
٢
) (١١أوﺟﺪ ا ﺪ اﻷوﺳﻂ ﻣﻦ ﻣﻔﻜﻮك ) س، ١٠( 1 + ٢
)ﺏ( ا ﻘﺪار = ) [ ٩ò + ٧ò + ٥ò + ٣ò + ١ò] ٢ = ٨( ٠٠٣ – ١ ) + ٨( ٠٠٣ + ١
8ﺫ و ذا ﻧﺖ ﻗﻴﻤﺔ ﻫﺬا ا ﺪ = 7ﺫ ا ﻞ
= ٨ + ١ ] ٢ق٨ + ٢( ٠٠٣ ) ٢ق[ ....... + ٤( ٠٠٣ ) ٤
= ٢٠٥١ = ٢٠٥٠٥١٣٤ = ١٠٢٥٢٥٦٧ × ٢ = [ ..... + ٠٠٠٠٠٥٦٧ + ٠٠٢٥٢ + ١ ) ٢
) (٧ﻣﻦ ﻣﻔﻜﻮك ) – ١ﺱ ( ٢٤ + ٨ﺱ ) – ١ﺱ (+ ٧
ﺫ¤
أوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺱ .
رﺗﺒﺔ ا ﺪ اﻷوﺳﻂ = ٦ = ١ + 10ﺇ ١٠ = ٦ òﻕ ) ٥( 1 ) ٥ﺱ (
٥ ٢
ﺫ¤
ﺫ
٢٥٢ﺱ – ١ ) ٢ﺱ ( ٦٥٦١ + ........... + ٦س٨
= 63ﺱ ٥ﺇ 63ﺱ 8 = ٥ﺫ ﺇ ﺱ = ٥ﺫ ) = 3ﺫ ( ٥ﺉ ﺱ = ﺫ 3 3 8 8 43ﺫ 7ﺫ
،أوﺟﺪ اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ﻠﺤﺪ ا ﺴﺎدس ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ = ١
١٣
) (١٢إذا ن ا ﺪان اﻷوﺳﻄﺎن ﻣﻦ ﻣﻔﻜﻮك ) ٣ﺱ ٢ +ﺹ ( ﻣ ﺴﺎو
ا ﻔﻜﻮك = ] ) – ١ﺱ ( ٣ +ﺱ [ ٢ + ١ ) = ٨ﺱ (
٨
٥
٨ = ٦ò ،ﻕ ٢ ) ٥ﺱ ( ١٧٩٢ = ٥ﺱ
رﺗ
،ﻋﻨﺪ ﺱ = ١ﺇ اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ﻠﺤﺪ ا ﺴﺎدس = ﻣﻌﺎ ﻞ ١٧٩٢ = ٦ ò
ﻓﺄﺛﺒﺖ أن :ﺱ = ﺫ ﺹ 3 ا ﻞ
ا ﺪان اﻷوﺳﻄﺎن ٨ ، ٧ = 1+ 13 : ﺫ
١٣ = ٧ ò ،ﻕ ٢ ) ٦ﺹ ( ٣ ) × ٦ﺱ ( = ٨ ò ،
) (٨ﻣﻦ ﻣﻔﻜﻮك ) + ١ﺝ ﺱ ( ١٠إذا ن ﻣﻌﺎ ﻞ ا ﺪ ا ﺎﻟﺚ
٧
١٣
٧
ﻕ ٢ ) ٧ﺹ ( ) ٣ﺱ (
٦
ﺇ ١٣ﻕ ٢ ) ٦ﺹ ( ٣ ) × ٦ﺱ ( ١٣ = ٧ﻕ ٢ ) ٧ﺹ ( ٣) ٧ﺱ (
ﺴﺎوى ، ١٨٠و ن ا ﺪ ا ﺎ ﺲ ﺴﺎوى . ٢١٠أوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ
ﺉ ٣ﺱ =٢ﺹ ﺇ
ﻣﻦ ﺝ ،ﺱ ﺣﻴﺚ ﺝ ﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ ﻮﺟﺐ .
٦
ﺱ = ﺫ 3 ﺹ
) (١٣أوﺟﺪ ا ﺪ اﻷوﺳﻂ ﻣﻦ ﻣﻔﻜﻮك :
ا ﻞ
) ] ٢ﺱ ] ٢ ) + ١٠( 1 + /ﺱ 1 – / ﺫ ¤S ﺫ ¤S ا ﻞ
ﻣﻌﺎ ﻞ ١٠ = ٣ òﻕ ) ٢ﺝ ( ١٨٠ = ٢ﺇ ﺝ ٤ = ٢ﺉ ﺝ = _ ٢ ١٠ = ò ،ﻕ ) ﺝ ﺱ ( ٢١٠ = ٤ﺇ ) _ ٢ﺱ ( ١ = ٤ﺉ ﺱ = _ 1 ٤ ٥ ﺫ
) (٩أوﺟﺪ ﻣﻌﺎ ﻞ ﺱ٢
ﺇ ﻣﻌﺎ ﻞ ﺱ٥ = ٢ﻕ٢ × ٢ﻕ٥ + ٠ﻕ١ × ١ﻕ١٥ = ١
٢ ٢ﻥ ﻥ ٢ ﻥ ﻥ ٢ ﻥ ٢ ) ﻕ ) + ( ٠ﻕ ) + ( ١ﻕ ) + ..... + ( ٣ﻕ ﻥ ( = ﻕ ﻥ
١٣ -
ا ﻞ
ﺭ+ﻡ
) (١٠ﺑﺮﻫﻦ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﻧﻈﺮ ﺔ ذات ا ﺪﻳﻦ أن :
أ ﺴﻂ ﺻﻮرة )] + ١ﺱ ] – ١ ) – ٥( /ﺱ ٥( /
)ﺍ( ا ﻘﺪار = [ ٦ ò + ٤ ò + ٢ ò] ٢
ﺭ
ﻡ
ﻡ
ﲪ ، ٥ﻹ ﺎد ﻣﻌﺎ ﻞ ﺱ ٢ﻧﻀﻊ ﺭ +ﻡ = ٢أى أن : ﲪﺭ ﺲ ٠ ،ﲪﺲ ﻡ ﺲ
أو :
187ﺫ
ﺭ
٥
ﺭ
ﺇ òﺭ = ١ +ﻕ ﺭ ﺱ × ﻕ ﻡ ﺱ = ﻕ ﺭ × ﻕ ﻡ × ﺱ
٤òﻣﻦ ا ﻬﺎﻳﺔ = ٤òﻣﻦ ا ﺪاﻳﺔ ﻣﻔﻜﻮك )– 1ﺫ ٢ +ﺱ ( 3ﺱ ١٣= ١١ﻕ ٢ ) ٣ﺱ (1- ) ٣ﺫ ( 440 = ٨ﺱ 187ﺫ 3ﺱ
= ١١ﻕ1- ) ٨ﺫ ( ٢ ) ٨ﺱ ( 440 = ٣ﺱ
ﻣﻔﻜﻮك ) + ١ﺱ (ﺭ ò :ﻡ = ١ +ﺭ ﻕ ﻡ ﺱ
ﻫﻮ ا ﺪ اﻟﻌﺎم
٥
١١
رﺗﺒﺔ ا ﺪ ﻣﻦ ا ﺪاﻳﺔ = ) ò = ( ١ + ٤ – ١٢
ﻡ ١+
ﺭ
1 ) ] ٢ﺱ ] ٢ ) + ١٠( 1 + /ﺱ – / ﺫ ¤S ﺫ ¤S
ﻣﻔﻜﻮك ) + ١ﺱ +ﺱ٥( ٢
(١٠
(+ ٦ ò + ٤ ò + ٢ ò ] ٢ = ١٠
، [ ١٠ ò + ٨ òﰈ ﻋﺪد ﺣﺪود ا ﻔﻜﻮك = ٥ﺣﺪود ﺇ ا ﺪ اﻷوﺳﻂ = ò ٢
ا ﻞ
= ١٠ × ٢ﻕ ) ٥
٥
] ٢ ) ٥( 1ﺱ (٥٠٤ = ٢٥٢ × ٢ = ٥
ﺫ ¤S
٦
٠
ﻟﻸﺳﺘﺎﺫ ﺍﻟﻘﺪﻳﺮ /ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺪﻳﻦ ﻳﺤﻴﻰ ٠١١١٩٦٦٠٦١٦
ﺍﻟﺠﺒﺮ ﻭﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﺮﺍﻏﻴﺔ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
) (١ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﻧﻈﺮ ﺔ ذات ا ﺪﻳﻦ اﻛﺘﺐ ﻣﻔﻜﻮك
ﺧﻄﻮات ا ﻞ :
ﺎ ﻳﺄ :
) (١ﻧﻔﺮض أن ا ﺪ ا ﺸﺘﻤﻞ
)ﺏ( ) ﺫ +ﺱ (٤
)ﺍ( ) ٢ﺱ ٣ +ﺹ (٤
ﺱ
ﺫ
) (٢ﻧﻮﺟﺪ ا ﺪ اﻟﻌﺎم
) (٢ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ا ﻔﻜﻮك ) + ١ﺱ ( ١٠ + ١ = ١٠ﻕ ﺱ ١٠ +ﻕ ﺱ٢ ٢ ١
+ ........ +ﺱ ١٠أﺛﺒﺖ أن :
)ﺍ( ١٠ + ١ﻕ ١٠ +ﻕ ١٠ + ............ + ٢ ١
ﻕ ١٠
أ ﺴﻂ ﺻﻮرة
) (٣ﺴﺎوى أس )ﺱ( ا ﺎﺗﺞ
= ١٠٢
) (٤ﻧﻌﻮض ﺑﻘﻴﻤﺔ )ﺭ(
ﻣﻦ ا ﺪ اﻟﻌﺎم ﺑﺎ ﺼﻔﺮ وﻧﻮﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ )ﺭ( .
· إذا ﻧﺘﺠﺖ ﻗﻴﻤﺔ )ﺭ(ﻛ
) (٥ﻣﻦ ﻣﻔﻜﻮك ) ٢ﺱ 1 +ﺫ ( ١٢أوﺟﺪ ا ﺪ اﻷوﺳﻂ . ﺫ¤
.
) (٧أوﺟﺪ ا ﺪ اﻷوﺳﻂ
ﻣﻔﻜﻮك ) ٢ + ٣ﺱ ( ٢ – ٣ ) + ٨ﺱ (٨
) (٨أوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺱ اﻟ
ﻘﻖ :
)(١٠
òﺭ ١٢ = ١ +ﻕ ﺭ × ) ( 3 -ﺭ ) ١٢
)(١١
= ﻕ ﺭ × )– ) × ( ٣
)(١٢
ﻣﻔﻜﻮك ) ﺱ ١٠( 1 + ٢ﺴﺎوى ﺫ¤
ﺫ – ١٢ﺭ
3
(
×ﺱ
٢ – ١٢ﺭ
،ﺑﻮﺿﻊ ٢ – ١٢ﺭ = ٨ﺉ ﺭ
ﻣﻔﻜﻮك ) ٢ﺱ١٢( 1 – ٢
) (٢أوﺟﺪ ا ﺪ ا ﺎ ﻣﻦ ﺱ òﺭ ١٢ = ١ +ﻕ ﺭ × ) ( 1-ﺭ ) ٢ﺱ (
ﺱ
ا ﻞ
– ١٢ ٢ﺭ
ﺱ
ﻓﺄﺛﺒﺖ أن :ﺱ = ﺫ ﺹ 3
= ١٢ﻕ ﺭ × )– ( ١ﺭ × ) – ١٢( ٢ﺭ × ﺱ
٣ – ٢٤ﺭ
،ﺑﻮﺿﻊ ٣ – ٢٤ﺭ = ٠
ﺉ ﺭ = ٨ﺇ ا ﺪ ا ﺎ ﻣﻦ ﺱ ﻫﻮ ١٢ = ٩òﻕ٧٩٢٠ = ٤٢ × ٨
ﻣﻔﻜﻮك ) + ١ﺱ (ﻥ إذا ن ﻣﻌﺎ ﻞ ا ﺪ ا ﺴﺎدس ﺴﺎوى أوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﻥ .
ﺫ ﻣﻔﻜﻮك ) ﺱ –
) (٣أوﺟﺪ ﻣﻌﺎ ﻞ ﺱ– ١٠
ﻣﻔﻜﻮك ) ﺱ – ١٥( 1إذا ن ﺍ ،ﺏ ﻫﻤﺎ ا ﺪان
3
ا ﻞ
ﺱ
òﺭ ١٥ = ١ +ﻕ ﺭ × ) -ﺫﺫ (ﺭ ) ﺱ
ﺭ = ١٠ﺇ ﻣﻌﺎ ﻞ ﺱ
ﻣﻦ :ﺝ ،ﺱ
– ١٠
ﺫ (١٥
ﺱﺫ
¤ﺫ – ١٥ﺭ
3
(
= ١٥ﻕ ﺭ × ) ( ٢ -ﺭ × ) ( ٣ﺭ – × ١٥ﺱ
ﻣﻔﻜﻮك ) + ١ﺝ ﺱ ( ١٠إذا ن ﻣﻌﺎ ﻞ ا ﺪ ا ﺎﻟﺚ ، ١٨٠ و ن ا ﺪ ا ﺎ ﺲ ٢١٠أوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ
3
(
3
اﻷوﺳﻄﺎن ﺣﺴﺐ ﻗﻮى ﺱ ا ﻨﺎز ﺔ ﻓﺄﺛﺒﺖ أن ﺍ +ﺏ ﺱ٠ = ٢ )(١٣
ﺫ – ١٢ ¤ﺭ
= ٢ﺇ ﻣﻌﺎ ﻞ ﺱ١٢ = ٨ﻕ ) × ٨( ٣ –) × ٨ﺫ (٦٤١٥٢٠ = ٤
ﻣﻔﻜﻮك ) ٣ﺱ ٢ +ﺹ ( ١٣إذا ن ا ﺪان اﻷوﺳﻄﺎن
ﻣﻌﺎ ﻞ ا ﺪ اﻟﻌﺎ
ﺭ
ﺱ
ﺱ
3
ا ﻞ
ﻓﺄوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺱ .
ﻣ ﺴﺎو
ﻣﻔﻜﻮك ) ﺫ ١٢( 3 - ¤
) (١أوﺟﺪ ﻣﻌﺎ ﻞ ﺱ٨
) ٣] + ٤٨٠ = ٦( ٣] – ١ ) – ٦( ٣] + ١ﺱ 8ﺫ 7ﺫ
ﺔ أو ﺳﺎ ﺔ ﻓﻬﺬا ﻣﻌﻨﺎه أن ا ﻔﻜﻮك
ﺣﺪ ﺑﻪ )ﺱﻙ( .
ﻻ ﺘﻮى
ﺱ
) (٩إذا ن ا ﺪ اﻷوﺳﻂ
ا ﺪ ا ﺸﺘﻤﻞ
· إذا ن ا ﻄﻠﻮب إ ﺎد ا ﺪ ا ﺎ ﻣﻦ ﺱ ﺴﺎوى أس )ﺱ( ا ﺎﺗﺞ
) (٤ﻣﻦ ﻣﻔﻜﻮك ) ﺱ +ﺫ ( ٨أوﺟﺪ ﻣﻌﺎ ﻞ ا ﺪ ا ﺴﺎدس
3
ﻗﻴﻤﺔ )ﺭ(
ﻼﺣﻈﺎت ﻫﺎﻣﺔ :
)ﺝ( ) ٨( ٠٩٨ ) – ٨( ١٠٢
ﺱ
) òﺭ (١ +ﺑﺎﻷس ا ﻄﻠﻮب )ﻙ( .
ا ﺪ اﻟﻌﺎم ﺤﺼﻞ
)ﺱﻙ( .
)ﺏ( ) ٧( ٠٩٩٨
ﺫ ) (٦ﻣﻦ ﻣﻔﻜﻮك ) ﺱ ١٥( 3 +أوﺟﺪ ا ﺪﻳﻦ اﻷوﺳﻄ
.
و ﻞ ا ﻌﺎدﻟﺔ ا ﺎ ﺔ ﻓﻨﺤﺼﻞ
)ﺏ( ١٠ – ١ﻕ ١٠ + ١ﻕ ١٠ + ............ – ٢ﻕ = ١٠ﺻﻔﺮ ً ) (٣أوﺟﺪ ﻷﻗﺮب رﻗﻢ ﻣﻦ أﻟﻒ ﺴﺘﺨﺪﻣﺎ ﻧﻈﺮ ﺔ ذات ا ﺪﻳﻦ ﻗﻴﻤﺔ ﻣﻦ ) :ﺍ( ) ٥( ١٠٠٣
)ﺱﻙ( ﻫﻮ ا ﺪ اﻟﻌﺎم ) òﺭ . (١ +
٤ – ٣٠ﺭ ١٠
١٥
،ﺑﻮﺿﻊ ٤ – ٣٠ﺭ = – ١٠ﺉ
= ﻕ(٣) × ( ٢ –) × ١٠
–٥
= ١٢٦٥٤٦١٧٢٨
) (٤ﻣﻦ ﻣﻔﻜﻮك ) ﺍ ﺱ ١٠( 1 +ﺣﺴﺐ ﻗﻮى ﺱ ا ﻨﺎز ﺔ ﺏ¤
إذا ن ا ﺪ ا ﺎ ﻣﻦ ﺱ ﺴﺎوى ﻣﻌﺎ ﻞ ا ﺪ ا ﺴﺎﺑﻊ ، أﺛﺒﺖ أن ٦ﺍ ﺏ = ٥
ا ﻞ
٦
ﻟﻸﺳﺘﺎﺫ ﺍﻟﻘﺪﻳﺮ /ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺪﻳﻦ ﻳﺤﻴﻰ ٠١١١٩٦٦٠٦١٦
ﺍﻟﺠﺒﺮ ﻭﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﺮﺍﻏﻴﺔ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ òﺭ ١٠ = ١ +ﻕ ﺭ × ) ( 1ﺭ ) ﺍﺱ ( ﺏ¤
= ١٠ﻕ ﺭ × ﺏ – ﺭ × ﺍ
– ١٠ﺭ
×ﺱ
) (٨أوﺟﺪ ﻣﻌﺎ ﻞ ﺱ٥
– ١٠ﺭ
٢ – ١٠ﺭ
،ﺑﻮﺿﻊ ٢ – ١٠ﺭ = ٠ﺉ ﺭ = ٥
) (٩إذا ن ﻣﻔﻜﻮك ) ﺱ ( 1 + ٢ﻥ ﺣﺪ ﺧﺎ ﻣﻦ ﺱ ﻓﺄﺛﺒﺖ أن ﺱ ً ﻥ ﺐ أن ﺗ ﻮن ﻀﺎﻋﻔﺎ ﻠﻌﺪد . ٣ﺛﻢ أوﺟﺪ ا ﺪ ا ﺎ ﻣﻦ
5 ﺇ ا ﺪ ا ﺎ ﻣﻦ ﺱ = ١٠ = ٦òﻕ × ٥ﺏ – × ٥ﺍ × ٢٥٢ = ٥ﺍò = 5
= ١٠ﻕ × ٦ﺏ – × ٦ﺍ× ٢١٠ = ٤
٧
ﺏ
ﺍ4 ﺏ6
ﺉ ﺍﺏ = 5ﺉ ٦ﺍﺏ = ٥
ﺱ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻥ = ١٢
6
) (٥ﻣﻦ ﻣﻔﻜﻮك ) ﺱ ٣( 1 + ٢ﻥ أوﺟﺪ : ﺱ
)ﺏ( إذا ﻧﺖ ﻥ = ٦ﻓﺄوﺟﺪ اﻟ ﺴﺒﺔ ﺑ
ﻣﻌﺎ ﻞ ا ﺪ
ا ﻞ
òﺭ ٣ = ١ +ﻥ ﻕ ﺭ × ) ( 1ﺭ ) ﺱ ٣( ٢ﻥ – ﺭ = ٣ﻥ ﻕ ﺭ × ﺱ ﺱ
٣ﻥ
،ﺑﻮﺿﻊ ٦ﻥ – ٣ﺭ = ٣ﻥ ﺉ ﺭ = ﻥ ﺇ ﻣﻌﺎ ﻞ ﺱ
)(١١
=
٣ﻥ
ﻕ
ﺭ
ﺇ
١٠
pﺭ -° 1+ﺭ 1+ = ﻓﺈن : ﺭ pﺭ
ﻣﻔﻜﻮك :
ﺗﺬﻛﺮ أن )ﺭ( ﻫﻨﺎ اﻷ
ا ﻞ
·
) ٣ + ١ﺱ ٣ +ﺱ + ٢ﺱ + ١ ) ] = ٤( ٣ﺱ ( ) ٤[ ٣ﻣﻦ ﻣﺜﻠﺚ ﺑﺎﺳ ل (
) (٢أوﺟﺪ ﻣﻌﺎ ﻞ )
ﺹ
١٠
) (٣أوﺟﺪ ﻣﻌﺎ ﻞ ﺱ١٢ ) (٤أوﺟﺪ ﻣﻌﺎ ﻞ ﺱ ١٠
ﻣﻔﻜﻮك :
) (٦
ﺱ
)(٧
ﻣﻌﺎ ﻞ ا ﺪ اﻷوﺳﻂ .
ﻓﺈن أ
ﻣ ﺴﺎو ﺎن و ﻣﻨﻬﻤﺎ ﻫﻮ أ
ﻣﻔﻜﻮك ) ﺱ + ٢ﺝﺫ ( ١٥أوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺝ اﻟ
ﻣﻌﺎ ﻞ
ا ﻔﻜﻮك ﻫﻮ
) (٢إذا ﻧﺖ ﻥ ﻋﺪد ﻓﺮدى ﻓﺈن ﻣﻌﺎ ﻼ ا ﺪﻳﻦ اﻷوﺳﻄ
)ﺏ( ا ﺪ ا ﺎ ﻣﻦ ﺱ .
ﺱ
ﻣﻌﺎ ﻞ
) (١إذا ﻧﺖ ﻥ ﻋﺪد زو
ﺱ
)ﺝ( أﺛﺒﺖ أن :ا ﻔﻜﻮك ﻻ ﺘﻮى
ﻣﻌﺎ ﻞ
ا ﻔﻜﻮك اﻟ ﺴﻴﻂ ) + ١ﺱ (ﻥ :
ﻣﻔﻜﻮك :
ﺣﺪ ﺸﺘﻤﻞ
ﻗﻴﻤﺔ ﺭ
· ﻼﺣﻈﺎت ﻫﺎﻣﺔ :
ﺱ
ﻣﻔﻜﻮك ) ٢ﺱ – 1ﺫ ( ٩أوﺟﺪ : ﺫ¤
)ﺍ( ﻣﻌﺎ ﻞ ﺱ٣
ﻣﻌﺎ ﻞ ا ــﺪ اﻷول
ا ﻔﻜﻮك :
ﻣﻌﺎ ﻞ òﻡ = ١ +أ
] ) ٤ – ١ﺱ ٦ +ﺱ ٤ – ٢ﺱ + ٣ﺱ٣ [ ( ٤ ) ﺱ ) – ٦( 1 +ﺱ – ٦( 1
ﻣﻌﺎ ــﻞ ا ــﺪ ا ــﺎ
) (٢إذا ﻧﺖ ﺭ ﲪﺲ ﻡ ) ﺣﻴﺚ ﻡ = ﻋﺪد ﻏ ﺻﺤﻴﺢ ( ﻓﺈن :
ﻣﻔﻜﻮك :ﺱ ) ٢ﺱ ﺫ +ﺫ (١٥ ﺫ
) (٥أوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ا ﺪ ا ﺎ ﻣﻦ ﺱ
×
ا ﻮاﻓﻴﻖ ﺗ ﻮن )ﺭ(
ﻣﻌﺎ ﻼ òﻙ ò ،ﻙ ١ +ﻣ ﺴﺎو ﺎن = أ
3ﺱ
ﺫ
ﺣﺪ
ا ــﺪ اﻷول
ﲪ ﻙ ) ﺣﻴﺚ ﻙ = ﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ ( ﻓﺈن : ) (١إذا ﻧﺖ ﺭ ﺲ
ﺫ¤ +ﺹ ( ﻣﻔﻜﻮك )
(
ﻣﻌﺎ ﻣﻌﺎ ﻞ pﺭ
×
ﻞ اﻷﺻﻐﺮ ،ﺑ ﻨﻤﺎ
-°ﺭ 1+ = ﺭ
ﻣﻌﺎ ﻞ p ﻧﻀﻊ ﻣﻌﺎ ﻞ pﺭ
ﻣﻔﻜﻮك ) 3ﺱ +ﺫ (١١
ﺹ
ﻞ pﺭ1+
ا
ا ـــﺪ ا ـــﺎ
ﺭ 1+ﲨﺲ ١ﺤﺼﻞ
ﺫ¤
.
· ﻹ ﺎد أ
= ) + ١ﺱ ( ، ١٢ا ﺪ اﻷوﺳﻂ ﻫﻮ ٧òﺉ ﻣﻌﺎ ﻞ ١٢ = ٧òﻕ٩٢٤ = ٦
ﺫ
ﻣﻔﻜﻮك ) ﺱ +ﺍ ( ﻥ
· إذا ن òﺭ ò ،ﺭ ١ +ﺣﺪﻳﻦ ﻣﺘﺘﺎ
) ٣ + ١ﺱ ٣ +ﺱ + ٢ﺱ. ٤( ٣
ﺱ ٤
ﺱ
ا ﺪ اﻷوﺳﻂ ،ﺛﻢ أوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﻫﺬا ا ﺪ ﻋﻨﺪ ﻥ = ٨
1ﺫ ﻣﻌﺎ ﻞ ١٨ = ١٠òﻕ ٩ﺇ ﻣﻌﺎ ﻞ ﺱ : ١٨ﻣﻌﺎ ﻞ ا ﺪ اﻷوﺳﻂ = ١٨ﻕ١٨ : ٦ﻕ = 55 ٩
) (١أوﺟﺪ ﻣﻌﺎ ﻞ ﺱ
ﻣﻔﻜﻮك ) ﺱ ٢( 1 +ﻥ اﺛﺒﺖ أن ا ﺪ ا ﺎ ﻣﻦ ﺱ ﻫﻮ
٦ﻥ – ٣ﺭ
،ﻋﻨﺪ ﺱ = ٦ﺇ ﻣﻌﺎ ﻞ ﺱ ٣ﻥ = ١٨ﻕ ، ٦ا ﺪ اﻷوﺳﻂ = ò
) (٦أوﺟﺪ ﻣﻌﺎ ﻞ ا ﺪ اﻷوﺳﻂ
ﺱ
ﻣﻌﺎ ﻞ ﺱ ١٥أوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺍ .
ﺱ ٣ﻥ وﻣﻌﺎ ﻞ ا ﺪ اﻷوﺳﻂ .
ا ﺸﺘﻤﻞ
ﻣﻔﻜﻮك ) ٢ﺱ + ٢ﺍ ١٠( 3إذا ن ﻣﻌﺎ ﻞ ﺱ ٥ﺴﺎوى
)(١٠
ﺱ ٣ﻥ .
)ﺍ( ﻣﻌﺎ ﻞ ا ﺪ ا ﺤﺘﻮى
ﻣﻔﻜﻮك – ١ ) :ﺱ +ﺱ + ١ ) ( ٢ﺱ (. ١١
ﺱ. ٢
ﻌﻞ ﻣﻌﺎ ﻞ
ﺱ ١٠ﺿﻌﻒ ﻣﻌﺎ ﻞ ﺱ. ١٥
٧
ﻣﻌﺎ ﻞ
ا ﻔﻜﻮك .
ﻟﻸﺳﺘﺎﺫ ﺍﻟﻘﺪﻳﺮ /ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺪﻳﻦ ﻳﺤﻴﻰ ٠١١١٩٦٦٠٦١٦
ﺍﻟﺠﺒﺮ ﻭﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﺮﺍﻏﻴﺔ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
) (١ﻣﻦ ﻣﻔﻜﻮك ) ﺱ + ٢ﺫ (: ٨
) (١
ﺱ
)ﺍ( أوﺟﺪ اﻟ ﺴﺒﺔ ﺑ ا ﺪﻳﻦ ا ﺎ ﺲ وا ﺴﺎدس ،و ذا ﻧﺖ
p 5 )ﺍ( = 5 1+ 5 - 8 6p
ﺣﺪ ﺧﺎ ﻣﻦ ﺱ .
ا ﻞ × ) ﺱ ÷ ٢ﺫ ( = ﺱ
5ﺱ 3
8
)(٢
ﻣﻔﻜﻮك ) + ١ﺱ ( ١٢إذا ن ٢ò ٢ = ٣òﻓﺄوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺱ
)(٣
ﻣﻔﻜﻮك ) ﺱ ٩( 1 + ٢أوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ا ﺪ ا ﺎ ﻣﻦ ﺱ
)(٤
ﻣﺘﻨﺎﺳﺒﺔ ،أوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺱ .
) (٦إذا ﻧﺖ ﺴﺒﺔ ﻣﻌﺎ ﻞ ا ﺪ ا ﺴﺎدس إ ﻣﻌﺎ ﻞ ا ﺪ ا ﺮاﺑﻊ 3ﺫ¤ ﻣﻔﻜﻮك ) + ﺫ 3
ﺱ=1 5
اﻟ ﺗﻴﺐ ١١٢٠ ، ٤٤٨ ، ١١٢ : ﻣﻦ ﻥ ،ﺹ ،ﺱ .
) (٨أوﺟﺪ أ
ا ﻞ
ﻥ × 1+ 3 -ﺹ = ٤ﺑﺎ
·
· اﻟﻌﺪد ا ﺨﻴ ت :
ﻫﻮ اﻟﻌﺪد ا ى ﺮ ﻌﻪ ﺴﺎوى – ١
· دورة اﻟﻌﺪد ا ﺨﻴ ت : j =1j
ﺇ ١١٢ﺱ ١١٢ = ٨ﺇ ﺱ ١ = ٨ﺇ ﺱ = _ ١ﺉ ﺹ = _ ٢
· اﻟﻌﺪد ﻉ = ت ﺹ ﺴ
ا ﻞ
ا ﻘﻴ
ﲨ٢ﺭ ﲨﺲ ١ﺉ ٣ – ٣٣ﺭ ﺲ
ﲪ ٣٣ﺇ ﺭ ﲪﺲ ٦٦ﺉ ﺭ = ٦ﺇ ٧ òﻫﻮ أ ﺇ ٥ﺭ ﺲ
jﺫ = 1-
j - = 3j
1 =4j
+°4j j = 1+°4jﺫ = 1 =°4j j - = 3+°4j 1-
ﻣﻔﻜﻮك ) ٢ﺱ ٣ +ﺹ (. ١٠
pﺭ - 10 1+ﺭ 3 - 33 3 1 +ﺭ × ﺫ= = ﺭ ﺫ¢ pﺭ
ﻤﻮﻋﺔ اﻷﻋﺪاد ا ﺮ ﺒﺔ ﻛﻚ :
ﻛﻚ = } ﺱ +ت ﺹ :ﺱ ﻱ ، òﺹ ﻱ ، òت{ ١ - = ٢
،ﰈ ١١٢ = ٣ òﺇ ٨ﻕ ٢ﺹ ٢ﺱ ١١٢ = ٦ﺇ ٨ﻕ ٢) ٢ﺱ( × ٢ﺱ١١٢ = ٦
) (٤أوﺟﺪ ﻣﻌﺎ ﻞ أ
ﻣﻔﻜﻮك ) - ١ﺱ (١٠
ﻣﻌﺎ ﻞ
ب×٣
ﻣﻔﻜﻮك ) ٥ - ٣ﺱ ( ١٥ﻋﻨﺪﻣﺎ
ﺫ11 3p 11 ﺫ 0 p =5 ﺇ ) ﻥ – × ( ٢ﺹ = ، (١) ......... ١٢ﰈ = 5 ﺫ 448 ﺱ 4p ﺹ 5 ﺹ = (٢) ........ ١٠ ﺑﺎ ب × ٤ﺇ ) ﻥ – × ( ٣ = ﺇ ﻥ × 1+ 4 - ﺱ ﺫ ﺱ 4 ﻥ -ﺫ ﺫ1 6 ﺑﻘﺴﻤﺔ ) : (٢) (١ﺇ = ﺇ ٦ﻥ – ٥ = ١٨ﻥ – ١٠ = ﻥ 5 10 3 - ﺉ ﻥ = ٨و ﺎ ﻌﻮ ﺾ ) (١ﺇ ) × ( ٢ – ٨ﺹ = ١٢ﺇ ﺹ = ٢ﺱ ﺱ ﺱ
( ﻥ ﺣﺴﺐ ﻗﻮى ﺱ ا ﺼﺎﻋﺪﻳﺔ ﺴﺎوى
٢٧ : ٨ﻓﻤﺎ ﻗﻴﻤﺔ ﻥ ؟ ً ) (٧أوﺟﺪ ﻋﺪدﻳﺎ ﻗﻴﻤﺔ أ ﺣﺪ
) (٣إذا ﻧﺖ ا ﺪود :ا ﺎﻟﺚ ،ا ﺮاﺑﻊ ،ا ﺎ ﺲ ﻣﻦ ﻣﻔﻜﻮك
ﺣﺪ
ﺫ
ا ﺎ ﺲ وا ﺴﺎدس ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ = ٢
ا ﻞ
p ٤ = 448 = 4ﺇ
¤3
ﺱ
ﰈ ò ، ò ٢٥ ، ò ، òﻣﺘﻨﺎﺳﺒﺔ ﺇ 5 = 4pﺫ7p ٦ ٧ ٥ ٤ 6p 5p ( ) 1 + 6 8 ﺫ 5 4 ×) ( 1 × 1 × ) ]ﺱ × ﺱ ( = ﺇ 6 1+ 4 - 8 ﺱ Sﺱ ﺇ ﺱ5 = ٣ﺫ 1ﺉ ﺱ = 5 ﺇ × 4ﺱ ]ﺱ = 1 × 1 × ٢٥ ﺫ 8 5 ﺫ S ¤ﺱ
3
3ﺱ +ﺫ ( ﻥ إذا ﻧﺖ اﻟ ﺴﺒﺔ ﺑ ﻣﻔﻜﻮك )
ا ﺪود
ا ﺎ ﺲ وا ﺴﺎدس وا ﺴﺎﺑﻊ ١١ : ٢٤ : ٤٠أوﺟﺪ :ﻥ ،ﺱ . ً ) (٥ﻣﻔﻜﻮك ) ﺱ + ٢ﺫ ( ٨أوﺟﺪ ﻋﺪدﻳﺎ اﻟ ﺴﺒﺔ ﺑ ا ﺪﻳﻦ
1
،أوﺟﺪ ﻗﻴﻢ
ﺱ
ﺴﺎوى ٢ : ٣ﻓﺄوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺱ ا ﻘﻴﻘﻴﺔ .
٨ ﻣﻔﻜﻮك ) ]ﺱ +ﺱ ( إذا ن ٦ò ، ٧ò ٢٥ ، ٥ò ، ٤ò
) ﺱ +ﺹ (ﻥ
)ﺍ( ٢ ò : ٣ò
و ذا ﻧﺖ اﻟ ﺴﺒﺔ ﺑ ا ﺪ ا ﺎ ﻣﻦ ﺱ وا ﺪ ا ﺴﺎدس
5ﺱ 3 4 = 8ﺇ ١٢٥ﺱ ٦٤ = ٣ﺇ ﺱ 64 = ٣ﺉ ﺱ = ،ﰈ 5 5ﺫ1 5ﺫ 8 ٣ – ١٦ﺭ )ب( òﺭ ٨ = ١ +ﻕ ﺭ ) ﺫ (ﺭ ) ﺱ – ٨( ٢ﺭ = ٨ﻕ ﺭ × ٢ﺭ × ﺱ ﺱ 16 ﺑﻮﺿﻊ ٣ – ١٦ﺭ = ٠ﺉ ﺭ = ﻲﻳ ﺻﺺ +ﺇ ﻻ ﻳﻮﺟﺪ ﺣﺪ ﺧﺎ ﻣﻦ ﺱ . 3
)(٢
)ﺏ( ﻣﻌﺎ ﻞ : ٧òﻣﻌﺎ ﻞ ٨ò
)ﺝ( ٤ò : ٦ò
ﻫﺬه اﻟ ﺴﺒﺔ ﺴﺎوى ٢٥ : ٨أوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺱ .
)ﺏ( أﺛﺒﺖ أن ﻫﺬا ا ﻔﻜﻮك ﻻ ﺘﻮى
ﻣﻔﻜﻮك ) ٢ + ٣ﺹ ( ١٢أوﺟﺪ :
ﻋﺪد ﺮ ﺐ ﻴ
ف ﻷن ﺟﺰءه
ﺴﺎوى ﺻﻔﺮ .
· ﻳ ﺴﺎوى اﻟﻌﺪدان ا ﺮ ﺒﺎن إذا وﻓﻘﻂ إذا ﺴﺎوى ا ﺰآن ا ﻘﻴﻘﻴﺎن
ﺣﺪ ا ﻔﻜﻮك
و ﺴﺎوى ا ﺰآن ا ﺨﻴﻠﻴﺎن .
ﺇ ﻣﻌﺎ ﻞ ١٠ = ٧ òﻕ ٢٤٤٩٤٤٠ = ٤٢ × ٦٣ × ٦
· إذا ن ﺱ +ت ﺹ = ٠ﻓﺈن ﺱ = ، ٠ﺹ = ٠ · ﻋﻨﺪ ﻊ ) أو ﻃﺮح ( اﻷﻋﺪاد ا ﺮ ﺒﺔ ﻓﺈﻧﻨﺎ ﻤﻊ ) أو ﻧﻄﺮح (
٨
ﻟﻸﺳﺘﺎﺫ ﺍﻟﻘﺪﻳﺮ /ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺪﻳﻦ ﻳﺤﻴﻰ ٠١١١٩٦٦٠٦١٦
ﺍﻟﺠﺒﺮ ﻭﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﺮﺍﻏﻴﺔ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
ً ً اﻷﺟﺰاء ا ﻘﻴﻘﻴﺔ ﻣﻌﺎ و ﻤﻊ ) أو ﻧﻄﺮح ( اﻷﺟﺰاء ا ﺨﻴﻠﻴﺔ ﻣﻌﺎ . ب ﻋﺪدﻳﻦ ﺮ ﺒ
· ﻋﻨﺪ
ﺔ.
وا ﻘﺎدﻳﺮ ا
ﺴﺘﺨﺪم ﻧﻔﺲ ﺧﻮاص
ب ا ﺪود
· ﺮاﻓﻖ اﻟﻌﺪد ا ﺮ ﺐ ﻳ ﺘﺞ ﻣﻦ ﺗﻐﻴ إﺷﺎرة ا ﺰء ا ﺨﻴ ﻊ ﻋﺪدﻳﻦ ﻣ اﻓﻘ
)ﺱ +تﺹ()+ﺱ –تﺹ(=٢ﺱ ) ﺱ +ت ﺹ ( ) ﺱ – ت ﺹ ( = ﺱ + ٢ﺹ٢
) ﻋﺪد ﺣﻘﻴ (
ب ﻋﺪدﻳﻦ ﻣ اﻓﻘ
:
ا ﺤﻮر اﻷﻓ
· ﻗﺴﻤﺔ ﻋﺪدﻳﻦ ﺮ ﺒ ﻧ ب
ﻣﻦ اﻟ ﺴﻂ وا ﻘﺎم
ا ﺮأ
و
) (٢اﻟﻌﺪدان ا اﻓﻘﺎن ﻳﻤﺜﻼن ﺑﻨﻘﻄﺘ ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺘ
p = ٥٩٠ ﺫ
ﺟﺎ ا ﺎ
اﻷول
ﻠﺰاو ﺔ ا ﻌﻄﺎة .
٥
– ٩٠
٥
+ ٩٠
– ٥٢٧٠
ﻧﻄﺮح ٣٦٠ﻣﻦ ا ﺰاو ﺔ ا ﺎ ﺔ
ﺘﺎ ا ﺎ
p 3 = ٥٢٧٠ ﺫ
ﺣﺎﻟﺔ ا ﺮ ﻊ ا ﺎﻟﺚ
Ù
o q= q o p 180 · ب وﻗﺴﻤﺔ اﻷﻋﺪاد ا ﺮ ﺒﺔ ﺑﺎ ﺼﻮرة ا ﺜﻠﺜﻴﺔ :
ﺤﻮر ا ﺴ ﻨﺎت
إذا ن ﻉ = ١ل ) ١ﺟﺘﺎ + ١qت ﺟﺎ ( ١q
ﻮ ﻞ اﻹﺣﺪاﺛﻴﺎت اﻟﻘﻄﺒﻴﺔ إ إﺣﺪاﺛﻴﺎت رﺗ ﺔ ) دﻳ ﺎرﺗﻴﺔ (
،ﻉ = ٢ل ) ٢ﺟﺘﺎ + ٢qت ﺟﺎ ( ٢qﻓﺈن :
) ل ( q ،ﺅﺉ ) ل ﺟﺘﺎ ، qل ﺟﺎ ( q
ﻉ ١ﻉ = ٢ل ١ل ] ٢ﺟﺘﺎ ) + ( ٢q + ١qت ﺟﺎ )[ ( ٢q + ١q
· ا ﻘﻴﺎس وا ﺴﻌﺔ ﻠﻌﺪد ا ﺮ ﺐ
¬1
إذا ن ﻉ = ﺱ +ت ﺹ ﻓﺈن :
، ¬ﺫ ﻋﻨﺪ ا
| ﻉ | = ل = ¤ﺫ § +ﺫ = q ،ﻇﺎ– ١ﺹ S ﺱ
θﺳﻌﺔ اﻟﻌﺪد ﻉ ،و ذا ﻧﺖ θﻱ [ – ﺑﺐ ،ﺑﺐ ] ﻓﺈن :
1Ð
= Ðﺫ ب ﻤﻊ ا ﺴﻌﺎت وﻋﻨﺪ اﻟﻘﺴﻤﺔ ﻧﻄﺮح ا ﺴﻌﺎت
] ﺟﺘﺎ ) + ( ٢q – ١qت ﺟﺎ )[ ( ٢q – ١q
،ﻉ ﻥ = ل ﻥ ) ﺟﺘﺎ ﻥ + qت ﺟﺎ ﻥ ( q
ا ﺴﻌﺔ اﻷﺳﺎﺳﻴﺔ ﻠﻌﺪد ﻉ .
· ﻻﺳﺘﺨﺪام ﻗﻮاﻋﺪ
ا ﺼﻮرة ا ﺜﻠﺜﻴﺔ ﻠﻌﺪد ا ﺮ ﺐ : = ١ﺟﺘﺎ + ٠ت ﺟﺎ ٠
ﺣﺮف ا ﺎء
· ﻗﺎﻧﻮن ا ﺤﻮ ﻞ ﻣﻦ ﻗﻴﺎس ﺳ ﻴ إ ﻗﻴﺎس داﺋﺮى واﻟﻌﻜﺲ :
) (١اﻟﻌﺪد ا ﺮ ﺐ وﻣﻌﻜﻮﺳﻪ ا ﻤ ﻳﻤﺜﻼن ﺑﻨﻘﻄﺘ ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺘ
· ﻣﻦ ا ﻔﻴﺪ ﺗﺬﻛﺮ ا ﺼﻮرة ا ﺜﻠﺜﻴﺔ
ا ﺮاﺑﻊ ﺟﺘﺎ ﻇﺎ ا ﺎﻟﺚ
أو ا ﺮ ﻊ ا ﺮاﺑﻊ
أرﺟﺎﻧﺪ :
θﺴ
٥
– ٣٦٠
= ٥١٨٠ﺑﺐ
ا ﺮاﺑﻊ ﺟﺘﺎ ﻇﺎ ا ﺎﻟﺚ
اﻟﻌﺪد ا ﺮ ﺐ .
ﺴ
ً ﺛﺎﻧﻴﺎ :إذا ن ا ﻐﻴ
+ ٥١٨٠
+ ٢٧٠
أﻋﺪاد ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ ﻫﻮ ﻋﺪد ﺮ ﺐ ﻓﺈن ا ﺬر اﻵﺧﺮ ﻫﻮ ﺮاﻓﻖ ﻫﺬا
·
٥
ﺮاﻓﻖ ا ﻘﺎم .
ﺑﺎﻟ ﺴﺒﺔ ﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ .
– ١٨٠
٥
· إذا ن أﺣﺪ ﺟﺬور ا ﻌﺎدﻟﺔ اﻟ ﻴﻌﻴﺔ اﻟ ﻣﻌﺎ ﻼت ﺣﺪودﻫﺎ
· ﺷ
٥
ﻧﻀﻴﻒ ر ﺰ ا ﺮ ﻊ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ا ﺤﻮر
¬ +1¬ ،ﺫ = ﻉ + / ١ﻉ ¬ ´1¬ ، / ٢ﺫ = ﻉ × / ١ﻉ / ٢ :
ﺟﺎ ا ﺎ
اﻷول ٢ = ٣٦٠ﺑﺐ
ﻠﺰاو ﺔ
ا ﻌﻄﺎة ) ﻋﺪد ﺣﻘﻴ (
اﻹﺷﺎرات ﻓﻘﻂ
ﻧﻀﻴﻒ ر ﺰ ا ﺮ ﻊ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام
اﻟﻌﺪد
ا ﺮ ﺐ وﻧﺮ ﺰ ﺮاﻓﻖ اﻟﻌﺪد ﻉ ﺑﺎ ﺮ ﺰ ﻉ . / :
· ﻃﺮ ﻘﺔ وﺿﻊ اﻟﻌﺪد ا ﺮ ﺐ ً أوﻻ :إذا ن ا ﻐﻴ
ا ﺼﻮرة ا ﺜﻠﺜﻴﺔ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ :
ا ﺼﻮرة ا ﺜﻠﺜﻴﺔ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ ل ) ﺟﺘﺎ + θت ﺟﺎ . ( θ
اﻷﻋﺪاد ُ · ا ﺼﻮرة اﻷﺳﻴﺔ ﻠﻌﺪد ا ﺮ ﺐ :ﻉ = ل ﻩ qت
ﻣﻦ اﻷﻋﺪاد اﻵﺗﻴﺔ :
– = ١ﺟﺘﺎ ﺑﺐ +ت ﺟﺎ ﺑﺐ
ت = ﺟﺘﺎ + ٩٠ت ﺟﺎ ٩٠
– ت = ﺟﺘﺎ ) + ( ٩٠ -ت ﺟﺎ ) ( ٩٠ -
ت )(١،٠
)(٠،١ ١
ب وﻗﺴﻤﺔ اﻷﻋﺪاد ﺮ ﺒﺔ ﺐ أن ﺗ ﻮن
إذا ن ﻉ = ١ل ١ﻩ
) (٠،١- ١-
١qت
،ﻉ = ٢ل ٢ﻩ
) ( ٢q + ١qت
ﻉ ١ﻉ = ٢ل ١ل ٢ﻩ
-ت )(١- ،٠
،
· ا ﺼﻮر ا ﺨﺘﻠﻔﺔ ﻠﻌﺪد ا ﺮ ﺐ : ا ﺼﻮرة ا
٢qت
ﻓﺈن :
( ٢q – ١q ) 1Ðت ¬ ﻩ = 1 Ðﺫ ¬ﺫ
ﺔ :ﻉ =ﺱ+تﺹ
ا ﺼﻮرة اﻟﻘﻄﺒﻴﺔ :ﻉ = ) ل ( θ ،
ا ﺼﻮرة ا ﺜﻠﺜﻴﺔ :ﻉ = ل ) ﺟﺘﺎ + qت ﺟﺎ ( q ُ ا ﺼﻮرة اﻷﺳﻴﺔ :ﻉ = ل ﻩ qت ﺣﻴﺚ qﺑﺎ ﻘﺪﻳﺮ ا اﺋﺮى
٩
ﻟﻸﺳﺘﺎﺫ ﺍﻟﻘﺪﻳﺮ /ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺪﻳﻦ ﻳﺤﻴﻰ ٠١١١٩٦٦٠٦١٦
ﺍﻟﺠﺒﺮ ﻭﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﺮﺍﻏﻴﺔ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ ّ ) (١ﻣﺜﻞ
1 1 )– ﺟﺘﺎ – ٤٥ت ﺟﺎ ( ٤٥ﺇ ل = )ﺏ( ﻉ = Sﺫ S ٢ﺫ
ﺷ
ﻣﻦ اﻷﻋﺪاد :
أرﺟﺎﻧﺪ
ﺇ θﻱ ا ﺮ ﻊ ا ﺎﻟﺚ = ١٣٥ – = ٣٦٠ – ٢٢٥ = ٤٥ + ١٨٠
) (٦ﻋ ّ ﻋﻦ اﻟﻌﺪد ا ﺮ ﺐ اﻵ ﺑﺎ ﺼﻮرة ا
ﻉ =٤+٣ت ،ﻉ – ، /ﻉ +١ ،ﻉ
ﻧﻔﻜ ﻧﺎﻗﺪ :ﻣﺎ ا ى ﺗﻤﺜﻠﻪ ﻴﻊ اﻷﻋﺪاد ا ﺮ ﺒﺔ ﻉ اﻟ ﺟﺰءﻫﺎ ا ﻘﻴ
ﺷ
٢
-ﺫp
أرﺟﺎﻧﺪ ؟
– ،ﻉ = – ٤– ٣ت
ﻉ
- pﺫp - pﺫp ﻉ = ] ٦ﺟﺘﺎ ) + ( +ت ﺟﺎ ) + 5 15 5 15 = ) ٦ﺟﺘﺎ )– + ( pت ﺟﺎ )– ( ( p 3 3
ص
+١ﻉ =٤+٣+١ت=٤+٤ت
أوﺟﺪ ¬ﺫ ¬1
)ﺝ( ﻉ ٣] – = ٣ت
-ﻉ
ﻉ /
ﻗ =٢ اﻷﻋﺪاد اﻟ ﺟﺰءﻫﺎ ا ﻘﻴ ٢ﺗﻤﺜﻞ داﺋﺮة ،ﻖ
ﻣﻦ اﻷﻋﺪاد ا ﺮ ﺒﺔ اﻵﺗﻴﺔ:
)ﺍ( ﻉ ٢] + ٢] = ١ت
ﺉ
) ( ﻉ ٥ = ٤
ﺱ
ﻉ ) ٢ = ١ﺟﺘﺎ + ١٠ت ﺟﺎ ( ١٠ﺇ ﻉ ) ١٦ = ٤١ﺟﺘﺎ + ٤٠ت ﺟﺎ ( ٤٠
) (ل = ، ٥ﺱ < ، ٠ﺹ = ٠ﺉ = qﺻﻔﺮ
) (٣ﺗﻔﻜ ﻧﺎﻗﺪ :إذا ﻧﺖ ا ﺴﻌﺔ اﻷﺳﺎﺳﻴﺔ ﻠﻌﺪد ﻉ
،ﻉ ) ٩ = ٢٢ﺟﺘﺎ + ٨٠ت ﺟﺎ ( ٨٠
qﻓﺄوﺟﺪ
٤
ﺉ ﻉ ١ﻉ
ﻣﻦ اﻷﻋﺪاد – :ﻉ ،ﻉ 1 ، / ﻉ ا ﻞ
ﻉ٨=١
ﻉ
ا ﺼﻮرة ا ﺜﻠﺜﻴﺔ :
Sﺫ ﺫ ،ﺱ= ، ٠< Sﺹ= ﺫ ﺫ
ﻉ٣–٣– =٣ت
ا ﻞ
< ٠ﺉ qﻱ ا ﺮ ﻊ اﻷول pت
4
) (١٠إذا ن ﻉ ٣] – ١ = ١ت ،ﻉ + ١ = ٢ت أوﺟﺪ
ﻉ ) ٨ = ١ × ٨ = ١ﺟﺘﺎ + ٠ت ﺟﺎ ، ( ٠ﻉ ) ٥ = ٢ﺟﺘﺎ + ٩٠ت ﺟﺎ ( ٩٠
¬ﺫ ) ،ﻉ (٦ ا ﺼﻮرة ا ﺜﻠﺜﻴﺔ :ﻉ ١ﻉ ، ٢ ٢ ¬1
،ﻉ ٣ – ٣ – = ٣ت ﺇ ل = ] ، ٢] ٣ = /٩ /+ ٩ﺱ > ، ٠ﺹ > ٠
ﺉ qﻱ ا ﺮ ﻊ ا ﺎﻟﺚ ،ﻇﺎ ﻩ = ١ﺇ ١٣٥ – = ٣٦٠ – ٤٥ + ١٨٠ = q
ً
ﺎ ﻳﺄ
ا ﻞ
ﻣﻦ اﻷﻋﺪاد ا ﺮ ﺒﺔ اﻵﺗﻴﺔ:
ﻉ ٣] – ١ = ١ت :ﺱ = ، ٠ < ١ﺹ = – ] ٠ > ٣ﺉ qﻱ ا ﺮ ﻊ ا ﺮاﺑﻊ
)ﺍ( ﻉ ) ٢ = ١ﺟﺘﺎ – pت ﺟﺎ ( p 3
ﺑﺎ ﺼﻮرة اﻷﺳﻴﺔ
ﺇ = qﻇﺎ – p = ٤٥ = ١ ١ﺉ ﻉ = ﻩ 4
ا ﻞ
) (٥أوﺟﺪ ا ﻘﻴﺎس وا ﺴﻌﺔ اﻷﺳﺎﺳﻴﺔ
= ) ٩ × ١٦ﺟﺘﺎ + ١٢٠ت ﺟﺎ ) ١٤٤ = ( ١٢٠ﺟﺘﺎ + ١٢٠ت ﺟﺎ ( ١٢٠
Sﺫ S j -1 jﺫ Sﺫ ﻉ = ت ،ل = ١ = 1 +1 + = × ﺫ ﺫ j -1 j +1 üﺫ ﺫ
،ﺳﻌﺔ اﻟﻌﺪد ) ﻉ – = ( /ﺳﻌﺔ اﻟﻌﺪد ﻉ = – = qﺳﻌﺔ اﻟﻌﺪد ) ( 1
،
٢
٢
Sﺫ j ) (٩اﻛﺘﺐ اﻟﻌﺪد ﻉ = j +1
ﺳﻌﺔ اﻟﻌﺪد ) – ﻉ ( = ﺳﻌﺔ اﻟﻌﺪد ﻉ +ﺑﺐ = + qﺑﺐ
،
4
ا ﻞ
)ﺝ( ل = ] ، ٣ﺱ = ، ٠ﺹ > ٠ﺉ ٢٧٠ = q
ﻉ٥=٢ت
¬
ﺫ = ﺫ ) ﺟﺘﺎ ) + ( q – q + ٩٠ت ﺟﺎ ) ( ( q – q + ٩٠ ¬1
ا ﺼﻮرة ﺱ +ﺹ ت
،ﻇﺎ ﻩ = ] ٣ﺇ ﻩ = ٣٠٠ = ٦٠ – ٣٦٠ﺉ ٦٠ – = ٣٦٠ – ٣٠٠ = q
) (٤اﻛﺘﺐ
ا ﻞ
ﻉ = ) ٣ﺟﺘﺎ + ٤٠ت ﺟﺎ . ( ٤٠أوﺟﺪ اﻟﻌﺪد ﻉ ٤ﻉ ٢ ٢ ١ ٢
)ﺏ( ل = | ﻉ | = ] ، ٢ = /٣ /+ ١ﺱ < ، ٠ﺹ > ٠ﺇ qﻱ ا ﺮ ﻊ ا ﺮاﺑﻊ
ً
٢
) (٨إذا ن ﻉ ) ٢ = ١ﺟﺘﺎ + ١٠ت ﺟﺎ ، ( ١٠
،ﻇﺎ = qﺹ = ١ﺉ ٤٥ = q
ﻣﻦ اﻷﻋﺪاد اﻵﺗﻴﺔ
٤
= ) ٢ﺟﺘﺎ + ٩٠ت ﺟﺎ ٢ = ( ٩٠ت = ٢ + ٠ت
)ﺍ( ل = | ﻉ | = ] ، ٢ = / ٢ /+ ٢ﺱ < ، ٠ﺹ < ٠ﺇ qﻱ ا ﺮ ﻊ اﻷول
ا ﺴﻌﺔ اﻷﺳﺎﺳﻴﺔ
ا ﺼﻮرة ﺱ +ﺹ ت
ﻉ ١
ﻉ ٢
ﻉ ) ٢ = ١ﺟﺘﺎ + qت ﺟﺎ ، ( qﻉ ) ٤ = ٢ﺟﺘﺎ ) + ( q + ٩٠ت ﺟﺎ ) ( ( q + ٩٠
)ﺏ( ﻉ ٣] – ١ = ٢ت
ا ﻞ
([
) (٧ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﺴﺘﻮى أرﺟﺎﻧﺪ ا ﺠﺎور :
س
) (٢أوﺟﺪ ا ﻘﻴﺎس وا ﺴﻌﺔ اﻷﺳﺎﺳﻴﺔ
-ﺫp
ا ﻞ
+ ١ﻉ
،ﻉ ٤– ٣= /ت
ﺔ ﺱ+تﺹ:
) ٢ﺟﺘﺎ + pت ﺟﺎ p ) ٣ × ( 15ﺟﺘﺎ + 5ت ﺟﺎ ( 5 15
ا ﻞ
ﻉ =٤+٣ت
،ﺱ>،٠ﺹ>٠
ل = ] ، ٢ = / ٣ /+ ١ﻇﺎ ه = ] ٣ﺇ p – = ٣٦٠ – ٦٠ – ٣٦٠ = q 3 ﺇ ﻉ ) ٢ = ١ﺟﺘﺎ ) + ( p -ت ﺟﺎ ) ( ( p - 3 3
3
)ﺏ( ﻉ ) 1- = ٢ﺟﺎ – ٥٤٥ت ﺟﺎ ( ٥٤٥ Sﺫ
،ﻉ + ١ = ٢ت :ﺱ = ، ٠ < ١ﺹ = ٠ < ١ﺉ qﻱ ا ﺮ ﻊ اﻷول
ا ﻞ
ل = ] ، ٢ﻇﺎ ١ = qﺉ p = ٤٥ = qﺇ ﻉ ) ٢] = ٢ﺟﺘﺎ + pت ﺟﺎ ( p 4 4 4
)ﺍ( ل = ، ٢ﺱ < ، ٠ﺹ > ٠ﺉ θﻱ ا ﺮ ﻊ ا ﺮاﺑﻊ ﺇ ٦٠ – = θ
١٠
ﻟﻸﺳﺘﺎﺫ ﺍﻟﻘﺪﻳﺮ /ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺪﻳﻦ ﻳﺤﻴﻰ ٠١١١٩٦٦٠٦١٦
ﺍﻟﺠﺒﺮ ﻭﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﺮﺍﻏﻴﺔ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ ﺇ ﻉ ١ﻉ ) ٢] ٢ = ٢ﺟﺘﺎ )– + ( pت ﺟﺎ )– ( ( p ﺫ1
ﺫ ¬ p7 p7 +ت ﺟﺎ ،ﺫ = ) Sﺟﺘﺎ ﺫ ﺫ1 ﺫ1 ¬1 p3 p3 ) ،ﻉ ) ٨ = ٦( ٢ﺟﺘﺎ ( +ت ﺟﺎ ﺫ ﺫ pت
ﺫ1
ﻣﻦ اﻷﻋﺪاد ا ﺮ ﺒﺔ اﻵﺗﻴﺔ:
) (١أوﺟﺪ ا ﻘﻴﺎس وا ﺴﻌﺔ اﻷﺳﺎﺳﻴﺔ )ﺍ( ﻉ ) ٢ = ١ﺟﺘﺎ – pت ﺟﺎ ( p
(
) (١١ﻋ ّ ﻋﻦ ﻉ = ٨ﻩ
6
ﺱ ،ﺹ ﻱò
3
ﺑﺎ ﺼﻮرة ا
)ب( ﻉ ) = ٢ﺟﺎ – ٤٥ت ﺟﺎ ( ٤٥
ﺔ ﺱ +ﺹ ت ﺣﻴﺚ
) (٢ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﺷ أوﺟﺪ ¬ﺫ ¬1
ا ﻞ 3S 1 +ت ( = ٤ + ٣] ٤ت ﻉ = ) ٨ﺟﺘﺎ + pت ﺟﺎ ) ٨ = ( p 6
) (١٢ﺗﻔﻜ إﺑﺪا
6
ﺫ
3
ﺿﻌﻪ
ﺫ
:إذا ن :ﻉ = ١ﺟﺘﺎ + ٧٥ت ﺟﺎ ، ٧٥ﻉ = ٢
ارﺟﺎﻧﺪ ا ﺠﺎور :
ﻉ ﻉ
ا ﺼﻮرة ﺱ +ت ﺹ ﺛﻢ
١
٣
ا ﺼﻮرة اﻷﺳﻴﺔ .
) (٣إذا ن ﻉ ) ٢ = ١ﺟﺎ + ٨٠ت ﺟﺘﺎ ، ( ٨٠
ﺟﺘﺎ + ١٥ت ﺟﺎ . ١٥أوﺟﺪ ﺑﺎ ﺼﻮرة ا ﺜﻠﺜﻴﺔ اﻟﻌﺪد :ﻉ + ١ﻉ ٢
ﻉ = ) ٣ﺟﺘﺎ + ٤٠ت ﺟﺎ . ( ٤٠أوﺟﺪ اﻟﻌﺪد ﻉ ٤ﻉ ٢ ٢ ٢ ١
ا ﻞ
ا ﺼﻮرة اﻷﺳﻴﺔ .
ﻉ + ١ﻉ = ٢ﺟﺘﺎ + ٧٥ﺟﺘﺎ + ١٥ت ) ﺟﺎ + ٧٥ﺟﺎ ( ١٥
ً
= ﺟﺘﺎ ) + ( ٣٠ + ٤٥ﺟﺘﺎ ) + ( ٣٠ – ٤٥ت ) ﺟﺎ ) + ( ٣٠ + ٤٥ﺟﺎ ) (٤) (( ٣٠ – ٤٥إذا ن :ﻉ ٣] – ١ = ١ت ،ﻉ + ١ = ٢ت أوﺟﺪ = ﺟﺘﺎ ٤٥ﺟﺘﺎ – ٣٠ﺟﺎ ٤٥ﺟﺎ + ٣٠ﺟﺘﺎ ٤٥ﺟﺘﺎ + ٣٠ﺟﺎ ٤٥ﺟﺎ + ٣٠ ا ﺼﻮرة ا ﺜﻠﺜﻴﺔ و ﺬ ﻚ ا ﺼﻮرة اﻷﺳﻴﺔ : ت ) ﺟﺎ ٤٥ﺟﺘﺎ + ٣٠ﺟﺘﺎ ٤٥ﺟﺎ + ٣٠ﺟﺎ ٤٥ﺟﺘﺎ – ٣٠ﺟﺘﺎ ٤٥ﺟﺎ ( ٣٠
) (١ﻉ ١ﻉ ٢
3S = ٢ﺟﺘﺎ ٤٥ﺟﺘﺎ ٢ + ٣٠ت ﺟﺎ ٤٥ﺟﺘﺎ × 1 × ٢ = ٣٠ﺫ ٢ +ت × × 1 6S 6S 3S + = ﺫ ﺫ ﺫ
Sﺫ
ت
Sﺫ
¬ ﺳﻌﺔ ) ﺫ ( = ٥٣٣أوﺟﺪ ¬1
) (٤ﺟﺎ ٢ﺍ = ٢ﺟﺎ ﺍ ﺟﺘﺎ ﺍ
+ ١ﺟﺘﺎ + θت ﺟﺎ . θ
) (١ﺟﺘﺎ ) 1 = θﻩ θت – ﻩ– θت (
) (٧اﺳﺘﺨﺪم اﻷﻋﺪاد ا ﺮ ﺒﺔ
ﺫ
) (٢ﺟﺎ - = θت ) ﻩ θت – ﻩ– θت ( ) (١ﰈ ﻩ θت = ﺟﺘﺎ + θت ﺟﺎ θﺇ ﻩ – θت = ﺟﺘﺎ )– + ( θت ﺟﺎ )– ( θ
ﺇ ﻩ θت +ﻩ – θت = ) ﺟﺘﺎ + θت ﺟﺎ ) + ( θﺟﺘﺎ – + θت ﺟﺎ – ( θ
ﻷى ﻋﺪد ﺮ ﺐ ﻉ = ل ) ﺟﺘﺎ + qت ﺟﺎ ، ( qﻥ ﻱ +Xﻓﺈن : ً أوﻻ :ﻉ ﻥ = ل ﻥ ) ﺟﺘﺎ ﻥ + qت ﺟﺎ ﻥ ( θ 1 1 ً + qﺫmÌ + qﺫmÌ ( ( +ت ﺟﺎ ) ﺛﺎﻧﻴﺎ :ﻉ ﻥ = ل ﻥ ﺟﺘﺎ )
= ﺟﺘﺎ + θت ﺟﺎ + θﺟﺘﺎ – θت ﺟﺎ ٢ = θﺟﺘﺎ θ
ﺉ ﺟﺘﺎ ) 1 = θﻩ θت – ﻩ – θت ( ﺫ
) (٢ﺇ ﻩ θت -ﻩ – θت = ) ﺟﺘﺎ + θت ﺟﺎ ) - ( θﺟﺘﺎ – + θت ﺟﺎ – ( θ
ﻥ
= ﺟﺘﺎ + θت ﺟﺎ - θﺟﺘﺎ + θت ﺟﺎ ٢ = θت ﺟﺎ θ
ﺉ ﺟﺘﺎ ) 1 = θﻩ θت – ﻩ – θت ( = -ت ) ﻩ ﺫت
ﺫ
–ﻩ
إﺛﺒﺎت ﺻﺤﺔ اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻵﺗﻴﺔ :
ﻇﺎ– + ( ٣] ) ١ﻇﺎ– p = ( 1 ) ١ ﺫ 3S
ا ﻞ
θت
ﺻﻮرة ﺱ +ت ﺹ اﻟﻌﺪد
) (٦إذا ﻧﺖ θﻱ ]– ﺑﺐ ،ﺑﺐ ] أوﺟﺪ ﻣﻘﻴﺎس وﺳﻌﺔ اﻟﻌﺪد :
:أﺛﺒﺖ أن :
ﺫ
¬1
) ) (٣ﻉ (٦ ٢
) ﻉ ١٥١ﻉ . ( ١٥٢
) (٢ﺟﺘﺎ ) ﺍ _ ﺏ ( = ﺟﺘﺎ ﺍ ﺟﺘﺎ ﺏ _ ﺟﺎ ﺍ ﺟﺎ ﺏ
) (١٣ﺗﻔﻜ إﺑﺪا
)(٢
¬ﺫ
ﺎ ﻳﺄ
) (٥إذا ن | :ﻉ | = | ١ﻉ ، ١ = | ٢ﺳﻌﺔ ) ﻉ ١ﻉ ، ٥٨١ = ( ٣٢
ﺗﺬﻛﺮ أن (١) :ﺟﺎ ) ﺍ _ ﺏ ( = ﺟﺎ ﺍ ﺟﺘﺎ ﺏ mﺟﺘﺎ ﺍ ﺟﺎ ﺏ ) (٣ﺟﺘﺎ ٢ﺍ = ٢ﺟﺘﺎ ٢ﺍ – ٢ – ١ = ١ﺟﺎ ٢ﺍ
٦
– θت
ﺣﻴﺚ ﺭ = ...... ، ٣ ، ٢ ، ١ ، ٠إ
(
· إ ﺎد ا ﺬر ﻦ اﻟ ﻴﻌﻴ
ﻥ ﻣﻦ اﻟﻌﻮا ﻞ .
ﻥ
ﻸﻋﺪاد ا ﺮ ﺒﺔ :
اﻟﻄﺮ ﻘﺔ اﻷو ) ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﻧﻈﺮ ﺔ دﻳﻤﻮاﻓﺮ ( : ) (١ﻧﻀﻊ اﻟﻌﺪد ا ﺮ ﺐ ﻉ
ا ﺼﻮرة ا ﺜﻠﺜﻴﺔ
) (٢ﻧﻄﺒﻖ ﻧﻈﺮ ﺔ دﻳﻤﻮاﻓﺮ :ا ﺬر ﻦ اﻟ ﻴﻌﻴ
ﻠﻌﺪد ﻉ
+ qﺫmÌ + qﺫmÌ ( +ت ﺟﺎ ) = ]ل ) ﺟﺘﺎ ) ﺫ ﺫ
ﺣﻴﺚ :ﺭ = ١ ، ٠
١١
([
٢
ﻟﻸﺳﺘﺎﺫ ﺍﻟﻘﺪﻳﺮ /ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺪﻳﻦ ﻳﺤﻴﻰ ٠١١١٩٦٦٠٦١٦
ﺍﻟﺠﺒﺮ ﻭﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﺮﺍﻏﻴﺔ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ ﺔ(:
اﻟﻄﺮ ﻘﺔ ا ﺎﻧﻴﺔ ) ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ا ﺼﻮرة ا
= ﻇﺎ ٦٠ = ( ٣] ) ١ -ﺉ ﻉ = ) ٤ﺟﺘﺎ + ٦٠ت ﺟﺎ ( ٦٠
) (١ﻧﻔﺮض أن اﻟﻌﺪد ا ﺮ ﺐ ﻉ = ) ﺱ +ت ﺹ ( ٢وﻧﻔﻚ اﻟ ﻴﻊ
ﺇ
،ﻉ ) ٢] = ٣ﺟﺘﺎ + ١٩٥ت ﺟﺎ ) ٢] = ( ١٩٥ﺟﺘﺎ )– + (١٦٥ت ﺟﺎ )– ( (١٦٥
) (٣ﺑ ﻴﻊ ا ﻌﺎدﻟﺔ ) (١ﻳ ﺘﺞ ﺎ ا ﻌﺎدﻟﺔ (٣) ..............
،ﻉ ) ٢] = ٤ﺟﺘﺎ + ٢٨٥ت ﺟﺎ ) ٢] = ( ٢٨٥ﺟﺘﺎ )– + (٧٥ت ﺟﺎ )– ( (٧٥
ﻴﻊ ا ﻌﺎدﻟﺔ ) (٢ﻳ ﺘﺞ ﺎ ا ﻌﺎدﻟﺔ (٤) ..............
ّ ) (٣أوﺟﺪ ﺟﺬور ا ﻌﺎدﻟﺔ ﻉ ١ = ٤وأذﻛﺮ ﻣﺎذا ﺗﻤﺜﻞ ا ﺬور
) (٤) ، (٣ﻳ ﺘﺞ ﺎ ا ﻌﺎدﻟﺔ (٥) ...............
) (٥) ، (١ﻳ ﺘﺞ ﺎ ﻗﻴﻤ
) (٥ﻤﻊ ا ﻌﺎد
ﻳ ﺘﺞ ﺎ ﻗﻴﻤ
ﺱ و ﻄﺮﺣﻬﻤﺎ
ﺴﺘﻮى ارﺟﺎﻧﺪ .
ﺹ و ﺪد اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑ ﻨﻬﻤﺎ ﻣﻦ رﻗﻢ )(٢
ا ﻞ
· اﻟﻄﺮ ﻘﺔ ا ﺎ ﺔ ) ﺴﺘﺨﺪم ﻸﺳﺌﻠﺔ ا ﻮﺿﻮﻋﻴﺔ ﻓﻘﻂ ( : ا ﺬر ﻦ اﻟ ﻴﻌﻴ
ﰈ ﻉ = ٤ﺟﺘﺎ + ٠ت ﺟﺎ ٠ﺉ ﻉ = ) ﺟﺘﺎ + ٠
Ì360 +0 Ì360 +0 +ت ﺟﺎ = ﺟﺘﺎ 4 4
ﻠﻌﺪد ﻉ = ﺱ _ ت ﺹ ﻫﻤﺎ :
_ ) ( ¤ - Ð _ ¤ + Ðﺣﻴﺚ ل = | ﻉ | ü
ü
ﺫ
· ا ﺬور ا ﻮﻧﻴﺔ :
ا ﺼﻮرة ﺱ = ﺍ
ﺴﺘﻮى أرﺟﺎﻧﺪ
واﺣﺪة ﺮ ﺰﻫﺎ ﻧﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ وﻃﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮﻫﺎ | ﺍ |
ا ﺬور اﻷر ﻌﺔ
1 ﻥ
داﺋﺮة
وﺗ ّﻮن
ﺷ
ارﺟﺎﻧﺪ .
ﰈ ﻉ = ٦ﺟﺘﺎ + ٠ت ﺟﺎ ٠ﺉ ﻉ = ) ﺟﺘﺎ + ٠ت ﺟﺎ ( ٠
اﻷول ﻓﻘﻂ ﺛﻢ ﻧﻀﻴﻒ 360ﻠﺴﻌﺔ ا ﺴﺎﺑﻘﺔ
Ì360 +0 Ì360 +0 +ت ﺟﺎ ﺇ ﻉ = ﺟﺘﺎ 6 6
ﻥ
ا ﻮا
1 6
،ﺭ =٥،٤، ٣،٢،١،٠
ﺇ ﻉ = ١ﺟﺘﺎ + ٠ت ﺟﺎ ، ٠ﻉ = ٢ﺟﺘﺎ + ٦٠ت ﺟﺎ ٦٠
ﻠﺤﺼﻮل
،ﻉ = ٣ﺟﺘﺎ + ١٢٠ت ﺟﺎ ، ١٢٠ﻉ = ٤ﺟﺘﺎ + ١٨٠ت ﺟﺎ ١٨٠ ،ﻉ = ٥ﺟﺘﺎ + ٢٤٠ت ﺟﺎ = ٢٤٠ﺟﺘﺎ )– + (١٢٠ت ﺟﺎ )– (١٢٠
،ﻉ = ٦ﺟﺘﺎ + ٣٠٠ت ﺟﺎ = ٣٠٠ﺟﺘﺎ )– + (٦٠ت ﺟﺎ )– (٦٠
) (١ﻋ ّ ﻋﻦ ﺟﺎ θ ٣ﺑﺪﻻﻟﺔ ﻗﻮى ﺟﺎ . θ
وﺗﻘﻊ ا ﺬور ا ﺴﺘﺔ
داﺋﺮة واﺣﺪة ﺮ ﺰﻫﺎ ﻧﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ وﻃﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮﻫﺎ
ا ﻮﺣﺪة وﺗﻘﺴﻢ ا اﺋﺮة إ ﺳﺖ اﻗﻮاس ﻣ ﺴﺎو ﺔ اﻟﻘﻴﺎس .
) (٥أوﺟﺪ ا ﺬر ﻦ اﻟ ﻴﻌ
٣
ﰈ ﺟﺘﺎ + q ٣ت ﺟﺎ ) = q ٣ﺟﺘﺎ + qت ﺟﺎ ( q
٣
= ﺟﺘﺎ ٣ + q ٣ﺟﺘﺎ q ٢ﺟﺎ qت ٣ +ﺟﺘﺎ qﺟﺎ q ٢ت + ٢ﺟﺎ q ٣ت
ﻠﻌﺪد ٢٤ – ٧ت ﺑﻄﺮ ﻘﺘ
.
ا ﻞ
ﺱ = ، ٠ < ٧ﺹ = – ، ٠ > ٢٤ل = q ، ٢٥ = 576 + 49Sﻱ ا ﺮ ﻊ ا ﺮاﺑﻊ
= ﺟﺘﺎ ٣ + q ٣ﺟﺘﺎ q ٢ﺟﺎ qت – ٣ﺟﺘﺎ qﺟﺎ – q ٢ﺟﺎ q ٣ت
4- ١ﺫﺣﻴﺚ = qﻇﺎ ) 7
= ) ﺟﺘﺎ ٣ – q ٣ﺟﺘﺎ qﺟﺎ ٣ ) + ( q ٢ﺟﺘﺎ q ٢ﺟﺎ – qﺟﺎ ( q ٣ت
ﺇ ﺟﺎ ٣ = q ٣ﺟﺘﺎ q ٢ﺟﺎ – qﺟﺎ – ١ ) ٣ = q ٣ﺟﺎ ٢( q ٢ﺟﺎ – qﺟﺎq ٣
٥
( = – ٧٣٧٤
ﻧﻔﺮض ﻉ ) ٢٥ = ٢ﺟﺘﺎ – + ٧٢٧٤ت ﺟﺎ – ( ٧٣٧٤
Ì360 + 73.74 Ì360 + 73.74ﺇ ﻉ = ] ) /٢٥ﺟﺘﺎ +ت ﺟﺎ ﺫ ﺫ
= ٢ – ١ ) ٣ﺟﺎ + q ٢ﺟﺎ ( q ٤ﺟﺎ – qﺟﺎq ٣
= ٣ﺟﺎ ٦ – qﺟﺎ ٣ + q ٣ﺟﺎ – q ٥ﺟﺎ ٣ = q ٣ﺟﺎ ٧ – q ٥ﺟﺎ ٣ + q ٣ﺟﺎ q
) (٢أوﺟﺪ
ﺗﻘﺴﻢ ا اﺋﺮة إ أر ﻊ أﻗﻮاس ﻣ ﺴﺎو ﺔ اﻟﻘﻴﺎس .
ا ﻞ
ﻋﻨﺪ إ ﺎد ا ﺬور ا ﻮﻧﻴﺔ ﻠﻌﺪد ا ﺮ ﺐ ﻳﻤ ﻦ ان ﺴﺐ ا ﺬر
ﻛﻚ
أرﺟﺎﻧﺪ ﺗﻘﻊ
داﺋﺮة واﺣﺪة ﺮ ﺰﻫﺎ ﻧﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ وﻃﻮل
ّ ) (٤أوﺟﺪ ا ﺬور ا ﺴﺪاﺳﻴﺔ ﻠﻌﺪد ، ١وأذﻛﺮ ﻣﺎذا ﺗﻤﺜﻞ
ﻼﺣﻈﺔ ﻫﺎﻣﺔ :
ا ﻞ
ﺷ
ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮﻫﺎ ا ﻮﺣﺪة و
رؤوس ﻀﻠﻊ ﻣﻨﺘﻈﻢ ﻋﺪد أﺿﻼﻋﻪ ﻥ .
ﺑﻘﻴﺔ ا ﺬور .
،ﺭ =٣،٢،١،٠
،ﻉ = ٣ﺟﺘﺎ + ١٨٠ت ﺟﺎ ، ١٨٠ﻉ = ٤ﺟﺘﺎ + ٢٧٠ت ﺟﺎ ٢٧٠
ا ﻌﺎدﻟﺔ ﺱﻥ = ﺍ ﺣﻴﺚ ﺍ ﻋﺪد ﺮ ﺐ ﻳ ﻮن ﺎ ﻥ ﻣﻦ ا ﺬور 1 ﻥ
1 ت ﺟﺎ 4 ( ٠
ﺇ ﻉ = ١ﺟﺘﺎ + ٠ت ﺟﺎ ، ١ = ٠ﻉ = ٢ﺟﺘﺎ + ٩٠ت ﺟﺎ ٩٠
ﺫ
،وﺗﻘﻊ ﻴﻌﻬﺎ
( ،ﺭ =٣،٢،١،٠
ﺇ ﻉ ) ٢] = ١ﺟﺘﺎ + ١٥ت ﺟﺎ ، ( ١٥ﻉ ) ٢] =٢ﺟﺘﺎ + ١٠٥ت ﺟﺎ ( ١٠٥
،ا ﺰء ا ﺨﻴ = ا ﺰء ا ﺨﻴ (٢) ........
) (٤ﻤﻊ ا ﻌﺎد
) ﺟﺘﺎ + ٦٠
360+ 60ﺭ 360+ 60ﺭ +ت ﺟﺎ = ] ) ٢ﺟﺘﺎ 4 4
) (٢ا ﺰء ا ﻘﻴ = ا ﺰء ا ﻘﻴ (١) ........
،و
1 1 ﻉ 4 (٤) = 4
1 ت ﺟﺎ 4 ( ٦٠
(
ﺇ ﻉ ) ٥ = ١ﺟﺘﺎ – + ٣٦٨٧ت ﺟﺎ – ( ٣٦٨٧
ﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ ا ﻌﺎدﻟﺔ :ﻉ ٣] ٢ + ٢ = ٤ت
،ﻉ ] ٥ = ٢ﺟﺘﺎ ) + (١٤٣١٣ت ﺟﺎ )[ (١٤٣١٣
ا ﻞ
اﻟﻄﺮ ﻘﺔ ا
ﻉ = ٣] ٢ + ٢ت ﺇ ﺱ = ، ٠ < ٢ﺹ = ٠ < ٣] ٢ﺉ qﻱ ا ﺮ ﻊ اﻷول ،
ﺔ:
ﻧﻔﺮض أن ) ﺱ +ت ﺹ ( ٢٤ – ٧ = ٢ت ﺇ ﺱ – ٢ﺹ ٢ + ٢ﺱ ﺹ ت =
| ﻉ | = ل = ] ﺱ/ +/ /٢ﺹ ٤ = /١٢ /+ ٤] = / ٢/ﺇ = ﻇﺎ ) ١ -ﺹ (
٢٤ – ٧ت ﺇ ﺱ – ٢ﺹ ٢ ، (١) ......... ٧ = ٢ﺱ ﺹ = (٢) .......... ٢٤ -
ﺱ
١٢
ﻟﻸﺳﺘﺎﺫ ﺍﻟﻘﺪﻳﺮ /ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺪﻳﻦ ﻳﺤﻴﻰ ٠١١١٩٦٦٠٦١٦
ﺍﻟﺠﺒﺮ ﻭﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﺮﺍﻏﻴﺔ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
+ 3Sت ( ، ٤ﻉ = ٢ﺟﺎ + pت ﺟﺘﺎ ، p ) (٤إذا ن ﻉ ) = ١ 3 3 ﺫ
ﺑ ﻴﻊ ) (٢) ، (١ﺇ ﺱ ٢ – ٤ﺱ ٢ﺹ + ٢ﺹ(٣) ......... ٤٩ = ٤ ٤ ،ﺱ ٢ﺹ(٤) ........ ٥٧٦ = ٢
¬1 و ن ﻉ = أوﺟﺪ ا ﺬور اﻟ ﻴﻌﻴﺔ ﻠﻌﺪد ﻉ ¬ﺫ
ﻤﻊ ) (٤) + (٣ﺇ ) ﺱ + ٢ﺹ٦٢٥ = ٢( ٢ ﻤﻊ ) (٥) + (١ﺇ ٢ﺱ٣٢ = ٢
ﺇ ﺱ + ٢ﺹ، (٥) ......... ٢٥ = ٢
ﺉ ﺱ = _ ، ٤ﺑﻄﺮح ) (٥) – (١ﺇ ٢ﺹ ١٨ = ٢ﺉ ﺹ = _ ٣
ا ﺜﻠﺜﻴﺔ .
،ﻣﻦ ) (٢ﰈ ﺱ ﺹ > ٠ﺇ ﺱ ،ﺹ ﺘﻠﻔﺎن اﻹﺷﺎرة ﺇ ا ﺬر اﻟ ﻴ
) (٥أوﺟﺪ ﻛﻚ
ﻠﻌﺪد ٢٤ – ٧ت ﻫﻮ _ ) ٣ – ٤ت (
ل = ، ٢٥ﺱ = ٧ﺇ ا ﺬر ﻦ اﻟ ﻌﻴ
ﻫﻤﺎ 5 ) _ :ﺫ 5 - 7 +ﺫ 7 -ت ( ü
= _)٣– ٤ت(
) (٦أوﺟﺪ
ﻛﻚ
ﺫ
j11 - 7 ) (٦إذا ن : j +4
ﺫ
) ]– ﺏ + /ﺍت (
ﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ ا ﻌﺎدﻟﺔ :
، ١
ﺱ + ١ ) + ٢ت ( ﺱ – ٣ + ٦ت = ٠ﺇ ﺍ = ، ١ﺏ = + ١ت
( j + 1) üﺫ ( j3 + 6 - ) 4 - ﺫ
ü ± j - 1ﺫت 4 +ﺫ -ﺫ1ت 4 ü ± j - 1ﺫ 10 -ت= = ﺫ ﺫ
،ﻧﻔﺮض أن
· ﺧﻮاص ا ﺬور ا ﻜﻌﻴ ﻴﺔ ﻠﻮاﺣﺪ ا ﺼﺤﻴﺢ : ﻤﻮع ا ﺬور = ﺻﻔﺮ
) (١
= ٢ω + ω + ١ﺻﻔﺮ وﻣﻨﻬﺎ :
ﺇ ﺱ – ٢ﺹ ٢ ، (١) ....... ٢٤ = ٢ﺱ ﺹ = – ، (٢) ......... ١٠ﺑ ﻴﻊ )(٢) ، (١
١ – = ٢ω + ω ، ω – = ٢ω + ١ ، ٢ω – = ω + ١
ﺇ ﺱ ٢ – ٤ﺱ ٢ﺹ + ٢ﺹ ٤ ، (٣) ...... ٥٧٦ = ٤ﺱ ٢ﺹ(٤) ......... ١٠٠ = ٢ ﻤﻊ ) (٥) + (١ﺇ ٢ﺱ ٥٠ = ٢ﺇ ﺱ = _ ٥
)(٤
( j - 5) ± j - 1-
ﺫ j + 5- j -1j - 5+ j -1= –٣ = – ٢ت أ ،ﺱ = ﺇ ﺱ= ﺫ ﺫ
ﻤﻮﻋﺔ ا ﻞ = } – – ٢ ، ٣ت {
ü
ﺫ
ü
)ﺍ( ا ﺬر ﻦ اﻟ ﻴﻌ
)ﺏ( ا ﺬر ﻦ اﻟ ﻴﻌ
ا ﺬر ﻦ اﻟ ﻴﻌﻴ
اﻟﻘﻴﺎس .
ﺮ ﻊ أى ﺟﺬر ﻣﻦ ا ﺬر ﻦ ا ﻜﻌﻴ ﻴ ا ﺮ ﺒ
ا ﺬر ا ﺮ ﺐ اﻵﺧﺮ . =1
· ﻼﺣﻈﺎت ﺗﻔﻴﺪ ) (١
ﺴﺎوى
ω = 4ω
ω = 5ωﺫ
+°3ωﺫ = ωﺫ
ﺣﻞ ا ﻤﺎر ﻦ :
ﺐ ﺗ ﺴﻴﻂ ﻗﻮى wﻗﺒﻞ ا ﺪء
ا ﻞ
) (٢إذا ﺸﺎﺑﻬﺖ ﻣﻌﺎ ﻼت اﻟ ﺴﻂ وا ﻘﺎم ﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧ ب ا ﺪ ا ﻄﻠﻖ ﺑﺎﻟ ﺴﻂ ) أو ا ﻘﺎم (
،ﺛﻢ أوﺟﺪ
ّ ﻠﻌﺪد ﻉ ،وﻣﺜﻞ ا ﺬر ﻦ ﺸ
ﺟﺎ ١٦ = q ٥ﺟﺎ ٢٠ - q ٥ﺟﺎ ٥ + q ٣ﺟﺎ q
ﺛﻼﺛﺔ أﻗﻮاس ﻣ ﺴﺎو ﺔ
ω = 1+°3ω 1 = °3ω
ﻠﻌﺪد – ٨ت ﻫﻤﺎ . .................
) (٣ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﻧﻈﺮ ﺔ دﻳﻤﻮاﻓﺮ أﺛﺒﺖ أن :
ﻧﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ وﻃﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮﻫﺎ ا ﻮﺣﺪة وﺗﻘﺴﻢ ا اﺋﺮة إ
3ω
ﻠﻌﺪد ) ٦ + ٨ت ( ﻫﻤﺎ . ................
- 3Sت) (٢أوﺟﺪ ا ﺼﻮر ا ﺨﺘﻠﻔﺔ ﻠﻌﺪد ﻉ = - 3Sت
داﺋﺮة ﺮ ﺰﻫﺎ
· دورة اﻟﻌﺪد ا ﺮ ﺐ : ω
ﺫ
) (١أ ﻤﻞ :
ا ﺬور ا ﻜﻌﻴ ﻴﺔ ﻠﻮاﺣﺪ ا ﺼﺤﻴﺢ ﺗﻘﻊ
)(٥
ﻠﺤﻮﻇﺔ :ﻠﺘﺄ ﺪ ﻓﻘﻂ :
ﺇ _ ]/ ١٠/ –/ ٢٤ت6 ) _ = /ﺫ 4 +ﺫ – 6ﺫ 4 -ﺫ ت ( = _ ) – ٥ت (
ω
ω
) ٣] _ = ٢ω – ω (٣ت ٣] _ = ω – ٢ω ،ت
،ﺑﻄﺮح ) (٢) – (١ﺇ ٢ﺹ ٢ = ٢ﺇ ﺹ = _ ١وﻟ ﻦ ﻣﻦ ) (٢ﺱ ﺹ > ٠
_ ]/ ١٠/ –/ ٢٤ت /ﺉ ل = ] ٢٦ = /١٠٠/ + /٥٧٦
١ = ٣ωوﻣﻨﻬﺎ 1 ، ٢ω = 1 :ﺫ = ω
)(٢
ﺑﺎ ﻤﻊ ) (٤) + (٣ﺇ ) ﺱ + ٢ﺹ ٥٨٦ = ٢( ٢ﺉ ﺱ + ٢ﺹ(٥) ......... ٢٦ = ٢
ﺇ
3S 3S ت –1 – ، – +1 ﺫ ﺫ ﺫ ﺫ
ت
وا ﺬران ا ﺮ ﺒﺎن أﺣﺪﻫﻤﺎ ωواﻵﺧﺮ ٢ωوﻫﻤﺎ ﻣ اﻓﻘﺎن .
) ﺱ +ت ﺹ ( ١٠ – ٢٤ = ٢ت ﺇ ﺱ – ٢ﺹ ٢ + ٢ﺱ ﺹ ت = ١٠ – ٢٤ت
ﺳ = ﺇ ﺱ +تﺹ=_)–٥ت( ﺇ ﺲ
.
ا ﻞ
ﺳ = ،ﺝ = –٣+٦ت ﺇ ﺲ
3 ﺫ
= ﺍ +ﺏ ت أوﺟﺪ ﻗﻴﻢ ا ﻘﺪار :
ﺱ + ١ ) + ٢ت ( ﺱ – ٣ + ٦ت = ٠
± j - 1-
ﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ ا ﻌﺎدﻟﺔ :
) – ١ت ( ﺱ ٤ – ٦ ) – ٢ت ( ﺱ ٧ – ٩ +ت = ٠
ﻠﺤﻮﻇﺔ :ﻠﺘﺄ ﺪ ﻓﻘﻂ :
ü
ا ﺼﻮرة
)(٣
أرﺟﺎﻧﺪ .
ﻮﺣﻴﺪ ﻣﻘﺎﻣﺎت ﻛ
١٣
ﻦ ﺴﺘﺨﺪم ا ﻘﺺ ا ﻘﻔﻮل
ﺍ ﺝ ﺍ´B ´Ü ± Ù _ = Ù´ B ﺏ Ù
· ﻼﺣﻈﺎت إﺿﺎﻓﻴﺔ : ) (١
٣ωﺛﻢ ﻧﺄﺧﺬ
ﻞ ﺸ ك.
ﺮاﻓﻖ اﻟﻌﺪد ا ﺮ ﺐ ) ﺍ ( ω +ﻫﻮ ) ﺍ ( ٢ω +
:
ﻟﻸﺳﺘﺎﺫ ﺍﻟﻘﺪﻳﺮ /ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺪﻳﻦ ﻳﺤﻴﻰ ٠١١١٩٦٦٠٦١٦
ﺍﻟﺠﺒﺮ ﻭﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﺮﺍﻏﻴﺔ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ ﺮاﻓﻖ اﻟﻌﺪد ا ﺮ ﺐ ) ﺍ ت ( ω +ﻫﻮ )– ﺍ ت ( ٢ω +
)(٢ )(٣
)(٤
)(٤
ﺮ ﻊ أﺣﺪ ا ﺬر ﻦ ا ﺮ ﺒ
=1 –ω ω
= ا ﺬر ا ﺮ ﺐ اﻵﺧﺮ
٨
)ّ (٣ ﻛﻮن ا ﻌﺎدﻟﺔ اﻟ ﻴﻌﻴﺔ اﻟ ﺟﺬراﻫﺎ :
) ٣( ٢ω + ω – ١ ) ، ٣( ٢ω – ω + ١
ا ﻌﺎدﻟﺔ اﻟ ﻴﻌﻴﺔ ﺑﻤﻌﻠﻮﻣﻴﺔ ﺟﺬراﻫﺎ
ا ﻞ
:
ﺱ ) – ٢ﻤﻮع ا ﺬر ﻦ ( ﺱ +ﺣﺎﺻﻞ
٣ ٢
) ٨ – = ω ٨ – = ( ω ٢ –) = ٣( ٢ω – ٢ω –) = ٣( ٢ω – ω + ١
ب ا ﺬر ﻦ = ﺻﻔﺮ
ﺇ ا ﻌﺎدﻟﺔ
ا ﻞ
ﺔ ﻠﻌﺪد ا ﺮ ﺐ ؟ ٢
٣
إذا ﻧﺖ ٢ω ، ω ، ١
٢ ٢
) (١أوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ
ﺑﻔﺮض ﻉ ١ = ٣ﺇ ) ﺍ +ت ﺏ ( ١ = ٣ﺇ ﺍ ٣ +ت ﺏ ﺍ ٣ +ت ﺏ ﺍ +ت
٣
w 1 1 ) ﺏ( ) + ١ +ت() +١ﺫ +ت( w w
٣ ،ﺍ ٢ﺏ – ﺏ ٠ = ٣ﺇ ﺏ ) ٣ﺍ – ٢ب ٠ = ( ٢ﺇ ﺏ = ٠أ ،ﺏ = _ ] ٣ﺍ ﺑﺎ ﻌﻮ ﺾ
w3 - 5ﺫ ﺫw 7 - (٩ = ٤ – ) (٢أﺛﺒﺖ أن ) : ﺫ
) : (١ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺏ = ﺻﻔﺮ ﺉ ﺍ = ١ﺇ ﻉ = ١ ٢
3 - w5
٣
،ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺏ = _ ] ٣ﺍ ﺇ ﺍ – ٣ﺍ × ٣ﺍ = ١ﺉ – ٨ﺍ = ١
إذا ﻧﺖ ٢ω ، ω ، ١
3S + 1ت) (٤إذا ن ﺱ = ﺫ
ت
أوﺟﺪ اﻟﻌﺪد ﻉ ، ١وﺟﺬر ﻪ اﻟ ﻴﻌ
)ﺍ( ) ٥( ٢ω ٢ + ω ٥ + ٢
) (٦أوﺟﺪ ﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ ا ﻌﺎدﻟﺔ اﻵﺗﻴﺔ
)ﺏ( ) 1 + ٢ω ) ٢( 1 + ωﺫ ( ω
ا ﻞ
ω
٣
٢
٥
ﻛﻚ :
٢
1
( + ٢ω ) ٢ﺫ (( ω + ٢ω) ٢ ( ٢ω + ω) = ٣ )ﺏ( ) + ω ω ω = )– ١ – = ( ١ –) × ١ = ٣( ١ –) ٢( ١
ﺍω + B ω +ﺫ + Ü Üﺍωﺫ ω B + – أﺛﺒﺖ أن ] : ωﺫ ﺍ ω B + Ü ω Ü ω + B +ﺫ +ﺍ
· ﻓﻚ ا ﺤﺪد ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﻌﻮا ﻞ ا ﺮاﻓﻘﺔ
٣
ﻳﻤ ﻦ ﺪﻳﺪ اﻹﺷﺎرة ا ﺴﺘﺨﺪﻣﺔ اﻟﻌﻮا ﻞ ا ﺮاﻓﻘﺔ ﻷى ﻋﻨ
[٨١ = ٨
ا رﺟﺔ ا ﺎ ﺔ ﻣﻦ ا ﺸ
ا ﻞ
ﺍ ω + B ω + 3ωﺫÜ ﺍ ω + B ω +ﺫ + Ü Üﺍ ωﺫ ω B + = – ωﺫ ﺍ ω B + Ü ω Ü ω + B +ﺫ +ﺍ ωﺫ ﺍÜ ω + B +
ا ﺼﻮرة ا ﺜﻠﺜﻴﺔ .
) ٢ﺱ ٢ ) ٩ – ٦( ٣ +ﺱ ٠ = ٨ + ٣( ٣ +
)ﺍ( ) [ ω ٣ + ( ω ٢ + ω ٢ + ٢ ) ] = ٥( ٢ω ٢ + ω ٥ + ٢
)(٢
أﺛﺒﺖ أن :
3S + 1ت +1ﻉ ،و ن ﻉ = ) (٥إذا ن ﻉ = -1 ١ﻉ ﺫ
أوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ :
1
(١٦ = ٨
ﺱ ٦ + ٦ﺱ ١٥ + ٥ﺱ ٢٠ + ٤ﺱ ١٥ + ٣ﺱ ٦ + ٢ﺱ = ٠
ا ﺬور ا ﻜﻌﻴ ﻴﺔ ﻠﻮاﺣﺪ ا ﺼﺤﻴﺢ :
= ) ω ٢٤٣ = ٥ω × ٥٣ = ٥( ω ٣
ﺫ7 - w
+ wت ) (٣أﺛﺒﺖ أن – 1 ) : ﺫ w + 1ت w +1ت
3S 3S ﺇ ﺍ=– _ 1ﺫ ت 1ﺉ ﺏ=_ ﺫ ﺇ ﻉ =– ﺫ ﺫ ﺇ ا ﺬور ا ﻜﻌﻴ ﻴﺔ ﻠﻮاﺣﺪ ا ﺼﺤﻴﺢ : 3S 1 3S 1 ت – – ، + – ، ١ ﺫ ﺫ ﺫ ﺫ
ﺎ ﻳﺄ : w
ﺇ ) ﺍ ٣ – ٣ﺍ ﺏ ٣ ) + ( ٢ﺍ ٢ﺏ – ﺏ ( ٣ت = ١ﺉ ﺍ ٣ – ٣ﺍﺏ(١) ......... ١ = ٢
٣
ا ﺬور ا ﻜﻌﻴ ﻴﺔ ﻠﻮاﺣﺪ ا ﺼﺤﻴﺢ :
)ﺍ( ) – ١ﺫ – ﺫﺫ ( ) ( ١١w ٥ – ٧w ٥ – ٣
ﺏ ١ = ٣ﺇ ﺍ ٣ + ٣ﺍ ٢ﺏ ت – ٣ﺍ ﺏ – ٢ﺏ ٣ت = ١
) (١
:ﺱ ( ٨ – ٨ –) – ٢ﺱ ٠ = ٦٤ +أى :ﺱ ١٦ + ٢ﺱ ٠ = ٦٤ +
ﺗﻔﻜ ﻧﺎﻗﺪ :ﻫﻞ ﻳﻤﻜﻨﻚ إ ﺎد ا ﺬور ا ﻜﻌﻴ ﻴﺔ ﻠﻮاﺣﺪ ا ﺼﺤﻴﺢ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ا ﺼﻮرة ا
٦
٨ – = ٣ω ٨ – = ٣( ω ٢ –) = ٣( ω - ω –) = ٣( ٢ω + ω – ١ ) ،
) (١
٨
ﺇ ا ﻘﺪار = ) _ ] ٣ت ( = ٨١ت = ٨١
اﻟﻘﺎﻧﻮن اﻟﻌﺎم ﻞ ا ﻌﺎدﻟﺔ اﻟ ﻴﻌﻴﺔ ﻫﻮ :
BS ± Bﺫ 4 -ﺍÜﺳ = ﺲ ﺫﺍ
= ٣] _ = ٢ω – ωت
ﺪد
ا ﺠﺎور .
· ﺧﻮاص ا ﺤﺪدات : ً أوﻻ :ﻗﻴﻤﺔ ا ﺤﺪد ﺴﺎوى ا ﺼﻔﺮ :
–
ﺍ ωﺫ Ü + ω B + ﺍ ωﺫ Ü + ω B +ﺍ ω + B ω + 3ωﺫÜ – = 3 ﺫ ﺍÜ ω + ω B + ω ωﺫ ﺍÜ ω + B + ﺍ ω B +ﺫ Ü ω +
) (١إذا ﺴﺎوت اﻟﻌﻨﺎ
) (٢إذا ﻧﺖ ﻋﻨﺎ
= ) ωﺍωﺫ ) – (Ü ω + B +ﺍωﺫ (Ü + ω B + ) ωﺫﺍ ) ω (Ü ω + B +ﺍωﺫ (Ü + ω B +
) ﻋﻤﻮد ( آﺧﺮ .
١٤
ا ﻨﺎﻇﺮة
أى ﺻﻔ
- +
+
+ -
-
+ - +
) ﻋﻤﻮدﻳﻦ ( .
أى ﺻﻒ ) ﻋﻤﻮد ( ﻀﺎﻋﻔﺎت ﻟﻌﻨﺎ
ﺻﻒ
ﻟﻸﺳﺘﺎﺫ ﺍﻟﻘﺪﻳﺮ /ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺪﻳﻦ ﻳﺤﻴﻰ ٠١١١٩٦٦٠٦١٦
ﺍﻟﺠﺒﺮ ﻭﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﺮﺍﻏﻴﺔ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ ً أى ﺻﻒ ) ﻋﻤﻮد ( أﺻﻔﺎرا .
) (٣إذا ﻧﺖ ﻴﻊ ﻋﻨﺎ ً ﺛﺎﻧﻴﺎ :ﻗﻴﻤﺔ ا ﺤﺪد ﻻ ﺗﺘﻐ :
) (١إذا ﺑﺪ ﺎ ا ﺼﻔﻮف ﺑﺎﻷﻋﻤﺪة واﻷﻋﻤﺪة ﺑﺎ ﺼﻔﻮف ﺑﻨﻔﺲ ﺗﺮﺗ ﺒﻬﺎ ) (٢إذا ﻓﻜﻴﻨﺎ ا ﺤﺪد ﻋﻦ ﻃﺮ ﻖ ﻋﻨﺎ
) (٣إذا أﺿﻔﻨﺎ
ﻋﻨﺎ
أﺣﺪ ﺻﻔﻮﻓﻪ ) أﻋﻤﺪﺗﻪ (
)ﺍ(
ﻌﻞ اﻟﻌﻨ
) ﺏ(
ﻌﻞ ﺑﺪاﻳﺔ ا ﺼﻔ
أى ﺻﻒ )ﻋﻤﻮد ( ﻀﺎﻋﻔﺎت ﻋﻨﺎ
و
ﻋﻨﺎ
) (٢ﺗﺘﻐ إﺷﺎرة ﻗﻴﻤﺔ ا ﺤﺪد إذا ﺑﺪ ﺎ ﻮﺿ ﺻﻔ ) (٣ﻳﻤ ﻦ ﻛﺘﺎﺑﺔ ﻗﻴﻤﺔ ا ﺤﺪد ﻛﻤﺠﻤﻮع ﻗﻴﻤ
) (١أﺛﺒﺖ أن :
أى ﺻﻒ ) ﻋﻤﻮد ( ﻛﻤﺠﻤﻮع ﻋﻨ
) ﻋﻤﻮدﻳﻦ ( ﺪدﻳﻦ إذا ﻛﺘﺒﺖ ﻦ.
ﻉ =١ﻉ
ﻫﺬا ا ﺼﻒ ) اﻟﻌﻤﻮد (
ا ﺤﺪدﻳﻦ وﻧ ك ﺑﺎ ا ﺤﺪد ﻛﻤﺎ ﻫﻮ .
) (٤ﻗﻴﻤﺔ أى ﺪد
اﻟﻘﻄﺮ ا ﺮﺋ
ﻋﻨﺎ
ﺪد
ﺓ11
0 0
ا ﺼﻮرة ا ﺜﻠﺜﻴﺔ ﺴﺎوى ﺣﺎﺻﻞ .
ا ﺼﻮرة ا ﺜﻠﺜﻴﺔ ا ﺴﻔ |1h
|| h
0
31h
،
3| h
hﺫ1
ﺓ13
33 h
ﻗﻴﻤﺔ ا ﺤﺪد = ﺍ × ١١ﺍ × ٢٢ﺍ
ﻓﺄوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ
ا ﺼﻮرة ا ﺜﻠﺜﻴﺔ اﻟﻌﻠﻴﺎ ﺓ11
||h
|3h
0 0
33h
ﺫ
Q Ü
¬
h
1-
١٠ = ° Ú B |h
|Ù
|ﻡ
° Ú B ¬4 - Q4 - Ü4 -
3
4
ﺫ
3
ﻡ - 5 = ١ﺫ ، 3ﻡ5 1 - = ٢ 4 0 1- 4 0
ا ﺼﻒ ) أو اﻟﻌﻤﻮد ( ﺛﻢ
اﻟﻔﻚ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﻌﻨ ُ ) (٢إذا ذﻛﺮ أن ) ﺱ – ﻙ ( أﺣﺪ ﻋﻮا ﻞ ا ﺤﺪد ﻓﺈن ﺱ = ﻙ
ﺹ،١ﺹ ٣
ا ﻞ
ا ﺤﺪد ﻡ = ١ﺹ ، ١ﺹ ٣
ﺫ 4 3 ﻡ =٤ﻡ + ١ﻡ 5 3 4 = ٢ 1- 4 0
ﻌﻞ ا ﺤﺪد = ﺻﻔﺮ
) (٣ﻗﻴﻤﺔ ﺪد ا ﺼﻔﻮﻓﺔ ﺷﺒﻪ ا ﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ﺴﺎوى ﺻﻔﺮ .
) (٤ﻗﻴﻤﺔ ﻣﺪور أى ﺪد = – ﻗﻴﻤﺔ ﻫﺬا ا ﺤﺪد .
ا ﺤﺪد ﻡ
ﺪد ﻣﻦ ا رﺟﺔ ﻥ ﻗﻴﻤﺘﻪ ﻡ
اﻟﻌﺪد ﻙ ﻓﺈن ﻗﻴﻤﺔ ا ﺤﺪد ا ﺎﺗﺞ = ﻙﻥ × ﻡ
) (٦اﻟﻄﺮ ﻘﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻌﻞ ﺪد
Ù
ﺫ 1-
5 7
= ﺻﻔﺮ
) (٤أوﺟﺪ ا ﺤﺪد ﻡ = ﻡ + ١ﻡ + ٢ﻡ ٣ﺣﻴﺚ :
ا ﺎﻟﺚ ﻓﻘﻂ
) (٥إذا
3
ا ﻞ ﻡ
1-
3 ﺫ
Ù hﻡ ﻡ = ٨٠ - = ١٠ × ٨ – = ° Ú B (٤ –) × ٢ ¬ Q Ü
ا ﺴﺄﻟﺔ ﻋﺒﺎرة " ﺑﺪون ﻓﻚ ا ﺤﺪد " أو " ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام
ﺖ ﻴﻊ ﻋﻨﺎ
ا ﻞ
= ﺫ 4 1 3-
3 ﺫ
ا ﻞ
· ﻼﺣﻈﺎت ﻫﺎﻣﺔ :
ا ﻮاص " ﻓﻴﺠﻮز إ ﺎد ﺻﻔﺮ ﻦ
٣
ب
0
1 ﺫ
ﺉ ا ﺤﺪد = ﺻﻔﺮ
) (٣إذا ن
٣٣
) (١إذا ذﻛﺮ
4 5 3 1-
1
) (٢ﺑﺪون ﻓﻚ ا ﺤﺪد أﺛﺒﺖ أن :
ﻋﺪا ﺻﻒ )ﻋﻤﻮد ( واﺣﺪ ﻓﻘﻂ
ﻃﺮ ﻘﺔ ﻊ ا ﺤﺪدﻳﻦ :ﻤﻊ ﻋﻨﺎ
ﺫ 3-
1- 5
ﺑﺘﺪو ﺮ ا ﺤﺪد ) ﺗﺒﺪﻳﻞ اﻷﻋﻤﺪة إ ﺻﻔﻮف ( ﺇ ا ﺤﺪدان ﻣ ﺴﺎو ﺎن
ط ﻊ ﺪدﻳﻦ :أن ﻳ ﻮن ا ﺤﺪدﻳﻦ ﻣ ﺴﺎو ﺎن
اﻟﻌﻨﺎ
1
ﻵ ٠ﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧ ب ﻫﺬا اﻟﻌﺪد
أى ﺻﻒ ) ﻋﻤﻮد ( واﺣﺪ ﻓﻘﻂ .
ﻴﻊ ﻋﻨﺎ
ﺑﺈﺿﺎﻓﺔ ﻀﺎﻋﻔﺎت ا ﺼﻒ ) اﻟﻌﻤﻮد ( اﻷول
أى ﺻﻒ ) ﻋﻤﻮد ( .
ب ا ﺤﺪد
ﻣﻨﻬﻤﺎ .
) اﻟﻌﻤﻮد ( ا ﺎ .
) (١ﻧﺄﺧﺬ اﻟﻌﺎ ﻞ ا ﺸ ك ﺧﺎرج ا ﺤﺪد إذا وﺟﺪ ﻫﺬا اﻟﻌﺎ ﻞ ﻋﺪد ﺣﻘﻴ
) اﻟﻌﻤﻮدﻳﻦ ( ا ﺎ وا ﺎﻟﺚ أﺻﻔﺎر
)ﺝ( ﻧﻮﺟﺪ ا ﺼﻔﺮ ا ﺎﻟﺚ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﻀﺎﻋﻔﺎت ا ﺼﻒ
أى ﺻﻒ ) ﻋﻤﻮد ( آﺧﺮ . ً ﺛﺎ ﺎ :ﺧﻮاص ﻣﺘﻨﻮﻋﺔ : ﻴﻊ ﻋﻨﺎ
ﺍ١ = ١١
٣
ﺇ ﻳﻤ
١٥
4
ﺫ ،ﻡ4 = ٣ 0 1-
ا ﺤﺪد ﻡ ٢
،ﰈ ﻉ ،ﻉ ٣ ١
ﺫ
1 1
5 1-
ﺇ ﻳﻤ ﻦ ﻌﻬﻤﺎ ا ﺤﺪد ﻡ = ٤ﻉ ، ١ﻉ
ﺫ ﺫ 4 ﻦ ﻌﻬﻤﺎ ﺇ ﻡ = ﻡ + ٤ﻡ 5 4 4 = ٣ 1- 5 0
) (٥ﺑﺪون ﻓﻚ ا ﺤﺪد أوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ
ا ﺼﻮرة ا ﺜﻠﺜﻴﺔ :
ﺫ 1-
4
5
7-
4 1- 34- 1 3
٣
ﻟﻸﺳﺘﺎﺫ ﺍﻟﻘﺪﻳﺮ /ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺪﻳﻦ ﻳﺤﻴﻰ ٠١١١٩٦٦٠٦١٦
ﺍﻟﺠﺒﺮ ﻭﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﺮﺍﻏﻴﺔ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ ا ﻞ ﺫ 7- 5 ﺹ + ٢ﺹ ٣ﺉ ا ﺤﺪد = 0 0 0 4- 1 3
) (٦ﺑﺪون ﻓﻚ ا ﺤﺪد أﺛﺒﺖ أن : Ü- B - h
B
11 4
= ﺻﻔﺮ ﻷن ﺹ ٢
) (٧ﺿﻊ ا ﺤﺪد ﻣﻢ = 1 3
ﻪ أﺻﻔﺎر
ﺫﺫÜ
ﻗﻴﻤﺘﻪ .
= ) ﺍ +ﺏ +ﺝ (٣
0 1 = ) ﺍ +ﺏ +ﺝ ( (Ü + B + h ) - 1 0 1
)إرﺷﺎد :ﻧﻀﻊ ﺱ = ٢ﻌﻞ ا ﺤﺪد ﻣﻢ = ﺻﻔﺮ ( ) (٩أﺛﺒﺖ أن
0 =)ﺍ +ﺏ+ﺝ(×١ 0 (Ü + B + h ) -
) (١
× ]– ) ﺍ +ﺏ +ﺝ ( [ × – ) ﺍ +ﺏ +ﺝ ( [ = ) ﺍ +ﺏ +ﺝ (
) (١ﺑﺪون ﻓﻚ ا ﺤﺪد أوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ 1
ﺫ 4-
6
ﺫ
، 1- 3 -
78 76
:
80
)(٢
)(٣
)(٤
)(٥
¤3
¤3
B ﺍ 1 ﺍ B +ﺍ 1 + B 1 + 1
1
ﺍﺫ
Bﺫ
ﺍ
¤ ﺍ ﺍ
B ﺍ
ﺼﻔﻮﻓﺔ ا ﺼﻒ :ﻣﺜﻞ ) ﺱ ﺹ ﻉ ( öﺱæ ÷ ç ÷ﺹ ç ÷¬ç è ø 11 h ö
h ÷ø
ﺫ1
:ﻋﻨﺎ ه
11h ö
ﺫ
ﻋﻨﺎ
اﻟﻘﻄﺮ ا ﺮ
) (٦ﺼﻔﻮﻓﺔ ا ﻮﺣﺪة : ﻗﻄﺮﻫﺎ ا ﺮﺋ
= ﺻﻔﺮ
1 hﺫ ÷ æ ﺍ h ÷ ، çﺫ|| h 1 || ÷ è 3 h 13 h øﺫ
ﺍ ، ١١ﺍ ، ٢٢ﺍ٣٣
ﻳ ﻮن أﺣﺪﻫﻤﺎ ﺼﻔﻮﻓﺔ ﻗﻄﺮ ﺔ
11h ö
)= Üﺏ–ﺍ()ﺝ –ﺍ()ﺝ–ﺏ(
÷ ÷ 0 0 ÷ø
Üﺫ
ﺍ
) (٦أوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ س إذا ن ¤ : 1
1 1-
0
¤ 1+ ¤
1hﺫ
|| h
0
æ 31h ÷ ç hﺫ h ÷ ، ç 3ﺫ|| h 1 ÷ ç h 3 h 13 h øﺫ è 33 11h ö
0
ا ﻈﻢ ٣ × ٣ﻣﺜﻞ
æ 0 ç ç 0 ç h è 33
) (٩ﻣﺪور ا ﺼﻔﻮﻓﺔ :ﺴ ﺒﺪل ا ﺼﻔﻮف ﺑﺎﻷﻋﻤﺪة ﺑﻨﻔﺲ ﺗﺮﺗ ﺒﻬﺎ
ﺍ = ) ﺱ ٢ +ﺍ ( ) ﺱ – ﺍ (٢
1
ﻋﻨ
ﻣﻦ ﻋﻨﺎ
) (٧ا ﺼﻔﻮﻓﺔ ا ﺼﻔﺮ ﺔ :ﻴﻊ ﻋﻨﺎ ﻫﺎ أﺻﻔﺎر
1
¤-
اﻷﻗﻞ ﻵ ٠
واﺣﺪ ﺻﺤﻴﺢ
) (٨ا ﺼﻔﻮﻓﺔ ا ﺜﻠﺜﻴﺔ ) اﻟﻌﻠﻴﺎ وا ﺴﻔ ( :
¤ ﺍ ¤
1hﺫ
æ 31h ç hﺫç 3 ç h è 33
) (٥ا ﺼﻔﻮﻓﺔ اﻟﻘﻄﺮ ﺔ :ﺼﻔﻮﻓﺔ ﺮ ﻌﺔ ﻴﻊ ﻋﻨﺎ ﻫﺎ أﺻﻔﺎر ﻋﺪا
3 4 ﺫ 1 = 10 6 8 + 7 - 1 - 5ﺻﻔﺮ4 4 9 6 ﺫ 5 1 ¤3
= ﺍﺏ ﺝ ) (١ + 1 + 1 + 1 ﺍ ﺏ Ü
) (٤اﻟﻘﻄﺮ ا ﺮﺋ
· ﺑﺪون ﻓﻚ ا ﺤﺪد أﺛﺒﺖ أن :
1
1 +1ﺏ Ü+1 1
) (٣ا ﺼﻔﻮﻓﺔ ا ﺮ ﻌﺔ :ﻣﺜﻞ
ﺫ94 88 8 106 96 86 6 4
1
) (٢ﺼﻔﻮﻓﺔ اﻟﻌﻤﻮد :ﻣﺜﻞ
ﺫ
1 1
· ﺗﺬﻛﺮ :
٣
3
+1ﺍ
،ﻉ ٢ - ٢ﺏ × ﻉ ، ١ﻉ ٢ - ٣ﺝ × ﻉ ١
ﻣﻦ ا ﺤﺪدﻳﻦ ا ﺎ
ﺫ
ﺣﻴﺚ ﻣﻢ = 6 - 5 + ¤ 3 - 3+¤ +¤ﻙ ﺫ
ﺫﺫÜ B Ü+ B + h = ﺫÜ ﺑﺎ ﻤﻊ ﻉ + ١ﻉ + ٢ﻉ ٣ﺇ ﻡ = h - Ü - B Ü + B + h B - h -Ü ﺫB Ü+ B + h
)ﺍ +ﺏ +ﺝ(
13 -ﺫ
3 + ¤ 1- ¤
ا ﻞ
ﺫﺫÜ B 1 h -Ü - B 1 ﺫÜ B - h -Ü ﺫB 1
3 ﺫ
ا ﺼﻮرة ا ﺜﻠﺜﻴﺔ وأوﺟﺪ
) (٨إذا ن ) ﺱ – ( ٢أﺣﺪ ﻋﻮا ﻞ ا ﺤﺪد ﻣﻢ ﻓﺄوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﻙ
ﺫﺫÜ h -Ü - B B - h -Ü ﺫﺫB
h h
ﺫ
ا ﺼﻔﻮﻓﺔ اﻷﺻﻠﻴﺔ ،وﻧﺮ ﺰ ﺑﺎ ﺮ ﺰ ﺍﻣﺪ .
=
ﺱﺫ
ﻼﺣﻈﺎت :
1
-ﺱ ¤
)ﺍ( ﻣﺪور ﺼﻔﻮﻓﺔ ا ﻮﺣﺪة ﻫﻮ ﻧﻔﺴﻬﺎ .
)ﺏ( ﻣﺪور ﺼﻔﻮﻓﺔ ﻗﻄﺮ ﺔ ﻫﻮ ﻧﻔﺴﻬﺎ .
)ﺝ( ﻣﺪور ا ﺼﻔﻮﻓﺔ ا ﺼﻔﺮ ﺔ ﻫﻮ ﻧﻔﺴﻬﺎ .
) (ﻣﺪور ا ﺼﻔﻮﻓﺔ ا ﺜﻠﺜﻴﺔ اﻟﻌﻠﻴﺎ = ﺼﻔﻮﻓﺔ ﻣﺜﻠﺜﻴﺔ ﺳﻔ
١٦
ﻟﻸﺳﺘﺎﺫ ﺍﻟﻘﺪﻳﺮ /ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺪﻳﻦ ﻳﺤﻴﻰ ٠١١١٩٦٦٠٦١٦
ﺍﻟﺠﺒﺮ ﻭﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﺮﺍﻏﻴﺔ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ واﻟﻌﻜﺲ ﺻﺤﻴﺢ .
)ﻩ( ) ﺍﻣﺪ (ﻣﺪ = ﺍ
) (١٠ا ﺼﻔﻮﻓﺔ ا ﺘﻤﺎﺛﻠﺔ :ﺍ = ﺍ ﺗ ﻮن اﻟﻌﻨﺎ
) (١أوﺟﺪ ﻗﻴﻢ ﺍ اﻟ
ﻣﺪ
ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ﺑﺎﻟ ﺴﺒﺔ ﻠﻘﻄﺮ ا ﺮﺋ
ﰈ ا ﺼﻔﻮﻓﺔ ﺳﺲ ﻏ ﻣﻨﻔﺮدة ﺇ | ﺳﺲ | ﻵ ٠ﺇ
ﻼﺣﻈﺔ ) :ﺍ +ﺍﻣﺪ ( ﺼﻔﻮﻓﺔ ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺔ
٢
) (١١ا ﺼﻔﻮﻓﺔ ﺷﺒﻪ ا ﺘﻤﺎﺛﻠﺔ :ﺍ = – ﺍﻣﺪ ﻋﻨﺎ ﻬﺎ أﺻﻔﺎر ،وﺗ ﻮن ﺑﻘﻴﺔ اﻟﻌﻨﺎ
ا ﺮﺋ
و ﺘﻠﻔﺔ
ﻗﻄﺮﻫﺎ ا ﺮﺋ
)(١٢
ﻋﻨﺎ
ا ﺼﻔﻮﻓﺔ .
3- 4ﺫ ﻣﻢ = 0ﺫ 0 1 1
ﻵ × ٠ﺼﻔﻮﻓﺔ ﻧ ب ﻫﺬا اﻟﻌﺪد
) (١٣ﻤﻊ ) ﻃﺮح ( ﺼﻔﻮﻓﺘ
ﻧﻔﺲ ا ﻈﻢ و ﻤﻊ ) ﻧﻄﺮح ( ب ﺼﻔﻮﻓﺘ
)(١٤
ط ﻗﺎﺑﻠﻴﺔ
)(١٥
ط وﺟﻮد ﻣﻌﻜﻮس
١١ - = ( ٢ – ٠ ) ٢ + ( ١ – ٠ ) ٣ + ( ١ – ٠ ) ٤ = 1ﻵ ٠
ﺇ ا ﺼﻔﻮﻓﺔ ﻏ ﻣﻨﻔﺮدة ) ﺎ ﻣﻌﻜﻮس
ط أن ﺗ ﻮن ا ﺼﻔﻮﻓﺘﺎن :
ﻋﻨ
ﻋﺪد أﻋﻤﺪة ا ﺼﻔﻮﻓﺔ اﻷو = ﻋﺪد ﺻﻔﻮف ا ﺼﻔﻮﻓﺔ ا ﺎﻧﻴﺔ ﻠﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍ ﻫﻮ ﻣﻢ = | ﺍ | ﻵ ٠
) (١٧ا ﺼﻔﻮﻓﺔ ﻏ ا ﻨﻔﺮدة | :ﺍ | ﻵ ٠أى ﺎ ﻣﻌﻜﻮس öﺍ
) (١٨ا ﻌﻜﻮس ا
æÙ
çﻫﻮ ﻠﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ا ﺮ ﻌﺔ ﺍ = ÷ Bøﺝ è
– ö 1 ١ﺝ æ Ù- ﺍ = × 1 = çﻣﺪور ﺼﻔﻮﻓﺔ ا ﺮاﻓﻘﺎت ÷ ﺍ ﺍ B-øﺍ è
4 0 5 0 5 4 ﻡ + = ١١ = ، ١٥ﻡ + = ٣١ = ، ٢ -ﻡ - = ٢١ 6 3 7 3 7 6 1 ،ﻡ - = ١٢ 6 1 ،ﻡ + = ١٣ 4
öﺍ æÙ · ﺼﻔﻮﻓﺔ ا ﺮاﻓﻘﺎت ﻠﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ÷ Bﺝ ç è ø
· ا ﺼﻔﻮﻓﺔ ا ﻠﺤﻘﺔ :
öﺝ æB- ÷ Ù-ﺍ ç è ø
ا ﻞ öﺫ 1- ÷÷ 1 5 ÷ 3 0 ﻡ=÷ ÷ 1 5 ÷ ÷ 3 0 ÷øﺫ 1 -
ﻧﻔﺴﻬﺎ
) (٢إذا ﻧﺖ ﺍ ﺼﻔﻮﻓﺔ ﺮ ﻌﺔ ﻏ ﻣﻨﻔﺮدة ﻓﺈن : ﺍ– × 1 = ١ﺍ ﺍ
· ﺧﻮاص ا ﻌﻜﻮس ا
) ) (١ﺍﺏ ( = ١ -ﺍ
ﻣﻦ :ب ب ﻞ ،ب ﻞ ب ﻣﺎذا ﺗﻼﺣﻆ ؟
ﻞ
ا ﺼﻔﻮﻓﺔ ا ﻠﺤﻘﺔ ﺼﻔﻮﻓﺔ ا ﻮﺣﺪة ﻞ
ﻠﻤﺼﻔﻮﻓﺔ :
١- ١-
ﺏ
ﻣﺪ ١ -
) ) (٣ﺍ( ١ -ﻣﺪ = )ﺍ (
ﺫ 1 3=٩- = ، ٢٣ﻡ - = ٣٢ 6 3 7 ﺫ 1 3=٨ = ، ١٠ -ﻡ + = ٣٣ 4 0 5
- öﺫ - 15ﺫæ1 ç ÷ :ﻡ = ÷ 5 -ﺫ 3ﺫ ç 9 - ÷ ç 8 10 - 17 è ø
ﺛﻢ أوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ
ا ﺼﻔﻮﻓﺔ ا ﺎ ﺔ ﻣﻦ ﻣﺪور ﺼﻔﻮﻓﺔ
ﻼﺣﻈﺎت :
= ١٢ -
öﺫ æ3 0 ) (٤أوﺟﺪ ا ﺼﻔﻮﻓﺔ ا ﻠﺤﻘﺔ ﻠﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ب = ÷÷ 1 -ﺫ . çç1 - ÷ç 1 5 0 è ø
ا ﺮاﻓﻘﺎت ،وﻧﺮ ﺰ ﺎ ﺑﺎ ﺮ ﺰ ﺍ . ) (١
37 35
ﺫ = ، ٢٥ -ﻡ = 3 ٢٢ ﺫ = ، ١٧ﻡ - = ٢٣ 0
ﺉ ﺼﻔﻮﻓﺔ ا ﺮاﻓﻘﺎت
= × 1ا ﺼﻔﻮﻓﺔ ا ﻠﺤﻘﺔ ﺍ
(.
öﺫ æ 3- 1 ) (٣أوﺟﺪ ﺼﻔﻮﻓﺔ ا ﺮاﻓﻘﺎت ﻠﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍ = ÷÷ . çç 5 4 0 ÷ç 7 6 3 è ø ا ﻞ
ﻣﻊ ﻧﻈ ه .
) (١٦ا ﺼﻔﻮﻓﺔ ا ﻨﻔﺮدة | :ﺍ | = ٠أى ﻟ ﺲ ﺎ ﻣﻌﻜﻮس
4ﺍ
3- 4öﺫæ ) (٢ﺣﺪد ﻫﻞ ا ﺼﻔﻮﻓﺔ ÷÷ 0ﺫ çç 1ﻣﻨﻔﺮدة أم ﻏ ﻣﻨﻔﺮدة ÷ç0 1 1 è ø ا ﻞ
ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ﺑﺎﻟ ﺴﺒﺔ ﻠﻘﻄﺮ
اﻹﺷﺎرة .
ﺍ 9
ﻵ٠
ﺇ ﺍ ﻵ ٣٦ﺇ ﺍ ﻵ _ ٦ﺉ ﺍ ﻱ { ٦ - ، ٦ } - ò
ﻼﺣﻈﺔ ) :ﺍ – ﺍﻣﺪ ( ﺼﻔﻮﻓﺔ ﺷﺒﺔ ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ب ﻋﺪد ﺣﻘﻴ
öﺍ æ9 çﻏ ﻣﻨﻔﺮدة . ﻌﻞ ا ﺼﻔﻮﻓﺔ ÷ 4øﺍ è ا ﻞ
1- 11 0
1ﺫ5 0
ﺫ 3 1 0
ﺫ 0 5 0
ﺫ 3 1- 1-
ﺫ 0 1-ﺫ
æ ç ç æ 5- 1 7 ö ç ç ÷ ç 15 ÷ = çﺫ ç10 - ÷ ç 4 1- 6 - è ø ç ç ç è
7 ö æ 6 - 15 ç ﻞ ÷ 1 ﺫ ﺉ ﺏ =÷ 1 ç ÷ ç 4 10 - 5 - è ø
) ) (٢ﺍ = ١ -( ١ -ﺍ
öﺫ æ3 0 ç ﻞ ÷ ﺏ ﺏ = ÷ 1 -ﺫ ç1 - ÷ç1 5 0 è ø
)I = ١ -(I) (٤
١٧
7 ö æ 0 0 1 - ö æ 6 - 15 ç ÷ ç ÷ ﺫ ÷ 1 ç 0 1- 0 ÷ = ç 1÷ ç1 - 0 0 ÷ ç 4 10 - 5 - è ø è ø
ﻟﻸﺳﺘﺎﺫ ﺍﻟﻘﺪﻳﺮ /ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺪﻳﻦ ﻳﺤﻴﻰ ٠١١١٩٦٦٠٦١٦
ﺍﻟﺠﺒﺮ ﻭﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﺮﺍﻏﻴﺔ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ 7 ö ö æ 6 - 15ﺫ æ 0 0 1 - ö æ 3 0 ﻞ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ﺫ 0 1 0 = 1 1 1 ﺫ ،ﺏ ﺏ=÷ 1 ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç1 - 0 0 ÷ ç 1 5 0 ÷ ç 4 10 - 5 - è ø è ø è ø
ﻣﻦ ا ﺼﻔﻮﻓﺎت اﻵﺗﻴﺔ إن أﻣ ﻦ :
) (٥أوﺟﺪ ا ﻌﻜﻮس ا
0 5ö æ 0 æ 1 1 - 0ö ç ÷ ﺍ = ÷÷ 1ﺫ ، çç 4ﺏ = ÷ 7ﺫ -ﺫ . ç ÷ﺫ ç 3 3- ÷ﺫ ç8 3 è ø è ø ا ﻞ |ﺍ|= 1 ﺫ
١– = 4ﻵ٠
0 4 ö ÷ ،ﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍ ﻠﻤﺮاﻓﻘﺎت = ÷ - 11ﺫ 1 6 - ÷ø 4ö ﻞ –1 ١ ÷ × ﺍ = –0 ÷ ×١ ﺇ ﺍ = ﺍ ÷ 1- ø
5
4ö æ1ﻞ ÷ ç ﺫ ، çﺍ = ÷ 0÷ ç 1 1- ø è 4-ö æ 6 - 11 ÷ ç ﺫ 0 ÷ = ç 1ﺫ ç 11 ÷ø è
æ 6 - 11 ç ﺫ ç 1ﺫ ç 1è æ 6 11ç ﺫ ç1 ç1ﺫ è
3
ﻓﺄوﺟﺪ ﻗﻴﻢ
· اﺸ
(
æ1 - 3 ö
çﻓﺤﻘﻖ ا ﻮاص ا ﺎ ﺔ : ) (٦إذا ﻧﺖ ﺍ = ÷ 1øﺫ è ً ً ١– ٢ ﻣﺪ – ١ )ﺛﺎﻧﻴﺎ( )ﺍ– ) = ٢(١ﺍ ( )أوﻻ( )ﺍ– (١ﻣﺪ = )ﺍ ( ا ﻞ – ö 1 ١ﺫ æ 1 | ﺍ | = ٧ﺇ ﺍ = ç 3 1- ÷ × 7 è ø öﺫ – ١ﻣﺪ ÷ 7 )ﺍ ( = ÷÷ 1 7ø
١ﻣﺪ
öﺫ ÷7 = ÷÷ 1 7ø
ﻣﺪ – ١
öﺫ æ1 –ç 7 7 ÷ ٢ ١ ﰈ )ﺍ ( = ÷ ç 3 1 - ç ÷ è7 7 ø
öﺫ æ1 ÷ ç7 7 = ÷ ç 3 1- ç ÷ è7 7 ø
٢
ﻣﻦ :ﺱ ،ﺹ ،ﻉ .
öﺫ 3 ö æ1 ÷ 49 ÷ ç 7 7 = × ÷÷ 5 - ÷÷ çç 3 1 - 49 ø è 7 7 ø
اﻟﻌﺎم ﺠﻤﻮﻋﺔ ا ﻌﺎدﻻت :
· ﺣﻞ ﻧﻈﺎم ا ﻌﺎدﻻت ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﻃﺮ ﻘﺔ ا ﻌﻜﻮس ا
ﺼﻔﻮﻓﺔ
ا ﻌﺎ ﻼت :
:
ط ﺣﻞ ا ﺼﻮرة ا ﺼﻔﻮﻓﺔ ﻈﺎم ا ﻌﺎدﻻت ا ﻄﻴﺔ : ) | (٢ﺍ | ﻵ ٠
) (١ﺍ ﺼﻔﻮﻓﺔ ﺮ ﻌﺔ
· ﻧﻈﺎم ا ﻌﺎدﻻت ا ﻄﻴﺔ ا ﺘﺠﺎ ﺴﺔ وﻏ ا ﺘﺠﺎ ﺴﺔ :
ﻳ ﻮن ﻧﻈﺎم ا ﻌﺎدﻻت ا ﻄﻴﺔ ﻣﺘﺠﺎ ﺴﺔ إذا ﻧﺖ ﺼﻔﻮﻓﺔ ا ﻮاﺑﺖ ﺻﻔﺮ ﺔ
· رﺗﺒﺔ ا ﺼﻔﻮﻓﺔ : æ 5 ç 49 (١) .......... ç ç 8 è 49
æ5 - 8 ö = ÷ç 3 5 è ø
١– ٢
ﺼﻔﻮﻓﺔ ﻣﻌﺎ ﻼت × ﺼﻔﻮﻓﺔ ﻣﺘﻐ ات = ﺼﻔﻮﻓﺔ ﺛﻮاﺑﺖ
·
æ 17 (٢) .......... çç ç 3 è 7
æ5 3 ö 1 ١– ٢ ٢ ﺉ | ﺍ | = ٤٩ﺇ )ﺍ ( = ç 8 5 - ÷ × 49 è ø
ﻣﻦ ) (٢) ، (١ﺇ )ﺍ – ) = (١ﺍ (
=ﺍ
ﺳ = ﺍ– ١ﺏ ﺳ = ﺏ ﻓﺈن ﺲ ﺍ ﺲ
ﻣﻦ ) (٢) ، (١ﺇ )ﺍ – ( = )ﺍ (
æ1 3 ö æ1 3 ö ٢ ،ﺍ = ÷ 1-ﺫ 1- ÷ × çﺫ ç è ø è ø
ﻣﺪ
–١
إذا ﻧﺖ ا ﺼﻮرة ا ﺼﻔﻮﻓﺔ ﺠﻤﻮﻋﺔ ا ﻌﺎدﻻت ا ﻄﻴﺔ
ﻣﺪ æ 1 3 ö ، (١) ..........ﺍ = ÷ 1 -ﺫ ç è ø
ﻣﺪ – ö 1 ١ﺫ æ 1 - ﺉ )ﺍ ( = ç 3 1÷ × 7 è ø
إ ﺎد ا ﻌﻜﻮس ا
ﻠﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍ .
0 öﺫ§ ¬ æ ) (٤إذا ﻧﺖ ﺍ = ÷÷ çç ¬ - § ¤و ن ﺍ ÷ ç ¬ §- ¤ è ø
-ﺫ =٠
æ 1ç 7 ç 3 ç è 7
ﻓﺄﺛﺒﺖ أن ﺍ ٧ – ٢ﺍ – X = I ٨
ﺇ ﺏ ﺼﻔﻮﻓﺔ ﻣﻨﻔﺮدة ) ﻟ ﺲ ﺎ ﻣﻌﻜﻮس
ً )ﺛﺎﻧﻴﺎ(
ﺛﻢ اﺳﺘﺨﺪم ذ ﻚ
0
| ،ﺏ|= 7ﺫ ﺫ 3-
ً )أوﻻ(
) (٢أوﺟﺪ ا ﻌﻜﻮس ا
öﺫ æ 3- 1 ﻠﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍ = ÷÷ . çç 5 4 0 ÷ç 7 6 3 è ø
3 öﺫæ ) (٣إذا ن ﺍ = ÷ ç 4 10 è ø
8
0
) (١أوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺱ اﻟ
4+ ¤ ö ﺫ æ1 ç ÷ ﻌﻞ ا ﺼﻔﻮﻓﺔ ÷ ﺫ ç5 4 ç 1 1- ¤ 7 ÷ø è
ﻣﻨﻔﺮدة .
1 1- 0 ﺫ 3
أ
درﺟﺔ ﺤﺪد أو ﺪد اﺻﻐﺮ ﻠﻤﺼﻔﻮﻓﺔ
ﻗﻴﻤﺘﻪ ﻵ ﺻﻔﺮ .وﻧﺮ ﺰ ﺮﺗﺒﺔ ا ﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍ ﺑﺎ ﺮ ﺰ ﺭ )ﺍ( .
ﻼﺣﻈﺎت :ﺑﻔﺮض أن ﺍ ﺼﻔﻮﻓﺔ ﻏ ﺻﻔﺮ ﺔ
) (١إذا ﻧﺖ ا ﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍ
ا ﻈﻢ ﻡ × ﻥ ﻓﺈن
ا ﻈﻢ ﻡ × ﻥ
١ﲪﺲ ﺭ )ﺍ( ﲪﺲ أﺻﻐﺮ اﻟﻌﺪدﻳﻦ ) ﻡ ،ﻥ ( .
3 ö ÷ 49 = ÷÷ 5 - 49 ø
æ 5 ç 49 (٢) .......... ç ç 8 è 49
) (٢ا ﺼﻔﻮﻓﺔ ا ﺼﻔﺮ ﺔ رﺗ ﺘﻬﺎ = ﺻﻔﺮ
) (٣ﺼﻔﻮﻓﺔ ا ﺼﻒ ) اﻟﻌﻤﻮد ( رﺗ ﺘﻬﺎ = ١ ) (٤رﺗﺒﺔ ﺼﻔﻮﻓﺔ ا ﻮﺣﺪة ا ﺮ ﻌﺔ = ﻋﺪد ﺻﻔﻮﻓﻬﺎ = ﻋﺪد أﻋﻤﺪﺗﻬﺎ
) (٥رﺗﺒﺔ ﻣﺪور ا ﺼﻔﻮﻓﺔ = رﺗﺒﺔ ا ﺼﻔﻮﻓﺔ
١٨
ﻟﻸﺳﺘﺎﺫ ﺍﻟﻘﺪﻳﺮ /ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺪﻳﻦ ﻳﺤﻴﻰ ٠١١١٩٦٦٠٦١٦
ﺍﻟﺠﺒﺮ ﻭﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﺮﺍﻏﻴﺔ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ · ا ﺼﻔﻮﻓﺔ ا ﻮﺳﻌﺔ :
ﺼﻔﻮﻓﺔ ا ﻌﺎ ﻼت و ﺼﻔﻮﻓﺔ ا ﻮاﺑﺖ ﻣﻌﺎ
ً
واﺣﺪة وﻧﺮ ﺰ ﺎ ﺑﺎ ﺮ ﺰ ﺍ* = ) ﺍ | ﺏ ( . · إ
) ٣ (١ﺱ ٢ +ﺹ – ٥ﻉ = ٥ ، ٠ﺱ – ٣ﺹ ٢ +ﻉ = ٤
ﻫﻴﺌﺔ ﺼﻔﻮﻓﺔ
ﻧﻴﺔ ﺣﻞ ﻧﻈﺎم ﻣﻦ ا ﻌﺎدﻻت ا ﻄﻴﺔ ﻏ ا ﺘﺠﺎ ﺴﺔ :
) (١ﻠﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ وﺣﻴﺪ ﺅﺉ
ﺭ )ﺍ( = ﺭ )ﺍ*( = ﻋﺪد ا ﺠﺎﻫﻴﻞ ) أى | ﺍ | ﻵ ﺻﻔﺮ (
،ﺱ –٢ﻉ =٠
) ٢ (٢ﺱ ٣ +ﺹ = ٥ﻉ ٣ ،ﺱ +ﻉ = ٤ﺹ ،ﺱ +ﻉ = ٠ ا ﻞ
) (١ﻧﻈﺎم ﻣﻌﺎدﻻت ﺧﻄﻴﺔ ﻏ ﻣﺘﺠﺎ ﺴﺔ ﻮﺟﻮد ﺣﺪ ﻣﻄﻠﻖ ﺑﺎ ﻌﺎدﻟﺔ ا ﺎﻧﻴﺔ ) (٢ﻧﻈﺎم ﻣﻌﺎدﻻت ﺧﻄﻴﺔ ﻣﺘﺠﺎ ﺴﺔ ﻷن ﺼﻔﻮﻓﺔ ا ﻮاﺑﺖ ﺻﻔﺮ ﺔ .
) (٣أوﺟﺪ رﺗﺒﺔ
) (٢ﻠﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ﻋﺪد ﻻﻧﻬﺎ ﻣﻦ ا ﻠﻮل ﺅﺉ
æ 9 3 1.5 ö öﺫ æ3 - 7 ﺍ = ÷ 5 3ﺫ ، çﺏ = ÷ 1ﺫ ç6 è ø è ø ا ﻞ
ﺭ )ﺍ( = ﺭ )ﺍ*( > ﻋﺪد ا ﺠﺎﻫﻴﻞ | ،ﺍ | = ﺻﻔﺮ
) (٣ﻻ ﻳﻮﺟﺪ ﺣﻞ ﻠﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ﺅﺉ ﺭ )ﺍ( > ﺭ )ﺍ*( · إ
ا رﺟﺔ
) أى | ﺍ | = ٠و ﻮﺟﺪ ﺪد أ
ﺍ* ﻵ ﺻﻔﺮ (
ﻧﻴﺔ ﺣﻞ ﻧﻈﺎم ﻣﻦ ا ﻌﺎدﻻت ا ﻄﻴﺔ ا ﺘﺠﺎ ﺴﺔ :
) (١إذا ن | ﺍ | ﻵ ٠ﺉ ﻳﻮﺟﺪ ﻠﻨﻈﺎم ﺣﻞ وﺣﻴﺪ ﻫﻮ ا ﻞ
ﰈ ،ﰈ
) (٢إذا ن | ﺍ | = ٠ﺉ ﻳﻮﺟﺪ ﻠﻨﻈﺎم ﻋﺪد ﻻﻧﻬﺎ ﻣﻦ ا ﻠﻮل
٢ﺱ – ٣ﺹ–ﻉ =٩ ،
ﺱ – ٢ﻉ = ١٢
ﺱ ٢ +ﺹ ٣ +ﻉ = ١٥
،
ا ﻞ öﺱæ ÷ ç ÷ﺹ ç ÷ﻉ ç è ø
öﺫ æ 1- 3 - ç ÷ ا ﻌﺎدﻻت ا ﺼﻮرة ا ﺼﻔﻮﻓﻴﺔ 1 ÷ :ﺫ ç 3 ÷ - 0 1ﺫ ç è ø ﺫ 1- 3 - | ،ﺍ | = 1ﺫ ٢١ - = ١٤ – ٧ - = ( ٣ + ٤ ) ٢ – ( ٢ + ٩ - ) = 3 - 0 1ﺫ - 5 4 - öﺫ æﻣﺪ ö ÷ ç ﻞ ÷ ،ﰈ ﺍ = ÷ ÷ = ç 3 - 3 - 6- ÷ ÷ ç 7 7- 7- ø è ø 6- 4- ö –١ ﻞ ÷ ﺇ ﺍ = 1ﺍ = 3- 5 ÷ 1 1ﺫﺍ - ÷øﺫ 3 -
ﺳ = ﺲ ﺇ öﺱæ ÷ ç ﺇ ÷ﺹ ç ÷ﻉ ç è ø
æ9ö ÷ ç = ÷ ç15 ÷ ﺫç 1 è ø
æ 7 - 6- 4- ö ç ÷ 11ﺫ ÷ ç 7 - 3 - 5 ÷ -ﺫ ç 7 3- è ø æ 10 ö = ÷÷ çç 4ﺇ ﺱ = ، ١٠ﺹ = ، ٤ﻉ = ١ - ÷ ç 1- è ø
) (٢ﺗﻌﺒ ﺷﻔ
ö æ9ö ÷ ÷ 1- ç ÷ 1 = ç15ﺫ ÷ ÷ ÷ ﺫç 1 ø è ø
:ﺑ
ّ
أى ﻧﻈﺎم ﻣﻦ اﻷﻧﻈﻤﺔ اﻵﺗﻴﺔ ﻳﻤﺜﻞ ﻧﻈﺎم
ﻣﻌﺎدﻻت ﺧﻄﻴﺔ ﻣﺘﺠﺎ ﺴﺔ وأﻳﻬﺎ ﻳﻤﺜﻞ ﻧﻈﺎم ﻣﻌﺎدﻻت ﺧﻄﻴﺔ
ﻣﻦ ا ﺼﻔﻮﻓﺔ
ا
5öﺫ æ0 ç ÷ ﺍ = ÷ç0 1 3 ÷ ç 3 1- 1 è ø æ 5 ç ﺫçç 15 è ﻞ
5ﺫ 0 5ﺫ = ٥ - = ( ٦ – ٥ ) ٣ﻵ ٠ﺉ ﺭ )ﺍ( = ٣ |ﺍ|= ٣= 0 1 3 1 3 3 1- 1 ﺫ 5 3 | ،ﺏ | = - 4 7ﺫ = ( ٢٤ – ٦٣ ) ٥ + ( ١٢ + ١٠٥ ) ٣ – ( ١٨ – ٦٠ ) ٢ 15 9 6
= ٧٢ -ﻵ ٠ﺉ ﺭ )ﺏ( = ٣
) (٥ﺗﻔﻜ ﻧﺎﻗﺪ :
أوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﻙ ا ﻘﻴﻘﻴﺔ
ﺎ ﻳﺄ :
öﺫ æ 3 1 ) (١إذا ﻧﺖ ﺍ = ÷÷ ﻙ ، çç 1 0و ﻧﺖ ﺭ )ﺍ( = ٢ ÷ ﺫ ç1- 4 è ø æ 1 3 1- ö ) (٢إذا ﻧﺖ ﺍ = ÷÷ 0ﻙ ﺫ ، ççو ﻧﺖ ﺭ )ﺍ( = ٣ ÷ ç4 1 3 è ø ا ﻞ
æ 7 - 6- 4ç ç 7- 3- 5 ﺫ ç 7 3-è æ 7ç ç 7ç 7 è 10ﺫ æç ç 841ﺫ ç è
ﻴﻊ ﺪدات ا رﺟﺔ ا ﺎﻧﻴﺔ = اﺻﻔﺎر ﺇ ﺭ )ﺏ( = ١
öﺫ 3 ÷ ،ا ﺼﻔﻮﻓﺔ ﺏ = ÷ 4 7 9 6 ÷ø
أﺣﺪﻫﻤﺎ ﻫﻮ ا ﻞ ا ﺼﻔﺮى
) (١ﺣﻞ ا ﻌﺎدﻻت اﻵﺗﻴﺔ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ا ﻌﻜﻮس ا
ﺫ 7 5 3
= ١١ – = ٢١ – ١٠ﻵ ٠ﺉ ﺭ )ﺍ( = ٢
) (٤أوﺟﺪ رﺗﺒﺔ
ا ﺼﻔﺮى .
ﻠﻤﺼﻔﻮﻓﺎت :
ﻣﻦ ا ﺼﻔﻮﻓﺎت اﻵﺗﻴﺔ :
) (١ﰈ ﺭ )ﺍ( = ٢ﺇ | ﺍ | = ﺻﻔﺮ ﺇ
ﺫ 3 1 ﻙ ٠= 1 0 ﺫ 1- 4
6 ﺇ – ﻙ )– ٠ = ( ٢ – ٨ ) × ١ – ( ١٢ – ١ﺇ ١٣ﻙ – ٠ = ٦ﺉ ﻙ = 13 1 3 1 0ﻙ ﺫ ﻵ٠ ) (٢ﰈ ﺭ )ﺍ( = ٣ﺇ | ﺍ | ﻵ ﺻﻔﺮ ﺇ 4 1 3
0ﺫ ﺇ ﻙ )– ( ٩ – ١ –) ٢ – ( ٣ – ٤ﻵ ٠ﺇ – ٧ﻙ ٢٠ +ﻵ ٠ﺇ ﻙ ﻵ 7
ﻏ ﻣﺘﺠﺎ ﺴﺔ :
١٩
ﻟﻸﺳﺘﺎﺫ ﺍﻟﻘﺪﻳﺮ /ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺪﻳﻦ ﻳﺤﻴﻰ ٠١١١٩٦٦٠٦١٦
ﺍﻟﺠﺒﺮ ﻭﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﺮﺍﻏﻴﺔ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ 0ﺫ
ﺇ ﻙ ﻱ{ 7 }–ò
) (٥أوﺟﺪ ا ﺼﻔﻮﻓﺔ ا ﻮﺳﻌﺔ
ﻣﻦ اﻷﻧﻈﻤﺔ اﻵﺗﻴﺔ :
) (١ﺣﻞ ا ﻌﺎدﻻت ا ﺼﻔﻮﻓﻴﺔ اﻵﺗﻴﺔ :
)ﺍ( ٢ﺱ ٣ +ﺹ = ٣ ، ٧ﺱ – ﺹ = ، ٥ﺱ – ﺹ = ١
ö æ 1 1 1öﺱ æ 1 ö æ ç ÷ =ç ÷ ç ÷ )ﺍ( ÷ ﺫ 3ﺫ ÷ çﺹ ç 0 ÷ ç ÷ ÷ ç 0 1 - 1ﻉ ç 3 ÷ ç è ø è øè ø öﺫ ö æ9 - 4 -ﺱ æ 1 ö æ ç ÷ =ç ÷ ç ÷ )ﺏ( ÷ 1 -ﺫ ÷ ç 3ﺹ ç 0 ÷ ç ÷ ç 9ﻉ ç1- ÷ ç 6 3 - ÷ø è ø è øè
) ﺏ( ٣ﺱ ٢ +ﺹ – ﻉ = ، ٤ﺱ +ﺹ +ﻉ = ، ٣ﺱ – ﻉ = ٠ ا ﻞ 3 öﺫ æ 4 1- öﺫ æ7 3 ç * ÷ ç * ÷ 3 1 1 1 = ﺏ ، ç ÷ ﺍ = ÷ ç 5 1- 3 ÷ ç 0 1- 0 1 ÷ ç 1 1- 1 è ø è ø
) (٤أوﺟﺪ رﺗﺒﺔ ا ﺼﻔﻮﻓﺔ ا ﻮﺳﻌﺔ
) (٢اﻛﺘﺐ ﺼﻔﻮﻓﺔ ﻮﺳﻌﺔ ﻈﺎم ا ﻌﺎدﻻت اﻵ ﺛﻢ ﺣﻞ ﻫﺬا
ﻣﻦ اﻷﻧﻈﻤﺔ :
ا ﻈﺎم ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﻃﺮ ﻘﺔ ﻣﻌﻜﻮس ا ﺼﻔﻮﻓﺔ ) إن أﻣ ﻦ ( :
)ﺍ( ٣ﺱ ٢ +ﺹ = ٢ ، ٤ﺱ ٣ +ﺹ = ٦ -
)ﺍ( ﺱ ٣ +ﺹ ٢ +ﻉ = ، ٠ﺱ +ﻉ = – ١
)ﺏ( ٣ﺱ – ٨ﺹ = ٩ ، ٢ﺱ ١٥ +ﺹ = ١٠
،ﺱ٢+ﺹ=٣
ا ﻞ
3ö ã ﺍ = ÷øﺫ 3ö ã ،ﺏ = 9 ÷ø
3ﺫ ﺫ æ 4 | ، çﺍ|= ﺫ 3 è6 - 3 ﺫ 8æ | ، çﺏ | = ١١٧ = ٧٢ + ٤٥ﻵ ٠ﺇ ﺭ )ﺏ٢ = (ã 10 15 è
)ﺏ( ٤ﺱ ٣ +ﺹ – ٥ﻉ = ٣ ، ٦ﺱ ٢ +ﺹ ٤ +ﻉ = ١٢
= ٥ = ٤ – ٩ﻵ ٠ﺇ ﺭ )ﺍ٢ = (ã
،ﺱ–ﺹ+ﻉ =٢ ) (٣أوﺟﺪ رﺗﺒﺔ
ً ً ّ ) (٦ﺑ أن ﻠﻨﻈﺎم اﻵ ﺣﻼ ﺻﻔﺮ ﺎ ﻓﻘﻂ :
æ 6- 3 ö æ0 1 3 ö ، çﺏ = ÷÷ -ﺫ ، çç 4 ﺍ= ÷ è4 1- 7 - ø ÷ ç10 - 5 è ø 3 1ö öﺫ æ1 3 ﺫ æ ç ، çد= ÷ ÷ ÷ 5 3ﺫç ÷ = xﺫ ç 1 1- ÷ 1ﺫ ç1 ÷ ﺫ ç1- 1 è ø è ø 1öﺫ ﻙ æ ً )) (٤أوﻻ( إذا ﻧﺖ ﺍ = ÷÷ ﺫ ، çç 4 1 -و ﻧﺖ ﺭ )ﺍ( = ٢ ÷ - 3ﺫ ç5 è ø
٢ﺱ+ﺹ –ﻉ = ، ٠ﺱ–ﻉ =٢ ، ٠ﺹ+ﻉ =٠ ا ﻞ ﺫ 1- 1
| ﺍ | = ١ = ١ – ٢ = ( ١ – ٠ ) + ( ١ + ٢ - ) ٢ - = 1- 0 1ﻵ ٠
0ﺫ
1
ﺇ ﺭ )ﺍ( = ، ٣ﰈ ﻧﻈﺎم ا ﻌﺎدﻻت ﻣﺘﺠﺎ ﺴﺔ ،ﺭ )ﺍ( = = ٣ﻋﺪد ا ﺠﺎﻫﻴﻞ
ﺇ ا ﻌﺎدﻻت ﺎ ا ﻞ ا ﺼﻔﺮى ﻓﻘﻂ وﻫﻮ ﺱ = ، ٠ﺹ = ، ٠ﻉ = ٠
) (٧ﺑ
ّ
أن ﻠﻨﻈﺎم ٢ :ﺱ ٣ +ﺹ ٥ +ﻉ = ٠
٧ ،ﺱ ٤ +ﺹ – ٢ﻉ = ٦ ، ٠ﺱ ٩ +ﺹ ١٥ +ﻉ = ٠ﻋﺪدا ً ﻻﻧﻬﺎﺋﻴﺎ ﻣﻦ ا ﻠﻮل واﻛﺘﺐ ﺻﻮرة ا ﻞ .
ً
أوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﻙ .
öﺫ æ 4 1- ً )ﺛﺎﻧﻴﺎ( إذا ﻧﺖ ب = ÷÷ ، çç 3 1 1و ﻧﺖ ﺭ )ب( = ٣ ÷ 1-ﻙ ç 0 è ø
ا ﻞ ﰈ |ﺍ|= ﺫ 3 4 7
ﺫ 5 3 - 4 7ﺫ = ) ٠ﻷن ﺹ ٣ = ٣ﺹ ، ( ١ 15 9 6
أوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﻙ ا ﻘﻴﻘﻴﺔ .
) (٥أوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ا ﺎﺑﺖ ﻙ ﺣ ﻳ ﻮن ﺠﻤﻮﻋﺔ ا ﻌﺎدﻻت :
= ١٣ - = ٢١ – ٨ﻵ ٠ﺇ ﺭ )ﺍ( = > ٢ﻋﺪد ا ﺠﺎﻫﻴﻞ ،
)ﻙ (٢+ﺱ ٣+ﺹ= ، ٩ﻙ ﺱ )+ﻙ –(٢ﺹ =٦ ً ً )ﺛﺎﻧﻴﺎ( ﻋﺪد ﻻﻧﻬﺎ ﻣﻦ ا ﻠﻮل . )أوﻻ( ﺣﻞ وﺣﻴﺪ . ً )ﺛﺎ ﺎ( ﻋﺪم وﺟﻮد ﺣﻞ .
ﰈ ﻧﻈﺎم ا ﻌﺎدﻻت ﻣﺘﺠﺎ ﺴﺔ ﺇ ﻠﻨﻈﺎم ﻋﺪد ﻻ ﻧﻬﺎ ﻣﻦ ا ﻠﻮل ﺑ ﻨﻬﻤﺎ ا ﻞ
ا ﺼﻔﺮى ،ﺑﻮﺿﻊ ﺱ = ل
ا ﻌﺎد
ﻣﻦ ا ﺼﻔﻮﻓﺎت اﻵﺗﻴﺔ :
اﻷو وا ﺎﻧﻴﺔ
ﺇ ل٣+ﺹ ٥+ﻉ =٧ ، ٠ل٤+ﺹ –٢ﻉ =٠
و ب اﻷو ٤وا ﺎﻧﻴﺔ ٣واﻟﻄﺮح ﺇ ٢٦ﻉ = ١٧ل ﺉ ﻉ = 17ل 6ﺫ و ﺎ ﻌﻮ ﺾ ا ﺎﻧﻴﺔ ﺇ ٧ل ٤ +ﺹ – 17ل = ٠ﺉ ﺹ = 37ل 6ﺫ 13 ﺇ ﺣﻞ ا ﻈﺎم ا ﺼﻮرة ) ل 37 ،ل 17 ،ل ( 6ﺫ 6ﺫ
٢٠
ﻟﻸﺳﺘﺎﺫ ﺍﻟﻘﺪﻳﺮ /ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺪﻳﻦ ﻳﺤﻴﻰ ٠١١١٩٦٦٠٦١٦
ﺍﻟﺠﺒﺮ ﻭﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﺮﺍﻏﻴﺔ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
ﻠﻌﻤﻠﻴﺔ ا ﺴﺎﺑﻴﺔ اﻟ ﺗﺮ ﺪ إﺟﺮاءﻫﺎ .
ﻧﺪﺧﻞ ﻧﻈﺎم ا ﺼﻔﻮﻓﺎت ) ( MATRIXﺑﺎ ﻀﻐﻂ ً أوﻻ :إدﺧﺎل ﺑﻴﺎﻧﺎت ا ﺼﻔﻮﻓﺔ اﻷو ): (A
) (٣ﻧﻀﻐﻂ ) (SHIFT 4ﻹﺳ ﺟﺎع ﺷﺎﺷﺔ اﻻﺧﺘﻴﺎر ﺛﻢ ﺘﺎر )(4
Mode 6
ﺛﻢ ﻧﻀﻐﻂ )=( ﻓﻴﻈﻬﺮ ﺎ ا ﺼﻔﻮﻓﺔ ﺟﻮاب اﻟﻌﻤﻠﻴﺔ ا ﻄﻠﻮ ﺔ .
) (٤ﻧﻀﻐﻂ ﻣﻔﺘﺎح ) (ACﻠﺨﺮوج
) (١ﻧﻀﻐﻂ اﻻﺧﺘﻴﺎر ) (1ﻹدﺧﺎل ﻋﻨﻮان ا ﺼﻔﻮﻓﺔ )(A
) (٢ﻧﻀﻐﻂ اﻻﺧﺘﻴﺎر ) (1ﻹﺧﺘﻴﺎر ﻧﻈﻢ ا ﺼﻔﻮﻓﺔ ٣ × ٣
) (٣ﻧﺪﺧﻞ
ﻣﻦ ﻋﻨﺎ
ﻋﻨ
وذ ﻚ ﺑ ﺘﺎﺑﺔ اﻟﻌﻨ ﻣﻦ
ﺣ ﻧﺘ
ﻋﻨﺎ
ا ﺼﻒ اﻷول )ﻣﻦ ا ﻤ
ﺛﻢ ا ﻀﻐﻂ
ا ﺼﻔﻮﻓﺔ .
ﻠ ﺴﺎر(
ﻋﻼﻣﺔ اﻟ ﺴﺎوى ﺑﻌﺪه ،
) (٤ﻧﻀﻐﻂ ﻣﻔﺘﺎح ) (ACﻠﺨﺮوج ً ﺛﺎﻧﻴﺎ :إدﺧﺎل ﺑﻴﺎﻧﺎت ا ﺼﻔﻮﻓﺔ ا ﺎﻧﻴﺔ ): (B
) (١ﻧﻀﻐﻂ ) (SHIFT 4ﻹﺳ ﺟﺎع ﺷﺎﺷﺔ اﻻﺧﺘﻴﺎر ﺛﻢ ﺘﺎر )(2
) (٢ﻧﻀﻐﻂ اﻻﺧﺘﻴﺎر ) (2ﻹدﺧﺎل ﻋﻨﻮان ا ﺼﻔﻮﻓﺔ ا ﺎﻧﻴﺔ ) (Bﺛﻢ ﺘﺎر ا ﻈﻢ ا ﻄﻠﻮب .
ا ﺼﻔﻮﻓﺔ ﻛﻤﺎ ﺳﺒﻖ ﺛﻢ ﻧﻀﻐﻂ ) (ACﻠﺨﺮوج .
) (٣ﻧﺪﺧﻞ ﻋﻨﺎ ً ﺛﺎ ﺎ :إ ﺎد ﻗﻴﻤﺔ ﺪد ا ﺼﻔﻮﻓﺔ |: |A
) (١ﻧﻀﻐﻂ ) (SHIFT 4ﻹﺳ ﺟﺎع ﺷﺎﺷﺔ اﻻﺧﺘﻴﺎر ﺛﻢ ﺘﺎر )(7 ) (detوﺗﻌ
ﺪد ا ﺼﻔﻮﻓﺔ .
) (٢ﻧﻀﻐﻂ ) (SHIFT 4ﻹﺳ ﺟﺎع ﺷﺎﺷﺔ اﻻﺧﺘﻴﺎر ﺛﻢ ﺘﺎر )(3 ﻹﺧﺘﻴﺎر ا ﺼﻔﻮﻓﺔ ) (Aﺛﻢ ﻧﻀﻐﻂ ﻋﻼﻣﺔ ﺴﺎوى ﻓﻴﻈﻬﺮ ﺎ ﻗﻴﻤﺔ ﺪد ا ﺼﻔﻮﻓﺔ )ﻳﻤ
أﺳﻔﻞ ا ﺸﺎﺷﺔ ( .
) (٣ﻧﻀﻐﻂ ﻣﻔﺘﺎح ) (ACﻠﺨﺮوج ً ﻠﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ): (A راﺑﻌﺎ :إ ﺎد ا ﻌﻜﻮس ا
) (١ﻧﻀﻐﻂ ) (SHIFT 4ﻹﺳ ﺟﺎع ﺷﺎﺷﺔ اﻻﺧﺘﻴﺎر ﺛﻢ ﺘﺎر )(3 ﺛﻢ ﻧﻀﻐﻂ ﻣﻔﺘﺎح ) ( X-1ﺛﻢ )=( ﻈﻬﺮ ﺎ ﺼﻔﻮﻓﺔ ا ﻌﻜﻮس ا
ﻼﺣﻈﺎت ﻫﺎﻣﺔ : ) (١ﻠﺤﺼﻮل
. ا ﺼﻔﻮﻓﺔ ا ﻠﺤﻘﺔ ﺍ ﻞ :
ﻧﻀﻐﻂ ا ﻔﺎﺗﻴﺢ ا ﺎ ﺔ =
)
3
7 SHIFT 4
ا ﻮا : SHIFT 4
× X -1
3
SHIFT 4
أو :ﻧ ب ا ﻌﻜﻮس × ﻗﻴﻤﺔ ﺪد ﺍ ﻣﺒﺎ ة . ) (٢إذا ﻗﻤﻨﺎ ﺑﺘﺪو ﺮ ا ﺼﻔﻮﻓﺔ ا ﻠﺤﻘﺔ ﺼﻞ ا ﺮاﻓﻘﺎت .
ﺼﻔﻮﻓﺔ
) (٣ﻠﺨﺮوج ﻣﻦ ﻧﻈﺎم ا ﺼﻔﻮﻓﺎت ﺘﺎر ). (MIDE 1 ً ﺧﺎ ﺴﺎ :إ ﺎد ﺣﺎﺻﻞ ب ا ﺼﻔﻮﻓﺘ ): (A×B ) (١ﻧﻀﻐﻂ ) (SHIFT 4ﻹﺳ ﺟﺎع ﺷﺎﺷﺔ اﻻﺧﺘﻴﺎر ﺛﻢ ﺘﺎر )(3 ً ) (٢ﻧ ﺘﺐ ﻋﻼﻣﺔ )×( أو ﻋﻼﻣﺔ )÷( أ ،ﻋﻼﻣﺔ ) (+أو )–( ﺗﺒﻌﺎ
٢١
ﻟﻸﺳﺘﺎﺫ ﺍﻟﻘﺪﻳﺮ /ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺪﻳﻦ ﻳﺤﻴﻰ ٠١١١٩٦٦٠٦١٦
ﺍﻟﺠﺒﺮ ﻭﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﺮﺍﻏﻴﺔ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
ﺣﻴﺚ ﺮ ﺰﻫﺎ ) ل ،ﻙ ،ﻥ ( ،وﻃﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮﻫﺎ ﻗﻖ
· ا ﻘﻄﺔ ) ﺱ ،ﺹ ( ٠ ،ﺗﻘﻊ · ا ﻘﻄﺔ ) ﺱ ، ٠ ،ﻉ ( ﺗﻘﻊ
· ا ﻘﻄﺔ ) ، ٠ﺹ ( ٠ ،ﺗﻘﻊ
ا ﺤﻮر ﺻﺺ
· ا ﻘﻄﺔ ) ﺍ ،ﺏ ،ﺝ ( :
ﺣﻴﺚ :ﺮ ﺰﻫﺎ ) -ل - ،ﻙ - ،ﻥ ( = ،ل + ٢ﻙ + ٢ﻥ – ٢ﻗﻖ ٢
ا ﺴﺘﻮى ﺱ ﻉ ا ى ﻣﻌﺎد ﻪ ﺹ = ٠
· ا ﻘﻄﺔ ) ، ٠ﺹ ،ﻉ ( ﺗﻘﻊ
· ا ﻘﻄﺔ ) ، ٠ ، ٠ﻉ ( ﺗﻘﻊ
ﺱ + ٢ﺹ + ٢ﻉ ٢ + ٢ل ﺱ ٢ +ﻙ ﺹ ٢ +ﻥ ﻉ ٠ = +
ا ﺴﺘﻮى ﺱ ﺹ ا ى ﻣﻌﺎد ﻪ ﻉ = ٠
ا ﺴﺘﻮى ﺹ ﻉ ا ى ﻣﻌﺎد ﻪ ﺱ = ٠
· ا ﻘﻄﺔ ) ﺱ ( ٠ ، ٠ ،ﺗﻘﻊ
ا ﺼﻮرة اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻌﺎدﻟﺔ ا ﻜﺮة :
ﻼﺣﻈﺎت
) (١ﻣﻌﺎ ﻞ ﺱ = ٢ﻣﻌﺎ ﻞ ﺹ = ٢ﻣﻌﺎ ﻞ ﻉ ١ = ٢
ا ﺤﻮر ﺳﺲ
) (٢ﻗﻖ = Ð üﺫ ; +ﺫ +ﻥﺫ ٠ < Ù -
ا ﺤﻮر ﻉ
) (٣ا ﻌﺎدﻟﺔ ﺧﺎ ﺔ ﻣﻦ ا ﺪود ا ﺤﺘﻮ ﺔ
Bﺫ Ü +ﺫ
) (١ﺑﻌﺪﻫﺎ ﻋﻦ ا ﺤﻮر ﺲ ﺳ = ü ) (٢ﺑﻌﺪﻫﺎ ﻋﻦ ا ﺤﻮر ﺻﺺ = ﺍﺫ Ü +ﺫ ü
· ا ﻜﺮة اﻟ ﺗﻤﺲ ﺴﺘﻮ ﺎت اﻹﺣﺪاﺛﻴﺎت ا ﻮﺟﺒﺔ وﻃﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮﻫﺎ ﻗﻖ ﻳ ﻮن ﺮ ﺰﻫﺎ ) ﻗﻖ ،ﻗﻖ ،ﻗﻖ ( .
اﻟﻔﺮاغ :
· اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑ
ﻌﻴ إﺣﺪاﺛﻴﺎت ا ﻘﻄﺔ ) ﺍ ،ﺏ ،ﺝ ( :ﺪد ا ﻘﻄﺔ ) ﺍ ،ﺏ (
ﺍﺏ =
اﻻ ﺎه
) (٢ﻡ ﻥ = ﻗﻖ – ١ﻗﻖ ٢
ﺫ
ﻃﻮل أى ﻗﻄﻌﺔ ﻣﻨﻬﻤﺎ = ﻤﻮع ﻃﻮ اﻟﻘﻄﻌﺘ اﻷﺧﺮﺗ ً · ﻹﺛﺒﺎت أن ﻣﻢ ﺍﺏ ﺝ ﻗﺎﺋﻢ ا ﺰاو ﺔ ﺏ )ﻣﺜﻼ( ﻧ ﺒﺖ أن :
) ﺍﺝ ( ) < ٢ﺍﺏ ( ) + ٢ﺏ ﺝ (٢
)ﺍ( ٣
)ب( ٤
ا ﻞ
)ﺝ(
(4) üﺫ (1) +ﺫ = ] /١٧
) (٢أﺛﺒﺖ أن ا ﻘﻂ :ﺍ ) ، ( ٠ ، ٤ ، ٤ﺏ ) ، ( ٤ ، ٠ ، ٤ﺝ ) ( ٤ ، ٤ ، ٠
ً ﺏ )ﻣﺜﻼ( ﻧ ﺒﺖ أن :
رؤوس ﺜﻠﺚ ﻣ ﺴﺎوى اﻷﺿﻼع ،وأوﺟﺪ ﺴﺎﺣﺘﻪ . ا ﻞ ﺍﺏ = (4 -4) üﺫ (0-4) +ﺫ (4 -0) +ﺫ = ٢] ٤وﺣﺪة ﻃﻮل
· ا ﻜﺮة :
،ﺏ ﺝ = (0-4) üﺫ (4 -0) +ﺫ (4 -4) +ﺫ = ٢] ٤وﺣﺪة ﻃﻮل
ﻤﻮﻋﺔ ﻧﻘﻂ اﻟﻔﺮاغ اﻟ ﺗﺒﻌﺪ ﻋﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﺛﺎﺑﺘﺔ ) ﺮ ﺰ ا ﻜﺮة ( ً ً ﺑﻌﺪا ﺛﺎﺑﺘﺎ ) ﻃﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ا ﻜﺮة ( .
· ﻣﻌﺎدﻟﺔ ا ﻜﺮة
ﺅﺉ ﻣﺘﻤﺎﺳ
ﻣﻦ ا اﺧﻞ
) (١أوﺟﺪ : ُ )ﺍ( ﺑﻌﺪ ا ﻘﻄﺔ ﺍ )– ( ٣ ، ٢ ، ١ﻋﻦ ا ﺴﺘﻮى اﻹﺣﺪا ﺱ ﺹ ُ )ﺏ( ﺑﻌﺪ ا ﻘﻄﺔ ب ) ( ١ ، ٢ – ، ٤ﻋﻦ ا ﺴﺘﻮى اﻹﺣﺪا ﺹ ﻉ ُ )ﺝ( ﺑﻌﺪ ا ﻘﻄﺔ ب ) ( ١ ، ٢ – ، ٤ﻋﻦ ا ﺤﻮر ﺹ
ﺝ = ﺍ ¤ +1¤ ö = B +ﺫ @ § § +1ﺫ @ ﻉ ¬ + 1ﺫ æ ﺫ ç ÷øﺫ ﺫ ﺫ è · ﻹﺛﺒﺎت أن ا ﻘﺎط ﺍ ،ﺏ ،ﺝ اﺳﺘﻘﺎﻣﺔ واﺣﺪة ﻧ ﺒﺖ أن :
· ﻹﺛﺒﺎت أن ﻣﻢ ﺍﺏ ﺝ ﻣﻨﻔﺮج ا ﺰاو ﺔ
ﺅﺉ ﻣﺘﻤﺎﺳ
ﻣﻦ ا ﺎرج
:
· إﺣﺪاﺛﻴﺎت ﻧﻘﻄﺔ ﺝ ﻣﻨﺘﺼﻒ ﻗﻄﻌﺔ ﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ﺍﺏ: /
) ﺍﺝ ( ) = ٢ﺍﺏ ( ) + ٢ﺏ ﺝ (٢
ﺧﻂ ا ﺮ ﺰ ﻦ وﻃﻮﻻ ﻧﺼ اﻟﻘﻄﺮ ﻦ اﺋﺮﺗ
) (١ﻡ ﻥ = ﻗﻖ + ١ﻗﻖ ٢
اﻟﻔﺮاغ ﺍ)ﺱ،١ﺹ،١ﻉ ، (١ﺏ )ﺱ،١ﺹ،١ﻉ : (١
ﺫ ¤ ) üﺫ § ) + ( 1¤ -ﺫ ( 1§ -ﺫ ¬ ) +ﺫ (1¬ -
ﺮ ﺰﻫﺎ ) ل ،ﻙ ،ﻥ ( وﺗﻤﺲ ا ﺴﺘﻮى ﺹ ﻉ ﻳ ﻮن
ﺮ ﺰﻫﺎ ) ل ، ( ٠ ، ٠ ،وﻃﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮﻫﺎ = | ل |
) (٦ﺑﻌﺪﻫﺎ ﻋﻦ ا ﺴﺘﻮى ﺱ ﺹ = | ﺝ |
· ا ﻌﺪ ﺑ ﻧﻘﻄﺘ
· ا ﻜﺮة اﻟ
ﺮ ﺰﻫﺎ ) ل ،ﻙ ،ﻥ ( وﺗﻤﺲ ا ﺴﺘﻮى ﺱ ﻉ ﻳ ﻮن
· ا ﻜﺮة اﻟ
) (٥ﺑﻌﺪﻫﺎ ﻋﻦ ا ﺴﺘﻮى ﺱ ﻉ = | ﺏ |
ا ﺴﺘﻮى ﺱ ﺹ ،ﺛﻢ ﻧﺘﺤﺮك ﺑﻌﺪد ﻣﻦ ا ﻮﺣﺪات = ﺝ ً ا ﻮﺟﺐ أو ا ﺴﺎﻟﺐ ﺤﻮر ﻉ ) ﺗﺒﻌﺎ ﻹﺷﺎرة ﺝ (
· ا ﻜﺮة اﻟ
ﺮ ﺰﻫﺎ ) ل ،ﻙ ،ﻥ ( وﺗﻤﺲ ا ﺴﺘﻮى ﺱ ﺹ ﻳ ﻮن
ﺮ ﺰﻫﺎ ) ، ٠ﻙ ، ( ٠ ،وﻃﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮﻫﺎ = | ﻙ |
) (٣ﺑﻌﺪﻫﺎ ﻋﻦ ا ﺤﻮر ﻉ = ü ) (٤ﺑﻌﺪﻫﺎ ﻋﻦ ا ﺴﺘﻮى ﺹ ﻉ = | ﺍ |
· ﺗﻌﻴ
ﺱﺹ،ﺹﻉ ،ﺱﻉ
ﺮ ﺰﻫﺎ ) ، ٠ ، ٠ﻥ ( ،وﻃﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮﻫﺎ = | ﻥ |
ﺍﺫ B +ﺫ
ﻮﺿﻊ ﻧﻘﻄﺔ
ا ﺼﻮرة اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻠﻜﺮة :
،ﺍﺝ = (0-4) üﺫ (4 -4) +ﺫ (4 -0) +ﺫ = ٢] ٤وﺣﺪة ﻃﻮل ﰈ ﺍﺏ = ﺏ ﺝ = ﺍﺝ ﺇ ﻣﻢ ﺍﺏ ﺝ ﻣ ﺴﺎوى اﻷﺿﻼع ﺇ ﺴﺎﺣﺔ ﻣﻢ ﺍﺏ ﺝ = × ٢] ٤ × ٢] ٤ × 1ﺟﺎ ٦٠ ﺫ = ٣] ٨وﺣﺪة ﺮ ﻌﺔ
اﻟﻔﺮاغ :
ا ﺼﻮرة اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ ﻌﺎدﻟﺔ ا ﻜﺮة :
) ﺱ – ل ( ) + ٢ﺹ – ﻙ ( ) + ٢ﻉ – ﻥ ( = ٢ﻗﻖ ٢
٢٢
ﻟﻸﺳﺘﺎﺫ ﺍﻟﻘﺪﻳﺮ /ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺪﻳﻦ ﻳﺤﻴﻰ ٠١١١٩٦٦٠٦١٦
ﺍﻟﺠﺒﺮ ﻭﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﺮﺍﻏﻴﺔ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ ) (٣أوﺟﺪ إﺣﺪاﺛﻴﺎت ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻨﺘﺼﻒ ﺝ /ﺣﻴﺚ ﺝ ) ، ( ٣ – ، ٤ ، ٠ . ( ٤ ، ٣ ، ٦ –)
ﺗﻔﻜ ﻧﺎﻗﺪ :إذا ﻧﺖ ﺝ ) ( ٦ ، ٢ ، ٢
ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻨﺘﺼﻒ ﺍﺏ/
) (١ا ﺸ
ﺣﻴﺚ ﺍ ) ( ٤ ، ٨ ، ٥ﻓﺎﻛﺘﺐ
ﺣﻴﺚ :ﺍ ) ( ٠ ، ٤ – ، ١أوﺟﺪ إﺣﺪاﺛﻴﺎت ﻧﻘﻄﺔ ﺏ .
إﺣﺪاﺛﻴﺎت ا ﻘﻂ :ﺏ ،ﺝ ،
ا ﻞ
Ù +Ü ﺑﻔﺮض ﻩ ﻣﻨﺘﺼﻒ ﺝ = / ﺫ (1 =) –، 7 ،٣ ﺫ ﺫ ﺍB+ ﺇ ﺏ =٢ﺝ – ﺍ =(٠،٤– ،١)– (٦ ،٢،٢)٢ ﺗﻔﻜ ﻧﺎﻗﺪ :ﰈ ﺝ = ﺫ
=
)-0ﺫ+ 4 @ 6ﺫ 3 - @ 3ﺫ(4 +
= ) ( ١٢ ، ٨ ، ٣ ) = ( ٠ ، ٤ ، ١ –) + ( ١٢ ، ٤ ، ٤
) (٤أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ا ﻜﺮة اﻟ
ﺮ ﺰﻫﺎ ﻧﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ وﻃﻮل ﻧﺼﻒ
ﻗﻄﺮﻫﺎ ٥وﺣﺪات .
،ﺏ).(٦،٢–،٣
ﻗﻴﻤﺔ :ﻙ +ﻡ – ﻥ ) (٥أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ا ﻜﺮة اﻟ :
)ﺝ(
)(
:
) (٦ﻋ
ا ﻞ
) ﺱ – ) + ٢( ٢ﺹ ) + ٢( ٣ +ﻉ – ٣٠ = ٢( ١
) (٧إذا ﻧﺖ :ﺍ ﻱ ﻮر ﺳﺲ ،ﺏ ﻱ ﻮر ﺻﺺ ،ﺝ ﻱ ﻮر ﻉ ، و ﻧﺖ ا ﻘﻄﺔ ) ( ٠ ، ١ – ، ١ﻣﻨﺘﺼﻒ ﺍﺏ ، /وا ﻘﻄﺔ
) ( ٢ ، ١ – ، ٠ﻣﻨﺘﺼﻒ ﺏ ﺝ /أوﺟﺪ إﺣﺪاﺛﻴﺎت ﻣﻨﺘﺼﻒ ﺍﺝ. /
) (٨إذا ﻧﺖ ا ﻜﺮﺗﺎن ) ﺱ – + ٢( ١ﺹ ) + ٢ﻉ – ، ١ = ٢( ٢ ) ﺱ ) + ٢( ١ +ﺹ – ) + ٢( ٢ﻉ – ﻙ ( ٢٥ = ٢ﻣﺘﻤﺎﺳ
ﻓﺄوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﻙ .
ا ﻞ ﺇ ﺹ ٥ _ = ٣ +ﺇ ﺹ = ٢ = ٣ – ٥أ ،ﺹ = – ٨ – = ٣ – ٥
ﺮ ﺰ وﻃﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ا ﻜﺮة اﻟ ﻣﻌﺎد ﻬﺎ :
)ﺝ( ﺱ + ٢ﺹ + ٢ﻉ ٢ – ٢ﺱ ٤ +ﺹ = ٠
ﺍ ،ﺏ أوﺟﺪ ﻃﻮل ﺍﺏ. /
ﺑﻮﺿﻊ ﺱ = ، ٠ﻉ = ٠ﺉ ) + ٤ص ٣٠ = ١ + ٢( ٣ +ﺇ ) ﺹ ٢٥ = ٢( ٣ +
ّ
ا ﻮﺟﺒﺔ .
)ﺏ( ﺱ + ٢ﺹ + ٢ﻉ ٦ = ٢ﻉ
ﺮ ﺰ ا ﻜﺮة ﻫﻮ ) – ، ( ٢ – ، ٤ ، ٣ﻖ ﻗ = /٢٨] = 1-4 +16 + 9 üوﺣﺪة
) (٧إذا ﻗﻄﻊ ا ﺤﻮر ﺻﺺ ا ﻜﺮة اﻟ ﻣﻌﺎد ﻬﺎ :
ﺮ ﺰﻫﺎ ) ( ٠ ، ٤ ، ٠وﺗﻤﺲ ا ﺴﺘﻮى اﻻﺣﺪا
ﺱﻉ .
)ﺍ( ﺱ + ٢ﺹ + ٢ﻉ ٤ + ٢ﺱ – ٢ﺹ – ٦ﻉ ٠ = ١١ +
ﺮ ﺰ وﻃﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ا ﻜﺮة اﻟ ﻣﻌﺎد ﻬﺎ :
ﺱ + ٢ﺹ + ٢ﻉ ٦ + ٢ﺱ – ٨ﺹ ٤ +ﻉ ٠ = ١ +
ﺮ ﺰﻫﺎ ) ( ١ ، ٦ – ، ١وﺗﻤﺮ ﺑﺎ ﻘﻄﺔ ) . ( ٥ ، ١ – ، ٢
)ﻩ( ﻃﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮﻫﺎ ٣وﺗﻤﺲ ﺴﺘﻮ ﺎت اﻹﺣﺪاﺛﻴﺎت
:ﺱ + ٢ﺹ + ٢ﻉ ٢ – ٢ﺱ – ٢ﺹ – ٨ﻉ – ٠ = ١ اﺋﺮة
ﺮ ﺰﻫﺎ ا ﻘﻄﺔ ) ( ٤ ، ١ – ، ٢وﻃﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮﻫﺎ . ٣
)ﺏ( ) ( ١ ، ٢ ، ٠ ) ، ( ٣ – ، ٤ ، ٣ﻧﻬﺎﻳﺘﺎ ﻗﻄﺮ ﻓﻴﻬﺎ .
أى :ﺱ + ٢ﺹ + ٢ﻉ ٢ – ٢ﺱ – ٢ﺹ – ٨ﻉ – ٠ = ١
ا ﻘﻄﺘ
ﺳﺲ
،ﺏ).(٤،١–،٤
)ﺍ(
أى :ﺱ + ٢ﺹ + ٢ﻉ ٢ – ٢ﺱ – ٢ﺹ – ٨ﻉ ٠ = ١٧ – ١٦ + ١ + ١ +
) (٦ﻋ
) (٣أوﺟﺪ إﺣﺪاﺛﻴﺎت ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻨﺘﺼﻒ ﺍﺏ /ﺣﻴﺚ ﺍ ) ( ٢ ، ٣ – ، ١
١ = ١٧ – ٢(٤) + ٢(١) + ٢(١) =
ّ
ﺍ
/
/
وأوﺟﺪ ﺴﺎﺣﺘﻪ .
ﻗ = ﻡ ﺍ = (1+1) üﺫ (4 -1) +ﺫ -4) +ﺫ( ﺫ = ]/ ١٧ ،ﻖ
) ﺱ – ) + ٢( ١ﺹ – ) + ٢( ١ﻉ ١٧ = ٢( ٤ -
/
ﺏ )– ، ( ٢ ، ٤ ، ٤ﺝ )– ( ١ ، ٥ ، ٢ﻫﻮ ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ا ﺰاو ﺔ ،
=)(٤،١،١
ﺣﻞ آﺧﺮ ) ﺑﺪون ﺣﺴﺎب : ( ا ﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ
و
) (٢أﺛﺒﺖ أن ا ﺜﻠﺚ ا ى رؤوﺳﻪ ا ﻘﻂ ﺍ ) ، ( ٣ ، ١ – ، ٢
ا ﻞ
ﺇ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ا ﻜﺮة
ﺏ
ﺍ
ﺍ ) ﻙ – ، ١ – ، ٢ﻡ ، ( ٣ +ﺏ ) ، ٢ﻥ – ( ٢ – ، ٧ﻓﺄوﺟﺪ
ﺍﺏ /ﻗﻄﺮ ﻓﻴﻬﺎ ﺣﻴﺚ ﺍ )– ( ٢ ، ٤ ، ١
ﺍB+ ﺮ ﺰ ا ﻜﺮة )ﻡ( ﻫﻮ ﻣﻨﺘﺼﻒ ﺍﺏ= / ﺫ
ﺻﺺ
،ﺍ ، /ﺏ. / ، /
:ﺱ + ٢ﺹ + ٢ﻉ ٢٥ = ٢
) (٥أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ا ﻜﺮة اﻟ
ﺏ
ﺝ
) (٤إذا ﻧﺖ :ﺝ )– ( ٥ – ، ٦ ، ١ﻣﻨﺘﺼﻒ ﺍﺏ /ﺣﻴﺚ :
ا ﻞ
ﻣﻌﺎدﻟﺔ ا ﻜﺮة
ا ﺠﺎور ﻳﻤﺜﻞ ﻣﺘﻮازى ﺴﺘﻄﻴﻼت
ﻉ
) (٩إذا ﻗﻄﻊ ا ﺤﻮر ﺳﺲ ا ﻜﺮة اﻟ ﻣﻌﺎد ﻬﺎ :
) ﺱ – ) + ٢( ٢ﺹ ) + ٢( ٣ +ﻉ – ١٤ = ٢( ١
ﺇ ﺍ = ) ، ( ٠ ، ٢ ، ٠ﺏ = ) ( ٠ ، ٨ – ، ٠ﺉ ﺍﺏ = ١٠ = ٨ + ٢وﺣﺪات ﻃﻮل
ا ﻘﻄﺘ
ﺍ ،ﺏ أوﺟﺪ ﻃﻮل ﺍﺏ. /
٢٣
ﻟﻸﺳﺘﺎﺫ ﺍﻟﻘﺪﻳﺮ /ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺪﻳﻦ ﻳﺤﻴﻰ ٠١١١٩٦٦٠٦١٦
ﺍﻟﺠﺒﺮ ﻭﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﺮﺍﻏﻴﺔ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
· ﻣﻌﻴﺎر ا ﺘﺠﻪ :ﻫﻮ ﻃﻮل اﻟﻘﻄﻌﺔ ا ﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ا ﻮﺟﻬﻪ ا ﻤﺜﻠﺔ ﻠﻤﺘﺠﻪ
ﻓﺈذا ن ﺍ ﰒ= ) ﺍﺱ ،ﺍﺹ ،ﺍﻉ ( ﻓﺈن || :ﺍ ﰒ|| = ü · ﻊ ا ﺘﺠﻬﺎت :
hﺫ h +ﺫ h +ﺫ § ¤ﻉ
إذا ن ﺍ ﰒ= ) ﺍﺱ ،ﺍﺹ ،ﺍﻉ ( ،ﺏ ﰒ= ) ﺏﺱ ،ﺏﺹ ،ﺏﻉ ( ﻓﺈن : ﺝ ﰒ = ﺍ ﰒ +ﺏ ﰒ= ) ﺍﺱ +ﺏﺱ ،ﺍﺹ +ﺏﺹ ،ﺍﻉ +ﺏﻉ (
·
)ﺍ( ﺍﺱ +ﺏﺹ
)ﺝ( || ﺍ ﰒ +ﺏ ﰒ || )ﺍ( ﺍﺱ +ﺏﺹ = – = ١ + ١ﺻﻔﺮ
إذا ن ﺍ ﰒ= ) ﺍﺱ ،ﺍﺹ ،ﺍﻉ ( ﻱ ، ٣òﻙ ﻱ ò
ﺉ || ﺍ ﰒ +ﺏ ﰒ|| = ) üﺫ( ﺫ (5) +ﺫ ) +ﺫ( ﺫ = ]/ ٣٣
ﻓﺈن :ﻙ ﺍ ﰒ= ﻙ ) ﺍ ،ﺍ ،ﺍ ( = )ﻙ ﺍ ،ﻙ ﺍ ،ﻙ ﺍ ( ﻱ ٣ò ﻉ ﺹ ﺱ ﺱ ﺹ ﻉ
) (٢إذا ن ﺝ ﰒ = ) ، ( ١ ، ٣ – ، ٢ﰒ= ) ( ٢ – ، ٢ ، ٠
)ﺍ( أوﺟﺪ ٥ﺝ ﰒ – ٢ﰒ ﺑﺪﻻﻟﺔ ﻣﺘﺠﻬﺎت ا ﻮﺣﺪة اﻷﺳﺎﺳﻴﺔ
ﻻﺣﻆ أن || :ﻡ ﺍ ﰒ || = | ﻡ | || .ﺍ ﰒ ||
)ﺏ( إذا ن ٣ﺍ ﰒ – ٤ﰒ = ﺝ ﰒ ﻓﺄوﺟﺪ ﺍ ﰒ
· ﺴﺎوى ا ﺘﺠﻬﺎت :
إذا ن ﺍ ﰒ= ) ﺍﺱ ،ﺍﺹ ،ﺍﻉ ( ،ﺏ ﰒ= ) ﺏﺱ ،ﺏﺹ ،ﺏﻉ ( ﻓﺈن : ﺍ ﰒ= ﺏ ﰒ ﺅﺉ ﺍﺱ = ﺏﺱ ،ﺍﺹ = ﺏﺹ ،ﺍﻉ = ﺏﻉ
ا ﻞ
)ﺍ( ٥ﺝ ﰒ – ٢ﰒ= = ( ٢ – ، ٢ ، ٠ ) ٢ – ( ١ ، ٣ – ، ٢ ) ٥
ﺳ ﰒ– ١٩ﺻﺺ ﰒ ٩ +ﻉ ﰒ ) ١٠ = ( ٩ ، ١٩ - ، ١٠ ) = ( ٤ ، ٤ – ، ٠ ) + ( ٥ ، ١٥ – ، ١٠ﺲ
· ﻣﺘﺠﻪ ا ﻮﺣﺪة :ﻫﻮا ﺘﺠﻪ ا ى ﻣﻌﻴﺎرة وﺣﺪة اﻷﻃﻮال .
)ﺏ( ٣ﺍ ﰒ= ﺝ ﰒ ٤ +ﰒ= ) + ( ١ ، ٣ – ، ٢ ) = ( ٢ – ، ٢ ، ٠ ) ٤ + ( ١ ، ٣ – ، ٢
ﺳ ﰒ ،ﺻﺺ ﰒ ،ﻉ ﰒ ( : · ﻣﺘﺠﻬﺎت ا ﻮﺣﺪة اﻷﺳﺎﺳﻴﺔ ) ﺲ
ﺳ ﰒ= ) ، ( ٠ ، ٠ ، ١ﺻﺺ ﰒ = ) ، ( ٠ ، ١ ، ٠ﻉ ﰒ= ) ( ١ ، ٠ ، ٠ ﺲ
) ( ٧ – ، ٥ ، ٢ ) = ( ٨ – ، ٨ ، ٠ﺇ ﺍ ﰒ= ) ﺫ ( 1 ، 5 ، 3 3 3
) (٣إذا ن ) ٢ﺱ ، ٥ ، ١ +ﻙ ، ١ –) = ( ٤ +ﺹ ، ٤ – ٢ﺱ ( ١ +
ﺳ ﰒ || = || ﺻﺺ ﰒ || = || ﻉ ﰒ || = ١ ﻻﺣﻆ أن || :ﺲ
ﻓﻤﺎ ﻗﻴﻤﺔ ﺱ ،ﺹ ،ﻙ ؟
· ا ﻌﺒ ﻋﻦ أى ﻣﺘﺠﻪ ﺑﺪﻻﻟﺔ ﻣﺘﺠﻬﺎت ا ﻮﺣﺪة اﻷﺳﻴﺎﺳﻴﺔ :
ا ﻞ
ﺳ ﰒ +ﺍﺹ ﺻﺺ ﰒ +ﺍﻉ ﻉ ﰒ ﺍ ﰒ= ) ﺍﺱ ،ﺍﺹ ،ﺍﻉ ( = ﺍﺱ ﺲ
٢ﺱ ١ – = ١ +ﺉ ﺱ = – ، ١ﺹ ٥ = ٤ – ٢ﺇ ﺹ٩ = ٢ ﺉ ﺹ = _ ، ٣ﺱ = ١ +ﻙ ٤ +ﺇ – = ١ + ١ﻙ ٤ +ﺉ ﻙ = – ٤
· ا ﻌﺒ ﻋﻦ ﻗﻄﻌﺔ ﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ﻮﺟﻬﻪ ﺑﺪﻻﻟﺔ إﺣﺪاﺛﻴﺎت ﻃﺮﻓﻴﻬﺎ :
ﺳﰒ ) (٤إذا ن ﺍ ﰒ= – ٣ﺻﺺ ﰒ– ﻉ ﰒ ٥ +ﺲ
ﺍﺏ ﰒ = ﺏ ﰒ– ﺍ ﰒ ) إﺣﺪاﺛﻴﺎت ا ﻬﺎﻳﺔ – إﺣﺪاﺛﻴﺎت ا ﺪاﻳﺔ (
· ﻣﺘﺠﻪ ا ﻮﺣﺪة
· زواﻳﺎ اﻻ ﺎه ﺘﺠﻪ ﺍ ﰒ :
¢
ﺍ
PﺍP
و =)
ﺍﺱ ﰒ
،
ﺍﺹ ﰒ
|| ﺍ ﰒ|| || ﺍ ﰒ||
،
ﺍﻉ ﰒ
)ﺍ( || ٣ﺍ ﰒ – ٥ﺏ ﰒ ||
ﺍﺱ ﰒ
ﺹ
ﺍ
ﺹ
ا ﺎه ﺍ ﰒ
|| ﺍ ﰒ||
)ﺍ( ٣ﺍ ﰒ ٥ -ﺏ ﰒ= ( ٢ – ، ٠ ، ٣ ) ٥ – ( ١ – ، ٣ – ، ٥ ) ٣
ﺍ
ﺍ ﰒ
= ) ( ١ – ، ٩ – ، ٠ﺇ || ٣ﺍ ﰒ– ٥ﺏ ﰒ|| = ]/ ٨٢
ﻉ
θ θ θﺹ ﺱ ﺍ ﺱ ﻉ
)ﺏ( ﺍ ﰒ– ﺏ ﰒ= ) ( ١ ، ٣ – ، ٢ ) = ( ٢ – ، ٠ ، ٣ ) – ( ١ – ، ٣ – ، ٥ ﺇ || ﺍ ﰒ– ﺏ ﰒ|| = ) üﺫ( ﺫ (3 - ) +ﺫ (1) +ﺫ = ]/ ١٤
)) (٥ﺍ( إذا ن ﺍ ) ، ( ٠ ، ٣ – ، ٢ﺏ ) ( ١ – ، ٤ ، ١أوﺟﺪ ﺍﺏ ﰒ
ﺱ
)ﺏ( إذا ن ﺍ ) ، ( ٢ – ، ١ ، ١ﺍﺏ ﰒ= ) ( ٢ ، ١ – ، ٤أوﺟﺪ
(
إﺣﺪاﺛﻴﺎت ﻧﻘﻄﺔ ﺏ .
ﺇ ﺍ ﰒ= ) || ﺍ ﰒ|| ﺟﺘﺎ θﺱ || ،ﺍ ﰒ|| ﺟﺘﺎ θﺱ || ،ﺍ ﰒ|| ﺟﺘﺎ θﺱ (
)ﺝ( إذا ن :ﺍﺏ ﰒ = ٣ -ﺳﺲ ﰒ ٣ +ﺻﺺ ﰒ ٧ +ﻉ ﰒ ،
ﺇ ﺍ ﰒ= || ﺍ ﰒ|| ) ﺟﺘﺎ θﺱ ،ﺟﺘﺎ θﺱ ،ﺟﺘﺎ θﺱ ( و
ﻮن :ﺟﺘﺎθ ٢ﺱ +ﺟﺘﺎθ ٢ﺹ +ﺟﺘﺎθ ٢ﻉ = ١
)ﺏ( || ﺍ ﰒ – ﺏ ﰒ || ا ﻞ
ﻉ
|| ﺍ ﰒ||
· ﺟﻴﻮب ﺗﻤﺎم اﻻ ﺎه ﺘﺠﻪ :
ﺮ ﺒﺎت ﻣﺘﺠﻪ ا ﻮﺣﺪة
ﺳ ﰒ أوﺟﺪ : ،ﺏ ﰒ= – ٢ﻉ ﰒ ٣ +ﺲ
¢
ﻗﻴﺎﺳﺎت ا ﺰواﻳﺎ ) θﺱ θ ،ﺹ θ ،ﻉ (
) ﺟﺘﺎ θﺱ ،ﺟﺘﺎ θﺹ ،ﺟﺘﺎ θﻉ (
ا ﻞ
|| ،ﺏ ﰒ|| = (3 ) üﺫ (1) +ﺫ (0) +ﺫ = ]/ ١٠ ،ﺍ ﰒ +ﺏ ﰒ= ) – ( ٢ ، ٥ ، ٢ ) = ( ٠ ، ١ ، ٣ ) + ( ٢ ، ٤ ، ١
ﻋﺪد ﺣﻘﻴ :
ا ﺎه ﺍ ﰒ :ى ﺍ ﰒ=
)ﺏ( || ﺍ ﰒ || || +ﺏ ﰒ ||
)ﺏ( || ﺍ ﰒ|| = (1- ) üﺫ (4) +ﺫ ) +ﺫ( ﺫ = ]/ ٢١
ﻻﺣﻆ أن || :ﺍ ﰒ +ﺏ ﰒ || ﲪﺲ || ﺍ ﰒ || || +ﺏ ﰒ || ب ﻣﺘﺠﻪ
) (١إذا ن ﺍ ﰒ= )– ، ( ٢ ، ٤ ، ١ﺏ ﰒ= ) ( ٠ ، ١ ، ٣أوﺟﺪ :
ﺏ ﺝ ﰒ= ﺻﺺ ﰒ ٥ +ﻉ ﰒ ﻓﺄوﺟﺪ || ﺍﺝ ﰒ || . ا ﻞ
)ﺍ( ﺍﺏ ﰒ= ﺏ ﰒ– ﺍ ﰒ= ) ( ١ – ، ٧ ، ١ –) = ( ٠ ، ٣ ، ٢ –) + ( ١ – ، ٤ ، ١
٢٤
ﻟﻸﺳﺘﺎﺫ ﺍﻟﻘﺪﻳﺮ /ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺪﻳﻦ ﻳﺤﻴﻰ ٠١١١٩٦٦٠٦١٦
ﺍﻟﺠﺒﺮ ﻭﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﺮﺍﻏﻴﺔ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ )ﺏ( ﺍﺏ ﰒ = ﺏ ﰒ– ﺍ ﰒ ﺉ ﺏ ﰒ= ﺍﺏ ﰒ +ﺍ ﰒ= ) ( ٢ – ، ١ ، ١ ) + ( ٢ ، ١ – ، ٤
ﻣﻊ اﻻ ﺎﻫﺎت ا ﻮﺟﺒﺔ ﺤﺎور اﻹﺣﺪاﺛﻴﺎت .
)ﺝ( ﺍ ﺝ ﰒ= ﺍﺏ ﰒ +ﺏ ﺝ ﰒ = )– ( ١٢ ، ٤ ، ٣ –) = ( ٥ ، ١ ، ٠ ) + ( ٧ ، ٣ ، ٣
اﻻ ﺎه ا ﻮﺟﺐ ﻠﻤﺤﻮر ﺻﺺ ﺴﺎوى ٥٤٥ﻓﺄوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﻙ
= ) ٥ = ( ٠ ، ٠ ، ٥ﺳﺲ ﰒ
ﺇ || ﺍﺏ ﰒ +ﺏ ﺝ ﰒ|| = || ﺍ ﺝ ﰒ|| = (3 - ) üﺫ (4) +ﺫ ) +ﺫ(1 ا ﺎه
) (٦أوﺟﺪ ﻣﺘﺠﻪ ا ﻮﺣﺪة
ﺫ
) (٦إذا ن ﻗﻴﺎس ا ﺰاو ﺔ اﻟ ﻳﺼﻨﻌﻬﺎ ﺍ ﰒ= ) ، ٤ ، ٢ﻙ ( ﻣﻊ
= ١٣
) (٧إذا ن ا ﺘﺠﻪ ﺍ ﰒ ﻳﺼﻨﻊ ﻣﻊ ﺎور اﻹﺣﺪاﺛﻴﺎت ا ﻮﺟﺒﺔ ﺳﺲ ،
ﻣﻦ ا ﺘﺠﻬﺎت اﻵﺗﻴﺔ :
ﺻﺺ ،ﻉ زواﻳﺎ ﻗﻴﺎﺳﺎﺗﻬﺎ θ ، ٥٨٠ ، ٥٦٠ﺣﻴﺚ θزاو ﺔ ﺣﺎدة .
ﺳ ﰒ – ٢ﺻﺺ ﰒ – ﻉ ﰒ ﺍ ﰒ= ) ، ( ٨ – ، ٤ – ، ٨ﺏ ﰒ= ﺲ
ﺳ ﰒ – ٤ﻉ ﰒ ،ﺝ ﰒ= ٣ﺲ
)ﺍ( أوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ . θ
)ﺏ( اﻛﺘﺐ ا ﺼﻮرة ا
ا ﻞ
|| ﺍ ﰒ || = . ١٣
|| ﺍ ﰒ|| = ( 8) üﺫ (4 - ) +ﺫ ( 8 - ) +ﺫ = ١٢ ﺇ ىﺍ ﰒ = ) = ( ٨ – ، ٤ – ، ٨ ) 1ﺫ – ، 1 – ،ﺫ ( 3 3 3 ﺫ1
) (٨أوﺟﺪ ﺮ ﺒﺎت اﻟﻘﻮة ﻕ ﰒ
) (٧ا ﺸ ا ﻘﺎﺑﻞ ﻳﻤﺜﻞ ﻗﻮة ﻕ ﰒ ﻣﻘﺪارﻫﺎ ٢٠٠ﻧﻴﻮﺗﻦ ﺔ. )ﺍ( ﻋ ّ ﻋﻦ اﻟﻘﻮة ﻕ ﰒ ﺑﺎ ﺼﻮرة ا ﻠﻘﻮة ﻕ ﰒ .
٤ﻡ
ﻕ ﰒ
· ﺮ ﺒﺔ ا ﺘﺠﻪ ﺍ ﰒ = || ﺍ ﰒ|| ﺟﺘﺎ θ
٣ﻡ
· ا
ﺱ
ا ﻞ
ً ً )ﺍ( ﺑﻔﺮض ﺍ ﰒ ﻳﻤﺜﻞ اﻟﻘﻄﺮ ﺗﻤﺜﻴﻼ ﺗﺎﻣﺎ ﺇ ﺍ ﰒ= ) ( ٥ ، ٤ ، ٣
و ﺱ
ﺍ ﰒ
ﺘﺠﻬ
) ﺍ ﰒّ ﺏ ﰒ(:
ﺏ ﰒ
ﺍ ﰒ ّ ﺏ ﰒ= || ﺍ ﰒ|| || ﺏ ﰒ|| ﺟﺘﺎ = θﻛﻤﻴﺔ ﻗﻴﺎﺳﻴﺔ
θ || ﺍ ﰒ||ﺟﺘﺎ θ
ﺐ أن ﻳ ﻮن ا ﺘﺠﻬﺎن
(
ﻮﺟﺐ q Üﺣﺎدة
ï ﺍ ﰒ ّ ﺏ ﰒ= ) 0> ýﺳــﺎﻟﺐ ( q Üﻣﻨﻔﺮﺟـــﺔ ï 0= ï q Üﻗﺎﺋﻤــﺔ þ ﺍ ﰒ ّ ﺍ ﰒ = || ﺍ ﰒ||٢
·
· ﺣﺎﺻﻞ ا
ب اﻟﻘﻴﺎ
ﺘﺠﻬﺎت ا ﻮﺣﺪة اﻷﺳﺎﺳﻴﺔ :
ﺳ ﰒ = ﺻﺺ ﰒ ّ ﺻﺺ ﰒ = ﻉ ﰒ ّ ﻉ ﰒ= ١ ﺳﺲ ﰒ ّ ﺲ
ﺳﰒّ ﻉ ﰒ ﺳ ﰒ = ﺻﺺ ﰒ ّ ﻉ ﰒ= ﻉ ﰒ ّ ﺻﺺ ﰒ = ﺲ ،ﺳﺲ ﰒ ّ ﺻﺺ ﰒ = ﺻﺺ ﰒ ّ ﺲ ﺳ ﰒ = ﺻﻔﺮ = ﻉ ﰒّ ﺲ
ﺍ ﰒ +ﺏ ﰒ ّ ) (٢ﺑ أى ا ﺘﺠﻬﺎت اﻵﺗﻴﺔ ﻳﻤﺜﻞ ﻣﺘﺠﻪ وﺣﺪة :
5S - 4 1 ،ﺏ ﰒ =) ، ، 5 5 5
ب اﻟﻘﻴﺎ
ا ﺎه ا ﺘﺠﻪ ﺏ ﰒ
) 0< üï
·
) (١إذا ن ﺍ ﰒ= ) ، ( ٠ ، ٤ – ، ٤ﺏ ﰒ= )– ( ٢ ، ٥ ، ١أوﺟﺪ
· ا (
)ا( أوﺟﺪ ٥ :ﺝ ﰒ – ٢ﰒ .
)ب( إذا ن ٣ :ﺍ ﰒ – ٤ﰒ = ﺝ ﰒ ﻓﺄوﺟﺪ ﺍ ﰒ .
ب اﻟﻘﻴﺎ
ﺘﺠﻬ
ا ﻈﺎم اﻹﺣﺪا ا ﺘﻌﺎﻣﺪ :
إذا ن :ﺍ ﰒ= ) ﺍﺱ ،ﺍﺹ ،ﺍﻉ ( ،ﺏ ﰒ= ) ﺏﺱ ،ﺏﺹ ،ﺏﻉ ( ﻓﺈن : ﺍ ﰒ ّ ﺏ ﰒ= ﺍﺱ ﺏﺱ +ﺍﺹ ﺏﺹ +ﺍﻉ ﺏﻉ
) (٣إذا ن :ﺝ ﰒ = ) ، ( ١ ، ٣ – ، ٢ﰒ = ) ( ٢ – ، ٢ ، ٠
) (٤أوﺟﺪ ﻣﺘﺠﻪ ا ﻮﺣﺪة
ﻕ ﰒ
ﻻﺣﻆ أﻧﻪ ﺤﺪﻳﺪ ا ﺰاو ﺔ ﺑ ً ً ﺧﺎرﺟ ﻣﻌﺎ أو داﺧﻠ ﻣﻌﺎ ﻔﺲ ا ﻘﻄﺔ θ ،ﻱ ] ، ٠ﺑﺐ [
3 3 3
٢ﻡ ﺹ
ﻣﺘﺠﻬ
ﺇ || ﺍ ﰒ|| = (3 ) üﺫ (4) +ﺫ (5) +ﺫ = ٢] ٥ ﺇ ى ﺍ ﰒ= ) ( 5 ، 4 ، 3ﺇ S 5ﺫ S 5ﺫ S 5ﺫ ﻕ ﰒ= ٢] ٦٠ = ( 5 ، 4 ، 3 ) ٢٠٠ﺳﺲ ﰒ ٢] ٨٠ +ﺻﺺ ﰒ ٢] ١٠٠ +ﻉ ﰒ S 5ﺫ S 5ﺫ S 5ﺫ 4 ٥ / ١٥ = ٥٥ ٣٣ )ﺏ( θﺱ = ﺟﺘﺎθ ، ٦٤ / ٥٤ = 3 ١ -ﺹ = ﺟﺘﺎ S 5ﺫ S 5ﺫ ٥ θ ،ﻉ = ﺟﺘﺎ٤٥ = 5 ١ - S 5ﺫ
ﺍ ﰒ=) ، 1ﺫ ،ﺫ (
٤ﻡ
ﻉ
ﻉ
٥ﻡ
ﺹ
ﺍ ٣ﻡ
اﻟ ﻣﻘﺪارﻫﺎ /٢٩] ١٢
|| ،ﺏ ﰒ|| = (1) üﺫ - ) +ﺫ( ﺫ (1- ) +ﺫ = ]٦ ﺇ ىﺏ ﰒ = – ، 1 ) = ( ١ – ، ٢ – ، ١ ) 1ﺫ ( 1 – ، 6S 6S 6S 6S || ،ﺝ ﰒ|| = (3 ) üﺫ (0) +ﺫ (4 - ) +ﺫ = ٥ ﺇ ىﺝ ﰒ = ( 8 – ، 4 – ، 8 ) = ( ٨ – ، ٤ – ، ٨ ) 1 5 5 5 5
)ﺏ( أوﺟﺪ ﻗﻴﺎﺳﺎت زواﻳﺎ اﻻ ﺎه
ﺔ ﻠﻤﺘﺠﻪ ﺍ ﰒ إذا ﻋﻠﻤﺖ أن
= اﻷول × اﻷول +ا ﺎ × ا ﺎ +ا ﺎﻟﺚ × ا ﺎﻟﺚ
· ا ﺰاو ﺔ ﺑ ﻣﺘﺠﻬ
ﺳ ﰒ – ٢ﺻﺺ ﰒ – ﻉ ﰒ. ا ﺎه ا ﺘﺠﻪ ﺍ ﰒ = ﺲ
) (٥أوﺟﺪ ﻗﻴﺎﺳﺎت ا ﺰواﻳﺎ اﻟ ﻳﺼﻨﻌﻬﺎ ا ﺘﺠﻪ ﺝ ﰒ= ) ( ٥ ، ٤ – ، ٣
٢٥
:ﺟﺘﺎ = θ
ﺍ ﰒّ ﺏ ﰒ
|| ﺍ ﰒ|| || ﺏ ﰒ||
ﻟﻸﺳﺘﺎﺫ ﺍﻟﻘﺪﻳﺮ /ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺪﻳﻦ ﻳﺤﻴﻰ ٠١١١٩٦٦٠٦١٦
ﺍﻟﺠﺒﺮ ﻭﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﺮﺍﻏﻴﺔ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ Ü 1 = üﺍ ﰒ [ ﺏ ﰒ و ﻧﻔﺲ اﻻ ﺎه ï ﻻﺣﻆ أن :ﺟﺘﺎ Ü 1- = ý = θﺍ ﰒ [ ﺏ ﰒ و ﻋﻜﺲ اﻻ ﺎه ï Ü 0 = þﺍ ﰒ ﻊﻋ ﺏ ﰒ
· ﺮ ﺒﺔ ) ﺴﻘﻂ ( ﻣﺘﺠﻪ ﺍ ﰒ ا ﺎه ﻣﺘﺠﻪ آﺧﺮ ﺏ ﰒ : ً ﺍ ﰒّ ﺏ ﰒ و ﺴ أﻳﻀﺎ ﺑﺎ ﺮ ﺒﺔ ﺍﺏ = || ﺍ ﰒ|| ﺟﺘﺎ = θ ا
|| ﺏ ﰒ||
ﺔ.
ﻻﺣﻆ أن :ا ﺮ ﺒﺔ اﻻ ﺎﻫﻴﺔ ﻠﻤﺘﺠﻪ ﺍ ﰒ ا ﺎه ا ﺘﺠﻪ ﺏ ﰒ=
ﺔ ﻠﻤﺘﺠﻪ ﺍ ﰒ ا ﺎه ا ﺘﺠﻪ ﺏ ﰒ × ﻣﺘﺠﻪ ا ﻮﺣﺪة
ا ﺮ ﺒﺔ ا
· إذا ﺗﻮازى ﻣﺘﺠﻬﺎن ﺍ ﰒ [ ﺏ ﰒ ﻓﺈن : ﺍ ﰒ× ﺏ ﰒ= و ﰒ أ،
· إذا ﻧﺖ :ﺍ ،ﺏ ،ﺝ ﺛﻼث ﻧﻘﺎط
ﺍﺏ ﰒ× ﺏ ﺝ ﰒ = و ﰒ ﻓﺈن :ﺍ ،ﺏ ،ﺝ
· ا ﻌ ا ﻨﺪ
· ا
· ﺍ ﰒ × ﺏ ﰒ= ) || ﺍ ﰒ|| || ﺏ ﰒ|| ﺟﺎ ( θى ﰒ = ﻛﻤﻴﺔ ﻣﺘﺠﻬﺔ
ﺳ ﰒ × ﻉ ﰒ= – ﺻﺺ ﰒ ،ﺲ
ﻉ ﰒ
) (٣ﺍ ﰒ × ﺍ ﰒ = و ﰒ
+
ب اﻟﻘﻴﺎ
-
0 O
ب ا ﻼ اﻟﻘﻴﺎ
ﺻﺺ ﰒ
· ا ﻌ ا ﻨﺪ
ﺎﺻﻞ ا
ﺴﺘﻮى واﺣﺪ إذا
ﺴﺘﻮى واﺣﺪ إذا
با ﻼ :
| ﺍ ﰒ ّ ﺏ ﰒ× ﺝ ﰒ| = ﺣﺠﻢ ﻣﺘﻮازى ا ﺴﻄﻮح ا ى ﻓﻴﻪ ﺍ ﰒ ،ﺏ ﰒ ،ﺝ ﰒ ﺛﻼﺛﺔ أﺿﻼع ﻏ ﻣﺘﻮاز ﺔ .
) (١إذا ن ﺍ ﰒ ،ﺏ ﰒ ﻣﺘﺠﻬ
¬A
واﻻ ﺎ
:
ﻢ ﺍ ﰒ ّ ﺏ ﰒ× ﺝ ﰒ= ٠
ن :ﺍﺏ ﰒ ّ ﺍﺝ ﰒ × ﺍ ﰒ = ﺻﻔﺮ
إذا ن :ﺍ ﰒ= ) ﺍﺱ ،ﺍﺹ ،ﺍﻉ ( ،ﺏ ﰒ= ) ﺏﺱ ،ﺏﺹ ،ﺏﻉ ( ﻓﺈن :
=_
اﻟ ﺗﻴﺐ ا ورى ا ﻮاﺣﺪ :
) (٤ا ﻘﺎط :ﺍ ،ﺏ ،ﺝ ،ﺗﻘﻊ ﻴﻌﻬﺎ
اﻹﺣﺪاﺛﻴﺎت ا رﺗ ﺔ :
ﺍ ﰒ× ﺏ ﰒ
ﺣﺎﻟﺔ ا ﻔﺎظ
أﻧﻌﺪم ﺣﺎﺻﻞ ا
) ) (٤ﻙ ﺍ ﰒ( × ﺏ ﰒ= ﺍ ﰒ× ) ﻙ ﺏ ﰒ( = ﻙ ) ﺍ ﰒ× ﺏ ﰒ(
· ﻣﺘﺠﻪ ا ﻮﺣﺪة اﻟﻌﻤﻮدى
:
†
) (٣ا ﺘﺠﻬﺎت :ﺍ ﰒ ،ﺏ ﰒ ،ﺝ ﰒ ﺗﻘﻊ ﻴﻌﻬﺎ
ﺳﺲ ﰒ
،ﻗﻴﺎس ا ﺰاو ﺔ ﺑ ﻨﻬﻤﺎ ، ٥١٣٥و ن
|| ﺍ ﰒ|| = || ، ٦ﺏ ﰒ|| = . ١٠أوﺟﺪ ﺍ ﰒ ّ ﺏ ﰒ
¬B
ﻣﻦ ا ﺘﺠﻬ
¤Ü
§B
§Ü
¬B
ﺍ ﰒ ّ ﺏ ﰒ× ﺝ ﰒ= ﺍ ﰒ × ﺏ ﰒ ّ ﺝ ﰒ
ﺳ ﰒ = ﺻﺺ ﰒ ﺳ ﰒ ،ﻉ ﰒ× ﺲ ﺳ ﰒ × ﺻﺺ ﰒ = ﻉ ﰒ ،ﺻﺺ ﰒ × ﻉ ﰒ= ﺲ ) (٢ﺲ
¤B
¤B
§A
) (٢ﻗﻴﻤﺘﻪ ﻻ ﺗﺘﻐ إذا ﺑﺪ ﺎ ﻋﻼﻣ ا
) ( ١ﺍ ﰒ × ﺏ ﰒ= – ﺏ ﰒ × ﺍ ﰒ
§B
Aﺱ
¬A
ﺍ ﰒ ّ ) ﺏ ﰒ× ﺝ ﰒ( = ﺏ ﰒ ّ ) ﺝ ﰒ× ﺍ ﰒ( = ﺝ ﰒ ّ ) ﺍ ﰒ× ﺏ ﰒ(
· ﻼﺣﻈﺎت ﻫﺎﻣﺔ :
ﺍ ﰒ × ﺏ ﰒ=
:
ب ا ﻼ اﻟﻘﻴﺎ
) (١ﻗﻴﻤﺘﻪ ﻻ ﺗﺘﻐ
ﺣﻴﺚ :ى ﰒ ﻣﺘﺠﻪ وﺣﺪة ﻋﻤﻮدى ً ﺏ ﰒ و ﺘﺤﺪد ا ﺎﻫﻪ ﺗﺒﻌﺎ ﻟﻘﺎﻋﺪة ا ﺪ ا ﻤ .
ﺳﰒ=–ﻉ ﰒ ،ﺻﺺ ﰒ × ﺲ
ب ا ﻼ اﻟﻘﻴﺎ
· ﺧﻮاص ا
ا ﺴﺘﻮى ا ى ﻮى ﺍ ﰒ ،
ﺳﰒ ،ﻉ ﰒ× ﺻﺺ ﰒ = – ﺲ
ﺿﻠﻌﺎن .
ﺍ ﰒ ّ ﺏ ﰒ× ﺝ ﰒ =
Aﺱ
ﺘﺠﻬ
ﺝ ﰒ= ) ﺝﺱ ،ﺝﺹ ،ﺝﻉ ( ﻓﺈن :
· وﺣﺪات ﻗﻴﺎس ا ﺸﻐﻞ = وﺣﺪة ﻗﻮة × وﺣﺪة ﺴﺎﻓﺔ
§A
:
اﺳﺘﻘﺎﻣﺔ واﺣﺪة
إذا ن :ﺍ ﰒ= ) ﺍﺱ ،ﺍﺹ ،ﺍﻉ ( ،ﺏ ﰒ= ) ﺏﺱ ،ﺏﺹ ،ﺏﻉ ( ،
) (٣ﺷﺶ = ﺻﻔﺮ :إذا ﻧﺖ ﻕ ﰒ ﻊﻋ ا ﺎه اﻹزاﺣﺔ ) ( ٥٩٠ = θ
0 £
اﻟﻔﺮاغ ،و ن :
= ﺿﻌﻒ ﺴﺎﺣﺔ ا ﺜﻠﺚ ا ى ﻓﻴﻪ ﺏ ﰒ ،ﺍ ﰒ
ﻧﻔﺲ ا ﺎه اﻹزاﺣﺔ ) = θﺻﻔﺮ (
0 ¨
ﻋﻜﺲ اﻻ ﺎه
|| ﺍ ﰒ× ﺏ ﰒ|| = ﺴﺎﺣﺔ ﻣﺘﻮازى اﻷﺿﻼع ا ى ﻓﻴﻪ ﺏ ﰒ ،ﺍ ﰒ
إذا ﻧﺖ اﻟﻘﻮة ﻋﻜﺲ ا ﺎه اﻹزاﺣﺔ ) ( ١٨٠ = θ
· ا
ﻠ ب اﻻ ﺎ
ﻧﻔﺲ اﻻ ﺎه
ﺿﻠﻌﺎن ﻣﺘﺠﺎوران ﻓﻴﻪ .
) (٢ﺷﺶ = – || ﻕ ﰒ|| || ف ﰒ||
ب اﻻ ﺎ
ﺏﺱ
،ﻙ > ٠إذا ن ا ﺘﺠﻬﺎن ا ﺘﻮاز ﺎن
· ا ﺸﻐﻞ ا ﺒﺬول ﻣﻦ ﻗﻮة ﻕ ﰒ : إذا ﻧﺖ اﻟﻘﻮة ﻕ ﰒ
=
ﺏﺹ
ﺏﻉ
ﺣﻴﺚ :ﻙ < ٠إذا ن ا ﺘﺠﻬﺎن ا ﺘﻮاز ﺎن
ا ﺎه ا ﺘﺠﻪ ﺏ ﰒ .
) (١ﺷﺶ = || ﻕ ﰒ|| || ف ﰒ||
ﺍﺱ
ﺍﺹ
=
ﺍﻉ
أ ،ﺍ ﰒ= ﻙ ﺏ ﰒ
ﺗﻔﻜ ﻧﺎﻗﺪ :ﻣﺎ ا ﺎﻻت اﻟ ﻳ ﻮن ﻓﻴﻬﺎ ﺣﺎﺻﻞ ا اﻟﻘﻴﺎ
ﺍ ﰒ ،ﺏ ﰒ
ﺴﺎوى ا ﺼﻔﺮ ؟
ا ﻞ
|| ﺍ ﰒ× ﺏ ﰒ||
٢٦
ب
ﻟﻸﺳﺘﺎﺫ ﺍﻟﻘﺪﻳﺮ /ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺪﻳﻦ ﻳﺤﻴﻰ ٠١١١٩٦٦٠٦١٦
ﺍﻟﺠﺒﺮ ﻭﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﺮﺍﻏﻴﺔ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ ﺍ ﰒ ّ ﺏ ﰒ= || ﺍ ﰒ|| || ﺏ ﰒ|| ﺟﺘﺎ × ١٠ × ٦ = θﺟﺘﺎ ٢] ٣٠ – = ٥١٣٥
ﺗﻔﻜ ﻧﺎﻗﺪ :ا ﺎﻻت اﻟ ﻳ ﻮن ﻓﻴﻬﺎ ﺣﺎﺻﻞ ا )(١
)(٢
ﺍ ﰒ ،ﺏ ﰒ أﺣﺪﻫﻤﺎ أو
ﺴﺎوى ا ﺼﻔﺮ :
ب اﻟﻘﻴﺎ
ﻫﻤﺎ ﻣﺘﺠﻪ ﺻﻔﺮى .
ﺍ ﰒ ﻋﻊ ﺏ ﰒ
ً
) (٢ﺍﺏ ﺝ ﻣﻢ ﻣ ﺴﺎوى اﻷﺿﻼع ﻃﻮل ﺿﻠﻌﻪ ٨ﺳﻢ .أوﺟﺪ
5ﺫ
ا ﺒﺬول ﻣﻦ اﻟﻘﻮة . ﺍﺏ ﰒ = ﺏ – ﺍ = ) ( ٤ ، ٥
)(٧
ﺏ~ ﺍﺏ ﰒ ّ ﺏ ﺝ ﰒ = – ﺏ ﺍ ﰒ ّ ﺏ ﺝ ﰒ = – × ٨ × ٨ﺟﺘﺎ ٣٢ – = ٥٦٠ ﺝ~ ) ٢ﺍﺏ ﰒ ّ ٣ﺝ ﺏ ﰒ ( = ٦ﺍﺏ ﰒ ّ ﺝ ﺏ ﰒ = ٨ × ٨ × ٦ﺟﺘﺎ ١٩٢ = ٥٦٠
ﺎ ﻳﺄ : ﺹ
ﺱ
٤
ﺷ
)(١
١
θ
٢
)(٢
ﺱ
) (٨إذا ن ﺍ ﰒ× ﺏ ﰒ= – ٦٥ى ﰒ ،و ن || ﺍ ﰒ||= || ، ٥ﺏ ﰒ||= ٢٦ أوﺟﺪ ﻗﻴﺎس ا ﺰاو ﺔ ﺑ ا ﺘﺠﻬ
٥
ﺇ ٤٥ = θ
ﻫﺬا ا ﺜﻠﺚ ﻣ ﺴﺎوى اﻷﺿﻼع ﻷن ﻃﻮل ﺿﻠﻊ = ﻃﻮل ٢ θ ﻗﻄﺮ أﺣﺪ أوﺟﻪ ا ﻜﻌﺐ ا ﺘﻄﺎﺑﻘﺔ ﺉ ﻗﻴﺎس أى زاو ﺔ ﺹ ٢
٢
ً ا ﻘﺎﺑﻞ ﻳﻤﺜﻞ ﻜﻌﺒﺎ ﻃﻮل ﺿﻠﻌﻪ
٢وﺣﺪة ﻃﻮل أوﺟﺪ ﺴﻘﻂ ا ﺘﺠﻪ و ﺍ ﰒ
ﺍ ﺹ ٢
أذﻛﺮ ﻣ ﺗﻨﻌﺪم ﺮ ﺒﺔ ﻣﺘﺠﻪ
ﰈ || ﺍ ﰒ× ﺏ ﰒ|| = || ﺍ ﰒ|| || ﺏ ﰒ|| ﺟﺎ θﺇ × ٢٦ × ٥ = ٦٥ﺟﺎ θ ﺇ ﺟﺎ 1 = θﺇ ٥٣٠ = θأ١٥٠ = θ ، ﺱ
٢ ﺱ
ﺝ
ا ﺎه ﻣﺘﺠﻪ آﺧﺮ ؟
ﺝ ﺏ ﰒ = وﺍ ﰒ ّ ﺝ ﺏ ﰒ = 4 + 4 - 4 - Sﺫ1 || ﺝ ﺏ ﰒ||
ا ﺎه ا ﺘﺠﻪ ﻡ ﰒ ﺣﻴﺚ
ﰈ ﺍ ﰒ= || ﺍ ﰒ|| ى ﺍ ﰒ = || ﺍ ﰒ|| ) ﺟﺘﺎ θﺱ ،ﺟﺘﺎ θﺹ ،ﺟﺘﺎ θﻉ (
= ) ٦ﺫ – ،ﺫ ( 1 ،ﺇ ﺍ ﰒ= ) ( ٢ ، ٤ – ، ٤ ﺇ
3
3
0 0 0 O ¨ £ ﺍ ﰒ× ﺏ ﰒ= 4 - 4ﺫ = )– ( ٦ – ٢٠ﺳﺲ ﰒ – ) ( ٤ + ٢٠ﺻﺺ ﰒ + -ﺫ 5 3
ﺳ ﰒ – ٢٤ﺻﺺ ﰒ ٤ +ﻉ ﰒ ) ( ٨ – ١٢ﻉ ﰒ = – ٢٦ﺲ
) (١٠إذا ن ﺍ ﰒ= ) ( ٣ – ، ٢و ن ﺏ ﰒ [ ﺍ ﰒ ﻓﺈذا ن || ﺏ ﰒ|| = ١٣] ٣أوﺟﺪ ﺏ ﰒ .
ﻡ ﰒ= ) . ( ٣] ٢ ، ٢ ، ٣
ا ﻞ
ا ﻞ
ﺍﺏ ﰒ= ﺏ – ﺍ = ) ، ( ٣] ، ٠ ، ١ﻡ ﰒ= ) || ، ( ٣] ٢ ، ٢ ، ٣ﻡ ﰒ|| = ٥ ﺇ ا ﺮ ﺒﺔ اﻻ ﺎﻫﻴﺔ ﻠﻤﺘﺠﻪ ﺍﺏ ﰒ ا ﺎه ا ﺘﺠﻪ ﻡ ﰒ=
ا ﻞ
3
أوﺟﺪ ا ﺮ ﺒﺔ اﻻ ﺎﻫﻴﺔ ﻠﻤﺘﺠﻪ ﺍﺏ ﰒ ﺣﻴﺚ ﺍ ) ، ( ٠ ، ١ ، ٢
ﺏ ) ( ٣] ، ١ ، ٣
ﺍ ﰒ
ﻭ
= – ﺫ ،وﺗﻨﻌﺪم ﺮ ﺒﺔ ﻣﺘﺠﻪ ا ﺎه ﻣﺘﺠﻪ آﺧﺮ إذا ن ا ﺘﺠﻬﺎن ﻣﺘﻌﺎﻣﺪان .
)(٥
اﻟ ﺗﻴﺐ :ﺫ – ،ﺫ 1 ،و ن ا ﺘﺠﻪ 3 3 3
ﺏ ﰒ= )– ( ٥ ، ٣ ، ٢أوﺟﺪ ﺍ ﰒ× ﺏ ﰒ
و ﺍ ﰒ= ) ، ( ٢ ، ٢ ، ٢ﺝ ﺏ ﰒ= ﺏ – ﺝ = ) ( ٠ ، ٢ ، ٢ ) – ( ٢ ، ٠ ، ٠
3S
) (٩إذا ن || ﺍ ﰒ|| = ، ٦و ﻧﺖ ﺟﻴﻮب ﺗﻤﺎم زواﻳﺎ اﻻ ﺎه ﻠﻤﺘﺠﻪ
ﻉ ﺏ٢
ا ﻞ
= )– ( ٢ ، ٢ – ، ٢ﺇ ﺴﻘﻂ وﺍ ﰒ
٥
ﺫ
ﻭ
ا ﺜﻠﺚ = . ٥٦٠ = θ
ﺍ ﰒ ،ﺏ ﰒ.
ا ﻞ
ﻉ
) : (٢ﻧﻮﺻﻞ ا ﻀﻠﻊ ا ﺎﻟﺚ ﻠﻤﺜﻠﺚ ﻛﻤﺎ ﺑﺎ ﺮﺳﻢ ﺪ أن
ا ﺘﺠﻪ ﺝ ﺏ ﰒ .
ا ﻴﻂ ١٢٠ﻧﻴﻮﺗﻦ ﻟ ﺗﻔﻊ
ا ﺸﻐﻞ = × ٣ × ١٢٠ﺟﺘﺎ ٣] ١٨٠ – = ٥١٥٠ﺟﻮل
= 1 10 || ،ﺍ ﰒ|| = || ، ٥] ٢ﺏ ﰒ|| = ] ، / ١٠ﰈ ﺟﺘﺎ = θ Sﺫ ﺫ10S ´ 5S
) (٤ا ﺸ
ﺑﺰاو ﺔ ﻗﻴﺎﺳﻬﺎ . ٥٣٠ﻓﺈذا ﻧﺖ
ا ﻞ
) : (١ﺍ ﰒ= ) ، ( ٢ ، ٤ﺏ ﰒ= ) ( ٣ ، ١ﺉ ﺍ ﰒ ّ ﺏ ﰒ= ١٠ = ٦ + ٤
ﺷ
ﺑ ﺮة ﻠﺴﺎء و ﻤﻴﻞ
ﻓﺄوﺟﺪ ا ﺸﻐﻞ ا ﺒﺬول ﻣﻦ ﻗﻮة ا ﺸﺪ
ا ﻞ
ﺷ
ً
ا ﺼﻨﺪوق ﻋﻦ ﺳﻄﺢ اﻷرض ﺴﺎﻓﺔ ٣أﻣﺘﺎر ،
ﻭ
ﺷ
ﺑﻮاﺳﻄﺔ ﺧﻴﻂ ﻳﻤﺮ ﻗﻮة ا ﺸﺪ
٢
θ ﺹ ٢
اﺸ
ا ﺠﺎور :ﺷﺨﺺ ﻳﺮﻓﻊ ﺻﻨﺪوﻗﺎ
ا ﺮأ
ﻉ
٢
ا ﻞ
ﺇ ا ﺸﻐﻞ = ﻕ ﰒ ّ ف ﰒ = )– ١٨ = ٤٨ + ٣٠ – = ( ٤ ، ٥ ) ّ ( ٨ ، ٦وﺣﺪة ﺷﻐﻞ
ﺍ~ ﺍﺏ ﰒ ّ ﺍﺝ ﰒ= × ٨ × ٨ﺟﺘﺎ ٣٢ = ٥٦٠
٣
5ﺫ
ﺳ ﰒ ٨ +ﺻﺺ ﰒ ﻣﻦ ) (٦ﻳﺘﺤﺮك ﺟﺴﻴﻢ ﺖ ﺗﺄﺛ اﻟﻘﻮة ﻕ ﰒ= – ٦ﺲ
ﻣﻦ :
ا ﻞ
) (٣أوﺟﺪ θ
5ﺫ 5ﺫ
5ﺫ
ا ﻘﻄﺔ ﺍ )– ( ٣ ، ١إ ا ﻘﻄﺔ ﺏ ) . ( ٧ ، ٤أوﺟﺪ ا ﺸﻐﻞ
ﺏ~ ﺍﺏ ﰒ ّ ﺏ ﺝ ﰒ ﺝ~ ) ٢ﺍﺏ ﰒ ّ ٣ﺝ ﺏ ﰒ(
ﺍ~ ﺍﺏ ﰒ ّ ﺍﺝ ﰒ
7ﺫ ( 3S18 ، 18 ، = ) = ( ٣] ٢ ، ٢ ، ٣ ) 9 = ( ٣] ٢ ، ٢ ، ٣ ) 6 +0+ 3
ﺍﺏ ﰒ ّ ﻡ ﰒ || ﻡ ﰒ||
ﻡ ﰒ
|| ﺍ ﰒ|| = ] / ١٣] = /٩ /+ ٤ﺇ ى ﰒ = ) ﺫ@1 = (3- ﺍ 13S 13S
،ﰈ ﺏ ﰒ [ ﺍ ﰒ ﺉ ﺏ ﰒ= || ﺏ ﰒ|| × _ ى ﺍ ﰒ
= _ ( ٩ – ، ٦ ) _ = ( ٣ – ، ٢ ) 1 × / ١٣ ] ٣ 13S
٢٧
)(٣– ،٢
ﻟﻸﺳﺘﺎﺫ ﺍﻟﻘﺪﻳﺮ /ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺪﻳﻦ ﻳﺤﻴﻰ ٠١١١٩٦٦٠٦١٦
ﺍﻟﺠﺒﺮ ﻭﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﺮﺍﻏﻴﺔ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
ل) ، (٣،١،٢ﻡ) ، (٥،٤،١ﻥ)(٣،٥،٢
) (١١إذا ن ﺍ ﰒ= ) ، ( ٤ – ، ٢ ، ١ﺏ ﰒ= ) ( ١ – ، ٥ ، ٠
أوﺟﺪ ﺴﺎﺣﺔ ا ﺜﻠﺚ ا ى ﻓﻴﻪ ﺍ ﰒ ،ﺏ ﰒ ﺿﻠﻌﺎن .
) (٨أوﺟﺪ ﺣﺠﻢ ﻣﺘﻮازى ا ﺴﻄﻮح ا ى ﻓﻴﻪ ﺛﻼﺛﺔ أﺣﺮف ﻏ
ا ﻞ
ﻣﺘﻮاز ﺔ ﻳﻤﺜﻠﻬﺎ ا ﺘﺠﻬﺎت :ﺍ ﰒ= ) ، ( ٢ ، ١ – ، ١
0 0 0 O ¨ £ ﺍ ﰒ× ﺏ ﰒ= 1ﺫ ( ٢٠ + ٢ - ) = 4 -ﺳﺲ ﰒ – )– ( ٠ – ١ﺻﺺ ﰒ + 1- 5 0
ﺏ ﰒ= ) ، ( ٠ ، ٢ – ، ٣ﺝ ﰒ= ) . ( ٤ ، ٢ ، ٠
) ( ٠ – ٥ﻉ ﰒ = ١٨ﺲ ﺳ ﰒ +ﺻﺺ ﰒ ٥ +ﻉ ﰒ ،ﺴﺎﺣﺔ ا ﺜﻠﺚ = || 1ﺍ ﰒ× ﺏ ﰒ|| ﺫ
= (18 ) ü 1ﺫ 5 + 1+ﺫ = / ١٤] 5 ﺫ
ﺫ
· ﻣﺘﺠﻪ ا ﺎه ا ﺴﺘﻘﻴﻢ
) (١٢أوﺟﺪ ﺣﺠﻢ ﻣﺘﻮازى ا ﺴﻄﻮح ا ى ﻓﻴﻪ ﺛﻼﺛﺔ أﺣﺮف ﻏ
ﻫﻮ ﻣﺘﺠﻪ ا ﻮﺣﺪة
ﺏ ﰒ= ) ، ( ٣ – ، ٢ ، ٠ﺝ ﰒ= ) . ( ٢ ، ٢ ، ٣
أى ﻣﺘﺠﻪ ﻳﻮاز ﻪ ﺴ
ا ﻞ 1 ﺫ
· إذا ن ﻩ ﰒ= ) ﺍ ،ﺏ ،ﺝ ( ﻓﺈن ﺍ ،ﺏ ،ﺝ
· ا ﺼﻮرة ا ﺘﺠﻬﺔ ﻌﺎدﻟﺔ ا ﺴﺘﻘﻴﻢ
ﻣﻦ ا ﺎﻻت اﻵﺗﻴﺔ :
ﺣﻴﺚ ﺭ ﰒ = ) ﺱ ،ﺹ ،ﻉ ( أى ﻧﻘﻄﺔ
ﺳﰒ ﺳ ﰒ – ﺻﺺ ﰒ ،ﺏ ﰒ= ﺻﺺ ﰒ – ٣ﺲ ) (٢ﺍ ﰒ= ٢ﺲ ) (٢ﺍﺏ ﺝ ﺴﺘﻄﻴﻞ ﻓﻴﻪ :ﺍﺏ = ٦ﺳﻢ ،ﺏ ﺝ = ٨ﺳﻢ أوﺟﺪ : ) (٢ﺍﺏ /ﺝ /
)(٤
ً
:
· ا ﻌﺎدﻟﺔ اﻹﺣﺪاﺛﻴﺔ ﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ : 1¤ - ¤
ﺍ
ﺍ ٦ﺳﻢ ﺝ ﺏ / / ﺻﺺ ﺍ ٤ﺳﻢ / ﺏ ٨ /ﺳﻢ ﺝ ﺳﺲ
) (٥ﺷﺨﺺ ﺴﺤﺐ ﺻﻨﺪوﻗﺎ ﺑﻘﻮة ﻣﻘﺪارﻫﺎ ١٦٠ﻧﻴﻮﺗﻦ ،وﺗﻤﻴﻞ اﻷﻓ
ﺑﺰاو ﺔ ﻇﻞ ﻗﻴﺎﺳﻬﺎ 3 4
=
§ 1§ -
ﺏ
=
¬ -ﻉ 1
Ü
· ﻼﺣﻈﺎت ﻫﺎﻣﺔ :
،ﺍ ،ﺏ ،ﺝ ﻵ ﺻﻔﺮ
) (١ا ﻌﺎدﻟﺔ اﻹﺣﺪاﺛﻴﺔ ﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻦ ا ﻤ ﻦ أن ﺗ ﻮن : 1¤ - ¤
Ð
=
§ 1§ -
ﻡ
=
¬ -ﻉ 1
ﻥ
) (٢إذا ن ﺴﺐ ا ﺎه ﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﺎ
ﺤﺮ ﻪ ﺴﺎﻓﺔ أﻓﻘﻴﺔ ﻗﺪرﻫﺎ ٥
أﻣﺘﺎر .أوﺟﺪ ا ﺸﻐﻞ ا ﺒﺬول ﻣﻦ ﻗﻮة ا ﺸﺪ .
ﻛﺘﺎﺑﺘﻬﺎ
) ﺫ ( 1 ، ٢ – ،ﻓﻴﻤ ﻦ 3
ا ﺼﻮرة ) . ( ٣ ، ١٢ – ، ٤
) (٣إذا ﻧﺖ ﺍ ،ﺏ ،ﺝ
ﺫ
ﺴﺐ اﻻ ﺎه ﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﺎ ،ل ،ﻡ ،ﻥ
ﺟﻴﻮب ﺗﻤﺎم اﻻ ﺎه ﻓﺈن :
) (٦إذا ن || :ﺍ ﰒ|| = || ، ٥ﺏ ﰒ|| = ، ٥٣٠ = θ ، ٨٥ى ﰒ ﻣﺘﺠﻪ وﺣﺪة ﻋﻤﻮدى
اﻟﻔﺮاغ :
ﺱ = ﺱ +١ﻙ ﺍ ،ﺹ = ﺹ +١ﻙ ﺏ ،ﻉ =ﻉ +١ﻙ ﺝ .
ﻉ
ﺴﺘﻄﻴﻼت .
أوﺟﺪ :ﺏ /ﺝ ﺍ/
· ا ﻌﺎدﻻت ا ﺎراﻣ ﺔ ﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ
ا ﺎه ﺏ ﺝ/
ﺍﺏ ﺝ ﺍ /ﺏ /ﺝ / /ﻣﺘﻮازى
ا ﺴﺘﻘﻴﻢ
،ﻩ ﰒ= ) ﺍ ،ﺏ ،ﺝ ( ﻣﺘﺠﻪ ا ﺎه ا ﺴﺘﻘﻴﻢ
ﻣﻦ ا ﻌﺎدﻟﺔ ا ﺘﺠﻬﻪ ﺪ أن :
ﺳ ﰒ ٥ +ﺻﺺ ﰒ ٤ +ﻉ ﰒ ﺳ ﰒ ٣ +ﺻﺺ ﰒ ٧ +ﻉ ﰒ ٢ ،ﺲ ٤ﺲ اﺸ
ا ﺴﺘﻘﻴﻢ
،ﺍ ﰒ= ) ﺱ ، ١ﺹ ، ١ﻉ ( ١ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻌﻠﻮﻣﺔ ﺗﻘﻊ
ﻣﺎذا ﺴ ﺘﺞ ؟
ا ﺠﺎور :
اﻟﻔﺮاغ :
ﺴﺐ ا ﺎه ا ﺴﺘﻘﻴﻢ
ﺭ ﰒ= ﺍ ﰒ +ﻙ ﻩ ﰒ .ﺣﻴﺚ :
ﺳ ﰒ – ٢ﺻﺺ ﰒ ٥ +ﻉ ﰒ . ) (١ﺍ ﰒ= )– ، ( ٢ ، ٣ ، ١ﺏ ﰒ= ٤ﺲ
) (٣أوﺟﺪ ﻗﻴﺎس ا ﺰاو ﺔ ﺑ ا ﺘﺠﻬ
ﺱ
· ا ﻂ ا ﺴﺘﻘﻴﻢ ﻋﺪد ﻻ ﻧﻬﺎ ﻣﻦ ﻣﺘﺠﻬﺎت اﻻ ﺎه
) (٣ﺮ ﺒﺔ ﺝ /
ﻣﺘﺠﻪ ا ﻪ ا ﺴﺘﻘﻴﻢ ﺹ
θ ﻉ θ θﺹ ﺱ
ﻓﺈذا ن :ى ﰒ= ) ل ،ﻡ ،ﻥ ( ﻓﺈن ﻩ ﰒ= ﻙ ) ل ،ﻡ ،ﻥ (
ﺇ ﺣﺠﻢ ﻣﺘﻮازى ا ﺴﻄﻮح = | ٦٠ = | ٦٠وﺣﺪة ﺣﺠﻢ
) (١ﺍﺏ /ﺍﺝ/
ﺍ ﰒ
ا ﺎه ا ﺴﺘﻘﻴﻢ ﺉ
وﻧﺮ ﺰ ﺑﺎ ﺮ ﺰ ) ﻩ ( .
٦٠ = ( ٢ – ١٢ ) ٣ + ( ٦ + ٤) ٣ = 3 -
) (١أوﺟﺪ ﺍ ﰒ ﺏ ﰒ ،ﺍ ﰒ× ﺏ ﰒ
ﻉ
ى ﰒ= ) ﺟﺘﺎ θﺱ ،ﺟﺘﺎ θﺹ ،ﺟﺘﺎ θﻉ (
ﻣﺘﻮاز ﺔ ﻳﻤﺜﻠﻬﺎ ا ﺘﺠﻬﺎت :ﺍ ﰒ= ) ، ( ١ ، ٤ – ، ٣
4- 3 ﺍ ﰒ ّ ﺏ ﰒ× ﺝ ﰒ = 0ﺫ 3ﺫ
اﻟﻔﺮاغ :
)ﺍ،ﺏ،ﺝ(= ﻙ)ل،ﻡ،ﻥ( ﺉ
ﻣﻦ ﺍ ﰒ ،ﺏ ﰒ أوﺟﺪ :ﺍ ﰒ × ﺏ ﰒ
)ل،ﻡ،ﻥ(=
) (٧أﺣﺴﺐ ﺴﺎﺣﺔ ﻣﺘﻮازى اﻷﺿﻼع ل ﻡ ﻥ ﻩ ﺣﻴﺚ :
٢٨
) ﺍ(Ü ،B ،
ü
ﺍﺫ B +ﺫ Ü +ﺫ
= ﻣﺘﺠﻪ ا ﻮﺣﺪة
ا ﺎﻫﻪ
ﻟﻸﺳﺘﺎﺫ ﺍﻟﻘﺪﻳﺮ /ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺪﻳﻦ ﻳﺤﻴﻰ ٠١١١٩٦٦٠٦١٦
ﺍﻟﺠﺒﺮ ﻭﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﺮﺍﻏﻴﺔ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ )(٤
ً ا ﻌﺎدﻟﺔ اﻹﺣﺪاﺛﻴﺔ ﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ إذا ن ل = ) ٠ﻣﺜﻼ( ﻓﺈﻧﻬﺎ ﺗﺄﺧﺬ ا ﺼﻮرة :ﺱ = ﺱ، ١
§ 1§ -
ﻡ
) (٥إذا ﺮ ا ﺴﺘﻘﻴﻢ ﺑﻨﻘﻄﺘ ﻣﻌﻠﻮﻣﺘ ﺴﺎوى اﻟﻔﺮق ﺑ ﻫﺬﻳﻦ ا ﻘﻄﺘ
=
¬ -ﻉ 1
· ا ﺴﺎﻓﺔ ﺑ ﻧﻘﻄﺔ و ﺴﺘﻘﻴﻢ ) (١ﻧﻮﺟﺪ ا ﺰاو ﺔ θﺑ
ﻥ
ﻓﺈن ﻣﺘﺠﻪ ا ﺎه ا ﺴﺘﻘﻴﻢ
ﻣﺘﺠﻪ ا ﺎه
) (٢ﻧﻮﺟﺪ || ﻩ ٢ﰒ || = ﺍﺏ
ﺹ = ، ٠ﻉ = ، ٠ﻣﻌﺎدﻟﺔ ا ﺤﻮر ﺻﺺ ﺱ = ، ٠ﺹ =٠
:ﺭ ﰒ= ﻙ ) ﺍ ،ﺏ ،ﺝ (
) (٩ا ﺴﺘﻘﻴﻢ ا ى ﻣﺘﺠﻪ ا ﺎﻫﻪ ) ﺍ ،ﺏ ( ٠ ،ﻳﻘﻊ
) (٣ﻃﻮل اﻟﻌﻤﻮد = ﺍﺏ ﺟﺎ θ · ﺑﻌﺪ ا ﻘﻄﺔ ﺍ ) ﺱ ، ١ﺹ ، ١ﻉ : ( ١ 3ﻋﻦ ا ﺤﻮر ﺲ ﺳ = ü
ﺴﺘﻮى [
3ﻋﻦ ا ﺤﻮر ﺻﺺ = ü
ا ﺴﺘﻮى ﺱ ﺹ ،ا ﺴﺘﻘﻴﻢ ا ى ﻣﺘﺠﻪ ا ﺎﻫﻪ ) ﺍ ، ٠ ،ﺝ ( ﻳﻘﻊ
3ﻋﻦ ا ﺤﻮر ﻉ = ü
ﺴﺘﻮى [ ا ﺴﺘﻮى ﺱ ﻉ ،ا ﺴﺘﻘﻴﻢ ا ى ﻣﺘﺠﻪ ا ﺎﻫﻪ
) ، ٠ﺏ ،ﺝ ( ﻳﻘﻊ
· ا ﺰاو ﺔ ﺑ
ﺴﺘﻘﻴﻤ
ﺴﺘﻮى [ ا ﺴﺘﻮى ص ع
| ﻩ ١ﰒ ّ ﻩ ٢ﰒ| ﺟﺘﺎ = θ || ﻩ ١ﰒ|| || ﻩ ٢ﰒ||
) (١أوﺟﺪ ﻣﺘﺠﻪ ا ﺎه
ﺣﻴﺚ :ﻩ ١ﰒ ﻣﺘﺠﻪ ا ﺎه ا ﺴﺘﻘﻴﻢ
~ﻣﺎﻗﻮ ﻚ
ا ﺎﻫﻴﻬﻤﺎ ﺍ~
ا ﺴﺘﻘﻴﻢ ا ى ﻣﺘﺠﻪ ا ﺎﻫﻪ ﻩ ﰒ= ) ﺍ ،ﺏ ( ٠ ،
ﻩ ﰒ= ) – ( ٢ – ، ٢ ، ١
ا ﻞ
ﺏ~ ﻩ ﰒ= ﺏ ﺍ ﰒ = ﺍ – ﺏ = )– ( ٢ ، ٣ – ، ١
ﺳ = ) ، ( ٠ ، ٠ ، ١ﻣﺘﺠﻪ ا ﺎه ا ﺤﻮر ﺻﺺ = ) ( ٠ ، ١ ، ٠ ﺝ~ ﻣﺘﺠﻪ ا ﺎه ا ﺤﻮر ﺲ ~ا ﺴﺘﻘﻴﻢ ا ى ﻣﺘﺠﻪ ا ﺎﻫﻪ ) ﺍ ،ﺏ (٠ ،ﻳﻘﻊ
ﺔ ﺑ ﻨﻬﻤﺎ ﻓﺈﻧﻬﻤﺎ ﻳﻨﻄﺒﻘﺎن .
) ( ٥ ، ٢ – ، ٤وا ﺘﺠﻪ ) ( ٢ ، ٢ – ، ١ﻣﺘﺠﻪ ا ﺎه ﺛﻢ أوﺟﺪ ﻧﻘﻄﺔ أﺧﺮى ﻫﺬا ا ﺴﺘﻘﻴﻢ .
اﻟﻔﺮاغ :
ل ١ﻋﻊ ل ٢ﺅﺉ ﻩ ١ﰒ ّ ﻩ ٢ﰒ = ﺻﻔﺮ
· ا ﺴﺘﻘﻴﻤﺎن ا ﺘﻌﺎﻣﺪان إﻣﺎ أن ﻳ ﻮﻧﺎ ﻣﺘﻘﺎﻃﻌ
ﺴﺘﻮى ﻳﻮازى ا ﺴﺘﻮى ﺱ ﺹ
) (٢أوﺟﺪ ا ﺼﻮرة ا ﺘﺠﻬﺔ ﻌﺎدﻟﺔ ا ﺴﺘﻘﻴﻢ ا ﺎر ﺑﺎ ﻘﻄﺔ
· إذا ن ﻩ ١ﰒ ﻻ ﻳﻮازى ﻩ ٢ﰒ ﻓﺈن ا ﺴﺘﻘﻴﻤﺎن ل ، ١ل ٢إﻣﺎ ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺎن · ا ﺴﺘﻘﻴﻤﺎن ا ﺘﻌﺎﻣﺪان
ﻣﻦ ا ﺴﺘﻘﻴﻤﺎت اﻵﺗﻴﺔ :
،ﻣﺘﺠﻪ ا ﺎه ا ﺤﻮر ﻉ = ) ( ١ ، ٠ ، ٠
· إذا ن ل [ ١ل ، ٢وﺟﺪت ﻧﻘﻄﺔ ﺸ أو ﻣﺘﺨﺎﻟﻔﺎن .
¤ﺫ § +ﺫ 1 1
ﺏ~ ا ﺴﺘﻘﻴﻢ ا ﺎر ﺑﺎ ﻘﻄﺘ ﺍ ) ، ( ٣ ، ٢ – ، ٠ﺏ ) ( ١ – ، ١ ، ١ ﻣﻦ ﺎور اﻻﺣﺪاﺛﻴﺎت ﺝ~
ا ﺴﺘﻘﻴﻢ ل [ ١ا ﺴﺘﻘﻴﻢ ل ٢ﺅﺉ ﺗﻮازى ﻣﺘﺠ أى :ل [ ١ل ٢ﺅﺉ إذا ﻘﻘﺖ إﺣﺪى ا ﺼﻮر اﻵﺗﻴﺔ : ) (١ﻩ ١ﰒ = ﻙ ﻩ ٢ﰒ ) (٢ﺗ ﻨﺎﺳﺐ إﺣﺪاﺛﻴﺎت ﻩ ، ١ﻩ٢
) (٣ﻩ ١ﰒ × ﻩ ٢ﰒ = و ﰒ
¤ﺫ ¬ +ﺫ 1 1
ﺍ~ ا ﺴﺘﻘﻴﻢ ا ﺎر ﺑﻨﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ وا ﻘﻄﺔ )– ( ٢ – ، ٢ ، ١
اﻷول ،ﻩ ٢ﰒ ﻣﺘﺠﻪ ا ﺎه ا ﺴﺘﻘﻴﻢ ا ﺎ
· ا ﺴﺘﻘﻴﻤﺎن ا ﺘﻮاز ﺎن
§ ﺫ ¬ +ﺫ 1 1
اﻟﻔﺮاغ :
اﻟﻔﺮاغ :
θ ﺏ
ﻩ ١ﰒ ّ ﻩ ٢ﰒ = θﺟﺘﺎ– ١ || ﻩ ١ﰒ || || ﻩ ١ﰒ ||
ا ﺎﻫﻪ ﺴﺎوى ا ﻘﻄﺔ ا ﻌﻠﻮﻣﺔ
) (٨ا ﻌﺎدﻟﺔ ا ﺘﺠﻬﺔ ﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ا ﺎر ﺑﻨﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ ) ،ﺍ ،ﺏ ،ﺝ (
ا ﺴﺘﻘﻴﻤ :
ا ﺴﺘﻘﻴﻢ ل ،ﻩ ٢ﰒ = ﺍﺏ ﰒ وﺗ ﻮن :
.
ﺱ = ، ٠ﻉ = ، ٠ﻣﻌﺎدﻟﺔ ا ﺤﻮر ﻉ
ل
ل ،ﺍﺏ ﰐ ﺣﻴﺚ :ﻩ ١ﰒ = ﻣﺘﺠﻪ ا ﺎه
) (٦إذا ﺮ ا ﺴﺘﻘﻴﻢ ﺑﻨﻘﻄﺔ ﻣﻌﻠﻮﻣﺔ وﻧﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ ﻓﺈن ﻣﺘﺠﻪ ) (٧ﻣﻌﺎدﻟﺔ ا ﺤﻮر ﺳﺲ
اﻟﻔﺮاغ :
ﺍ
ا ﻞ
ﺭ ﰒ = ) + ( ٥ ، ٢ – ، ٤ﻙ ) ) ( ٢ ، ٢ – ، ١ا ﻌﺎدﻟﺔ ا ﺘﺠﻬﺔ (
ا ﻌﺎﻣﺪ
) أى ﻤﻌﻬﻤﺎ ﺴﺘﻮى واﺣﺪ ( أ ،ﻣﺘﻌﺎﻣﺪان وﻣﺘﺨﺎﻟﻔﺎن
ﺱ = + ٤ﻙ ،ﺹ = – ٢ – ٢ﻙ ،ﻉ = ٢ + ٥ﻙ ) ا ﻌﺎدﻻت ا ﺎراﻣ ﺔ (
ﺑﻮﺿﻊ ﺱ = ٠ﺇ ﻙ = – ٤ﺉ ﺹ = – ٦ = ٨ + ٢ﺉ ﻉ = ٣ – = ٨ – ٥ ﺇ ) ( ٣ – ، ٦ ، ٠ﻧﻘﻄﺔ اﺧﺮى ﺗﻘﻊ
) أى ﻻ ﻤﻌﻬﻤﺎ ﺴﺘﻮى واﺣﺪ ( .
ا ﺴﺘﻘﻴﻢ .
) (٣أوﺟﺪ ا ﻌﺎدﻻت ا ﺎراﻣ ﺔ ﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ا ﺎر ﺑﻨﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ ، وا ﺘﺠﻪ )– ( ١ ، ٣ ، ٢ﻣﺘﺠﻪ ا ﺎه .
· ا ﺴﺘﻘﻴﻤﺎن ا ﺘﻘﺎﻃﻌﺎن :ﻩ ١ﰒ ﻻ ﻳﻮازى ﻩ ٢ﰒ و ﻮﺟﺪ ﺣﻞ ﺸ ك ﻌﺎد ﻴﻬﻤﺎ .
ﺱ = –٢ﻙ ،ﺹ =٣ﻙ ،ﻉ = ﻙ
· ا ﺴﺘﻘﻴﻤﺎن ا ﺘﺨﺎﻟﻔﺎن :ﻩ ١ﰒ ﻻ ﻳﻮازى ﻩ ٢ﰒ وﻻ ﻳﻮﺟﺪ ﺣﻞ ﺸ ك
ا ﻞ
) (٤أوﺟﺪ ا ﺼﻮر ا ﺨﺘﻠﻔﺔ ﻌﺎدﻟﺔ ا ﺴﺘﻘﻴﻢ ا ﺎر ﺑﺎ ﻘﻄﺘ :
ﻌﺎد ﻴﻬﻤﺎ .
) . ( ٤ ، ٣ ، ١ –) ، ( ٠ ، ٢ ، ٣
٢٩
ﻟﻸﺳﺘﺎﺫ ﺍﻟﻘﺪﻳﺮ /ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺪﻳﻦ ﻳﺤﻴﻰ ٠١١١٩٦٦٠٦١٦
ﺍﻟﺠﺒﺮ ﻭﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﺮﺍﻏﻴﺔ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ ا ﻞ
ﻋﻨﺪ ﻧﻘﻄﺔ ا ﻘﺎﻃﻊ ﻳ ﻮن ﺭ ١ﰒ= ﺭ ٢ﰒ ﺉ ) + ( ٢ ، ١ – ، ٣ﻙ، ٠ ) = ( ٣ ، ١ ، ٤ ) ١ + ( ١ – ، ٤ﻙ ( ٢ ، ١ – ، ١ ) ٢ﺉ ٤ + ٣ﻙ = ١ﻙ ٢ﺇ ٤ﻙ – ١ﻙ(١) ...... ٣ – = ٢
) (٥أوﺟﺪ ا ﺼﻮر ا ﺨﺘﻠﻔﺔ ﻌﺎدﻟﺔ ا ﺴﺘﻘﻴﻢ :
ﺫ§ 5 + 4+¤ = -4ﻉ ﺛﻢ أوﺟﺪ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﻊ = ﺫ
3
ا ﺴﺘﻘﻴﻢ .
4
+ ١ – ،ﻙ – ٤ = ١ﻙ ٢ﺇ ﻙ + ١ﻙ ٣ + ٢ ، (٢) ........... ٥ = ٢ﻙ ٢ + ١ – = ١ﻙ ً ﺇ ٣ﻙ ٢ – ١ﻙ (٣) ........ ٣ - = ٢ﻞ ) (٢) ، (١ﺟ ﺎ ﻳ ﺘﺞ أن :
ﻫﺬا
3ﺫ ﻙ = ١ﺫ ،ﻙ = 5 ٢ 5
ا ﻞ
ﺱ 4 +ﺫ§ 5 + ﺑﻮﺿﻊ = -4ﻉ = ﻙ ﺇ ﺱ = – ٣ + ٤ﻙ = ﺫ
) (١٠أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ا ﺴﺘﻘﻴﻢ ا ﺎر ﺑﻨﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ و ﻘﻄﻊ ا ﺴﺘﻘﻴﻢ : ﺭ ﰒ= ) + ( ٤ ، ١ ، ٣ﻙ ) ( ٣ ، ١ ، ٢ا ﻌﺎﻣﺪ .
3 ،ﺹ = – + 5ﻙ ،ﻉ = ٤ – ٤ﻙ و ا ﻌﺎدﻻت ا ﺎراﻣ ﺔ ﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺉ ﺫ ﺭ ﰒ= )– + ( ٤ ، 5 – ، ٤ﻙ ) ( ٤ – ، ١ ، ٣و ا ﻌﺎدﻟﺔ ا ﺘﺠﻬﺔ ﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺫ 3 5 ،ﺑﻮﺿﻊ ﺱ = – ١ﺇ ﻙ = ١ﺉ ﺹ = – ، – = ١ +ﻉ = ٠ ﺫ ﺫ ﺇ )– ( ٠ ، 3 – ، ١ﻧﻘﻄﺔ ا ﺴﺘﻘﻴﻢ ﺫ
= 3 - = 8 + 4 + 15 - 18Sﺫ1 Sﺫ9S ´ 4ﺫ
ﺇ ٨٥ / ٤ = θ
) (٧أوﺟﺪ ﻗﻴﺎس ا ﺰاو ﺔ ﺑ ا ﺴﺘﻘﻴﻤ
)و( و ﺎ ﻘﻄﺔ )ﺝ( = و ﺝ ﰒ= ﺝ – و = ﺝ = ﻩ ١ﰒ ،ﻩ ٢ﰒ= ) ( ٣ ، ١ ، ٢ ،ﰈ ا ﺴﺘﻘﻴﻤﺎن ﻣﺘﻌﺎﻣﺪان ﺇ ﻩ ١ﰒ ّ ﻩ ٢ﰒ = ٠
ﺇ ) ٢ + ٣ﻙ + ١ ،ﻙ ٣ + ٤ ،ﻙ ( ّ ) ٠ = ( ٣ ، ١ ، ٢ﺉ ٤ + ٦ﻙ + ١ +ﻙ ١٢ +
٩ +ﻙ = ٠وﻣﻨﻬﺎ ﻙ = ﺇ ﻩ ١ﰒ= ) ﺫ ( ١ – ، ٥ – ، ٤ ) = ( 1 – ، 5 – ،
| ﻩ ١ﰒ ّ ﻩ ٢ﰒ |
|| ﻩ ١ﰒ|| || ﻩ ٢ﰒ||
ﺇ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ا ﺴﺘﻘﻴﻢ ا ﻄﻠﻮب
ا ﺎﻫﻬﻤﺎ
3
Sﺫ
ﺗﻔﻜ ﻧﺎﻗﺪ :أﺛﺒﺖ أن ﻃﻮل اﻟﻌﻤﻮد ا ﺮﺳﻮم ﻣﻦ ا ﻘﻄﺔ ﺏ || ﺍﺏ ﰒ× ﻩ ﰒ|| ا ﺴﺘﻘﻴﻢ ﺭ ﰒ= ﺍ +ﻙ ﻩ ﰒ ﺴﺎوى || ﻩ ﰒ||
ﺟﺘﺎ | = θﺫ × – 1ﺫ × ٠ = | ٠ × 1 + 1ﺉ ٩٠ = θ 3
Sﺫ
3
) (٨أﺛﺒﺖ أن ا ﺴﺘﻘﻴﻤ
Sﺫ
٥
3
ا ﻞ
ﺭ ١ﰒ= ) + ( ٥ ، ٣ – ، ٣ﻙ( ٥ ، ٥ – ، ٠ ) ١
ﻩ ١ﰒ= ) ، ( ٢ – ، ٣ ، ٢ﻩ ٢ﰒ= ) (٦ – ، ٢ ، ١ ) = ( ٢ ، ١ – ، ١ ) – ( ٤ – ، ١ ، ٢
،ﺭ ٢ﰒ= )– + ( ١ ، ٣ ، ٢ﻙ ( ١ – ، ١ – ، ٥ ) ٢ﻣﺘﻌﺎﻣﺪان
وﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺎن
،ﰈ ﺟﺘﺎ = θ
ﻧﻘﻄﺔ وأوﺟﺪ إﺣﺪاﺛﻴﺎت ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻌﻬﻤﺎ .
) ﺫ@ - @3ﺫ( · )(6 - @ ` @1
36 + 4 + 1S ´ 4 + 9 + 4S
،ﺍﺏ = / ٤١] = 36 + 4 + 1Sوﺣﺪة ﻃﻮل
ا ﻞ
،ﻋﻨﺪ ﻧﻘﻄﺔ ا ﻘﺎﻃﻊ ﻳ ﻮن ﺭ ١ﰒ= ﺭ ٢ﰒ ﺉ ) + ( ٥ ، ٣ – ، ٣ﻙ( ٥ ، ٥ – ، ٠ ) ١
وﻟ ﻦ :
= )– + ( ١ ، ٣ ، ٢ﻙ ( ١ – ، ١ – ، ٥ ) ٢ﺉ ٥ + ٢ – = ٣ﻙ ٢ﺇ ﻙ(١) .... ١ = ٢ ﻙ ، ١ﻙ
٢
ﺍ ﺏ ﰒ× ﻩ ﰒ || ﻩ ﰒ||
=
= ﺍﺏ ﺟﺎ (٢) ............ θ
ا ﻌﺎدﻟﺔ ) (٣ﺪ
ﻋﻦ ﻗﻴﻤﺔ ﻙ ﻓﻴﻬﺎ
ﺝ
ﺍ ﺏ ﰒ× ﻩ ﰒ || ﻩ ﰒ||
θ ﺍ
)– . ( ٣ ، ٢ ، ١
إﺣﺪاﺛﻴﺎت ﻧﻘﻄﺔ ا ﻘﺎﻃﻊ .
) (٩أﺛﺒﺖ أن ا ﺴﺘﻘﻴﻤ
|| ﻩ ﰒ||
) (١أوﺟﺪ ﺟﻴﻮب ﺗﻤﺎم اﻻ ﺎه ﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ا ى ﺴﺐ ا ﺎﻫﻪ
) (١ﻋﻦ ﻙ ١ – = ١ﺉ ﺭ ﰒ= ) ( ٥ ، ٥ – ، ٠ ) – ( ٥ ، ٣ – ، ٣
= ) ( ٠ ، ٢ ، ٣و
ل
ﺏ
أﻧﻬﻤﺎ ﻘﻘﺎﻧﻬﺎ ﺇ ا ﺴﺘﻘﻴﻤﺎن ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺎن وﻣﺘﻌﺎﻣﺪان .وﻹ ﺎد ﻧﻘﻄﺔ ا ﻘﺎﻃﻊ
ﺑﺎ ﻌﻮ ﺾ
|| ﺍﺏ ﰒ|| || ﻩ ﰒ|| ﺟﺎ ﻩ
ﻣﻦ ) : (٢) ، (١ﺇ ﻃﻮل اﻟﻌﻤﻮد =
٥ – ٣ – ،ﻙ – ٣ = ١ﻙ ٢ﺇ ٥ﻙ ٥ – = ٣ – ١ + ٣ - = ١ﺇ ﻙ(٢) ...... ١ – = ١
ﻧﻌﻮض
ﺇ ٤٠ / ٤٥ = θ
ﺗﻔﻜ ﻧﺎﻗﺪ :ﻣﻦ ﻣﻢ ﺍﺏ ﺝ :ﻃﻮل اﻟﻌﻤﻮد ﺏ ﺝ = ﺍﺏ ﺟﺎ (١) ........ θ
ﰈ ﻩ ١ﰒ ّ ﻩ ٢ﰒ= ٠ = ٥ – ٥ + ٠ﺇ ا ﺴﺘﻘﻴﻤﺎن ﻣﺘﻌﺎﻣﺪان
إﺣﺪى ا ﻌﺎد
٥
ﺇ ﻃﻮل اﻟﻌﻤﻮد = ﺍﺏ ﺟﺎ / ٤١] = θﺟﺎ ٤٢ = ٥٤٠ / ٤٥وﺣﺪة ﻃﻮل .
ﻩ ١ﰒ= ) ، ( ٥ ، ٥ – ، ٠ﻩ ٢ﰒ= ) ( ١ – ، ١ – ، ٥
٥ + ٥ ،ﻙ – ١ = ١ﻙ (٣) ...... ٢ﺑﺎ ﻌﻮ ﺾ ﻋﻦ ﻗﻴﻤ
:ﺭ ﰒ= ﻙ ( ١ – ، ٥ – ، ٤ ) ٢
ا ﺴﺘﻘﻴﻢ :ﺭ ﰒ= ) + ( ٢ ، ١ – ، ١ﻙ ) ( ٢ – ، ٣ ، ٢
) ﺫ –،ﺫ (٠، 1 ، 1 )،( 1 ، 3 3 ا ﻞ
7
14
14
) (١١أوﺟﺪ ﻃﻮل اﻟﻌﻤﻮد ا ﺮﺳﻮم ﻣﻦ ا ﻘﻄﺔ ) ( ٤ – ، ١ ، ٢
ا ﻳﻦ ﺟﻴﻮب ﺗﻤﺎم Sﺫ
ﺝ ،ﰈ ﺝ ﻱ ا ﺴﺘﻘﻴﻢ ا ﻌﻠﻮم
ﺇ ﺝ = ) ٢ + ٣ﻙ + ١ ،ﻙ ٣ + ٤ ،ﻙ ( ،ﻣﺘﺠﻪ ا ﺎه ا ﺴﺘﻘﻴﻢ ا ﺎر ﺑﻨﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ
ﺫ§ - ﻉ = ﺹ = – ١ﻙ ،ﻉ = ٤ + ٣ﻙ ،ل : ٢ﺱ = 1+ ﺫ 4 3 ا ﻞ ٥
ا ﻞ
ﻧﻔﺮض ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ ا ﺴﺘﻘﻴﻤ
:ل : ١ﺱ = ٥ – ٢ﻙ ،
ﻩ ١ﰒ= )– ، ( ٤ ، ١– ، ٥ﻩ ٢ﰒ= ) ، ( ٢ ، ٤ – ، ٣ﺇ ﺟﺘﺎ = θ
ﻵ –٣
أى أﻧﻬﻤﺎ ﻻ ﻘﻘﺎن ا ﻌﺎدﻟﺔ ) (٣ﺇ ا ﺴﺘﻘﻴﻤﺎن ﻣﺘﺨﺎﻟﻔﺎن .
4
) (٦أوﺟﺪ ﻗﻴﺎس ا ﺰاو ﺔ ﺑ ا ﺴﺘﻘﻴﻤ
ﺑﺎ ﻌﻮ ﺾ
3ﺫ ) (٣ﺇ × ٣ﺫ – × ٢ 5 5
٢
) (٢أوﺟﺪ ا ﺼﻮر ا ﺨﺘﻠﻔﺔ ﻌﺎدﻟﺔ ا ﺴﺘﻘﻴﻢ ا ﺎر ﺑﺎ ﻘﻄﺘ :
:ﺭ ١ﰒ= ) + ( ٢ ، ١ – ، ٣ﻙ( ٣ ، ١ ، ٤ ) ١
) . ( ٤ ، ١ ، ٣ –) ، ( ٥ ، ١ – ، ٢
،ﺭ ٢ﰒ= ) + ( ١ – ، ٤ ، ٠ﻙ ( ٢ ، ١ – ، ١ ) ٢ﻣﺘﺨﺎﻟﻔﺎن .
) (٣أوﺟﺪ ا ﺼﻮر ا ﺨﺘﻠﻔﺔ ﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ا ﺎر ﺑﺎ ﻘﻄﺔ ﺍ ) ( ٠ ، ١ – ، ١
ا ﻞ
و ﻮزاى ا ﺴﺘﻘﻴﻢ ا ﺎر ﺑﺎ ﻘﻄﺘ
٣٠
:ﺏ )– ( ١ ، ٢ ، ٣
ﻟﻸﺳﺘﺎﺫ ﺍﻟﻘﺪﻳﺮ /ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺪﻳﻦ ﻳﺤﻴﻰ ٠١١١٩٦٦٠٦١٦
ﺍﻟﺠﺒﺮ ﻭﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﺮﺍﻏﻴﺔ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ ّ ،ﺝ ) ، ( ٠ ، ١ ، ٢ﺛﻢ ﺑ أن ا ﻘﻄﺔ ( ٣ ، ٢ ، ١٤ –) ﺗﻘﻊ
· ا ﺼﻮرة اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻌﺎدﻟﺔ ا ﺴﺘﻮى :
ا ﺴﺘﻘﻴﻢ .
ﺍﺱ +ﺏ ﺹ +ﺝ ﻉ ٠ = +ز
) (٤أوﺟﺪ ا ﺼﻮر ا ﺨﺘﻠﻔﺔ ﻌﺎدﻟﺔ ا ﺴﺘﻘﻴﻢ :
ﺱ 4 +ﺫ§ 5 + = -4ﻉ ﺛﻢ أوﺟﺪ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﻊ =
3
ا ﺴﺘﻘﻴﻢ .
ﺫ
4
) (٥أوﺟﺪ ﻗﻴﺎس ا ﺰاو ﺔ ﺑ ا ﺴﺘﻘﻴﻤ ) (١ﺟﻴﻮب ﺗﻤﺎم ا ﺎﻫﻬﻤﺎ :
ﺣﻴﺚ – = ﺍ ﺱ – ١ﺏ ﺹ – ١ﺝ ﻉ ١
ﻫﺬا
· ﻣﻌﺎدﻟﺔ ا ﺴﺘﻮى ا ﺎر ﺑﺜﻼث ﻧﻘﻂ ﻟ ﺴﺖ ﺑﻔﺮض ا ﻘﻂ ا ﻼث
ﻣﻦ ا ﺎﻻت اﻵﺗﻴﺔ :
ﺫ1 ) –، 5 S 13ﺫ Sﺫ S 13ﺫ
S 5ﺫ S 5ﺫ Sﺫ
) (١ﻧ ﺒﺖ أن ا ﻘﻂ ﻟ ﺴﺖ
) (١ﻧﻮﺟﺪ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ ا ﺴﺘﻘﻴﻤ
) (٣ﻧﻮﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ا ﺴﺘﻮى ا ﻄﻠﻮ ﺔ .
) (٤ﺱ = ، ١ﺹ = ٢وا ﺴﺘﻘﻴﻢ :ﺹ = – ، ١ﻉ = ٠
· ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﺴﺘﻮى ﺑﺪﻻﻟﺔ اﻷﺟﺰاء ا ﻘﻄﻮﻋﺔ ﻣﻦ ﺎور اﻹﺣﺪاﺛﻴﺎت :
) (٦أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ا ﺴﺘﻘﻴﻢ ا ﺎر ﺑﺎ ﻘﻄﺔ ) ( ٣ ، ١ – ، ٢و ﻘﻄﻊ
ﻣﺘﺨﺎﻟﻔﺎن .
) (٨أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ا ﺴﺘﻘﻴﻢ ا ﺎر ﺑﺎ ﻘﻄﺔ ) ( ٣ ، ١ – ، ٢و ﻨﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ ا ﺴﺘﻘﻴﻤ
ﺱ - § 1-ﺫ : = ﻉ ، 3- =
ﺫ ﺱ 3 -ﺹ 5-ﻉ 6- = = 3 5 4
إذا ﻗﻄﻊ ﺴﺘﻮى ﺎور اﻹﺣﺪاﺛﻴﺎت
ا ﻌﺎﻣﺪ .
) (٧أﺛﺒﺖ أن ا ﺴﺘﻘﻴﻤ :ﺭ ١ﰒ= ) + ( ٤ ، ٢ ، ١ﻙ، ( ١ ، ١ – ، ٢ ) ١ ّ ﺭ ٢ﰒ= ) + ( ١ ، ١ ، ١ﻙ ( ١١ ، ٧ ، ٢ –) ٢ﻣﺘﻌﺎﻣﺪان ﺛﻢ ﺑ أن
ا ﺼﻮرة :ﺱ +ﺹ +ﻉ = . . ١ ﻉ1 ﺹ1 ﺱ1 · ﻣﻦ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ا ﺴﺘﻮى :ﺱ +ﺹ +ﻉ = ١ﻳ ﻮن : Ü ﺏ ﺍ 1 ) (١ﺴﺎﺣﺔ ﻣﻢ ﺍﺏ ﺝ = || ﺍﺏ ﰒ × ﺍﺝ ﰒ|| ﺣﻴﺚ : ﺫ ﺍ)ﺍ ، (٠،٠،ﺏ)،٠ﺏ ، (٠،ﺝ)،٠،٠ﺝ(
) (٢ﺣﺠﻢ ا ﺴﻢ و ﺍﺏ ﺝ = × 1ﺍ × ﺏ × ﺝ 6
ّ ) (٩أوﺟﺪ ﺑﻌﺪ ا ﻘﻄﺔ )– ( ٥ ، ٢ ، ١ﻋﻦ ا ﺴﺘﻘﻴﻢ ا ﺎر ﺑﺎ ﻘﻄﺔ ) ( ٥ ، ٤ ، ٣و ﺴﺐ ا ﺎﻫﻪ ) . ( ٦ ، ٣ – ، ٢
) (١٠أوﺟﺪ ا ﻌﺪ اﻟﻌﻤﻮدى ﻣﻦ ا ﻘﻄﺔ ) ( ٧ ، ١ – ، ٣ﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ا ﺎر
· إ ﺎد ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻊ ﺴﺘﻮى : ً )أوﻻ( إذا ﻧﺖ ا ﻌﺎدﻻت ﺑﺎ ﺼﻮرة اﻹﺣﺪاﺛﻴﺔ : ﻣﻦ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ا ﺴﺘﻮى ﻧﻮﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﻣﺘﻐ ﺑﺪﻻﻟﺔ ا ﺘﻐ ﻦ اﻵﺧﺮ ﻦ
ﺑﺎ ﻘﻄﺘ ) . ( ٥ ، ٣ ، ٠ ) ، ( ١ – ، ٢ ، ٢
ﺛﻢ ﻧﻌﻮض ﻣﻌﺎدﻟﺔ ا ﺴﺘﻘﻴﻢ ﻳ ﺘﺞ ﺎ ﻣﻌﺎد ً ا ﺎ ﺘ ﺟ ﺎ ﻓﻨﺤﺼﻞ ﺛﻢ ﻞ ا ﻌﺎد
· ﻹ ﺎد ا ﻌﺎدﻟﺔ ا ﺘﺠﻬﺔ ﻠﻤﺴﺘﻮى ﻳﻠﺰﻣﻨﺎ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻧﻘﻄﺔ وﻣﺘﺠﻪ اﻻ ﺎه اﻟﻌﻤﻮدى
· ا ﻌﺎدﻟﺔ ا ﺘﺠﻬﺔ ﻠﻤﺴﺘﻮى
ﺛﻢ ﻧﻌﻮض ﺑﻬﻤﺎ ﻠﺤﺼﻮل ً )ﺛﺎﻧﻴﺎ( إذا ﻧﺖ ا ﻌﺎدﻻت ﺑﺎ ﺼﻮرة ا ﺘﺠﻬﺔ :
ا ﺴﺘﻮى
ﻧﻌﻮض ﺑـ ﺭ ﰒ ﻣﻦ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ا ﺴﺘﻘﻴﻢ
اﻟﻔﺮاغ :
.
· ا ﺼﻮرة اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ ﻌﺎدﻟﺔ ا ﺴﺘﻮى :
ا ﺰاو ﺔ ﺑ ﻣﺘﺠ
اﻻ ﺎه اﻟﻌﻤﻮدﻳﻦ ﻋﻠﻴﻬﻤﺎ
ﺴﺘﻮ
ﻻﺣﻆ أن :ا ﺰاو ﺔ ﺑ
ز
ا ﺰاو ﺔ ﺑ
٣١
ﻣﻌﺎدﻟﺔ ا ﺴﺘﻮى و ﺪد
ﻗﻴﻤﺔ ﻙ ﺛﻢ ﻧﻌﻮض ﻋﻨﻬﺎ :
| ﻥ ١ﰒ ّ ﻥ ٢ﰒ| ﺟﺘﺎ = θ || ﻥ ١ﰒ|| || ﻥ ٢ﰒ||
إذا ن :ﻥ ﰒ= ) ﺍ ،ﺏ ،ﺝ ( ،ﺍ ﰒ= ) ﺱ ، ١ﺹ ، ١ﻉ ( ١ﻓﺈن : ﺍ)ﺱ –ﺱ +( ١ﺏ) ﺹ – ﺹ +( ١ﺝ)ﻉ – ﻉ ٠ =( ١
ﻗﻴﻤ ا ﺠﻬﻮﻟ
ﻣﻌﺎدﻟﺔ ا ﺴﺘﻘﻴﻢ .
· ا ﺰاو ﺔ ﺑ
ﺣﻴﺚ :ﺍ ﻧﻘﻄﺔ ﻱ ا ﺴﺘﻮى ،ﻥ ﰒ ﻣﺘﺠﻪ اﻻ ﺎه اﻟﻌﻤﻮدى ﻋﻠﻴﻪ
ﻬﻮﻟ
ﻗﻴﻤﺔ ا ﺠﻬﻮل ا ﺎﻟﺚ .
ا ﺴﺘﻮى .
ﻥ ﰒ ّ ﺭ ﰒ= ﻥ ﰒ ّ ﺍ ﰒ
ا ﻘﻂ ) ﺱ، ( ٠ ، ٠ ، ١
) ، ٠ﺹ ، ٠ ، ٠ ) ، ( ٠ ، ١ﻉ ( ١ﻓﺈن ﻣﻌﺎدﻟﺔ ا ﺴﺘﻮى ﺗ ﻮن
3
3
) ﺑﻮﺿﻊ ﺭ ١ﰒ = ﺭ ٢ﰒ ( .
) (٢ﻧﻮﺟﺪ ﻣﺘﺠﻪ ا ﺎه اﻟﻌﻤﻮدى ) ﻥ ﰒ= ﻩ ١ﰒ × ﻩ ٢ﰒ ( .
ﺱ 1+ﺫ § -ﻉ ل: ٢ = = ﺫ 4 3
ا ﺴﺘﻘﻴﻤ
) (٣ﻧﻮﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ا ﺴﺘﻮى ا ﻄﻠﻮ ﺔ .
· ﻣﻌﺎدﻟﺔ ا ﺴﺘﻮى ا ﺎر ﺑﻤﺴﺘﻘﻴﻤ ﻣﺘﻘﺎﻃﻌ :
ل : ٢ﺭ ﰒ= ) + ( ٥ ، ١ – ، ٢ﻙ )– ( ٢ ، ١ ، ١ ) (٣ل : ١ﺱ = ٥ – ٢ﻙ ،ﺹ = – ١ﻙ ،ﻉ = ٤ + ٣ﻙ
ا ﺴﺘﻘﻴﻢ ﺭ ﰒ= ) + ( ٢ ، ١ – ، ١ﻙ ) ( ١ – ، ٢ ، ٢
اﺳﺘﻘﺎﻣﺔ واﺣﺪة ) ﺍﺏ ﰒ ﻵ ﺍﺝ ﰒ( .
) (٢ﻧﻮﺟﺪ ﻣﺘﺠﻪ ا ﺎه اﻟﻌﻤﻮدى ) ﻥ ﰒ= ﺍﺏ ﰒ × ﺍﺝ ﰒ ( .
( 1 ، 4 ، 3 –) ، ( 1 ،
) (٢ل ٢ : ١ﺱ = ٣ﺹ – = ١ﻉ – ٣
ﺍ،ﺏ ،ﺝ:
اﺳﺘﻘﺎﻣﺔ واﺣﺪة :
ﺣﻴﺚ ٠ﲪﺲ θﲪﺲ ٩٠ ﺴﺘﻘﻴﻢ
اﻟﻔﺮاغ و ﺴﺘﻮى
ﻣﺘﺠﻪ ا ﺎه ا ﺴﺘﻘﻴﻢ وﻣﺘﺠﻪ اﻟﻌﻤﻮدى | ﻩ ﰒ ّ ﻥ ﰒ|
|| ﻩ ﰒ|| || ﻥ ﰒ||
٥
ﻣﺘﻤﻤﺔ ا ﺴﺘﻮى
ﻟﻸﺳﺘﺎﺫ ﺍﻟﻘﺪﻳﺮ /ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺪﻳﻦ ﻳﺤﻴﻰ ٠١١١٩٦٦٠٦١٦
ﺍﻟﺠﺒﺮ ﻭﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﺮﺍﻏﻴﺔ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ ﺣﻴﺚ ٠ﲪﺲ θﲪﺲ ٥٩٠
أى :ﺟﺎ = θ
ﺍ1
· ا ﺴﺘﻮ ﺎن ﻣﺘﻮاز ﺎن ﺅﺉ ﻥ ١ﰒ [ ﻥ ٢ﰒ أ، ﺍ1
ﻻﺣﻆ أن (١) :إذا ن ) (٢إذا ن
ﺍ1
ﺍﺫ
ا ﺴﺘﻮ
ﺍﺫ
=
=
ﺏ1
ﺏﺫ
ﺏ1
=
ﺏﺫ
ﻣﺘﻘﺎﻃﻌ .
· ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﺧﻂ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﺴﺘﻮ ) (١
1Ü
Üﺫ
ﻵ
1Ù
Ùﺫ
ﺏﺫ
Üﺫ
ﻓﺈن
1Ü
Üﺫ
=
1Ù
Ùﺫ
ﻣﻨﻄﺒﻘﺎن
ﻓﺈن ا ﺴﺘﻮ
: وﻧﻮﺟﺪ ع ﺑﺪﻻﻟﺔ ص
) (٧ﻉ = ﺍ
ﻣﻌﺎدﻟﺔ ا ﺴﺘﻮى ﺱ ﺹ ﻧﻔﺴﻪ .
· ﻃﻮل اﻟﻌﻤﻮد ا ﺮﺳﻮم ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ إ ُ ﺑﻌﺪ ا ﻘﻄﺔ ﺍ ) ﺱ ، ١ﺹ ، ١ﻉ ( ١
) (١أوﺟﺪ ا ﺼﻮر ا ﺨﺘﻠﻔﺔ ﻌﺎدﻟﺔ ا ﺴﺘﻮى ا ﺎر ﺑﺎ ﻘﻄﺔ
) (١ ، ٣ – ، ٢وا ﺘﺠﻪ ﻥ ﰒ= ) ( ٣ ، ١ – ، ١ﻋﻤﻮدى ﻋﻠﻴﻪ .
وﻧﻮﺟﺪ ع ﺑﺪﻻﻟﺔ س
ﻜﺘﺎﺑﺔ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﺧﻂ ا ﻘﺎﻃﻊ ﺴﺎوى ﻗﻴﻤ ﻉ ﺑﺎ ﺮ ﺰ ﻉ ﺴﺘﻮى :
ا ﻞ
ا ﺼﻮرة ا ﺘﺠﻬﺔ :ﻥ ﰒ ّ ﺭ ﰒ= ﻥ ﰒ ّ ﺍ ﰒ
ﺇ ) ّ ( ٣ ، ١ – ، ١ﺭ ﰒ= ) ٢ = ٣ + ٣ – ٢ = ( ١ ، ٣ ، ٢ ) ّ ( ٣ ، ١ – ، ١
ﻥ ﰒ
ﺍ
أى ّ ( ٣ ، ١ – ، ١ ) :ﺭ ﰒ= ٢
ﻝ
ﻋﻦ ا ﺴﺘﻮى ﺳﺲ ﺴﺎوى ﻃﻮل
،ا ﺼﻮرة اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ :ﺍ ) ﺱ – ﺱ + ( ١ﺏ ) ﺹ – ﺹ + ( ١ﺝ ) ﻉ – ﻉ ٠ = ( ١ ﺏ
ﻥ ﰒ
ﺳﺲ
.
| ﺏ ﺍ ﰒ ّ ﻥ ﰒ|
أى ) ١ :ﺱ – ) ١ – ( ٢ﺹ – ) ٣ + ( ٣ﻉ – ٠ = ( ١
،ا ﺼﻮرة اﻟﻌﺎﻣﺔ :ﺱ – ﺹ ٣ +ﻉ – ٠ = ٢
) (٢أوﺟﺪ ا ﺼﻮر ا ﺨﺘﻠﻔﺔ ﻌﺎدﻟﺔ ا ﺴﺘﻮى ا ﺎر ﺑﺎ ﻘﻂ :
|| ﻥ ﰒ||
).(٣،٠،٠)،(٠،٢،٠)،(٠،٠،١
.
ﺣﻴﺚ ب ﻧﻘﻄﺔ ﻱ ا ﺴﺘﻮى ﺳﺲ و ﺪدﻫﺎ ﺑﻮﺿﻊ ﺱ = ، ٠ﺹ = ٠ ﺛﻢ ﺴﺐ ﻗﻴﻤﺔ ع ﻣﻦ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ا ﺴﺘﻮى
· ا ﺼﻮرة اﻹﺣﺪاﺛﻴﺔ ﻟﻄﻮل اﻟﻌﻤﻮد ا ﺮﺳﻮم ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ إ
ﺴﺘﻮى :
ﻃﻮل اﻟﻌﻤﻮد ا ﺮﺳﻮم ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻌﻠﻮﻣﺔ ) ﺱ ، ١ﺹ ، ١ﻉ ( ١ ل=
· ﻹ ﺎد ا ﺴﺎﻓﺔ ﺑ
ﺍÙ + 1¬Ü +1§ B +1¤
ﺴﺘﻮ
ﺍﺫ B +ﺫ Ü +ﺫ
ﻣﺘﻮاز
ﻡ ﻥ
ا ﺼﻮرة اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻌﺎدﻟﺔ ا ﺴﺘﻮى :
ﺑﻔﺮض ﻣﻌﺎدﻟﺔ ا ﺴﺘﻮى :ﺍ ﺱ +ﺏ ﺹ +ﺝ ﻉ ٠ = +
) (٣ﺏ = ٠ﺉ ا ﺴﺘﻮى ﻳﻮازى ﻮر ﺹ وﻋﻤﻮدى
٢ﺹ = ٥ﻉ ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺎن ﺛﻢ أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ا ﺴﺘﻮى ا ى ﻮ ﻬﻤﺎ
أﺣﺪﻫﻤﺎ ﺛﻢ
ﺗﻘﺎﻃﻌﻬﻤﺎ داﺋﺮة ﺮ ﺰﻫﺎ ﻥ ﻓﺈن ً ﺴﺘﻮى ا اﺋﺮة ﻥ . ﻡ ﻥ ﰐ ﻳ ﻮن ﻋﻤﻮدﻳﺎ
) (٢ﺍ = ٠ﺉ ا ﺴﺘﻮى ﻳﻮازى ﻮر ﺱ وﻋﻤﻮدى
) ا ﺼﻮرة اﻟﻌﺎﻣﺔ ( ،ﰈ ا ﺴﺘﻮى ﻳﻤﺮ ﺑﺎ ﻘﻄﺔ ) ( ٠ ، ٠ ، ١
) (٣أﺛﺒﺖ أن ا ﺴﺘﻘﻴﻤ ل ٢ : ١ﺱ = ٣ﺹ = ٤ﻉ ،ل ٣ : ٢ﺱ =
· إذا ﻗﻄﻊ ﺴﺘﻮى – ﻛﺮة ﺮ ﺰﻫﺎ ﻡ وﻧﺘﺞ ﻋﻦ
) = (١ﺻﻔﺮ ﺉ ا ﺴﺘﻮى ﺘﻮى ﻧﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ
1
ﺫ
3
) ٦ ،ﺱ – ٣ + ( ١ﺹ ٢ +ﻉ = ٠ﲤﺲ ا ﺼﻮرة اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ
ﻧﻮﺟﺪ ﻃﻮل اﻟﻌﻤﻮد ا ﺮﺳﻮم ﻣﻦ ﻫﺬه ا ﻘﻄﺔ إ ا ﺴﺘﻮى اﻵﺧﺮ .
· ﻼﺣﻈﺎت ﻫﺎﻣﺔ
ﺱ +ﺹ +ﻉ = ) ١ﺑﺎ
ب
(٦ﺇ ٦ﺱ ٣+ﺹ ٢+ﻉ ٠=٦-
ﺇ ) ّ ( ٢ ، ٣ ، ٦ﺭ ﰒ= ٦ﲤﺲ ا ﺼﻮرة ا ﺘﺠﻬﺔ
.
ﻧﻮﺟﺪ ﻧﻘﻄﺔ
ا ﻞ
ﺇ ) ّ ( ٢ ، ٣ ، ٦ﺭ ﰒ= ) ( ٠ ، ٠ ، ١ ) ّ ( ٢ ، ٣ ، ٦
ا ﺴﺘﻮى :ﺍ ﺱ +ﺏ ﺹ +ﺝ ﻉ ٠ = +ﻫﻮ : ü
ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﺴﺘﻮى ﻳﻮازى ا ﺴﺘﻮى ﺱ ﺹ ﺑ ﻨﻤﺎ ﻉ = ٠
) (٢ﺬف ص ﻣﻦ ﻣﻌﺎدﻟ ا ﺴﺘﻮ
ل=
) (٦ﺹ = ﺍ
ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﺴﺘﻮى ﻳﻮازى ا ﺴﺘﻮى ﺱ ﻉ ﺑ ﻨﻤﺎ ﺹ = ٠
ﻣﻌﺎدﻟﺔ ا ﺴﺘﻮى ﺹ ﻉ ﻧﻔﺴﻪ .
اﺧﺘﻼف ﺴﺒﺔ واﺣﺪة ( ﻓﺈن
ﺬف س ﻣﻦ ﻣﻌﺎدﻟ ا ﺴﺘﻮ
ﺴﻘﻂ ﺏ ﺍ ﰒ
) (٥ﺱ = ﺍ
ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﺴﺘﻮى ﻳﻮازى ا ﺴﺘﻮى ﺹ ﻉ ﺑ ﻨﻤﺎ ﺱ = ٠
ﻣﻌﺎدﻟﺔ ا ﺴﺘﻮى ﺱ ﻉ ﻧﻔﺴﻪ .
ﻣﺘﻮاز ﺎن وﻏ ﻣﻨﻄﺒﻘ
) (٣إذا ﻢ ﻳﺘﺤﻘﻖ ا ﻨﺎﺳﺐ ) ﻳ ا ﺴﺘﻮ
=
ﺍﺫ
=
ﺏ1
=
1Ü
) (٤ﺝ = ٠ﺉ ا ﺴﺘﻮى ﻳﻮازى ﻮر ﻉ وﻋﻤﻮدى
ا ﺴﺘﻮى ﺱ ﺹ
ا ﺴﺘﻮى ﺹ ﻉ ا ﺴﺘﻮى ﺱ ﻉ
ا ﻞ
ل ) : ١ﺑﺎﻟﻘﺴﻤﺔ ( ١٢ﺉ ﺱ = ﺹ = ﻉ وﻫﻮ ﺴﺘﻘﻴﻢ ﻳﻤﺮ ﺑﻨﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ ، 3 4 6 ﻉ ﺹ ﺱ = = ﻩ ١ﰒ = ) ، ( ٣ ، ٤ ، ٦ل ) : ٢ﺑﺎﻟﻘﺴﻤﺔ ( ٣٠ﺉ 6 15 10 وﻫﻮ ﺴﺘﻘﻴﻢ ﻳﻤﺮ ﺑﻨﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ ،ﻩ ٢ﰒ = ) ( ٦ ، ١٥ ، ١٠ ﺇ ا ﺴﺘﻘﻴﻤﺎن ﻳﺘﻘﺎﻃﻌﺎن
ا ﻘﻄﺔ ) ( ٠ ، ٠ ، ٠
O ¨ £ ،ﻥ ﰒ= ﻩ ﰒ× ﻩ ﰒ= ٢١ – = 3 4 6ﺳﺲ ﰒ – ٦ﺻﺺ ﰒ ٥٠ +ﻉ ﰒ ٢ ١ 6 15 10 0
0
0
= )– ( ٥٠ ، ٦ – ، ٢١ﺉ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ا ﺴﺘﻮى
٢١ – :ﺱ – ٦ﺹ ٥٠ +ﻉ = ٠
أى ٢١ :ﺱ ٦ +ﺹ – ٥٠ﻉ = ٠ﻷﻧﻪ ﺘﻮى ﻧﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ .
٣٢
ﻟﻸﺳﺘﺎﺫ ﺍﻟﻘﺪﻳﺮ /ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺪﻳﻦ ﻳﺤﻴﻰ ٠١١١٩٦٦٠٦١٦
ﺍﻟﺠﺒﺮ ﻭﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﺮﺍﻏﻴﺔ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ ) (٤أوﺟﺪ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ ا ﺴﺘﻘﻴﻢ ﺭ ﰒ= ) + ( ٢ ، ٤ ، ١ﻙ )(٢ ، ٢ ، ٣ ﻣﻊ ا ﺴﺘﻮى ّ ( ٢ ، ٢ ، ٣ ) :ﺭ ﰒ= – ٢
ﻣﻌﺎدﻟﺔ ا ﺴﺘﻮى
ﺇ )٣+١) ّ (٢،٢،٣ﻙ٢+٤،ﻙ٢+٢،ﻙ(= –٢
ﺇ ٩ + ٣ﻙ ٤ + ٨ +ﻙ ٤ + ٤ +ﻙ = – ٢ﺇ ١٧ﻙ = – ١٧ﺇ ﻙ = – ١
) (١٠أوﺟﺪ اﻷﺟﺰاء اﻟ ﻳﻘﻄﻌﻬﺎ ا ﺴﺘﻮى ٢ﺱ ٣ +ﺹ – ﻉ = ٦ ﻣﻦ ﺎور اﻹﺣﺪاﺛﻴﺎت .
)– ( ٠ ، ٢ ، ٢
) (٥أوﺟﺪ ﻗﻴﺎس ا ﺰاو ﺔ ﺑ ا ﺴﺘﻮ ٢ ،ﺱ+ﺹ –ﻉ =٣
ﻮن ا ﻌﺪ ﺑ ا ﺴﺘﻮ
) (
ﺇ ) + ( ٢ ، ٤ ، ١ ) ] ّ ( ٢ ،٢ ، ٣ﻙ ) ٢ – = [ ( ٢ ، ٢ ، ٣
ﺇ ﻧﻘﻄﺔ ا ﻘﺎﻃﻊ
ﺗﻔﻜ ﻧﺎﻗﺪ :إذا ﻗﻄﻊ ا ﺴﺘﻮى ٣ﺱ ٢ +ﺹ ٤ +ﻉ = ١٢
:ﺱ –٣ﺹ ٢+ﻉ =٠
ﺎور اﻹﺣﺪاﺛﻴﺎت ﺳﺲ ،ﺻﺺ ،ﻉ ا ﻞ
ﻥ ١ﰒ = ) ، ( ٢ ، ٣ – ، ١ﻥ ٢ﰒ = ) ( ١ – ، ١ ، ٢
ﺑﺎﻟﻘﺴﻤﺔ
٥
ﺇ ٧٠ / ٥٤ = θ
ﺍ ﺱ ٢ +ﺹ ٣ +ﻉ = ٢ﻓﻤﺎ ﻗﻴﻤﺔ ﺍ ؟
ا ﺴﺘﻮى
،ﺛﻢ ﻧﺘﺨﻠﺺ ﻣﻦ ص ﻣﻦ
ﺑ ب )(٢
–٣
5ﺹ 3 + ٥+٤– :ﺱ= 13
) (١أوﺟﺪ ا ﺼﻮرة ا ﺘﺠﻬﺔ ﻌﺎدﻟﺔ ا ﺴﺘﻮى ا ﺎر ﺑﺎ ﻘﻄﺔ
ﺇ – ٥ﺱ +ﻉ = – ٤ﺇ ﻉ = – ٥ + ٤ﺱ (٤) .............ﻣﻦ ) (٤) ، (٣ﺉ =ﻉ
) (٨أوﺟﺪ ﻃﻮل اﻟﻌﻤﻮد ا ﺮﺳﻮم ﻣﻦ ا ﻘﻄﺔ ) – ( ٤ ، ١ ، ٢ ا ﺴﺘﻮى ا ى ﻣﻌﺎد ﻪ ﺭ ﰒ ّ ) ٤ = ( ٢ ، ٣ – ، ١
ﺳ ﰒ ٢ +ﺻﺺ ﰒ – ٣ﻉ ﰒ . )– ، ( ٢ ، ٤ ، ٣وا ﺘﺠﻪ ﻥ ﰒ= ﺲ
) (٢أوﺟﺪ ا ﺼﻮر ا ﺨﺘﻠﻔﺔ ﻌﺎدﻟﺔ ا ﺴﺘﻮى ا ﺎر ﺑﺎ ﻘﻂ : ).(٣،٣،٠)،(٤،١،٢)،(٠،١–،٣ ) (٣إذا ﺮ ا ﺴﺘﻮى ٢ﺍ ﺱ – ٣ﺍ ﺹ ٤ +ﺍ ﻉ ٠ = ٦ + ﺑﻤﻨﺘﺼﻒ اﻟﻘﻄﻌﺔ ا ﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ا ﻮاﺻﻠﺔ ﺑ
ا ﻞ
ﻣﻌﺎدﻟﺔ ا ﺴﺘﻮى
٢
) (٩أﺛﺒﺖ أن ا ﺴﺘﻮ
اﻵﺗ
،ﺱ + ٢ﺹ + ٢ﻉ ١٠ – ٢ﺱ ٤ +ﺹ – ٢ﻉ = ٨ﻓﻤﺎ ﻗﻴﻤﺔ ﺍ ؟
وﺣﺪة ﻃﻮل
ﻣﺘﻮاز ﺎن ،وأوﺟﺪ ا ﻌﺪ ﺑ ﻨﻬﻤﺎ :
) (٤أﺛﺒﺖ أن ا ﺴﺘﻘﻴﻤ
ﺳ ﰒ – ﺻﺺ ﰒ +ﻉ ﰒ ( ﺳ ﰒ ٥ +ﺻﺺ ﰒ ( +ﻙ ) ٢ﺲ ،ﺭ ٢ﰒ= ) ٢ﺲ
ا ﻞ ﰈ
6 = 6 = 3ﻵ 4ﺇ ا ﺴﺘﻮ ﺎن ﻣﺘﻮاز ﺎن وﻏ ﻣﻨﻄﺒﻘ
1
ﺫ
ﺫ
ﻧﻮﺟﺪ ﻧﻘﻄﺔ أﺣﺪ ا ﺴﺘﻮ
و
ﻦ ا ﺴﺘﻮى اﻷول ﺑﻮﺿﻊ ﺱ = ، ٠ﺹ = ٠
:
ﺳ ﰒ ٢ +ﺻﺺ ﰒ ٣ +ﻉ ﰒ( ﺳ ﰒ +ﺻﺺ ﰒ – ﻉ ﰒ( +ﻙ ) ١ﺲ ﺭ ١ﰒ= ) ٣ﺲ
٣ﺱ ٦+ﺹ ٦+ﻉ = ، ٤ﺱ ٢+ﺹ ٢+ﻉ =١ 1
٢
٢
ﺮ ﺰى ا ﻜﺮﺗ
:
ﺱ +ﺹ +ﻉ ٦ +ﺱ – ٨ﺹ – ٢ﻉ = ١٣
:ﺱ –٣ﺹ ٢+ﻉ –٠=٤
- )1ﺫ( + (1) 3 -ﺫ)4 - (4 13S ﺇ ﻃﻮل اﻟﻌﻤﻮد = = 13 4 + 9 + 1S
0
ﺇ ﺴﺎﺣﺔ ا ﺜﻠﺚ ﺍﺏ ﺝ = /٢٩] ٣ = /٢٩] ٦ × 1وﺣﺪة ﺮ ﻌﺔ || 1ﺍﺏ ﰒ × ﺍﺝ ﰒ|| = ﺫ ﺫ
ﺑ ب ) ٢ – (١وا ﻤﻊ
ا ﺼﻮرة اﻹﺣﺪاﺛﻴﺔ ﻌﺎدﻟﺔ ﺧﻂ ا ﻘﺎﻃﻊ
0
|| ﺍﺏ ﰒ × ﺍﺝ ﰒ|| = ])/٢٩] ٦ = :٢(:٢٤:): +: :٢(:١٢:): :+ :٢(:١٨
5ﺹ 3 + (٣) ............ وا ﻤﻊ ﺇ ٥ﺹ – ١٣ﻉ = – ٣ﺇ ﻉ = 13
ا ﻌﺎد
ﺗﻔﻜ ﻧﺎﻗﺪ ) :ﺑﺎﻟﻘﺴﻤﺔ
( ١٢ﺉ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ا ﺴﺘﻮى :
O ¨ £ ﺍﺏ ﰒ × ﺍﺝ ﰒ = 6 4 - 3 0 4-
٣ﺱ – ﺹ ٢+ﻉ = ، ٣ﺱ –٢ﺹ ٥+ﻉ =٢
ﺇ ا ﺴﺘﻮ ﺎن ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺎن ﻧﺘﺨﻠﺺ ﻣﻦ ﺱ ﻣﻦ
اﻟ ﺗﻴﺐ
اﻻ ﺎه ا ﺴﺎﻟﺐ .
ﺹ +ﻉ١ = 3 ﺱ+ 6 4
ﺳ ﰒ ١٢ +ﺻﺺ ﰒ ٢٤ +ع ﰒ ١٨ = 0ﺲ
:
ا ﻌﺎد
٦،٢،٣
0
ﺇ ﺍ – ٠= ٣+ ٦ﺉ ﺍ = ٣
ﻥ ١ﰒ= ) ، ( ٢ ، ١ – ، ٣ﻥ ٢ﰒ= ) ، ( ٥ ، ٢ – ، ١ﰈ
6-
ﺍﺏ ﰒ= ﺏ – ﺍ = )– ، ( ٠ ، ٦ ، ٤ﺍﺝ ﰒ= ﺝ – ﺍ = )– ( ٣ ، ٠ ، ٤
ﰈ ا ﺴﺘﻮ ﺎن ﻣﺘﻌﺎﻣﺪان ﺇ ) ) ّ ( ١ ، ٣ – ، ١ﺍ ٠ = ( ٣ ، ٢ ،
ا ﻞ
3
ﺫ
ﺇ ﺍ)،(٠،٠،٤ﺏ)،(٠،٦،٠ﺝ) (٣،٠،٠ﺉ
ا ﻞ
3ﻵ ﺫ 5 1
٦ﺇ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ا ﺴﺘﻮى
:ﺱ +ﺹ +ﻉ =١
ﺇ ا ﺴﺘﻮى ﻳﻘﻄﻊ ﻣﻦ ﺎور اﻹﺣﺪاﺛﻴﺎت ﺳﺲ ،ﺻﺺ ،ﻉ أﺟﺰاء أﻃﻮا ﺎ
) (٦إذا ن ا ﺴﺘﻮى ﺱ – ٣ﺹ +ﻉ = ٤ﻋﻤﻮدى
) (٧أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﺧﻂ ﺗﻘﺎﻃﻊ ا ﺴﺘﻮ
ا ﻘﻂ :ﺍ ،ﺏ ،ﺝ
اﻟ ﺗﻴﺐ .اﺣﺴﺐ ﺴﺎﺣﺔ ا ﺜﻠﺚ ﺍﺏ ﺝ .
ا ﻞ
ﺫ - 3 -ﺫ 1Sﺫ ،ﺟﺘﺎ = θ = 14 6S ´ 14S
3
= ﻃﻮل اﻟﻌﻤﻮد ا ﺮﺳﻮم ﻣﻦ ) ، ٠ ، ٠ﺫ ( إ ا ﺴﺘﻮى ا ﺎ 3 + (0)1ﺫ ) + (0ﺫ ﺫ 1- 3 1 = = وﺣﺪة ﻃﻮل 9 4 + 4 + 1S
ا ﻞ
ﺑﺎ ﻌﻮ ﺾ ﻋﻦ ﺭ ﰒ ﻣﻦ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ا ﺴﺘﻘﻴﻢ
و
ﻣﻌﺎدﻟﺔ ا ﺴﺘﻮى اﻷول ﺇ ﻉ = ﺫ 3
ﺇ ) ، ٠ ، ٠ﺫ ( ﻱ ا ﺴﺘﻮى اﻷول
ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺎن ﺛﻢ أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ا ﺴﺘﻮى ا ى ﻮ ﻬﻤﺎ . ) (٥أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ا ﺴﺘﻮى ا ى ﺘﻮى ا ﺴﺘﻘﻴﻢ :
٣٣
ﻟﻸﺳﺘﺎﺫ ﺍﻟﻘﺪﻳﺮ /ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺪﻳﻦ ﻳﺤﻴﻰ ٠١١١٩٦٦٠٦١٦
ﺍﻟﺠﺒﺮ ﻭﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﺮﺍﻏﻴﺔ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ ﺭ ١ﰒ= ) + ( ٥ – ، ٣ ، ٠ﻙ ( ١ – ، ٢ – ، ٦ ) ١و ﻮازى ا ﺴﺘﻘﻴﻢ
ﺭ ٢ﰒ= ) + ( ٤ – ، ٧ ، ١ﻙ( ٣ ، ٣ – ، ١ ) ٢ ) (٦أوﺟﺪ ﻗﻴﺎس ا ﺰاو ﺔ ﺑ
زوج ﻣﻦ ا ﺴﺘﻮ ﺎت اﻵﺗﻴﺔ :
) ٢ (١ﺱ – ﺹ +ﻉ = ٣ ، ٥ﺱ ٢ +ﺹ – ٢ﻉ = ١
) (٢ﺹ = ، ٤ﺱ – ٣ﺹ ٥ +ﻉ = ١ ) (٧أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﺧﻂ ﺗﻘﺎﻃﻊ ا ﺴﺘﻮ
– ١إذا ﻗﻄﻊ ا ﺴﺘﻮى ١٠ﺱ ١٢ +ﺱ ٦ +ﻉ = ٦٠
ﺱ،ﺹ،ﻉ
ﺍﺏ ﺝ و .ﺣﻴﺚ و ﻧﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ ﺴﺎوى . ...........وﺣﺪة ﻜﻌﺒﺔ ﺍ~ ٢٠ –٢
ﺍ~ ٢
ﺭ ﰒ )ﺱ ﰒ –٢ﺹ ﰒ ٤+ﻉ ﰒ(=٩ ) (٩إذا ن ﻃﻮل اﻟﻌﻤﻮد ا ﺮﺳﻮم ﻣﻦ ا ﻘﻄﺔ ) ( ٢ ، ١ – ، ٠
ا ﺴﺘﻮى ] ٢ﺱ +ﺹ – ﻉ +ﻙ = ٠ﺴﺎوى ٢وﺣﺪة ﻃﻮل
أوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﻙ . ) (١٠إذا ﻗﻄﻊ ا ﺴﺘﻮى ٢ :ﺱ – ﺹ – ٢ﻉ ٠ = ١٢ +ا ﻜﺮة : ) ﺱ ) + ٢( ٣ +ﺹ ) + ٢( ٢ +ﻉ – . ١٥ = ٢( ١أوﺟﺪ ﺴﺎﺣﺔ ا ﻘﻄﻊ ا ﺎﺗﺞ .
ً
) (١أﻗﺮأ ا ﺴﺆال ﺑﻌﻨﺎﻳﺔ ،وﻓﻜﺮ ﻓﻴﻪ ﺟﻴﺪا ﻗﺒﻞ ا ﺪء
إﺟﺎﺑﺘﻪ .
Øاﻷﺳﺌﻠﺔ ا ﻘﺎ ﺔ : أ ﺘﺐ اﺟﺎﺑﺘﻚ
ً
ﻼ
ً
ﻣﻦ داﺋﺮة واﺣﺪة ﺣ ﻻﺗﻔﻘﺪ درﺟﺔ ا ﺴﺆال
ا ن ا ﺨﺼﺺ ً
ﺳﺆال .
) (٤ﻋﺪد أﺳﺌﻠﺔ ا ﻜﺘﻴﺐ ) ( ٢٠ﺳﺆاﻻ .
) (٦ﺗﺄ ﺪ ﻣﻦ ﺗﺮﻗﻴﻢ اﻷﺳﺌﻠﺔ ،وﻣﻦ ﻋﺪد ا ﺼﻔﺤﺎت ﻗﺒﻞ اﻻﺟﺎﺑﺔ . ) (٧زﻣﻦ اﻻﺧﺘﺒﺎر ﺳﺎﻋﺘﺎن .
–٥اﺸ
×
٤
ﻉ
ﺝ~ ٢ت
٢
٢ – ~ت
ﺏ~ ٦
٨ ~
ﺝ~ ٧
ا ﻘﺎﺑﻞ :
ﻉ ، ١ﻉ ٢ﻋﺪدان ﺮ ﺒﺎن ،و ن ) ﻉ ١ﻉ ( ٢ﻋﺪد ﺮ ﺐ
ﻓﺈن ﻉ . ............ = ٢ ﺏ~ – ت
ﺹ
ﻉ ١
ﺍ~ – ٢ت
×
×
ﺱ
ﻉ ﻉ ٢ ١
و
٢ ~ت
– ٦ﻃﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ا ﻜﺮة :ﺱ + ٢ﺹ + ٢ﻉ ٢ – ٢ﺱ – ٦ﺹ ١٠ +ﻉ – = ١ﺻﻔﺮ ﺴﺎوى . ............وﺣﺪة ﻃﻮل . ﺍ~ ٣
ﺏ~ ٤
ﺝ~ ٥
٦ ~
– ٧إذا ن ﺍ = ) ، ( ٣ ، ١ – ، ٢ﺏ = )– ( ٩ – ، ٢ ، ٢ﻓﺈن ﻃﻮل ﺍﺏ. ................ = / ﺍ~ ١٥
ﺏ~ ١٣
١٠ ~
ﺝ~ ١٢
– ٨إذا ن ﺍ ﰒ= ) ، ( ٤ – ، ٣ ، ٢ﺏ ﰒ= ) ، ٢ ، ٤ﻡ ( و ن ﺍ ﰒ ﻊﻋ ﺏ ﰒ ﻓﺈن ﻗﻴﻤﺔ ﻡ = . .............
) (٨ا رﺟﺔ ا ﻴﺔ ﻼﺧﺘﺒﺎر ) ( ٣٠درﺟﺔ . ) (٩ﺴﻤﺢ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻵﻟﺔ ا ﺎﺳﺒﺔ .
ﺏ~ – ٢
٨
ﻓﺈن ﻥ ﺴﺎوى . .............
) (٥ﻋﺪد ﺻﻔﺤﺎت ا ﻜﺘﻴﺐ ) ( ١٥ﺻﻔﺤﺔ ﻼف اﻟﻐﻼف .
أﺟﺐ ﻋﻦ اﻷﺳﺌﻠﺔ اﻵﺗﻴﺔ :
ﻉﺫ
ﻉ
١
×
ﺱ
= . ...........
ﺝ~ ت
ﻫﺬا اﻻﺧﺘﺒﺎر ﻧﻮ ن ﻣﻦ اﻷﺳﺌﻠﺔ : اﻻﺟﺎﺑﺔ ا ﺼﺤﻴﺤﺔ ﺗﻈﻠﻴﻼ
ﺹ
– ٤إذا ن ﻋﺪد ﺣﺪود ﻣﻔﻜﻮك ) ﺱ +ﺹ ( ٢ﻥ – ١ﺴﺎوى ١٢ﺣﺪ
) ﺑﻤﻌ أﻧﻪ ﻻ ﺗﻮﺟﺪ أﺳﺌﻠﺔ اﺧﺘﻴﺎر ﺔ (
Øأﺳﺌﻠﺔ اﻻﺧﺘﻴﺎر ﻣﻦ ﻣﺘﻌﺪد :
ﺝ~ ٥٠
ا ﻘﺎﺑﻞ :
~ﻏ ذ ﻚ
p5 – ٣إذا ن ﻉ ، ١ﻉ ٢ﻋﺪدان ﺮ ﺒﺎن ،ﺳﻌﺔ ) ﻉ ١ﻉ = ( ٢ 18 ﻉ ،ﺳﻌﺔ ) p = ( 1ﻓﺈن ﺳﻌﺔ ﻉ . ............ = ١ 9 ﻉﺫ p5 p7 p ~ ﺝ~ p ﺍ~ ﺏ~ 4 3 36 36
) (٢أﺟﺐ ﻋﻦ ﻴﻊ اﻷﺳﺌﻠﺔ وﻻ ﺗ ك أى ﺳﺆال ﺑﺪون إﺟﺎﺑﺔ .
ﺳﺆال وﻻ ﺗﻈﻠﻞ أ
ﻉ1
ﺍ~ ٥
ﻇﻠﻞ ا اﺋﺮة ا اﻟﺔ
ﺏ~ ٣٠
اﺸ
ﻓﺈن :
ﺱ ٢+ﺹ –٢ﻉ =٢ ، ١ﺱ +ﺹ –٣ﻉ =٥ ُ ) (٨أوﺟﺪ ﺑﻌﺪ ا ﻘﻄﺔ ) ( ١ – ، ١ ، ٢ﻋﻦ ا ﺴﺘﻮى :
) (٣ﻳﻮﺟﺪ
اﻟ ﺗﻴﺐ ﻓﺈن ﺣﺠﻢ ا ﺠﺴﻢ
ﻉ ، ١ﻉ ٢ﻋﺪدان ﺮ ﺒﺎن
:
· ﺗﻌﻠﻴﻤﺎت ﻫﺎﻣﺔ :
ا ﻘﻂ ﺍ ،ﺏ ،ﺝ
ﺎور اﻹﺣﺪاﺛﻴﺎت
ﺍ~ ١ –٩اﺸ
ﺏ~ ٢ ا ﻘﺎﺑﻞ :
ﺝ~ ٣ ﺍ
ﺍﺏ ﺝ ﺴﺘﻄﻴﻞ ،ﻩ ﻱ ﺍ/ ﻓﺈن ﻩ ﺏ ﰒ ّ ﻩ ﺝ ﰒ= . ............
٣٤
٣
ﻩ
7 ~ ﺫ ٥
ﺏ
٩
ﺝ
ﻟﻸﺳﺘﺎﺫ ﺍﻟﻘﺪﻳﺮ /ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺪﻳﻦ ﻳﺤﻴﻰ ٠١١١٩٦٦٠٦١٦
ﺍﻟﺠﺒﺮ ﻭﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﺮﺍﻏﻴﺔ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ ﺏ~ ٨
ﺍ~ ٧
١٠ ~
ﺝ~ ٩
– ١٠ﻋﺪد اﻟﻄﺮق اﻟ ﻳﻤ ﻦ ﺗ ﻮ ﻦ ﺑﻬﺎ ﻓﺮ ﻖ ﻣﻦ ﺳﺘﺔ أﻋﻀﺎء ﻣﻦ ﺑ ﺛﻤﺎﻧﻴﺔ ﺑﻨﺎت وﺳﺘﺔ أوﻻد ﻴﺚ ﺘﻮى اﻟﻔﺮ ﻖ ﻓﻘﻂ ﺴﺎوى . .............. ﺍ~ ٢١١٠
ﺝ~ ١٠٠٨
ﺏ~ ١١٢٠
/١٢ /+ ٥] _ - ١١ت. .............. = / / ﺍ~ _ ) ٣ + ٢ت (
ﺝ~ ٣ – ٢ )_ت (
ﺛﻼث أوﻻد ٨١٠ ~
ﻥ ،ﻥ -ﺫ -3 ،ﻥ
ﻣﻦ ا ﺴ ﺘﻴﻤ ات ﻓﺈن اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ﺴﺎﺣﺔ ا ﺜﻠﺚ = . ..........ﺳﻢ٢
ﺍ~ ]٣
ﺏ~
3 ﺝ~ S
3S ﺫ
– ١٣أوﺟﺪ ﻗﻴﺎس ا ﺰاو ﺔ ا ﺤﺼﻮرة ﺑ
:
4
ﺫ 3S ~ 3
ﺍ~ ٢ﺟﺘﺎ θ
٣ﺱ – ٤ﺹ ١٢ +ﻉ = ٥ﺴﺎوى ............وﺣﺪة ﻃﻮل
- öﺫ 1 æ 5 ç ﺳ = ÷÷ ﺍﺫ - 0 B -ﺍ ، çو ن – ١٤إذا ﻧﺖ ا ﺼﻔﻮﻓﺔ ﺲ B 0ﺫ +ﺍç ÷ B ø è
ﺍ × ﺏ = – ، ٣و ﻧﺖ ﺮﺗﺒﺔ ا ﺼﻔﻮﻓﺔ ﺳﺲ ﺴﺎوى ٢أوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ
ﺍ + ٦ﺏ٦
ﺏ~ ٢٥
ﺍ~ ٩
– ١٥ﺑﺪون ﻓﻚ أﺛﺒﺖ أن ا ﺤﺪد ﺫ = 0 1 -ﺻﻔﺮ
ﺜﻠﺔ ﺑﺎ ﺘﺠﻬﺎت :
ﺳ ﰒ +ﺻﺺ ﰒ– ١٥ﻉ ﰒ ﺳ ﰒ– ٣ﻉ ﰒ ٣ ،ﺻﺺ ﰒ– ﻉ ﰒ ٢ ،ﺲ – ١٢ﺲ
ﺏ~ ٦٠
أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ا ﻜﺮة .
ﻌﻞ ﻥ ١ +ل ﺭ . ١٢٠ = ١ +
p3 – ١٩إذا ﻧﺖ ﺳﻌﺔ ) ﻉ +ت ( = ، pﺳﻌﺔ ) ﻉ – = ( ٣ 4 4
ﺔ ﺣﻴﺚ ﻉ ﻋﺪد ﺮ ﺐ .
– ٢٠إذا ﻧﺖ ﻣﻌﺎ ﻼت ا ﺪود ا ﺮاﺑﻊ وا ﺎ ﺲ وا ﺴﺎدس
ﻣﻔﻜﻮك ) ٢ﺱ +ﺹ (ﻥ ﺗ ﻮن ﻣﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﺣﺴﺎﺑﻴﺔ .
أوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﻥ .
٨٠ ~
ﻣﻔﻜﻮك ) ﺍ ﺱ ١٠( 1 +ﺣﺴﺐ ﻗﻮى س ا ﻨﺎز ﺔ إذا ن ﺏ¤
ﺍ~ 6 5
ﺏ~ 5 6
5ﺫ ~ 36
ﺝ~ 36 5ﺫ
– ٦إذا ن || ﺍ ﰒ|| = || ، ٤ﺏ ﰒ|| = ، ٣وﻗﻴﺎس ا ﺰاو ﺔ ﺑ ﻨﻬﻤﺎ =
٥٦٠ﻓﺈن ) ٢ﺍ ﰒ ٣ +ﺏ ﰒ ( ّ ) ﺍ ﰒ ٢ +ﺏ ﰒ ( = . ........... ﺏ~ ٢] ٨
٨٦ ~
ﺝ~ ٦
. ..............
ﺍ~ ٦ﺱ – ٤ﺹ ٣ +ﻉ = ١٢ ﺝ~ ٢ﺱ – ٣ﺹ ٤ +ﻉ = ١٢ – ٨ﻗﻴﻤﺔ ﺱ اﻟ
ا ﻘﻂ :
اﻟ ﺗﻴﺐ ،ﺍ / ﻗﻄﺮ ﻓﻴﻬﺎ ﺣﻴﺚ ( ٣ ، ٦ ، ٣ )
ا ﺼﻮرة ا
ﺝ~ ٧٠
٥ﺻﻨﺎدﻳﻖ = .......
ا ﺪ ا ﺎ ﻣﻦ س ﺴﺎوى ﻣﻌﺎ ﻞ ا ﺪ ا ﺴﺎﺑﻊ ﻓﺈن ﺍﺏ = . ...........
– ١٦أوﺟﺪ ﺣﺠﻢ ﻣﺘﻮازى ا ﺴﻄﻮح ا ى ﻓﻴﻪ ﺛﻼث أﺣﺮف ﻣﺘﺠﺎورة
– ١٨أوﺟﺪ ﻴﻊ ﻗﻴﻢ ﻥ ،ﺭ اﻟ
ﺝ~ ٣
– ٤ﻋﺪد اﻟﻄﺮق اﻟ ﻳﻤ ﻦ ﺑﻬﺎ وﺿﻊ ٤ﻛﺮات
)(٤،٠،٠
4 18 0
ﺍ ،ﺏ ،ﺝ
~ﺻﻔﺮ
– ٧ﻣﻌﺎدﻟﺔ ا ﺴﺘﻮى ا ى ﻳﻤﺮ ﺑﺎ ﻘﻂ ) ، ( ٠ ، ٣ – ، ٠ ) ، ( ٠ ، ٠ ، ٢
1
– ١٧ﻛﺮة ﺗﻤﺲ ا ﺴﺘﻮ ﺎت :ﺱ ﻉ ،ﺱ ﺹ ،ﺹ ﻉ
ﺝ~ ١٣
ل : ٢ﺭ ٢ﰒ= ) + ( ٣ – ، ١ ، ٥ﻙ ( ١ – ، ٣ – ، ٤ ) ٢ﺴﺎوى . ..........
ﺍ~ ١٢٨ 1
اﻟ ﺗﻴﺐ
ﺏ~ ٣
~ﻏ ذ ﻚ
ل : ١ﺭ ١ﰒ= ) + ( ٥ ، ٣ ، ٢ﻙ، ( ١ – ، ٣ ، ٢ ) ١
–٥
وا ﺴﺘﻮى ] ٢ﺱ – ﺹ – ﻉ = ٥ +ﺻﻔﺮ .
4
ﺝ~ ٢ﺟﺎ θ
– ٢ﻃﻮل اﻟﻌﻤﻮد ا ﺎزل ﻣﻦ ا ﻘﻄﺔ ) ( ٢ ، ٢ – ، ٤إ ا ﺴﺘﻮى
ﺍ~ ٥٠
ﺱ 3 -ﺹ - ¬ - 1-ﺫ ا ﺴﺘﻘﻴﻢ ل : = = 1 1 Sﺫ
أوﺟﺪ ﻉ
ﺏ~ ﻩ θ ٢ت
~ﻩ θ ٢ -ت
– ٣ﺟﻴﺐ ﺗﻤﺎم ا ﺰاو ﺔ ﺑ ا ﺴﺘﻘﻴﻤ :
٢ – ٣ ) _ ~ت (
– ١٢إذا ن أﻃﻮال أﺿﻼع ﻣﺜﻠﺚ
–١
ﻩ θت +ﻩ – θت = . ...............
ﺍ~ ٣٩
ﺏ~ _ ) ٢ + ٣ت ( 1 ﺫ
ﺍ~ – ٣
ﺏ~
ﺱ ﺫ
+
ﺹ 3
+
ﻉ 4
=١
٢ ~ﺱ – ٣ﺹ ٤ +ﻉ = ١
1- ¤ ö ﺫ æ çﻣﻨﻔﺮدة ﻌﻞ ا ﺼﻔﻮﻓﺔ 4 ÷ø ﺱ è1 +
ﺏ~ ٣
– ٩ﺍﺏ ﺝ ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ا ﺰاو ﺔ
ﺝ~ _ ٣ ﺍÜ
ب،و ن 0 0
....
٩ ~ 0
0
= 0
ﺍB 0ﺏÜ
٢٠٠ﺳﻢ ، ٣ﺴﺎﺣﺔ ﻣﻢ ﺍﺏ ﺝ = ٤٠ﺳﻢ ٢ﻓﺈن ﻃﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ا اﺋﺮة ا ﺎرة ﺑﺮؤوﺳﻪ = ............ﺳﻢ . ﺏ~ 5 ﺍ~ ٥ 3 ﺫ – ١٠إذا ن ل : ١ﺱ - = 3 -ﺹ = 1-ﻉ ﻳﻮازى ﻙ 6 ﺫ +¤ﺫ = ﺹ = 4 -ﻉ 1-ﻓﺈن ﻙ +ﻡ = . ......... ل: ٢ 3 ﻡ 6
ﺝ~ 5
ﺍ~ – ١٧
٣٥
ﺏ~ – ١٠
ﺝ~ ١٠
5 ~ 4
١٧ ~
ﻟﻸﺳﺘﺎﺫ ﺍﻟﻘﺪﻳﺮ /ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺪﻳﻦ ﻳﺤﻴﻰ ٠١١١٩٦٦٠٦١٦
ﺍﻟﺠﺒﺮ ﻭﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﺮﺍﻏﻴﺔ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ – ١١إذا ن | ﻉ | = | ﻉ – | ٢ﻓﺈن ا ﺰء ا ﻘﻴ ﺍ~ ١
ﺝ~ ٢
ﺏ~ – ١
ﻠﻌﺪد ﻉ = ........
ﺍ~ ﺻﻔﺮ
٢ – ~
- 1 öﺫ æ3 - ÷ – ١٢إذا ﻧﺖ ﺍ = ÷ -ﺫ 4 ÷ ç 9 6- 3 è ø
ﺍ~ ﺻﻔﺮ
ﺏ~ ٣
10
١ ~
،ﻥ ل = × ٩٠ﻥ – ٢ ٣٠ ٣٠ ٧ – ١٣إذا ن ﻕ ﺭ = ﻕ ﺭ ١٠ +
ﺭ =0
ﺍ~ ٣ –٤
ل٥
ﻣﻔﻜﻮك ) ﺱ١٤( 1 – ٢
ﺛﻢ أوﺟﺪ اﻟ ﺴﺒﺔ ﺑ
ﺱ
٦ ò ، ٧ òﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ = – . ١
– ، ( ٢ل : ٢ﺭ ٢ﰒ= ) + ( ٣ ، ١ – ، ٢ﻙ ( ٤ ، ٢ ، ٦ –) ٢ﻣﺘﻮاز ﺎن
وأوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ا ﺴﺘﻮى ا ى ﻤﻌﻬﻤﺎ .
– ١٧ﺑﺪون ﻓﻚ ا ﺤﺪد أﺛﺒﺖ أن
ﺍ
ﺍﺫ
ﺍ3
B
3B
ﺝ~ ﺻﻔﺮ
1
ﺍ +ﺏ
ﺍﺫ +ﺍB + Bﺫ
=٠
ﺮ ﺰﻫﺎ ﻩ وﺗﻤﺮ ﺑﺎ ﻘﻄﺔ . و ذا ﻧﺖ ط ) ( ٢ ، ٣ ، ٥ﻓﺄﺛﺒﺖ ﺴﺘﻮى واﺣﺪ .
– ٢٠أوﺟﺪ ا ﻌﺎدﻟﺔ ا ﺘﺠﻬﺔ ﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ا ﺎر ﺑﺎ ﻘﻄﺔ ﺍ ) ( ٠ ، ١ – ، ١
و ﻮازى ا ﺴﺘﻘﻴﻢ ا ﺎر ﺑﺎ ﻘﻄﺘ ّ ﺛﻢ ﺑ أن ا ﻘﻄﺔ ( ٣ ، ٢ ، ١٤ –) ﺗﻘﻊ
:ب )– ، ( ١ ، ٢ ، ٣ﺝ ) ، ( ٠ ، ١ ، ٢
ﺍ~ ٦
ﺏ~ ٦
ﺍ~ – ٦
–٨
ﺝ~ ٧
æ 1ö
= ÷ çﻓﺈن ﺹ = ...... øﺫè ٨ ~
ﺝ~ – ١٢
ﺏ~ ٦
١٢ ~
٣ ٢ ﻥ ﻣﻔﻜﻮك ) + ١ﺱ ( = + ١ﺍ ١ﺱ +ﺍ ٢ﺱ +ﺍ ٣ﺱ +ﺍ٤
ﺱ + ............ + ٤ﺍﻥ ﺱﻥ ،و ن ﺍ~ ٦
ﺍﺫ +ﺍ3 ﺍﺫ
ﺏ~ ٨
= ٣ﻓﺈن ﻥ = ........ ١٠ ~
ﺝ~ ٩
– ٩إذا ن ﻠﻤﻌﺎدﻻت ٣ :ﺱ – ٢ﺹ +ﻉ = ٦ ، ٠ﺱ – ٥ﺹ + ﻙ = . ......... ﺍ~ ﺻﻔﺮ
ﺟﻴﻮب ﺗﻤﺎم اﻻ ﺎه
ﺝ~ ﺭ > ٥
اﺸ
ا ﻘﺎﺑﻞ :
ﺹ
ﺱ
ا ﺼﻮرة اﻷﺳﻴﺔ
13 18ﺑﺐ ت ﻩ 13
ﺝ~ ٣ﻩ 18ﺑﺐ ت
ا ﻜﺮة اﻟ
– ١٢ﻗﻴﺎس ا ﺰاو ﺔ ﺑ ا ﺴﺘﻮ
٣٦
٥
٥٠ ٣
= . .................. ﺍ~ –
ﻣﻌﺎد ﻬﺎ :ﺱ + ٢ﺹ + ٢ﻉ ٤ – ٢ﺱ ٢ +ﺹ ٤ +ﻉ = ﻙ ﻓﺈن ﻙ = ..
. .............
- ، 4 ، 3ﺫ ﺍ~ 9Sﺫ 9Sﺫ 9Sﺫ ، 4 ، 3ﺫ - ، 4 ، 3 ~ ﺫ ﺝ~ 9ﺫ 9ﺫ 9ﺫ 9Sﺫ 9Sﺫ 9Sﺫ
– ٢إذا وﻗﻊ ﺮ ﺰ ا ﻜﺮة :
ﺱ + ٢ﺹ + ٢ﻉ ٢ + ٢ﺱ – ٤ﺹ – ٦ﻉ = ١٥
ﺝ~ ٣
ﺏ~ ٢ – ، ٤ ، ٣
اﻟﻌﺪد ع
~ﺭ < ٥
ﺏ~ ١
٤ ~
– ١٠إذا ﺮ ﺴﺘﻘﻴﻢ ﺑﺎ ﻘﻄﺔ ) ( ٢ – ، ٤ ، ٣و ﻨﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ ﻓﺈن
– ١١
– ١إذا ن ٧ﻕ ﺭ < ٧ﻕ ﺭ – ١ﻓﺈن . ............... : ﺍ~ ﺭ > ٤
ﺝ~ ١
öﺱ æ –ö ١ﺫ æ5 – ٦إذا ن ﺍ = ÷ ، ç 3 1و ن ﺍ ÷ ﺹ ç è ø è ø
ا ﺴﺘﻘﻴﻢ .
ﺏ~ ﺭ < ٤
ﺏ~ ٦ -
~ﺻﻔﺮ
٢ﻉ = ٩ ، ٠ﺱ – ٦ﺹ +ﻙ ﻉ = ٠ﺣﻠﻮل ﻏ ا ﻞ ا ﺼﻔﺮى ﻓﺈن
æ 3 1- 1 ö ç ÷ ﻠﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍ = ÷ ﺫ ﺫ ﺫ ç ÷ - 3ﺫ ç1- è ø
– ١٩أوﺟﺪ ا ﻌﻜﻮس ا
– ٥إذا أﺣﺘﻮى ا ﺴﺘﻮى ﺱ – ﺹ +ﻉ = ﻡ ا ﺴﺘﻘﻴﻢ :
،و ﻧﺖ ﻣﻨﺘﺼﻒ ﺍﺏ ، /ﻩ ﻣﻨﺘﺼﻒ ﺍﺝ . /أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ا ﻜﺮة أن :ﺍ ،ﺏ ،ط ﺗﻘﻊ
~ﺱ ﺹ ﻉ
٣ﺱ +ﻙ ﺹ – ٤ﻉ = ٥ﻣﺘﻌﺎﻣﺪان ﻓﺈن ﻙ ﻡ = . ..............
– ١٨إذا ن ﺍ ) ، ( ١ – ، ٣ ، ١ﺏ ) ، ( ١ ، ١ – ، ٣ﺝ )– ( ١ ، ١ – ، ٣ اﻟ
ﺏ~ – ١
– ٧ا ﺴﺘﻮ ﺎن ٢ :ﺱ +ﻡ ﺹ ٣ +ﻉ = ، ١١
ﺱ – ﺹ = ) ٤ﺏ – ٤ﺍ( ٤
Bﺫ
¤ 1
ﺍ~ ٥
– ١٦إذا ن S5 :ﺱ = J §+ﺍ +ﺏ ت أﺛﺒﺖ أن : ﺍ
¬ 1
§ 1
= . ..............
ﺭ ﰒ = ) + ( ٣ ، ٢ – ، ١ﻙ ) ( ١١ ، ٧ ، ٣ﻓﺈن ﻡ = . ...........
– ١٥أﺛﺒﺖ أن ا ﺴﺘﻘﻴﻤﺎن ل : ١ﺭ ١ﰒ= ) + ( ١ – ، ٢ ، ١ﻙ، ١ – ، ٣ ) ١
ﺏ
ﺏ~ ﺻﻔﺮ
¬ + ¤ §+ ¬ §+ ¤
ﺝ~ ﻏ ذ ﻚ١٢ ~
ﺍ~ ﺱ +ﺹ +ﻉ
أوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ - Jﺭ . – ١٤أﺛﺒﺖ أﻧﻪ ﻻ ﻳﻮﺟﺪ ﺧﺎ ﻣﻦ س
ﺝ~ ٢٤
ω + ١ ) º – ٣ﺭ ٢ω +ﺭ ( = . ............
çç 6ﻓﺈن ﺭ )ﺍﻣﺪ( = ..............
ﺝ~ ٢
ﺏ~ ١٤
٣٤ ~
ﺏ~
ﻉ
13 18ﺑﺐ ت –٣ﻩ 13
٣ ~ﻩ– 18ﺑﺐ ت
٢ :ﺱ ٣+ﺹ ٥+ﻉ =، ٧
ﻟﻸﺳﺘﺎﺫ ﺍﻟﻘﺪﻳﺮ /ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺪﻳﻦ ﻳﺤﻴﻰ ٠١١١٩٦٦٠٦١٦
ﺍﻟﺠﺒﺮ ﻭﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﺮﺍﻏﻴﺔ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ ٤ﺱ – ٦ﺹ ٢ +ﻉ = ١١ﻫﻮ . ................. ﺍ~ ٥٦٠
ﺝ~ ٥٠
ﺏ~ ٥٣٠
٥٩٠ ~
– ١٣أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ا ﺴﺘﻘﻴﻢ ا ﺎر ﺑﺎ ﻘﻄﺔ ) ( ٤ ، ١ ، ٣وﻋﻤﻮدى
ا ﺴﺘﻮى ٢ﺱ – ٣ﺹ ٥ +ﻉ ٠ = ٣٨ +ﺛﻢ أوﺟﺪ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻫﺬا
ا ﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻊ ذ ﻚ ا ﺴﺘﻮى . – ١٤إذا ن ا ﺪان اﻷوﺳﻄﺎن
ﻣﻔﻜﻮك ) ﺫ +ﺱ٩( 3
ﺱ
ﻣ ﺴﺎو ﺎن أوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺱ .
16 – ١٥إذا ن ﻉ = J 3S -1
ﻓﺎﻛﺘﺐ ﻉ
أوﺟﺪ ا ﺬور ا ﻜﻌﻴ ﻴﺔ ﻠﻌﺪد ﻉ – ١٦ﺑﺪون ﻓﻚ ا ﺤﺪد أﺛﺒﺖ أن
8
ا ﺼﻮرة ا ﺜﻠﺜﻴﺔ ﺛﻢ
ا ﺼﻮرة اﻷﺳﻴﺔ . ﺱ 1 1
= ) ﺱ – ٢( ١ 1 1ﺱ
1 ¤ﺱ
– ١٧إذا ﻧﺖ ﺍ ) ، ( ١٠ – ، ٣ – ، ٤ﺏ ) ، ( ١ ، ٥ – ، ٣
ﺣﻠﻮل ﺗﻤﺎر ﻦ )(١ )(١
) ١٢ (١ﻕ ٤٩٥ = ٤
)(٢
) ٣ (٣ﻕ ٩ × ١ﻕ ٣ + ٣ﻕ ٩ × ٢ﻕ ٣ + ٢ﻕ ٩ × ٣ﻕ ٣٦٩ = ١ ً ً ) ﺛﺎﻧﻴﺎ( ٧٢٠ = 5 ٦ )أوﻻ( ٩٦٠ = 5 ٨
ﺝ )– ( ٣ ، ٧ ، ١و ﻧﺖ ﻣﻨﺘﺼﻒ ﺏ ﺝ /أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﺍ ﰐ .
ﻫﻞ ا ﻘﻄﺔ ﻩ ) ( ٢ ، 1- ، ٠ﺗﻘﻊ
ﻫﺬا ا ﺴﺘﻘﻴﻢ ؟
3
– ١٨أﺛﺒﺖ أن ا ﻜﻤﻴﺘﺎن ﻡ = ) ، ( ٢ω ٥ + ω ٣ – ٨
ﻥ = ) ( ٤ω ٧ + ٢ω – ١٠ﻣ اﻓﻘﺘﺎن ﺛﻢ ّ ﻛﻮن ا ﻌﺎدﻟﺔ اﻟ ﻴﻌﻴﺔ اﻟ
)(١) (٣ )(٤
ﺟﺬراﻫﺎ ﻡ ،ﻥ . – ١٩أوﺟﺪ ﺴﻘﻂ ا ﻘﻄﺔ ﺍ ) ( ٦ ، ٩ ، ٠
ﻕ٤=٣
ا ﺴﺘﻘﻴﻢ ا ﺎر
٦
)(٢
)(١
٣ﻥ – ٥ل ٧ = ٢٥٢٠ = ٥ل
)(٢
٨ل ٣ﻥ – ٨ = ٦٧٢٠ = ١ل
) ٩ (٣ل ﻥ – ٩ = 9 = ٤ل
ﺑﺎ ﻘﻄﺘ :ﺏ ) ، ( ٣ ، ٢ ، ١ﺝ ) ( ٥ ، ٢ – ، ٧
أ،
٩
٩
ل ﻥ – = ٤ل
٩
٨
٥
ﻕ ٢٠ = ٣ ﺇ ٣ﻥ – ٧=٥ﺉ ﻥ =٤ ﺇ ٣ﻥ – ٥=١ﺉ ﻥ =٢
٥
ﺇ ﻥ – ٩ = ٤ﺉ ﻥ = ١٣
ﺇ ﻥ – ٨ = ٤ﺉ ﻥ = ١٢
) (٤ﻥ ﻕ ﻥ – ١٢٠ = ٣ﺇ ﻥ ﻕ ﻥ – ) ﻥ – ١٢٠ = ( ٣ﺇ ﻥ ﻕ ١٠ = ٣ﻕ
1öﺫ æ 3 ç ÷ – ٢٠أوﺟﺪ ا ﻌﻜﻮس ا ﻠﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍ = ÷ ç 1 - 1 - 3 ÷ﺫ ç 1 3 è ø 1 öﺱ æ ö æ واﺳﺘﺨﺪم ذ ﻚ ﺣﻞ ﻧﻈﺎم ا ﻌﺎدﻻت :ﺍ ÷ ç ÷ = ç ÷ﺹ ç 7 ÷ ç ÷ ﻉ ç1- ÷ ç è ø è ø
٤
) ٣ (٢ﻕ ٩ × ١ﻕ ٢٥٢ = ٣
ﺉ ﻥ = ١٠
) (٥ﻥ ١ +ﻕ ﻥ – ٦٦ = ١ﺇ ﺇ ﻥ ١ +ﻕ ١٢ = ٢ﻕ
) ٨ (٦ل ﻥ – ٨ = ٣ل
٢
ﻥ –٣
ﻥ ١+
ﻕ ﻥ ) – ١ +ﻥ – ٦٦ = ( ١
ﺇ ﻥ ١٢ = ١ +ﺉ ﻥ = ١١ ﲪ ١١ ﲪﻥ ﺲ ﲪ ﻥ – ٣ﲪﺲ ٨ﺇ ٣ﺲ ﺇ ٠ﺲ
ﺉ ﻥ ﻱ } { ٦ ، ............ ، ٥ ، ٤ ، ٣
) (٧ﰈ ٢ﻥ ١ +ل ﻥ – ٢ : ١ﻥ – ١ل ﻥ = ٥ : ٣ ﺇ ﺇ ﺇ
ﺫ1 -° ﺫ1 +° 3ﺇ = ÷ 5 1 -°
+°ﺫ
ﻥ 1- ﺫ1 +° 3 = × 5 ﺫ1 -° +°ﺫ
ﻥ 1- ) ﺫ )(1 +°ﺫ (°ﺫ1 -° 3 = × 5 ﺫ1 -° ) +°ﺫ()1 -° (°) (1 +°
+°4ﺫ °ﺫ +°3 +ﺫ
= 3ﺇ ٣ﻥ ٩ + ٢ﻥ ٢٠ = ٦ +ﻥ ١٠ + 5
ﺇ ٣ﻥ ١١ – ٢ﻥ – ٠ = ٤ﺇ ) ٣ﻥ ) ( ١ +ﻥ – ٠ = ( ٤
ﺇ ﻥ = ) ﺮﻓﻮض ( أ ،ﻥ = ٤ ) (٨ﰈ
ﻥ ﻥ
ﻕ6 ﻕ5
= 1ﺇ 3
ﺇ ﻥ= ٧ﺉ
٣٧
ﻥ 1 = 1+ 6 -ﺇ ﻥ ٢ = ٥ - 6
3
-°ﺫ = -7ﺫ = ١٢٠ = 5
٣
ﻟﻸﺳﺘﺎﺫ ﺍﻟﻘﺪﻳﺮ /ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺪﻳﻦ ﻳﺤﻴﻰ ٠١١١٩٦٦٠٦١٦
ﺍﻟﺠﺒﺮ ﻭﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﺮﺍﻏﻴﺔ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ ﲨنل ) (٩ﰈ ن ل ٨ﺲ
ﻥ ﻥ ﲨﺲ ﻥ7- ﻥ8-
ﺇ
٧
ﺇ )ﻥ –(٧
ﻥ 7 -ﲨﺲ ﻥ 8 -
ﺇ
ﺇ
ﻥ 8 -ﲨﺲ ﻥ 8 -
ﺇ ﻥ – ٧ﲨﺲ ١ﺇ ﻥ ﲨﺲ ٨ﺇ ﻥ ﻱ } { ............. ، ١٠ ، ٩ ، ٨ )(٥
)(١
ﻥل٢=٢=٢ل
٢
ﺉ ﻥ = ، ٢ﰈ ﻥ +ﺭ ل ١٠ = ٩٠ = ٢ل
ﺇ ﻥ +ﺭ = ١٠ﺇ + ٢ﺭ = ١٠ﺉ ﺭ = ٨ )(٢
ﻥ ل ٧ = ٨٤٠ = ٤ل
) (٣ﻥ ﻕ ٧ = ٢١ = ٢ﻕ
٨
٨
ﺉ ﻥ = ، ٧ﰈ ل ﺭ = = ٣٣٦ل
٤
+ﺭ = ١١ﺇ + ٧ﺭ = ١١ﺉ ﺭ = ٤
)(٤
ﰈ
٢
ﺇ ﺭ =٣
٣
ﺉ ﻥ = ، ٧ﰈ ﻥ +ﺭ ل ١١ = ٩٩٠ = ٣ل
٢
ﺇ ﻥ
٣
ﻥ -ﺭ = 3 = ٦ﺇ ﻥ – ﺭ = ٣ﺇ ﻥ = + ٣ﺭ ، (١) ......... ﻥ
ﺑﺎ ﻌﻮ ﺾ ﻣﻦ ) (١اﻟﻌﻼﻗﺔ
ﻕ ﺭ = ١٠ﺇ
+٣ﺭ
ﺇ + ٣ﺭ ﻕ + ٣ﺭ – ﺭ = ١٠ﺇ + ٣ﺭ ﻕ ٥ = ٣ﻕ
ﻕ ﺭ = ١٠
) ﻥ +ﺭ ( ) ﻥ +ﺭ – +° ( ١ﺭ -ﺫ = +° ٣٨٠ﺭ -ﺫ
ﺇ ﻥ +ﺭ ل ٢٠ = ٣٨٠ = ٢ل
) (٦ﻥ ﻕ ١٠ = ١٢٠ = ٣ﻕ
٢
٣
٢ﺭ ٥ +
) ١٢٠ = ١٢٠ (٧ل
١
أ ٦ ،ل
٣
أ ٥ ،ل
ﻥ = ، ١٢٠ﺭ = ١أ ،ﻥ ل ﺭ = ٦ل
٣
ﺉ ﻥ = ، ٥ﺭ = ٤أ ،ﻥ ل ﺭ = ٥ل
أ ٥ ،ل
٤
ﲨﻥﻕ ) (٧ﰈ ﻥ ﻕ ﺭ ٢ +ﺲ ) -°ﺭ +ﺫ( 1 + ﺇ ﺭ+ﺫ
١
ﺭ ٢+
)) (٨ﺍ( ﰈ ﺇ
ﻥﻕ ﻥ ﻕ ﺭ 1+
ﺭ +ﺫ ﲨﺲ ١
ﲨ٢ﺭ ٣+ ﲨﺭ ٢+ﺉ ﻥ ﺲ ﲨﺲ ١ﺇ ﻥ – ﺭ – ١ﺲ
+°ﺫ
-°3ﺫ +°ﺫ = 4 -°3 ﻥ
ﺇ ﻥ ٢ +ل ٣ = ٢ﻥ – ٢ل
٢
° = 4 -°3
ﺇ ﻥ ٣=٢+ﻥ – ٢ﺇ ٢ﻥ = ٤ﺉ ﻥ =٢
)ﺏ( ﰈ ٢ﺫ ) = °ﻥ ٣ + ٢ﻥ ( ° ) ( ٢ + ﺇ
+°ﺫ ﺫ +° ) °ﺫ() ° (1+° = = ﺫ ﺫ ﻥ
ﺇ ٢ﻥل ﻥ = ﻥ ٢+ل )ﺝ( ﰈ ﺇ
-°3ﺫ
٢
ﺫ°
ﻥ
ﺇ ٢ﻥ = ﻥ ٢+ﺉ ﻥ =٢
ﺫ7 -°3 ٧٢ = 3 -° °
3ﻥ 6- -°ﺫ = × 7 -°3 ٧٢ × 3 -° 3ﻥ 6- -°ﺫ
٤
٢
٣
٣
٢
= ١٦ﺱ ٩٦ +ﺹ ﺱ ٢١٦ +ﺹ ﺱ ٢١٦ +ﺹ ﺱ ٨١ +ﺹ
٤
ﺫ ٣
)ﺏ( ) ﺫ +ﺱ ( ٤ = ٤ﻕ ) ٠ﺱ ( ) ٠ﺫ ( ٤ + ٤ﻕ ) ١ﺱ () ١
( +
ﺱ ﺫ ﺱ ﺫ ﺫ ﺱ ﺱ ٤ﺫ ٠ ﺱ ٣ﺫ ٤ ١ ﺱ ٢ﺫ ٤ ٢ ﺫ ( ) ﺱ ( +ﻕ )٣ﺫ ( ) ﺱ ( +ﻕ )٤ﺫ ( ) ﺱ ( ٢ﺱ4 + ٦ + 16ﺱ + +ﺱﺫ 16 ١٠
) + ١ﺱ ( ١٠ + ١ = ١٠ﻕ ١ﺱ ١٠ +ﻕ ٢ﺱ + ......... + ٢ﺱ
ﺑﻮﺿﻊ ﺱ = ١ﺇ ١٠ + ١ﻕ ١٠ + ١ﻕ ١٠ + ..... + ٢ﻕ ٢ = ١٠( ١ + ١ ) = ١٠
٧
٠
٧
١
٧
٧
) ٧ – ٢( ٠٠٠٢ﻕ ٠.٩٨٦ = .... – ٠.٠٠٠٠٨٤ + ٠.٠١٤ – ١ = ......... + ٣( ٠٠٠٢ ) ٣
ﺉ
ﺉ ١٠ﻕ ١٠ × ٢ + ٥ﻕ ١٠ + ٦ﻕ ١٢ = ٧ﻕ ٧٩٢ = ٧ ﺭ ١+
٤ +ﻕ ٣ ) ٢ﺹ ( ٢ ) ٢ﺱ (٤ + ٢ﻕ ٣ ) ٣ﺹ ( ٢ ) ٣ﺱ (٤ + ١ﻕ ٣ ) ٤ﺹ ( ٢ ) ٤ﺱ (
٠
١٠
)ﺏ( ) = ( ٠.٠٠٢ – ١ ) = ( ٠٩٩٨ﻕ – ( ٠٠٠٢ ) ٠ﻕ + ( ٠٠٠٢ ) ١ﻕ
) ) (٦ﻥ ﻕ ﺭ +ﻥ ﻕ ﺭ ) + ( ١ +ﻥ ﻕ ﺭ + ١ +ﻥ ﻕ ﺭ ( ٢ +
ﺇ
٠
١
)ﺍ( ) ٢ﺱ ٣ +ﺹ ( = ﻕ ٣ ) ٠ﺹ ( ) ٢ﺱ ( +ﻕ ٣ ) ١ﺹ ( ) ٢ﺱ (
٧
ﺉ ﻥ=ﺭ=٥
= ﻥ ١+ﻕ ﺭ + ١+ﻥ ١+ﻕ ﺭ = ٢+ﻥ ٢+ﻕ
٤
٤ ٤
٣
٥ﻕ ٥ + ٢( ٠٠٠٣ ) ٢ﻕ ١٠١٥ = ٠٠٠٠٠٩ + ٠.٠١٥ + ١ = ........ + ٣( ٠٠٠٣ ) ٣
ﺉ ﻥ = ، ٦ﺭ = ٣أ ،ﻥ ل ﺭ = ٥ل ٥
ﺇ ٢ﻥ =٣ﻥ –٦
)) (٣ﺍ( ) ٥ = ٥( ٠٠٠٣ + ١ ) = ٥( ١٠٠٣ﻕ ٥ + ٠( ٠٠٠٣ ) ٠ﻕ + ١( ٠٠٠٣ ) ١
ﺇ ) ﺭ ) ( ٥ +ﺭ – ٠ = ( ١ﺇ ﺭ = – ) ٥ﺮﻓﻮض ( أ ،ﺭ = ١ ﺇ ﻥ ل ﺭ = ١٢٠ل
ﺇ ﻥ =٦
)ﺏ( ﺑﻮﺿﻊ ﺱ = – ١ﺇ ا ﻘﺪار = ) = ١٠( ١ – ١ﺻﻔﺮ
أ ،ﺭ ٢ + ٢ﺭ ٢ +ﺭ ١٠ = ٥ +ﺇ ﺭ ٤ + ٢ﺭ – ٠ = ٥
٥
٤
)(١
)ﺍ(
ﺇ ﺭ ٢ + ٢ﺭ = ٢ﺭ ٥ +ﺇ ﺭ ٥ = ٢ﺇ ﺭ = _ ] ) ٥ﺮﻓﻮض (
ﺇ ﻥ ﻕ ٧ﺭ ١٠ = ٣ +ﻕ ١٠ = ٣ + (١) ٧ق ١ = ١٠
ﺫ° 4
=
6 -°3 -°ﺫ
ﺣﻠﻮل ﺗﻤﺎر ﻦ )(٢
)(٢
ﺉ ﻥ +ﺭ = ٢٠ ﺉ ﻥ = ، ١٠ﰈ ١٠ﻕ ﺭ ٢ + ٢ﺭ = ١٠ﻕ
ﺇ ٢ﻥ ل ٢ﻥ –٣ = ٤ﻥ – ٢ل ٢ﻥ –٤
16 = ﺱ4
ﺉ ﺭ = ، ٢وﻣﻦ ) (١ﻥ = ٥
)(٥
ﺇ
ﺇ
ﺫ -° °ﺫ = 6 -°3 4ﺇ
٤ﻕ)٢
ﺇ +٣ﺭ=٥
٣
ﺫ -° °ﺫ ﺫ6 -°3 7 = -°) 3ﺫ( ) -°ﺫ(
ﺫ -° °ﺫ = 6 -°3 ٢٤
٤
٢
)ﺝ( ) + ٤ò + ٢ò ] ٢ = ٨( ٠٠٢ – ١ ) – ٨( ٠٠٢ + ١ ) = ٨( ٠٩٨ ) – ٨( ١٠٢
٨] ٢ = [ ٨ò + ٦òﻕ ٨ + ١( ٠٠٢ ) ١ﻕ ٨ + ٣( ٠٠٢ ) ٣ﻕ ٨ + ٥( ٠٠٢ ) ٥ﻕ
٧
) ٠٣٢١ = [ ...... + ٠٠٤٤٨ + ٠١٦ ] ٢ = [ ٧( ٠٠٢ )(٤
ﺫ ٥
٨
٣
= ٦òﻕ ) ٥ﺱ ( ) ﺱ ( = ١٧٩٢ﺱ
–٣
ﺉ ﻣﻌﺎ ﻞ ١٧٩٢ = ٦ò
ﺫ1 ) (٥رﺗﺒﺔ ا ﺪ اﻷوﺳﻂ = ﺫ –٦ ١٢ = ٧òﻕ 1 ) ٦ﺫ ( ) ٦ﺱ ( ٩٢٤ = ٦ﺱ ﺫ¤
٧ = ١ +ﺇ ا ﺪ اﻷوﺳﻂ ﻫﻮ ò
٧
) (٦رﺗ ﺘﺎ ا ﺪﻳﻦ اﻷوﺳﻄ = 15ﺫ ، 1 +وﻣﺎﻳﻠﻴﻪ
ﺇ ا ﺪﻳﻦ اﻷوﺳﻄ ﻫﻤﺎ ١٥ = ٨ò : ٩ò ، ٨òﻕ ) ٧( 3 ) ٧ ١٥
= ٩ò ،ﻕ ) ٨
٨ 3
ﺱ
( )
ﺱﺫ ٧
3
٦
ﺱ
ﺱﺫ ٨
3
( = ٢١٤٥ﺱ
( = ١٩٣٠٥ﺱ
) ٢ + ٣ ) (٧ﺱ ( ٢ – ٣ ) + ٨ﺱ ([ ٩ò + ٧ò + ٥ò + ٣ò + ١ò ] ٢ = ٨ ٤
٨
٤
ﺇ ا ﺪ اﻷوﺳﻂ = × ٢ = ٥ò ٢ﻕ ٢ ) ٤ﺱ ( ) ١٨١٤٤٠ = ( ٣ﺱ ٦
٤
٦
)[ ٦ò + ٤ò + ٢ò] ٢ = ( ٣] – ١ ) – ( ٣] + ١ ) (٨ ٦
١
٦
٣
٦
٥
= ] ٢ﻕ + ( ٣] ) ١ﻕ + ( ٣] ) ٣ﻕ [ ( ٣] ) ٥ = ٣] ٢٤٠ = [ ٣] ٥٤ + ٣] ٦٠ + ٣] ٦ ] ٢ 1 ﺇ ٣] ٤٨٠ﺱ = ٣] ٢٤٠ﺇ ﺱ = ﺫ ) (٩رﺗﺒﺔ ا ﺪ اﻷوﺳﻂ = ٦ = ١ + 10ﺇ ا ﺪ اﻷوﺳﻂ ﻫﻮ ò ٦ ﺫ
٣٨
٩
ﻟﻸﺳﺘﺎﺫ ﺍﻟﻘﺪﻳﺮ /ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺪﻳﻦ ﻳﺤﻴﻰ ٠١١١٩٦٦٠٦١٦
ﺍﻟﺠﺒﺮ ﻭﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﺮﺍﻏﻴﺔ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ ١٠ = ٦òﻕ ) ٥( 1 ) ٥ﺱ 63 = ٥( ٢ﺱ ﺫ¤
ﺇ
٥
8
ò ،ﻙ ٦ = ١ +ﻕ ﻙ )– ( 1ﻙ )ﺱ( – ٦ﻙ = ٦ﻕ ﻙ )– (١ﻙ × ﺱ – ﻙ × ﺱ
8 ٥ﺫ 63ﺫ3 8 ٥ 63ﺫ ﺫ = ) ﺫ ( ٥ﺉ ﺱ = = ﺇ ﺱ = ÷ ﺱ = 3 3 8 43 8ﺫ 7ﺫ 7ﺫ
) (١٠ا ﺪان اﻷوﺳﻄﺎن ﻫﻤﺎ ò ، ٧ò :
٨
٦ ٦
،ﰈ ٨ò = ٧òﺇ ١٣ﻕ ٢ ) ٦ﺹ ( ٣) ٦ﺱ ( ١٣ = ٧ﻕ ٢ ) ٧ﺹ ( ٣) ٧ﺱ ( ﺱ ﺫ = ﺹ 3
) (١١ﰈ ﻣﻌﺎ ﻞ = ٦òﻣﻌﺎ ﻞ ò
ﺇ ﻥﻕ=٥ﻥﻕ
١٠
) (١٢ا ﺪان اﻷوﺳﻄﺎن ﻫﻤﺎ ò ، ٨ò :
٩
ﺇ ﻥ = ١٤ = ٩ + ٥
٩
،ﺏ = ١٥ = ٩òﻕ –) ٨
ﺱ
٨ 1
ﺱ
( )ﺱ( = ١٥ﻕ ٨ﺱ
–١
،ﰈ ٢١٠ = ٥òﺇ ١٠ﻕ ) ٤ﺝ ﺱ ( ٢١٠ = ٤ﺇ ) ٢١٠ﺝ ﺱ (٢١٠ = ٤ 1 ﺇ ) _ ٢ﺱ ( ١ = ٤ﺉ ﺱ = _ ﺫ
òﺭ ١٠ = ١ +ﻕ ﺭ ) ﺹ ( ﺭ ) ﺹ ( ﺫ¤
– ١٠ﺭ
ﺫ¤
= ١٠ﻕ ﺭ ) – (٢ﺭ ) – ١٠ (٢ﺭ × ) ﺹ ( ﺭ ) ﺱ (
ﺹ
)(٣
ﺹ
ﺱ
– ١٠ﺭ
،ﺑﻮﺿﻊ ٢ – ١٠ﺭ = ٤ﺇ ﺭ = ٣
(٣) ٢ – ١٠
= ١٩٢٠ ¤ﺫ
( òﺭ = ١ +ﺱ ١٥ × ٢ﻕ ﺭ ) ﺫﺫ ( ) ﺫ ﺱ ﺭ
= ﺱ ١٥ × ٢ﻕ ﺭ ) ٢ (٢ﺭ – × ١٥ﺱ – ٢ﺭ × ﺱ = ١٥ﻕ ﺭ ) ٢ (٢ﺭ – × ١٥ﺱ
٤ – ٣٢ﺭ
– ١٥ﺭ
)(٤
٢ – ٣٠ﺭ
،ﺑﻮﺿﻊ ٤ – ٣٢ﺭ = ١٢ﺇ ﺭ = ٥
ا ﻔﻜﻮك = ] ) – ١ﺱ ( – ١ ) = ٣[ ٤ﺱ ( ) ١٢ﻣﻦ ﻣﺜﻠﺚ ﺑﺎﺳ ل ( ١٢
ﺇ ا ﺪ اﻷوﺳﻂ = × (١ –) = ٧òﻕ = ٦ 1 ﺱ ( ﺭ )ﺱ( – ٦ﺭ = ٦ﻕ ﺭ × ﺱ – ﺭ × ﺱ ) ò (٥ﺭ ٦ = ١ +ﻕ ﺭ )
=٦ﻕ ﺭ × ﺱ
٢– ٦ﺭ
،ﺑﻮﺿﻊ ٢ – ٦ﺭ = ٠ﺇ ﺭ = ٣
ﺇ ا ﺪ ا ﺎ ﻣﻦ ﺱ = ٦ﻕ ٢٠ = ٣
ﺭ
)ﺝ( ﺑﻮﺿﻊ ٣ – ٩ﺭ = ٢ﺇ ﺭ = 7ﻳﻲ ط ﺇ ﻻ ﻳﻮﺟﺪ ﺣﺪ ﺘﻮى 3 – ١٥ ٢ﺭ ) ò (٧ﺭ ٩ = ١ +ﻕ ﺭ ) ﺝﺫ ( ﺭ )ﺱ ( ¤ ١٥
ﺭ
= ﻕ ﺭ )ﺝ( × ﺱ
–٢ﺭ
×ﺱ
٢ – ٣٠ﺭ
١٥
ﺭ
= ﻕ ﺭ )ﺝ( × ﺱ
ﺱ
٥ – ٣٠ﺭ
ﺑﻮﺿﻊ ٥ – ٣٠ﺭ = ١٠ﺇ ﺭ = ٤ﺇ ﻣﻌﺎ ﻞ ﺱ ١٥ = ١٠ﻕ ٤ﺝ ١٣٦٥ = ٤ﺝ ١٥
٢
٤
٣
٣
)(٨
ﻣﻔﻜﻮك ) + ١ﺱ ( : ١١ح ﺭ ١١ = ١ +ﻕ ﺭ ﺱ
ﺇ ) – ١ﺱ ٥ +ﺱ ١١ × ( ٢ﻕ ﺭ ﺱ
ﺭ
= ١١ﻕ ﺭ ﺱ ﺭ – ١١ﻕ ﺭ ﺱ ﺭ ١١ + ١ +ﻕ ﺭ ﺱ ﺘﻮى
٥
ﺱ ٥ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺭ ٥ = ١ +ﺇ ﺭ = ٤وﻗﻴﻤﺘﻪ ١١ﻕ
،ا ﺪ ا ﺎﻟﺚ ﺘﻮى
٥
١١
١١
٥
ﺭ ٢+
ﺱ ٥ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺭ = ٥وﻗﻴﻤﺘﻪ ١١ﻕ
ا ﺪ اﻷول ﺘﻮى ،ا ﺪا ﺎ
ﺭ
١١
ﺱ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺭ ٥ = ٢ +ﺇ ﺭ = ٣وﻗﻴﻤﺘﻪ
٤
ﻕ ٣
١١
ﺇ ﻣﻌﺎ ﻞ ﺱ = ﻕ + ٥ﻕ + ٤ﻕ ٩٥٧ = ٣ ٢ﻥ – ٣ﺭ )ò (٩ﺭ = ١ +ﻥ ﻕ ﺭ × ) ( 1ﺭ ) ﺱ ( ٢ﻥ – ﺭ = ﻥ ﻕ ﺭ × ﺱ ﺱ ﺫ° + ،ﺑﻮﺿﻊ ٢ﻥ – ٣ﺭ = ٠ﺉ ﺭ = ﻱ ﺻﺺ ﺇ ﻥ ﻀﺎﻋﻒ ﻠﻌﺪد ٣ 3
،ﻋﻨﺪ ﻥ = ١٢ﺇ ﺭ = ٨ﺇ ا ﺪ ا ﺎ ﻣﻦ ﺱ = ١٢ = ٩òﻕ٤٩٥ = ٨
3003 ١٥ – (٥) ٢ = ﺇ ﻣﻌﺎ ﻞ ﺱ ١٥ = ١٢ﻕ (٢) ٥ ﺫ3 ٦
)) (٦ﺍ( òﺭ ٩ = ١ +ﻕ ﺭ ) 1 -ﺫ ( ) ٢ﺱ( ﺫ¤ –٩ﺭ –٩ﺭ )ﺱ( = ٩ﻕ ﺭ ) -ﺫ ( 1ﺭ )ﺱ( – ٢ﺭ × )(٢ = ٩ﻕ ﺭ ) -ﺫ ( 1ﺭ ) – ٩ (٢ﺭ × ﺱ ٣ – ٩ﺭ ،ﺑﻮﺿﻊ ٣ – ٩ﺭ = ٣ﺇ ﺭ = ٢ ﺉ ﻣﻌﺎ ﻞ ﺱ ٩ = ٣ﻕ - ) ٢ﺫ١١٥٢ = ٢ – ٩ (٢) ٢( 1 – ٩ﺭ
ﺫ ﺉ ١٣٦٥ﺝ ٤٥٥ × ٢ = ٤ﺝ ٣ﺉ ﺝ = 3
ﺫ ﺭ 3ﺱ ( ) ) ò (١ﺭ ١١ = ١ +ﻕ ) ﺫ ﺭ 3ﺱ – ١١ﺭ = ١١ﻕ ﺭ ) ﺫ (ﺭ ) – ١١ ( 3ﺭ × ﺱ – ﺭ × ﺱ ﺫ 3 ٢ – ١١ﺭ ﺫ ٢ﺭ – ١١ ٢ – ١١ﺭ ١١ ﺫ ﺭ ﺫ ﺭ – ١١ ×ﺱ = ﻕﺭ) (3 ×ﺱ = ١١ﻕ ﺭ ) ( 3 ) ( 3 ﺑﻮﺿﻊ ٢ – ١١ﺭ = ١ﺉ ﺭ = ٥ﺇ ﻣﻌﺎ ﻞ ﺱ = ١١ﻕ ) ٥ﺫ٦٩٣ = ١١ – (٥) ٢ ( 3
(
ﺇ ﻣﻌﺎ ﻞ ) ﺱ ( ١٠ = ٤ﻕ (٢) ٣
ﺇ ا ﺪ ا ﺎ ﻣﻦ ﺱ = ﻕ ٢٠ – = (١ –) ٣
،ﺑﻮﺿﻊ ٥ – ٣٠ﺭ = ١٥ﺇ ﺭ = ٣ﺇ ﻣﻌﺎ ﻞ ﺱ = ﻕ ٣ﺝ = ٤٥٥ﺝ
– ١١ﺭ
ﺹ
٦
١٥
ﺣﻠﻮل ﺗﻤﺎر ﻦ )(٣
= ١٠ﻕ ﺭ ) ٢ – ١٠ (٢ﺭ ) ﺱ (
٣
ﺫ
) (١٣ﻣﻌﺎ ﻞ ١٨٠ = ٣òﺇ ١٠ﻕ ) ٢ﺝ( ١٨٠ = ٢ﺇ ٤٥ﺝ ١٨٠ = ٢ﺇ ﺝ = _ ٢
٢ – ١٠ﺭ
= ﻕ ﻙ )– × (١ﺱ
،ﺑﻮﺿﻊ ٢ – ٦ﻙ = ٠ﺇ ﻙ = ٣
ﺇ ا ﺪ ا ﺎ ﻣﻦ ﺱ = ٩ﻕ ٦٧٢ - = ٣ – ٩ (٢) ٣( 1 - ) ٣
ﺇ ﺍ +ﺏ ﺱ ١٥ – = ٢ﻕ ٧ﺱ ١٥ +ﻕ ٨ﺱ – × ١ﺱ ١٥ – = ٢ﻕ ٧ﺱ ١٥ +ﻕ ٧ﺱ = ٠
)(٢
ﻙ
٢ – ٦ﻙ
)ﺏ( ﺑﻮﺿﻊ ٣ – ٩ﺭ = ٠ﺇ ﺭ = ٣
ﺇ ﺍ = ١٥ = ٨òﻕ ) ٧( 1 –) ٧ﺱ( ١٥ – = ٨ﻕ ٧ﺱ ٧
ﺱ
ﺉ ﻗﻴﻤﺔ ا ﺪ ا ﺎ ﻣﻦ ﺱ = ٤٠ = ( ٢٠ –) – ٢٠
١٣ = ٧òﻕ ٢ ) ٦ﺹ ( ٣) ٦ﺱ ( ١٣ = ٨ò ، ٧ﻕ ٢ ) ٧ﺹ ( ٣) ٧ﺱ ( ﺇ ٣ﺱ =٢ﺹ ﺉ
٦
– ٦ﻙ
–٦ﺭ
)ò (١٠ﺭ ١٠ = ١ +ﻕ ﺭ × ) ﺍ) ( 3 ﺱ ﺭ
٢ﺱ ( ٢
ﺇ òﺭ ١٠ = ١ +ﻕ ﺭ × ) – ١٠(٢ﺭ × ﺍﺭ × ﺱ
– ١٠ﺭ
٥ – ٢٠ﺭ ٣
ﺑﻮﺿﻊ ٥ – ٢٠ﺭ = ٥ﺉ ﺭ = ٣ﺇ ﻣﻌﺎ ﻞ ﺱ١٠ = ٥ﻕ × ٧(٢) × ٣ﺍ ١٥
١٠
٩
ﺑﻮﺿﻊ ٥ – ٢٠ﺭ = ١٥ﺉ ﺭ = ١ﺇ ﻣﻌﺎ ﻞ ﺱ = ﻕ × (٢) × ١ﺍ
3S ﺇ × ٧٢ × ١٢٠ﺍ × ٩٢ × ١٠ = ٣ﺍ ﺉ ٣ﺍ ١ = ٢ﺇ ﺍ 1 = ٢ﺇ ﺍ = - 3 3 ٠ ) (١١ا ﺪ اﻷوﺳﻂ = òﻥ ٢ = ١ +ﻥ ﻕ ﻥ ) ( 1ﻥ × ﺱ ٢ﻥ – ﻥ = ٢ﻥ ﻕ ﻥ × ﺱ ﺱ
ﺇ ا ﺪ اﻷوﺳﻂ ﻫﻮ ا ﺪ ا ﺎ ﻣﻦ ﺱ ،ﻋﻨﺪ ﻥ = ٨ﺇ ١٦ = ٩òﻕ١٢٨٧٠= ٨
٣٩
ﻟﻸﺳﺘﺎﺫ ﺍﻟﻘﺪﻳﺮ /ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺪﻳﻦ ﻳﺤﻴﻰ ٠١١١٩٦٦٠٦١٦
ﺍﻟﺠﺒﺮ ﻭﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﺮﺍﻏﻴﺔ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
ﺇ ﻩ = ٣٠٠ = ٦٠ – ٣٦٠ﺇ ٦٠ - = ٣٦٠ – ٣٠٠ = q
ﺣﻠﻮل ﺗﻤﺎر ﻦ )(٤
)(١
3 pﺫ - 1ﺫ 1+ﺫ§ §11 = × = )ﺍ( 3 3 ﺫ pﺫ
،ﺱ < ، ٠ﺹ > ٠ﺇ qﻱ ا ﺮ ﻊ ا ﺮاﺑﻊ ﺇ ٤٥ - = ٣٦٠ – ٤٥ – ٣٦٠ = q
ﻣﻌﺎ ﻞ 7 p × 7= 3 7 = ﻣﻌﺎ ﻞ 8 pﺫ 1+ 7 - 1ﺫ 4
)ﺏ(
6p
)ﺝ( )(٢
)ﺏ( ﻉ ) = ١ﺟﺘﺎ – ٤٥ت ﺟﺎ ( ٤٥ﻷن ﺟﺘﺎ = ٤٥ﺟﺎ ، ٤٥ل = ١
4p
=
6p 5p
ò ٢=٣ò
× ٢
5p 4p
ﺫ 1+ 5 - 1ﺫ§ ﺫ 1+ 4 - 1ﺫ§ × × × = 3 4 3 5 3p
ﺉ
pﺫ
= ٢ﺇ
§8ﺫ
،ﺱ < ، ٠ﺹ > ٠ﺉ qﻱ ا ﺮ ﻊ ا ﺮاﺑﻊ ﺇ ٤٥ - = ٣٦٠ – ٤٥ + ٢٧٠ = q
5
) (٢ﻉ ) ٣ = ١ﺟﺘﺎ + qت ﺟﺎ ، ( qﻉ ) ٦ = ٢ﺟﺘﺎ ) + ( q + ٩٠ت ﺟﺎ ) + ٩٠
ﺫ - 1ﺫ 1+ × ﺱ = ٢ﺇ 11ﺱ = ٢ ﺫ
òﺭ ٩ = ١ +ﻕ ﺭ ) ( 1ﺭ )ﺱ – ٩ (٢ﺭ = ٩ﻕ ﺭ × ﺱ ﺱ
٣ – ١٨ﺭ
ﺇ
6p
ﺫ
6
ﺇ ﺱ 9 = ٣ﺉ ﺱ = 4 3 4 9ü
)(٤
ﰈ
p 11 = 7ﺇ
ﺫ
ﺱ
6
= ) ٢ﺟﺘﺎ + ٩٠ت ﺟﺎ ٢ = ( ٩٠ت = ٢ + ٠ت = ٢ﻩ
،
pت ﺫ
) (٣ﻉ ) ٢ = ١ﺟﺘﺎ + ١٠ت ﺟﺎ ( ١٠ﺇ ﻉ ) ١٦ = ٤١ﺟﺘﺎ + ٤٠ت ﺟﺎ ( ٤٠
ﺑﻮﺿﻊ ٣ – ١٨ﺭ = ٠ﺇ ﺭ = ٦ﺇ ا ﺪ ا ﺎ ﻣﻦ ﺱ = ٩ = ٧ òﻕ ٨٤ = ٦ p 3 = 7ﺇ 3 = 31 × 1+ 6 - 9ﺇ
¬
ﺫ = ) 3ﺟﺘﺎ ) + ( q - q + ٩٠ت ﺟﺎ ) ( ( q - q + ٩٠ ¬1
((qﺉ
ﺫ
ﺉ ﺱ= 4 11
)(٣
=
أو :ﻉ ) = ٢ﺟﺎ – ٤٥ت ﺟﺘﺎ ( ٤٥ﻷن ﺟﺘﺎ = ٤٥ﺟﺎ ، ٤٥ل = ١
،ﻉ ) ٩ = ٢٢ﺟﺘﺎ + ٨٠ت ﺟﺎ ( ٨٠
ﺫ =3 3ﺱ 3ﺫ
ﺉ ﻉ ٤١ﻉ ) ٩ × ١٦ = ٢٢ﺟﺘﺎ + ١٢٠ت ﺟﺎ ) ١٤٤ = ( ١٢٠ﺟﺘﺎ + ١٢٠ت ﺟﺎ ( ١٢٠ = ١٤٤ﻩ
ﺫ pت 3
) (٤ﻉ : ٣] – ١ = ١ﺱ < ، ٠ﺹ > ٠ﺉ θﻱ ا ﺮ ﻊ ا ﺮاﺑﻊ
ﻥ ) × 1+ 6 -ﺫ ÷ 3ﺱ ( = 11 4ﺫ ﺫ 3ﺱ 6
4 6 pﺫ 11 ﺇ ) ﻥ – 4 × ( ٥ﺫ = (١) ........... 4 9ﺱ ﺱ 3 4 6 pﺫ (= 3 ،ﰈ = 3ﺇ ﻥ ) × 1+ 5 -ﺫ ÷ = 5 ﺫ 3ﺱ 5 5 40 5 p
ﺉ ﻉ ) ٢ = ١ﺟﺘﺎ – + ٦٠ت ﺟﺎ – ( ٦٠
،ﻉ + ١ = ٢ت = ] ) ٢ﺟﺘﺎ + ٤٥ت ﺟﺎ ( ٤٥
ﺇ ) ﻥ – 4 × ( ٤ﺫ = (٢) ............ ٣
) (١ﻉ ١ﻉ ) ٢] ٢ = ٢ﺟﺘﺎ – + ١٥ت ﺟﺎ – ٢] ٢ = ( ١٥ﻩ
ﻩ = ﻇﺎ – ٥٦٠ = ( ٣] ) ١ﺇ ، ٥٦٠ – = θل = ]٢ = / ٣/ + ١
9ﺱ 11 5 ﻥ ﺇ ١٢ﻥ – ١١ = ٦٠ﻥ – ٤٤ = ﺑﻘﺴﻤﺔ ) : (٢) (١ﺇ ﻥ 4 -ﺫ1 ﺉ ﻥ = ١٦ﺑﺎ ﻌﻮ ﺾ ) (١ﺇ 11 = 4 × ١١ 9ﺱ ﺫ 4 ﺇ ٩ﺱ ١٦ = ٢ﺉ ﺱ = _ 4 3
p 5 = 5 )(٥ 1+ 5 - 8 6p p ،ﻋﻨﺪ ﺱ = ٢ﺇ ١ : ٥ = 8 ´ 5 = 5 8 6p
× ) ﺱ ÷ ٢ﺫ ( = ﺱ
)(٦
8 = 6p 7ﺫ 4p
8 = 5p × 6p 7ﺫ 4p 5p
ﺇ
× ﻥ ) × 1+ 4 -ﺫ × ﺫ ( = 8 7ﺫ 3 3 4
ﺇ
ﺫ ¬ ) (٢ﺫ = Sﺫ ) ﺟﺘﺎ + ١٠٥ت ﺟﺎ = ( ١٠٥ﺫ ﻩ ¬1
Sﺫ ت
) ) (٣ﻉ ) ٨ = ٦( ٢ﺟﺘﺎ – + ٩٠ت ﺟﺎ – ٨ = ( ٩٠ﻩ ) (٥ﻧﻔﺮض ﺳﻌﺔ ﻉ ، ١θ = ١ﺳﻌﺔ ﻉ θ = ٢
5ﺱ 3
ﻥ ) × 1+ 5 -ﺫ × ﺫ ( 3
5
١٥
ا ﻔﻜﻮك ) ٥ + ٣ﺱ (
pﺭ - 15 1+ﺭ 5 1+ﺱ -16ﺭ 5ﺱ ﺇ × = × = 3 ﺭ 3 ﺭ pﺭ
3
=
3ﺭ
ﺇ ﻉ ١٥١ﻉ ) = ١٥٢ﻉ ١ﻉ ) = ١٥( ٢ﺟﺘﺎ + ٥٧ت ﺟﺎ ( ٥٧ = ﺟﺘﺎ + ١٣٥ت ﺟﺎ 1 + 1 – = ١٣٥ت Sﺫ
ﻣﻌﺎ ﻞ
ﺫ
ﺫ q q q = ٢ﺟﺘﺎq ٢ﺫ +ت ) ٢ﺟﺎ qﺫ ﺟﺘﺎ qﺫ ( = ٢ﺟﺘﺎ ﺫ ) ﺟﺘﺎ ﺫ +ت ﺟﺎ ﺫ ( ﺇ | ﻉ | = ٢ﺟﺘﺎ qﺫ ،ﺳﻌﺔ ﻉ = qﺫ .
3ﺭ
) (٧ﺑﻔﺮض ﻉ ٣] + ١ = ١ت ،ﻉ + ٣] = ٢ت
3ﺭ
ﺇ ﻉ ١ﻉ ٣] + ١ ) = ٢ت ( ) ] + ٣ت ( = ] + ٣ت ٣ +ت ٤ = ٣] -ت
ﺣﺪ ا ﻔﻜﻮك ﻫﻮ
١٥ = ٥ò = ٤òﻕ٢٤١٨٠٥٦٥٥ = ١٢(٣) ٣( 1 × ٥) ٣
p ﺇ ﺳﻌﺔ ) ﻉ ١ﻉ = ( ٢ﺳﻌﺔ ) ٤ت ( = ﺫ pﺇ ﺳﻌﺔ ﻉ + ١ﺳﻌﺔ ﻉ = ٢ﺫ –p ١ ﺉ ﻇﺎ – + ٣] ١ﻇﺎ = ﺫ
5
) (٨أ
١٠
Sﺫ
) (٦ﻉ = + ١ﺟﺘﺎ + θت ﺟﺎ ٢ + ١ = θﺟﺘﺎ + ١ – q ٢ت ) ٢ﺟﺎ qﺟﺘﺎ ( q
-16) ¤ 5ﺭ (
ﲨ ٣ﺭ ﺇ ٤ﺭ ﲪﺲ ١٦ﺉ ﺭ ﲪﺲ ٤ﺉ أ ﺇ – ١٦ﺭ ﺲ
٥
١٥
p ﺭ -16 = 1+ﺭ ،ﺑﻮﺿﻊ -16ﺭ ﲨﺲ ١ ،ﻋﻨﺪ ﺱ = 1ﺇ 5
¬ ¬ﺫ
ﺇ ﻉ = ١ﺟﺘﺎ + ٤٥ت ﺟﺎ ، ٤٥ﻉ = ٢ﺟﺘﺎ + ١٢ت ﺟﺎ ١٢
) ) (4 -°ﻥ 8 = 4 × 4 × (3 - 7 9 9ﺫ 4´ 5
ﻗﻴﻤﺔ ﻋﺪدﻳﻪ ﻌﺎ ﻞ ﻣﻔﻜﻮك ) ٥ – ٣ﺱ ( ١٥ﺴﺎوى أ
pﺭ
ﺫ
ﺑﺎﻟﻄﺮح : (٢) – (١) :ﺇ ٤٨ = ٢θ ٤ﺉ ، ٥١٢ = ٢θو ﺎ ﻌﻮ ﺾ ﺇ ٤٥ = ١θ
ﺇ ) ﻥ – ) ( ٤ﻥ – ٦ × ٥ = ٣٠ = ( ٣ﺇ ﻥ – ٥ = ٤ﺉ ﻥ = ٩ ) (٧ﰈ أ
٢
p-ت
ﺇ ﺳﻌﺔ ) ﻉ ١ﻉ ، (١) ٨١ = ٢θ ٣ + ١θ = ( ٣٢ﺳﻌﺔ ) (٢) ٣٣ = ٢θ – ١θ = ( 1
8
ﺇ
ت
٥
ﻣﻌﺎ ﻞ ا ﻔﻜﻮك ﻫﻮ ﻣﻌﺎ ﻞ ا ﺪ اﻷوﺳﻂ = ﻕ٨٠٦٤ = (٢) ٥
ﺣﻠﻮل ﺗﻤﺎر ﻦ )(٦
ﺣﻠﻮل ﺗﻤﺎر ﻦ )(٥
)(١
)) (١ﺍ( ل = ، ٢ﺱ < ، ٠ﺹ > ٠ﺇ qﻱ ا ﺮ ﻊ ا ﺮاﺑﻊ
٤٠
)ﺍ( ل = ] ١٠ = /٣٦/ + /٦٤
ﺫ
ﻟﻸﺳﺘﺎﺫ ﺍﻟﻘﺪﻳﺮ /ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺪﻳﻦ ﻳﺤﻴﻰ ٠١١١٩٦٦٠٦١٦
ﺍﻟﺠﺒﺮ ﻭﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﺮﺍﻏﻴﺔ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
/ ٦/ +/ ٨ –] ،ت : /ل = ] ١٠ = /١٠٠] = /٣٦/ +/ ٦٤
ﺇ _ ] / ٦ /+ ٨ت 8 -10 + 8 +10 ) _ = /ت ( = _ ) + ٣ت (
üﺫ üﺫ 8 8 ت(=_)٢–٢ت( – )ﺏ( ل = ٨ﺉ _ ]– / /٨ت) _ = / üﺫ üﺫ
ﺉ ]– / ٦/ +/ ٨ت ٣ + ١ = /ت ﺳ = ﺲ ﺇ
S S – 1ﺫ ت ﺇ ل= ، ١= 3 +1 =– × ) (٢ﻉ = ﺫ 4 4ü + 3Sت - 3Sت -
+3ت
-3ت
ﺫ ت 3 + 1 ( +5ت) - ،ﺳﺲ = ٢ =–٢ت ﺇ ﺫ
3S
ﰈ ﺱ > ، ٠ﺹ > ٠ﺇ θﻱ ا ﺮ ﻊ ا ﺎﻟﺚ
– 3S - ١ ﺫpﺇ = θﺑﺐ +ﻇﺎ ) ÷ ٢ – ( 1 -ﺑﺐ = -ﺑﺐ = p + 3 3 ﺫ ﺫ ﺫpﺇ ا ﺼﻮرة ا ﺜﻠﺜﻴﺔ ﻠﻌﺪد ﻉ = ﺟﺘﺎ 3 -ﺫ + pت ﺟﺎ 3
،ا ﺼﻮرة ا ﻸﺳﻴﺔ ﻠﻌﺪد ﻉ = ﻩ
-ﺫ p3ت
،ا ﺬور اﻟ ﻴﻌﻴﺔ ﻠﻌﺪد ﻉ
1 ﺫ + pﺫ pﺭ ﺫ + pﺫ pﺭ +ت ﺟﺎ 3 ﻉ ﺫ = ﺟﺘﺎ 3 ﺣﻴﺚ ﺭ = ١ ، ٠ ﺫ ﺫ ﺫp ﺉ ﻉ = ١ﺟﺘﺎ + p -ت ﺟﺎ ، p -ﻉ = ٢ﺟﺘﺎ ﺫ + pت ﺟﺎ 3 3 3 3
١
ﻉ
١
)(٦
:
= ) ٢ﺟﺘﺎ + ٣٠ت ﺟﺎ . ( ٣٠ﻧﻔﺮض ﻉ = ] ) ٢ﺟﺘﺎ + ٣٠ت ﺟﺎ [ ( ٣٠
Ì360 + 90 Ì360 + 90 ﺇ ﻉ = ) ٢] ٢ﺟﺘﺎ +ت ﺟﺎ ﺫ ﺫ
= ] ٢] ٢ﺟﺘﺎ )– + (١٣٥ت ﺟﺎ )– [ (١٣٥
ﺣﻠﻮل ﺗﻤﺎر ﻦ )(٧ )(١
)ﺏ( ا ﻘﺪار = ) + ٢w + ١ت ( ) + w + ١ت ( = )– + wت ( )– + ٢wت (
ﺟﺎ q ٥ت = ٥ﺟﺘﺎ ٥ + q ٥ﺟﺘﺎ q ٤ﺟﺎ qت – ١٠ﺟﺘﺎ q ٣ﺟﺎ ١٠ – q ٢ﺟﺘﺎ q ٢ﺟﺎ
= w – ٢wت – ٢wت +ت – ١ = ٢ت ) – = ١ – ( ٢w + wت × – = ١ت
qت ٥ +ﺟﺘﺎ qﺟﺎ + q ٤ﺟﺎ q ٥ت = ) ﺟﺘﺎ ١٠ – q ٥ﺟﺘﺎ q ٣ﺟﺎ ٥ + q ٢ﺟﺘﺎ q ﺟﺎ ٥ ) + ( q ٤ﺟﺘﺎ q ٤ﺟﺎ ١٠ – qﺟﺘﺎ q ٢ﺟﺎ + q ٣ﺟﺎ ( q ٥ت
ﺇ ﺟﺎ ٥ = q ٥ﺟﺘﺎ q ٤ﺟﺎ ١٠ – qﺟﺘﺎ q ٢ﺟﺎ + q ٣ﺟﺎ – ١ ) ٥ = q ٥ﺟﺎ( q ٢
)(٢
٢
7-
٤
.
w + 1ﺫ ت w + 1) -ت () + wت ( ( ) (٣اﻷﻳﻤﻦ = ) ) w + 1ت ( )w + 1ﺫت (
w + 1ﺫ ت + w ) -ت w +ﺫ ت - 1 ٨ ( w -ت - 1) ٨ت ( ( =) ( =) =) ﺫ تw + 1ﺫ ت w +ت 1- ) -ت(
ﺫ
+ 1ﺫ ت + 1ﺫ ت (– = ٢ () = ٢[ ٢ ﺫ ﺫ 3S
3S p 1+ت ،ﻉ = ٢ﺟﺎ + pت ﺟﺘﺎ = pﺟﺘﺎ + pت ﺟﺎ =
(
٤
-ﺫت
٤ = ) = ١٦ = ( 1 -اﻷ
ﺫ
3S + 1ت - 3Sت3S 3S × 1+ت( = ت(÷) ﺇ ﻉ =)+ 1- ﺫ ﺫ ﺫ ﺫ - 3Sت + 3Sت p p ﺇ ﻉ = ت = ﺟﺘﺎ ﺫ +ت ﺟﺎ ﺫ ،ا ﺬور اﻟ ﻴﻌﻴﺔ ﻠﻌﺪد ﻉ : + pﺫ pﺭ + pﺫ pﺭ ﺫ ﻉ = ﺟﺘﺎ ) ﺫ ( ﺣﻴﺚ ﺭ = ١ ، ٠ ( +ت ﺟﺎ ) ﺫ ﺫ p ﺉ ا ﺬر اﻟ ﻴ اﻷول = ﺟﺘﺎ + pت ﺟﺎ 4 4 p3 p3p5 + p5ت ﺟﺎ = 4ﺟﺘﺎ + 4ت ﺟﺎ ،ا ﺬر اﻟ ﻴ ا ﺎ = ﺟﺘﺎ 4 4
) (٥ﺑﺎﻟﻘﺴﻤﺔ
ﺫ wﺫ 7 -
ﺫ wﺫ
=w
٨
ﺟﺎ ١٦ = q ٥ﺟﺎ ٢٠ – q ٥ﺟﺎ ٥ + q ٣ﺟﺎ q
6
= ﺫ ) w = w 7 - 3 wﺫ wﺫ (7 -
٢
اﻷﻳﻤﻦ = ) ٣] _ ) = ٤( w – ٢wت ( ٩ = ٤ت = = ٩ = ١ × ٩اﻷ
١٠ﺟﺎ ١٠ + q ٣ﺟﺎ + q ٥ﺟﺎ ٥ = q ٥ﺟﺎ – ١٠ﺟﺎ ٥ + q ٣ﺟﺎ ١٠ – q ٥ﺟﺎ١١ + q ٣
ﺫ
w 3 - 5ﺫ w 3 - 3 w5ﺫ wﺫ )( 3 - w5 =w = = 3 - w5 3 - w5 )( 3 - w5
ﺫw7 - ، ﺫ wﺫ 7 -
ﺟﺎ – ١ ) ١٠ – qﺟﺎ ( q ٢ﺟﺎ + q ٣ﺟﺎ ٢ – ١ ) ٥ = q ٥ﺟﺎ + q ٢ﺟﺎ ( q ٤ﺟﺎ – q
3S
)ﺍ( ا ﻘﺪار = ) ( ٢w ٥ – w ٥ – ٣ ) ( w ٢ – ٢w ٢ – ١
= ) ٢٤ = ٨ × ٣ = ( ٥ + ٣ ) ( ٢ + ١
٣
3
( ،ﺭ=١،٠
ﺇ ﻉ ) ٢] ٢ = ١ﺟﺘﺎ + ٤٥ت ﺟﺎ ، ( ٤٥ﻉ ) ٢] ٢ = ٢ﺟﺘﺎ + ٢٢٥ت ﺟﺎ ( ٢٢٥
ﺟﺎ qت ١٠ +ﺟﺘﺎ q ٣ﺟﺎ q ٢ت ١٠ + ٢ﺟﺘﺎ q ٢ﺟﺎ q ٣ت ٥ + ٣ﺟﺘﺎ qﺟﺎ q ٤ت+ ٤
3
3 ﺫ
ﺇ ﻉ ) ٢ ] = ٢ﺟﺘﺎ + ٣٠ت ﺟﺎ ) ٨ = ٣[ ( ٣٠ﺟﺘﺎ + ٩٠ت ﺟﺎ ( ٩٠
٢
6
=٣– ١ت ﺇ ﺍ = ، ١ﺏ = –٣
3S
١-
١
ﻤﻮﻋﺔ ا ﻞ = } ٢ + ٣ت – ٢ ،ت{
١اﻷول = q ،ﻇﺎ ) + ٣] | ، ٣٠ = ( 1ت | = ] ٢ = /١ /+ ٣ﺉ ] + ٣ت
) (٣ﰈ ﺟﺘﺎ + q ٥ت ﺟﺎ ) = q ٥ﺟﺘﺎ + qت ﺟﺎ = ٥( qﺟﺘﺎ ٥ + q ٥ﺟﺘﺎq ٤
+3Sت ) (٤ﻉ ) ] = ١ ﺫ
j - 4 j11 - 7 × j -4 j +4
ﺫ
ﺇ ) ] -ﺏ + /ﺍت ( = ] + ٣ت ،ﺱ = ] ، ٠ < ٣ﺹ = ٠ < ١ﺉ qﻱ ا ﺮ ﻊ
١ﻉ
+ 5ت 3 + 1) ±ت (
ﺳ=١ ﺲ ﺇ
+ 5ت 3 + 1) +ت (
=٢+٣ت
) (٤ﻣﻦ ﻣﺜﻠﺚ ﺑﺎﺳ ل :
) ﺱ = ٦( ١ +ﺱ ٦ + ٦ﺱ ١٥ + ٥ﺱ ٢٠ + ٤ﺱ ١٥ + ٣ﺱ ٦ + ٢ﺱ ١ + ﺇ اﻟﻄﺮف اﻷﻳﻤﻦ = ) ﺱ ١ – ٦( ١ +
ﺱ = ωأ ،ﺱ = ٢ωﺇ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ = ωﺉ اﻷﻳﻤﻦ = )١ – ٦( ١ + ω
= )– = ١ – ١ = ١ – ١٢ω = ١ – ٦( ٢ωﺻﻔﺮ = اﻷ
،ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ = ٢ωﺉ
اﻷﻳﻤﻦ = ) = ١ – ١ = ١ – ٦ω = ١ – ٦( ω –) = ١ – ٦( ١ + ٢ωﺻﻔﺮ = اﻷ
3S + 1ت+1 3S + 1تﺫ 3S + 1ت ﺫ × = ﺉ ﻉ=١ ) (٥ﻉ = ﺫ 3S + 1تﺫ 3S - 3ت -1 ﺫ 3S + 3ت 3S4ت 3S + 1ت 1 ت = = × = ﺫ1 3S 3S - 3ت 3S + 3ت = ) 1ﺟﺘﺎ + ٩٠ت ﺟﺎ ، ( ٩٠ﻧﻔﺮض ل = ٢ﻉ ) 1 = ١ﺟﺘﺎ + ٩٠ت ﺟﺎ ( ٩٠ 3S 3S
)–١ت(
7 - 9ت + 1 4 - 6 ٢ت + 1 ت =٠ ت ﺱ -1 +ت × × ﺇ ﺱ – +1ت -1ت +1ت
ﺇ ﺱ + ٥ ) – ٢ت ( ﺱ + ٨ ) +ت ( = ٠
ﺣﻴﺚ ﺍ = ، ١ﺏ = + ٥ ) -ت ( ،ﺝ = + ٨ت
) + 5ت ( + 5) S ±ت ( ﺫ + 8 )4 -ت ( + 5ت 6 + 8 - S ±ت = ﺇ ﺱ= ﺫ ﺫ
٤١
ﻟﻸﺳﺘﺎﺫ ﺍﻟﻘﺪﻳﺮ /ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺪﻳﻦ ﻳﺤﻴﻰ ٠١١١٩٦٦٠٦١٦
ﺍﻟﺠﺒﺮ ﻭﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﺮﺍﻏﻴﺔ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
+90ﺫ ¢ط +90ﺫ ¢ط +ت ﺟﺎ ﺇ ل = ) 14ﺟﺘﺎ ﺫ ﺫ 3S 1 ﺇ ل ) 14 = ١ﺟﺘﺎ + ٤٥ت ﺟﺎ ، ( ٤٥ل ) 4 = ٢ﺟﺘﺎ + ٢٢٥ت ﺟﺎ ( ٢٢٥ 3S 3S = ) 14ﺟﺘﺎ ) + (١٣٥ -ت ﺟﺎ )( (١٣٥ - 3S
( ،ﺭ=١،٠
) (٦ﻧﻔﺮض ﺹ = ٢ﺱ ٣ +ﺇ ا ﻌﺎدﻟﺔ ﺗﺼﺒﺢ :ﺹ ٩ – ٦ﺹ٠ = ٨ + ٣ ﺇ ) ﺹ ) ( ١ – ٣ﺹ ٠ = ( ٨ – ٣ﺇ ﺹ ١ = ٣أ ،ﺹ٨ = ٣
اﻷﻳﻤﻦ = ) ﺏ – ﺍ ( ) ﺝ – ﺍ (
+ ¤ﺫﺍ ﺍ ) (٥ﻉ + ١ﻉ + ٢ﻉ ٣ﺇ اﻷﻳﻤﻦ = + ¤ﺫﺍ ¤ + ¤ﺫﺍ ﺍ ¤ ﺍ ﺍ
ﺍ ﺍ
1ﺍ =)ﺱ ٢+ﺍ( ¤ 1 1ﺍ ¤
٣ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺹ = : ١ﺇ ﺹ = ١أ ،ﺹ = ωأ ،ﺹ = ω
ﺹ = ١ﺉ ٢ﺱ ١ = ٣ +ﺉ ﺱ = –١
ﺍ 1 ٢ ﺉ اﻷﻳﻤﻦ = ) ﺱ ٢ +ﺍ ( - ¤ 0ﺍ ) = 0ﺱ ٢ +ﺍ ( ) ﺱ – ﺍ ( -¤ﺍ 0 0
٣
) (٦ﺹ – ٢ﺱ × ﺹ ، ١ﺹ – ٣ﺹ
٢
١
،ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺹ = : ٨ﺇ ﺹ = ٢أ ،ﺹ = ω ٢أ ،ﺹ = ω ٢
ﺫ3 - ω ﺉ ٢ﺱ ω٢=٣+ﺉ ﺱ = ﺫ ﺫ ωﺫ 3 - ﺉ ٢ﺱ ٢ω ٢ = ٣ +ﺉ ﺱ = ﺫ 1ﺫ 3 - ωﺫ ωﺫ 3 - ω 3 - ωﺫ 3 - { ، ، –، ، ﻞ=} –،١ ﺫ ﺫ ﺫ ﺫ ﺫ
ﺇ
ﻤﻮﻋﺔ ا
)(١
ﺫ 1 = ﺻﻔﺮ ) ﻷن ﻉ = ١ﻉ ( ٣ ﻉ – ٣ﻉ ٢ﺉ ﻣﻢ = ﺫ 3 - 4- 6 4-
ﺣﻠﻮل ﺗﻤﺎر ﻦ )(٨ 1 ﺫ
٢
ﺇ + ١ﺱ + ٣ﺱ + ٢ﺱ +ﺱ – ﺱ – ٢ﺱ – ٣ﺱ = ٠ﺇ ﺱ ٠ = ١ +ﺉ ﺱ = – ١ 13 3 1 11 4ﺫ ) (٧ﻣﻢ = ) 13 3 1اﺑﺪال ﺹ ٢ﻣﻊ ﺹ 11 4 - = ( ١ﺫ 3ﺫ -ﺫ 3ﺫ -ﺫ 5 3 1 ) ﺹ ٤ – ٢ﺹ ، ١ﺹ ٣ – ٣ﺹ ( ١ﺇ ﻣﻢ = ) 18 - 1 - 0 -ﺹ ٧ – ٣ﺹ( ٢ 17 - 7 - 0 3 1
76ﺫ ،ﻉ – ٣ﻉ ٢ﺛﻢ ﻉ – ٢ﻉ ١ﺉ ﻣﻢ = ﺫ6 8 10 10 86 ﺫ
) (٢ﺑﺄﺧﺬ ٢
ﻞ ﺸ ك ﻣﻦ ﻉ ٢ ، ١
ﺸ ك ﻣﻦ ﻉ
وﺗﺪو ﺮ ا ﺤﺪد اﻷول ﺉ
٣
ﺫ 1 5- ﺫ 1 1 ﺫ 1 6 اﻟﻄﺮف اﻷﻳﻤﻦ = = 5 5 4 = 5 6 4 + 5 1 - 4ﺻﻔﺮ 3ﺫ ﺫ 9 3ﺫ 7- 3ﺫ
) ﻷن ﻉ = ٢ﻉ ( ٣
0 0
1 ) (٤ﻉ – ٢ﻉ ، ١ﻉ – ٢ﻉ ١ﺉ اﻷﻳﻤﻦ = ﺍ ﺍﺫ
ﺇ
ﺑﺄﺧﺬ ) ﺏ – ﺍ (
ﻞ ﺸ ك ﻣﻦ ﻉ ) ، ٢ﺝ – ﺍ (
ﺇ اﻷﻳﻤﻦ = ) ﺏ – ﺍ ( ) ﺝ – ﺍ (
1 ﺍ ﺍﺫ
0 0 1 1 + Bﺍ +Üﺍ
0 0 1 0 3ﺫﺫ3 - 5ﺫ ; 8 -
) (٩ﻧﺄﺧﺬ ﺍ
ﺫ
5 1 7 3 5ﺫ ; +ﺫ
= 6 -ﺻﻔﺮ
= ٠ﺉ ) × ٢٢ × ١ﻙ – ٠ = ( ٨ﺉ ﻙ = ٨
ﻞ ﺸ ك ﻣﻦ ع ، ١ﺏ
ﻞ ﺸ ك ﻣﻦ ﻉ ، ٢ﺝ
1 1 1 1+ B ﺍ Ü 1 1 1 1+ ﺸ ك ﻣﻦ ﻉ ٣ﺇ ﻣﻢ = ﺍﺏ ﺝ × B ﺍ Ü 1 1 1+ 1 Ü B ﺍ
)،ﻉ+١ﻉ+٢ﻉ(٣
1 1 1 1 1 1+ + + B Ü ﺍ Ü B 1 1 1 1 1 ﺇ ﻣﻢ = ﺍﺏ ﺝ 1+ 1+ + + B Ü ﺍ Ü B 1 1+ 1 1+ 1 + 1 + 1 Ü B ﺍ Ü B
0
-Üﺍ ﺫ ﺫ - Üﺍ
ﻞ ﺸ ك ﻣﻦ ﻉ
109
) (٨ﺱ = ٢ﻌﻞ ﻣﻢ = ﺻﻔﺮ ﺇ
= ﺻﻔﺮ ) ﻷن ﺹ = ١ﺹ( ٣
0 -Bﺍ ﺫ ﺍﺫ - B
5
ﺇ ﻣﻢ = ١٠٩ = ( ١٠٩ × ١ - × ١ ) - = 18 - 1 - 0 -
1 1 1 ﺍ ) ،ﺹ + ٣ﺹ + ٢ﺹ( ١ B ) (٣اﻟﻄﺮف اﻷﻳﻤﻦ = ٣ﺱ 1 ﺍ B +ﺍ 1+ B 1+ 1 1 1 1 1 1 B 1 =٣ﺱ)ﺍ +ﺏ 1 B 1 (٢ + ﺍ =٣ﺱ ﺍ + B+ﺫ ﺍ + B+ﺫ ﺍ + B+ﺫ 1 1 1
٣
ﺇ + ١ ) ] ١ﺱ ( ) ﺱ + ١ –) – ( ١ +ﺱ ( × ﺱ [ = ﺱ +ﺱ
= 6ﺻﻔﺮ ) ﻷن ﻉ = ٢ﻉ ( ٣ ا ﺤﺪد ا ﺎ ،
ا ﺤﺪد اﻷﻳﻤﻦ وﻓﻚ ا ﺤﺪد اﻷ
- 1ﺱ 0 ٣ ﺫ ﺇ اﻷﻳﻤﻦ = + 1 0ﺱ = ¤ﺱ +ﺱ + 1 - 0ﺱ 1+ ¤
ﺹ = ٢ﺉ ٢ﺱ ٢ = ٣ +ﺉ ﺱ = –1 ﺫ
،ﺹ =ω٢
،ﺹ – ٢ﺹ ١ﺛﻢ ﺹ – ٣ﺹ
١
ﺍ
3 -ω ،ﺹ = ωﺉ ٢ﺱ ω=٣+ﺉ ﺱ = ﺫ ωﺫ 3 - ،ﺹ = ٢ωﺉ ٢ﺱ ٢ω = ٣ +ﺉ ﺱ = ﺫ
٢
1 ﺍ ﺍﺫ
=)ﺏ –ﺍ()ﺝ –ﺍ()ﺝ –ﺏ(
٢
،ص=ω٢
0 0 0 1 + Bﺍ B -Ü
٣
) ﻉ–٣ﻉ (٢ﺉ
٤٢
ﻞ
ﻟﻸﺳﺘﺎﺫ ﺍﻟﻘﺪﻳﺮ /ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺪﻳﻦ ﻳﺤﻴﻰ ٠١١١٩٦٦٠٦١٦
ﺍﻟﺠﺒﺮ ﻭﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﺮﺍﻏﻴﺔ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ ﺍ ﺏ Ü 1 1 1 Ü B 1 1 ) ،ﺹ – ٢ﺹ ، ١ﺹ – ٣ﺹ( ١ 1+ × 1 Ü B 1 1+ 1 1 Ü B 1 1 1 Ü B 1 ﺇ ﻣﻢ = ﺍﺏ ﺝ ) 1 0 ( ١ + 1 + 1 + 1 Ü ﺍ ﺏ Ü 1 0 0
،ﺑﺄﺧﺬ ) ( ١ + 1 + 1 + 1
Ü
ﻞ ﺸ ك ﺇ ﻣﻢ = ﺍﺏ ﺝ ) ( ١ + 1 + 1 + 1
Ü
ﺏ
ﺍ
ﺫ¤ﺫ
ö ÷ ﺇ ÷ 0 0 ÷ø
ﺍ
ﺏ
ﺍ
4+¤
Ü
)(١
) (١ﰈ ﻣﻢ = ﺻﻔﺮ ﺇ
ﺫ 7
) ﺹ ٥ – ٢ﺹ ، ١ﺹ – ٣ﺹ ( ١ﺉ
ﺫ
1
٠= 0
5ﺱ 6 - 18 - -3ﺱ ﺱ0 3-
ﺇ )– ٥ﺱ – ) ( ١٨ﺱ – – ٣ ) ٦ + ( ٣ﺱ ( = ٠
ﺇ – ٥ﺱ ٣ – ٢ﺱ ٦ – ١٨ + ٥٤ +ﺱ = ٠ﺇ ٥ﺱ ٩ + ٢ﺱ – ٠ = ٧٢
4ﺫ ﺇ ) ﺱ – ٥ ) ( ٣ﺱ ٠ = ( ٢٤ +ﺇ ﺱ = ٣أ ،ﺱ = – 5
)(٢
ﺫ 3- 1 |ﺍ|= 5 4 0 7 6 3
5 4
=٢
7 6
–
5 0 7 3
–٣
4 0 6 3
= ٤٧ = ( ١٢ – ٠ ) ٣ – ( ١٥ – ٠ ) – ( ٣٠ – ٢٨ ) ٢ﻵ ٠ﺇ ﺼﻔﻮﻓﺔ ا ﺮاﻓﻘﺎت ö ÷ ÷ ÷ 3- 1 ﺫ =÷- 3 ÷ 7 6 ÷ ÷ 3- 1 ﺫ 0 5 4 ÷ø - öﺫ 5 -ﺫ ﻞ ﺇ ﺍ = ÷÷ 3 15ﺫ - ÷øﺫ 9 - 5 4 7 6
3 ö ٢ ) (٣ﺍ = 10 ÷ø 3 ö ٧ ،ﺍ =٧ 10 ÷ø
5 0 7 3
ﺫæ ç4 è ﺫæ ç4 è
37 35
æ 17 ç 10ç ç 8 è
æ 4 0 ç 6 3 - ö ççﺫ 15 ﺫ 1 5 - ÷÷ = çﺫ 3ﺫ 6 3 ç ÷ 10- 17 ø ç ﺫ ç 1 ç 4 0 è - öﺫ 5 -ﺫ –1 ١ ÷÷ 3 15ﺫ ﺉ ﺍ = 47 - ÷øﺫ 9 -
ﺫæç 9ç ç 8 è
æ 17 ç 10ç ç 8 è
9 öﺫ 1 ö æ 14ﺫ 0 8 ö æ 14 ٢ I ٨ = æç ÷= ç ÷– ç ﺇ ﺍ –٧ﺍ= ÷ 8 70 ø è 36 70 øﺫ è 8 0 ø è
ﺇ
٢
،ﰈ ﺍ –٧ﺍ = I٨ﺇ ﺍ)ﺍ –I٨=(I٧
–1 ١ 1 ﺇ ﺍ× ) ﺍ – I=(I٧ﺇ ﺍ = ) ﺍ 8 8 1 – 3 ö 1 ١ﺫæ 0 7 ö æ =[ ç ÷- ç ﺇ ﺍ = ]÷ 8 è 7 0 ø è 4 10 ø 8
) (٤ﰈ ﺍﻣﺪ = ﺍ
–١
) ﺑﺎ
ب
-öﺫ 1 ÷ = ÷ -ﺫ 1 - 5 ÷øﺫ
–(I٧ 4- öﺫ æ ÷ ç 3 - 10 è ø
ﺍ ﻣﻦ اﻟ ﺴﺎر ( ﺇ ﺍﻣﺪ ﺍ – = ١ﺍ – ١ﺍ = I
öﺫ æ1 - 1 - æ1 - 1–١ ç ÷ ç ç 0 1ﺇ ﺍ = – ÷ ١ﺫ ç 0 1-÷ 5-ﺫ ç 1 ﺫ ç1 è ø è öﺱ - ö æﺫ æ 1ö æ 1 1 æ1 çç 0ﺇ ÷÷ ﺹ - ÷÷ = ççﺫ = çç 0 ÷÷ çç 0 1 ÷ ﻉ - 5 ÷ çﺫ ç 3 ÷ ç1 - ç1è ø è ø è ø è
æ 1ö ÷ ç ÷ -ﺫç ÷ ﺫ ç è ø
ﺇ ﺱ = ، ١ﺹ = – ، ٢ﻉ = ٢ ﺫ 9- 4- )ﺏ( | ﺍ | = 1 -ﺫ ، ٠= 3 9 6 3-
9- 4ﻵ ٠ﺇ ﺭ )ﺍ( = ٢ 3 ﺫ
öﺫ æ 1 9- 4- ،ﺍ* = ÷÷ 1 -ﺫ ، çç 0 3ﰈ ç1 - 9 6 3 - ÷ø è
1 9- 4ﺫ ٦– = 0 3ﻵ٠ 1- 9 6
ﺇ ﺭ )ﺍ *( = ، ٣ﰈ ﺭ )ﺍ( ﻵ ﺭ )ﺍ *( ﺇ ا ﻌﺎدﻻت ﻟ ﺲ ﺎ ﺣﻞ . )(٢
3 öﺫ æ 14 39 ö æ ÷ ç 36 70 ÷ = ç 4 10 è ø è ø 1 öﺫ æ 14 = ÷ 8 70ﺫ ç è ø
ﺍ ٧ – ٢ﺍ– X = I ٨
0
9 1 1 )ﺍ( | ﺍ | = ﺫ 3ﺫ = – ١ﻵ ﺻﻔﺮ 0 1- 1
öﺫ ﻞ ÷ ﺍ =÷ ﺫ 5 - ÷ø
٠= 5
4+ ¤
0
§6ﺫ
ﺇ ﺭ )ﺍ( = ﺭ )ﺍ*( = = ٣ﻋﺪد ا ﺠﺎﻫﻴﻞ ﺇ ﻠﻤﻌﺎدﻻت ﺣﻞ وﺣﻴﺪ
1
4 1 1- ¤
æ 0 I = ç 0ﺇ ٢ﺱ ١ = ٢ﺉ ﺱ = _ 1 ç Sﺫ ¬ 3ﺫ ç è
ﺣﻠﻮل ﺗﻤﺎر ﻦ )(١٠
ﺣﻠﻮل ﺗﻤﺎر ﻦ )(٩ ﺫ
=I
٦ ،ﺹ ١ = ٢ﺉ ﺹ = _ ٣ ، 1ﻉ ١ = ٢ﺉ ﻉ = _ 1 3S 6S
= ﺍﺏ ﺝ ) = ١ × ( ١ + 1 + 1 + 1ﺍﺏ ﺝ ) ( ١ + 1 + 1 + 1 ﺏ
ﺇ
¤ 0 ö 0 ö æ ¤ﺫ§ ¬ æ ÷ ﺫ§ § ç ¬ - § ¤ ÷ ç § - ç ÷ ç ÷ ÷ ¬ ç ¬ §- ¤ ÷ ç ¬ ¬ - è ø è ø
1ö ÷ )ﺍ( ﺍ * = ÷1 1÷ø
-öﺫ 4 ﻞ ÷ ﺇ ﺍ = ÷ - 1ﺫ ÷øﺫ 1 -öﺫ öﺱæ ÷ ÷ 1 ç ﺇ ÷ﺹ 1 ÷ = ç 5 ÷ﻉ ç ÷øﺫ è ø
3 1öﺫ æ 3ﺫ æ0 ç ÷ ، çç1 - 1 0ﺍ = ÷ ç 1 0 1ﺇ ÷ 1ﺫ ç0 ﺫ ç3 0 è ø è -öﺫ 4 æ 3 –÷ 1 ١ ç ç 1ﺉ ﺍ = ÷ - 1ﺫ 5 ÷ ç3 øﺫ 1 è 4 æ 1ö æ0ö æ 3 ç ÷ ç ÷ ç ﺫ ç 1 ÷ = ç1 - ÷ ç 1 - ÷ ç 3 ÷ ç 3 - 1ﺫç è ø è ø è
|ﺍ|= ٥ æ 3 ç ç 1 ç3è
ﺇ ﺱ = ، ١ﺹ = ١ﻉ = ٢- 5- 3 4ö ÷ 4 )ﺏ( ﺍ * = ÷ 3ﺫ 1 1 - 1 ÷ø 6 öﺫ ﺫﺫ æ ç ﻞ ÷ ،ﺍ = ÷ ç 31 - 9 1 ÷ ç 1- 7 5 - è ø
ﺇ
æ5 - 3 4 ö æ6 ﺫ ، çç1ﺍ = ÷÷ 3ﺫ çç 4ﺇ | ﺍ | = ٥٢ ÷ ç 1 1- 1 ﺫç è ø è ﺫﺫ ﺫ 6 æ ö ç –÷ 1 ١ 31 9 1 ç ﺉ ﺍ = ﺫ÷ 5 ÷ ç 1- 7 5 - è ø
6 öﺫ ﺫﺫ æ öﺱæ ç ÷ ÷ 1 ç 31 9 1 = ç ÷ ﺹ çﺫ÷ 5 ÷ ç 1- 7 5 - ÷ﻉ ç è ø è ø
æ6ö ÷ ç ÷ ﺫç1 ÷ ﺫç è ø
öﺫæ ÷ ç = ÷ç 1 ÷ç 1 è ø
ﺇ ﺱ = ، ٢ﺹ = ، ١ﻉ =١ ) | (٣ﺍ | =
٤٣
1
0
4 1-
= ٤ﻵ ٠ﺉ ﺭ )ﺍ( = ٢
ﻟﻸﺳﺘﺎﺫ ﺍﻟﻘﺪﻳﺮ /ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺪﻳﻦ ﻳﺤﻴﻰ ٠١١١٩٦٦٠٦١٦
ﺍﻟﺠﺒﺮ ﻭﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﺮﺍﻏﻴﺔ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ ،
6- 3 -ﺫ 4
=، ٠
6- 3 10 - 5
=، ٠
ﺫ5
4
)(٢
=٠
10 -
) ،ﺏ ﺝ ( ٦ = ٢( ٢ – ١ ) + ٢( ٤ – ٥ ) + ٢( ٤ + ٢ – ) = ٢وﺣﺪة ﻃﻮل
،ﰈ ﻗﻴﻢ ﻴﻊ ﺪدات ا رﺟﺔ ا ﺎﻧﻴﺔ = ﺻﻔﺮ ﺇ ﺭ )ب( > ٢
) ،ﺍﺝ ( ٥٦ = ٢( ١ – ٣ ) + ٢( ٥ – ١ – ) + ٢ ( ٢ + ٢ ) = ٢وﺣﺪة ﻃﻮل
،ﰈ ب ﺼﻔﻮﻓﺔ ﻏ ﺻﻔﺮ ﺔ ﺇ ﺭ )ب( = ١
٢
٢
ﺝ
ﺫ4 + )+ 1 ) (٣ﺫ 3 - ، 4ﺫ ، 1 -ﺫ ( = ) ﺫ( ٣ ، ٢ – ، 5
= ٢٠ = ٧ + ٣ + ١٠ﻵ ٠ﺉ ﺭ )٣ = (x ﺫ 1 3
| ،د | = 5 3ﺫ = ) ٠ = ١ + ٢ – ١ = ( ٩ – ١٠ ) + ( ٣ – ٤ ) ٢ – ( ٥ – ٦ 1ﺫ 1
ﺫ 3 = ١ﻵ ٠ﺇ ﺭ )د( = ٢ 5 3
1ﺫ ﻙ ً )) (٤أوﻻ( | ﺍ | = ﺫ + ( ١٢ – ١٠ ) ٢ – ( ٨ + ٥ –) = 4 1 -ﻙ )– + ٤ - 3ﺫ 5
– ٧ = ( ٣ﻙ ،ﰈ ﺭ )ﺍ( = ٢ﺇ | ﺍ | = ٠ﺇ – ٧ﻙ = ٠ﺉ ﻙ = ٧ ً )ﺛﺎﻧﻴﺎ(
٢
ﰈ ) ﺍﺏ ( = ) ﺏ ﺝ ( ) +ﺍﺝ ( ﺇ ﻣﻢ ﺍﺏ ﺝ ﻗﺎﺋﻢ ا ﺰاو ﺔ ﺇ ﺴﺎﺣﺔ ﻣﻢ ﺍﺏ ﺝ = / ٢١] ٢ = /٥٦] × ٦] × 1وﺣﺪة ﺮ ﻌﺔ ﺫ
3 1ﺫ = | x | ،ﺫ ( ٦ – ١ - ) – ( ٤ – ١ ) – ( ٢ + ٣ ) ٢ = 1 1- ﺫ 1- 1
ﺇ ﺭ )د( > ، ٣ﰈ
) ﺍﺏ ( ٦٢ = ٢( ٢ – ٣ ) + ٢( ٤ – ١ – ) + ٢( ٤ + ٢ ) = ٢وﺣﺪة ﻃﻮل
ﺫ 4 1- | ب | = – ( ٤ – ٣ –) ١ – = 3 1 1ﻙ ) ٢ – ٧ = ( ٤ – ٦ﻙ 1-ﻙ 0
،ﰈ ﺭ )ﺏ( = ٣ﺇ | ﺏ | ﻵ ٠ﺇ ٢ – ٧ﻙ ﻵ ٠ﺉ ﻙ ﻱ { ٣٥ } – ò ; +ﺫ 3 +; öﺫ æ 3 çﺇ |ﺍ|= ) (٥ﺍ = ; -ﺫ ; ; ÷ø ; -ﺫ è
ﻙ -ﺫ +ﺫ )) (٤ ﺫ ﺇ ) ﻙ ،ﻥ، 8- ﺫ ﺫ 8 ،ﻥﺫ = ٦ﺇ
ﺇ ﻡ = – ١١
)(٥
+ 1 - ،ﺫﻥ ، 7 -ﻡ +ﺫ - 3ﺫ ( = )– ( ٥ – ، ٦ ، ١ ﻡ ( ٥ – ، ٦ ، ١ –) = ( 1 +ﺉ ﻙ = – ١ﺇ ﻙ = – ٢ ﺫ ﺫ
ﻥ – ١٢ = ٨ﺇ ﻥ = ، ٢٠ﻡ ﺫ ٣ = 1 +ﺇ ﻡ ١٠ – = ١ + ٢
٢
)ﺍ( ) ﺱ – ) + ( ٢ﺹ ) + ( ١ +ﻉ ٩ = ٢( ٤ - ٢
٢
)ﺏ( ﺍﺏ ﰒ = ﺏ – ﺍ = ) ( ٤ – ، ٢ ، ٣ﺉ )ﺍﺏ( = )٢٩ = ٢(٤ –) + (٢) + (٣ 9Sﺫ ﺇ ﻖ ﻗ = ﺫ ،ا ﺮ ﺰ = ﺍ+ﺫ= B
) - @6@ 3ﺫ(
=)(١– ،٣،
ﺇ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ا ﻜﺮة
ﺫ 9 ٢ﺫ ٢ ) :ﺱ – ﺫ ) + ٢( 3ﺹ – ) + ( ٣ﻉ = ( ١ + 4
ﺇ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ا ﻜﺮة
) :ﺱ – ) + ٢( ١ﺹ ) + ٢( ٦ +ﻉ – ٤٢ = ٢( ١
)ﺝ( ﻣﻦ ﻗﺎﻧﻮن ا ﻌﺪ ﺑ ﻧﻘﻄﺘ :ﻗﻖ٤٢ = ٢(٤) + ٢(٥) + ٢(١) = ٢ ﻗ = ٤ﺇ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ا ﻜﺮة ) (ﻖ
= ) ﻙ ) ( ٢ +ﻙ – ٣ – ( ٢ﻙ = ﻙ ٣ – ٢ﻙ – ٤ ً ﻳ ﻮن ﻠﻨﻈﺎم ﺣﻞ وﺣﻴﺪ ﺐ أن ﻳ ﻮن | ﺍ | ﻵ ٠ )أوﻻ(
٢
٢
٢
٢
:ﺱ ) +ﺹ – + ( ٤ﻉ = ١٦
)ﻩ( ا ﺮ ﺰ = )( ٣ ، ٣ ، ٣
) :ﺱ – ) + ٢( ٨ﺹ – ) + ٢( ٨ﻉ – ٦٤ = ٢( ٨
ﺇ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ا ﻜﺮة
ﺇ ﻙ ٣ – ٢ﻙ – ٤ﻵ ٠ﺇ ) ﻙ – ) ( ٤ﻙ ( ١ +ﻵ ٠ﺉ ﻙ ﻵ ٤أ ،ﻙ ﻵ ١ - ً ﻳ ﻮن ﻠﻨﻈﺎم ﻋﺪد ﻻ ﻧﻬﺎ ﻣﻦ ا ﻠﻮل ﺐ أن ﻳ ﻮن )ﺛﺎﻧﻴﺎ(
ﻗ = ]٣] = / ١١/ –/ ٩ /+/ ١ /+ ٤ )) (٦ﺍ( ا ﺮ ﺰ = )– ، ( ٣ ، ١ ، ٢ﻖ
3 6 ﺭ )ﺍ( = ﺭ )ﺍ*( = ، ١ﻋﻨﺪ ﻙ = ٤ﻳ ﻮن | ﺍ | = 4ﺫ 9 3 9 3 6ö = ٠ﺇ ﺭ )ﺍ*( > ٢ æçﻏ ﺻﻔﺮ ﺔ ،ﰈ ،ﺍ* = ÷ ﺫ 6 4 øﺫ è6
ﻗ = ]٥] = / ٠ /–/ ٠ /+ ٤/ + ١ )ﺝ( ا ﺮ ﺰ = ) ، ( ٠ ، ٢ – ، ١ﻖ
ﻗ =٣ )ﺏ( ا ﺮ ﺰ = ) ، ( ٣ ، ٠ ، ٠ﻖ
= ﺻﻔﺮ
) (٧ﺍ ) ﺱ ، ( ٠ ، ٠ ،ﺏ ) ، ٠ﺹ ، ( ٠ ،ﺝ ) ، ٠ ، ٠ﻉ (
ﺍB+ ،ﰈ =) (٠،١– ،١ﺇ ) ﺱ ،ﺹ (٠،١– ،١)=(٠،ﺇ ﺱ =٢
ﺫ Ü + B = ) ( ٢ ، ١– ، ٠ﺇ ) ، ٠ﺹ ،ﻉ ( = ) ( ٢ ، ١– ، ٠ ،ﺹ = – ، ٢ﰈ ﺫ ﺫ ﺫ ﺍÜ+ ﺇ ﺹ = – ، ٢ﻉ = ٤ﺉ ﻣﻨﺘﺼﻒ ﺍﺝ= / =(٢،٠،١)=(٤،٠،٢) 1 ﺫ ﺫ ﺫ
ﺇ ﺭ )ﺍ*( = ١ﺇ ﻳ ﻮن ﻠﻨﻈﺎم ﻋﺪد ﻻﻧﻬﺎ ﻣﻦ ا ﻠﻮل ﻋﻨﺪ ﻙ = ٤ ً ﻳ ﻮن ا ﻈﺎم ﻟ ﺲ ﺣﻞ ﺐ أن ﻳ ﻮن ﺭ )ﺍ( ﻵ ﺭ )ﺍ*( )ﺛﺎ ﺎ( 3 1 ﻋﻨﺪ ﻙ = : ١ -ﻳ ﻮن | ﺍ | = 3 - 19 1 9 3 1ö = ١٥ = ٩ + ٦ﻵ ٠ æçﻏ ﺻﻔﺮ ﺔ ،ﰈ ،ﺍ* = ÷ 6 1è 6 3 - 1- ø
= ﺻﻔﺮ ﺇ ﺭ )ﺍ( = ١
) (٨ﻡ = ) ، ( ٢ ، ٠ ، ١ﻥ = ) ، ٢ ، ١ -ﻙ ( ،ﻗﻖ ، ١ = ١ﻗﻖ ٥ = ٢
ﻡ ﻥ = (1+1) üﺫ -0) +ﺫ( ﺫ ) +ﺫ ( ; -ﺫ = ) + 8 üﺫ( ; -
ﺇ ﺭ )ﺍ*( = ٢ﺇ ﺭ )ﺍ( ﻵ ﺭ )ﺍ*(
ﺇ – ٢ ) + ٨ﻙ ( ٣٦ = ٢ﺇ ) – ٢ﻙ ( ٢٨ = ٢ﺇ – ٢ﻙ =_ ]/ ٢٨
ﺇ ﻙ = / ٢٨] _ ٢
أ ،ا اﺋﺮﺗﺎن ﻣﺘﻤﺎﺳﺘﺎن ﻣﻦ ا اﺧﻞ ﺉ ﻡ ﻥ = ﻗﻖ – ٢ﻗﻖ ٤ = ١ – ٥ = ١
٢
٢
ﺇ – ٢ ) + ٨ﻙ ( = ١٦ﺇ ) – ٢ﻙ ( = ٨ﺇ – ٢ﻙ = _ ٢] ٢
ﺣﻠﻮل ﺗﻤﺎر ﻦ )(١ ﺏ) ، (٤،٨،٠ﺝ)(٤،٠،٠
ﺏ
، (٤،٠،٥) ،ﺍ )(٠،٨،٥ /
،ﺏ( ٠ ، ٠ ، ٥ ) / ، ( ٠ ، ٨ ، ٠ ) /
ﺫ
إﻣﺎ ا اﺋﺮﺗﺎن ﻣﺘﻤﺎﺳﺘﺎن ﻣﻦ ا ﺎرج ﺉ ﻡ ﻥ = ﻗﻖ + ١ﻗﻖ ٦ = ٥ + ١ = ٢
ﺇ ﻳ ﻮن ا ﻈﺎم ﻟ ﺲ ﺣﻞ ﻋﻨﺪ ﻙ = – ١
)(١
ﺫ
ﺻﺺ
ﺏ
ﻉ ٤
ﺍ
/
ﺍ
/
٨
ﺇ ﻙ = ٢] ٢ _ ٢ ﺝ
و ٥
/
) (٩ا ﺤﻮر ﺳﺲ ﻣﻌﺎد ﻪ ﺹ = ، ٠ﻉ = ٠ﺑﺎ ﻌﻮ ﺾ ٢
٢
ﻣﻌﺎدﻟﺔ ا اﺋﺮة ﺉ
) ﺱ – ١٤ = ١ + ٩ + ( ٢ﺉ ) ﺱ – ٤ = ( ٢ﺇ ﺱ – ٢ _ = ٢ﺇ ﺱ = ٠ أ ،ﺱ = ٤ﺇ ا ﻘﻂ
ﺳﺲ
٤٤
ﺍ ) ، ( ٠ ، ٠ ، ٠ﺏ ) ( ٠ ، ٠ ، ٤ﺉ ﺍﺏ = ٤وﺣﺪات
ﻟﻸﺳﺘﺎﺫ ﺍﻟﻘﺪﻳﺮ /ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺪﻳﻦ ﻳﺤﻴﻰ ٠١١١٩٦٦٠٦١٦
ﺍﻟﺠﺒﺮ ﻭﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﺮﺍﻏﻴﺔ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ ) (٣ﺮ ﺒﺔ ﺝ /
ﺣﻠﻮل ﺗﻤﺎر ﻦ )(٢ )(١ )(٢
ﺍ ﰒ +ﺏ ﰒ= ) ( ٢ ، ١ ، ٣ ) = ( ٢ + ٠ ، ٥ + ٤ – ، ١ – ٤ || ﺍ ﰒ|| =
) + ( 31 ) üﺫ ) + ( 3ﺫ( 3 ﺫ
ﺫ
ﺫ
)(٣
= ١ﺉ ﺍ ﰒ ﻳﻤﺜﻞ ﻣﺘﺠﻪ وﺣﺪة
)(٤
ﺫ ﺫ Sﺫﺫ || ،ﺏ ﰒ|| = 5 = çæ 5S - ÷ö + 4 + 1ﻵ ١ﺉ ﺏ ﰒ ﻻ ﻳﻤﺜﻞ 5 5 è 5 ø ü ﻣﺘﺠﻪ وﺣﺪة .
)( )(
ﺫ
)(٥
ﺷﺶ = ﻕ × ف ﺟﺘﺎ θ
٣
٥ ٤
ﻩ
) (٦ﰈ || ﺍ ﰒ × ﺏ ﰒ|| = || ﺍ ﰒ|| || ﺏ ﰒ|| ﺟﺎ θ
)ﺏ( ٣ﺍ ﰒ= ﺝ ﰒ ٤ +ﰒ = ) ( ٧ – ، ٥ ، ٢ ) = ( ٨ – ، ٨ ، ٠ ) + ( ١ ، ٣ – ، ٢
ﺇ × ٢٦ × ٥ = ٦٥ﺟﺎ θﺇ ﺟﺎ 1 = θﺉ ٥٣٠ = θأ١٥٠ ،
٥
ﺫ
ﺇ ﺍ ﰒ= ) = ( ٧ – ، ٥ ، ٢ ) 1ﺫ ( 7 – ، 5 ،
)(٥
ﺏ ﰒ – = ﺏ = ) ( ٠ ، ٨ – ، ٤ –) = ( ٦ ، ٨ ، ٤ ) – ( ٦ ، ٠ ، ٠
= ٦٤٠ = 4 × ٥ × ١٦٠ﺟﻮل 5
) (٧ل ﻡ ﰒ = ﻡ – ل = ) ( ٢ ، ٣ ، ١ –) = ( ٣ ، ١ ، ٢ ) – ( ٥ ، ٤ ، ١
3 3 3 3 1 ﺫ 1 ( –، –، || ﺍ ﰒ|| = ] ٦] = /١ /+/ ٤ /+ ١ﺉ ى ﺍ ﰒ = ) 6S 6S 6S
،ﻥ ﻡ ﰒ = ﻡ – ﻥ = ) ( ٢ ، ١ – ، ١ –) = ( ٣ ، ٥ ، ٢ ) – ( ٥ ، ٤ ، ١
O ¨ £ ﺳ ﰒ – )– ( ٢ + ٢ﺻﺺ ﰒ + ﺇ ل ﻡ ﰒ × ﻥ ﻡ ﰒ = 3 1-ﺫ = ) ( ٢ + ٦ﺲ 1- 1ﺫ0
S 5ﺫ S 5ﺫ
ﺉ ٢٧ / ٥٤ = θ
ﺇ ﺏ ﰒ ٠ ﺝ ﺍ ﰒ = )– ٤٨ – = ٠ + ٦٤ – ١٦ = ( ٠ ، ٨ ، ٤ –) ٠ ( ٠ ، ٨ – ، ٤
= ) ( ٩ ، ١٩ – ، ١٠ ) = ( ٤ ، ٤ – ، ٠ ) + ( ٥ ، ١٥ – ، ١٠
S 5ﺫ
ﺟﺘﺎ ﻩ = ) ) g ( 7 @ 3 @4ﺫ@ 51 = (4 @5 370S 3 45S 74S
٥
،ﺝ ﺍﰒ = ﺍ – ﺝ = ) ( ٠ ، ٨ ، ٤ –) = ( ٦ ، ٠ ، ٤ ) – ( ٦ ، ٨ ، ٠
)) (٣ﺍ( ٥ﺝ ﰒ– ٢ﰒ= ( ٢ – ، ٢ ، ٠ ) ٢ – ( ١ ، ٣ – ، ٢ ) ٥
)(٤
ا ﺎه ﺏ ﺝ = /ﺻﻔﺮ ) ﻷﻧﻬﻤﺎ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪان (
|| ﺝ ﰒ|| = ٢] ٥ﺇ ىﺝ ﰒ = ) ( 5 ، 4 – ، 3 ٥
ﺇ ﺟﺘﺎ θﺱ = ﺉ θﺱ = ، ٥٦٤ /٥٤ﺟﺘﺎ θﺹ = ﺉ θﺹ = ١٢٤ / ٢٧ ٥
،ﺟﺘﺎ θﻉ = ﺉ θﻉ = ٤٥
0
0
ﺳﰒ ٤+ﻉ ﰒ ) (٣+١ﻉ ﰒ = ٨ﺲ
) (٦ﰈ || ﺍ ﰒ|| ﺟﺘﺎ ٤ = ٤٥ﺇ || ﺍ ﰒ|| = ٢] ٤
ﺇ ﺴﺎﺣﺔ ﻣﺘﻮازى اﻷﺿﻼع = || ل م ﰒ × ﻥ ﻡ ﰒ|| = ] ٥] ٤ = /١٦ /+/ ٦٤وﺣﺪة
ﺇ + ٢٠ﻙ ٣٢ = ٢ﺇ ﻙ ١٢ = ٢ﺉ ﻙ = _ ٣] ٢
1- 1ﺫ ﺍ ﰒ ّ ﺏ ﰒ× ﺝ ﰒ = - 3ﺫ ( ٤ – ٤ – ) ٣ – ( ٠ – ٨ – ) = 0 0ﺫ 4
ﺇ
) üﺫ( ﺫ (4) +ﺫ ) +ﻙ ( ﺫ = ، ٢] ٤ﺑﺎﻟ ﻴﻊ
ﺮ ﻌﺔ
)(٨
) (٧ﺟﺘﺎ + ٦٠ ٢ﺟﺘﺎ + ٨٠ ٢ﺟﺘﺎ١ = θ ٢
ﺇ ﺟﺘﺎ – ١ = θ ٢ﺟﺘﺎ – ٦٠ ٢ﺟﺘﺎ ٠٧١٩٨٥ = ٨٠ ٢ﺇ ﺟﺘﺎ 0.71985S = θ
= – ١٦ – = ٢٤ + ٨ﺇ ﺣﺠﻢ ﻣﺘﻮازى ا ﺴﻄﻮح = | ١٦ = | ١٦وﺣﺪة ﺣﺠﻢ
٥
) ﻷن θﺣﺎدة ( ﺉ ٣١ /٥٧ = θ )ﺏ(
ﺍ ﰒ= ) ١٣ﺟﺘﺎ ، ٦٠ﺟﺘﺎ ، ٨٠ﺟﺘﺎ ( ١١٠٣ ، ٢٢٦ ، ٦٥ ) = ( ٥٣١ / ٥٧
)(٨
ﺍ ﰒ= )– ( ٣ ، ٤ ، ٢ﺇ || ﺍ ﰒ|| = ]/٢٩
ﺣﻠﻮل ﺗﻤﺎر ﻦ )(٤
،ى ﺍ ﰒ = )– ﺫ ( 3 ، 4 ، 9Sﺫ 9Sﺫ 9Sﺫ 3 ( = )– ( ٣٦ ، ٤٨ ، ٢٤ ﺇ ﻕ ﰒ= –) /٢٩] ١٢ﺫ ، 4 ، 9Sﺫ 9Sﺫ 9Sﺫ
ا ﺼﻮرة ا ﺘﺠﻬﺔ :ﺭ ﰒ= ) + ( ٥ ، ١ – ، ٢ﻙ ) ( ١ ، ٢ – ، ٥
ﺣﻠﻮل ﺗﻤﺎر ﻦ )(٣
ا ﻌﺎدﻻت ا ﺎراﻣ ﺔ :ﺱ = ٥ + ٢ﻙ ،ﺹ = – ٢ – ١ﻙ ،ﻉ = + ٥ﻙ
) (١ﺍ ﰒ ﺏ ﰒ = )– ٠ = ١٠ + ٦ – ٤ – = ( ٥ ، ٢ – ، ٤ ) ٠ ( ٢ ، ٣ ، ١
ا ﻌﺎدﻟﺔ اﻹﺣﺪاﺛﻴﺔ
،ﰈ ﺍ ﰒ ،ﺏ ﰒ ﻏ ﺻﻔﺮ ﺎن ﺇ ﺍ ﰒ ،ﺏ ﰒ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪان .
)(٣
O ¨ £ ﺳ ﰒ – )– ( ٨ – ٥ﺻﺺ ﰒ + ،ﺍ ﰒ × ﺏ ﰒ = 3 1 -ﺫ = ) ( ٤ + ١٥ﺲ - 4ﺫ 5 0
0
0
،ا ﻌﺎدﻟﺔ اﻹﺣﺪاﺛﻴﺔ ، ٣ – = 1 - 14 5
=) (٣– ٢ﻉ ﰒ = – ﻉ ﰒ
) (٢ﺍﺏ /ﺝ ٦ × ٦ = / ﺟﺘﺎ ٣٦ - = ١٨٠
5
:ﺭ ﰒ =) +(٠،١– ،١ﻙ)(١– ،١– ،٥
:ﺱ =٥+١ﻙ ،ﺹ = – – ١ﻙ ،ﻉ = – ﻙ
ﺱ 1-ﺹ 1+ﻉ = 1- = 5 : 1-
،ﺑﺎ ﻌﻮ ﺾ ﺑﺎ ﻘﻄﺔ )– ( ٣ ، ٢ ، ١٤
،ﺍ ﰒ × ﺏ ﰒ = ) ( (٣ –) × (١ –) – ١ × ٢ ) = ( ١ ، ٣ –) × ( ١ – ، ٢ﻉ ﰒ
)(٢
-ﺫ
ﺏ ﺝ ﰒ = ﺝ – ﺏ = ) = ( ١ – ، ١ – ، ٥ ) = ( ١ ، ٢ ، ٣ –) – ( ٠ ، ١ ، ٢ﻩ ﰒ
،ا ﻌﺎدﻟﺔ ا ﺎراﻣ ﺔ
) (٢ﺍ ﰒ ﺏ ﰒ = ) ٧ – = ١ – ٦ – = ( ١ ، ٣ –) ( ١ – ، ٢
= 6 × ١٠ × ٦ ٣٦ = 10
-¤ﺫ : = ﺹ = 1+ﻉ – ٥
ﺇ ا ﻌﺎدﻟﺔ ا ﺘﺠﻬﺔ ﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ
ﺳ ﰒ ١٣ +ﺻﺺ ﰒ – ١٠ﻉ ﰒ ) ( ١٢ – ٢ﻉ ﰒ = ١٩ﺲ
) (١ﺍﺏ /ﺍ ﺝ ١٠ × ٦ = /ﺟﺘﺎ ﻩ
)(٢
ﻩ ﰒ = ) ( ١ ، ٢ – ، ٥ ) = ( ٤ ، ١ ، ٣ –) – ( ٥ ، ١ – ، ٢
ﺉ ى ﺍ ﰒ= ) – ، 1ﺫ ( 3 ، 14S 14S 14S 3 ﺫ ( ، ﺉ ﺟﻴﻮب ﺗﻤﺎم ا ﺴﺘﻘﻴﻢ = _ )– ، 1 14S 14S 14S
ﺇ ﻕ ﺱ = – ، ٢٤ﻕ ﺹ = ، ٤٨ﻕ ﻉ = ٣٦
)(١
)(١
ﺑﻔﺮض ﺍ = )– ( ٣ ، ٢ ، ١ﺇ || ﺍ ﰒ|| = ]/ ١٤] = /٩ /+ ٤/ + ١
ﺍ ٦ﺳﻢ ﺏ
ﻩ ٨ﺳﻢ
ﺝ
ﺫ 1+
ﻣﻌﺎدﻟﺔ ا ﺴﺘﻘﻴﻢ ﺪ أن :
٣ – = 13- ، ٣ – = 1 -ﺉ ا ﻘﻄﺔ ﺗﻘﻊ
ﺫ§ 5 + ) (٤ﺑﻮﺿﻊ ﺱ = 4 +3ﺫ = 4-4ﻉ = ﻙ ﺇ ﺱ = ٣ﻙ – ، ٤ﺹ = ﻙ – ﺫ ، 5ﻉ = – ٤ﻙ ٤ + ﺇ ا ﻌﺎدﻟﺔ ا ﺘﺠﻬﺔ :ﺭ ﰒ= )– – ، ٤ﺫ + ( ٤ ، 5ﻙ ) ( ٤ – ، ١ ، ٣
وﻹ ﺎد ﻧﻘﻄﺔ ﻱ ا ﺴﺘﻘﻴﻢ ﺘﺎر ﻗﻴﻤﺔ ﻣﺎ ﻟـ ﺱ و
٤٥
ﻦ ﺱ =٢
ا ﺴﺘﻘﻴﻢ .
ﻟﻸﺳﺘﺎﺫ ﺍﻟﻘﺪﻳﺮ /ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺪﻳﻦ ﻳﺤﻴﻰ ٠١١١٩٦٦٠٦١٦
ﺍﻟﺠﺒﺮ ﻭﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﺮﺍﻏﻴﺔ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ
6- 8 5S = ﺟﺘﺎ = θ 35 20S ´ 7
ﺉ ﺹ = – ، 1ﻉ = – ٤ﺇ ا ﻘﻄﺔ ) ( ٤ – ، 1 – ، ٢ﻱ ا ﺴﺘﻘﻴﻢ . ﺫ
ﺫ
ﺫ1 | ( 1 ، 4 ، 3 –) ( 1 ، ) (١) (٥ﺟﺘﺎ – ، 5 ) | = θ S 5ﺫ S 5ﺫ Sﺫ S 13ﺫ Sﺫ S 13ﺫ 1 ﺫ × | 1 × 1 + 4 = | – ( 3 –) × 5 Sﺫ Sﺫ S 13ﺫ S 5ﺫ S 5ﺫ S 13ﺫ ٥ = | – 1 = | 1 + 48 – 15ﺉ ٨٩ / ٧ = θ 65 130 130ﺫ ، ( ١ ، 1ﻩ ٢ﰒ= ) – ( ٢ ، ١ ، ١ ) (٢ﻩ ١ﰒ= ) ، 1 ﺫ ﺫ ﻩ ﰒّ ﻩ ﰒ + 1+ 1ﺫ٢ ١ ﺫ ﺫ ٥ / ﺉ ٥٠ ٦ = θ = ﺟﺘﺎ = θ 7 ´ 6S || ﻩ ﰒ || || ﻩ ﰒ || 6 ١ ١
ﺇ ﻃﻮل اﻟﻌﻤﻮد = ﺍﺏ ﺟﺎ / ٢٠] = θﺟﺎ ٤٤٦ = ٥٨٦ / ٢٠وﺣﺪة ﻃﻮل
)(١٠
ﺟﺘﺎ = θ
+ 4 - 6ﺫ1ﺟﺘﺎ = θ 9Sﺫ ´ 41S
ﺉ ٨٥ / ٤ = θ
)(١
أى ّ ( ٣ – ، ٢ ، ١ ) :ﺭ ﰒ= – ١ )(٢
-ﺫ
– ، ( ١ﻩ ١ﰒ= ) ، ( ١ – ، ٢ ، ٢ﰈ ا ﺴﺘﻘﻴﻤ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪان ﺇ ﻩ ١ﰒ ٠ﻩ ٢ﰒ= ٠ﺇ
)٢)٠(١– ،٢،٢ﻙ –٢،١ﻙ – ،ﻙ – ٠ =(١ﺇ ٤ﻙ –٤+٢ﻙ +ﻙ ٠=١+ (١٠ – ، ٢ ، ٧ –) = ( 10 –، 7 ﺇ ٩ﻙ = ١وﻣﻨﻬﺎ ﻙ = 91ﺇ ﻩ ٢ﰒ= )– ، 7 9 9 9 ﺇ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ا ﺴﺘﻘﻴﻢ ا ﻄﻠﻮب :ﺭ ﰒ= ) + ( ٣ ، ١ – ، ٢ﻙ ( ١٠ – ، ٢ ، ٧ –) /
ﺉ ا ﺼﻮرة ا ﺘﺠﻬﺔ ّ (٢ ، ٩ – ، ١٠ –) :ﺭ ﰒ= )– ( ٣ ، ٣ ، ٠) ّ (٢ ، ٩ – ، ١٠
)(٣
ﻣﻨﺘﺼﻒ ﻡ ﻥ/
ﻘﻖ ﻣﻌﺎد ﻪ
ﺇ ٢ﺍ –٣ﺍ ٤ +ﺍ ٠= ٦ +ﺇ ٣ﺍ = – ٦ﺉ ﺍ = –٢
)(٤
– ٢ ،ﻙ ٧ + ١ = ١ﻙ ٢ﺇ – ﻙ ٧ – ١ﻙ(٢) ........... ١ – = ٢
ﺑﻮﺿﻊ ﺭ ١ﰒ= ﺭ ٢ﰒ ﺉ ) + ( ١ – ، ١ ، ٣ﻙ + ( ٠ ، ٥ ، ٢ ) = ( ٣ ، ٢ ، ١ ) ١ﻙ ٢
) ( ١ ، ١ – ، ١ﺇ + ٣ﻙ + ٢ = ١ﻙ ٢ﺉ ﻙ – ١ﻙ(١) ............... ١ – = ٢
و ﻞ ) (٢) ، (١ﻳ ﺘﺞ أن :ﻙ ، 61 – = ١ﻙ 61 = ٢ﺑﺎ ﻌﻮ ﺾ ﺇ – 1 × ١١ – 1ﻵ – ٣أى أن ﻫﺬه اﻟﻘﻴﻢ ﻻ ﻘﻖ ا ﻌﺎدﻟﺔ )(٣
): (٣
٢ + ١ ،ﻙ = – ٥ﻙ ﺉ ٢ﻙ +ﻙ = ٣ ، (٢) ........ ٤ﻙ – ﻙ = (٣) ........ ١ ٢ ١ ٢ ١ ٢ ١ ً ﻞ ) (٢) ، (١ﻣﻌﺎ ﺉ ﻙ ، ١ = ١ﻙ ٢ = ٢و ﺎ ﻌﻮ ﺾ ) (٣ﺇ ١ = ٢ – (١) ٣
6
ﺇ ا ﺴﺘﻘﻴﻤﺎن ﻻ ﻳﺘﻘﺎﻃﻌﺎن ﺉ ا ﺴﺘﻘﻴﻤﺎن ﻣﺘﺨﺎﻟﻔﺎن .
) ا ﻌﺎدﻟﺔ ﺻﺤﻴﺤﺔ ( ﺇ ا ﺴﺘﻘﻴﻤﺎن ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺎن ،ﻣﺘﺠﻪ اﻻ ﺎه اﻟﻌﻤﻮدى
) (٨ﻹ ﺎد ﻧﻘﻄﺔ ا ﻘﺎﻃﻊ ﻧﻀﻊ ﺭ ١ﰒ= ﺭ ٢ﰒ ﺇ ) + ( ٣ ، ٢ ، ١ﻙ( ٣ ، ٣ ، ٢ ) ١
O ¨ £ ﺳ ﰒ – ) ( ٣ – ١ﺻﺺ ﰒ + = ﻩ ١ﰒ × ﻩ ٢ﰒ= 1ﺫ ( ٣ + ٢ ) = 3ﺲ 1 1- 1 0
ا ﺴﺘﻘﻴﻤ
٢
ﺇ ٢ﻙ ٤ – ١ﻙ ٣ + ٢ ، (١) ... ١ = ٢ﻙ ٥ + ٥ = ١ﻙ ٢ﺇ ٣ﻙ ٥ – ١ﻙ(٢) ... ٣ = ٢
ﺇ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ا ﺴﺘﻮى ا ﻄﻠﻮب
ﺇ ) ﺱ ،ﺹ ،ﻉ ( = ) = ( ٦ ، ٥ ، ٣ ) = ( ٣ ، ٣ ، ٢ ) ١ + ( ٣، ٢ ، ١ﻧﻘﻄﺔ ا ﻘﺎﻃﻊ
:
) ٠ ( ٣ – ، ٢ ، ٥ﺭ ﰒ= ) ٢٠ = ٣ + ٢ + ١٥ = ( ١ – ، ١ ، ٣ ) ٠ ( ٣ – ، ٢ ، ٥
ﺇ ﻣﺘﺠﻪ ا ﺎه ا ﺴﺘﻘﻴﻢ ا ﻄﻠﻮب = ) ( ٣ ، ٦ ، ١ ) = ( ٣ ، ١ – ، ٢ ) – ( ٦ ، ٥ ، ٣
أى ٥ :ﺱ ٢ +ﺹ – ٣ﻉ – ٠ = ٢٠
:ﺭ ﰒ= ) + ( ٣ ، ١ – ، ٢ﻙ ) ( ٣ ، ٦ ، ١
)(٥
:ﺱ = +٢ﻙ ،ﺹ = –٦+١ﻙ ،ﻉ =٣ +٣ﻙ
ﺹ 1+ﻉ 3 - :ﺱ –= 6 =٢ 3
ﻩ ١ﰒ= ) ، ( ١ – ، ٢ – ، ٦ﻩ ٢ﰒ= ) ( ٣ ، ٣ – ، ١إ ﻣﺘﺠﻪ اﻻ ﺎه اﻟﻌﻤﻮدى
O ¨ £ ا ﺴﺘﻮى = ﻩ ١ﰒ × ﻩ ٢ﰒ= - 6ﺫ ( ١٦ – ، ١٩ – ، ٩ –) = 1 - 3 3- 1 0
)(٧،١- ،٣ ﺍ
θ ﺏ )( ٥،٤،٣
0
0
ﺳ ﰒ ٢ +ﺻﺺ ﰒ – ٣ﻉ ﰒ = ) ( ٣ – ، ٢ ، ٥ )– ( ٢ – ١ﻉ ﰒ = ٥ﺲ
و ﻞ ) (٢) ، (١ﺪ أن :ﻙ ، ١ = ١ﻙ٠ = ٢
،ﻩ ٢ﰒ= ﺍﺏ ﰒ = ﺏ – ﺍ = ) ( ٠ ، ٢ ، ٤
ﻡ = )– ، ( ١ ، ٤ ، ٣ﻥ = ) ، ( ١ ، ٢ – ، ٥ﺑﻔﺮض ﺍ
ﻡ °+ ﺇ ﺍ = ﺫ = ) ، ( ١ ، ١ ، ١ﰈ ﺍ ﻱ ا ﺴﺘﻮى ﺇ
ﺇ ٢ + ١ﻙ ٢ – ١ = ١ﻙ ٢ﺇ ﻙ + ١ﻙ(١) ............... ٠ = ٢
)(٩
O w s ،ﻥ ﰒ= ﺍﺏ ﰒ × ﺍﺝ ﰒ = 1 -ﺫ ١٠ – = 4ﺳﺲ ﰒ– ٩ﺻﺺ ﰒ ٢ +ﻉ ﰒ -ﺫ ` 1-
أى ١٠ :ﺱ ٩ +ﺹ – ٢ﻉ – ٠ = ٢٢
ﺇ ) + ( ٤ ، ٢ ، ١ﻙ + ( ١ ، ١ ، ١ ) = ( ١ ، ١ – ، ٢ ) ١ﻙ( ١١ ، ٧ ، ٢ –) ٢
ﻩ ١ﰒ= ) ( ٦ ، ٣ – ، ٢
ﺫ
،ا ﺼﻮرة اﻟﻌﺎﻣﺔ ١٠ – :ﺱ – ٩ﺹ ٢ +ﻉ ٠ = ٢٢ +
= ١١ﺻﻔﺮ ﺇ ا ﺴﺘﻘﻴﻤﺎن ﻣﺘﻌﺎﻣﺪان ،ﻹ ﺎد ﻧﻘﻄﺔ ا ﻘﺎﻃﻊ ﻧﻀﻊ ﺭ ١ﰒ= ﺭ ٢ﰒ
ل
اﺳﺘﻘﺎﻣﺔ واﺣﺪة
،ا ﺼﻮرة اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ ١٠ – :ﺱ – ) ٩ﺹ – ) ٢ + ( ٣ﻉ – ٠ = ( ٣
ﻩ ١ﰒ= ) ، ( ١ ، ١ – ، ٢ﻩ ٢ﰒ= )– ( ١١ ، ٧ ، ٢ﺇ ﻩ ١ﰒ ٠ﻩ ٢ﰒ = – + ٧ – ٤
+ ٤ ،ﻙ ١١ + ١ = ١ﻙ ٢ﺇ ﻙ ١١ – ١ﻙ(٣) ........... ٣ – = ٢
ﺍﺏ ﰒ= ﺏ – ﺍ = )– ، ( ٤ ، ٢ ، ١ﺍﺝ ﰒ= ﺝ – ﺍ = )– ( ١ – ، ٢ ، ٢
،ﰈ 1-ﻵ ﺫ ﺇ ﺍﺏ ﰒ ﻻ ﻳﻮازى ﺍﺝ ﰒ ﺇ ﺍ ،ﺏ ،ﺝ ﻟ ﺴﺖ
ﺇ ﻣﺘﺠﻪ ا ﺎه ا ﺴﺘﻘﻴﻢ ا ﻄﻠﻮب = ﻩ ٢ﰒ= ﺍﺝ ﰒ = ﺍ – ﺝ = ) ٢ﻙ – ٢ ، ١ﻙ – ،ﻙ
،ا ﻌﺎدﻟﺔ اﻹﺣﺪاﺛﻴﺔ
ا ﺼﻮرة ا ﺘﺠﻬﺔ :ﻥ ﰒ ّ ﺭ ﰒ= ﻥ ﰒ ّ ﺍ ﰒ
ﺇ ) ّ ( ٣ – ، ٢ ، ١ﺭ ﰒ= ) ١ – = ٦ – ٨ + ٣ – = ( ٢ ، ٤ ، ٣ – ) ّ ( ٣ – ، ٢ ، ١
ﻩ ١ﰒ = ﺻﻔﺮ ﺉ ٩٠ = θ
،ا ﻌﺎدﻟﺔ ا ﺎراﻣ ﺔ
ﺏ )(٥،٣،٠
ﺣﻠﻮل ﺗﻤﺎر ﻦ )(٥
٥
ﺇ ا ﻌﺎدﻟﺔ ا ﺘﺠﻬﻪ
ﺉ ٨٦ / ٤٠ = θ
٥
= ) + ( ٦ ، ٥ ، ٣ﻙ ( ٣ ، ٥ ، ٤ ) ٢ﺇ ٢ + ١ﻙ ٤ + ٣ = ١ﻙ
٥
θ
ﺇ ﻃﻮل اﻟﻌﻤﻮد = ﺍﺏ ﺟﺎ / ٢٩] = θﺟﺎ ٥٣٨ = ٥٨٦ / ٤٠وﺣﺪة ﻃﻮل
ﺇ ﺝ ﻱ ا ﺴﺘﻘﻴﻢ ل ١ﺇ ﺝ = ) ٢ + ١ﻙ ٢ + ١ – ،ﻙ – ٢ ،ﻙ (
6
ﺝ
)(١- ،٣،٢
ﺍﺏ = ]/ ٢٩] = /٤/ +/ /١٦ /+ ٩
) (٦ﺑﻔﺮض أن ا ﺴﺘﻘﻴﻤ ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺎن ﻧﻘﻄﺔ ﺝ
)(٧
ﻩ ١ﰒ= ﺍﺏ ﰒ = ) – ( ٢ – ، ٤ ، ٣
) ( ٥ ، ٢، ١- ﺍ
،ﻩ ٢ﰒ= ﺏ ﺝ ﰒ = ) ( ٦ – ، ١ – ، ٢
) (٤ﻩ ١ﰒ= ) ، ( ١ ، ٠ ، ٠ﻩ ٢ﰒ= ) ( ٠ ، ٠ ، ١
ﻩ ١ﰒ ٠
ﺉ ٨٦ / ٢٠ = θ
ﺍﺏ = ]/ ٢٠] = /٤ /+/ ١٦
) (٣ﻩ ١ﰒ= )– ، ( ٤ ، ١ – ، ٥ﻩ ٢ﰒ= ) ( ٢ ، ٤ – ، ٣ 8 + 4 + 15ﺟﺘﺎ = θ Sﺫ9S ´ 4ﺫ
٥
٤٦
0
0
ﻟﻸﺳﺘﺎﺫ ﺍﻟﻘﺪﻳﺮ /ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺪﻳﻦ ﻳﺤﻴﻰ ٠١١١٩٦٦٠٦١٦
ﺍﻟﺠﺒﺮ ﻭﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﺮﺍﻏﻴﺔ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ = ) ، ( ١٦ ، ١٩ ، ٩ﰈ ا ﺴﺘﻮى ﻮى ا ﺴﺘﻘﻴﻢ اﻷول
ﺇ ا ﻘﻄﺔ ) ( ٥ – ، ٣ ، ٠ﻱ ا ﺴﺘﻮى ﺇ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ا ﺴﺘﻮى
= ]١٣ = /١٦٩
:
) ٠ ( ١٦ ، ١٩ ، ٩ﺭ ﰒ= ) ٢٣ – = ٨٠ – ٥٧ + ٠ = ( ٥ – ، ٣ ، ٠ ) ٠ ( ١٦ ، ١٩ ، ٩ أى ٩ :ﺱ ١٩ +ﺹ ١٦ +ﻉ ٠ = ٢٣ +
)(٦
٥
ﺉ ٧٨ / ٣٥ = θ
)) (٩ﺍ( ﺑﻔﺮض ﺴﺘﻮى اﺣﺪا
)) (١٠ﺏ( = ٨ﻕ ٦ × ٣ﻕ ١١٢٠ = ٣ )) (١١ﺏ( ل = ]١٣ = /١٤٤/ +/ ٢٥
0+ 3 -0 35S 3 ﺇ ﺟﺘﺎ = θ = 35 5 + 9 + 1S ´ 0 + 1 + 0Sﺫ
٥
ﺉ ٥٩ / ٣٢ = θ
ﺑ ب ) ، ٢ – × (١وا ﻤﻊ ﺇ – ٢ﺹ +ﻉ = ٣ﺇ ﻉ = ٢ + ٣ﺹ
ﺇ ا ﻄﻠﻮب = _ ) 5 - 13 + 5 + 13ت ( = _ ) ٢ + ٣ت ( ü
ﺮﻓﻮض ﻷﻧﻪ ﻳﺘﻌﺎرض ﻣﻊ ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ا ﺜﻠﺚ ( ﺇ ﻥ = ٢وﻋﻨﺪﻫﺎ ﺗ ﻮن أﻃﻮال
:ﺱ –٢ﺹ ٤+ﻉ –٠=٩
ﺫ -ﺫ)9 - (1 - )4 + (1 ﺇ ا ُﻌﺪ = ﻃﻮل اﻟﻌﻤﻮد = = 13وﺣﺪة ﻃﻮل 1Sﺫ 16 + 4 + 1S
)(٩
ﰈ
Sﺫ) )1- (1 - )1 + (0ﺫ( ; +
=٢
Sﺫ 1+ 1 +
ﺇ ﻙ – ٤ _ = ٣ﺇ ﻙ = ٧أ ،ﻙ = – ١ )(١٠
ﻡ ﻥ = ﻃﻮل اﻟﻌﻤﻮد ا ﺮﺳﻮم ﻣﻦ ا ﻘﻄﺔ ﻡ إ ا ﺴﺘﻮى
ﺫ) - )1- (3 -ﺫ( -ﺫ) + (1ﺫ1 = 4 + 1+ 4S
،ﰈ ﺴﺎﺣﺔ ا اﺋﺮة = ﺑﺐ ﻗﻖ
ﻥ
ﺍ ﻡ
= ٢وﺣﺪة ﻃﻮل
ﺇ ﺴﺎﺣﺔ ا ﻘﻄﻊ ا ﺎﺗﺞ = ١١ﺑﺐ وﺣﺪة ﺮ ﻌﺔ
)(١
٦٠ﺇ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ا ﺴﺘﻮى
)ﺝ( ﺑﺎﻟﻘﺴﻤﺔ
:ﺱ +ﺹ +ﻉ =١ 5
10
= × 1ﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﺎﻋﺪة × اﻻرﺗﻔﺎع = × 1ﻣـ ) ﻣﻢ و ﺍ ﺏ ( × و ﺝ 3
)(٢
)(
1
ﻉﺫ
=
ﺫ)Ú
(
J q-pﺫ
=٢ﻩ
– ﺫ
ت= –٢ت
p7 p5 p = ٢θ – ١θ ،ﺑﺎ ﻤﻊ ﺇ = θ ٢ )) (٣ﺍ( = θ + ١θ 18 ١ 9 18 ٢ p7 ﺇ = θ 36 ١
)(٤
)ﺏ( ) ٢ﻥ – ١٢ = ١ + ( ١ﺇ ٢ﻥ = ١٢ﺉ ﻥ = ٦
)ÚÐ
(
J q +p ﺫ
p
ﺫ ت=ت
)(٥
)ﺝ( ﻉ = ٢
)(٧
)ﺏ( ﺍﺏ = - ) üﺫ -ﺫ( ﺫ ) +ﺫ (1+ﺫ (3 - 9 - ) +ﺫ = 144 + 9 + 16S
Jq ÚÐ
=ﻩ
| ﻩ ﰒ ّ ﻥ ﰒ|
|| ﻩ ﰒ|| || ﻥ ﰒ||
ﺫ 1+ 1 - = = 1ﺇ ٣٠ = θ
٥
ﺫ
ﺫ´ ﺫ
ﺇ ﺍ ) + ٣ﺍ × ﺏ ( – ٢ﺍ × ﺏ – ﺏ + ٣ﺍ × ﺏ = ٠ﰈ ﺍ × ﺏ = – ٣
ﺇ ﺍ – ٣ﺏ ٠ = ٩ + ٣ﺑﺎﻟ ﻴﻊ ﺉ ﺍ + ٦ﺏ ) ٢ – ٦ﺍ × ﺏ (٨١ = ٣ ﺇ ﺍ + ٦ﺏ ٨١ = ٥٤ + ٦ﺇ ﺍ + ٦ﺏ٢٧ = ٦ 1 4
1
1 4
4 16 4
1
1 4
) ) (١٥ﺹ × ٢ + ٣ﺹ ( ٢ﺉ ا ﺤﺪد = ﺫ ٤ = 0 1-ﺫ ٠ = 0 1 - ا ﺘﻨﺎﻇﺮة ا ﺼﻔ اﻷول وا ﺎﻟﺚ (
ﺫ3 - 0 1) (١٦ﺣﺠﻢ ﻣﺘﻮازى ا ﺴﻄﻮح = ﺍ ﰒ ّ ﺏ ﰒ × ﺝ ﰒ = 1- 3 0 ﺫ 15 - 1
ﺇ ﺍ ) ، ( ٠ ، ٠ ، ٦ﺏ ) ، ( ٠ ، ٥ ، ٠ﺝ ) ، ( ١٠ ، ٠ ، ٠ﺣﺠﻢ ا ﺴﻢ ا ﺎﺗﺞ ) ﻫﺮم ( 3 1 = ٥٠ = ١٠ × ( ٥ × ٦ × ) 1وﺣﺪة ﻜﻌﺒﺔ 3ﺫ p ) J (q - p ﻉ Ú8
4
) (١٣ﻩ ﰒ= ) ] ، ( ١ – ، ١ ، ٢ﻥ ﰒ= ) ]( ١ – ، ١ – ، ٢
) ﻟ ﺴﺎوى اﻟﻌﻨﺎ
اﺟﺎﺑﺔ اﻻﺧﺘﺒﺎر اﻷول 6
4
1
3 ١ ، ١ ، ١ﺳﻢ وﺗ ﻮن ا ﺴﺎﺣﺔ = Sل= ٢
3Sﺳﻢ٢
) (١٤رﺗﺒﺔ ﺳﺲ = ٢ﺇ | ﺳﺲ | = ﺻﻔﺮ ﺇ ) ﺍ – ٢ﺏ ( ) ﺍ +ﺏ + ( ٢ﺍ × ﺏ = ٠
ﺇ ﻃﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ا ﻘﻄﻊ ) داﺋﺮة ( = ] / ١١] = / ٤ /– ١٥وﺣﺪة ﻃﻮل ٢
اﻷﺿﻼع
،ﺟﺎ = θ
ﺇ |ﻙ –٤=|٣
ﻗ = ﺍﻡ = ]/ ١٥ ﺮ ﺰ ا ﻜﺮة )ﻡ( = )– ، ( ١ ، ٢ – ، ٣ﻖ
ﺫ
ﺇ ﻥ = ٢أ ،ﻥ = ٣ﺉ ﻋﻨﺪ ﻥ = ٣ﺗ ﻮن أﻃﻮال اﻷﺿﻼع ) ١ ، ١ ، ٣ :وﻫﺬا
٤ :ﺱ –٢+٣=٩ﺹ = ﻉ
) (٨ﻣﻌﺎدﻟﺔ ا ﺴﺘﻮى
ü
ﺫ
ﲪ٣ ﲨ ٠ﺉ ﻥ ﺲ ﲨ– ٣ ، ٢ﻥ ﺲ ﲨ ، ٠ﻥ – ٢ﲨﺲ ٠ﺉ ﻥ ﺲ ) ) (١٢ﺝ( ﻥ ﺲ
،ﺑ ب ) ٢ – × (٢وا ﻤﻊ ﺇ – ٤ﺱ +ﻉ = – ٩ﺇ ﻉ = ٤ﺱ – ٩ ﺇ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﺧﻂ ا ﻘﺎﻃﻊ
ﻴﺚ :ﺝ ) ( ٠ ، ٠ﺇ ﺏ ) ، ( ٠ ، ٩ﻩ ) ( ٥ ، ٦
ﺇ ﻩ ﺏ ﰒ ّ ﻩ ﺝ ﰒ= – ٧ = ٢٥ + ١٨
) (٢ﻥ ١ﰒ= ) ، ( ٠ ، ١ ، ٠ﻥ ٢ﰒ= ) ( ٥ ، ٣ – ، ١
)(٧
) () (٨ﰈ
ﻩ ﺏ ﰒ = ﺏ – ﻩ = ) ، ( ٥ – ، ٣ﻩ ﺝ ﰒ= ﺝ – ﻩ = ) – ( ٥ – ، ٦
) (١ﻥ ١ﰒ= ) ، ( ١ ، ١ – ، ٢ﻥ ٢ﰒ= ) ( ٢ – ، ٢ ، ٣
- 6ﺫ -ﺫ Sﺫ10 ﺇ ﺟﺘﺎ = θ = 51 4 + 4 + 9S ´ 1 + 1 + 4S
ﺍ ﰒ ّ ﺏ ﰒ= ٠ﺇ ٤ – ٦ + ٨ﻡ = ٠ﺇ ﻡ = 7 ﺫ
ﻗ = Ð üﺫ +ﻡ ﺫ J +ﺫ 5 + 9 + 1S = Ù -ﺫ ٦ = / ٣٦] = 1 + ) () (٦ﻖ
= – ٥٤٦ = ( ٦ – ٠ ) ٣ – ( ١ + ٤٥ –) ١٢وﺣﺪة ﻜﻌﺒﺔ ﻗ =٣ ) (١٧ﻡ = ) ، ( ٣ ، ٣ ، ٣ﻖ ﺇ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ا اﺋﺮة ٢
٢
٢
) :ﺱ – ) + ٢( ٣ﺹ – ) + ٢( ٣ﻉ – ٩ = ٢( ٣
أى :ﺱ +ﺹ +ﻉ – ٦ﺱ – ٦ﺹ – ٦ﻉ ٠ = ١٨ + )١ × ١٢٠ = ٤ × ٥ × ٦ = ٢ × ٣ × ٤ × ٥ = ١ × ٢ × ٣ × ٤ × ٥ = ١٢٠ (١٨ أى أن ٥ = ١٢٠ :ل ٥أ ٥ ،ل ٤أ ٦ ،ل ٣أ ١٢٠ ،ل
ﻥ ١+ل ﺭ ٥ = ١+ل
٥
١
ﺉ ﻥ = ، ٤ﺭ = ، ٤ﻥ ١+ل ﺭ ٥ = ١+ل
،ﺭ = ، ٣ﻥ ١+ل ﺭ ٦= ١+ل ٣
٤
ﺉ ﻥ=٤
ﺉ ﻥ = ، ٥ﺭ = ، ٢ﻥ ١ +ل ﺭ ١٢٠ = ١ +ل ١
ﺉ ﻥ = ، ١١٩ﺭ = ٠ ) (١٩ﺑﻔﺮض ﻉ = ﺍ +ﺏ ت ﺇ ﻉ +ت = ﺍ ) +ﺏ ( ١ +ت ،ﰈ ﻇﺎ = θﺹ ﺱ ﺇ ﻇﺎ = ٤٥ﺏ 1+ﺇ ﺏ ١ = 1+ﺉ ﺍ = ﺏ (١) .......... ١ + ﺍ ﺍ ﺏ = ﻇﺎ ١٣٥ﺉ ﺏ = – ٣ﺍ (٢) .......... ،ﻉ – ) = ٣ﺍ – + ( ٣ﺏ ت ﺇ ﺍ3 -
ﺑﺎ ﻌﻮ ﺾ ﻣﻦ ) (١) (٢ﺇ ﺍ = – ٣ﺍ ١ +ﺉ ﺍ = ٢ﺑﺎ ﻌﻮ ﺾ ﺉ ﺏ = ١ﺇ ﻉ =+٢ت
٤٧
)(٢
ﻟﻸﺳﺘﺎﺫ ﺍﻟﻘﺪﻳﺮ /ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺪﻳﻦ ﻳﺤﻴﻰ ٠١١١٩٦٦٠٦١٦
ﺍﻟﺠﺒﺮ ﻭﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﺮﺍﻏﻴﺔ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ ) (٢٠ﰈ ﻣﻌﺎ ﻞ ، ٤òﻣﻌﺎ ﻞ ، ٥òﻣﻌﺎ ﻞ ٦òﺉ ﻡ ò .
ﺇ ﻣﻌﺎ ﻞ + ٤òﻣﻌﺎ ﻞ × ٢ = ٦òﻣﻌﺎ ﻞ ) ٥òﺑﺎﻟﻘﺴﻤﺔ
ﺇ ﺇ
ﻣﻌﺎ
ﻞ &4
ﻣﻌﺎ ﻞ &5
8 ﻥ3-
+
ﻣﻌﺎ
ﻞ &6
ﻣﻌﺎ ﻞ &5
= ٢ﺇ
+ﻥ ) ٢ = 4 -ﺑﺎ
ب
10
4 ﻥ 1+ 4 -
ﻣﻌﺎ ﻞ ( ٥ò
× + ٢ﻥ ٢ = 1 × 1+ 5 - 5
ﺫ
) ١٠ﻥ – ( ( ٣
w
s ﻣﺘﻮاز ﺎن .ﻥ ﰒ= ﻩ ١ﰒ × ﻩ ٢ﰒ= 3 3- 1
ﺟﺘﺎ + θت ﺟﺎ + θﺟﺘﺎ – θت ﺟﺎ ٢ = θﺟﺘﺎ θ
ﺇ
- )4 - (4) 3ﺫ( +ﺫ )1ﺫ( 5 - )ﺏ( ﻃﻮل اﻟﻌﻤﻮد = 144 + 16 + 9S
) () (٣ﺟﺘﺎ = θ
1+ 9 - 8 = 1 + 9 + 16S 1+ 9 + 4S
)(٥
ﺇ
ﺇ ) ٢ﺍ ﰒ ٣ +ﺏ ﰒ ( ّ ) ﺍ ﰒ ٢ +ﺏ ﰒ( = || ٢ﺍ ﰒ|| ٧ + ٢ﺍ ﰒ ّ ﺏ ﰒ || ٦ +ﺏ ﰒ|| = ١٢٨ = ٩ × ٦ + ٦ × ٧ + ١٦ × ٢
)) (٧ﺍ( ﻣﻌﺎدﻟﺔ ا ﺴﺘﻮى
أى ٦ :ﺱ – ٤ﺹ ٣ +ﻉ = ١٢وذ ﻚ ﺑﺎ
4
ب ١٢
)) (٨ﺝ( ﰈ ا ﺼﻔﻮﻓﺔ ﻣﻨﻔﺮدة ﺇ ) ﺱ – ) ( ١ﺱ ٠ = ٨ – ( ١ + ﺇ ﺱ ٠ = ٨ – ١ – ٢ﺇ ﺱ ٩ = ٢ﺉ ﺱ = _ ٣
)() (٩
ﺫ
)) (١١ﺍ( ﺑﻔﺮض ﻉ = ﺍ +ﺏ ت ﺇ ﻉ ) = ٢ -ﺍ + ( ٢ -ﺏ ت و
ﻴﻊ اﻟﻄﺮﻓ
ﺇ ﺍ + ٢ﺏ ) = ٢ﺍ – + ٢( ٢ﺏ ٢ﺉ ﺍ = _ ) ﺍ – ( ٢
ﺇ ﺍ = -ﺍ ٢ +ﺉ ٢ﺍ = ٢ﺇ ﺍ = ، ١ﺍ = ﺍ – ٢ﺮﻓﻮض ) | () (١٢ﺍ | = ، ٠ﻴﻊ ﺪدات ا رﺟﺔ ا ﺎﻧﻴﺔ ﻗﻴﻤﺘﻬﺎ = ٠
ﺍ
) (١٣ﰈ ٣٠ﻕ ﺭ = ٣٠ﻕ
ﺏ
٤
= ٤ﺏ ٤ – ٤ﺍ ) ٤ = ٤ﺏ – ٤ﺍ( ٤ ) ) (١٧ﻉ – ١ﻉ ( ٢ﺉ ا ﺤﺪد =
٢
=
ﺍB - ) ﺍ )( B -ﺍ ( B +
) ﺍ ) ( B -ﺍﺫ +ﺍB + Bﺫ (
B
ﺍB -
ﺍﺫ B -ﺫ
Bﺫ
ﺍ3B - 3
B
1 ﺍ +ﺏ
Bﺫ 3B
B Bﺫ 3B
3B
1 ﺍ +ﺏ ﺍﺫ +ﺍ B + Bﺫ
ﺍﺫ +
ﺍ B + Bﺫ
1 = ) ﺍ – ﺏ ( × ﺻﻔﺮ = ٠ ﺍ +ﺏ ﺍﺫ +ﺍ B + Bﺫ
ﻗ=ﻩ ) ، ( ٠ ، ١ ، ٢ ) = (١٨ﻩ = ) ( ١ ، ١ – ، ٠ﰈ ا ﺮ ﺰ ﻩ ﺇ ﻖ ٢
٢
٢
٢
ﺇ ﻗﻖ = ) ٩ = ( ١ – ٠ ) + ( ١ + ١ ) + ( ٠ – ٢ ٢
٢
٢
):ﺱ –)+ (٠ﺹ )+ (١+ﻉ –٩= (١ ﺴﺘﻮى واﺣﺪ :
ﺫ 4-ﺫ ،ﺍط ﰒ= ط – ﺍ = ) ، ( ٣ ، ٦ – ، ٤ﺍﺏ ﰒ ّ ﺍﺝ ﰒ × ﺍط ﰒ = 4 - 4 -ﺫ 3 6- 4
= = ٨٠ + ٨٠ – ٠ = ( ١٦ + ٢٤ ) ٢ + ( ٨ – ١٢ –) ٤ + ( ١٢ + ١٢ –) ٢ﺻﻔﺮ ﺉ ا ﻘﻂ :ﺍ ،ﺏ ،ﺝ ،ط ﺗﻘﻊ
ﺴﺘﻮى واﺣﺪ .
3 1- 1 ) | (١٩ﺍ | = ﺫ ﺫ ﺫ = (٦ – ٤ –) ٣ + ( ٦ – ٢ –) ١ + (٤ + ٢ –) ١ - 3ﺫ 1-
= ٣٦ - = ٣٠ – ٨ – ٢ﻵ ٠ﺇ ﻳﻮﺟﺪ ﻣﻌﻜﻮس
ﺇ ﺭ )ﺍ( = ﺭ ) ﺍﻣﺪ ( = ١
ﺭ ١٠ +
٤
ﺍﺏ ﰒ= ﺏ – ﺍ = ) ، ( ٢ ، ٤ – ، ٢ﺍﺝ ﰒ= ﺝ – ﺍ = )– ( ٢ ، ٤ – ، ٤
)) (١٠ﺍ( ﰈ ل [ ل ﺇ ) ، ٦ - ، ٢ﻙ ( = ) ، ٦ﻡ ( ٣ ،ﺉ ﺫ = 6 - ٢ ١ ﻡ 6 = ﻙ ﺇ ﻙ = ، ١ﻡ = – ١٨ﺉ ﻙ +ﻡ = ١٧ - 3
| ،ع |=|ع – |٢ئ
٢ ٣
إﺛﺒﺎت أن ا ﻘﻂ ﺍ ،ﺏ ،ﺝ ،ط ﺗﻘﻊ
00ﺫ ﻗ =5 ﻗ ﺉ ﻖ = ٢= 5ﻖ ﺇ ﺍﺝ = 4 ﺫ 80
üﺍﺫ B +ﺫ = ) üﺍ
٥
٤
٣ ٢
٥
أى :ﺱ + ٢ﺹ + ٢ﻉ ٢ + ٢ﺹ – ٢ﻉ – ٠ = ٩
وﻟ ﻦ ﺍﺝ × ﺍﺏ × ﺏ ﺝ = ٢٠٠ﺇ ﺍﺝ × ٢٠٠ = ٨٠
-ﺫ( ﺫ B +ﺫ
٥
ﺇ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ا ﻜﺮة
ﺴﺎﺣﺔ ﻣﻢ ﺍﺏ ﺝ = ٤٠ﺇ × 1ﺍﺏ × ﺏ ﺝ = ٤٠
ﺇ ﺍﺏ × ﺏ ﺝ = ٨٠
)٥:ﺱ –)٧+(١ﺹ – +(٢ﻉ )ﻉ ٠=(١+
1 ﺍB + =)ﺍ–ﺏ( ﺍﺫ +ﺍ B + Bﺫ
:ﺱ +ﺹ +ﻉ =١ ﺫ
ا ﺴﺘﻮى = )– ( ٤ ، ٧ ، ٥ ) = ( ٨ – ، ١٤ – ، ١٠
ت ﺉ ﺱ – ﺹ = ﺍ ١٠ – ٤ﺍ ٢ﺏ ٥ + ٢ﺏ ٥ – ٤ﺍ ١٠ + ٤ﺍ ٢ﺏ – ٢ﺏ
٧
)) (٦ﺍ( ﺍ ﰒ ّ ﺏ ﰒ= × ٣ × ٤ﺟﺘﺎ ٦ = ٦٠
3-
4
٥ +ﺍ ﺏ +ﺏ ت = ) ﺍ – ١٠ﺍ ﺏ ٥ +ﺍ ﺏ ( ٥ ) +ﺍ ﺏ – ١٠ﺍ ﺏ +ﺏ (
ﺏ¤
ﻣﻌﺎ ﻞ & ١ = 1 × 1+ 6 -10 = 7ﺉ ﺍﺏ = 5 6 ﺍB 6 &6
]
) (١٦ﺱ +ﺹ ت = ) ﺍ +ﺏ ت ( = ٥ﺍ ٥ + ٥ﺍ ٤ﺏ ت – ١٠ﺍ ٣ﺏ ١٠ – ٢ﺍ ٢ﺏ ٣ت ٤
)ﺏ( òﺭ ١٠ = ١ +ﻕ ﺭ ) ( 1ﺭ ) ﺍ ﺱ ( – ١٠ﺭ = ١٠ﻕ ﺭ × ﺍ – ١٠ﺭ × ﺏ
–ﺭ × ﺱ
&6
أى ٥ :ﺱ ٧ +ﺹ ٤ +ﻉ – ٠ = ١٥
= ﺻﻔﺮ
)(٤
،ﻋﻨﺪ ﺱ ٠ﺇ ﺭ = ٥ﺇ = ٦ òﻣﻌﺎ ﻞ ò
ﻥ ﰒ اﻟﻌﻤﻮدى
ﺇ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ا ﺴﺘﻮى
= ٣وﺣﺪة ﻃﻮل
)ﺝ( ١ – ٤ + ٥ﻕ ٧٠ = ٤
٢ – ١٠ﺭ
&7
ﺳ ﰒ – ١٤ﺻﺺ ﰒ– ٨ﻉ ﰒ - 1-ﺫ = – ١٠ﺲ
)ﺍ( ﻩ θت +ﻩ – θت = ﺟﺘﺎ + θت ﺟﺎ + θﺟﺘﺎ )– + (θت ﺟﺎ )– = (θ
Ú 1Úﺫ
ﺱ
) (١٥ﻩ ١ﰒ= ) ، ( ٢ – ، ١ – ، ٣ﻩ ٢ﰒ= )– ٢ – = ( ٤ ، ٢ ، ٦ﻩ ١ﰒ ﺉ ا ﺴﺘﻘﻴﻤﺎن
اﺟﺎﺑﺔ اﻻﺧﺘﺒﺎر ا ﺎ
Ú g 1Úﺫ
) ò (١٤ﺭ ١٤ = ١ +ﻕ ﺭ ) ( 1-ﺭ )ﺱ (
– ١٤ ٢ﺭ
ﺉ -ﺭ ٢ – ٢٨ +ﺭ = ٠
= 3 - = 1- × 1+ 6 -14 ) (1ﺫ ﺫ 6
ﺇ ) ﻥ – ) ( ١٩ﻥ – ٠ = ( ٨ﺉ ﻥ = ١٩أ ،ﻥ = ٨
)(٢
ﺇ
- Jﺭ = ١= 0
ﺇ ﺭ = ﻳﻲ ط ﺇ ﻻ ﻳﻮﺟﺪ ﺣﺪ ﺧﺎ ﻣﻦ س ﻫﺬا ا ﻔﻜﻮك ،
ﺇ + ٨٠ﻥ ٧ – ٢ﻥ ٢٠ = ١٢ +ﻥ – ٦٠ﺇ ﻥ ٢٧ – ٢ﻥ ٠ = ١٥٢ +
)(١
،
ﻥ 90ﻥ -ﺫ = ﻥ7- ﻥ7-
ﺇ ﻥ ) ﻥ – ٩ × ١٠ = ٩٠ = ( ١ﺉ ﻥ = ١٠
ﺇ ﺭ +ﺭ ٣٠ = ١٠ +ﺉ ﺭ = ١٠
٤٨
ﻠﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍ
ﻟﻸﺳﺘﺎﺫ ﺍﻟﻘﺪﻳﺮ /ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺪﻳﻦ ﻳﺤﻴﻰ ٠١١١٩٦٦٠٦١٦
ﺍﻟﺠﺒﺮ ﻭﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﺮﺍﻏﻴﺔ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ öﺫ
æ 10
8
،ﺼﻔﻮﻓﺔ ا ﺮاﻓﻘﺎت = ÷÷ çç1- 10 - 7 -ﺇ ﺼﻔﻮﻓﺔ ا ﻠﺤﻘﺎت = ﺍ
) (٢٠ﻣﻦ
ﻞ
ç4 4 8 - ÷ø è öﺫ æ8 - 7 - ﺉ ﺍç 4 10- 8 ÷ 1- = ١ - ç ÷ 36 ÷ç 4 1- 10 è ø
öﺫ æ8 - 7 - = ÷ ç 4 10- 8 ç ÷ ÷ç 4 1- 10 è ø
6- 9ﻙ
= ٣ – ٩ﻙ = ﺻﻔﺮ ﺉ ﻙ = ٣ )) (١٠ﺍ( و ﺍ ﰒ= ﺍ ﰒ= ) ( ٢ – ، ٤ ، ٣ﺇ || و ﺍ ﰒ|| = ]/ ٢٩] = / ٤ /+/ /١٦ /+ ٩ ﺉ ﺟﻴﻮب ﺗﻤﺎم اﻻ ﺎه
ط ا ﻮازى ﻩ ﰒ= ﺏ ﺝ ﰒ= ﺝ – ﺏ = ) ( ١ – ، ١ – ، ٥
ﺇ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ا ﺴﺘﻘﻴﻢ
- 3ﺫ 1
| ﺍ | = 5 - 6ﺫ = + ( ١٨ + ١٨ –) ٢ – ( ٤٥ + ٣٦ –) ١ﻙ )– (١٢ + ١٥
:ﺭ ﰒ= ) + ( ٠ ، ١ – ، ١ﻙ ) ( ١ – ، ١ – ، ٥ﺉ
ﺱ = ٥ + ١ﻙ ،ﺹ = – – ١ﻙ ،ﻉ = – ﻙ و ﺎ ﻌﻮ ﺾ ﺑﺎ ﻘﻄﺔ
- ، 4 ، 3ﺫ 9Sﺫ 9Sﺫ 9Sﺫ
:
) () (١١ﻉ = ) ٣ﺟﺘﺎ ) + ( ٣٦٠ – ٥٠ + ١٨٠ت ﺟﺎ ) ( ( ٣٦٠ – ٥٠ + ١٨٠ ا ﻌﺎدﻻت
= ) ٣ﺟﺘﺎ )– + (١٣٠ت ﺟﺎ )– ( (١٣٠
ا ﺎراﻣ ﺔ ﺪ أن ٥ + ١ = ١٤ – :ﻙ ﺉ ﻙ = – – ١٠ = ٢ ، ٣ﻙ ﺉ
p 13 p 13( +ت ﺟﺎ ) = ) ٣ﺟﺘﺎ ) 18 18
ﺇ ا ﻘﻄﺔ ﻘﻖ ا ﺼﻮر ا ﺎراﻣ ﺔ ﻌﺎدﻟﺔ ا ﺴﺘﻘﻴﻢ ﺇ ﻱ ا ﺴﺘﻘﻴﻢ .
)) (١٢ﺝ( ﻥ ١ﰒ= ) ، ( ٥ ، ٣ ، ٢ﻥ ٢ﰒ= ) ( ٢ ، ٦ – ، ٤ﺇ ﺟﺎ = θ
ﻙ = – – =٣ ، ٣ﻙ ﺉ ﻙ = –٣
10+ 18 - 8 = 5 + 9 + 4Sﺫ 4 + 36 + 16S
اﺟﺎﺑﺔ اﻻﺧﺘﺒﺎر ا ﺎﻟﺚ )(١ ﺑﺎ )(٢
)ﺍ( ﰈ ٧ﻕ ﺭ < ٧ﻕ ب
-8ﺭ
ﺭ
ﺭ –١
ﺇ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ا ﺴﺘﻘﻴﻢ
ﺇ -٨ﺭ<ﺭ ﺇ ٢ﺭ> ٨ﺉ ﺭ>٤
) (ﺮ ﺰ ا ﻜﺮة اﻷول = ) ، ( ٣ ، ٢ ، ١ -ﺑﺎ ﻌﻮ ﺾ
ا ﺎﻧﻴﺔ ﺇ = ١٢ + ٤ + ٤ + ٩ + ٤ + ١ﻙ ﺉ ﻙ = ٣٤
) () (٣ا ﻘﺪار = ) + ( ٤ω + ٢ω + ١ ) + ( ٢ω + ω + ١ ) + ( ٠ω + ٠ω + ١
) ( ١٢ω + ٦ω + ١ ) + ( ١٠ω + ٥ω + ١ ) + ( ٨ω + ٤ω + ١ ) + ( ٦ω + ٣ω + ١ + ( ١٨ω + ٩ω + ١ ) + ( ١٦ω + ٨ω + ١ ) + ( ١٤ω + ٧ω + ١ ) + ) ١٢ = ٠ + ٠ + ٣ + ٠ + ٠ + ٣ + ٠ + ٠ + ٣ + ٠ + ٠ + ٣ = ( ٢٠ω + ١٠ω + ١ )(٤
)(٥
)ﺍ( ﰈ ا ﺴﺘﻘﻴﻢ ﻱ ا ﺴﺘﻮى ﺇ أى ﻧﻘﻄﺔ ﻱ ا ﺴﺘﻘﻴﻢ ﻱ ا ﺴﺘﻮى
1 + ¬ + § + ¤ 1+ ¬ + § + ¤ 1+ ¬ + § + ¤ § ¤ ¬ = 1 1 1 1 1 1 ¬ ) = § ¤ﺱ +ﺹ +ﻉ ( × ﺻﻔﺮ = ﺻﻔﺮ ) ﻷن ﺹ = ١ﺹ( ٣ 1 1 1
=)ﺱ +ﺹ +ﻉ×(١+
ﺇ ا ﻘﻄﺔ ) ( ٣ ، ٢ - ، ١ﻱ ا ﺴﺘﻮى ﻓ
ﻘﻖ ﻣﻌﺎد ﺔ ﺉ = ٣ + ٢ + ١ﻡ
ﺉ ﻡ=٦
)) (٦ﺝ( ﺹ = ٧ = ٢ × ٣ + ١ × ١ )) (٧ﺏ( ﻥ ١ﰒ= ) ، ٢ﻡ ، ( ٣ ،ﻥ ٢ﰒ= ) ، ٣ﻙ ( ٤ – ،ﰈ ا ﺴﺘﻮ ﺎن ﻣﺘﻌﺎﻣﺪان ﺇ ﻥ ١ﰒ ّ ﻥ ٢ﰒ = ﺻﻔﺮ ﺇ + ٦ﻙ ﻡ – ٠ = ١٢ﺉ ﻙ ﻡ = ٦
)) (٨ﺏ( ﰈ ﺇ
ﺍﺫ +ﺍ3 ﺍﺫ
= ٣ﺇ
1 +° -°ﺫ ﺫ × ° -°ﺫ 3
° ° ﺫ 3 + ° ﺫ
= ٣ﺇ
=
1+° 3 ° ﺫ
=٣
ﻳ ﻮن ﻠﻤﻌﺎدﻻت ﺣﻠﻮل أﺧﺮى ﻏ ا ﻞ ا ﺼﻔﺮى ﺐ أن
ﻳ ﻮن ﺭ )ﺍ( > ) ٣أى أﻗﻞ ﻣﻦ ﻋﺪد ا ﺠﺎﻫﻴﻞ ( ﺇ | ﺍ | = ﺻﻔﺮ
= ﺻﻔﺮ ﺉ ٠ = θ
:ﺭ ﰒ= ) + ( ٤ ، ١ ، ٣ﻙ ) ( ٥ ، ٣ – ، ٢ﺇ ا ﻌﺎدﻻت
ﻣﻌﺎدﻟﺔ ا ﺴﺘﻮى ﺇ ٤ + ٦ﻙ – ٩ + ٣ﻙ ٢٥ + ٢٠ +ﻙ ٠ = ١٥ +
ﺇ ٣٨ﻙ ٠ = ٣٨ +ﺉ ﻙ = – ١ﺇ ﻧﻘﻄﺔ ا ﻘﺎﻃﻊ ) (١٤رﺗ ﺘﺎ ا ﺪﻳﻦ اﻷوﺳﻄ
).(١– ،٤،١
ﻫﻤﺎ ، ٦ ، ٥ = 1+ 9ﰈ ò = ٦ ò ٥ ﺫ
3 & ﺇ ١ = 6ﺇ × 1+ 5 - 9ﺱ ÷ ﺫ = ١ﺇ ﺱ ١٦ = ٤ﺇ ﺱ = _ ٢
&5
8
5
3S +1ت ) (١٥ﻉ = × 16 - 3S - 1ت 3S +1ت
ﺱ
= 3S + 1)16 -ت ( 3+1
ﺇ ﻉ = – ٣] ٤ – ٤ت ﺇ θﻱ ا ﺮ ﻊ ا ﺎﻟﺚ ،ل = ]٨ = / ٤٨/ +/ ١٦
ﺫp ،ﻇﺎ ٣] = θﺇ = ١٢٠ – = ٣٦٠ – ٦٠ + ١٨٠ = θ 3 1 0ﺫ 360+ 1ﺭ 0ﺫ 360+ 1ﺭ( ،ﺭ =١– ،١،٠ +ت ﺟﺎ ﺇ ﻉ ) ٢ = 3ﺟﺘﺎ 3 3 p4 ﺫp 0ﺫ1، = ٨٠ = ١٢٠ + ٤٠ – = ٢θ ، = – = ٤٠ ﺉ = ١θ 9 9 3 p8= ١٦٠ – = ٣٦٠ – ٢٠٠ = ٢٠٠ = ١٢٠ + ٨٠ = ٣θ 9
ﺇ ﻉ٢=١ﻩ
ﺫ9
Jp
،ﻉ
٢
4 =٢ﻩ9
Jp
،ﻉ٢=٣ﻩ
89
Jp
ﺱ 1 1 ) ) (١٦ﺹ – ٣ﺹ ( ١ﺇ ا ﺤﺪد = 1 1ﺱ ) ،ﻉ – ١ﻉ ( ٢ 0 0ﺱ 1-
ﺱ 1 1 1- ٢ ﺇ ا ﺤﺪد = 1 0ﺱ = ) ﺱ – ) × ١ × ( ١ﺱ – ) = ( ١ﺱ – ( ١ 0 0ﺱ 1-
ﺭ ﰒ= ) + ( ٢ ، ١ ، ١ﻙ ) ( ١٢ ، ٤ ، ٣ -أى :
ﺇ ﻥ ٩=١+ﺉ ﻥ=٨ )) (٩ﺝ(
٥
) ، ( ٢ ، ١ ، ١ ) = (١٧ﺍ ﰒ = – ﺍ = )– ( ١٢ ، ٤ ، ٣ﺉ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﺍ ﰐ
=٣
)° (1 +° -°ﺫ ﺫ × ° -°ﺫ ´ 3ﺫ
J 1Jﺫ
ا ﺎراﻣ ﺔ :ﺱ = ٢ + ٣ﻙ ،ﺹ = ٣ – ١ﻙ ،ﻉ = ٥ + ٤ﻙ و ﺎ ﻌﻮ ﺾ
ﻣﻌﺎدﻟﺔ ا ﻜﺮة
)ﺝ( ) ﺹ + ١ﺹ + ٢ﺹ ( ٣ﺇ ا ﺤﺪد
J g 1Jﺫ
) (١٣ﻥ ﰒ= ) = ( ٥ ، ٣ – ، ٢ﻣﺘﺠﻪ ا ﺎه ا ﺴﺘﻘﻴﻢ ا ﻄﻠﻮب
7 7 < - 8ﺭ ﺭ 1- -7ﺭ ﺭ
ﺇ
13 Jp ( ( = ٣ﻩ 18
ﺑﺎ ﻌﻮ ﺾ ﺑﺎ ﻘﻄﺔ ﻩ
¬ -ﺫ ﺱ = 1-ﺹ = 1- 4 3ﺫ1
:
ﻣﻌﺎدﻟﺔ ا ﺴﺘﻘﻴﻢ ﺪ أﻧﻬﺎ ﻘﻘﻬﺎ ﺇ ﻩ ﻱ ا ﺴﺘﻘﻴﻢ . ٢
) (١٨ﻡ = ω ٨ – ٣ = ω ٥ – ω ٣ – ٣ = ω ٥ + ٥ + ω ٣ – ٣ ٢
٢
٢
،ﻥ =ω٨– ٣= ω٧– ω–٣= ω٧ + ٧ + ω– ٣
٢ ٢
ﺇ ﻡ +ﻥ = ١٤ = ٨ + ٦ﻱ ، (١) ........... òﻡ × ﻥ = ) ( ω ٨ – ٣ ) ( ω ٨ – ٣ ٢
+
= ٩٧ = ٢٤ + ٧٣ = ω ٢٤ – ω ٢٤ – ٦٤ + ٩ﻱ ، (٢) ............. ò ﻣﻦ ) (٢) ، (١ﺇ ﻡ ،ﻥ ﻋﺪدان ﻣ اﻓﻘﺎن .
٤٩
ﻟﻸﺳﺘﺎﺫ ﺍﻟﻘﺪﻳﺮ /ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺪﻳﻦ ﻳﺤﻴﻰ ٠١١١٩٦٦٠٦١٦
ﺍﻟﺠﺒﺮ ﻭﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﺮﺍﻏﻴﺔ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ ،ا ﻌﺎدﻟﺔ اﻟ ﻴﻌﻴﺔ
:ﺱ ) – ٢ﻡ +ﻥ ( ﺱ +ﻡ × ﻥ = ﺻﻔﺮ
أى :ﺱ ١٤ – ٢ﺱ ٠ = ٩٧ +
) (١٩ﻩ ﰒ = ﺏ ﺝ ﰒ = ﺝ – ﺏ = ) ( ٢ ، ٤ – ، ٦ﺉ
ﺍ
ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﺏ ﺝ ﰐ :ﺭ ﰒ= ) + ( ٣ ، ٢ ، ١ﻙ ) ( ٢ ، ٤ – ، ٦
ﺑﻔﺮض أن ﺍ
/
،ﰈ ﺍ /ﻱ ﺏ ﺝ ﰐ ﻓ
ﺴﻘﻂ ﺍ
ا ﺴﺘﻘﻴﻢ ﺏ ﺝ ﰐ
ﻘﻖ ﻣﻌﺎد ﻪ
ﺏ
ﺍ
/
ﺝ
ﺇ ﺍ ٦ + ١ ) = /ﻙ ٤ – ٢ ،ﻙ ٢ + ٣ ،ﻙ (
ﺉ ﺍ ﺍ ﰒ = /ﺍ – /ﺍ = ) ٦ + ١ﻙ ٤ – ٧ – ،ﻙ ٢ + ٣ – ،ﻙ ( ،ﰈ ﺍ ﺍ /ﰒ ﻊﻋ ﻩ ﰒ ﺇ ﺍ ﺍ ﰒ ٠ /ﻩ ﰒ = ﺻﻔﺮ
ﺉ )٦+١ﻙ٤–٧–،ﻙ٢+٣–،ﻙ(٠=(٢،٤– ،٦)٠
8ﺫﺇ ٣٦ + ٦ﻙ ١٦ + ٢٨ +ﻙ – ٤ + ٦ﻙ = ٠ﺇ ٥٦ﻙ = – ٢٨ﺉ ﻙ = 56 = – 1ﺉ ﺍ = /ﺴﻘﻂ ا ﻘﻄﺔ ﺍ ا ﺴﺘﻘﻴﻢ ﺏ ﺝ ﰐ = )– ( ٢ ، ٤ ، ٢ ﺫ 1ﺫ 3 ) | (٢٠ﺍ | = ( ٢ + ٩ ) ٣ + ( ٢ + ٣ ) ٢ – ( ٢ + ١ –) ١ = 1 - 1 - 3 ﺫ 1 3 öﺫ æ 11 5 - ﻠﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ،ﺍ ﺮاﻓﻘﺎت = ÷÷ ، çç 1 5 - 7 = ٢٥ﻵ ٠ﺇ ﻳﻮﺟﺪ ﻣﻌﻜﻮس ÷ ç 7 - 10 1 è ø öﺫ 7 öﺫ 7 æ 1 æ 1 ﻞ ﺍ = ÷÷ çç 10 5 - 5ﺇ ﺍ – ، çç 10 5 - 5 ÷÷ 1 = ١ﺑ ب ﻃﺮ 5ﺫ ÷ç 7 - 1 11 ÷ç 7 - 1 11 è ø è ø öﺫ 7 æ1ö æ 1 öﺱæ ا ﻌﺎدﻟﺔ ﻣﻦ ا ﻤ × ﺍ – ١ﺇ ÷ ﺹ ç 7 ÷ ç 10 5 - 5 ÷ 1 = ç ç ÷ ç ÷ 5 çﺫ ÷ ÷ç1- ÷ ç 7 - 1 11 ÷ﻉ ç è ø è ø è ø öﺱ ö æﺫ æ ﺇ ÷÷ ﺹ - ÷÷ = ççﺫ ççﺇ ﻤﻮﻋﺔ ا ﻞ = } ) { ( ١ ، ٢ – ، ٢ ÷ﻉ ç 1÷ ç è ø è ø
٥٠